Marktkonsistente Bewertung in der Lebensversicherung

Marktkonsistente Bewertung in
der Lebensversicherung
Simon Hochgerner
Aktuarielle Analyse und Modelle
Finanzmarktaufsicht
Enquete
Versicherungsaufsicht
Wien, 7. November 2011
Intro: Der Bewertungsgedanke in Solvency II
Grundsätzliches aus der Finanzmathematik
Marktkonsistente Bewertung in der Lebensversicherung
Zukünftige Gewinnbeteiligung: ein stochastisches Kontrollproblem
Intro: Der Bewertungsgedanke in Solvency II
Bewertung in Solvency II
The value of technical provisions shall correspond to
the current amount insurance and reinsurance undertakings would have to pay if they were to transfer their
insurance and reinsurance obligations immediately to
another insurance or reinsurance undertaking.
I
Was ist dieser current amount?
Postulierte Eigenschaften des heutigen Wertes
I
Fair, nicht zu Marktungleichgewicht führend
I
Unabhängig von zukünftigen Entwicklungen
(Schließungsszenario, Insiderinformation, . . . )
I
Liquide und effiziente Marktannahmen widerspiegeln
I
Marktkonsistent [RRL, Art. 76(3)]
Marktkonsistente Bewertung von Versicherungsprodukten soll also
analog zur Bepreisung von Finanzderivaten funktionieren.
LV0
Sei S ein Index mit Entwicklung
S1 = 26 mit p1 = 50%
ll
lll
lll
l
l
lll
S0 = 1 Q
QQ
QQQ
QQQ
QQQ
Q(
S1 =
1
2
Garantiesumme = 1; qx = 0; r = 0.
mit p2 = 50%
I
Was ist der Wert dieser Versicherung zum Zeitpunkt t = 0?
Grundlegende Idee
Beschreibe das Versicherungsprodukt mit Finanzinstrumenten.
I
LV0 = S + PutS (1, t = 1).
I
Der heutige Wert von S ist S0 = 1.
I
Der heutige Wert der Put Option ist
Preist=0 PutS (strike = 1, t = 1) = 0 · 50% +
1
2
· 50% = 14 ?
Arbitrage-freier Preis
Der ökonomisch richtige Preis der Put Option ist
Preist=0 PutS (strike = 1, t = 1) =
1
3
Alle anderen Preise führen zu Arbitrage Möglichkeiten.
I
Der marktkonsistente Preis von LV0 ist
1+
1
3
= 34 .
Grundsätzliches aus der Finanzmathematik
I
No arbitrage
I
Das binomische Modell
I
Die Martingal Methode
I
Black-Scholes
No arbitrage
I
Ein Finanzmathematiker findet 100 e auf der Straße.
Natürlich hebt er sie nicht auf. Er argumentiert, dass die
100 e nicht real sein können, denn sonst wäre ja eine
Arbitrage Möglichkeit gegeben. (Scherz aus [DS2008])
I
Eine Arbitrage Möglichkeit bedeutet den potentiellen Gewinn
bei Ausschluss von Verlustrisiko und ohne Einsatz von
Eigenkapital.
I
Absenz von Arbitrage wird mit Markteffizienz erklärt: Gäbe es
die 100 e, dann hätte sie schon wer anderer mitgenommen.
Das binomische Modell
Sei S wie zuvor:
S1 = 26 mit p1 = 50%
ll
lll
lll
l
l
lll
S0 = 1 Q
QQQ
QQQ
QQQ
QQQ
(
S1 = 12 mit p2 = 50%
Replikation
Zur Bestimmung des Arbitrage-freien Preises von
P := PutS strike = 1, mat = 1
bilden wir ein replizierendes Portfolio (bt = 1):
Pt = αbt + βSt .
Es gilt daher, dass 0 = α + 2β und
1
2
= α + 12 β und folglich
P0 = α + β = 13 .
Die Risiko-neutrale Welt
I
Warum entspricht der Preis der Option nicht dem
Erwartungswert des Gewinns?
S0 = 1 6= E [S1 ] = 2 · 50% +
1
2
· 50% =
5
4
Stellen wir uns eine Welt vor, in der gilt, dass
S0 = 1 = EQ [S1 ] = 2 · q +
1
2
· (1 − q) d.h. q = 31 .
1
3
+
Dann folgt auch
P0 = EQ [P1 ] = 0 ·
1
2
·
2
3
= 31 .
I
Diese Beobachtung ist kein Zufall, sondern folgt aus einem
allgemeineren Prinzip.
Die Martingal Methode
Betrachte den Black-Scholes Markt
σ2
bt , St = b0 e rt , S0 e (µ− 2 )t+σWt
0 ≤ t ≤ T.
Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q, sodass St ein
Q-Martingal ist. Der Arbitrage-freie Preis einer Europäischen
Option ist der diskontierte Erwartungswert unter Q:
P0 = e −rT EQ [PT ]
Das Black-Scholes Modell
Der Asset Preis St folgt geometrischer Brown’scher Bewegung,
St = e (µ−
σ2
)t+σWt
2
, 0 ≤ t ≤ T (µ = 1, σ = 0.02):
Black-Scholes PDE, Nobel Preis 1997
Sei f (ST ) eine europäische Option. Z.B. f (s) = max(K − s, 0).
Definiere
p(t, s) := Preis der Option zum Zeitpunkt t,
gegeben dass S(t) = s.
Dann erfüllt p die Black-Scholes PDE
pt + rsps +
σ2 2
2 s pss
− rp = 0,
0≤t≤T
und ist mit der Randbedingung p(T , s) = f (s) eindeutig
charakterisiert.
Der Arbitrage-freie Preis einer europäischen Option kann also
folgendermaßen bestimmt werden:
I
Binomisches Modell.
I
e −rT EQ [f (ST )] – Martingal Methode.
I
p(0, S0 ) – Black-Scholes.
I
Analytische Formeln.
Exotische Produkte
Die Bewertung von exotischen (Zeit-, Pfad-,. . . abhängigen)
Optionen kann deutlich komplexer sein.
Marktkonsistente Bewertung in der
Lebensversicherung
LV1
t
0
1
2
3
4
5
Prämie
−l0 π
−l1 π
−l2 π
−l3 π
−l4 π
EL
RK
AL
EL5
s0 π
2s1 π
3s2 π
4s3 π
5s4 π
d0 K max{S1 , (1 + i)}
d1 K max{S2 , (1 + i)2 }
d2 K max{S3 , (1 + i)3 }
d3 K max{S4 , (1 + i)4 }
d4 K max{S5 , (1 + i)5 }
K ist die Versicherungssumme
lt − dt − st = lt+1
EL5 = l5 K max{S5 , (1 + i)5 }
Bewertungsschema
(1) Finde Basis von geeigneten Finanzinstrumenten.
(2) Drücke das Produkt in dieser Basis aus.
(3) Der korrekte Preis ergibt sich aus der entsprechenden
Bewertung. (Finanzmathematisches Problem)
Das versicherungstechnische Risiko ergibt sich aus der Variation
der Koeffizienten (Rechnungsgrundlagen 2ter Ordnung).
Koeffizient Ci
−l0 π
(−l1 + ss )π
(−l2 + 2s1 )π
(−l3 + 3s2 )π
(−l4 + 4s3 )π
5s4 π
P4
(l5 + i=0 di )K
d0 K
d1 K
d2 K
d3 K
(l5 + d4 )K
Basiselement Bi
Z0
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
S
PutS ((1 + i)1 , 1)
PutS ((1 + i)2 , 2)
PutS ((1 + i)3 , 3)
PutS ((1 + i)4 , 4)
PutS ((1 + i)5 , 5)
Valuation Portfolio (VaPo)
LV1 = VaPo =
X
Ci Bi
I
Die Bewertung von LV1 folgt nun der Wahl eines Accounting
Prinzips.
I
Der marktkonsistente Ansatz entspricht dem ökonomischen
no-arbitrage Prinzip:
X
Q[LV1] = E[VaPo] =
Ci E[Bi ]
Der (faire) Preis π als Funktion von (gestresster) Mortalität
und (gestresstem) Storno.
K = 10000, l0 = 1000, etc. =⇒ π(1, 1) = 2150.90
Zukünftige Gewinnbeteiligung: ein stochastisches
Kontrollproblem
Produkt: LV2
LV2 ist eine indexgebundene Erlebensversicherung mit . . .
I
Jährlicher Prämienzahlung
I
Mindestzinsgarantie: Jährliche Mindestzinsrate r = 0.0205
I
Gewinnbeteiligung als jährlichem Zinsaufschlag:
µ · max St /St−1 − 1 − r , 0 wobei 0.85 ≤ µ ≤ 1
I
Ablebensschutz: Im Ablebensfall werden die eingezahlten
Raten inklusive Mindestzins ausgezahlt.
I
Storno Option: Bei Storno werden die eingezahlten Raten
inklusive Mindestzins ausgezahlt.
Gewinn- und Risiko-komponente für das VU
I
Jährlicher Zinsertrag
1 − µ · max St /St−1 − 1 − r , 0 wobei 0 ≤ µ ≤ 1
I
Ein Teil der Zinsgarantie wird vom VU getragen:
−δ · 1{St /St−1 −1−r <0} wobei δ = 0.0005
D.h., das VU kann bei steigenden Kursen einen anteiligen Gewinn
machen, hat aber bei Kursverlust einen sicheren Verlust.
µ entspricht der Managementregel.
Probleme bei der Bewertung
I
Der Ertrag von LV2 hängt von der Wahl von µ ab.
I
Wie sieht diese Abhängigkeit im Detail aus?
I
Nach welchen Kriterien soll µ gewählt werden?
I
Wie findet sich dann jenes µ, das den festgesetzten Kriterien
entspricht?
I
Lässt sich die Bewertung dann auf ein entsprechendes
Problem der Finanzmathematik reduzieren?
Mögliche Antworten
(1) Bestimme das Stornoverhalten als Funktion von µ etc.
(2) Wähle µ = µ∗ , sodass der Ertrag für das VU optimiert wird.
(Managementregel)
(3) Finde µ∗ .
(4) Bewerte LV2(µ∗ ) mit entsprechenden Methoden aus der
Finanzmathematik.
t
TR
VU
0
TR0 = l0 π
0
1
TR1
VU1
2
TR2
VU2
3
TR3
VU3
TRt = ρt (µ, St /St−1 ) · TRt−1 + lt π −
4
TR4
VU4
t
X
5
TR5 − l5 π
VU5
(ds + ss )(1 + r )s π
s=0
VUt = η(µ, St /St−1 ) · TRt−1
wobei t ≥ 1, ρ die Kapitalverzinsung darstellt und η positiv oder
negativ sein kann.
Annahmen
I
Die Stornorate hängt linear von der Managementregel µ ab.
I
Sie Sterblichkeitsrate ist konstant q = 0.005.
I
π = 1.
Managementregel
I
Maximiere den payoff
µ
V (0) := E
5
hX
t=0
i
VUt (µ) .
Simulation von V µ
∗
V µ = 3.93 und µ∗ = 0.92
Marktkonsistente Bewertung von LV2
I
Wähle µ = µ∗ = 0.92.
I
Bewerte analog zu LV1.
Frage
Ist die konstante Strategie µ = µ∗ wirklich optimal?
Stochastische optimale Kontrolltheorie
Das dynamic programming principle liefert eine Strategie, die zu
jedem Zeitpunkt optimal ist.
Dynamic programming principle, Bellman Gleichung
Sei
Vtµ (x)
:= E
5
h X
VUµs VUµ5−t
=x
i
s=5−t
und Vt (x) :=
V5 (x) =
supµ(.)∈M Vtµ (x).
sup
Dann gilt
n
h
io
r (x, µ) + E V5−1 (V5−1 (f (x, µ, Y ))) .
µ∈[0.85,1]
I
D.h.: Maximiere heutigen plus zukünftig erwarteten Ertrag.
I
Wenn ich das für all t mache, ist die Strategie optimal.
Kontinuirliche Version: Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung
I
In vielen Fällen kann das Maximieren des Erwartungswertes
des Profits auf das Maximieren einer assoziierten R-wertigen
Funktion reduziert werden.
I
Siehe: H. Schmidli, Stochastic control in insurance, Springer
2008.
Karl Borch, Norwegischer Aktuar, Vortrag 1967
The theory of control processes seems to be taylor
made for the problems which actuaries have struggled
to formulate for more than a century.
It may be interesting and useful to meditate a little
how the theory would have developed if actuaries and
engineers had realized that they were studying the
same problems and joined forces over 50 years ago.
Literatur
I
Directive 2009/138/EC, 25 November 2009, (Solvency II).
I
H. Schmidli, Stochastic control in insurance, Springer 2008.
I
M. Wüthrich et al., Market consistent actuarial valuation, 2nd
Ed., Springer 2010.