STaatsexamensarbeit Akustik und Klänge

Wissenschaftliche Prüfungsarbeit
gemäß §12 der Landesverordnung über die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien
vom 07. Mai 1982, in der derzeit gültigen Fassung
Kandidat:
Peter Lieder
der Johannes Gutenberg Universität Mainz
Fach:
Physik
Thema:
Akustik und Klänge
- ein Schülerkurs zum Thema
„Musik und Physik”-
Erstgutachter:
PD Dr. Frank Fiedler
Zweitgutachter: Prof. Dr. Hans-Georg Sander
Abgabedatum:
10.04.12
II
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Einordnung des Themas im schulischen Kontext
2
3 Theoretischer Teil
3.1 Schwingungen und Wellen . . . . . . . . . . .
3.2 Zentrale Größen der Akustik . . . . . . . . . .
3.2.1 Schallfeldgrößen . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Schallenergiegrößen . . . . . . . . . .
3.3 Schwingende Saite vs. schwingende Luftsäule .
3.3.1 Eigenschwingungen der Saite . . . . .
3.3.2 Eigenschwingungen der Luftsäule . . .
3.4 Tonleitern und Harmonie physikalisch gesehen
3.4.1 Wie man aus Tönen Leitern baut ... . .
3.4.2 Obertöne und Harmonielehre . . . . .
3.5 Fourieranalyse und Klangspektren . . . . . . .
3.6 Das Ohr aus biophysikalischer Sicht . . . . . .
3.6.1 Aufbau des Ohrs . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Schallleitung und Schallverstärkung . .
3.6.3 Funktionsweise des Innenohrs . . . . .
3.6.4 Hörempfinden der Lautstärke . . . . .
5
5
14
14
17
20
20
23
28
28
32
34
38
38
39
40
41
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4 Praktischer Teil
4.1 Experimentelle Bestimmung der Längenkorrektur von
4.2 Experimente des Schülerkurses . . . . . . . . . . .
4.3 Durchführung und Auswertung des Schülerkurses . .
4.3.1 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Fazit und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anhang
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43
einseitig offenen Rohren 43
. . . . . . . . . . . . 47
. . . . . . . . . . . . 59
. . . . . . . . . . . . 59
. . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . 68
73
Abbildungsverzeichnis
III
Abbildungsverzeichnis
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
Superposition zweier Schwingungen mit Frequenzverhältnis 9:2 . . . . . .
Schwebung mit f1 = 60 Hz (links) und f2 = 70 Hz (rechts) . . . . . . . . .
Modell zur Transversalwelle (links) und Longitudinalwelle (rechts) . . . . .
Huygens’sches Prinzip am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstruktive Interferenz (links) und destruktive Interferenz (rechts) . . . .
Abstandsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abwärts-Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gesamter hörbarer Frequenz- und Druckbereich der Akustik . . . . . . . .
Ursache und Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) - e): Grundschwingung bis 4.Oberschwingung . . . . . . . . . . . . . . .
Beidseitig offenes Rohr: (a) Grundschwingung, (b) und (c) ersten beiden
Oberschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einseitig offenes Rohr: (a) Grundschwingung, (b) und (c) ersten beiden
Oberschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entstehung eines Schneidetons an einer Kante . . . . . . . . . . . . . . .
Teiltonreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Obertöne eines Grundtons und seiner Quinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Obertöne eines Grundtons und seiner Septime . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projektion einer Sinusschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prinzip der Fourieranalyse eines Signals aus zwei Sinusschwingungen
. . . . . . . .
Klangspektrum des Sopransaxophons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klangspektrum der Klarinette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anatomie des menschlichen Ohrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impedanzerhöhung der Gehörknöchelchen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prinzip der Frequenzauflösung in der Basilarmembran . . . . . . . . . . .
Maximum der Empfindlichkeit der Ruhehörschwelle . . . . . . . . . . . . .
Kurven gleicher Lautstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
29
32
33
34
34
36
37
39
40
41
41
42
4.1
4.2
Aufbau zur Bestimmung der Längenkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . .
Verschiebung der Frequenz durch die Anblasgeschwindigkeit . . . . . . . .
43
44
3.12
6
6
7
8
9
11
12
13
19
21
24
IV
Abbildungsverzeichnis
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
Vergleich der Messwerte mit den Literaturwerten . .
Stehende Welle im Acrylrohr . . . . . . . . . . . . .
Rohre zur Bestimmung der Längenkorrektur . . . .
Auswahl und Frequenzspektrum . . . . . . . . . . .
Material der Station: Der feinste aller Sinne . . . . .
Das verwendete Monochord im Vergleich zum Rohr
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46
47
50
51
52
54
Instrumente (von links): 12 saitige Gitarre, 34 klassische Gitarre und Western Gitarre 56
Frequenzspektrum des Einzeltons E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Gesamtbewertung der Schülertags . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Der Einführungsvortrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Interesse an Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Musikalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Steigerung des Interesses an Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
V
Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
2.1
2.2
Lehrplan RLP: Wahlbaustein im Leistungskurs . . . . . . . . . . . . . . .
Lehrplan RLP: Wahlbaustein im Grundkurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Schalldrücke und Schallschnellen . . . . . . . . . . .
Schallpegel verschiedener Umweltgeräusche . . . . . .
Schallleistung einiger Schallquellen . . . . . . . . . .
Fazit zum Experiment „schwingende Saite” . . . . . .
Fazit zum Experiment „schwingende Luftsäule” . . . .
Frequenzverhältnisse der Teiltonreihe . . . . . . . . .
Intervalle verschiedener Tonleitern in Cent angegeben
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3
3
16
16
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22
27
29
31
1 Einleitung
1
1 Einleitung
Die vorliegende Staatsexamensarbeit befasst sich mit Konzeption und Durchführung eines
Schülerkurses zum Thema „Akustik und Klänge”. Dabei soll der Schülerkurs, durch passend
gewählte Experimente, Grundlagen zur physikalischen Beschreibung von Klängen und zur
Klangsynthese vermitteln. Durch einen starken Bezug zum Leben und Alltag der Schüler1
soll dieser Kurs das Interesse an Physik fördern und die Relevanz der Physik zur Beurteilung
und Optimierung von akustischen Bauteilen und Instrumenten aufzeigen.
Zudem ist es möglich, neueres Wissen über Hörsinn und Kommunikation einfließen zu
lassen, deshalb kann diese Staatsexamensarbeit auch Impulse zu einem fächerübergreifenden
Unterricht mit Biologie und Musik geben. Es können sowohl physiologische Zusammenhänge
zur Beschaffenheit des Ohrs, als auch strukturelle Zusammenhänge zur Harmonielehre
aufgezeigt werden.
Nachdem zu Beginn eine Eingliederung der Thematik in den schulischen Kontext und in
den Lehrplan von Rheinland-Pfalz erfolgt, gliedert sich diese Staatsexamensarbeit in einen
theoretischen und einen praktischen Teil:
Der theoretische Teil richtet sich zunächst an Lehrkräfte und gibt eine fachliche Kurzdarstellung der benötigten Zusammenhänge, dabei werden im Speziellen auch die beiden
Phänomene der schwingenden Saite und der schwingenden Luftsäule in Röhren vergleichend
dargestellt. Diese beiden Experimente sind Startpunkt des Schülerkurses. An entscheidender
Stelle wird eine Differenzierung zwischen einer Verwendung des Kurses in Mittelstufe und
gymnasialer Oberstufe notwendig sein.
Im praktischen Teil werden die Experimente und schülerbezogenen Inhalte mit Erwartungshorizont und Lernzielen dargestellt. Zudem erfolgt eine Auswertung des durchgeführten
Schülertags mit abschließendem Ausblick.
1
Hier und in der gesamten Arbeit wird aus Gründen der besseren Lesbarkeit nur „Schüler” verwendet,
wobei „Schülerin” natürlich mit eingeschlossen ist.
2 Einordnung des Themas im schulischen Kontext
2
2 Einordnung des Themas im
schulischen Kontext
Im Lehrplan der gymnasialen Sekundarstufe 1 in Rheinland-Pfalz ist das Thema Akustik
oder akustische Wellen nicht erwähnt [Rhe12], wobei es sich nahtlos als Fortführung der
mechanischen Schwingungen und Wellen unterrichten ließe. An dieser Stelle geht dem
Physikunterricht ein relevantes und lebensnahes Thema verloren, das auch helfen könnte,
den einen oder anderen Schüler für die Physik in der Oberstufe zu begeistern indem es
gerade den musizierenden Schüler ansprechen und ins Unterrichtsgeschehen integrieren kann.
Zusätzlich ist zu beachten, dass Schwingungen und Wellen in sehr vielen Teilgebieten der
Physik von zentraler Bedeutung sind (Elektrizität, Atomphysik, Quantenphysik ...) und ein
frühes Heranführen an die Beschreibung von Wellen in der Akustik ein tieferes Verständnis
der Schüler für grundlegende Konzepte in der gesamten Physik bewirken kann.
Meines Erachtens bietet das Thema auch Möglichkeiten, im Rahmen einer Projektwoche
oder eines Projekts Instrumente zu bauen und diese dann der Öffentlichkeit vorzustellen. Es
hat sich gezeigt, dass der handelnde Umgang mit Unterrichtsthemen stark zum Lernerfolg
beiträgt und somit stärker Gehör finden sollte. Fachdidaktiker der Physik fordern gerade
diesen handelnden Umgang mit Wissen im Unterricht:
„Eine Lernaufgabe steuert den individuellen Lernprozess durch eine Folge von gestuften
Aufgabenstellungen mit entsprechenden Lernmaterialien ...Dabei erstellen und diskutieren
sie [die Lernen] ein Lernprodukt, definieren und reflektieren den Lernzugewinn und üben
sich abschließend im handelnden Umgang 1 mit Wissen.”
http://www.leisen.studienseminar-koblenz.de/uploads2/02%20Der%20Kompetenzfermenter%20-%20Ein%
20Lehr-Lern-Modell/4%20Lernaufgaben%20als%20Lernumgebung%20zur%20Steuerung%20von%20Lernprozessen.
pdf
Im Lehrplan für die gymnasiale Oberstufe ist im Leistungsfach einer von 29 Wahlbausteinen
dem Thema Akustik gewidmet2 . Dabei geht es (wie man im folgenden Auszug erkennen
kann) im Wesentlichen um Schallentstehung, Schallausbreitung und Schallwahrnehmung.
1
2
Hervorhebung durch den Autor.
Dabei der Lehrer aus diesen 29 Bausteinen in der Qualifikationsphase 12 wählen muss.
2 Einordnung des Themas im schulischen Kontext
3
Der Zeitrahmen von 10 Stunden erfordert eine Schwerpunktsetzung wie sie in dieser Arbeit
vorgeschlagen wird. An dieser Stelle kann der Schülerkurs „Akustik und Klänge” eingesetzt
werden.
Akustische Wellen
Schallerzeugung (Ton, Klang,
Geräusch, Musikinstrumente,...)
10
P Den Beschäftigungsgrad mit Wellen erhöhen und einen Überblick mit
einem vertiefteren Einblick anstreben.
P Der Zeitrahmen erfordert eine Schwerpunktsetzung. Ein
Schallausbreitung
(Schallgeschwindigkeit,
projektartiges Arbeiten bietet sich an. Schülerinteressen aufgreifen,
Wellenmodell, Interferenz,
Alltagsbedeutung herausstellen, fachüber- greifende Bezüge nutzen.
Dopplereffekt)
Schallwahrnehmung
P Praktikum: Schallgeschwindigkeit
(Schallfeldgrößen, Ohr,
Lärmschutz, technische Akustik)
Tab. 2.1: Lehrplan RLP: Wahlbaustein im Leistungskurs
Auch der Entwurf für den Grundkurs berücksichtigt das Thema Akustik mit einem Wahlbaustein.3 Nachfolgend der entsprechende Auszug aus dem Lehrplan:
Akustik
10
Schallphänomene und
Schallwellenmodell
P Den Beschäftigungsgrad mit Wellen erhöhen bzw. ein elementares
Verständnis der Schallwahrnehmung anstreben.
Schallwahrnehmung
P Der Zeitrahmen erfordert eine Schwerpunktsetzung. Zum Thema
(Schallfeldgrößen, Ohr,
Lärm bietet sich ein projektartiges Arbeiten an. Alltagsbedeutung
Lärmschutz)
herausstellen und fachübergreifende Bezüge nutzen.
Tab. 2.2: Lehrplan RLP: Wahlbaustein im Grundkurs
Hierbei liegt der Schwerpunkt auf dem Verständnis und der Beschreibung des Schalls, sowie
einem alltagsnahen Umgang mit Lärm und der Wahrnehmung von Klängen. Wie bereits oben
erwähnt, sind die besonderen Stärken des Themas Akustik: Die Möglichkeit zu Projekten
sowie die Möglichkeit fachübergreifend zu unterrichten.
3
Im Grundkurs müssen aus 23 Bausteinen innerhalb der Qualifikationsphase 6 gewählt werden.
2 Einordnung des Themas im schulischen Kontext
4
Diese beiden Punkte werden auch vom Lehrplan kommentiert. Das fächerverbindende und
fachübergreifende Unterrichten stellt einen unverzichtbaren Bestandteil dar, um in vollem
Maße dem Bildungsauftrag gerecht zu werden; es muss zu einer Ausgewogenheit zwischen
systematischem und situationsbedingtem Lernen kommen.
Die Notwendigkeit, verschiedene Fächer zu einer gemeinsamen Fragestellung in Betracht
zu ziehen, ist ein wesentlicher Bestandteil wissenschaftlichen Arbeitens. Genau dazu sollen Oberstufenschüler im Hinblick auf ihr Studium geführt werden. Zusätzlich kann man
fächerübergreifenden Unterricht mit mehr Selbstständigkeit der Schüler verbinden und
so projektorientiertes Arbeiten fördern. Die vorliegende Staatsexamensarbeit will auch zu
fächerübergreifendem, projektartigem Unterricht Impulse geben.
5
3 Theoretischer Teil
3 Theoretischer Teil
Dieser Teil der Arbeit richtet sich an die Unterrichtenden und soll eine Kurzdarstellung der
benötigten Inhalte geben. Es ist grundlegend, dass man sich bei der Vielzahl der Begriffe
auf eine sinnvolle Auswahl beschränkt, da die Schüler sich sonst in den Definitionen und
Begrifflichkeiten verlieren. Dieser Abschnitt orientiert sich am Handbuch für musikalische
Akustik [Hal08], sowie am Lehrbuch der Experimentalphysik Bergmann/Schaefer [Lüd08].
3.1 Schwingungen und Wellen
SCHWINGUNGEN sind ganz allgemein als zeitlich periodische Zustandsänderungen zu
beschreiben, als schultypische Beispiele sind das Pendel, die schwingende Feder und der
elektrische Schwingkreis zu nennen.
Charakteristisch für Schwingungen ist die ständige, zyklische Umwandlung von Energie
zweier Energieformen, einer potentialartigen (extensiven) Energieform und einer intensiven
Energieform. Diese periodische Energieumwandlung wird einerseits durch eine rücktreibende
Wechselwirkung, und andererseits durch die Trägheit des schwingenden Systems bewirkt,
das immer über den Gleichgewichtszustand hinaus schwingt.
Hier beziehen wir uns lediglich auf harmonische Schwingungen.
Zentrale Größen und Zusammenhänge zur Beschreibung von Schwingungen sind:
• Die Schwingungsgleichung (Federpendel) : m · ẍ(t) + D · x (t) = 0 mit ihrer Lösung:
x(t) = A · sin (ω · t + ϕ).
• Daraus ergibt sich dann der Zusammenhang: 2πf = ω =
q
D
m
.
• Schwingungsfrequenz f ist die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit.
• Periodendauer T ist die Zeit in der ein vollständiger Schwingungszyklus abläuft.
• Der Zusammenhang zwischen Periode und Frequenz : T = f1 .
Somit lässt sich eine harmonische Schwingung als ξ(t) = ξ0 · sin (ω · t + ϕ) schreiben, mit
Amplitude ξ0 , Phasenverschiebung ϕ und Kreisfrequenz ω.
6
3 Theoretischer Teil
Superposition von Schwingungen
Schwingungen überlagern sich ungestört, wobei sich die resultierende Schwingung durch
Addition der Amplituden zu jedem einzelnen Zeitpunkt ergibt.1 Die nachfolgende Skizze
illustriert die Superposition zweier Schwingungen2
Tr
Abb. 3.1: Superposition zweier Schwingungen mit Frequenzverhältnis 9:2
Ein besonderer Fall von Superposition ist die Überlagerung zweier Schwingungen, deren Frequenzen sich nur wenig voneinander unterscheiden. Dieses Phänomen wird als Schwebung
bezeichnet und ist am Beispiel zweier Schwingungen f1 = 60 Hz und f2 = 70 Hz in Abb. 3.4
dargestellt.
1.0
1.0
0.5
0.5
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.05
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
2
1
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
-1
-2
Abb. 3.2: Schwebung mit f1 = 60 Hz (links) und f2 = 70 Hz (rechts)
1
2
[Lüd08]
Dabei steht Tr für die resultierende Periode.
7
3 Theoretischer Teil
Schwebungen werden in der Musik genutzt um Instrumente zu stimmen, denn die Schwebungsfrequenz ist gleich der Frequenzdifferenz der Ausgangsschwingungen. Die Schwebungsperiode
wird also umso länger je näher f1 und f2 beieinander liegen.
WELLEN sind die Ausbreitung (Fortpflanzung) von Störungen entlang des Raumes. Im
mechanischen Fall, so wie er bei Schallwellen vorliegt, benötigt die Ausbreitung ein Medium.
Die einzelnen Teilchen des Mediums führen dabei eine örtlich feste Schwingung aus, die
über die Kopplung zu benachbarten Teilchen fortschreitet. Man kann sie am einfachsten
durch gekoppelte Fadenpendel visualisieren3 , wobei die Auslenkung der Pendel senkrecht
oder auch parallel zur Kopplungsrichtung erfolgen kann. Im senkrechten Fall liegt eine
Transversalwelle vor und im parallelen Fall spricht man von einer Longitudinalwelle.
Abb. 3.3: Modell zur Transversalwelle (links) und Longitudinalwelle (rechts)
Jedes Pendel schwingt um seine Ruhelage, es breitet sich nur die Schwingung entlang der
Pendel aus. Den Abstand zweier Pendel, die sich in der gleichen Schwingungslage befinden,
nennt man Wellenlänge λ. Die Geschwindigkeit der Welle ergibt sich als Quotient aus
Wellenlänge und Periode:
λ
c= =λ·f
(3.1)
T
Wellen werden mit der Wellengleichung beschrieben:
"
t
k ~x k
ξ(~x, t) = ξ0 sin 2π
−
T
λ
!#
= ξ0 sin ωt − ~k · ~x
(3.2)
Dabei ist k = 2π
der Betrag des Wellenvektors, auch Wellenzahl genannt. An dieser
λ
Gleichung erkennt man sofort das Besondere einer Welle, nämlich die räumliche und zeitliche
→
−
Periodizität. Bei festgehaltenem Ort ( k · ~x = const) besteht am Ort ~x ein zeitlich
periodischer Vorgang mit der Periode T . Wird umgekehrt die Zeit festgehalten (ωt = const)
liegt ein räumlich periodischer „Schnappschuss” mit der Wellenlänge λ als Periode der
harmonischen Schwingung vor.
3
Abb. 3.3 aus[Lüd08].
8
3 Theoretischer Teil
Wichtige Phänomene und Eigenschaften von Wellen
Huygens’sches4 Prinzip:
Jeder Punkt einer beliebig geformten Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen gesehen werden, die sich mit gleicher Phasengeschwindigkeit und Frequenz wie die
ursprüngliche Wellenfront ausbreiten. Die Einhüllende aller einzelnen Elementarwellen bildet
die neue Wellenfront.5
Zur Veranschaulichung ist jeder Ausgangspunkt der Elementarwelle in Abb.3.2 rot markiert.
Abb. 3.4: Huygens’sches Prinzip am Spalt
Superposition von Wellen
Wellen überlagern sich ungestört, wobei sich die resultierende Welle durch Addition der
Auslenkungen an jedem einzelnen Punkt und zu jeder einzelnen Zeit ergibt.6
Dieses Prinzip ist der Grund für jede Art von gleichzeitiger Kommunikation z. B. dafür, dass
sich mehrere Menschen in einem Raum gleichzeitig unterhalten können, weil die Wellenzüge
sich gegenseitig nicht stören, d. h. die Summe der Auslenkungen kann von unserem Gehirn
beim Hörvorgang in einzelne Komponenten zerlegt werden. Superposition ist also reversibel
und wirkt nicht destruktiv auf das Signal und seinen Informationsgehalt.
Mathematisch wollen wir das Beispiel zweier Wellen betrachten, die, bei gleicher Amplitude
und keinem Gangunterschied, leicht verschiedene Frequenzen haben, also:
x
ξ1 (t, x) = ξ0 sin 2π f1 t −
λ1
x
und ξ2 (t, x) = ξ0 sin 2π f2 t −
λ2
Berechnet man die resultierende Welle als ξres (t, x) = ξ1 (t, x) + ξ2 (t x), ergibt sich nach
dem Additionstheorem:
"
#
"
λ2 − λ1
λ2 + λ1
ξres (t, x) = 2ξ0 cos π (f1 − f2 ) t −
x · sin π (f1 + f2 ) t −
x
λ1 λ2
λ1 λ2
4
5
6
Christiaan Huygens: *14. April 1629; †8. Juli 1695
[Lüd08]
[Lüd08]
#
9
3 Theoretischer Teil
Wenn die Frequenzen f1 und f2 (und damit auch die Wellenlängen λ1 und λ2 ) dicht
beieinander liegen, können wir statt λ1 λ2 den Ausdruck (λ1 )2 sowie f1 + f2 = 2f1 und
λ1 + λ2 = 2λ2 schreiben, daraus folgt:
"
#
∆λ
x
ξres (t) = 2ξ0 cos π (∆f ) · t −
x · sin 2π f1 · t −
2
(λ1 )
λ1
Schalldruck p
Schalldruck p
Der zweite Faktor, der sich aus dem Kosinusglied zusammensetzt, wird ,wegen dem geringen
Unterschied zwischen den Frequenzen und Wellenlängen, sehr klein. Er bewirkt ein langsames
B
An- und Abschwellen der Lautstärke
(langsam veränderliche Amplitudenhüllkurve). Der
letzte Faktor, der aus dem Sinusglied besteht, beschreibt Frequenz und Wellenlänge der
resultierenden Welle.
Interferenz
Schalldruck p
Schalldruck p
Interferenz ist ein Spezialfall der Addition von Wellen, wobei Wellen der gleichen Wellenlänge
addiert werden. Man unterscheidet zwischen konstruktiver und destruktiver Interferenz7 .
Sind beide Wellenzüge in Phase, ergibt das eine Verstärkung der Welle, bei einem Phasenunterschied von λ2 (oder ungeradzahligen Vielfachen) kommt eine Abschwächung oder bei
gleicher Amplitude sogar völlige Auslöschung zustande (siehe Abb. 3.5). Anschaulich lässt
sich die Auslöschung damit erklären, dass Wellenberge und Wellentäler zusammen fallen.
B
Schalldruck p
Schalldruck p
A
Abb. 3.5: Konstruktive Interferenz (links) und destruktive Interferenz (rechts)
Hier wird destruktive bzw. konstruktive Interferenz nicht nur für die Grenzfälle der vollständigen
Auslöschung bzw. Verdopplung der Amplituden verwendet; sondern auch für Abschwächung und
Verstärkung.
halldruck p
7
10
3 Theoretischer Teil
Stehende Wellen
Wenn zwei gleiche Wellen in entgegengesetzte Richtungen, laufen überlagern sie sich zu
einer Welle mit gleicher Wellenlänge, aber zeitunabhängiger Position im Raum. Solche
stehenden Wellen weisen Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche in Abständen von λ2
auf. Verfolgt man die Schwingungen der stehenden Welle zeitlich, so findet man, dass in
Zeitabständen von T2 die Wellenerscheinung ganz aufgehoben ist. Dazwischen liegen jeweils
die maximalen Auslenkungen, die abwechselnd nach oben und nach unten gerichtet sind.
Nachfolgend sollen obige Aussagen am Beispiel zweier Longitudinalwellen in Luft auch
mathematisch gezeigt werden:
ξ1 (t, ~x) = ξ0 sin ωt − ~k · ~x und ξ2 (t, ~x) = ξ0 sin ωt + ~k · ~x
mit k =
2π
λ
als Wellenzahl.
Durch Addition nach dem Superpositionsprinzip erhalten wir:
ξres (t, ~x) = 2 ξ0 cos ~k · ~x · sin ωt
(3.3)
als Gleichung einer stehenden Welle, diese ist zeitlich und räumlich periodisch. An dem
Ausdruck cos ~k · ~x = cos 2π λx sieht man, dass die Auslenkung an den Positionen ~x einen
Knoten hat für alle |~x|, die ungeradzahlige Vielfache von 14 λ sind. Schwingungsbäuche bilden
sich immer bei Vielfachen von 12 λ aus.
Bildet man nun durch Differentiation von Glg 3.2 die Geschwindigkeit der Auslenkung der
Luftteilchen (Schnelle), ergibt sich:
dξ
= 2 ω ξ0 cos ~k · ~x · cos ωt
dt
(3.4)
An dieser Gleichung erkennen wir, dass es auch Bäuche und Knoten der Schnelle gibt, die
an denselben Positionen wie die Bäuche und Knoten der Auslenkung liegen.
Als nächsten Schritt wollen wir die Verteilung des Drucks untersuchen, dazu nutzen wir die
Proportionalität zwischen dem Druck einer in x-Richtung fortschreitenden Longitudinalwelle
dξ
und der örtlichen Veränderung der Verschiebung, also p ∼ dx
. Denn je größer die Verschiebungsänderung, desto größer ist die Verdichtung, und somit der Druck. Durch Differentiation
von Glg 3.2 nach x erhält man:
p∼
dξ
= −2 k ξ0 sin ~k · ~x · sin ωt
dx
(3.5)
11
3 Theoretischer Teil
Auch die Druckverteilung hat Bäuche und Knoten, jedoch fallen die Knoten des Drucks mit
den Bäuchen der Bewegung (sowie der Schnelle) zusammen und umgekehrt. Gegeneinander
sind sie also um 14 λ verschoben. Nach einer halben Periode wird aus einer Verdünnung
(Druckminimum) eine Verdichtung (Druckmaximum).
Abstandsgesetz
Für einen punktförmigen Sender (Strahler), der Kugelwellen aussendet, nimmt die Intensität
nach dem Abstandsgesetz auch ( r12 Gesetz genannt) ab. Die von der Welle transportierte
Energie muss sich auf einer Kugelfläche verteilen und ergibt so die Intensität I:
I=
E
wobei A = 4πr2 und E = const
A
Abb. 3.6: Abstandsgesetz
Das führt z. B. dazu, dass bei Open Air Konzerten viel höhere Verstärkungsleistung bereitgestellt werden muss, als in Konzertsälen oder Hallen, bei denen die Intensität aufgrund von
Reflexionen an den Wänden nicht so stark abnimmt.
Vielleicht sagte der Komponist Hector Berlioz8 aus diesem Grund: „Musik im Freien gibt es
nicht”.
8
*11. Dezember 1803; †8. März 1869
3 Theoretischer Teil
12
Reflexion
Bei der Reflexion einer ebenen Welle an einer ebenen Wand ist der Reflexionswinkel gleich
dem Einfallswinkel.9
Das Reflexionsgesetz kann man aus dem Huygens’schen Prinzip herleiten, indem man
jeden Auftreffpunkt einer schräg einlaufenden Welle als Ausgangspunkt einer Elementarwelle
ansieht. Diese Elementarwellen, die sich nacheinander ausbilden, überlagern sich wieder zu
einer ebenen Wellenfront, die gerade denselben Winkel mit dem Lot einschließt wie die
einlaufende Welle.
Die reflektierte Welle ist immer schwächer als die einlaufende, da ein Teil der Energie von
der reflektierenden Oberfläche absorbiert wird.
Ist die Oberfläche der Wand rau, also versehen mit Unebenheiten in der Größenordnung der
Wellenlänge, kommt es zu einer diffusen (ungeordneten) Reflexion.
Brechung
Fällt eine ebene Welle auf eine ebene Grenzfläche, wird sie beim Übergang von dem einen
in das andere Medium von ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkt. Dabei ist das Verhältnis aus dem Sinus des Einfallswinkels und dem Sinus des Brechungswinkels gleich dem
Verhältnis aus den Ausbreitungsgeschwindigkeiten der beiden Medien.10
Die Abwärts-Brechung von Schallwellen im
Freien wird durch eine inverse Temperaturschichtung bewirkt. Das bedeutet in Bodennähe liegt kältere Luft, was zu einer geringeren
Schallgeschwindigkeit führt.
Abb. 3.7: Abwärts-Brechung
Dieses Phänomen erklärt, weshalb man in Winternächten (bei Bodenfrost) über größere
Entfernungen hören kann.
9
10
[Lüd08]
[Lüd08] S.514
3 Theoretischer Teil
13
Akustik befasst sich ausschließlich mit Schallwellen, d. h. deren Entstehung, Ausbreitung
und Wahrnehmung. Wobei die Wellenausbreitung durch Schwingungen der Luftteilchen
zustande kommt. Alle obengenannten Aussagen sind auch auf Schallwellen zu beziehen.
Nachfolgende Abbildung aus „Einführung in die Akustik” von [Bor89] zeigt die hörbaren
Frequenzen und Intensitäten, mit denen sich die Akustik befasst.11
Abb. 3.8: Gesamter hörbarer Frequenz- und Druckbereich der Akustik
11
Die dB Skalierung der Intensitäten wird unter Kap. 3.2.1 erläutert.
14
3 Theoretischer Teil
3.2 Zentrale Größen der Akustik
Es ist zunächst grundlegend zwischen physikalischen Variablen und deren Wahrnehmung
(Variable der Sinneswahrnehmung) zu unterscheiden. Auch wenn Akustik beide Gesichtspunkte umfasst, wollen wir zuerst physikalische Messgrößen einführen und später genauer
auf deren Wahrnehmung eingehen.
physikalische Variable
Variable der Sinneswahrnehmung
Intensität
Lautstärke
Frequenz
Tonhöhe
Wellenform
Klangfarbe
3.2.1 Schallfeldgrößen
Wie schon im Abschnitt „Stehende Welle” erwähnt, kann12 eine Schallwelle durch die drei
Größen Schallauslenkung ξ, Schallschnelle v, und Schalldruck p beschrieben werden.
Da es sich bei Wellen um räumlich propagierende Schwingungen handelt, schwanken diese
Größen um einen festen Wert (bei der Auslenkung und der Schnelle ist dieser Wert null):
ξ (~x, t) = ξ0 sin ωt − ~k · ~x
v (t) =
(3.6)
dξ
= ξ0 ω cos ωt − ~k · ~x = v0 cos ωt − ~k · ~x
dt
(3.7)
2
Den Schalldruck erhält man mittels der Newton’schen Bewegungsgleichung ρ ddt 2ξ = VF mit ρ
als Dichte, F als Betrag der Kraft und V als Volumen. Es ist aber in dem Fall der ebenen
Schallwelle die Kraft pro Volumen gerade das Druckgefälle in Ausbreitungsrichtung; das
führt zu:
d 2ξ
dp
ρ 2 =−
(3.8)
dt
dx
Durch nochmalige Differentiation von Glg 3.5 und und Einsetzen in Glg 3.7 folgt:
ρ
12
d 2ξ
2
~k · ~x = − dp
=
ξ
ρ
ω
sin
ωt
−
0
dt 2
dx
Alternativ kann man, statt der Schallauslenkung ξ, die Änderung der Dichte betrachten.
(3.9)
15
3 Theoretischer Teil
Die Abhängigkeit des Druckes von Ort und Zeit erhalten wir nun durch Integration13 nach x:
p = const + ξ0 ρ
ω2
~x
cos ωt − ~k · ~x = pL + ξo ρ ωc cos ωt − k·~
k
Dabei ist pL der Luftdruck, um den herum der Schalldruck schwankt und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Somit verwendet man zur Beschreibung der Schallwelle den
Schalldruck ∆p:
∆p = ξ0 ρ ωc cos ωt − ~k · ~x
(3.10)
Wir können die Amplituden der bisherigen Schallfeldgrößen zusammenfassend darstellen:
Auslenkungsamplitude
Schnellenamplitude
Druckamplitude
ξ0
v0 = ξ0 · ω
∆p0 = ξ0 · ρ ωc = v0 · ρ c
Für die physikalische Beschreibung der Schallwelle, die zeit- und ortsabhängig ist, benötigt
man eben gerade zwei der drei aufgeführten Größen. Üblicherweise verwendet man die
Schallschnelle und den Schalldruck.
Die in der Natur auftretenden Druckamplituden erstrecken sich über viele Größenordnungen,
so liegen z. B beim Menschen sechs Größenordnungen zwischen der Hörschwelle und der
Schmerzgrenze. Um solche Verhältnisse sinnvoll und praktikabel zu beschreiben wurde der
Schalldruckpegel Lp in dB definiert, der eine logarithmische Darstellung von Amplitudenverhältnissen ist:
LP
∆prms
= 10 · log10
dB
(2 · 10−5 P a)
!2
= 20 · log10
∆prms
2 · 10−5 P a
(3.11)
dabei ist ∆prms der Effektivwert der Druckschwankung, er wird gebildet als:
∆prms =
q
1
T
RT
0
∆p(t)2 dt .
Zusätzlich ist 2 · 10−5 P a ein international festgelegter Referenzdruck, der ungefähr der
Hörschwelle entspricht.
Wie man die dB Skala in eine wahrnehmbare Lautstärke übertragen kann wird unter 3.6.4
behandelt.
Folgende Tabelle14 stellt die menschlich relevanten Grenzwerte der Schalldrücke, Schallschnellen und Auslenkungen (ξmax berechnet bei 1000 Hz) dar:
13
14
mit ωk = 2π
2π f · λ = c
aus [Lüd08]
16
3 Theoretischer Teil
Lp
Hörschwelle
0 dB
Schmerzgrenze
120 dB
∆prms
vmax
2 · 10−10 bar 6,93 · 10−8
0,2 · 10−3 bar
ξmax
m
s
1,1 · 10−11 m
0,063 ms
1,1 · 10−5 m
Tab. 3.1: Schalldrücke und Schallschnellen
Folgende Tabelle ist aus [Hal08] entnommen und stellt angenäherte Schalldruckpegel für
Umweltgeräusche mit Reaktionen zusammen:
Schallquelle
Schallpegel / dB
Intensität /
Düsentriebwerk in 10 m
Start eines Jets in 500 m
Rock-Konzert
Maschinenhalle
U-Bahn
Fabrik
Stadtverkehr
Leise Unterhaltung
Leises Auto-Innere
Bibliothek
Leerer Konzertsaal
Flüstern in 1m Entfernung
Fall einer Stecknadel
150
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
103
1
10−1
10−2
10−3
10−4
10−5
10−6
10−7
10−8
10−9
10−10
10−11
10−12
W
m2
Reaktion
unerträglich
schmerzhaft
für Musik &
Sprache
unhörbar
Tab. 3.2: Schallpegel verschiedener Umweltgeräusche
Eine weitere zentrale Schallfeldgröße ergibt sich in Analogie zum Ohm’schen Gesetz der
Elektrizitätslehre: R = UI aus dem Verhältnis von Druckamplitude und Schnellenamplitude.
Diese Größe wird daher Schallwiderstand oder Impedanz genannt:
Z=
∆p0
= ρc
v0
(3.12)
Jedes Medium hat seine eigene Impedanz. Wenn nun eine Welle aus einem Medium in ein
Anderes übergeht, entscheiden die Werte der Impedanzen, ob Transmission oder Reflektion
erfolgt. Das führt auch auf die Frage, wie groß die Intensitätsverluste beim Abstrahlen
einer Schallwelle sind. Dabei ist das Ziel eine optimale Energieübertragung, was dazu führt,
dass eine Impedanzanpassung zwischen schwingendem System und umgebendem Medium
erfolgen muss.
17
3 Theoretischer Teil
Die pro Zeit übertragene Energie ist gleich dem Skalarprodukt F~ · ~v , wobei F~ die Kraft ist,
mit der das schwingende System auf das Medium wirkt, und ~v die Geschwindigkeit mit der
das Medium bewegt wird. Im Folgenden oszillieren F~ und ~v mit den Amplituden F0 und v0 .
Die mittlere Strahlungsleistung des Senders ergibt sich nun als:
1
P̄ = F~ · ~v = F0 · v0
2
Zusätzlich ist die Intensität gerade die pro Fläche transportierte Leistung der Schallwelle:
P̄
und F0 = A · ∆p0
A
Dabei wird die Vereinfachung gemacht, dass die Welle von einem Sender mit der Fläche A
abgestrahlt wird.
I=
1
1 ∆p20
1
I = ρ c v02 =
= ∆p0 v0
2
2 ρc
2
Diese Gleichung stellen wir nach dem Schalldruck um und erhalten:
∆p0 =
2I
v0
Eine optimale Impedanzanpassung liegt nun vor, wenn gilt:
Z=
F0
2I
∆p0
=
= 2 = ρc
v0
A · ~v0
v0
(3.13)
Das bedeutet eine besonders gute Impedanzanpassung liegt vor, wenn das schwingende
System aus dem gleichen Material besteht wie das umgebende Medium. Aus dieser Tatsache
heraus lässt sich die große Schallabstrahlung einer schwingenden Luftsäule gegenüber anderen
Schallsendern erklären. Deshalb gehören Blasinstrumente eher zu den lauteren Instrumenten.
3.2.2 Schallenergiegrößen
• Schallenergie
Die durch den Schall transportierte Energie setzt sich aus einem potentiellen und einem
kinetischen Anteil zusammen. Der kinetische Anteil erklärt sich daraus, dass die Schallschnelle
ein Volumenelement der Luftteilchen beschleunigt und ihm kinetische Energie zuführt.
Deshalb ist die Schallschnelle die zentrale Größe für den kinetischen Term.
18
3 Theoretischer Teil
Der potentielle Anteil kommt aus der Kompression des Volumenelements der Luftteilchen
zustande, dabei geschieht eine Änderung der inneren Energie durch den Schalldruck. Die
Summe aus beiden Anteilen bleibt erhalten :
W = Wpot + Wkin =
Z
V
Z
∆p20
ρv02
dV
dV
+
2ρ c2
V 2
(3.14)
Dabei ergibt sich der Ausdruck für die potentielle Energie15 aus:
dEInnerer = T dS − pdV
(3.15)
Der kinetische Anteil kommt aus:
Ekin =
1
1
mv 2 = ρv02 · V
2
2
(3.16)
Die Schallintensität I bezeichnet die pro Fläche und Zeit transportierte Schallenergie und
W
wird in m
2 angegeben :
ESchall
I=
(3.17)
A·t
Als wichtige Kenngröße von Schallquellen gilt die Schallleistung P , welche die insgesamt
abgestrahlte Energie pro Zeit angibt. Nachfolgende Tabelle aus [Lüd08]16 enthält einige
Schallquellen mit zugehöriger Schallleistung:
Schallquelle
P / Watt
normales Gespräch
≈ 7 · 10−6
Höchstleistung der menschlichen Stimme ≈ 2 · 10−3
Geige (fortissimo)
≈ 1 · 10−3
Flügel (fortissimo)
≈ 2 · 10−1
Trompete (fortissimo)
≈ 3 · 10−1
Orgel (fortissimo)
≈ 103
Lautsprecher (bis 1 kHz)
bis104
Tab. 3.3: Schallleistung einiger Schallquellen
Um die mittlere Energie pro Volumen zu erhalten, führt man die Energiedichte oder
Schalldichte ein, die gerade der Quotient aus Intensität und Schallgeschwindigkeit ist:
ρE =
15
16
I
1
1 ∆p20
= ρ v02 =
c
2
2 ρ c2
Die Herleitung der potentiellen Energie aus der inneren Energie ist im Anhang aufgeführt.
Tab.14.3
(3.18)
19
3 Theoretischer Teil
Abschließend ist es wichtig den Zusammenhang zwischen Schallfeldgrößen und Schallenergiegrößen klar darzustellen. Schallenergiegrößen sind die Ursache und Schallfeldgrößen sind die
Wirkung (diese Unterscheidung ist bei vielen Phänomenen der Physik sinnvoll). Auch wenn
das Ursache - Wirkung - Prinzip nicht bei allen Phänomenen und Experimenten der Physik
ein tragfähiges Konzept ist, hilft es doch den Zusammenhang zwischen Schallfeldgrößen
und Schallenergiegrößen begreifbar zu machen.
Abb. 3.9: Ursache und Wirkung
3 Theoretischer Teil
20
3.3 Schwingende Saite vs. schwingende Luftsäule
Der folgende Abschnitt befasst sich mit den zentralen Experimenten dieses Schülerkurses.
Prinzipiell stellt sich die Frage mit welcher experimentellen Grundlage man einen Schülerkurs
zur Akustik gestalten sollte. Die Bedingungen an ein solches Experiment sind: Einfachheit,
Realisierbarkeit und Erweiterbarkeit.
Einfachheit bezieht sich darauf, dass ein Experiment überschaubar, fundamental und auch
für die Schüler durchführbar sein muss, denn Demonstrationsexperimente des Lehrers können
nicht zu einer so hohen Motivation wie Schülerexperimente führen.
Realisierbarkeit spricht davon, dass man bei einem Experiment Kosten und Nutzen abwägen,
wie auch den zeitlichen Umfang einer Unterrichtseinheit berücksichtigen sollte. Dabei ist im
Blick zu halten, dass man an gut gewählten Beispielen einen Großteil der Lernziele erarbeiten
kann, was wiederum dazu führt, dass sich ein Schüler aufgrund eines Schlüsselexperiments
den ganzen Inhalt einer Lerneinheit behalten kann.
Erweiterbarkeit, so wie es hier verwendet wird, deutet darauf, dass ein Experiment vielerlei
Variationen und thematische Vertiefungen zulässt. Diese Eigenschaft des Experiments
ermöglicht es auch den Unterricht leistungsdifferenziert und interessengeleitet zu gestalten.
Das Kriterium der Einfachheit fordert eindimensionale Probleme gegenüber mehrdimensionalen Problemen vorzuziehen, was im Falle von schwingenden Körpern auf zwei Alternativen
führt:
• die schwingende Saite
• die schwingende Luftsäule (in einem engen Rohr)
Beide Möglichkeiten Klänge oder Töne zu erzeugen beruhen auf dem Prinzip, das im
Abschnitt 3.1 diskutiert wurde. Es bilden sich dabei Eigenschwingungen aus, deren Frequenzen
durch die Länge des Schwingers festgelegt sind.
3.3.1 Eigenschwingungen der Saite
Eine Saite ist ein Stab, der aufgrund seiner kleinen Querschnittsfläche keinen Widerstand
gegen Verbiegung aufweist, diese Näherung ist bei dünnen Metallsaiten und Darmsaiten
erfüllt. Um nun eine Saite in Schwingungen versetzen zu können muss sie, zwischen zwei
festen Punkten, durch äußere Kräfte in Spannung versetzt werden. Der Abstand der beiden
festen Punkte legt die Länge der Saite fest. Dieser Aufbau ist im Monochord realisiert, wobei
die eingespannte Saite über einem Resonanzkasten schwingt.
21
3 Theoretischer Teil
Monochord aus [Joh09]
Lenkt man nun die Saite aus ihrer Ruhelage aus, wird sie, nach Loslassen, transversale
Schwingungen ausführen. Die stehende Welle kommt dabei dadurch zu Stande, dass die
transversale Schwingung am Endpunkt der Saite reflektiert wird, was natürlich bedeutet,
dass schwingende Saiten immer Knoten an beiden Enden haben müssen. Die einfachste
Schwingung mit der die Saite angeregt sein kann, ist die Grundschwingung bei der zwischen
den beiden Knoten ein Schwingungsbauch vorliegt. Der Zusammenhang zwischen Wellenlänge
λ0 und Länge der Saite ist für die Grundschwingung:
λ0 = 2 l
(3.19)
Aus diesem einfachen Zusammenhang kann man, bei gegebener Frequenz (die Frequenzmessung erfolgt über ein Mikrofon per Computer), die Schallgeschwindigkeit der Transversalwelle
auf der Saite im Schülerexperiment bestimmen. Zusätzlich gilt für die Frequenz:
1
f =
2l
s
F
,
A·ρ
(3.20)
dabei ist der Ausdruck in der Wurzel gerade die Wellengeschwindigkeit.
Das führt zu Schülerexperimenten bei denen man die Saite durch eine Masse spannen kann.
Die Masse muss dabei an einer Umlenkrolle hängen; auf diese Weise kann bei gegebenem A
) bestimmt werden.
die Liniendichte ρ (in kg
m
Die Wellenlänge der Transversalwelle auf der Saite ist zum einen über die Länge, zum
anderen über die Kraft und Masse der Saite bestimmt.
Folgende Übersicht der Eigenschwingungen einer Saite ist entnommen aus [Lüd08]:
Es sei darauf hingewiesen, dass man eine
unterschiedliche Zählung eingeführt hat
zwischen Eigenschwingungen und Oberschwingungen. Die Zählung der Eigenschwingungen kann man direkt in Verbindung bringen mit dem Zahlenverhältnis zur
Grundfrequenz. Die Zählung der Obertonschwingungen (beginnend mit der Grundschwingung) kann man direkt in Verbindung bringen mit der Anzahl der Knoten
auf der Länge der Saite.
Abb. 3.10: a) - e): Grundschwingung
4.Oberschwingung
bis
22
3 Theoretischer Teil
Folgende Tabelle soll dabei eine Übersicht verschaffen:
1. Eigenschwingung
2. Eigenschwingung
3. Eigenschwingung
Grundschwingung
1. Oberschwingung
2. Oberschwingung
0 Knoten
1 Knoten
2 Knoten
...
...
...
f0
2 · f0
3 · f0
...
Wie kann man nun Oberschwingungen an einer einfachen gespannten Saite im Experiment
erzeugen?
Dazu muss man an den entsprechenden Stellen auf der Saite durch leichtes Berühren (mit
dem Finger oder einem Gegenstand) einen Knoten erzeugen, d.h. bei der 1. Oberschwingung
muss man die Saite genau auf halber Länge leicht berühren und dabei anzupfen. Natürlich
muss man bei Oberschwingungen von höherer Ordnung genauer die Stellen der Knoten
„treffen”. Einige Knoten fallen dabei auch zusammen, z. B. der mittlere Knoten aller ungeraden
Oberschwingungen. Das bewirkt ein Mitschwingen der anderen Oberschwingungen, die an
derselben Stelle einen Knoten haben. Es empfiehlt sich daher auch die Stelle des Anzupfens
auf einen Schallschnelle Bauch zu setzen.
Es muss erwähnt werden, dass schwingende Saiten an sich nur einen sehr leisen Ton
abstrahlen, denn es kann nur die Luft entlang der Saite zum Schwingen angeregt werden.
Das ist aber, bei der Forderung nach dünnen Saiten, eine umso schlechtere Anregung.
Zusätzlich löschen sich die Schwingungen der Vorder- und Rückseite der Saite gegenseitig
aus, da sie um 180° phasenverschoben sind und der dünne Saitendurchmesser nur einen ganz
geringen Gangunterschied der beiden Schwingungsteile bewirkt. Um die Schallabstrahlung
zu verbessern, wird die Saite auf einem Resonanzkasten aufgespannt, dieser hat aufgrund
der größeren Flächen eine höhere Luftanregung zur Folge.
Als Fazit zu diesem Experiment dient folgende Tabelle:
Vorteile des Experiments
Nachteile des Experiments
grundsätzlich einfache Bedienung
Oberschwingungen zu erzeugen benötigt
Geschick / Übung
schwache Intensitäten der Schallwelle →
Notwendigkeit einer Verstärkung
Resonanzkasten kann durch seine
Eigenschwingungen bestimmte Frequenzen
verstärken und andere Anteile somit
übertönen
fast keine Abweichungen von (bei dünnen
Saiten)
einfache Wellengeschwindigkeitsmessung
möglich, auch erweiterbar auf andere
relevante Größen nach Glg 3.3.2
Verständnis von Oberschwingungen erlaubt
den direkten Zugang zu Intervallen und
Tonleitern
Tab. 3.4: Fazit zum Experiment „schwingende Saite”
3 Theoretischer Teil
23
Die Übersicht zeigt auf warum schon seit dem Altertum die schwingende Saite in Form eines
Monochords das zentrale Instrument für akustische Untersuchungen war.
3.3.2 Eigenschwingungen der Luftsäule
Wir betrachten schwingende Luftsäulen in kreisrunden Rohren, wobei die Querschnittsfläche
prinzipiell keinen Unterschied macht.
Anders als bei der Transversalschwingung einer Saite, handelt es sich bei den Schwingungen
einer Luftsäule um Longitudinalwellen. Auch die bei der Saite geforderte Randbedingung,
dass an beiden Enden Knoten der stehenden Welle sein müssen, ist bei schwingenden
Luftsäulen nicht die einzig mögliche Variante. Wovon hängen nun die Randbedingungen an
den Enden der stehenden Welle ab?
Experimentell findet man17 :
• Bei offenen Enden hat die Schallschnelle am Ende einen Schwingungsbauch
• Bei geschlossenen Enden hat sie einen Knoten.
Diese Tatsachen sind auch anschaulich nachvollziehbar:
• Die Luftteilchen, die am offenen Ende einer Röhre in Schwingung versetzt werden,
können ihre Schwingung an Luftteilchen außerhalb der Röhre weitergeben und daher
ist ihre Auslenkungsgeschwindigkeit (Schallschnelle) maximal.
• Die Luftteilchen an dem geschlossenen Ende geben ihren Impuls an die Rohrabschlusswandung ab, somit wird ihre Auslenkungsgeschwindigkeit (Schallschnelle) null.
Beidseitig geschlossene Röhren haben also dieselben Schwingungsmoden wie Saiten, in
der Verwendung eignen sie sich aber kaum, da keine Schallabstrahlung vom Rohrinneren
nach außen erfolgen kann. Zudem ist es auch schwer, die Anregung in einer beidseitig
geschlossenen Röhre zu realisieren.
Beidseitig offene Röhren
Beidseitig offene Röhren haben gerade umgekehrte Schwingungsmoden wie Saiten. Unter
den Instrumenten sind die Blechblasinstrumente als Beispiel von beidseitig offenen Rohren zu
nennen. Diese Instrumentenfamilie klingt sehr laut, da die in der Röhre angeregte Schwingung
17
Eine Möglichkeit das zu untersuchen ist die Kundtsche Röhre, mehr dazu später.
24
3 Theoretischer Teil
ohne Verluste auch auf die Schallwelle im Raum übertragen werden kann. Also wird keine
Impedanzanpassung zwischen den beiden Schwingungen (innerhalb und außerhalb) benötigt.
Für ein Schülerexperiment haben sich offene Rohre wegen der Schwierigkeit des Anblasens
nicht angeboten.
Abb. 3.11: Beidseitig offenes Rohr: (a) Grundschwingung, (b) und (c) ersten beiden
Oberschwingungen
In Abb. 3.8 ist, neben die anschauliche Darstellung der Dichteänderung in der Luftsäule, auch
der Verlauf der Schallschnelle eingezeichnet. Die Druckamplitude, die hier nicht verzeichnet
ist, hat gerade ihr Maximum bei den Nullstellen der Schallschnelle. Da die verschiedenen
Darstellungen (Druck und Schallschnelle) für Schüler verwechselungsanfällig sind, ist es
anzuraten stark an der Unterscheidung zwischen Druck und Schallschnelle festzuhalten und
eine von beiden stärker zu betonen.
Einseitig offene Röhren
Diese Art von Röhren wird durch senkrechtes Anblasen der offenen Rohrseite angeregt. Alle
Schwingungsmoden, die für einseitig offene Röhren realisierbar sind, haben am geschlossenen
Ende einen Schallschnelle Knoten und am offenen Ende einen Schallschnelle Bauch. Das
führt dazu, dass die Länge der Luftsäule genau 14 λ der Grundschwingung entspricht. Alle
Wellenlängen der Oberschwingungen sind gegeben durch:
λk =
4
l mit k = 0,1,2...
2k + 1
(3.21)
2k + 1
· c mit k = 0,1,2...
4l
(3.22)
Das führt auf eine Frequenz von:
fk =
3 Theoretischer Teil
25
Über diese Beziehung kann man bei gemessener Länge und Tonhöhe (Frequenz) die Schallgeschwindigkeit in Luft messen, als Erweiterung kann man die einseitig geschlossene Röhre
auch mit anderen Gasen befüllen und die Schallgeschwindigkeit darin messen.
Die Schwingungsmoden graphisch:
Abb. 3.12: Einseitig offenes Rohr: (a) Grundschwingung, (b) und (c) ersten beiden
Oberschwingungen
Das Anblasen dieser Röhren kann zwar auch von den Schülern direkt erfolgen, aber Unterschiede im Anblaswinkel verändern die Tonhöhe erheblich. Zudem sind für verschiedene
Oberschwingungen verschiedene Anblasgeschwindigkeiten erforderlich, was bei direktem
Anblasen auch zu Fehlern führen kann. Deshalb wird ein Anblasmechanismus mit Druckluft
verwendet, der diese Parameter fixiert.
Es stellt sich beim Berechnen der zu erwartenden Frequenz aus der Rohrlänge nach Glg 3.21
eine Diskrepanz zwischen Theorie und Experiment ein. Die gemessenen Frequenzen sind
systematisch kleiner als die theoretisch vorhergesagten, was zu der Vermutung führt, dass
die effektive Länge der Luftsäule größer ist als die tatsächliche Länge des Rohrs.
Wie oben erwähnt, kommen die stehenden Wellen in schwingenden Luftsäulen durch Reflexion
am Ende des Rohres zustande. Für eine vollständige Reflexion muss die Impedanz außerhalb
des Rohres null sein. Das führt zu einem Druckänderungsknoten an der Kante des Rohres.
Im realen Experiment aber liegt der Knoten des Druckes nicht genau auf der Höhe der Kante,
da die Impedanz der Luft außerhalb des Rohres nicht null ist. Ein Teil der Welle schwingt
noch in den Raumbereich vor dem Rohrende hinein, dieser Sachverhalt ist im Folgenden
skizziert.
26
3 Theoretischer Teil
Dadurch ist die effektive Rohrlänge um einen Längenunterschied ∆L länger. Dieser Längenunterschied wird in der Literatur Längenkorrektur (Endkorrektur) genannt.
Der prinzipielle Fehler, der sich hier zeigt, besteht darin, dass hier kein eindimensionaler
Schwingungskörper vorliegt, sondern eine zylindrische Luftsäule mit dem Radius ri , wobei
man sich mit zunehmendem Radius immer weiter von der eindimensionalen Grundannahme
entfernt. Anschaulich ist es klar, dass die stehende Welle umso weiter in den Raum hineinragt
je größer der Radius ist. So wird die Längenkorrektur abgeschätzt zu18 :
∆L = 0,6 · ri
(3.23)
Eine andere Abschätzung finden wir in [Lüd08]:
∆L =
1
π · ri
4
(3.24)
Eine eigene Bestimmung der Endkorrektur erfolgt im praktischen Teil durch Experimente in
der von uns benötigten Größenordnung, denn streng genommen ist auch die Längenkorrektur
frequenzabhängig.
Die Frequenz des entstehenden Tones ist durch die Resonanz bzw. stehende Welle im Rohr
zu erklären, aber wie kommt bei vertikalem Anblasen des einseitig offenen Rohres überhaupt
eine Schwingung zustande?
Dazu müssen wir genauer analysieren was an der Kante des Rohrs mit dem Luftstrahl
passiert:
Abb. 3.13: Entstehung eines Schneidetons an einer Kante
Wenn der Strahl durch leichte Turbulenz auf eine Seite der Kante trifft bewirkt er dort einen
höheren Druck. Der höhere Druck drängt andere Luftteilchen zur Seite und lenkt sie um in
eine Rückströmung. Diese Rückströmung trifft auf den Strahl im Bereich zwischen Mund
und Kante, und lenkt ihn auf die andere Seite der Kante aus.
18
Diese Abschätzung ist von Hall.
27
3 Theoretischer Teil
Dieser Mechanismus ist eine positive Rückkopplung (feedback), welche sowohl die einmal
erzeugte Schwingung aufrecht erhält, als auch eine bestimmte Schneidetonfrequenz einstellt.
Über diesen Mechanismus kann man begründen, wie es abhängig von der Anblasgeschwindigkeit zu Oberschwingungen kommen kann. Denn bei höheren Anblasgeschwindigkeiten
oszilliert die Richtung des Luftstroms häufiger zwischen Überströmen und Einströmen,
dadurch wird eine höhere Oberschwingung der, durch die Rohrlänge erzeugten, Resonanz
nötig.
Zusammenfassend ist die Anwendbarkeit des Experiments „schwingende Luftsäule” in
folgender Tabelle dargestellt:
Vorteile des Experiments
Nachteile des Experiments
grundsätzlich einfache Bedienung
nur 1-2 Oberschwingungen möglich
(belästigende Tonhöhen)
schwingende Luftsäule weniger anschaulich
als schwingende Saite
Theorie muss durch eine frequenzabhängige
Längenkorrektur angepasst werden
konstante Versuchsbedingungen durch
Anblasmechanismus
erweiterbar auf Schallgeschwindigkeiten
anderer, verfügbarer Gase (unter Berücksichtigung der notwendigen Korrekturen)
hohe Lautstärke durch gute
Schallabstrahlung, bzw. keine
Impedanzanpassung nötig
Keine direkte Hinführung zu Tonleitern und
Intervallen, da zu wenige Oberschwingungen
vorhanden sind
Tab. 3.5: Fazit zum Experiment „schwingende Luftsäule”
3 Theoretischer Teil
28
3.4 Tonleitern und Harmonie physikalisch gesehen
Dieser Abschnitt soll ein fächerverbindendes Element zwischen Musik und Physik sein. Dabei
sind folgende Fragen zentral:
• Wurden Intervalle19 und Tonleitern in der Musikgeschichte nur zufällig so gewählt,
wie sie bis heute in der abendländischen Kultur bekannt sind?
• Warum klingen für uns Menschen20 einige Intervalle angenehm (konsonant) und andere
unangenehm (dissonant)?
Überraschenderweise kann man diese Fragen anhand von einfachen Experimenten mit
stehenden Wellen beantworten. Schwingungen von Saiten und Luftsäulen, wie sie uns im
letzten Kapitel begegnet sind, können erklären, weshalb Verhältnisse kleiner, ganzer Zahlen
Grundlage für Frequenzverhältnisse von Intervallen wurden, und welche Intervalle dabei
konsonant sind.
3.4.1 Wie man aus Tönen Leitern baut ...
Zuerst muss man klar definieren, was wir unter einem Ton verstehen:
• In der Physik versteht man unter einem Ton einen Sinuston, der nur eine Frequenz hat.
Einen solchen Ton kann man mit natürlichen Instrumenten nicht erzeugen. Eine auf
einem natürlichen Instrument erzeugte Note enthält mehrere Sinustöne in spezifischen
Frequenzverhältnissen und Amplituden; diese gespielte Note wird vom Physiker Klang
genannt.
• In der Musik wird eine gespielte Note Ton genannt und ein Klang besteht aus mehreren
Noten, z. B. ein Dur Dreiklang, aus drei Noten.
Im Folgenden sind Töne im Sinne der Musik zu verstehen, da bei natürlichen Instrumenten
immer auch Oberschwingungen eines Grundtons mitschwingen. Die hörbare Tonhöhe wird
bei solchen Tönen durch den Grundton festgelegt21 .
Die Teiltonreihe
Spielt man nun auf einem Posthorn (Blasinstrument ohne Ventil oder Zug) einen Grundton
und die zugehörigen Obertöne, erklingt die harmonische Teiltonreihe:
19
20
21
Tonhöhenabstand
Hier gehen wir vom abendländischen Kulturkreis aus.
Dieser muss nicht einmal mitklingen, aber unser Gehirn denkt sich den Ton dazu der einer Oberschwingungsreihe zugrunde liegt, der sog. Differenzton.
29
3 Theoretischer Teil
Beginnend mit a = 110 Hz sind hier die
ersten 10 Teiltöne (Eigenschwingungen)
notiert. Der 7. Teilton entspricht nicht
der Notation, daher ist er als halbe Note
notiert.
Abb. 3.14: Teiltonreihe
Betrachtet man die absoluten Frequenzen und die Frequenzverhältnisse kommt man auf
folgende Tabelle:
Töne
A
a
a
e’
e’
a’
a’
cis”
cis”
e”
Frequenzen / Hz
110
220
220
330
330
440
440
550
550
660
Verhältnis
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
Intervalle
Oktave
Halbtöne
12
reine Quinte
8
reine Quarte
6
große Terz
5
kleine Terz
4
Tab. 3.6: Frequenzverhältnisse der Teiltonreihe
Die Einteilung der Intervalle in Halbtonschritte ist hier nur zur Orientierung angeführt, exakt
gleichwertige Halbtonschritte wurden erst mit der Entwickelung der „wohltemperierten Tonleiter”
definiert.
Schon im 6. Jhdt v. Ch. hat Pythagoras22 auf ähnliche Weise musikalische Untersuchungen
durchgeführt, wobei er mit einem Monochord experimentierte. Er hat durch Einschieben eines
Stegs bei den Positionen 12 L, 23 L und 34 L die oben erwähnten Intervalle der harmonischen
Teiltonreihe erzeugt. Wobei sich die Frequenzen gerade wie die Kehrwerte verhalten. Die
große Terz 54 L ist aber nicht in der pythagoräischen Stimmung enthalten.
Um von einer gegebenen Frequenz f1 zu einem neuen Ton im Abstand einer Quinte höher
zu gelangen, muss man eine Multiplikation des Verhältnisses mit der Frequenz durchführen:
f10 = 32 f1 . Eine Division führt auf einen neuen Ton eine Quinte tiefer als f1 .
Auf diese Weise können wir um einen Anfangston drei höhere und drei tiefere Töne bilden,
indem man sie mit dem Verhältnis der Quinte multipliziert und dividiert. Dann bringt man
sie alle in den Tonumfang einer Oktave, indem man Zahlen kleiner 1 verdoppelt und Zahlen
größer 2 halbiert, das führt zur pythagoräischen Tonleiter:
22
So ist es es überliefert, auch wenn man heute keine Schriften von ihm hat.
3 Theoretischer Teil
30
Wir erkennen aus den Quotienten der Nachbartöne, dass es zwei verschiedene Abstände zu
benachbarten Tönen gibt: Ganztonschritte mit dem Verhältnis 98 und Halbtonschritte mit
dem Verhältnis 256
243
Bei der Konstruktion einer Tonleiter, die für harmonische Musik z. B. Dur-Dreiklänge geeignet
ist, ergeben sich grundsätzliche Probleme. Dies soll an folgendem Beispiel verdeutlicht werden:
Beginnend mit c‘= 261,6 Hz konstruieren wir eine große Terz die keine Schwebungen haben
darf. Das entspricht einem 5:4 Verhältnis. Also e‘= 54 · 261,6 Hz = 327 Hz.
Konstruieren wir nun durch vier reine Quinten c‘- g‘- d“- a“- e“‘ und durch Herabsetzten um
4
e“‘
2 Oktaven ein e´ ergibt sich: e“‘ = 23 ·261,1 Hz = 1324,35 Hz und e‘ = 2·2
= 331,09 Hz
was zu einer Differenz von ca. 4,1 Hz führt.
Um solche Vergleiche zwischen Intervallen und Stimmungen einfacher zu handhaben wurde
eine international übliche Maßeinheit Cent (¢) eingeführt:
• Eine Oktave entspricht dabei genau 1200 ¢.
• Anstelle der Multiplikation von Verhältnissen mit Frequenzen tritt immer die Addition
der zugehörigen Cent-Zahlen.
Beginnen wir erneut bei c´ und bilden zweifach die große Terz (+386 ¢), um C-Dur und
E-Dur Dreiklänge spielen zu können, so erhalten wir: c´-e´-gis´ als 0 ¢ -386 ¢ -772 ¢.
Fordern wir jetzt auch die Möglichkeit As-Dur spielen zu können, muss as genau 386 ¢ unter
c´ liegen, also 3·386 ¢=1159 ¢ unter gis’. Somit haben wir zwischen gis´ und as´ einen
Unterschied von 41 ¢.
Auf der Klaviatur der heute üblichen Tasteninstrumente ist aber gis´ und as´ dieselbe
schwarze Taste zwischen g´ und a´.
31
3 Theoretischer Teil
Diese Widersprüche konnten dadurch gelöst werden, dass man die Intervalle (mit Ausnahme
der Oktave) nicht ganz rein stimmt und somit die Differenzen auf zwölf Halbtonschritte
verteilt. Diese Stimmung geht auf Andreas Werckmeister23 zurück und wird gleichschwebend
temperierte Stimmung genannt.
√
Dabei ist ein Halbtonschritt zur Frequenz f0 definiert als 12 2 · f0 .
Ton
C
D
E
F
G
A
H
C
gleichschwebend temperiert
0
200
400
500
700
900
1100
1200
pythagoräisch
0
204
408
498
702
906
1110
1200
Tab. 3.7: Intervalle verschiedener Tonleitern in Cent angegeben
23
1645-1706
32
3 Theoretischer Teil
3.4.2 Obertöne und Harmonielehre
Warum klingen einige Intervalle zusammen (als 2 oder 3-Klang) konsonant und andere
dissonant?
Erklärung von Dissonanz durch schwebende Obertöne
Wenn zwei musikalische Töne (im Gegensatz zu Sinustönen) auf einem oder mehreren
Instrumenten gespielt werden, klingen neben dem Grundton auch die Obertöne mit. Bei
einseitig geschlossenen Luftröhren klingen jeweils die ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz
mit und bei Saiten oder beidseitig offenen Röhren klingen alle Vielfachen der Grundfrequenz
mit.24 Aufgrund dieser Tatsache können wir uns die Frage nach dem Zusammenklang
verschiedener Intervalle mit Hilfe der Obertöne erklären.
• Die Quinte
Abb. 3.15: Obertöne eines Grundtons
Erklingen ein Grundton und seine Quinte, die ja
gerade ein Frequenzverhältnis von 32 zur Grundfrequenz hat, zusammen, so fallen jeweils der dritte
Oberton des Grundtons mit dem zweiten Oberton
der Quinte zusammen. Dieser Sachverhalt ist in
nebenstehender Abbildung durch die roten (Grundton) und blauen Linien (Quinte) dargestellt. Dieses
Zusammenfallen von Obertönen bewirkt nach dem
Superpositionsprinzip eine Verstärkung der betreffenden Obertöne. Eine andere Feststellung kann
bezüglich der Obertöne gemacht werden, die nicht
genau zusammenfallen: Sie sind in einem großen
Abstand voneinander über die Frequenzen verteilt.
Daher kann es zwischen den Obertönen nicht zu
Schwebungen kommen. Aufgrund dieser Eigenschaften ist das Intervall der Quinte nach der Oktave
(bei der gerade alle Obertöne zusammenfallen) das
harmonischste Intervall.
und seiner Quinte
24
Eine besondere Ausnahme bilden die Schlaginstrumente, bei denen im Allgemeinen überwiegend
Frequenzen mitklingen, die keine ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz sind, diese werden aber
im Rahmen dieser Arbeit nicht näher behandelt.
3 Theoretischer Teil
• Die Septime
33
Betrachtet man eine ähnliche Auftragung der Obertöne eines Grundtons mit seiner großen Septime,
fällt auf, dass keine Obertöne zusammenfallen25
und schon der 1. Oberton des Grundtons sehr nahe beim Septimton liegt. Das führt unmittelbar zu
einer Schwebung, welche sich im Laufe der Obertonreihe fortsetzt. Wegen dieser sogenannten Reibung
der Obertöne empfinden wir solche dissonanten Intervalle und Harmonien als spannungsgeladen und
unharmonisch. Musikalisch gesehen müsste man
die große Septime, die genau einen Halbton unter
der Oktave liegt, auflösen, indem man das Intervall
auf eine Oktave ausweitet. Das führt auch wieder
dazu, dass alle Obertöne zusammenfallen. In der
Harmonielehre der Musik nennt man einen solchen
Ton, der nach einer Auflösung verlangt Leitton.
Abb. 3.16: Obertöne eines Grundtons
und seiner Septime
25
Erst der 15. Oberton des Grundtons fällt mit dem 8. Oberton der Septime zusammen, was aber
klanglich gesehen keinen Einfluß hat, da die Intensitäten bei höheren Obertönen zu gering sind.
34
3 Theoretischer Teil
3.5 Fourieranalyse und Klangspektren
Jean Baptiste Fourier fand 1822 den Zusammenhang, dass jede periodische Funktion
g(t) = g(t + T ) als Summe von Sinusfunktionen geschrieben werden kann. Mit diesem
mathematischen Werkzeug können wir beliebige, auch nicht differenzierbare, Funktionen in
einzelne, differenzierbare Komponenten zerlegen.
g(t) =
∞
X
(3.25)
An · sin (n · ωt + ϕ)
n=0
Veranschaulicht kann man sich das Addieren zweier Sinusterme als Kreisbewegung in einer
Kreisbewegung vorstellen. Eine Veranschaulichung, wie sie in den Abbildungen 3.17 und 3.18
vorliegt, ist für Schüler von großem Nutzen. Auch das Zerlegen bestimmter Fourier-Reihen
in endliche Summen und das Ausrechnen einzelner Glieder ist notwendig, damit Schüler
diesen weitreichenden und abstrakten Formalismus verstehen lernen.
1.0
0.5
2
-2
4
6
-0.5
-1.0
Abb. 3.17: Projektion einer Sinusschwingung
1.5
1.0
0.5
2
-2
4
6
-0.5
-1.0
-1.5
Abb. 3.18: Prinzip der Fourieranalyse eines Signals aus zwei Sinusschwingungen
Auf diesem Wege können die verschiedensten Wellenformen erzeugt und analysiert werden.
Dabei ist bemerkenswert, dass dieser mathematische Ansatz auch in unserem Gehör realisiert ist und wir verschiedene Klänge deshalb verschieden wahrnehmen und interpretieren,
weil unser Gehör verschieden Komponenten mit verschiedenen Amplituden registriert. Die
Phasenbeziehung, die für das Wellenbild relevant ist, hat für verschiedene Klänge, sowie wir
sie hören, keine ausschlaggebende Relevanz ([Hal08] S.152).
Im Folgenden wollen wir die ersten Glieder der Rechteckfunktion darstellen:
35
3 Theoretischer Teil
g(t) =
∞
X
(
n=0
π
π
4 (−1)n
·
· sin 2n + 1) · t +
π 2n + 1
2
2
)
Mit den ersten zwei Gliedern:
1.0
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
-0.5
-1.0
Mit den ersten vier Gliedern:
1.0
0.5
-3
-2
-1
-0.5
-1.0
Mit den ersten 100 Gliedern:
1.0
0.5
-3
-2
-1
-0.5
-1.0
Anhand der obigen Plots kann man erkennen, wie wir bei zunehmendem n eine bessere
Annäherung an die Rechteckfunktion erhalten. Diesen Prozess können die Schüler nachvollziehen um zu lernen, was es heißt mit theoretisch unendlichen Summen zu arbeiten. Für die
Praxis kann man die Summe bei einer beliebige Anzahl von Gliedern abbrechen. Im Laufe
des Schülerkurses wird die Zerlegung von Klangereignissen von einem Computer geleistet,
die Schüler sollten aber das grundlegende Prinzip nachvollzogen haben.
Beispiel von Klangspektren und ihrer Interpretation:
Der Computer filtert einzelne Komponenten aus dem Signal heraus und trägt deren Amplitude
über die Frequenzen auf. Diese Methode, die schon vor den Zeiten der computergestützten
3 Theoretischer Teil
36
Analyse mithilfe mechanischer Resonatoren angewendet wurde, ist in folgender Abbildung
veranschaulicht:
Nun soll ein Beispiel für die Interpretation solcher Klangspektren gegeben werden. Dafür
wurde ein Sopransaxophon und eine Klarinette analysiert. Man muss sich darüber im klaren
sein, dass hierfür ein anhaltender Klang (musikalisch:Ton) erzeugt wurde, dessen spektrale
Verteilung durch den Mittelwert des gewählten Analysebereichs zustande kommt.
Abb. 3.19: Klangspektrum des Sopransaxophons
37
3 Theoretischer Teil
Abb. 3.20: Klangspektrum der Klarinette
Das Spektrum des Sopransaxophons ist sehr obertonreich, wobei alle Obertöne Vielfache
der Grundfrequenz sind. Auffällig ist, dass der erste Oberton um 12 dB intensiver ist
als der Grundton; zudem sind noch bei 15 kHz merkliche Obertöne nachweisbar. Diese
Beobachtungen aus dem Spektrum belegen den „scharfen” und „kernigen” Klang des
Saxophons. Physikalisch ist das Zustandekommen dieser Charakteristik durch die Bauweise
und den Anregungsprozess bei Rohrblattinstrumenten, wie Saxophon und Klarinette, zu
erklären.
Da Saxophon und Klarinette mit gleicher Anregung gespielt werden26 , ist auch der Klang
der Klarinette obertonreich. Der Unterschied besteht aber darin, dass nur ungeradzahlige
Vielfache der Grundfrequenz mitschwingen. Der größere Abstand zwischen den einzelnen
Komponenten des Klanges bewirkt einen „hohlen” und „dumpfen” Klang. Die Klarinette ist,
physikalisch gesehen, eine einseitig geschlossene Röhre, weshalb die geradzahligen Vielfachen
der Grundschwingung unterdrückt sind. Diese Tatsache kommt durch einen parallelen
Wandverlauf des Korpus zustande. Im Gegensatz dazu ist der Korpus des Saxophons konisch,
was es zu einer beidseitig offenen Luftröhre macht. Auf diese Weise klingen zwei Instrumente,
bei gleicher Anregung und gleicher Größe, aufgrund ihrer Wandung unterschiedlich. Dieser
Unterschied ist mit dem Modell der offenen und der geschlossenen Luftröhre erklärbar und
durch Klanganalysen zu messen.
Bei Kenntnis der Frequenzen und Intensitäten der Obertöne ist eine Klangsynthese durch
den Computer möglich, wobei es äußerst kompliziert ist die Einschwingvorgänge, sowie das
Abklingen realer Instrumente zu synthetisieren. Aus diesem Grund geht man in der AufnahmeTechnik den Weg des Samplings, bei dem ”echte” akustische Instrumente aufgezeichnet
und digitalisiert werden.
26
Meist werden Blättchen aus Schilfrohr verwendet, die ,an einem Mundstück angebracht, die Luftsäule
anregen.
38
3 Theoretischer Teil
3.6 Das Ohr aus biophysikalischer Sicht
Das Auge führt den Menschen in die Welt,
das Ohr führt die Welt in den Menschen.27
Dieser Abschnitt behandelt in kurzer Form das Ohr als menschliches Sinnesorgan und er ist
angelehnt an die Medizinphysik Vorlesung der TU Dortmund [Sut]. Auch alle Abbildungen
in diesem Kapitel sind der Vorlesung entnommen. Wir wollen uns hierbei nur um akustische
Gesichtspunkte kümmern, alle Prozesse der Signalübertragung und Verarbeitung lassen
wir unberücksichtigt. Auch die Anwesenheit des Gleichgewichtsorgans bleibt im Folgenden
unberücksichtigt.
Das Ohr ist ein Sinnesorgan mit unübertroffener Leistungsfähigkeit, technisch ist man
noch weit davon entfernt einen so sensiblen Wandler von mechanischen Schwingungen
in elektrische Impulse zu realisieren. Während unsere Augen etwa Wellenlängen von 400
nm bis 800 nm verarbeiten können (also etwa eine Oktave), hören wir Menschen einen
Frequenzbereich von 16 Hz bis 20 000 Hz oder als Wellenlänge 21,5 m bis 1,72 mm
(was etwa 10 Oktaven sind). Der Schalldruck an der Hörschwelle beträgt 2 · 10−5 P a und
bewirkt eine Amplitude des Trommelfells von nur etwa einem Atomdurchmesser 10−10 m .
Die Frequenzauflösung des Gehörs liegt im Frequenzbereich 500 Hz bis 10 kHz bei 0,5%.
Die Verarbeitung und Analyse der eingetragenen Signale in Sprache, Geräusche, einzelne
Stimmen und Klänge, die alle gleichzeitig und überlagert im Ohr eintreffen, ist bis heute
noch nicht ganz verstanden.
Dieser Abschnitt beleuchtet Aufbau, Schallübertragung und Funktionsweise des Ohrs, wobei
im Besonderen der Aufbau und die anatomischen Anteile der Funktionsweise fachübergreifend
mit der Biologie unterrichtet werden können.
3.6.1 Aufbau des Ohrs
Zuerst teilen wir das Ohr in verschiedene Bereiche ein: äußeres Ohr, Mittelohr und
Innenohr.
Das äußere Ohr besteht aus der Ohrmuschel und dem ca. 3 cm langen äußeren Gehörgang,
dieser schließt mit dem Trommelfell ab.
Das Mittelohr grenzt ans Trommelfell an und leitet den Schall vom Trommelfell über die
drei Gehörknöchelchen zum ovalen Fenster.
39
3 Theoretischer Teil
Das Innenohr ist im Knochen eingebettet und besteht aus der Cochlea (Schnecke). Diese
Position im Knochen schützt das Innenohr und ist durch die räumliche Nähe zum Gehirn
optimal.
Abb. 3.21: Anatomie des menschlichen Ohrs
Der Schneckengang ist mit einer Flüssigkeit gefüllt und macht, bei einer Länge von ca. 3 cm,
zweieinhalb Windungen. Der Schneckengang verjüngt sich zu seinem Ende hin und besteht
aus drei voneinander getrennten Räumen: die Vorhoftreppe die am ovalen Fenster beginnt
und bis zur Schneckenspitze läuft. Dort schließt sich die Paukentreppe an, die sich bis zum
runden Fenster erstreckt.
3.6.2 Schallleitung und Schallverstärkung
Die Ohrmuschel und der äußere Gehörgang dienen der Schallverstärkung und der richtungsabhängigen Filterung einlaufender Schallwellen. Dabei wird die Schallverstärkung im Gehörgang
durch den Trichtereffekt bewirkt.
Da die Schallwellen von Luft zu innerer Flüssigkeit übergehen müssen, findet im Mittelohr
unweigerlich eine Impedanzanpassung statt. Das geschieht, indem die Druckänderung im
Mittelohr angepasst wird und sich die Transmission der Intensität dadurch auf 40-60 %
erhöht.
40
3 Theoretischer Teil
Die Kraft außen ist: Fa = ∆pa AT mit AT als Fläche
des Trommelfells.
Die Kraft innen ist: Fi = ∆pi AF mit AF als Fläche
des ovalen Fensters.
Abb. 3.22: Impedanzerhöhung der Gehörknöchelchen
Die Gehörknöchelchen Hammer und Amboss setzen diese Kräfte nach dem Hebelgesetz
um, was die Impedanz, nach dem Momentegleichgewicht Fa · la = Fi · li , um einen Faktor
Fa la
· li ≈ 22 erhöht. Ohne diese Anpassung würde die Transmission bei ca. 1%28 liegen.
Fi
3.6.3 Funktionsweise des Innenohrs
Der eigentliche Hörprozess findet im Innenohr statt, dabei werden die mechanischen Schwingungen in Nervenimpulse umgewandelt. Der Schneckenkanal ist ca. 30 mm lang und wird
der Länge nach durch die Basilarmembran in zwei Hälften geteilt. Die obere Hälfte beginnt
beim ovalen Fenster (auf dem der Steigbügel sitzt) und verläuft bis zur Schneckenspitze,
die untere Hälfte verläuft von der Spitze zum runden Fenster. Beide Hälften sind durch das
Schneckenloch miteinander verbunden. Der Schneckenkanal verjüngt sich von 0,9 mm auf
0,3 mm in der Spitze, dabei verändert die Basilarmembran ihre mechanischen Eigenschaften
kontinuierlich und nimmt an Steifigkeit ab.
Die von dem ovalen Fenster kommenden Vibrationen versetzen die Flüssigkeit und so auch
die Basilarmembran in erzwungene Schwingungen, dabei bewirkt die Membran am runden
Fenster einen Druckausgleich. Weil aber die Basilarmembran an jedem Ort eine andere
Steifigkeit besitzt, wird sie je nach Schallfrequenz an verschiedenen Orten x mit maximaler
Amplitude angeregt. Das führt dazu, dass hohe Frequenzen am Anfang der Schnecke liegen
und tiefe Frequenzen an der Schneckenspitze.
28
Das lässt sich aus den Impedanzen herleiten mit T = 4
ZL ZF
(ZL+ZF )
2
.
3 Theoretischer Teil
41
Abb. 3.23: Prinzip der Frequenzauflösung in der Basilarmembran
Die Basilarmembran enthält das Cortische Organ, das mit etwa 16 000 Haarzellen besetzt
ist. Diese haben eine Länge von 5 µm und eine Dicke von 0,5 µm. Die Haarzellen sind
mit einer gallertartigen Schicht verbunden. Durch die Relativbewegung dieser Schicht zur
Basilarmembran kommt es zu einer Scherung der Haarzellen, was eine Aussendung von
Nervenimpulsen zur Folge hat.
3.6.4 Hörempfinden der Lautstärke
Die dB-Skala, die den Schalldruckpegel Lp in logarithmierter Darstellung angibt, ist nicht direkt auf die menschliche Lautstärkewahrnehmungzu übertragen, denn unsere Empfindlichkeit
hat bei 3430 Hz ihr Maximum:
Abb. 3.24: Maximum der Empfindlichkeit der Ruhehörschwelle
Der Schalldruckpegel muss also an den Grenzen unseres Hörens viel höher sein als bei 3
kHz, um in allen Frequenzbereichen das gleiche Lautstärkeempfinden zu haben. Um diese
Frequenzabhängigkeit zu berücksichtigen, wurde eine Einheit für die Lautstärke definiert:
42
3 Theoretischer Teil
• Die Lautstärke 1 Phon entspricht dem Schalldruckpegel (dB) eines gleich laut empfundenen 1000 Hz Tons.
An dieser Stelle verlassen wir die objektiven Aussagen und Reproduzierbarkeit der Physik, denn es geht hier um Empfindungen. Deshalb ist die Größe Phon eine Messgröße der
Psychoakustik.
Die Messung der Lautstärke ist also immer eine Vergleichsmessung zu einem 1000 Hz
Sinuston. Solche Messungen werden im gesamten Hörbereich durchgeführt29 :
Abb. 3.25: Kurven gleicher Lautstärke
Um diese Eigenschaft des Gehörs in Lärmschutz und Soundtechnik zu berücksichtigen, wurde
die A-Skala bei der Messung von Schallpegeln entwickelt. Sie wichtet den Schallpegel mit
der Empfindlichkeit und wirkt für hohe und tiefe Frequenzen wie ein Filter.
Weitere Messungen der Psychoakustik beziehen sich auf den kleinsten hörbaren Lautstärkeunterschied, der auf 1 dB bestimmt wurde, sowie den kleinsten hörbaren Frequenzunterschied,
der sich grob in zwei Bereiche gliedert. Oberhalb von 500 Hz beträgt er etwa 0,3% und
unterhalb 500 Hz liegt er nahezu konstant bei 1,5 Hz.
29
[Quelle: Wikipedia]
4 Praktischer Teil
43
4 Praktischer Teil
4.1 Experimentelle Bestimmung der Längenkorrektur
von einseitig offenen Rohren
Messprinzip: Ein einseitig geschlossenes Rohr wird per Druckluft angeblasen, so dass die
Grundschwingung angeregt wird. Diese wird mit dem Computer aufgenommen und mit einer
Genauigkeit von ± 1 Hz aus dem Frequenzspektrum bestimmt. Aus der Grundfrequenz wird
die Länge der schwingenden Luftsäule berechnet, welche mit der gemessenen Rohrlänge
verglichen werden muss.
Um die Längenkorrektur ∆L experimentell zu bestimmen, wurde ein Anblasmechanismus
aufgebaut, bei dem durch Druckluft ein regelbarer Luftstrom über die zu vermessenden Rohre
geleitet werden kann. Dabei ist die Tonqualität des erzeugten Tons in starkem Maße von
der Position der offenen Rohrkante und dem Anblasdruck abhängig. Diese Tatsache führte
dazu, dass bei jeder Messung, bezüglich Position und Luftdruck, die gleichen Bedingungen
herrschen mussten um überhaupt eine Grundfrequenz messen zu können.
Abb. 4.1: Aufbau zur Bestimmung der Längenkorrektur
Da die zentrale Messgröße für die Längenkorrektur die Tonhöhe (bzw. die Frequenz) ist,
muss bei der Justage der Apparatur besonders auf die Parameter geachtet werden, von
denen die Tonhöhe abhängt.
44
4 Praktischer Teil
• Anblaswinkel
Durch Variation des Winkels, mit dem der Luftstrahl auf die offene Kante trifft, kann
die Tonhöhe bis zu einer Terz verändert werden, was bei einer Frequenz von 700 Hz eine
Tonhöhenabsenkung um 175 Hz bewirkt. Die Winkeländerung von 5° zur senkrechten
Anblasrichtung bewirkt eine Frequenzänderung von ca. 8 Hz. Stellt man die Richtung des
Luftstrahls gerade senkrecht zur Rohrwand ein, erklingt gar kein Ton, denn der Luftstrahl
geht über das offene Rohrende hinweg ohne damit zu interagieren. Nur wenn der Luftstrahl
abwechselnd ins Rohr hinein und über das Rohr hinweg schwingt entsteht ein Schneidenton.
So musste die möglichst geringe Abweichung zur rechtwinkligen Position realisiert werden,
bei der gerade noch ein Schneidenton entsteht.
• Anblasdruck
Der Anblasdruck bewirkt zwei Effekte, durch welche die Frequenz des erzeugten Tons
verändert werden kann:
Zum Einen springt die Frequenz, bei wesentlich größeren Anblasdrücken (entspricht höheren Anblasgeschwindigkeiten), in eine höhere Eigenschwingung. Das ist bei der einseitig
geschlossenen eine Verdreifachung der Frequenz.
Zum Anderen wird die Frequenz durch leicht zunehmende Anblasgeschwindigkeiten „hoch
gedrückt“. Dieser Effekt wurde von mir in einer Größenordnung von 3-5 Hz nachgewiesen. Bei
der optimalen Anblasgeschwindigkeit ist die Rückkopplung des Rohrs auf den Schneidenton
am intensivsten (vgl. Abbildung 3.13)und somit die Tonqualität am besten.
vSt /b
Abb. 4.2: Verschiebung der Frequenz durch die Anblasgeschwindigkeit
45
4 Praktischer Teil
In obiger Abbildung1 bezeichnen die gestrichelten Parallelen zur x-Achse die Frequenzen mit
der besten Tonqualität. Der Abstand zwischen Düse und Kante des Rohrs ist als b bezeichnet,
wobei das Verhältnis von Geschwindigkeit zu Abstand verschiedene experimentelle Daten
vergleichbar macht.
Messwerte und Längenkorrektur:
Farbe
Länge l* in cm
f in Hz
d in mm
∆ L in
mm
grün
15,55 ± 0,05
527 ± 1
20 ± 0,1
7,7 ± 0,8
blau
12,95 ± 0,05
626 ± 1
17,9 ± 0,1
7,9 ± 0,8
gelb
11,65 ± 0,05
700 ± 1
15,1± 0,1
6,4 ± 0,7
rot
10,30 ± 0,05
788 ± 1
16,2± 0,1
6,1 ± 0,7
schwarz
8,65 ± 0,05
935 ± 1
13,2 ± 0,1
5,5 ± 0,7
Der Fehler in der Frequenz kommt durch die Auflösung des Computerprogramms zustande.
Die Fehler der Längen und Innendurchmesser ergeben sich durch minimale Unebenheiten
der Wandung und die Messungenauigkeit der Schieblehre, sowie des Metallmaßbands.
Die Längenkorrektur folgt aus den Messwerten nach:
LKor = ∆L = L − l∗ = 4 ·
c
− l∗
f
(4.1)
Der Fehler der Längenkorrektur berechnet sich nach der Abschätzung des Größtfehlers als:
∆LKor = ||
4·c
∂LKor
· ∆f || + ||∆l∗ || =
· ∆f + ∆l∗
2
∂f
f
Das lässt sich unter Verwendung der Definition für L umformen zu:
∆LKor = L ·
1
aus [Hal08]
∆f
+ ∆l∗
f
(4.2)
46
4 Praktischer Teil
Messwerte
D L nach (Lüd08)
D L nach (Hal08)
1 4
1 2
1 0
∆L / m m
8
6
4
2
0
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
In n e n d u rc h m e s s e r / m m
Abb. 4.3: Vergleich der Messwerte mit den Literaturwerten
Diese Messung zeigt auf, dass die experimentellen Längenkorrekturen mit dem Literaturwert
aus [Lüd08] sehr gut übereinstimmen. Die vierte Messung (das rote Rohr) passt auch im
Rahmen ihrer Fehler nicht ganz zur theoretisch erwarteten Gerade. Insgesamt muss bei der
Interpretation dieser Ergebnisse berücksichtigt werden, dass jedes Rohr in Handarbeit gefertigt
worden ist, wodurch ein wesentlich größerer Längenfehler, als die hier angenommenen 0,5
mm eher zutreffend ist2 . Demnach ist der x-Fehlerbalken deutlich zu klein.
Bei [Hal08], der sich überwiegend mit Orgelpfeifen befasst, muss angemerkt werden, dass die
Längenkorrektur abhängig ist von der Frequenz. Hall betrachtet Frequenzen von Orgelpfeifen,
die deutlich längere Rohre, bei verhältnismäßig kleinen Durchmessern verwenden. Somit
liegt nahe, weshalb seine Abschätzung bei den hier verwendeten Rohren zu klein ausfällt.
Insgesamt konnte mithilfe des Computerprogramms und der oben genannten Formeln eine
gute Übereinstimmung zu dem Literaturwert gefunden werden.
2
Problematisch sind die Rohroberkante, die meist nicht völlig plan sind und die Verlötung des geschlossenen Endes.
47
4 Praktischer Teil
4.2 Experimente des Schülerkurses
Grundlegendes Werkzeug zur Frequenzbestimmung ist das Freeware Programm Audacity, das
eine Frequenzanalyse von aufgenommenen Signalen ermöglicht. Die bestmögliche Auflösung
ermöglicht eine Genauigkeit der Frequenzbestimmung von ± 1 Hz3 . Ein großer Vorteil
dieses Programms ist die freie Verfügbarkeit; so können interessierte Schüler das Programm
auf ihren Heimcomputern installieren und selbstständig Klanganalysen durchführen. Die
Bedienoberfläche des Programms ermöglicht eine schlichte und intuitive Handhabung.
Alle Arbeitsblätter zu den Stationen sind im Anhang nach der Präsentation und dem Handout
einzusehen. Die Arbeitsblätter sind in der hier aufgeführten Reihenfolge im Anhang eingefügt.
Kann man schwingende Luftsäulen sehen?
Dieses Experiment ist an die Kundt’sche Röhre angelehnt, bei der stehende Schallwellen
mit einem Lautsprecher in einem Rohr angeregt werden. Das Rohr ist leicht mit Korkmehl
angefüllt, welches sich durch die Verteilung der Schallschnelle in Rillen anordnet. Bei den
Minima der Schallschnelle bleiben Anhäufungen des Korkmehls liegen und bei den Maxima
der Schallschnelle wird das leichte Korkmehl stark in Bewegung versetzt und bildet feine
Rillen aus.4
Abb. 4.4: Stehende Welle im Acrylrohr
Material: Funktionsgenerator, Lautsprecher, einseitig geschlossene Acrylglasrohre, Korkmehl,
verschiedene Stative und Kabel
3
4
Die Software bewirkt, bei der Zuordnung im Spektrum, wegen ihres Auflösungsvermögens von 16 384
Fenstern auf 20 000 Hz eine maximale Frequenzverschiebung von 1,2 Hz.
Wie die feine Rillenstruktur genau zustande kommt kann bis heute nicht erklärt werden.
4 Praktischer Teil
48
Aufbau:
Durchführung:
Zuerst wird die Tiefe des einfachen Acrylglasrohrs gemessen und daraus die theoretische
Resonanzfrequenz für die Grundschwingung berechnet. Mit dieser Frequenz wird das mit
Korkmehl befüllte, liegende Acrylglas durch einen Lautsprecher beschallt. Der Funktionsgenerator muss dabei eine Sinusanregung und eine hinreichende Amplitude liefern. Da bei
der berechneten Frequenz der Effekt der Resonanz nicht auftritt, muss die Tonhöhe der
Anregung zu kleineren Frequenzen hin verstellt werden. Die experimentelle Resonanzfrequenz
wird notiert.
Bei dem Acrylglasrohr mit Seitenklappe wird bei zugehaltener Seitenklappe, jedoch sonst
gleichen Bedingungen, die Resonanz durch Beschallen mit der notierten Frequenz angeregt.
Danach wird die Resonanzfrequenz mit offener Seitenklappe bei höheren Frequenzen gesucht.
Erwartungshorizont:
c
Die theoretische Resonanzfrequenz wird aus der Rohrlänge mit f0 = 4L
berechnet. Bei einer
m
Rohrlänge von 12,25 cm und einer Schallgeschwindigkeit von 344 s ergibt sich f0 = 688 Hz.
Durch Herabsetzen der berechneten Resonanzfrequenz am Funktionsgenerator erhalten die
Schüler einen Bereich der Resonanz zwischen 615 Hz und 630 Hz. 5 Beim Acrylglasrohr
mit zugehaltener Seitenklappe werden die Schüler, entsprechend ihrer Erwartung, auch eine
Resonanz bei dieser Frequenz feststellen. Die offene Seitenklappe bewirkt eine Verkürzung
der effektiven Luftsäule, weshalb zu erwarten ist, dass die Schüler eigenständig bei höheren
Frequenzen beginnen die Resonanz zu suchen. Es ist ebenfalls zu vermuten, dass nur die
Schüler, die genau beobachten können, einen experimentellen Beleg für die aus dem Rohr
hinaus schwingende Luftsäule finden werden. Die über das Rohrende hinaus schwingende
Luftsäule trägt das Korkmehl aus dem Rohr hinaus, weil das Maximum der Bewegung
außerhalb liegt. Zusätzlich können die Schüler durch den Vergleich zwischen berechneter
und experimenteller Frequenz belegen, dass die tatsächliche Luftsäule länger ist und somit
bis vor das Rohr schwingt.
5
Der Umstand, dass nicht eine einzige Frequenz ermittelt werden kann, liegt an der Verzerrung des
Signals durch den Lautsprecher, sowie an der realen Impedanz beim Übergang zwischen „im Rohr“
und „außerhalb des Rohres“. Diese Effekte liegen aber nicht im Erwartungshorizont der Schülerstation.
4 Praktischer Teil
49
Ziele des Schülerexperiments
• Visualisierung von stehenden Wellen in Luftsäulen, durch die Anordnung des Korkmehls.
• Die Schüler sollen auf die Diskrepanz zwischen der berechneten und der experimentellen
Frequenz aufmerksam werden.
• Die Schüler sollen nachvollziehen können, was eine Seitenklappe bei Holzblasinstrumenten bewirkt.
• Die Schüler sollen die These, dass die Luftsäule auch aus dem offenen Rohrende hinaus
schwingt, am Experiment belegen können.
4 Praktischer Teil
50
Ein Rohr - Ein Ton
Dieser Schülerversuch soll die Bestimmung der Längenkorrektur ermöglichen und dabei
auch einen Vergleich zu anderen Längenkorrekturen aus der Literatur beinhalten. Dabei
gibt es die Besonderheit, dass jede Schülergruppe „ihr“ Rohr hat und somit der Ansporn
besteht, eine zuverlässige Messung durchzuführen, weil keine Vergleichsdaten vorhanden
sind. Aufbau und Prinzip des Experiments sind analog zu Abschnitt 4.1.6
Abb. 4.5: Rohre zur Bestimmung der Längenkorrektur
Material: Fünf in Länge und Durchmesser verschiedene Rohre7 , Schieblehre, Metallmaßband
(schmal genug um in alle Rohre eingeführt werden zu können)
Aufbau: Vgl. Abschnitt 4.1
Durchführung:
Nach genauer Messung von Länge und Innendurchmesser, wird das Rohr so in die Vorrichtung
eingespannt, dass beide Markierungen eines Rohrs mit den Kennzeichen an der Vorrichtung
übereinstimmen. Dieser Schritt ist wesentlich um überhaupt einen brauchbaren Ton zu
erzeugen. Dann wird das Druckventil auf den vorgeschriebenen Wert gesetzt und mit dem
Computerprogramm eine Aufnahme aufgezeichnet. Aus dieser Aufnahme muss ein geeigneter
Abschnitt für die Frequenzanalyse gewählt werden. Geeignet bedeutet dabei ein möglichst
intensives Signal ohne Einschwingphase oder Abklingphase sowie ein hinreichend großes
Intervall für die Berechnung des Frequenzspektrums.
6
7
Bis auf wenige Gruppen mit Rechenfehlern haben sich die Werte der Gruppen mit den oben diskutierten
Werten gedeckt.
Im folgenden meint „Rohr“ immer ein einseitig geschlossenes Rohr.
4 Praktischer Teil
Der Computer mittelt alle Daten und kann
so bei genügend großem Zeitfenster den
statistischen Fehler minimieren. Der starke Rauschanteil, der durch das Anblasen
mit Druckluft bewirkt wird, ist in nebenstehender Abbildung gut zu erkennen. An
dieser Stelle muss man den Maximalpeak
mit dem Cursor anwählen, dann wird bei
„Spitze“ das Maximum der gewählten Umgebung angezeigt. Dieser Wert entspricht
dem erzeugten Ton. Die gemessene Frequenz muss wieder in eine Länge zurückgerechnet werden; daraus wird die Längenkorrektur durch Differenzbildung erhalten.
Zuletzt soll die experimentell bestimmte
Längenkorrektur mit den Korrekturformeln
von [Lüd08] und [Hal08] verglichen werden.
51
Abb. 4.6: Auswahl und Frequenzspektrum
Erwartungshorizont:
Das Messen von Länge und Innendurchmesser sollte den Schülern keine Probleme bereiten, da
eine Anleitung zum Umgang mit der Schieblehre beiliegt. Die Berechnung der zu erwartenden
Frequenz erfolgt über die bekannte Formel c = λ · f und sollte mit Leichtigkeit bewältigt
werden. Der oben beschriebene Umgang mit der Software ist verständlich erklärt und wurde
auch im Vortrag mehrfach vorgeführt. Aus diesen Gründen ist zu erwarten, dass die Schüler
sich bei dieser Station auf die Längenkorrektur konzentrieren können und auch die Zeit
finden, „ihren“ Wert mit den Literaturangaben zu vergleichen.
Ziele des Schülerexperiments
• Die Schüler sollen den Umgang mit einer Messapparatur lernen und die Längenkorrektur
eines Rohres bestimmen.
• Das wissenschaftliche Arbeiten unter Verwendung des Computers und Referenzdaten
soll eingeübt werden.
• Die Schüler sollen ihr Messergebnis mit den Literaturwerten vergleichen und lernen,
experimentelle Daten kritisch zu beurteilen.
• Die Schüler sollen die Vermutung, dass die Luftsäule aus dem Rohr hinaus schwingt,
experimentell und quantitativ bestätigen.
4 Praktischer Teil
52
Der feinste aller Sinne
Diese Station berücksichtigt die anatomischen und biophysikalischen Aspekte der menschlichen Hörwahrnehmung. Zusätzlich können die Schüler ihren Hörbereich feststellen.
Abb. 4.7: Material der Station: Der feinste aller Sinne
Material: Laptop, Kopfhörer (von guter Klangqualität), Ohrmodell
Durchführung:
In Einzelarbeit schaut sich jeder Schüler das bereitgestellte Video8 an und bearbeitet
dabei das beigelegte Arbeitsblatt. Die Schüler können auch das Ohrmodell als Hilfsmittel
zu anatomischen Aspekten verwenden. Im zweiten Schritt wird die bereitgestellte Datei
„Hoertest“, welche der Autor mit Mathematica entwickelt hat, geöffnet und über die +Taste
die obere und untere Hörgrenze bestimmt. Das Programm geht in 500 Hz Schritten von
15.000 Hz bis 20.000 Hz sowie in 5 Hz Schritten von 50 Hz bis 10 Hz.
Erwartungshorizont:
Da alle Schüler viel Erfahrung im Umgang mit Computerprogrammen haben ist zu erwarten,
dass der Fokus bei dieser Station nicht auf der Durchführung liegen muss, sondern auf
der Wahrnehmung der jeweiligen Grenzen. Die Frage nach den Prozessen in der Cochlea
verlangt eine Anwendung des Konzepts der stehenden Welle auf die biologische Realisierung:
„Unterschiedliche Frequenzen werden wegen ihrer räumlich voneinander getrennten Maxima
an verschiedenen Haarzellen registriert; diese Maxima kommen aufgrund der Reflektion am
runden Fenster und der Ausbildung von stehenden Wellen zustande“. Es ist zu erwarten,
dass eher leistungsstarke Schüler diese Antwort formulieren werden.
8
http://www.youtube.com/watch?v=KaFVKdg3NgU
4 Praktischer Teil
53
Ziele des Schülerexperiments
• Einführung in die Anatomie und Funktionsweise des menschlichen Ohrs.
• Die Schüler sollen die Fähigkeit der Selektion relevanter Inhalte aus einer Fülle von
Information ausbauen, indem sie mithilfe des Videoausschnitts Fragen beantworten
und eine Skizze ausfüllen.
• Die Schüler sollen erfahren, welche ihre persönlichen Hörgrenzen sind.9
9
Das regt, bei drastisch verminderten Werten im hohen Frequenzbereich, zu einer kritischen Reflektion
des persönlichen Umgangs mit Lautstärkepegeln an.
4 Praktischer Teil
54
Monochord
Auch bei dieser Station verwenden die Schüler „ihr“ Rohr und vergleichen die schwingende
Luftsäule mit der schwingenden Saite. Zusätzlich wird eine Tonleiter nach dem Prinzip
kleiner, ganzer Zahlen erstellt.
Abb. 4.8: Das verwendete Monochord im Vergleich zum Rohr
Material: Monochord (mit zwei gleich gestimmten Saiten), passender Holzkeil, Lineal,
CD-Player mit Klangbeispielen der benötigten Intervalle
Durchführung:
Die Schüler erzeugen durch Blasen über die Rohröffnung einen Ton, den sie auf dem
Monochord durch Verschieben des Holzkeils finden sollen. Anschließend soll die Länge der so
eingestellten, schwingenden Saite mit der Länge des angeblasenen Rohres verglichen werden.
Im nächsten Schritt werden verschiedene Intervalle zwischen der freischwingenden Saite
und dem eingestellten Saitenabschnitt gefunden. Dabei kann auf zwei verschiedene Arten
vorgegangen werden:
• Der musikalische Zugang erlaubt ein Vergleichen zwischen dem CD Beispiel und den
Verhältnissen am Monochord. Wenn das Intervall eingestellt wurde kann nachträglich
über das Messen der Saitenlängen das Verhältnis kleiner, ganzer Zahlen gefunden
werden.
• Bei dem mathematische Zugang wird die einzustellende Saitenlänge durch das entsprechende, ganzzahlige Verhältnis berechnet und kann anschließend durch einen
Hörvergleich mit dem Klangbeispiel der CD kontrolliert werden.
So werden die Quinte ( 23 L), die Quarte ( 34 L) und die große Terz ( 45 L) gefunden. Alle weiteren
Intervalle einer Dur-Tonleiter können mit Hilfe des Zusatzblatts ergänzt werden. Zusätzlich
kann man die Positionen der gefundenen Töne auf die Kartonunterlage abzeichnen, so dass
zum Abschluss der Station musikalische Melodien gespielt werden können.
4 Praktischer Teil
55
Erwartungshorizont:
Das Finden des gleichen Tons zwischen Rohr und eingestellter Saite wird erwartungsgemäß
nur den musikalischen Schülern gelingen, weil der Schneidenton einen grundtönigen und
rauschenden Klang hat, wohingegen das Monochord sehr obertonreich klingt.10 Die Schüler
sollen ein Verhältnis von 2:1 zwischen Luftsäule11 und Saite finden, was mit der Theorie
der stehenden Wellen zu erklären ist. Auch der Vergleich zwischen den Intervallen des
CD Beispiels und dem Klang am Monochord wird nur von den musikalisch erfahreneren
Schülern geleistet werden können. Deshalb ist neben dem musikalischen Zugang auch eine
mathematische Variante angedacht. Aufgrund dieser Schwierigkeiten sollte der betreuende
Lehrer den Schülern bei dieser Station Hilfestellung anbieten. Auch die Möglichkeit, das
Zusatzblatt zu bearbeiten, um die gesamte Tonleiter auf dem Monochord umzusetzen, wird
wahrscheinlich nur von den zügig arbeitenden und musikalischen Schülern in Anspruch
genommen werden können.
Ziele des Schülerexperiments
• Die Schüler sollen erklären, weshalb die schwingende Saite genau doppelt so lang sein
muss wie die schwingende Luftsäule wenn der gleiche Ton dabei entsteht. Dies gelingt
durch Anwendung des Konzepts der stehenden Welle.
• Die Schüler sollen erleben, wie schwer man bei sehr verschiedenen Klangfarben
beurteilen kann ob zwei Töne gleich klingen.
• Die Schüler sollen die Verbindung zwischen den musikalischen Intervallen und den
mathematischen Verhältnissen erfahren.
10
11
Das führte dazu, dass viele Schüler den Ton auf dem Monochord eine Oktave zu tief wählen wollten.
Dazu musste bei der Herstellung der Rohre darauf geachtet werden, dass die Bodenplatte möglichst
dünn gewählt ist. Zudem bringt die Längenkorrektur den Effekt mit sich, dass die Saite auf etwas mehr
als die doppelte Rohrlänge eingestellt werden muss.
56
4 Praktischer Teil
Klangspektren verschiedener Gitarren
Diese Station soll die Relevanz der Klanganalyse bei der Beurteilung von Instrumenten aufzeigen und den Schülern ermöglichen, den Klangeindruck mit dem Verlauf des Frequenzspektrums in Verbindung zu bringen. Auch der Einfluss des gewählten Materials der Saiten
auf den Klang kann bei der Analyse der drei verschiedenen Gitarren nachvollzogen werden.
Abb. 4.9: Instrumente (von links): 12 saitige Gitarre,
3
4
klassische Gitarre und Western Gitarre
Material: Laptop, Gitarren
Durchführung:
Zuerst soll der tiefste Ton einer Gitarre (die dickste Saite in voller Länge) aufgenommen und
mit Audacity analysiert werden. Aus dem Frequenzspektrum sind der Grundton und die ersten
drei Obertöne zu ermitteln und diese mit den ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz
zu vergleichen. Im nächsten Teil der Station geht es um ganze Akkorde, gespielt auf sechs
Saiten. Dabei können Schüler sich das Griffmuster des benötigten Akkords anhand der
beiliegenden Beschreibung selbst beibringen. Zuletzt werden die Fragen auf dem Arbeitsblatt
durch Vergleich der drei verschiedenen Klangspektren beantwortet.
Erwartungshorizont:
Die Schüler werden den Umgang mit der Software Audacity, die im Laufe des Tages immer
wieder verwendet wird, beherrschen und für den Einzelton eine gute Übereinstimmung der
gemessenen Obertöne mit den Vielfachen der Grundfrequenz finden.
4 Praktischer Teil
57
An diesem Ausschnitt kann man erkennen, dass der Abstand der Peaks gerade
die Grundfrequenz von 82 Hz beträgt. Die
theoretische Reihe ist: 82 Hz, 164 Hz, 246
Hz und 328 Hz.12 An dieser Stelle kann
die Theorie der stehenden Welle auf einer
Saite bestätigt werden, da sich alle Obertöne als ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz ausbilden. Zusätzlich kann man
erkennen, dass bei dieser Gitarre (Western
Gitarre mit Stahlsaiten) sehr viele intensive Obertöne mitklingen, was den brillanten
Klang erklärt.
Bei der Aufnahme der verschiedenen
Abb. 4.10: Frequenzspektrum des Einzeltons E2
Klangspektren der Gitarren kann es aufgrund von zu zaghaftem Anspielen zu verfälschten Spektren kommen. Jede Gitarre soll mit
maximaler Lautstärke erklingen, damit alle Obertöne in ausreichender Intensität angeregt
werden. Nur bei gleichen Anspielbedingungen zwischen den verschiedenen Gitarren ist ein
Vergleich überhaupt zulässig. Hier erwartet der Autor, dass er manchen Schülergruppen
Hilfestellung geben muss, indem er die Gitarren selbst anspielt.
Die Schüler werden anhand der Spektren leicht erkennen können, dass die 12 saitige Gitarre
mehr Obertöne als die anderen beiden hat und dass die klassische Gitarre (aufgrund der
Eigenschaften der Nylonsaiten) grundtöniger bzw. dumpfer klingt als die beiden anderen
Gitarren mit Stahlsaiten. Um die erwarteten Resultate der Klangbeurteilung zu belegen,
wurden je zwei Frequenzspektren (x-Skalierung in Hz) in ein Diagramm geplottet:
12
Die geringen Abweichungen der Messung von 1-2 Hz können daran liegen, dass die Saite wegen
ihrer Bewickelung nicht dem Ideal einer dünnen Saite entspricht und die Software aufgrund ihres
Auflösungsvermögens von 16 384 Fenstern auf 20 000 Hz eine maximale Frequenzverschiebung um 1,2
Hz bewirkt.
58
4 Praktischer Teil
W e s te rn
K la s s is c h
1 2 s a itig e G ita r r e
K la s s is c h e G ita r r e
0
0
-2 0
P e g e l in d B
P e g e l in d B
-2 0
-4 0
-4 0
-6 0
-6 0
-8 0
-8 0
-1 0 0
-1 0 0
0
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0
6 0 0 0
F r e q u e n z in H e r z
7 0 0 0
8 0 0 0
0
5 0 0 0
F r e q u e n z in H e r z
Ziele des Schülerexperiments
• Die Schüler sollen das Prinzip der stehenden Welle zwischen zwei festen Enden an der
Gitarre belegen und eine entsprechende Obertonreihe messen.
• Die Schüler sollen die im Einführungsvortrag gelernten Bezüge zwischen Klangeindruck
und spektraler Verteilung der Frequenzen anwenden.
59
4 Praktischer Teil
4.3 Durchführung und Auswertung des Schülerkurses
Zunächst soll der Ablauf der durchgeführten Veranstaltung dargestellt werden. Nachdem die
Schülergruppe in ihrem Regelunterricht besucht worden war und das Vorwissen durch ein
Gespräch mit dem Lehrer in Erfahrung gebracht werden konnte, entschloss ich mich dazu,
den Kurs mit einem Einführungsvortrag zu beginnen, der das Handwerkszeug für die fünf
Stationen darstellen sollte. Ein weiteres Kriterium, das der einführende Vortrag zu erfüllen
hatte, war das Aufzeigen der Verbindung zwischen Physik und Musik. Nach diesem Start
konnten die Schüler in ihren Gruppen die fünf aufgebauten Stationen durchlaufen, wobei
keine hierarchische Struktur zwischen den Inhalten der Stationen bestand. Jede Station ist
in sich abgeschlossen, was eine beliebige Reihenfolge möglich macht. Nachfolgende Tabelle
zeigt den Zeitplan des gesamten Kurses:
Zeit
Inhalt
45 Minuten
Einführungsvortrag
5 Minuten
Pause
100 Minuten
5 Stationen á 20 Minuten
20 Minuten
Evaluation
5 Minuten
Abschluss
Insgesamt sind 175 Minuten eingeplant, was also zu einer Gesamtdauer von 3 Zeitstunden
führt.
4.3.1 Durchführung
Der Schülerkurs wurde am 28. März 2012 an einem Physik-Grundkurs eines Mainzer
Gymnasiums erprobt. Dieser Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 bestand aus 17 Schülern, von
denen eine Schülerin aufgrund eines naturwissenschaftlichen Wettbewerbs nicht anwesend
sein konnte. Im Bezug auf Fachwissen und Interesse war die Schülergruppe sehr heterogen,
was auch an den Selbsteinschätzungen der Schüler bei der Evaluation zu erkennen sein wird.
Der Schülerkurs fand in den Räumen des Demonstrationspraktikums der Universität Mainz
statt, was sich motivierend auf die Schüler auswirkte, da das neue Umfeld und die Möglichkeiten für Schülerexperimente ein reichhaltiges Programm ermöglichten. Auch für den
Aufbau war es hilfreich, dass jede Station in einem eigenen Raum positioniert werden konnte,
was bei einer Durchführung des Kurses im Regelunterricht einer Schule undenkbar ist. Zudem benötigen die Stationen auch aufgrund der erzeugten Geräusche/Töne eine räumliche
Trennung.
4 Praktischer Teil
60
Es entsprach der Zielsetzung, Schüler für die Physik zu begeistern, und dafür einen Grundkurs und nicht einen Leistungskurs einzuladen13 . Meistens befindet sich im Grundkurs ein
großer Anteil von Schülern, der das Fach Physik nur als „Notlösung” gewählt hat, um
dem obligatorischen naturwissenschaftlichen Fach in der Oberstufe Genüge zu tun. Diese
Vermutung wird auch durch die Evaluationsbögen bestätigt. Die fünf Gruppen für die
Stationen wurden schon im Vorfeld von dem Lehrer eingeteilt, da er das Verhalten und die
Fähigkeiten der Schüler besser einschätzen kann. Bei der Einteilung wurde auf eine möglichst
gleichmäßige Verteilung von leistungsstarken und leistungsschwachen Schülern geachtet.
Es ist zu beachten, dass eine Gruppe aus vier Schülern bestand, deren schulische Leistung
in Physik als mangelhaft zu beschreiben ist. Sie benötigten des öfteren Hilfestellungen bei
Rechnungen und Experimenten.
Es wurden keine weiteren Betreuer zur Durchführung des Schülerkurses hinzugezogen, um
die Durchführbarkeit des Konzepts mit einer einzelnen Lehrkraft zu prüfen und um eine
größere Selbstständigkeit der Oberstufenschüler zu ermöglichen. Bei einer Anwendung dieses
Konzeptes in der Sekundarstufe 1, sollte pro Station eine Betreuungsperson vorhanden sein.
Auch die Stationswechsel mussten nach Rücksprache mit den einzelnen Gruppen flexibel
gestaltet werden, wobei ein Zeitrahmen zwischen 15 und 20 Minuten pro Station in der
Regel eingehalten worden ist.
Zum Abschluss konnten die Schüler noch mit den eigens für sie angefertigten Rohren14
musizieren. Dazu wurden am Whiteboard die entsprechenden Farben der Gruppen angezeigt,
woraufhin ein Schüler der Gruppe den Ton angespielt hat. Dieser amüsante Abschluss rundete
den Schülertag ab.
Der Einführungsvortrag
Der Vortrag knüpfte an den schulischen Unterricht mit den Themen Schallwellen und stehende
Wellen an. Um die Schüler zu aktivieren, beschäftigte sich die ersten Hälfte des Vortrags
überwiegend mit bekannten Themen . Dabei wurden die Schüler bei mehreren Gelegenheiten
aktiv; so konnten sie beispielsweise am Whiteboard skizzieren wie sich stehende Wellen in
Luftsäulen und auf Saiten ausbilden. Auch das allgemeine Verständnis von Schallwellen wurde
im Unterrichtsgespräch erarbeitet. Im zweiten Teil des Vortrags wurden Funktionsweisen von
Panflöte, Querflöte, Saxophon und Gitarre mit dem Konzept der stehenden Wellen erklärt,
13
14
Zwei Tage zuvor wurde das Konzept auch mit einem Leistungskurs erprobt, diese Veranstaltung
muss aber als Generalprobe zum eigentlichen Schülertag aufgefasst werden, weil es aus zeitlichen
Gründen nicht mehr zu einer Evaluation kam. Beobachtungen zur Anwendbarkeit des Schülerkurses im
Leistungskurs fließen dennoch teilweise in diese Arbeit ein.
Die Töne der Rohre entsprachen der Pentatonik, einer 5 Ton Skala, bei der die Töne in beliebigem
Kontext zusammen passen.
4 Praktischer Teil
61
wobei jedes Instrument angespielt wurde, um auch einen akustischen Zugang zum Inhalt zu
gewährleisten. An dieser Stelle können ebenso Schüler, die ein Instrument beherrschen, gut in
den Unterricht eingebunden werden. So wurden bei der Generalprobe mit dem Leistungskurs
Querflöte und eine Trompete (im Zusammenhang mit der Naturtonreihe) von Schülern
angespielt.15
Im dritten Teil des Vortrags wurden die Schüler mit den Themen Klanganalyse, Intervalle
und Harmonie bekannt gemacht. Anhand von Aufnahmen mehrerer Instrumente konnte
eine Verbindung zwischen Klangspektrum und Klangeindruck hergestellt werden, was für die
meisten Schüler eine erstaunliche Entdeckung war. Um den zeitlichen Aspekt von Klängen
und ihrer Wahrnehmung zu betonen, wurde eine aufgenommene Klaviermelodie rückwärts
abgespielt, was dazu führte, dass ein Klang entstand, der an eine Geige oder auch eine
Ziehharmonika erinnert.
Die Verbindung zwischen Physik und Musik wurde zuletzt besonders anhand der Obertonreihe
und ihrer musikalischen Konsequenzen in Intervallen und Harmonie aufgezeigt. Auch die
Möglichkeit, neue Klänge unter Berücksichtigung physikalischer Aspekte zu generieren und
damit neue Musikstile zu schaffen, wurde als Fazit des Vortrags erwähnt.
Insgesamt erhielt der Autor viele positiven Rückmeldungen von den Schülern und dem
Lehrer bezüglich des einführenden Vortrags und der aufgezeigten Verbindung von Obertönen
und Musiktheorie. Auch die Möglichkeit Instrumente anzuhören und andere als die im
Physikunterricht überwiegend verwendeten Sinne anzusprechen, wurde als Stärke des Vortrags
genannt.
15
Der Physik Grundkurs war nicht so musikalisch, wie der zwei Tage zuvor eingeladene Leistungskurs.
62
4 Praktischer Teil
4.3.2 Auswertung
Um den Schülertag bewerten zu können, wurden im Vorfeld ein Evaluationsbogen und eine
Lernerfolgskontrolle entworfen. Das Arbeitsblatt zur Kontrolle des Lernerfolgs richtete sich
in zwei von drei Aufgaben nach dem Entwurf von Leifi-Physik16 . So konnte sichergestellt
werden, dass das Niveau der Aufgaben angemessen für einen Kurs der gymnasialen Oberstufe
ist. Lernerfolgskontrolle und Evaluationsbogen sind im Anhang einzusehen.
Die Lernerfolgskontrolle
Die anonyme Lernerfolgskontrolle erfolgte, nachdem die Schüler alle fünf Stationen durchgearbeitet haben, und deshalb mit einer ganzen Fülle von neuen Inhalten und Experimenten
konfrontiert worden sind. Zudem fand der Schülertag am letzten Schultag vor den Osterferien
statt, was bei den Schülern zu einer lockeren und weniger erfolgsorientierten Arbeitsweise
führte.
Folgende Tabelle stellt eine Übersicht zu den Resultaten der Lernerfolgskontrolle dar, dabei
steht n.b. für nicht bearbeitet.
richtig
8
falsch
8
n. b.
0
Erkläre mithilfe von Obertönen und Schwebung warum gewisse
Intervalle zusammen passen und andere nicht. Gebt je ein
Beispiel.
5
2
9
a) Erkläre das Zustandekommen der abgebildeten Erscheinung
im Rubens’schen Flammenrohr.
b) Bestimme die Schallgeschwindigkeit im Gas wenn der
Abstand zweier Flammentäler 12 cm und die Frequenz 1,9 kHz
betragen.
10
4
2
0
13
3
Aufgabe
Stellt man eine Flasche unter den Wasserhahn und füllt sie auf,
so kann man einen Ton hören, dessen Frequenz sich verändert.
Wird die Frequenz kleiner oder größer? Gebt hierfür eine
Begründung?
Es ist besonders auffällig, dass nur 5 der 16 Schüler in der Lage waren, Aufgabe 2 richtig zu
beantworten.17 Denn gerade dieser Aspekt wurde ausführlich gegen Ende des Einführungsvortrags behandelt. Diese Tatsache legt die Vermutung nahe, dass der Einführungsvortrag
zu umfangreich war und die Schüler mit der Menge des Inhalts überfordert waren. Zudem
hatten nur wenige Schüler in diesem Kurs einen Bezug zur Musik, was sich bei dieser Frage
wahrscheinlich auch bemerkbar machte.
16
17
urlwww.leifiphysik.de
Wobei 9 Schüler bei der Aufgabe überfragt waren, denn sie sind die Aufgabe nicht einmal angegangen.
4 Praktischer Teil
63
Die hohe Fehlerquote bei Aufgabe 1 ist ein unerwartetes Ergebnis, denn die Schüler haben
bei drei der fünf Stationen mit schwingenden Luftsäulen, wie in der Aufgabe behandelt, zu
tun gehabt. Dabei ist zu bemerken, dass alle Schüler eine vollere Flasche mit einer größeren
Frequenz in Verbindung bringen konnten, wie es auch ihre Erfahrung an den Stationen
gezeigt hat. Der hohe Fehleranteil kommt durch physikalisch falsche Begründungen zustande,
so behaupteten einige Schüler, die Welle habe im kleineren Volumen der sich füllenden
Flasche weniger Platz und klinge deshalb höher.
Erfreulich ist die kleine Fehlerquote bei Aufgabe 3a), denn daran kann man belegen, dass die
Schüler das Prinzip der stehenden Welle auch auf ungewohnte Phänomene anwenden können.
Die besondere Erscheinung am Flammenrohr wurde mit Druckmaxima und Minima erklärt,
woran belegt werden kann, dass die Schüler nicht nur die Beschreibung der stehenden Welle
mit Schallschnellenmaxima und -minima anwenden sondern auch den Bezug zum Schalldruck
in ihre Erklärung einbinden können. Bei der Berechnung der Schallgeschwindigkeit im Gas
(3b) konnten die meisten Schüler den richtigen Ansatz formulieren, vergaßen dabei aber,
dass der Abstand zweier Wellentäler nur die halbe Wellenlänge ist. Deshalb waren 8 der 13
falschen Ergebnisse zumindest vom Rechenweg richtig.
Die Lernerfolgskontrolle zeigt auf, dass der Schülerkurs inhaltlich sehr breit gefächert und
vielseitig ist, so dass keine Vertiefung und Einübung des rechnerischen Umgangs mit den
Inhalten erfolgen konnte. Diese muss, wenn nötig, im Folgeunterricht geleistet werden. Jedoch
führten die Stationen bei den meisten Schülern zu der Ausbildung von Erfahrungswerten,
aufgrund derer die Schüler den richtigen Ansatz oder die richtige Vermutung an eine gegebene
Fragestellung herantrugen.
Der Evaluationsbogen
Ein weniger eingeschränktes Werkzeug zur Beurteilung des Schülertags war der anonyme
Evaluationsbogen, der nicht von der momentanen Leistungsfähigkeit und der thematischen
Fassung der Aufgaben abhängt. Neben eigenen Aussagen konnten die Schüler dabei auf
einer Skala von 1-6 ankreuzen, inwiefern der Schülertag oder einzelner Elemente desselben
erfolgreich verlaufen sind. Die Skala richtet sich nach dem Schulnotensystem ohne Zwischennoten und ist den Schülern vertraut. Im Folgenden werden wir die einzelnen Fragen und
ihre Beurteilungen näher betrachten und Verbesserungsvorschläge daraus ableiten. Allgemeine Fragen sind im Diagramm blau dargestellt die Selbsteinschätzung der Schüler wird in
orangenen Diagrammen präsentiert.
64
4 Praktischer Teil
Abb. 4.11: Gesamtbewertung der Schülertags
Insgesamt erhielt der durchgeführte Schülertag die Durchschnittsnote 1,7. Dieses positive
Bild wurde auch durch mehrere Aussagen der Schüler bestätigt. Der Schülertag habe Spaß
an der Physik vermittelt, betonten vier Schülerbemerkungen. Auch der enge Zusammenhang
zwischen Musik und Physik, sowie die verständlichen physikalischen Erklärungen wurden von
den Schülern lobend erwähnt. Aus meiner Perspektive kam dieser erfolgreiche Gesamteindruck auch durch ein hohes Engagement der Schüler, die ja am letzten Schultag vor den
Ferien gekommen sind, zustande. Zwei Schüler bewerteten den Tag mit der Note drei, was
wahrscheinlich daran lag, dass sie zum Einen nicht an dem Thema des Tages interessiert
waren, und zum Anderen mit den Schülerexperimenten überfordert waren. Es ist leider
grundsätzlich so, dass in den Schulen das Schülerexperiment oft zu kurz kommt und es
einigen Schülern daher schwer fällt, ein Experiment nach klaren Anweisungen durchzuführen.
Abb. 4.12: Der Einführungsvortrag
65
4 Praktischer Teil
Der Einführungsvortrag wurde bis auf eine Ausnahme mit gut und sehr gut bewertet. In
den Schüleraussagen finden wir auch Gründe für diese Bewertung. Es wurde mehrfach die
Begeisterung des Vortragenden und die guten Erklärungen zur Physik der Obertöne gelobt.
Außerdem sorgte der lockere Umgang mit den Schülern und der direkte Einbezug der Schüler
für einen interessanten Vortrag. Als Verbesserungsmöglichkeit kristallisierte sich eine zeitliche
Straffung des Vortrags heraus, die man durch Weglassen einiger Beispiele realisieren könnte.
Eine Beschränkung auf die wesentlichen Inhalte ist hierbei für zukünftige Verwendung des
Schülerkurses, und insbesondere des Vortrags, zu empfehlen.
Bei der Beurteilung der Stationen waren drei Aspekte von besonderem Interesse:
• Die Klarheit der Arbeitsanweisungen auf den Arbeitsblättern: Für 57 % der Schüler
waren die Anweisungen klar, einfach und kleinschrittig genug um sie ohne Probleme
bewältigen zu können. Besonders die Station „Monochord“ soll problematisch gewesen
sein, da unmusikalische Schüler sie nur schwer umsetzen konnten. Auch das Anspielen
der Gitarren ist eine Herausforderung gewesen, wobei die Anleitungen dafür klar waren,
aber die Umsetzung derselben Übungssache ist.
• Der Wert der einzelnen Stationen: Am meisten konnten die Schüler bei den Stationen
„Monochord“ und „Ein Rohr-Ein Ton“ lernen. Obwohl die Station „Monochord“ nach
den Anweisungen schwieriger eingeschätzt wurde als andere, führten die Schwierigkeiten
offensichtlich zu einer intensiveren Auseinandersetzung mit den Inhalten. Daran lässt
sich die Ableitung machen, dass die Lehrkraft es den Schülern nicht unbedingt immer
möglichst leicht machen muss, sondern gerade die Herausforderung den Lernprozess
vorantreibt.18 Die Klanganalyse der Gitarren hat den Schülern am meisten Spaß
gemacht. Dieses Resultat kann man sich damit erklären, dass statt mit komplizierten
Aufbauten oder „komischen“ Bauteilen mit drei Gitarren experimentiert wurde. Zum
anderen ist die Handhabung des Computerprogramms eine Stärke der Schüler, was
für sie motivierend ist.
• Das Zeitmanagement der Stationen:
Station
Kann man schwingende Luftsäulen
sehen?
Ein Rohr - Ein Ton
Der feinste aller Sinne
Monochord
Klanganalyse verschiedener Gitarren
18
zu knapp
1
genau richtig
14
zu viel
1
7
5
6
2
8
10
10
8
1
1
0
5
Wie bei vielen anderen Aspekten des Unterrichtens, ist auch hierbei ein gesundes Maß erforderlich.
4 Praktischer Teil
66
Man sieht an der Tabelle zur Zeitplanung, dass bis auf die Station der Klanganalyse alle
Stationen eine straffe Zeitplanung vorgesehen haben. Die Station „Kann man schwingende
Luftsäulen sehen?“ bereitete den Schülern keinerlei Probleme, da sie kurz vorher in einem
Demonstrationsexperiment im Regelunterricht vom Lehrer behandelt worden ist (Kundt’sche
Röhre). Die Station „Ein Rohr - Ein Ton“ stellte sich, wie erwartet, aufgrund der anspruchsvollen Justierung des Rohrs als straffste Station heraus. Nichtsdestotrotz wurde die zeitliche
Grobplanung eingehalten, was wesentlich zum Gelingen des ganzen Schülertags beigetragen
hat.
Da es eines der großen Ziele des Schülerkurses „Akustik und Klänge“ ist, Schüler für das
Fach Physik zu begeistern bzw. das Interesse an Physik zu fördern, wurden in der Evaluation
auch Daten zum Interesse an Physik erhoben. Auch die Musikalität der Schüler war von
Bedeutung, um abschätzen zu können, ob das Ziel erreicht wurde. Deshalb sind folgende
drei Diagramme gleichermaßen im Blick zu behalten, wenn Schlüsse zur Anwendbarkeit des
Schülerkurses gezogen werden.
Acht Schüler des Grundkurses haben ein sehr hohes bis hohes Interesse an Physik, was den Regelunterricht im Kurs in ein gutes
Licht stellt. Bei diesen Schülern
hat der Schülertag auch, unabhängig von der Musikalität, das
Interesse gesteigert.
Abb. 4.13: Interesse an Physik
Eine Person bewertete ihr Interesse an Physik mit der Note 2, ihre
Musikalität mit der Note 6 und
den Interessenzuwachs mit der
Note 4. An diesem Beispiel kann
man erkennen, dass in Einzelfällen aufgrund des großen Anteils
des Faches Musik nur ein „ausreichender“ Interessenzuwachs erfolgte.
Abb. 4.14: Musikalität
4 Praktischer Teil
67
Die Schüler, die ihr Interesse
als unzureichend und mangelhaft
eingeschätzt haben, bewerteten
die Steigerung des Interesses eine Note höher. Das deutet daraufhin, dass sie den Schülertag
auch fachlich als positiv erfahren haben. Aus einem Schülerzitat konnte man Resignation herauslesen19 . Leider schließen einiAbb. 4.15: Steigerung des Interesses an Physik
ge Schüler mit dem Fach Physik ab, worunter Motivation und
Leistung stark leiden. Um dieser Resignation entgegen zu wirken ist es wichtig als Lehrkraft
ein vielseitiges und abwechslungsreiches Unterrichtsprogramm bereitzustellen. Gerade deshalb ist es das Anliegen dieser Staatsexamensarbeit einen Beitrag zu leisten der hilft, diese
schwierige Aufgabe erfolgreich zu bewältigen.
19
„In Sachen Physik ist bei mir ohnehin alles verloren“.
4 Praktischer Teil
68
4.4 Fazit und Ausblick
Das Thema „Akustik und Klänge“ eignet sich sehr gut, um Schülern Prinzipien der Wellenmechanik nahe zu bringen. Der hier entworfene Schülerkurs ermöglicht es, in Schülerexperimenten die zugrundeliegende Physik begreifbar zu machen. In der hier dargestellten Fassung
eignet sich der Kurs zu einer Verwendung in Grund- und Leistungskurs der gymnasialen Oberstufe. Aus diesem Grund wurde ein Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 zu einem dreistündigen
Programm an die Universität eingeladen und das Konzept des Schülerkurses erprobt. Es ist
aber auch denkbar in einer kleinschrittigen Herangehensweise eine 10. Klasse mit diesem
Material zu unterrichten. Der Einsatz des Schülerkurses in der Mittelstufe könnte auch dazu
führen, dass begeisterte Schüler mit dem Physikunterricht in der Oberstufe fortfahren; der
Autor wird zukünftig das Thema „Akustik und Klänge“ auch in Mittelstufen erproben.
Ein ganz besonderer Vorteil dieses Themas ist, dass außer dem Sehen, Messen und Rechnen,
auch das Hören als Sinn angesprochen wird, wodurch Schülern eine vielseitige Herangehensweise ermöglicht wird. Die Entstehung von Tönen bei verschiedenen Instrumenten fördert
ein vertieftes Verständnis von stehenden Wellen. Der Bezug zu Klängen und Wahrnehmung
weckt das Interesse der Schüler, denn Musik ist so alltäglich, dass alle Schüler interessiert
sind wenigstens teilweise zu verstehen, wann ein Klang eine bestimmte Charakteristik aufweist. Bemerkenswert dabei ist, dass das Interesse an diesem Schülerkurs nicht von der
Musikalität abhängt. Der phänomenologische und experimentelle Zugang zu Tonleitern, der
Tonhöhe eines angeblasenen Rohres und den Längen von Luftsäulen hat den Fokus weg
von mathematischen Methoden gelenkt und ein stärkeres Verständnis der physikalischen
Aspekte gefördert. Die Experimente, die hier dargestellt sind, können auch ohne Probleme
einzeln und in anderer Reihenfolge im Regelunterricht verwendet werden. Dabei ist von
Vorteil, dass, abgesehen vom Anblasmechanismus für einseitig geschlossener Rohre, keine
komplizierten Aufbauten und teuren Computerprogramme verwendet werden. Die Möglichkeit mit einem Freewareprogramm Klangspektren zu analysieren, kann Schüler motivieren,
auch selbstständig zu Hause weitere Klänge und Instrumente zu untersuchen.
Im Regelunterricht könnte man diesen Kurs in 3 Doppelstunden realisieren, in denen ein
kurzer Abriss der Theorie, gefolgt von je zwei Schülerexperimenten in Gruppen durchgeführt
werden kann. Auf Grund von Beobachtungen am Schülertag und Schüleraussagen in der
Evaluation kann man für eine Verwendung des Kurses in der Schule erwarten, dass auch
leistungsschwache Schüler bei diesen 3 Doppelstunden engagiert mitarbeiten werden. Der
Zeitaufwand beim Vorbereiten der einzelnen Stationen zahlt sich in einem eigenständigen
Arbeiten der Schülergruppen aus, weshalb es lohnenswert ist, sich als Lehrer in den experimentellen Phasen zurück zu nehmen und nur helfend einzugreifen. Gerade an selbst
durchgeführten Experimenten lernen die Schüler die naturwissenschaftliche Herangehensweise
4 Praktischer Teil
69
an Alltagsphänomenen.
Fächerübergreifende Aspekte konnten problemlos in das Gesamtkonzept eingegliedert werden.
Die Leistungsfähigkeit des menschlichen Hörsinns ermahnt auch zu einem verantwortungsvollen Umgang mit Lautstärken und Lärmbelästigung. An dieser Stelle kann die Verbindung von
Akustik und Biologie noch mehr in die Gesellschaft eingreifen und auch politische Konsequenzen zur Lärmminderung in Verkehr und Industrie herbeiführen. Die Verbindung von Physik
und Musik ermöglicht nicht nur ein besseres Verständnis der Wellen- und Harmonielehre,
sondern auch die Kunst durch neue Klangfarben zu bereichern. Dieser Kurs könnte auch
als Ausgangspunkt einer Projektwoche zu Instrumenten genutzt werden, bei der einfache
Instrumente wie Panflöten, Trommeln und Klangstäbe gebaut und verwendet werden. Der
besondere Reiz besteht dann darin, ein Instrument zu bauen, klanglich zu analysieren und
auch musikalisch zu beherrschen. Die Möglichkeiten für Schüler an derartigen Projekten zu
wachsen sind vielseitig: Zum Einen lernen die Schüler vernetztes Denken und das Abwägen
vieler relevanter Aspekte. Zum Andern lernen sie auch praktisch ihr Wissen anzuwenden und
ein motivierendes Lernprodukt (in Form von Instrumenten) zu entwickeln.
Literaturverzeichnis
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Anhang
Anhang
Präsentation
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Anhang
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88
Anhang
Arbeitsblätter
Kann man schwingende Luftsäulen sehen ?
a) Einfache Luftsäule
Vorbereitung:
Messt die Länge des Rohrs und berechnet
damit die erwartete Frequenz für die Grundschwingung. (Formel in Hilfskarte 1).
L=
mit c = 344 m / s
f0 =
Durchführung:
Füllt dann, mit Hilfe eines Spatels, in das liegende Rohr Korkmehl ein. Achtet dabei darauf, dass
eine gleichmäßige Linie Korkmehl durch das ganze Rohr geht.
Verwendet die berechnete Frequenz um die Grundschwingung anzuregen.
Tipp: Ihr müsst euch ungefähr in 20 Hz Schritten zu kleineren Frequenzen hin herantasten. Notiert
euch den Wert bei dem die Anregung erfolgt ist.
f0, real =
Hz
b) Luftsäule mit Seitenklappe (wie z. B. bei Klarinetten, Querflöten, …)
Was erwartet ihr bei zugehaltener Seitenklappe?
Wohin verschiebt sich die Resonanzfrequenz1 beim Öffnen der Klappe?
Durchführung wie oben.
Beobachtungen:
Ein erfahrener Instrumentenbauer behauptet, dass die stehende Welle der Luftsäule auch in den
Raumbereich vor dem offenen Rohrende hinein schwingt. Könnt ihr das an den Experimenten a)
und b) bestätigen oder widerlegen?
1 Die Frequenz, bei der das Korkmehl „tanzt“.
89
Anhang
Ein Rohr – Ein Ton
Bei dieser Station könnt ihr mit eurem Rohr experimentieren, dabei müsst ihr den
Innendurchmesser d sowie die Länge L messen.
Der Innendurchmesser wird mit der Schieblehre gemessen und die Länge mit dem
Metallmaßband. (Auch das „schwarze“ Rohr kann so gemessen werden...evtl. drehen).
Theoretische Frequenz
Berechnet aus der Länge eures Rohres die zu erwartende Frequenz für die Grundschwingung.
L* =
d=
mit c = 344 m / s
f0* =
Bringt euer Rohr so in der vorgesehenen Halterung an, dass die schwarzen
Markierungen auf gleicher Höhe sind.
Aufnahme der Frequenz:
• Öffnet das Computerprogramm Audacity®.
• Öffnet das Ventil bis das Manometer 0,2 bar anzeigt . (Hebel ganz links: VORSICHTIG!)
• Nehmt den Ton auf. (Durch Klicken auf den roten Punkt unten rechts).
• Beendet die Aufnahme mit der Leertaste.
Markiert den Tonbereich (nicht Einschwing- oder Abklingphase markieren).
Geht auf Analyse → Frequenzanalyse → Axis: Log. Darstellung → sucht mit dem Cursor die
Frequenz eures Grundtons aus dem Klangspektrum → Fenster schließen.
Tragt die abgelesene Frequenz bei f0 ein.
Gemessene Frequenz und Längenkorrektur:
(Bei Problemen Hilfskarte 1).
Um wie viel ist die reale Luftsäule länger als die theoretische?
Rechnet die gemessene Frequenz zurück in eine Länge und bildet die Differenz zu L*
f0 =
L0 =
ΔL0 = L0 – L* =
Literaturwerte der Längenkorrektur1:
1
1) Δ L= ⋅π⋅d =
8
2)
Δ L=0,3 d =
Vergleicht euer Ergebnis mit den Längenkorrekturen aus den Lehrbüchern.
Wie kann man sich anschaulich erklären, dass die reale Luftsäule länger ist als das Metallrohr?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Tragt eure gemessene Längenkorrektur und den Innendurchmesser in die Tabelle auf dem Tisch
ein.
1 1) Bergmann L; Schaefer C.: Experimentalphysik 1, Berlin, 1995
2) Hall, Donald E. : Musikalische Akustik, Mainz, 2008
90
Anhang
Der feinste aller Sinne
Diese Station soll euch vermitteln, wie das menschliche Ohr funktioniert und neben anatomischen
Sachverhalten auch zu den relevanten physikalischen Prozessen Bezug nehmen. Abschließend könnt
ihr euren Hörbereich austesten.
a) Anatomie und Funktionsweise des Ohrs
Schaut euch das Video an und beschriftet dabei unten stehende Skizze(bitte KEINE lat. Begriffe):
Wie kann man die Prozesse in der Cochlea mit dem Konzept der stehenden Welle erklären?
--Video bitte nur minimieren, damit der Nächste es leicht findet -b) Eigener Hörbereich
Bitte testet euren eigenen Hörbereich mit Hilfe des Dokuments „Hoertest“ aus. Ihr müsst „enable
dynamics“ zulassen. Um die Frequenz zu ändern den Slider mit der + Taste verstellen und warten
bis der neue Wert angezeigt wird , damit die neue Frequenz berechnet werden kann. Immer die
Play Taste unten links im jeweiligen Feld benutzen.
Untere Grenze1 : Rechts:
Links :
Obere Grenze: Rechts:
Links :
1 Die untere Grenze ist sehr stark von den Kopfhörern abhängig.
91
Anhang
Monochord
Diese Station soll den Vergleich zwischen der schwingenden Luftsäule und der schwingenden Saite
ermöglichen; zusätzlich wird die Konstruktion einer Tonleiter versucht.
a) Vergleich zwischen eurem Rohr und der Saite
Spielt bitte euer Rohr an und stellt auf dem Monochord durch Verschieben des Keils den gleichen
Ton ein.
Was fällt auf bezüglich der Längen?
Erklärt diese Beobachtung durch eine Skizze der jeweiligen Grundschwingung von Saite und Rohr:
Saite
Rohr
b) Konstruktion einer Tonleiter mit Verhältnissen kleiner ganzer Zahlen
Hier könnt ihr die wichtigsten Intervalle finden und direkt auf eure Gruppenkarte abzeichnen.
Dabei einfach eure Karte unter die Keile legen und immer die passende Position eintragen
(Musikalische Beispiele für jedes Intervall findet ihr auf dem Tisch.)
Intervall
Halbtonschritte
Länge
Längenverhältnis zur Gesamtlänge
Prime
0
60,21 cm
1
Oktave
12
Quinte
7
Quarte
5
Ihr könnt sowohl mathematisch als auch nach Gehör vorgehen und müsst die Längenverhältnisse
teilweise runden. → Bei Problemen Hilfskarte verwenden.
Wenn ihr noch Zeit habt, versucht die Tonleiter zu vervollständigen → Zusatzblatt (auf dem Tisch).
1 Die Saiten sind nicht ganz genau gleich lang, evtl. 60,3 cm.
92
Anhang
Klanganalyse verschiedener Gitarren
Bei dieser Station geht es um die unterschiedlichen Klänge, die sich bei verschiedenen Arten von
Gitarren ergeben.
Aufnahme des Frequenzspektrums:
Öffnet das Computerprogramm Audacity®, nehmt die entsprechende Gitarre und nehmt einen
Klang auf. (Durch Klicken auf den roten Punkt unten rechts).
Beendet die Aufnahme mit der Leertaste.
Markiert den Tonbereich (nicht direkt die Einschwingphase markieren).
Analyse → Frequenzanalyse → Axis: Lineardarstellung →
möglichst genaue Werte zu erhalten.
Akkorde
Nehmt Klangspektren auf von :
achtet auf die Fenstergröße um
1. Western-Gitarre
2. Klassische Gitarre
3. 12-saitige Western-Gitarre
Spielt dabei einen E-Dur Akkord (Erklärung wie man den greift ist auf dem Tisch) und versucht
immer genau über dem Schallloch anzuspielen.
Nehmt die Klangspektren auf mit Axis: Lineardarstellung → Screenshot mit Snippingtool.
Speichert diese Klangspektren in eurem Ordner auf dem Desktop und vergleicht sie, indem ihr in
der Bildanzeige vor und zurückblättert.
Welche Gitarre klingt am brillantesten( schneidend) , woran kann man das im Spektrum sehen?
Was ist der Unterschied zwischen der 12-saitigen Western-Gitarre und der 6-saitigen?
Welche Tendenzen kann man erkennen zwischen Nylonsaiten (klassische Gitarre) und Stahlsaiten?
93
Anhang
Lernerfolgskontrolle
1. Füllung einer Wasserflasche
Stellt man eine Flasche unter den Wasserhahn und füllt sie auf, so kann man einen Ton hören,
dessen Frequenz sich verändert. Wird die Frequenz des Tones größer oder kleiner? Gebt hierfür
eine Begründung!
2. Harmonie
Erkläre mit Hilfe von Obertönen und Schwebung warum gewisse Intervalle zusammen passen und
andere nicht. Nenne ein Beispiele für beide Fälle.
3. Flammenrohr
In der Abbildung unten ist ein Flammenrohr nach Heinrich Rubens dargestellt. In das einseitig fest
verschlossene Rohr leitet man Erdgas ein, das vielen kleinen Löchern entströmt und zur Entzündung
kommt. Wird in dem Lautsprecher ein Ton bestimmter Frequenz erzeugt, züngeln die Flämmchen in
der dargestellten Art und Weise.
a)
b)
Erkläre das Zustandekommen der in der Abbildung dargestellten Erscheinung!
Bestimme die Schallgeschwindigkeit in dem Erdgas, wenn die Entfernung zwischen
zwei benachbarten Flammentälern 12 cm und die vom Lautsprecher abgestrahlte
Frequenz 1,9 kHz betragen!
94
Anhang
Evaluationsbogen
Bitte einfach untenstehende Schulnote ankreuzen, dabei steht ① auch für sehr interessiert, oder
ähnlich positive Aussagen.
Wie hat dir der Schülertag „Akustik und Klänge“ insgesamt gefallen?
①
②
③
④
⑤
⑥
Wie würdest du den Einführungsvortrag bewerten?
①
②
③
④
⑤
⑥
Waren die Anleitungen der Stationen verständlich? __________________________
Bei welcher Station konntest du am meisten lernen? __________________________
Welche Station hat dir am meisten Spaß gemacht? ___________________________
Zeitplanung:
Station
Zu knapp
Genau richtig
Zu viel
Schwingende Luftsäulen sehen?
⃝
⃝
⃝
Unser Rohr - unser Ton
⃝
⃝
⃝
Monochord
⃝
⃝
⃝
Klanganalyse verschiedener Gitarren
⃝
⃝
⃝
Der feinste aller Sinne
⃝
⃝
⃝
Bist du grundsätzlich an Physik interessiert?
①
②
③
④
⑤
⑥
Schätzt du dich als musikalisch ein?
①
②
③
⑤
⑥
Hat dieser Schülertag dein Interesse an Physik gesteigert?
①
②
③
④
⑤
⑥
Fazit (Mängel, Lob, Kritik):
(Bei Bedarf Rückseite verwenden)
Vielen Dank für die Beurteilung!
④
95
Anhang
Herleitung der potentiellen Energie
einer Schallwelle aus der inneren
Energie
Es gilt20 die Beziehung:dEInnere = T dS − pdV , woraus sich bei verschwindender Entropieänderung die Startgleichung ergibt:
1 Z V0
pdV
ep = −
V0 V
(4.3)
Mit der Massenerhaltung p0 V0 = p V = const ergibt sich für dV :
V
V0
dV = − dp ≈ − dp
ρ
ρ0
Mit der Beziehung
(4.4)
p0
dp
= γ = c2
dρ
ρ0
folgt daraus:
dV = −
V0
dp
ρ 0 c2
(4.5)
Was wir in Glg 4.3 einsetzen und damit ,unter Veränderung der Integrationsgrenzen, auf
folgendes Integral kommen:
Z V0
1
1
ep = − · (−V0 )
dp
V0
ρ 0 c2
V
Damit folgt, durch Integration von 0 nach p, unsere Beziehung für die potentielle Energie
einer Schallwelle:
1 p2
ep =
2 ρ 0 c2
20
Herleitung aus [Rai00].
96
Anhang
Herleitung der Wellengleichung für
eine ebene Welle
Die Wellengleichung wird aus den Grundgleichungen der Strömungsmechanik hergeleitet:
Die Kontinuitätsgleichung, die Euler-Gleichung 21 und die Druck-Dichte Beziehung. Diese
Gleichungen werden an dieser Stelle als gegeben vorausgesetzt:
∂ρ
~ · (ρ ~v ) = 0
+∇
∂t
ρ
d~v
~ p
= −∇
dt
p = p (ρ)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Um die Wellengleichung herzuleiten müssen wir Glg 4.1 - 4.3 linearisieren, dabei beschreiben
wir die Größen Dichte, Schallschnelle und Schalldruck zerlegt in Gleich- und Schwankungsanteile:
ρ = ρ0 + ρ0
(4.9)
~v = ~v o + v~0 ≡ v~0
(4.10)
p = p0 + p0
(4.11)
Dabei können alle Terme höherer Ordnung in den gestrichenen Größen vernachlässigt werden.
Die Geschwindigkeitszerlegung folgt der Annahme, dass die Luftteilchen in Ruhe sind und
~v0 wegfällt.
Für die Kontinuitätsgleichung gilt nach Einsetzten von ρ und ~v :
h
i
∂
~ (ρ0 + ρ0 ) v~0 = 0
(ρ0 + ρ0 ) + ∇
∂t
Unter der gerechtfertigten Annahme, dass die Dichteänderung klein gegenüber der Dichte
ist, wird die Summe ρ0 v~0 + ρ0 v~0 = ρ0 v~0 .
21
Diese folgt aus der Navier-Stokes Gleichung unter Vernachlässigung von Reibung und Nichtlinearität.
97
Anhang
Zusätzlich verschwindet die zeitliche Ableitung von ρ0 , da ρ0 eine Konstante ist. Die
linearisierte Kontinuitätsgleichung ergibt sich, nach Herausziehen der Konstante ρ0 , zu:
∂ρ0
~ · v~0 = 0
+ ρ0 ∇
∂t
(4.12)
In der Euler-Gleichung liegt das vollständige Differential der Geschwindigkeit vor, wobei gilt:
dv~0
∂ v~0
~ v~0
=
+ v~0 · ∇
dt
∂t
Damit wird aus Glg 4.2:
)
∂ v~0
~ v~0 = −∇
~ (p0 + p0 )
(ρ0 + ρ )
+ v~0 · ∇
∂t
(
0
Auch hier werden nur lineare Terme der Schwankungsgröße berücksichtigt und alle Produkte
von zwei gestrichenen Größen werden vernachlässigt. Der Gradient von p0 ist null; daraus
folgt dann:
∂ v~0
~ 0
= −∇p
(4.13)
ρ0
∂t
Die Druck-Dichte Beziehung wird linearisiert, indem sie in einer Taylor-Reihe entwickelt
wird:
dp
(ρ0 ) + . . .
p (ρ) = p (ρ0 ) + (ρ − ρo )
dρ
Wird nun p0 = p (ρ0 ) auf die linke Seite gebracht, folgt aus der Vernachlässigung der höheren
Ordnungen eingesetzt in Glg 4.3:
p0 = ρ0
dp
(ρ0 )
dρ
dp
Das können wir unter Hinzunahme von c2 =: dρ
(ρ0 ) schreiben als linearisierte Druck-Dichte
Beziehung:
p 0 = ρ 0 c2
(4.14)
Anschaulich kann man diese Beziehung als Tangentengleichung betrachten, die an der Kurve
p (ρ) an der Stelle ρ0 anliegt. Dabei ist c2 die Steigung der Geraden. Es wird sich noch
zeigen, dass c gerade die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist.
Die oben durchgeführten Linearisierungen verlangen danach, dass bestimmte Bedingungen
erfüllt sein müssen:
98
Anhang
• Die Änderungen der Schwankungsgrößen (gestrichenen Größen) müssen klein gegen
die Gleichanteile sein.
~ v~0 muss vernachlässigbar klein sein22
• Die konvektive Beschleunigung v~0 · ∇
Aus der zweiten Bedingung folgt, dass wir noch Zusatzbedingungen stellen müssen:
Sei l die charakteristische Länge einer Störung (z. B von Maximum zu Maximum) und deren
charakteristische Zeit zwischen zwei Auslenkungsmaxima τ , können wir damit die Größe
0
der Ableitungen der Schwankungsgrößen angeben. Die Zeitableitung ∂p
z. B. ist von der
∂t
0
p0
Größenordnung τ und die räumliche partielle Ableitung ist von der Größenordnung pl ; daher
muss gelten:
l
~0 v τ
0
|p | ρ0
l
τ
!2
|ρ0 |
2c2
ρ0
ρ d2 p
0
(ρ0 )
dρ2
Schließlich wird die linearisierte Kontinuitätsgleichung nach der Zeit abgeleitet um die
Wellengleichung für den Schalldruck zu erhalten, dabei wird auch die Divergenz und die
zeitliche Ableitung vertauscht, das führt auf:
~0
∂ 2 ρ0
~ · ∂v
+
ρ
∇
0
∂ρ2
∂t
!
Nun bildet man mit der linearisierten Euler-Gleichung
~0
~ · ∂v
ρ0 ∇
∂t
(4.15)
=0
~0 ∂v
∂t
und erhält:
!
~ · ∇p
~ 0=0
+∇
(4.16)
~ ·∇
~ wird mithilfe
Damit v~0 wegfällt werden Glg 4.10 und 4.11 voneinander subtrahiert und ∇
des Laplace-Operators ∆ zu:
∂ 2 ρ0
− ∆p0 = 0
(4.17)
2
∂ρ
Im letzten Schritt kann ρ0 durch die linearisierte Druck-Dichte Beziehung mit p ersetzt
22
Bei
einer
großen räumlich Schwankung kann trotz kleiner zeitlicher Änderung einer Größe das Produkt
0
~
~
v · ∇ v~0 groß werden.
99
Anhang
werden, so erhält man die Wellengleichung für den Schalldruck:
1 ∂ 2 p0
− ∆p0 = 0
2
2
c ∂p
(4.18)
Damit wird die Ausbreitung kleiner Störungen (in der Akustik handelt es sich i.d.R. nur um
kleine Störungen) in einem ruhenden Medium beschrieben. An obiger Gleichung kann man
erkennen warum man bei Schallwellen auch von “Druckwellen” spricht.
Anhang
100
Danksagungen
An dieser Stelle möchte ich mich bei den Menschen bedanken, ohne die diese Arbeit nicht
möglich gewesen wäre, und deren Rat und Unterstützung mir eine Hilfe und Ermutigung
waren.
Für die gute Betreuung und Bereitstellung des Themas möchte ich mich bei Dr. Friedrich
Kayser und PD Dr. Frank Fiedler bedanken. Sie haben mir viel Freiraum, aber auch sehr
gute Hinweise und Anregungen gegeben.
Prof. Dr. H.- G. Sander danke ich, dass er sich als Zweitkorrektor zur Verfügung gestellt hat.
Bei Karl-Heinz Geib möchte ich mich für die Realisierung des Anblas -Mechanismus einseitig
geschlossener Rohre bedanken.
Auch den Lehrern H. P. Richter und L. Lupa danke ich, dass sie bereit waren mit ihren
Kursen am Schülertag teilzunehmen und mir wichtige Verbesserungsvorschläge und ehrliches
Feedback gegeben haben. M. Frede danke ich für das Ohrmodell aus ihrer Biologiesammlung.
Des weiteren möchte ich Anja Selent und Arno Bemberg für das Korrekturlesen und
Hilfestellung bei der Formatierung dieser Arbeit danken.
Allen Freunden, Kommilitonen und Staatsexamenskandidaten, die ich im Laufe meines
Studiums kennen und schätzen lernen durfte, danke ich.
Schließlich bedanke ich mich bei meinen Eltern und Geschwistern ohne die mein Studium
und meine persönliche Entwickelung nicht denkbar gewesen wären.
Mein größter Dank gilt dem, der mir Leben Verstand und alle Möglichkeiten gegeben hat.
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit versichere ich, Peter Lieder, dass ich die wissenschaftliche Prüfungsarbeit
für die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien selbstständig ohne
fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe. Diese Erklärung schließt auch die im Internet zugänglichen Daten ein.
Die Stellen der Arbeit, die dem Wortlaut oder dem Sinn nach anderen Werken
entnommen wurden, sind unter Angabe der Quellen der Entlehnung kenntlich
gemacht.
Die Arbeit ist noch nicht veröffentlicht oder in gleicher oder anderer Form an
irgendeiner Stelle als Prüfungsleistung vorgelegt worden.
Osthofen, den 10.04.2012
Peter Lieder