¨Ubungen zur Finanzmathematik

Prof. Dr. Martin Keller-Ressel
Technische Universität Dresden
Institut für mathematische Stochastik
Übungen zur Finanzmathematik
Aufgabenblatt 2
Übungstermin 11. November 2014
Aufgabe 1. Beweisen Sie den Satz vom optionalen Stoppen aus der Vorlesung:
Sei X = (Xn )n∈N ein Martingal und τ eine Stoppzeit bzgl. der Filtration
(Fn )n∈N . Dann ist auch der gestoppte Prozess Xn∧τ ein Martingal bzgl. (Fn )n∈N .
Aufgabe 2. Betrachten Sie ein Ein-Perioden-Modell (d.h. I = {0, 1}) mit
festverzinslicher Anlage (St0 )t∈{0,1} = (1, 1 + r) und einem Wertpapier S 1 mit
einem Ausgabepreis von 100 Euro. Für den Endpreis des Wertpapiers können
nur die folgenden drei Fälle auftreten: Der Preis fällt auf 90 Euro, bleibt unverändert oder steigt auf 120 Euro.
Ein Derivatehändler verkauft 15 Call-Optionen mit einem Ausübungspreis K,
90 ≤ K < 120. Der Zinssatz beträgt r = 6%.
a) Zeigen Sie, dass genau ein K existiert, für das es eine Replikationsstrategie
gibt.
b) Wie sieht das zugehörige Portfolio aus und was ist der faire Preis für eine
Call-Option?
c) Ist der beschriebene Markt vollständig?
Aufgabe 3.
a) Gegeben sei wieder ein Ein-Perioden-Modell mit risikoloser, festverzinslicher
Anleihe S 0 mit Ausgabepreis S00 = 1 und Zinssatz r > −1 sowie ein Wertpapier S 1 mit festem Preis S01 zum Zeitpunkt Null und zufälligem Kurs
S11 zum Zeitpunkt 1, wobei S11 wie folgt verteilt ist:
P S11 = S01 (1 + a) = p = 1 − P S11 = S01 (1 + b) , p ∈ (0, 1) .
Geben Sie an, wann ein äquivalentes Martingalmaß existiert und bestimmen Sie dessen Form.
b) Verallgemeinerung: Sei wieder r > −1 und (Ω, F, P) endlicher W-Raum
mit F := 2Ω und P [{ω}] > 0 für alle ω ∈ Ω.
Das Finanzmarktmodell (S 0 , S 1 ) bestehe nur aus einem risikolosen und
einem risikobehafteten Wertpapier, wobei S00 = 1 und wir setzen
0 < α := min S11 (ω),
ω∈Ω
β := max S11 (ω) .
ω∈Ω
Zeigen Sie, dass das Modell arbitragefrei ist genau dann, wenn
α<1+r <β.
Aufgabe 4.
a) Beweisen Sie den folgenden Trennungssatz im Rd : Sei C eine nichtleere,
konvexe Teilmenge des Rd und p ∈ Rd ein Punkt, der nicht im Abschluss
von C liegt. Dann gibt es eine strikt trennende Hyperebene, d.h. es existiert ein η ∈ Rd \{0}, so dass
p·η <c·η
für alle c ∈ C .
Hinweis: Nutzen Sie die Projektion von p auf den Abschluss von C.
b) Zeigen Sie, dass für eine beliebige nichtleere, konvexe Teilmenge C ⊂ Rd
und einen Punkt p ∈ Rd mit p ∈
/ C im Allgemeinen kein η ∈ Rd \{0}
existiert, sodass
p · η < c · η für alle c ∈ C .