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Einführung in die Elektrizitätslehre
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Elektron
Es gibt negative und positive Ladungen. Die
Träger der negativen Ladung sind die
Elektronen, die der positiven die Protonen.
Alle in der Natur vorkommenden Ladungen sind
ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Ladung, der
Elementarladung:
e = 1,6021773 10 -19 C
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Elektron
Ein elektrisch neutraler Körper besitzt gleich viel positive
und negative Ladung.
Positiv geladene Körper haben einen Elektronenmangel.
Negativ geladene Körper haben einen Elektronüberschuss.
Gleichnamig geladene Körper stoßen sich ab, ungleichnamig geladene ziehen sich an.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Strom ist fließende Ladung
Die elektrische Stromstärke I ist ein Maß für die
pro Zeiteinheit geflossene Ladung. Sie berechnet sich als Quotient aus Ladung und Zeit:
I = Q/t bzw. I = Q / t
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die elektrische Influenz
Ladungen werden in einem elektrisch
neutralen Körper z.B. durch Annäherung
eines geladenen Körpers räumlich
verschoben - Ladungstrennung
Influenz ist die Beeinflussung
von Ladungsverteilung durch
Einwirkung elektrischer Felder
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Feld
Im Raum um elektrisch
geladene Körper besteht ein elektrisches
Feld. Die elektrischen
Feldlinien entspringen
auf positiven Ladungen
und enden auf
negativen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Feld
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Feld
Die elektrischen
Feldlinien stehen
senkrecht auf der
Leiteroberfläche
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Feld
Das Feldlinienbild zweier
entgegengesetzt geladener
Kugeln kann als Überlagerung ihrer Radialfelder
verstanden werden.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Feld
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Feld
Einführung in die Elektrizitätslehre
Versuch zur Bestimmung der elektrischen Kraft
Nach dem Strahlensatz gilt:
F
s
s
oder F G
G h
h
Mit F ist die elektrische Kraft gemeint. Da
der Ausschlag s klein gegenüber der Fadenlänge l ist, gilt: h l. Damit erhält man:
s
Fel G
l
Einführung in die Elektrizitätslehre
Versuch zur Bestimmung der elektrischen Kraft
FG = 1,76 cN und l = 1,11 m
Der Tennisball wird verschieden stark aufgeladen. Gemessen wird jeweils der Ausschlag s.
q in C
1,4 10-9
s in m
0,9 10-2
Fel in N
Fel/q in N/C
2,1 10-9
1,3 10-2
3,2 10-9 3,9 10-9
1,9 10-2 2,5 10-2
Einführung in die Elektrizitätslehre
Versuch zur Bestimmung der elektrischen Kraft
Auswertung der Messreihe
q in C
1,4×10-9
2,1×10-9
3,2×10-9
3,9×10-9
s in m
0,9×10-2
1,3×10-2
1,9×10-2
2,5×10-2
Fel in N
1,43×10-4 2,06×10-4 3,01×10-4
3,96×10-4
Fel/q in
N/C
1,02×105
1,02×105
0.98×105
0,94×105
Einführung in die Elektrizitätslehre
Versuch zur Bestimmung der elektrischen Kraft
Im homogenen Feld ist die elektrische Kraft Fel
proportional zur Probeladung q; der Quotient
aus Kraft und Probeladung ist unabhängig von
der Probeladung
Fel ~ q oder Fel/q = const.
Der Quotient aus elektrischer Kraft Fel und Probeladung q heißt die
elektrische Feldstärke E in dem betreffenden Punkt des Feldes. E ist
ein Vektor und gleich orientiert wie die Kraft auf eine positive
Probeladung
E = Fel / q
Einführung in die Elektrizitätslehre
Verschiedene Feldstärken
Feldstärken
kurz vor Durchschlag Glimmer
70*106
in Beschleunigungsstrecken für
6*106
für Elementarteilchen
kurz vor Blitzeinschlag in Luft
zwischen Hochspannungsleitungen
3,2*106
1*105
elektrisches Feld bei schönem Wetter
1.3*102
für Radioempfang:
Stereo
50*10-6
Mono
1*10-6
Einheit: N/C
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
Wird die positive Probeladung von A entlang einer
Feldlinie nach B gebracht, so ist die dazu nötige
Arbeit gleich dem Produkt aus Kraft und Weg.
WAB = Fel d = E d q
Die Arbeit ist also proportional zu q,
d.h. WAB / q = konstant
Dies gibt Anlass zu folgender Definition
Arbeit
Spannung zw ischen den Platten
Ladung
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
Arbeit
Spannung zw ischen den Platten
Ladung
W
U
q
bzw.
W=q·U
diese Energie nennt man auch potentielle Energie des
elektrischen Feldes
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
W=qU
1.Wenn die Probeladung positiv ist
(s. Abb.), dann sind Fel und s gleich
orientiert. Die an der Probeladung
auftretende Arbeit WAB ist positiv,
d.h. der Probeladung wird Energie
zugeführt.
2.Bei einer Bewegung von B nach A
sind für eine positive Ladung q Fel
und s entgegengesetzt orientiert.
Deshalb ist WAB negativ.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
WAB = Fel d = E d q
U AB
WAB
q
WAB = UAB q
Setzt man beide Gleichungen gleich,
so erhält man, wenn man nach E
auflöst:
U AB
E
d
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
Im homogenen Feld eines Plattenkondensators gilt:
U AB
E
d
Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist:
V
N
1 1
m
C
Einführung in die Elektrizitätslehre
Verschiedene elektrische Felder
Elektr. Feld der Erde am Erdboden
130 N/C
Bei Gewitter vor Blitzeinschlag
Ca. 105 N/C
380 kV-Leitung, auf freiem Feld darunter
Ca. 2103 N/C
An der Leiteroberfläche
Ca. 15103 N/C
Im Umspannwerk im Aufenthaltsraum
Ca. 5103 N/C
Durchschlagfeldstärke für trockene Luft
Ca. 3106 N/C
Durchschlagfeldstärke für Glas
Ca. 2106 N/C
Durchschlagfeldstärke für Transformatoröl
Ca. 5106 N/C
Im Gas einer Leuchtstofflampe
Ca. 70 N/C
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
Im homogenen elektrischen Feld ist die Überführungsarbeit
und damit die Spannung zwischen zwei Punkten durch die
beiden Punkte unabhängig vom Überführungsweg eindeutig
bestimmt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
Im allen elektrischen Feld ist die Überführungsarbeit und
damit die Spannung zwischen zwei Punkten durch die beiden
Punkte unabhängig vom Überführungsweg eindeutig
bestimmt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
Gesetz: In allen stationären
elektrischen Feldern ist die
Überführungsarbeit auf einem
geschlossenen Weg gleich
Null. Die Überführungsarbeit
zwischen zwei Punkten ist
von dern Verbindungsweg
unabhängig.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
Gesetz: In allen stationären elektrischen
Feldern ist die Spannung zwischen zwei
Punkten durch diese beiden Punkte eindeutig
bestimmt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im homogenen elektrischen Feld
Energieumsetzung a) im Schwerefeld b) im elektrischen Feld
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im elektrischen Feld
Spannung bedeutet, dass
elektrische Energie auf Abruf
bereit steht. Spannung tritt
auf, wenn man entgegengesetzte Ladungen unter Energiezufuhr trennt.
Feldkräfte führen der Ladung q beim Transport von einer Platte eines geladenen
Kondensators zur anderen die Energie W zu. Das Feld eines
Plattenkondensators ist homogen
Spannung: U = W/q und elektrische Feldstärke: E = U/d
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im homogenen elektrischen Feld
Energieumsetzung a) im Schwerefeld b) im elektrischen Feld
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im homogenen elektrischen Feld
Elektronen werden im elektrischen Feld
im Plattenkondensator durch verschiedene Spannungen beschleunigt.
1
q U me v 2
2
aufgelöst nach v ergibt sich
v
2 qU
me
Für die verschiedenen
Spannungen ergibt sich dann
Spannung U
10 V
Geschwindigkeit v
6
1.87547 10
100 V
5.93077 10
1000 V
1.87547 10
10000 V
1.87547 10
6
7
7
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Millikan-Versuch
Bei Millikans Öltröpfchenversuch werden
mikroskopisch kleine Öltröpfchen mithilfe
eines Zerstäubers in den Raum zwischen den
Platten eines zunächst ungeladenen
Kondensators, dessen Platten horizontal
stehen, geblasen. Mit dem Zerstäuben ist im
allgemeinen auch eine Ladungstrennung
verbunden, so dass neben neutralen sowohl
positive als auch negative Tropfen entstehen.
Diese sind bei seitlicher Beleuchtung vor
einem dunklen Hintergrund in einem
Mikroskop als helle Scheibchen sichtbar.
Beim Anlegen einer geeigneten Spannung
gelingt es, geladene Tröpfchen in den
Schwebezustand zu bringen. Ohne
elektrisches Feld sinken die Tröpfchen mit
konstanter Geschwindigkeit nach unten.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Millikan-Versuch
Robert Andrews Millikan (1868-1953)
Millikan, Robert Andrews (1868-1953), amerikanischer
Physiker, bekannt durch seine Arbeiten zur Atomphysik.
Millikan wurde in Morrison (Illinois) geboren und studierte an
der Columbia University sowie an den Universitäten von
Berlin und Göttingen. 1896 trat er der Fakultät der
Universität von Chicago bei und wurde dort 1910 Professor
für Physik. 1921 verließ er die Universität, um das Norman
Bridge Laboratory of Physics am California Institute of
Technology in Pasadena zu leiten.
1923 erhielt Millikan den Nobelpreis für Physik für seine
berühmten Öltröpfchen-Experimente, mit denen er die
Ladung eines Elektrons ermittelte. Des Weiteren forschte er
über kosmische Strahlen und Röntgenstrahlung und
ermittelte experimentell den Wert des Planckschen
Wirkungsquantums. Millikan verfasste zudem technische
Studien und mehrere Bücher über das Verhältnis zwischen
Wissenschaft und Religion.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Millikan-Versuch
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Millikan-Versuch
Einführung in die Elektrizitätslehre
Millikan-Versuch – Aufgabe 1
Aufgabe: Bei einem Versuch nach Millikan schwebt ein zweifach
negativ geladenes Öltröpfchen in einem Kondensator (Plattenabstand
d = 5,00 mm), an den eine Spannung von U = 255 V angelegt ist.
a)Skizzieren Sie den Kondensator (Polung!) und die Kräfte, die auf das
Tröpfchen wirken.
b)Leiten Sie für den Schwebefall die Beziehung zwischen der Spannung
und der Masse des Tröpfchens her; die Auftriebskraft soll dabei
vernachlässigt werden. Berechnen Sie die Masse des Öltröpfchens.
[zurKontrolle: 1,7·10-15 kg]
c)Zeigen Sie, dass man die Auftriebskraft tatsächlich vernachlässigen
kann, indem Sie das Verhältnis von Gewichtskraft und Auftriebskraft
berechnen (Dichte von Öl: 0,90 kg/dm3; Dichte von Luft: 1,3 g/dm3).
d)Das Öltröpfchen wird mit UV-Licht bestrahlt und verliert dadurch ein
Elektron. Was beobachtet man nun? Begründen Sie Ihre Antwort mit
Hilfe der wirkenden Kräfte. Eine rechnerische Behandlung ist nicht
erforderlich.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Millikan-Versuch – Aufgabe 1 - Lösung
Lösung: a) Der Gewichtskraft
halten die elektrische Kraft und die
Auftriebskraft des Öltröpfchens im
Medium Luft die Waage.
b)
c)Die Auftriebskraft Fa ist gleich dem
Gewicht der verdrängten Luft. Für das
Verhältnis der Gewichtskraft Fg des
Tropfens zur Auftriebskraft gilt:
d)Das Öltröpfchen ist nur noch einfach negativ geladen, dadurch wird die elektrische Kraft
halbiert. Es gilt nun Fg > F*e und das Tröpfchen sinkt somit beschleunigt nach unten.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Millikan-Versuch – Aufgabe 2
Aufgabe: a) Was ist das physikalisch bedeutsamste
Ergebnis des Millikan-Versuchs?
b) Skizzieren und beschreiben Sie das Wesentliche
des Versuchsaufbaus.
In einem vertikal gerichteten homogenen elektrischen
Feld der Stärke 10×104 V/m schwebt ein positiv
geladenes Öltröpfchen der Masse m = 3,3×10-12 g.
c) Wie muss das elektrische Feld gerichtet sein, damit
sich der Schwebezustand einstellen kann?
d) Wie viele Elementarladungen trägt das Tröpfchen?
e) Bei den üblichen Elektrostatik-Versuchen in der
Schule, tritt die Ladungsquantelung nicht zu Tage.
Woran liegt dies? Erhärten Sie ihre Aussage, indem Sie
abschätzen wie viele Elementarladungen auf der Platte
eines Kondensators sitzen, der die Kapazität von 1,0 nF
hat und an dem die Spannung von 5,0 kV liegt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Millikan-Versuch – Aufgabe 2 Lösung
Lösung: a) Der Millikan-Versuch zeigt, dass die elek-
trische Ladung nur in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung e auftritt, die Ladung also gequantelt ist.
b) Geladene Öltröpfchen aus einer Sprühflasche
treten durch ein Loch in das homogene Feld
eines Plattenkondensators. Die Spannung an
den Platten kann variiert und umgepolt werden.
Durch schräg einfallendes Licht wird das
Kondensatorinnere beleuchtet. Der Ort der
Tröpfchen kann mit einem Mikroskop, in dem
man die Lichtreflexe von den Tröpfchen sehen
kann, festgestellt werden.
Durch geeignete Spannungswahl kann ein
Tröpfchen zum Schweben bzw. zu
gleichförmiger Auf- und Abbewegung
gezwungen werden.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Millikan-Versuch – Aufgabe 2 Lösung
Lösung: c) Die elektrische Kraft muss nach oben gerichtet
sein. Bei einem positiven Teilchen muss also die untere
Kondensatorplatte positiv und die obere negativ geladen
sein. Das elektrische Feld zeigt in diesem Fall vertikal nach
oben.
d) Für den Schwebezustand gilt:
e) Bei den Versuchen war die beteiligte Ladung so groß, dass es gar nicht
auffallen konnte, ob eine Elementarladung mehr oder weniger vorhanden
ist.
Einführung in die Elektrizitätslehre
MILLIKAN-Versuch – Aufgabe 3
Aufgabe: Im MILLIKAN-Versuch werden kleine geladene
Öltröpfchen in das homogene Feld eines Plattenkondensators
(Abstand der horizontal liegenden Platten: d = 2,0 cm)
gebracht und durch ein Mikroskop beobachtet.
a) Ein ausgewähltes Öltröpfchen (Masse m = 4,70× 10-16 kg)
schwebt gerade bei einer Kondensatorspannung von 25 Volt.
Berechen Sie den Betrag der Ladung des Öltröpfchens.
b) Nennen Sie zwei Gründe dafür, dass eine genaue Ladungsbestimmung
mit Hilfe der Schwebemethode kaum möglich ist.
c) Im Labor verwendet man deshalb eine andere Variante des
Millikanversuchs. Dabei ergeben sich Häufungen der Messwerte bei folgenden Ladungen der Öltröpfchen: 6,4 10-19 C, 6,4 10-19 C, 6,4 10-19 C. Auf
welchen größtmöglichen Wert für die Elementarladung würde ein
Experimentator auf Grund dieser Messergebnisse schließen? Geben Sie eine
Begründung für Ihr Ergebnis an. Welche anderen Werte für die
Elementarladung sind mit diesen Messergebnissen vereinbar?
d) Kann ein Öltröpfchen auch dann im Schwebezustand (v = 0) gehalten
werden, wenn statt des elektrischen Feldes ein homogenes Magnetfeld
verwendet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Millikan-Versuch – Aufgabe 3 - Lösung
Lösung: a) Gleichgewicht zwischen elektrischer Kraft und
Gewichtskraft
b) Der Schwebezustand kann aufgrund der Brown’schen Bewegung nur
ungenau eingestellt werden. Die Masse der Tröpfchen ist zu klein, um
direkt gemessen zu werden. Der Radius kann wegen der Beugung des
Lichtes nicht direkt gemessen werden.
c) e’ = 3,2× 10-19 As ist der größtmögliche Ladungswert, der in allen
gegebenen Ladungswerten ganzzahlig enthalten ist.
Weitere mögliche Elementarladungswerte ergeben sich aus e’/n mit .
Also z.B. e’’= 1,6× 10-19 As oder e’’’= 0,80× 10-19 As usw.
d) Nein! Damit auf ein geladenes Teilchen im Magnetfeld eine Kraft wirkt,
muss eine Relativbewegung des Teilchens in Bezug auf das Magnetfeld
bestehen:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Hier überlagern sich zwei Bewegungen
Die Elektronen treten in das homogene
Feld eines Plattenkondensators ein. In
x-Richtung liegt eine gleichförmige
Bewegung vor (vx = const.) In yRichtung haben wir eine gleichmäßig
beschleunigte Bewegung. Die
Beschleunigung in y-Richtung ergibt
sich aus: Fel = e · E = m · ay = F.
ay = e/m · E.
Es handelt sich also um einen
waagerechten Wurf (ähnlich wie in der
Mechanik)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Für das elektrische Feld E erhält man:
E
E
Uy
d
Uy
d
Setzt man dies in die Gleichung für die
Bescheunigung ein, so ergibt sich:
e
Uy
e U y
e E
d
a
me
me
me d
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
E
Uy
d
In y-Richtung gilt:
y (t )
1
a y t 2 (1)
2
Setzt man dies in die Gleichung für die
Beschleunigung ein, so ergibt sich:
Uy
e
e U y
e E
d
a
me
me
me d
Dieser Term für a
eingesetzt in (1)
ergibt:
1 e U y 2
y(t )
t (2)
2 me d
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
In x-Richtung gilt:
x(t ) vo t (3)
Löst man die Gleichung (3) nach t auf und
setzt das Ergebnis in (3) ein, so erhält man:
E
Uy
d
1 e U y
2
y ( x)
x
(4)
2
2 me d vo
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Für die Geschwindigkeit in xRichtung gilt der folgende
Energieerhaltungssatz:
E
Uy
d
e U x
Löst man diese Gleichung nach vo2
auf und setzt dies in (4) ein, so
erhält man:
1
me vo2
2
y ( x)
Uy
4 d U x
x
2
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Die Bahngleichung lautet also:
y ( x)
Uy
4 d U x
x2
Am Ende des Kondensators ist
die Auslenkung in y-Richtung
yl
Uy
4 d U x
l
2
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
y
Bahnkurve Braunsche Röhre
0.02
0.015
0.01
Bahnkurven für verschiedene Ablenkspannungen
Lila: 60 V
Orange: 66 V
Grün: 100 V
0.005
0.005
0.01
0.02
0.03
0.01
0.015
0.02
d=4 cm, l = 6 cm vo = 5*106 m/s
0.04
0.05
x
0.06
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Die vorherige Gleichung gibt die Ablenkung am Ende des
Kondensators an. Meist wird jedoch die Ablenkung auf einem
Bildschirm, der in einem Abstand a vom Ende des Kondensators
angebracht ist, benötigt (in der Graphik ist dies y0).
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Mit Hilfe des Strahlensatzes
erhält man:
l
2
yl
l
( a ) y0
2
Setzt man den vorher
schon berechneten Term
für yl ein und löst nach
y0 auf, so erhält man
y0
U y l
4 U x d
(l 2a)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Mit Hilfe des Strahlensatzes
erhält man:
l
2
yl
(1)
l
( a ) y0
2
Für die Gleichung der Bahnkurve
beim waagerechten Wurf im
Plattenkondensator kann man
auch die folgende verwenden:
1 e E 2
y ( x)
x
2
2 me vo
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Mit Hilfe des Strahlensatzes
erhält man:
l
2
yl
(1)
l
( a ) y0
2
Für die Abweichung in y-Richtung
am Ende des Kondensators ergibt
sich dann:
1 e E 2
y (l ) yl
l (2)
2
2 me vo
Einführung in die Elektrizitätslehre
Setzt man jetzt Gleichung (2) in (1) ein, so erhält
man
1 e E 2
l
2
2 me vo
1 e E 2 l
2
(1a ) yo
l ( a)
2
l
y0
2 me vo
2
l
( a)
2
e E
l
yo
l ( a)
2
me vo
2
l
2
Diese Gleichung muss benutzt werden, wenn statt der
Spannungen UA und UB die Feldstärke E und die
Anfangsgeschwindigkeit vo gegeben sind.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Aufgabe: Die mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit aus der Heizwendel H austretenden Elektronen
werden im homogen angenommenen Feld zwischen
H und der Platte P beschleunigt.
a) Welche Beschleunigung erfährt ein Elektron
zwischen H und P, wenn U1 = 1,0 kV und d1 = 5,0
cm ist? Drücken Sie diese Beschleunigung als
Vielfaches von der Erdbeschleunigung aus.
b) Wie lange braucht ein Elektron, um die Strecke
d1 zurückzulegen, und welche Geschwindigkeit hat
es bei P? Geben Sie die Energie des Elektrons bei P
in eV an.
Durch ein Loch in der Platte P können die Elektronen in das zwischen P und Q herrschende Gegenfeld eintreten.
c) In welcher Entfernung von P kehren die Elektronen um, wenn die Spannung U2 = 1,2 kV und d2
= 8,0 cm beträgt?
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Lösung:
a) In positive x-Richtung liegt eine konstant beschleunigte,
geradlinige Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit vor:
Hinweis:
Anstelle die Werte von e und m separat in die Formel einzusetzen, ist es
schneller, wenn man aus der Formelsammlung den Wert für die
spezifische Ladung des Elektrons entnimmt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
b) Berechnung der Zeit aus dem Zeit-Ort-Gesetz für die
konstant beschleunigte Bewegung:
Berechnung der Geschwindigkeit aus der kinematischen Formel:
Berechnung der Geschwindigkeit aus dem Energiesatz (potentielle Energie
des Elektrons bei H wird in kinetische Energie bei P umgewandelt):
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Nach dem Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung
von 1,0 kV besitzt das Elektron die kinetische Energie von
1,0 keV = 1,0×103×1,6×10-19 J = 1,6×10-16 J.
c) Bis zum Umkehrpunkt U wird die kinetische Energie, die das Elektron
bei P hatte, in potenzielle Energie umgewandelt:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Ionen im elektrischen Querfeld
Ein Strahl von H+-Ionen mit der einheitlichen Geschwindigkeit vx=1,2·106 m/s
tritt in das homogene Feld eines Plattenkondensators in der Mitte zwischen
den Platten und parallel zu diesen ein. Am Kondensator liegt die Spannung 3,0
kV. Der Plattenabstand beträgt d = 2,0 cm, die Plattenlänge l = 4,0 cm.
a)Berechnen Sie die Zeit tF, welche ein H+-Ion für seinen Flug durch den
Plattenkondensator benötigt, sowie den Betrag der Zusatzgeschwindigkeit, die
ihm dabei erteilt wird. [Teilergebnis: vy = 4,8·105 m/s]
b)Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Diagramms den Winkel , den die
Bahn des Ions nach dem Verlassen des Kondensators mit der ursprünglichen
Flugrichtung vor dem Eintritt in den Kondensator einschließt.
c)Wie ändert sich der Winkel , wenn anstelle des H+-Ions ein einfach
geladenes He+-Ion mit der gleichen Geschwindigkeit in das Feld eintritt?
Beantworten Sie die Frage nur qualitativ, und begründen Sie Ihre Antwort.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung
Im elektrischen Feld wirkt auf die positiven Ionen eine konstante elektrische
Kraft, die eine konstant beschleunigte Bewegung in y-Richtung zur Folge hat
(ohne Anfangsgeschwindigkeit).
In x-Richtung wirkt keine Kraft, so dass in x-Richtung eine gleichförmige
Bewegung mit der Geschwindigkeit vx vorliegt.
Berechnung der Laufzeit tF im Kondensator
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung
Berechnung der Geschwindigkeit in y-Richtung am Ende des Kondensators.
Auf das Teilchen wirkt die elektrische Kraft:
(1)
Nach Newton II folgt dann für die Beschleunigung in y-Richtung:
(2)
Für die konstant beschleunigte Bewegung in y-Richtung gilt: vy = ay·t
(3)
Für die Vertikalgeschwindigkeit am Kondensatorende muss man in (3) die
Zeit tF einsetzen. Berücksichtigt man auch noch die Gleichungen (1) und
(2) so ergibt sich:
Hinweis: Verwenden Sie - wenn möglich - immer gleich die spezifische
Ladung des Teilchens, Sie sparen damit eine Rechenoperation!
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung
b) Der Winkel , den die Bahn nach
Verlassen des Kondensators mit der
Horizontalen bildet, könnte aus der
Steigung der Bahn am Ende des
Kondensators (Ableitung der
Bahngleichung) bestimmt werden. Hier
geht es schneller, wenn man die
Vertikal- und die Horizontalgeschwindigkeit in Beziehung setzt:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung
c) Nach Teilaufgabe a) kann man für die Vertikalgeschwindigkeit schreiben:
Man sieht aus der Beziehung, dass die Vertikalgeschwindigkeit indirekt
proportional zur Masse des eingeschossenen Teilchens ist, wenn die
anderen Größen fest gehalten werden.
Da die Masse des Heliumions etwa viermal so groß ist wie die Masse des
Wasserstoffions, ist die Vertikalgeschwindigkeit des Heliumions beim
Verlassen des Kondensators nur ein Viertel der des Wasserstoffions.
Damit verringert sich der Tangens des Winkels α und somit auch selbst.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Elektronen im elektrischen Querfeld - Aufgabe
Aufgabe:
Die nebenstehende Skizze zeigt im linken Teil die Beschleunigung von Elektronen in einem elektrischen Längsfeld durch Spannung Ux auf die
Geschwindigkeit v0.
Die Elektronen gelangen in elektrisches Querfeld (Ablenkspannung Uy), werden dort abgelenkt und verlassen den Kondensator in einen feldfreien Raum.
Schließlich treffen die Elektronen auf einen Leuchtschirm.
Die gesamte Anordnung
befindet sich im
Vakuum.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Elektronen im elektrischen Querfeld - Aufgabe
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v0 in Abhängigkeit von Ux und der
spezifischen Ladung des Elektrons.
b) Stellen Sie die Bahngleichung des Elektrons im Kondensator (x-ySystem verwenden) auf. Zeigen Sie allgemein, dass es mit der
dargestellten Anordnung nicht möglich ist die spezifische Ladung des
Elektrons zu bestimmen.
c) Geben Sie die Bahngleichung des Elektrons zwischen Kondensator und
Schirm an (x*-y*-System verwenden).
d) Zeigen Sie allgemein, dass die Auslenkung y0 von der x-Achse
proportional zur Spannung Uy ist.
e) Das Ergebnis von Teilaufgabe d) zeigt, dass die Anordnung für
Spannungsmessungen geeignet ist. Welchen Vorteil besitzt diese
Anordnung gegenüber einem in Volt geeichten Drehspulinstrument?
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Elektronen im elektrischen Querfeld - Lösung
a) Aus dem Energiesatz folgt:
b) Zeit-Orts-Gesetz
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz:
Setze (2) in (3):
Für die y-Beschleunigung im Querfeld gilt:
Setzt man (5) in (4), so folgt:
Dass die Bahnkurve völlig unabhängig von der spezifischen
Ladung e/m ist, sieht man, wenn in (6) noch die Beziehung (1)
eingesetzt wird:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Elektronen im elektrischen Querfeld - Lösung
c) Im feldfreien Raum außerhalb des Kondensators bewegen sich die Teilchen
geradlinig. Es ergibt sich eine Gleichung vom Typ:
y* = m×x*
Die Steigung m der Geraden ist die gleiche, wie die Steigung der
Parabelbahn im Kondensator am Ort x = l. Berechnung der
Parabelsteigung am Ort x = l durch Differenzieren der Bahngleichung:
Somit gilt für die Geradengleichung:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Elektronen im elektrischen Querfeld - Lösung
d) Die gesamte Ablenkung y0 setzt sich aus der Ablenkung im Kondensator
yP und der in Teilaufgabe c) berechneten Ablenkung y* zusammen.
Berechnung von yP aus der in Teilaufgabe b) hergeleiteten Formel für x = l:
Bestimmung von y0:
Aus der Formel sieht man, dass die Gesamtablenkung proportional zur
Ablenkspannung Uy ist.
e) Der Vorteil der dargestellten Anordnung ist gegenüber dem
Drehspulinstrument, dass der Elektronenstrahl zeitlichen
Änderungen von Uy nahezu trägheitslos folgen kann.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Ionenantrieb – Aufgabe
(GK-Bayern ABI 2000)
Seit Herbst 1998 verwendet die NASA eine Raumsonde mit Ionenantrieb.
Dabei werden einfach positiv geladene Xenon-Ionen zwischen zwei Gittern
beschleunigt, die wie ein Plattenkondensator wirken. Die über den ganzen
Gitterabstand beschleunigten Ionen mit vernachlässigbarer
Anfangsgeschwindigkeit verlassen die Raumsonde und erzeugen dabei den
nötigen Rückstoß. Die Spannung zwischen den Gittern beträgt 1280 V, ihr
Abstand ist 5,0 cm. Ein Xenon-Ion hat die Masse 2,18·10-25 kg und die
Raumsonde hat die Masse 486 kg.
a) Mit welcher Geschwindigkeit verlassen die Ionen die Sonde?
b) Berechnen Sie die elektrische Kraft auf die 2,2·1013 Ionen, die jeweils
gleichzeitig zwischen den Gittern sind! [zur Kontrolle: 90 mN]
c) Wie viele Stunden würde es dauern, um die Raumsonde von 0 auf 100
km/h zu beschleunigen, wenn keine weiteren Kräfte wirken? Der
Masseverlust durch das Austreten der Ionen ist zu vernachlässigen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Ionenantrieb – Lösung
(GK-Bayern ABI 2000)
a) Das elektrische Feld verrichtet an den Ionen Beschleunigungsarbeit. Die
kinetische Energie der Ionen beim Austritt ist gleich der Feldarbeit:
b)Für die Kraft auf ein Teilchen gilt: Fe = q E
Für die resultierende Kraft gilt dann:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Ionenantrieb – Lösung
(GK-Bayern ABI 2000)
c) Nach Newton III wirkt die Reaktionskraft zu Fres auf die Sonde. Diese
Reaktionskraft ist vom gleichen Betrag wie Fres.
Wenn nur die konstante Kraft Fres auf die Sonde wirkt, handelt es sich um
eine konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit.
Für die Beschleunigung gilt:
Für die Geschwindigkeit gilt:
Zeitdauer:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Braunsche Röhre – Aufgabe
( El. Felder Seite 43, A. 2)
Aufgabe: Ionen mit der Ladung e und der Masse m durchlaufen die
Spannung Ub und treten dann senkrecht zu den Feldlinien in ein
Plattenpaar mit dem Abstand d und der Plattenlänge l ein. Dann treffen
sie auf den im Abstand s stehenden Schirm.
a) Berechnen Sie die Auslenkung yl des Strahles, wenn an das
Plattenpaar die Spannung Uy angelegt wird. Anleitung: Legen Sie den
Ursprung des zur Berechnung verwendeten Koordinatensystems in den
Punkt 0.
b) Wie wirken sich Ladung und Masse der Ionen auf Ablenkung aus?
c) Untersuchen Sie die in Teilaufgabe a) erhaltenen Auslenkung yl im
Hinblick auf folgende Grenzfälle:
1) Ub = 0, 2) Uy = 0, 3) l = 0, 4) l + s = l, 5) Ub
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Braunsche Röhre – Lösung
( El. Felder Seite 43, A. 2)
Zu a) Plattenlänge l; Auslenkung:
Uy l2
1 2
f l 2
y1 a t
2
2
2 mv
Ub 4 d
Zu b) Ladung und Masse der Ionen haben keine
Auswirkung, da der Quotient q/m nicht mehr enthalten ist.
Zu c) (1) für Ub0 strebt yl
(2) für Uy=0 wird die Auslenkung 0,
(3) für l=0 wird die Auslenkung 0,
(4) Für l+s=l wird die Gesamtablenkung yL = yl.
(5) Für Ub strebt die Auslenkung yl0
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Braunsche Röhre – Aufgabe
( El. Felder Seite 43, A. 1)
Aufgabe: In einer Braunschen Röhre beträgt die Spannung an
den Ablenkplatten ( d = 1,0 cm, l = 3,0 cm, Abstand vom
Schirm s = 0,20 m) Uy = 60 V. Ein Elektron tritt senkrecht zu
den Feldlinien mit der Anfangsgeschwindigkeit 107 m/s in das
elektrische Feld. Berechnen Sie
a) die Kraft auf das Elektron und seine Beschleunigung,
b) die Ablenkung nach Durchlaufen des Plattenpaares,
c) die Komponente der Geschwindigkeit senkrecht zu den
Platten beim Verlassen des Feldes,
d) den Winkel, um den das Elektron aus seiner ursprünglichen
Bahn abgelenkt wird,
e) die Gesamtablenkung auf dem Schirm.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator
Braunsche Röhre – Lösung
a)
Kraft F e E e
Uy
d
( El. Felder Seite 43, A. 1)
1,6021019 C 60
V
9,6 1016 N
2
10 m
Beschleunigung a
m
9 104 m 2
2
s
4,8 m m
2
14 m
2 10 2
s
1,061015
b)
1
1 l
Ablenkung y1 a t 2 a 2
2
2 v
c)
l
m
Geschwindi gkeitskomp onente v y a t a 3,18 10 6
v
s
d)
2
Ablenkwinkel aus tan
e) Gesam tablenkung y3
vy
vx
0,318, d .h. 17,5O
U y l l
s
Ub 2 d 2
3 10 2 m
60V 3 10 2 m
6,8 cm
0
,
2
m
2
2
2,8410 V 2 10 m
2
F
m
1,061015 2
me
s
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Aufgabe
Ein Elektronenstrahl enthalte Elektronen
unterschiedlicher Geschwindigkeit.
a) Beschreiben und erklären Sie eingehend
eine Möglichkeit, wie man daraus einen
Strahl erzeugen kann, der nur Elektronen
mit einer bestimmten Geschwindigkeit vo
enthält.
Elektronen der Geschwindigkeit v = 6,0·106 m/s
treten mittig in das homogene Feld eines Plattenkondensators (Länge 5,0 cm)
ein. An den Platten des
Kondensators wird eine
Wechselspannung U der
Frequenz 12 kHz angelegt.
Hinter dem Kondensator
befindet sich eine Blende,
deren Öffnung den Durchmesser d = 1,0 mm hat. Im
Abstand L = 3,0 m hinter
dieser Blende werden die
Elektronen in Detektoren
registriert (siehe Skizze).
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Aufgabe
b) Berechnen Sie die Flugzeit tF eines Elektrons durch den Kondensator
und bestätigen Sie damit, dass sich für jedes einzelne Elektron die
Feldstärke während der Durchquerung nur geringfügig ändert.
c) Begründen Sie, dass
bei hinreichend großem
Scheitelwert der angelegten Wechselspannung
nach der Blende ein gepulster Elektronenstrahl
zur Verfügung steht.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Aufgabe
Um die Aufweitung eines Elektronenpulses durch die Coulomb-Abstoßung der
Elektronen untereinander abzuschätzen, wird im Folgenden ein aus 100 Elektronen
bestehender Puls (Maße siehe Skizze) betrachtet. Dazu berechnet man die Kraft
auf ein einzelnes Elektron am Rand des Pulses, das von der Ersatzladung QErsatz den
Abstand d/2 hat. Die Ersatzladung (Wirkung der übrigen Elektronen) ergibt sich
näherungsweise durch die Gesamtladung der restlichen Elektronen in der Mitte des
Pulses (siehe Skizze).
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Aufgabe
d) Berechnen Sie die durch die Coulombkraft verursachte
Beschleunigung a des betrachteten Elektrons. [zur Kontrolle
a=1,0· 1011 m/s2]
e) Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass die Kraft während
der gesamten Flugdauer nach dem Passieren der Blende konstant
bleibt. In welchem Abstand von der Strahlmitte trifft dann das
betrachtete Elektron am Schirm auf?
f) In der Realität ändert sich die Kraft auf das betrachtete
Elektron. Wie wirkt sich dies auf das Ergebnis aus? (Begründen Sie
Ihre Antwort!)
g) Begründen Sie, dass sich diese Ergebnisse auch auf einen
ungepulsten (durchgehenden) Elektronenstrahl übertragen lassen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Lösung
Man kann die Elektronen z.B.
durch ein sogenannten Wiensches
Geschwindigkeitsfilter schicken:
Ein feiner durch eine Blende kollimierter Strahl von Elektronen
unterschiedlicher Geschwindigkeit
tritt in einen Kondensator, dessen
homogenes elektrisches Feld z.B.
von oben nach unten gerichtet
ist. Zusätzlich herrscht im Kondensator ein homogenes Magnetfeld, welches in die Papierebene
gerichtet ist.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Lösung
a) Auf ein Elektron wirken dann die elektrische
Kraft und die Lorentzkraft in entgegengesetzter Richtung. Haben diese beiden Kräfte
den gleichen Betrag, so kann ein Elektron mit
der Geschwindigkeit v0 = E/B die Anordnung
unabgelenkt verlassen. Elektronen mit anderen
Geschwindigkeiten werden abgelenkt und
passieren die linke Blende nicht.
b) Für die Flugzeit gilt:
Für die Periodendauer T der
Wechselspannung gilt:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Lösung
noch b) Da die Flugdauer wesentlich kleiner
als die Periodendauer der Wechselspannung
ist, kann man davon ausgehen, dass auf die
Elektronen während der Passage durch den
Kondensator ein nahezu konstantes
elektrisches Feld wirkt.
c) Die Elektronen können die Blende nur passieren, wenn sie im
Kondensator nicht merklich abgelenkt werden. Dazu darf während des
Aufenthalts im Kondensator die Spannung nur geringfügig vom Wert
Null abweichen. Ist der Betrag der Spannung größer, werden die
betroffenen Elektronen so weit abgelenkt, dass die auf die Blende
treffen. Nach der Blende bleibt also nur ein Elektronenpaket übrig, das
den Kondensator unabgelenkt durchflogen hat. Erst nach der Zeit T tritt
wiederum solch ein Paket auf.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Lösung
d) Berechnung der Coulombkraft auf ein Elektron am
Rand des Pulses:
Für die Beschleunigung des Elektrons gilt:
e) Das betrachtete Elektron führt in vertikaler Richtung
eine konstant beschleunigte Bewegung aus. Es gilt:
Für die Flugdauer gilt:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Lösung
Noch e) Berechnung der Ablenkung aus der
Horizontalen:
f) Mit wachsendem Abstand des betrachteten Elektrons von QErsatz wird die
Kraft auf dieses Elektron kleiner. Dadurch ist die tatsächliche Ablenkung
etwas kleiner als die in Teilaufgabe e) berechnete.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern
Gepulster Elektronenstrahl – Lösung
g) Die Elektronen außerhalb des betrachteten Pakets sind
vergleichsweise weit vom betrachteten Elektron entfernt.
Daher ist die durch diese Elektronen (außerhalb des Pakets)
verursachte Kraft und erst recht deren Komponente in yRichtung sehr klein. Die Wirkung der Elektronen außerhalb
des Pakets kann also vernachlässigt werden. Insofern lassen
sich die Ergebnisse der vorhergehenden Teilaufgaben auch
auf einen ungepulsten Elektronenstrahl übertragen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Braunsche Röhre
Die Braunsche Röhre ist Bestandteil
von jedem Oszilloskop und ist im
Prinzip auch in jedem Fernsehgerät
und Computerbildschirm (außer den
Flachbildschirmen) eingebaut. Bei
Fernseher und
Computerbildschirmen funktioniert
die Ablenkung allerdings über
Magnetspulen und die Röhre ist
anders beschichtet.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Braunsche Röhre
Aufbau
Zur Strahlerzeugung (1) gehört vor
allem eine Heizwendel. Durch den
glühelektrischen Effekt treten aus der
Heizwendel Elektronen aus. Diese
werden wegen der angelegten
Anodenspannung zur Anode (2) hin
beschleunigt.
Der Wehnelt-Zylinder (graue Dose) ist negativ geladen und stößt die
Elektronen ab. Er dient der besseren Bündelung des Elektronenstrahls. Ein
enger Elektronenstrahl tritt nun durch das Loch in der Anode (2).
Zur Ablenkung des Elektronenstrahls sind zwei Plattenpaare in die Röhre
eingebaut. Sie bestehen aus zwei parallelen Metallplatten, die sich in in
geringem Abstand gegenüberstehen.
Die Elektronen gelangen zum Schirm (5), der dort aufleuchtet, wo die
Elektronen auftreffen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Braunsche Röhre
Die vertikale Ablenkung
Das Plattenpaar (3) kann je nach
Polung den Strahl nach oben oder
unten ablenken.
Die horizontale Ablenkung
Das Plattenpaar (4) lenkt den Strahl in entsprechender Art horizontal ab.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Braunsche Röhre als Oszilloskop
Bei einem Oszilloskop
legt man an die
Platten eine
Spannung mit
folgendem Verlauf
Zu Beginn ist die Spannung an den Kondensatorplatten maximal, der
Strahl ist am linken Bildschirmrand.
Der Betrag der Spannung nimmt immer mehr ab. Der Strahl geht immer
weiter Richtung Bildschirmmitte.
Ist der Strahl in der Bildschirmmitte ist die Spannung an den Ablenkplatten
null. Die Spannung wechselt nun ihre Polung.
Der Betrag der Spannung (bei umgekehrter Polung) immer mehr zu. Der
Strahl wird immer mehr nach rechts abgelenkt
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Braunsche Röhre als Oszilloskop
Ist der Maximalwert erreicht, ändert sich die Spannung vom positiven
Maximalwert auf den negativen Maximalwert. (Der Betrag der Spannung
bleibt erhalten, die Polung ändert sich).
Der Strahl springt vom rechten Rand an den linken Rand des Schirms.
Der Vorgang beginnt von vorn.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Braunsche Röhre
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Linearbeschleuniger
Schon beim TandemBeschleuniger wurde die
Spannung einer Quelle zweimal
für die Beschleunigung geladener
Teilchen ausgenutzt. Beim
Linearbeschleuniger wird dieses
Prinzip zur Perfektion getrieben.
Die Teilchen (wir gehen bei der
Erklärung von positiven Teilchen
aus) treffen von einer Quelle
kommend auf einen metallischen
Hohlzylinder der mit einem Pol
der Spannungsquelle verbunden
ist. Das Innere dieses
Hohlzylinders ist feldfrei, es findet
also im Inneren des Zylinders
keine Beschleunigung statt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Linearbeschleuniger
Ist die erste Röhre beim Verlassen der Teilchen
positiv und die zweite Röhre (die mit dem
anderen Pol der Spannungsquelle verbunden
ist) negativ geladen, so gewinnen die positiven
Teilchen im Raum zwischen den Röhren
(Beschleunigungsstrecke) an Geschwindigkeit.
Im feldfreien Innenraum der zweiten Röhre
bewegen sich die Teilchen gleichförmig. Ein
weitere Geschwindigkeitszunahme der Teilchen
auf der Beschleunigungsstrecke zwischen
zweiter und dritter Röhre erfolgt nur, wenn nun
die zweite Röhre positiv und die dritte Röhre
negativ geladen ist.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Linearbeschleuniger
Das Umpolen der Röhren wird erreicht, indem
man eine Wechselspannungsquelle verwendet.
Bei einer Wechselspannung fester Frequenz ist
die Zeitspanne, welche zwischen dem Umpolen
verstreicht stets gleich.
Die Teilchen werden bei richtiger Polung der
Röhren immer schneller. Wären die Röhren alle
von gleicher Länge, so würde die
Aufenthaltsdauer der Teilchen in der Röhre
immer kleiner werden. Dies hätte bei fester
Wechselspannungsfrequenz zur Folge, dass die
Teilchen über kurz oder lang ein Gegenfeld
zwischen zwei Röhren vorfinden würden, was
eine Abbremsung zur Folge hätte.
Um dies zu vermeiden verlängert man die
Röhren mit zunehmender Entfernung von der
Quelle gerade so, dass die Durchflugszeit bei
jeder Röhre gleich ist. Auf diese Weise schafft
man es, dass die Teilchen zwischen den Röhren
stets ein optimal gepoltes Feld vorfinden.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Linearbeschleuniger
Bei den
Linearbeschleunigern
erreichen die Teilchen
Geschwindigkeiten nahe
der Lichtgeschwindigkeit.
Bei nicht so großen
Rohrlängen muss also die
Wechselspannung sehr
schnell umgepolt werden.
Daher der Name
"HochfrequenzLinearbeschleuniger".
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Linearbeschleuniger
Der größte Linearbeschleuniger
steht in Stanford USA
(Stanford Linear Accelerator
kurz SLAC). Er ist ca. 3 km
lang und kann Elektronen und
Positronen (Teilchen mit der
Masse eines Elektrons und
positiver Elementarladung) auf
ca. 50 GeV beschleunigen.
Um Grundlagen der Materie zu
erforschen werden der
Elektronenstrahl und der
Positronenstrahl gegeneinander
geschossen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Feldelektronenmikroskop
In der Mitte eines evakuierten
Glaskolbens befindet sich eine
sehr feine heizbare
Einkristallspitze K aus Wolfram
(Krümmungsradius ca. 10-7 m),
die als Kathode dient. Die Anode
A wird durch eine ebenfalls
beheizbare Wolframwendel
gebildet, an der sich ein
Bariumvorrat befindet. A ist
leitend mit dem metallisierten
Leuchtschirm verbunden.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Feldelektronenmikroskop
Legt man zwischen K und A eine
Hochspannung, so tritt an der
Wolframspitze K ein sehr starkes
elektrisches Feld auf, welches aus
dieser zunächst ungeheizten Spitze
Elektronen herauslöst
(Feldemission). Die so gewonnenen
freien Elektronen werden durch das
elektrische Feld (Größenordnung
etwa 107 V/cm) radial in Richtung
des Glaskolbens beschleunigt und
bringen die mit einer speziellen
Schicht überzogene Innenseite des
Kolbens zum Leuchten.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Feldelektronenmikroskop
Auf diesem - etwa 5cm von der
Spitze K entfernten Leuchtschirm
ist nun nicht ein gleichmäßig helles
Leuchten zu beobachten, wie man
es von einer glatten homogenen
Oberfläche der Kristallspitze
erwarten würde. Man sieht vielmehr
diffuse regelmäßig angeordnete
helle Flecke. Es gibt offenbar auf
der strukturierten Kristalloberfläche
Zonen, die leichter Elektronen
abgeben. Von diesen Zonen sehen
wir die Bilder auf dem Leuchtschirm
in Form heller Flecke
(Vergrößerungsfaktor ca. 500 000).
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Feldelektronenmikroskop
Durch Beheizen der Anode A kann
man Barium verdampfen. Einige
Bariumatome gelangen auch auf die
Wolframspitze K und verändern
dadurch deren Oberfläche. Die
Bariumatome wirken wie kleine
Spitzen, die auf die
Wolframelektrode aufgesetzt sind.
Das elektrische Feld um die
Bariumatome ist daher stärker als
in der Umgebung (Spitzenwirkung).
Die durch Feldemission aus den
Bariumatomen "gesogenen"
Elektronen entwerfen auf dem
Bildschirm helle Bildpunkte.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Feldelektronenmikroskop
Heizt man nun die Spitze K vorsichtig,
so erkannt man eine Bewegung der
durch die Bariumatome hervorgerufenen Bildpunkte auf dem Leuchtschirm, die umso lebhafter wird, je
höher die Temperatur der Wolframspitze gewählt wird. Auf diese Weise
hat man die Möglichkeit der direkten
Beobachtung der "Wärmebewegung"
von Atomen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Feldelektronenmikroskop
Im Jahre 1951 entwickelte Prof. Erwin Müller
das Feldelektronenmikroskop und bildete
damit die Spitze einer Elektronen emittierenden
Nadel ab. Das Auflösungsvermögen von ca. 2
nm reichte aus, um einzelne Moleküle zu sehen.
Im Jahre 1955 gelingt es Erwin Müller mit dem
Feldionenmikroskop das erste mal ein
einzelnes Atom sichtbar – ein Uranatom.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
Lädt man einen Kondensator mit einer bestimmten Spannung U so wird
die Ladung Q von einer Platte auf die
andere verschoben, so dass auf der
einen Platte ein Ladungsüberschuss
+Q und auf der anderen Ladungsmangel -Q gegenüber dem neutralen
Zustand besteht. Löst man den Kondensator von der Stromquelle und
entlädt ihn über ein Ladungsmessgerät (ballistisches Galvanometer
oder auf Ladung eingestellter Messverstärker) so gleichen sich die Überschussladungen durch einen Ladungsfluss der Ladung Q aus, dieser wird
gemessen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
Messung der aufgenommenen
Ladung Q in Abhängigkeit von der
angelegten Spannung U.
Plattenfläche A = 800 cm² und
Plattenabstand d = 4 mm bleiben
konstant.
U in V
Q in 10-9 C
50
100
150
200
250
300
10,5
20
30
41
51
59
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
U in V
Q in 10-9 C
Q/U
50
100
150
200
250
300
10,5
20
30
41
51
59
2,1·10 -10
2·10 -10
2·10 -10
2·10 -10
2,1·10 -10
2·10 -10
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
Ergebnis: Die Ladung Q ist der angelegten Spannung proportional: Q U
Unter der Kapazität C eines Kondensators versteht man den Quotienten
aus der Ladung Q und der Spannung U
Q
C
U
Die Einheit ist:
C
1 1 Farad 1 F
V
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
Bestimmung der Kapazität C in
Abhängigkeit von der
Plattenfläche A.
Bei gleichem Plattenabstand d =
4mm (Abstandsstückchen) wird der
obige Versuch für eine zweite Fläche
A = 400 cm² wiederholt.
A = 800 cm2
U = 250 V
Q = 51 10-9
C=
A = 400 cm2
U = 250 V
Q = 26 10-9
C=
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
Bestimmung der Kapazität C
in Abhängigkeit von der
Plattenfläche A.
Ergebnis: Die Kapazität C ist
proportional zur Fläche des
Kondensators C A
A = 800 cm2
U = 250 V
Q = 51 10-9
C = 200 pF
A = 400 cm2
U = 250 V
Q = 26 10-9
C =100 pF
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
Bestimmung der Kapazität C in Abhängigkeit vom
Plattenabstand d.
Unter Beibehaltung der Plattenfläche (A = 400 cm²) wird der
Plattenabstand durch Einsetzen verschiedener Abstandsstückchen variiert, Ladung und Spannung gemessen und
daraus die Kapazität bestimmt
d=1 mm U=250 V
Q=10010-9 C
C=
d=2 mm U=250 V
Q=5210-9 C
C=
d=3 mm U=250 V
Q=3310-9 C
C=
d=4 mm U=250 V
Q=2610-9 C
C=
d=6 mm U=250 V
Q=1710-9 C
C=
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
d=1 mm
U=250 V
Q=10010-9 C
C = 400 pF
d=2 mm
U=250 V
Q=5210-9 C
C = 200 pF
d=3 mm
U=250 V
Q=3310-9 C
C = 132 pF
d=4 mm
U=250 V
Q=2610-9 C
C = 100 pF
d=6 mm
U=250 V
Q=1710-9 C
C = 68 pF
Ergebnis: Kapazität und Abstand
sind antiproportional
C 1/d
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
Zusammenfassung:
C A 1/d
d.h.
C
konst. Dielektrizitätskonst. 0
1
A
d
0 ist eine Naturkonstante.
0 8,85 10
12
As
Vm
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der Kondensator
Die Kapazität eines Kondensators
berechnet sich wie folgt:
A
C 0
d
bzw.
A
C 0 r
d
Einführung in die Elektrizitätslehre
Schaltung von Kondensatoren
Die Parallelschaltung
Schiebt man zwei Kondensatoren zusammen, bis sich die Platten
berühren, so hat man einen Kondensator daraus gemacht .
Die Plattenflächen addieren sich und der Plattenabstand bleibt
gleich --> Die Kapazitäten addieren sich
Einführung in die Elektrizitätslehre
Schaltung von Kondensatoren
Die Parallelschaltung
Bei der Parallelschaltung addieren sich die Einzelkapazitäten
zur Gesamtkapazität: Cges=C1 + C2 + C3..
Die Spannung an den Kondensatoren ist gleich: U1 = U2 = U
Einführung in die Elektrizitätslehre
Schaltung von Kondensatoren
Die Parallelschaltung
Sind die Einzelkapazitäten verschieden, sind auf den
Kondensatoren unterschiedliche Ladungsmengen.
Beispiel: Spannung U=100 V; C1 =5 F; C2 =2 F
Q1=C1·U = 5·100 = 500 C;
Q2=C2·U = 2·100 = 200 C
Einführung in die Elektrizitätslehre
Schaltung von Kondensatoren
Die Reihenschaltung
Unabhängig von der Spannung Uges gilt:
Alle Kondensatorplatten aller Kondensatoren
tragen stets (betragsmäßig) dieselbe
Ladungsmenge Q.
Da die Kapazität der Kondensatoren aber unterschiedlich ist, gilt dies auch für die einzelnen Spannungen an den Kondensatoren:
Die Teilspannungen U1 und U2 und U3 addieren sich zur
Gesamtspannung Uges.
Uges = U1 + U2 + U3
Einführung in die Elektrizitätslehre
Schaltung von Kondensatoren
Die Reihenschaltung
Wegen U
Q
C
und Q = Q1 = Q2 = Q3
Q
Q
Q
Q
Cges C1 C2 C3
Man dividiert durch Q und erhält
Für die Gesamtkapazität bei der Reihenschaltung gilt:
1
1
1
1
Cges C1 C 2 C3
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Energie des elektrischen Feldes
Die elektrische Energie eines mit der Spannung U aufgeladenen Kondensators mit der
Kapazität C ist:
1 Q2 1
1
Wel
Q U C U2
2 C
2
2
Diese Energie kann man als
potentielle Energie der Ladungen auffassen. Es entspricht aber der Feldvorstellung, dass man sich die
Energie im Feld gespeichert
vorstellt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Energie des elektrischen Feldes
Die Energiedichte el an einem Ort eines elektrischen
Feldes ist der Quotient aus der Energie ∆W, die das
Feld an diesem Ort in einem umgebenden Volumen ∆V
enthält, und dem Volumen ∆V
W
el
V
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Energie des elektrischen Feldes
Für ein homogenes Feld darf man die Energiedichte als
konstant annehmen. Man kann für den Plattenkondensator
daher die gesamte Energie des Feldes durch das eingeschlossene Volumen V = A d dividieren.
Wel
ρel
V
1
2
2
CU
Ad
εr ε 0
A
d
(E d)2
2Ad
1
2
εr ε 0 E2
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Energie des elektrischen Feldes
Den für das homogene Feld hergeleiteten Ausdruck der
Energiedichte kann man auf allgemeine Felder übertragen,
da sie in genügend kleinen Bereichen als (nahezu)
homogen betrachtet werden dürfen
Die Energiedichte eines (beliebigen) elektrischen Feldes
an einem Ort mit der Feldstärke E ist gegeben durch
ρel
1
2
2
εr ε 0 E
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Anziehungskraft zwischen den
Kondensatorplatten
Die elektrische Feldstärke in einem Plattenkondensator hängt nicht
vom Plattenabstand d ab, wenn die Quelle abgetrennt ist. Zieht
man die Platten mit der Fläche A auseinander, so vergrößert man
das vom Feld erfüllte Volumen V = A s und seine Energie um
ΔW
1
2
εr ε 0 E2 A Δ s
Zum Ziehen längs der Feldlinien braucht man die Kraft F, also
die Energie
W = F s
2
ΔW 1
1
U
F
εr ε 0 E2 A εr ε 0 2 A
Δs
2
2
d
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatorauf- und Entladung
Qt,It,Ut
Aufladung eines Kondensators
0.00004
0.00003
Ut
It
Qt
0.00002
0.00001
1
2
3
4
5
6
t
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatoraufladung
I(t)
U Uc (t)
U(t)
I(t) G
R
R
führt auf die Differenzialgleichung
I(t)
UG
1
Q(t)
R
RC
mit Q(t) I(t) t erhält man I(t) Q(t) und damit Q(t)
UG
1
Q(t).
R RC
Um den konstanten Term UG/R wegzubekommen, leitet man noch
einmal nach t ab. Die endgültige Differenzialgleichung lautet dann:
1
Q(t)
Q(t) 0
RC
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatoraufladung
1
Q(t)
Q(t) 0
RC
Ein Ansatz für die Lösung lautet:
Q(t) A1 e α t A 2
Q(t) α A1 e α t
Q(t) α 2 A1 e α t
Setzt man in die Differenzialgleichung ein, so erhält man:
α A1 e
2
αt
1
α A1 eα t 0
RC
Daraus ergibt sich:
1
α
RC
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatoraufladung
1
Q(t)
Q(t) 0
RC
Zu Beginn (t=0) ist die vorhandene Ladung 0.
Somit ist Q(t 0) A1 e
1
t
RC
A2 A1 A2 0
Am Ende der Aufladung (t) ist die gesamte Ladung Qo.
Somit ist Q(t ) A1 e
1
t
RC
A2 A2 Q0
Man erhält 2 Gleichungen:
(1) A1 + A2 = 0
(2) A2 = Q0
Daraus ergibt sich: A2 = Q0 und A1 = -Q0
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatoraufladung
1
Q(t)
Q(t) 0
RC
Die Lösung der Differenzialgleichung lautet somit:
Q(t) Q0 - Q0 e
Es gilt : I(t) Q(t)
Damit ist : I(t) I0 e
1
t
RC
Q0 (1 e
1
(- Q0 e
RC
1
t
RC
1
t
RC
)
1
t
RC
)
Q0
e
RC
1
t
RC
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatoraufladung
1
Q(t)
Q(t) 0
RC
1
Für die Spannung gilt:
Q(t) Q0 (1- e
Zusammenfassend
ergibt sich:
1
t
t
Q(t) Q0
RC
RC
U(t)
(1 e
) U0 (1 e
)
C
C
I(t) I0 e
1
t
RC
)
1
t
RC
U(t) U0 (1- e
1
t
RC
)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatorentladung
Strom und Spannung ändern sich im Verlauf
der Zeit, also I = I(t) und U = U(t). Sie sind
aber durch das Ohmsche Gesetz miteinander
verknüpft: U(t) = I(t) * R (1)
Zur Zeit t ist die elektrische Ladung Q(t). Es gilt: Q(t) = U(t) * C (2)
bzw. aufgelöst nach U(t): U(t) = Q(t)/C
Setzt man U(t) in die Gleichung (1) ein, so ergibt sich:
Q(t )
Q(t )
R I (t )
I (t )
C
R C
So erhält man die folgende
Differenzialgleichung:
Beachtet man noch das gilt:
I (t )
dQ (t )
dt
Q(t )
dQ(t )
1
dQ(t )
Q(t )
Q(t )
R C
dt
R C
dt
(3)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatorentladung
Differenzialgleichung
1
Q(t ) Q(t )
R C
Als Lösungsansatz kommt nur die e-Funktion in Frage
Setzt man dies in (3) ein, so erhält man:
1
A e k t ( k A e k t )
RC
1
k
Dies setzt m an in Q(t ) ein :
RC
Q (t ) A e
1
t
RC
(3)
Q (t ) A e k t
Q ' (t ) k A e k t
Zu Beginn ist die gesamte Ladung
noch auf dem Kondensator, also:
Q(t=0) = A = Q0
Die Lösung ist : Q(t ) Q0 e
1
t
RC
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatorentladung
Q(t ) Q0 e
1
t
RC
Jetzt müssen noch I(t) und U(t) bestimmt werden.
1
1
1
t
t
U0 R C t
1
RC
RC
Es gilt: I(t) = - Q‘(t) Damit ist I (t )
Q0 e
e
I0 e
RC
R
Für U(t) erhält man aus der Gleichung: Q(t) = C U(t)
Q0
U (t )
e
C
1
t
RC
U0 e
1
t
RC
Einführung in die Elektrizitätslehre
Kondensatorentladung
Zusammenfassend ergibt sich:
Q(t ) C U 0 e
1
t
RC
1
t
RC
U0
I (t )
e
R
Q0
U (t )
e
C
1
t
RC
Q0 e
1
t
RC
1
t
RC
I0 e
U0 e
1
t
RC
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
1.Aufgabe: Ein Plattenkondensator mit der Plattenfläche A = 400 cm2 und dem
Plattenabstand d = 2 mm wird auf die Spannung U = 1000 V aufgeladen. Zwischen
den Platten ist Luft. Nach dem Aufladen wird die Quelle wieder abgetrennt.
a) Berechnen Sie die Ladung des Kondensators und die Feldstärke zwischen den
Platten.
b) Nun schiebt man eine 2 mm dicke Glasplatte (r = 5) zwischen die
Kondensatorplatten. Erklären Sie die physikalischen Vorgänge im Innern der
Glasplatte und berechnen Sie die dort vorliegende Feldstärke sowie die Spannung
zwischen den Platten.
c) Nun werden die Kondensatorplatten auf 4 mm Abstand auseinandergezogen,
wobei aber die Glasplatte zwischen den Kondensatorplatten verbleibt. Wie groß ist
jetzt die Spannung zwischen den Platten?
d) Die nach c) berechnete Spannung (1200 V) soll mit einem Elektrometer mit der
Eigenkapazität 10 pF nachgeprüft werden. Welchen Wert Ux zeigt das Elektrometer
an?
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Lösung
Kapazität:
C0 0 r
A
1,77 10 10 F 177 pF
d
a)Ladung
Q0 C0 U 0 1,77107 C
El. Feldstärke
U0
1000V
5 V
E0
5 10
3
d0
2 10 m
m
b)Wenn die Quelle abgetrennt wird, ändert sich die Ladung nicht, dafür aber die
Spannung und zwar nach der Formel: Q = C U.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Auf- und Entladen eines Kondensators
2.Aufgabe: Bei der langsamen Aufladung und langsamen Entladung betrug die
Kapazität des Kondensators 100 F, die angelegte Spannung 5 V. Es ergab sich folgende
Messreihe:
t in s
I in A
0
1,5
2,8
4,8
6,8
9,4
11,1
13,6
18,9
73
60
50
40
30
20
15
10
5
a) Zeichnen Sie das I-t-Diagramm ( 1 cm = 2 s, 1 cm = 5 A).
b) Ermitteln Sie aus einer Flächenbestimmung die zu- und die abgeflossene
Ladungsmenge. Wie werden sinnvollerweise angeschnittene Flächenelemente gezählt?
c) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators (Vergleich mit dem angegebenen
Wert).
d) Ermitteln Sie die Zeitpunkte, zu denen die Stromstärke auf den Bruchteil ½, ¼, 1/8
des Wertes zum Zeitpunkt t = 0 s abgesunken ist. Ermitteln Sie daraus die
Halbwertszeit. Zeigen Sie durch Zeichnung, dass die Darstellung auf
halblogarithmischen Papier eine Gerade ergibt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Auf- und Entladen eines Kondensators - Lösung
I in
A
Aufladung
80
70
60
50
40
30
20
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t in s
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Auf- und Entladen eines Kondensators - Lösung
I in
A
I in
80
Aufladung
80
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t in s
Fläche (= Ladungsmenge): 573,95 C
A
Aufladung
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t in s
Fläche (= Ladungsmenge): 436,22 C
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Auf- und Entladen eines Kondensators - Lösung
I in
80
A
I in
80
Aufladung
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t in s
Fläche (= Ladungsmenge): 537,16 C
A
Aufladung
2
4
6
8
10
12
14
18
20
t in s
Fläche (= Ladungsmenge): 468,29 C
Erhöht man die Anzahl der Rechtecke, so erhält man: ca. 500 C
Berechnet man die Ladung, so benötigt man die Gleichung
Q = C * U und erhält: Q = 500 C
16
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Auf- und Entladen eines Kondensators - Lösung
I in
80
A
Aufladung
70
60
50
40
30
20
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t in s
d) Aus der graphischen Darstellung erkennt man: ½: ca. 5 s ¼: ca 10 s und 1/8: ca. 15 s. Damit ist die Halbwertszeit 5s.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Diodenlichtschaltung - Lösung
In nebenstehender Schaltung soll
ein Diodenlicht (LED) nach Fernbleiben der Generatorspannung
weiterleuchten.
Die LED benötigt einen Betriebsstrom von 5 bis 20mA und wird
zur Berechnung als ideales Ventil
angenommen.
a) Welchen Widerstandswert sollte R aufweisen ?
b) Wie lang ist die Nachleuchtdauer ? oder anders gefragt:
Nach welcher Zeit ab dem Abschalten von UG wird die LED mit
nur noch 5mA betrieben?
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Diodenlichtschaltung - Lösung
a) Um die maximale Stromstärke im
Stromkreis zu begrenzen, muss der
Widerstand berechnet werden.
R
U0
6V
300
I max 20 m A
b) Daraus ergibt sich die Entladefunktion:
Q0
U (t )
e
C
1
t
RC
U0 e
1
t
RC
6e
1
t
300 1 F
6e
1
t
300 s
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Diodenlichtschaltung - Lösung
1
1
1
1
t
t
Q0 R C t
RC
300 1 F
U (t )
e
U0 e
6e
6 e 300 s
C
U in V
6
t
Diodenlichtschaltung
Die Diode leuchtet gerade noch
bei 5 mA. Daraus lässt sich die
dazu benötigte Spannung
berechnen:
U (bei 5mA) = R I = 300 5 mA
= 1,5 V
Zieht man jetzt im Abstand 1,5V
eine Parallele zur t-Achse, so
kann man die Zeit ablesen
(etwas über 400 s).
5
4
3
2
1
100
200
300
400
t in s
500
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Diodenlichtschaltung - Lösung
U (t ) 6 e
1
t
300 s
Rechnerisch muss man folgende
Gleichung lösen
1,5 V 6 e
1
t
300 s
U in V
6
Diodenlichtschaltung
5
1
t
300
1
t
300
1
t
300
1,5
1,5
1,5 6 e
e
ln
ln e
6
6
1,5
1
1,5
1
ln
t ln e ln
t
6
300
6
300
1,5
t 300 ln
415,88 s
Damit ergibt sich für t:
6
4
3
2
1
100
t 415,88 s 7 min
200
300
400
t in s
500
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe
a)In der abgebildeten Schaltung bleibe zunächst der
Schalter S2 offen. Der Schalter S1 werde zum Zeitpunkt
t = 0 s geschlossen. Geben Sie in je einem Schaubild
den zeitlichen Verlauf von Ladestrom I(t) und Kondensatorspannung Uc(t) qualitativ an. Begründen Sie den
zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung.
b)Während einer von to bis t1 = t0 + Δt gehenden Zeitspanne kann man die
Kondensatorspannung Uc(t) näherungsweise als Uc(t0), d.h. als konstant ansehen.
Welche Ladungsportion ΔQ fließt dann während dieser Zeitspanne auf den
Kondensator?
Berechnen Sie hieraus die Kondensatorspannung Uc(t1), die für die folgende
Zeitspanne Δt näherungsweise als konstant anzusehen ist. Berechnen Sie nach
diesem Verfahren mit Hilfe der in der Schaltskizze angegebenen Zahlenwerte die
Kondensatorspannung in Schritten von Δt = 0,100 s für 0 s ≤ t ≤ 0,700 s.
Zeichnen Sie hiermit näherungsweise das Uc(t)-Schaubild.
(10 V → 0,5 cm; 0,1 s → 1 cm).
Verläuft das exakte Schaubild oberhalb oder unterhalb des gezeichneten
Schaubildes? Begründen Sie ihre Antwort!
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe
c) Nun wird bei entladenem Kondensator
zuerst der Schalter S2, dann der Schalter S1
geschlossen.
Zeichnen Sie qualitativ den Uc(t)-Verlauf bei
dieser Anordnung, falls die Glimmlampe bei
Uz = 110 V zündet und bei Ul = 90,0 V
erlischt.
Berechnen Sie mit der mittleren
Kondensatorspannung Uc = 100 V
näherungsweise die Zeit ΔT zwischen
Zünden und Erlöschen der Glimmlampe. Der
Widerstand der gezündeten Glimmlampe ist
hierbei zu vernachlässigen.
Welche Gesamtenergie gibt der Kondensator
dann während der Zeit ΔT an den
Widerstand R2 ab?
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe
Lösung
a) Für t = 0 s ist der Kondensator noch
ungeladen, der angelegten Batteriespannung
wirkt noch kein Uc = entgegen.
(Andere Erklärung: Es fließt Ladestrom, ein Teil
der Batteriespannung fällt an R ab).
Auf Grund des anfänglich hohen Ladestroms
nimmt die Kondensatorspannung rasch zu, der
Strom fällt ab. Da nun die Ladung langsam
zunimmt, steigt Uc(t) nur noch langsam an und
erreicht schließlich den Grenzwert Uo.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe
Lösung
b)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe
Lösung
c) Die exakte Kurve läuft unterhalb der
mit vorstehender Tabelle gezeichneten:
Für die Berechnung von ΔQ in einem
Intervall Δt (z.B.[0s; 0,1s] wird die
Kondensatorspannung zu Beginn des
Intervalls benutzt. In dem
"Beispielintervall Uc = 0V). Tatsächlich
nimmt die Kondensatorspannung aber
während dieses Zeitintervalls zu, d.h.
das "wahre" ΔQ ist kleiner. Somit ist
auch gesamt Q und somit Uc kleiner.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe
Lösung
c)Die Spannung am Kondensator steigt bis
110 V an. Die Ladezeit wird durch R1 und C
bestimmt. Dann zündet die Glimmlampe und
der Kondensator kann sich über den niederohmigen "Glimmlampenzweig" entladen. Die
Entladezeit wird durch R2 und C bestimmt.
Da R2 << R1, geht die Entladung schneller
als die Aufladung.
Ist Uc = 90 V erreicht, so erlischt die Glimmlampe und erst wenn Uc = 110 V wieder erreicht ist, kommt es wieder zur Zündung.
Während des Entladevorganges sei die
mittlere Kondensatorspannung <Uc> = 100
V. Dann fließt während des Entladevorganges ein mittlerer Strom von
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe
Lösung
Dieser Strom führt in der Zeit ΔT zu einer Ladungsabnahme ΔQ = <I>·ΔT (1).
Diese Ladungsabnahme kann aber auch über die Abnahme der
Kondensatorspannung ΔUc berechnet werden: Δ Q = Δ Uc · C (2). Durch
Gleichsetzen von (1) und (2) erhält man:
; ΔT = 1,00 · 10-6 s;
Δ W = 0,5· C· (Uz2 - Ul2); ΔW = 0,5· 1,00· 10-6(1102 - 902) J = 2,0 · 10-3 J;
oder: Δ W = <Uc> · <I> · ΔT = 2,0· 10-3 J;
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Power-Kondensator
Ein Power-Kondensator wird im Auto zur Stabilisierung der 12-VBetriebsspannung bei kurzzeitig erhöhtem Strombedarf eingesetzt. Bei der
Konstruktion dieses Kondensators wird u. a. auf eine hohe Energiedichte Wert
gelegt:
Daten des Power-Kondensators:
Zylinderform (Durchmesser d = 8,0 cm, Höhe h = 28 cm), Kapazität C = 1,50
F, Innenwiderstand Ri = 2,0 mΩ , Ladespannung U = 12,0 V.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Power-Kondensator
a) Wie groß sind die gespeicherte Energie und die Energiedichte des
vollständig geladenen Kondensators?
b) Welchen Durchmesser D hätten die kreisförmigen Platten eines Kondensators mit Luft im Zwischenraum und einem Plattenabstand d' von 1,0 mm,
dessen Kapazität ebenfalls 1,50 F beträgt? Welche Energiedichte hätte das
elektrische Feld dieses Plattenkondensators bei einer Spannung von 12,0 V?
Der geladene PowerKondensator wird über einen
Lastwiderstand Ra entladen.
Das folgende Diagramm stellt
den zeitlichen Verlauf der
Entladestromstärke I dar.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Power-Kondensator
c) Entnehmen Sie dem Diagramm die momentanen Entladestromstärken für t1
= 0 bis t7 = 0,30 s in Abständen von 50 ms. Erstellen Sie hierzu eine
Wertetabelle und zeichnen Sie das zugehörige
d)Der Entladevorgang wird durch die Funktion I(t) = I0·e-k t mit
beschrieben. Wie kann dieser Zusammenhang mit dem in Teilaufgabe
c erstellten Diagramm bestätigt werden? Ermitteln Sie die Konstante k
aus diesem Diagramm und berechnen Sie damit Ra. [zur Kontrolle: Ra
= 96 mΩ ]
e) Schätzen Sie die elektrische Energie ab, die der PowerKondensator während der ersten 50 ms bei der Entladung
abgibt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Power-Kondensator Lösung
a) Berechnung der Energie:
Berechnung der Energiedichte:
b) Berechnung des
Durchmessers des
"Luftkondensators":
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Power-Kondensator Lösung
Noch b)
c)
t in s
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
I in A
116
83
59
42
30
21
14
ln(I/Io)
0
-0,33
-0,68
-1,0
-1,4
-1,7
-2,1
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Power-Kondensator Lösung
c)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Power-Kondensator Lösung
d) Durch Logarithmieren der Funktion
erhält man:
Die Größe -k ist somit die Steigung der Ursprungsgeraden in dem obigen
Diagramm. Mit Hilfe eines Steigungsdreiecks erhält man k = 6,8 s-1.
Berechnung von Ra:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Power-Kondensator Lösung
d) Abschätzung der Ladung (Fläche unter der Zeit-StromKurve) in den ersten 50 ms:
Die mittlere Stromstärke in diesem Zeitintervall ist ca.
100 A. Somit gilt für die Ladung:
Für die elektrische Energie gilt:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektronenblitz beim Kondensator
In der Abbildung ist - etwas vereinfacht - der prinzipielle
Aufbau eines Elektronenblitzes für einen Fotoapparat
dargestellt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektronenblitz beim Kondensator
a)Erklären Sie die Funktion der verschiedenen Bauteile und gehen Sie
insbesondere darauf ein, wie es durch das Schließen des Kamerakontaktes
zum Auslösen eines Blitzes in der Blitzröhre kommt.
b)Der Blitzkondensator hat eine Kapazität von C=300μF und wird auf eine
Spannung von 500V aufgeladen. Welche Ladung und welche elektrische
Energie ist in dem Kondensator gespeichert.
c)Die mittlere Entladeleistung sei etwa 1,5kW. Wie lange könnte eine
solche Entladung theoretisch dauern?
Welche durchschnittliche Stromstärke würde bei dieser Entladung
auftreten?
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektronenblitz beim Kondensator
d) Tatsächlich dauert die Entladung nur etwa 1/1000 s. Nennen Sie einen
Grund für das Abweichen der theoretisch berechneten Entladezeit.
e) Der Akku besteht aus vier Elementen von je 1,2V und 750mAh
Ladungsinhalt. Schätzen Sie ab, wie oft man mit einer Akkuladung blitzen
kann.
f) Nachdem man geblitzt hat, dauert es immer eine Weile, bis das
Blitzgerät wieder betriebsbereit ist. Woher kommt das?
g) Von welcher Größenordnung muss das Übersetzungsverhältnis beim
linken Transformator sein?
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektronenblitz beim Kondensator - Lösung
a) Die Gleichspannung des Akkus wird durch den Wechselrichter zerhackt.
Erst eine sich ändernde Spannung kann durch den Transformator
hochgespannt werden. Mit dem Gleichrichter wird eine pulsierende
Gleichspannung erreicht, die den Blitzkondensator und über einen
Spannungsteiler auch den Zündkondensator auflädt. Der Blitzkondensator
kann sich über die Blitzröhre noch nicht entladen, da die Gasstrecke in der
Röhre noch isoliert.
Wird durch den Kamerakontakt der Zündkreislauf geschlossen, so entlädt
sich der Zündkondensator über die Primärspule des Zündtrafos. Auf der
Sekundärseite dieses Trafos entsteht eine sehr hohe Spannung (ca. 10kV).
Durch die Zündelektrode kann nun das Edelgas in der Blitzröhre ionisiert
werden. Die Gasstrecke zwischen den schwarz gezeichneten Elektroden ist
nun leitend und der Blitzkondensator entlädt sich über die Blitzröhre. Dabei
wird kurzzeitig ein sehr heller Lichtblitz ausgesandt.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektronenblitz beim Kondensator - Lösung
b)Berechnung der gespeicherten Ladung:
Berechnung der gespeicherten
Energie:
c) Berechnung einer oberen
Schranke für die Entladezeit:
Berechnung des mittleren
Entladestroms:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektronenblitz beim Kondensator - Lösung
d) Der Kondensator entlädt sich nicht vollständig. Sinkt nämlich die
Spannung unter einen gewissen Wert, ist die Blitzröhre nicht mehr
leitend und die Entladung wird unterbrochen.
e) Berechnung der Energie W* in
den vier Elementen:
Berechnung der
theoretischen Zahl der Blitze
f) Es dauert eine Weile, bis der (fast) entladene Kondensator wieder voll
aufgeladen ist. Die Ladezeit hängt von der Kapazität des Kondensators und
dem Wert der Widerstände im Ladekreis ab.
g) Das Übersetzungsverhältnis ist grob das
Verhältnis der Ladespannung von 500V zur
Spannung des Akkus:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektrisches Pendel
a) Welchen Ausschlag s erfährt ein Kügelchen
der Masse m = 0,40 g, das am Faden der Länge l
= 1,0 m hängt, wenn es die Ladung q = 5,0·10-9
As im Feld der Stärke E = 7,0·104 N/As trägt?
b) Das Kügelchen von Teilaufgabe a) d.h. q
= 5,0·10-9 As pendelt in 10 Sekunden zwischen beiden Platten 40mal hin und 40mal
her. Welche mittlere Stromstärke I zeigt ein
Messverstärker in der Kondensatorzuleitung?
Unter abgewandelten Bedingungen pendelt das
Kügelchen je Sekunde 5mal hin und 5mal her; die
mittlere Stromstärke I ist 2,0 nA. wie groß ist jetzt E,
wenn das ruhende Pendel um 5,0 cm ausgelenkt wird?
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektrisches Pendel - Lösung
a)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Elektrisches Pendel - Lösung
b)
c)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Ionen im elektrischen Querfeld - Aufgabe
Aufgabe: Eine positiv geladene Wolke in 400 m Höhe bildet zusammen mit dem
Erdboden einen Plattenkondensator (Fläche einer "Platte" 8,0 km2 ). Zwischen
Wolke und Erde herrscht die Feldstärke E = 1,2 · 105 V/m, die so hoch ist, dass eine
Entladung durch die Luft (Blitz) unmittelbar bevorsteht.
a) Wie groß ist die Ladung der Wolke, welche Spannung herrscht zwischen ihr und
dem Boden?[zur Kontrolle: Q = 8,5 C]
b)Welche Ladung müsste ein kugelförmiges Wassertröpfchen mit 2,0 mm Durchmesser haben, wenn es vor Entladung der Wolke zwischen dieser und der Erde bei
Windstille gerade schweben würde? (Der Auftrieb in Luft ist zu vernachlässigen.)
c) Wie lange würde die Entladung der Wolke dauern, wenn die mittlere Stromstärke
des Blitzes 4,0 kA betragen würde?
d) Noch bevor es zu einer Entladung kommt, drückt ein Fallwind die Wolke auf eine
niedrigere Höhe herab. Die Ladung der Wolke bleibe dabei konstant. Wie ändert
sich qualitativ die elektrische Feldstärke zwischen Wolke und Erde? Wird eine
Entladung der Wolke dadurch wahrscheinlicher? Geben Sie eine kurze Begründung.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung
a) Feldstärke und Spannung beim Plattenkondensator:
=> U = E·d => U = 1,2 · 105 V/m · 400m = 4,8 · 107 V
Kapazität und Ladung beim Plattenkondensator:
=>
= 1,8 · 10-7 F
=> Q =C·U => Q =1,8 · 10-7 F ·4,8 · 107 V = 8,5As
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung
b) Berechnung der Ladung eines Tröpfchens:
Gewichtskraft = Elektrischer Kraft => E·q = m·g
Mit m = V und VKugel = 4/3 r3 ergibt sich dann für die Ladung:
mit r = 1mm; r = 1 g/cm³ = 1000 kg/m³ und g = 9,81 m/s² =>
c) Berechnung der Entladezeit (Q = I t) :
d) Für die Feldstärke gilt
. Da keine dieser Größen auf der rechten
Seite der Gleichung sich ändert, ändert sich auch E nicht, da nur E für die
Entladungswahrscheinlichkeit maßgebend ist, ändert sich diese auch nicht.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Thema Kondensator
– Dorn-Bader: S.197, A.1
Aufgabe: a) Ein Streifen eines Blockkondensators hat auf
jeder Seite 20 m2 Fläche und 0,05 mm Abstand zum
anderen (r = 2) Wie groß sind Kapazität und Ladung bei
100 V? Bei welcher Spannung ist Q = 100 C?
b) Wie lang müssten die 5,0 cm breiten Streifen sein, damit
C = 10 F wird?
Lösung: a)
Kapazitaet
epsilonR
epsilonR
epsilon0
2, epsilon0
A d
.
8.85 10 ^
12 , A
20, d
0.05 10 ^
3
Damit ergibt sich: C = 7,0810-6 F = 7,08 F
Aus U = Q/C erhält man mit den entsprechenden Werten: U = 14,1243 V
Laenge Breite
d
nach Laenge auf , so erhält m an: Laenge 564,972 m
b) Löst m an die Gleichung: C r o
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte
Der Quotient aus Ladungsmenge Q und
Flächeninhalt A heißt Flächenladungsdichte
Q
A
Bemerkung: Im homogenen Feld des Plattenkondensators ist die
Flächenladungsdichte überall gleich groß.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte
Die Grundgleichung des elektrischen Feldes
Die Flächenladungsdichte ist proportional zum
Betrag der elektrischen Feldstärke an der
Leiteroberfläche
= 0 E
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte - Aufgabe
Aufgabe: Eine quadratische Metallplatte der Fläche A =
1,0 m2 ist so im Raum in vertikaler Stellung angeordnet,
dass die Umgebung weit entfernt ist. Vor der Platte hängt
in geringem Abstand ein leitendes Kügelchen mit der
Gewichtskraft Fg = 6,0× 10-3 N an einem dünnen
Perlonfaden der Länge l = 2,0 m. Das Kügelchen trägt die
Ladung q = +5,56× 10-10 As. Die Metallplatte wird negativ
aufgeladen. Dadurch wird das Kügelchen aus seiner
tiefsten Lage um die horizontale Strecke s0 = 2,5 cm zur
Platte hin ausgelenkt.
a) ) Fertigen Sie eine Kräfteskizze für das Kügelchen und berechnen Sie
die Feldstärke E0 des Plattenfeldes am Ort des Kügelchens.
) Skizzieren Sie das elektrische Feld der Metallplatte für sich allein und
berechnen Sie die Flächendichte der Ladung an der dem Kügelchen
zugewandten Seite der Platte sowie die Gesamtladung der ganzen Platte.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte - Aufgabe
b) Nun wird im Abstand d = 10 cm parallel zur ersten Platte eine zweite
Platte gleicher Größe aufgestellt, welcher genau so viele Elektronen fehlen,
wie sie die erste Platte im Überschuss hat. Das am Perlonfaden
aufgehängte Kügelchen befindet sich jetzt etwa in der Mitte zwischen
beiden Platten, seine Ladung hat sich nicht geändert.
) Ermitteln Sie die Auslenkung s1 des Kügelchens bei dieser Anordnung.
) Berechnen Sie die Spannung U1 des entstandenen Plattenkondensators.
c) Nun wird ein ungeladenes elektrostatisches Voltmeter an geladenen
Plattenkondensator von b) ß) angeschlossen. Dabei geht die Auslenkung
des Kügelchens auf den Wert s2 = 0,74× s1 zurück. Berechnen Sie die als
konstant angenommene Kapazität des elektrostatischen Voltmeters Cx.
d) Nach dem Versuch von c) zeigt das elektrostatische Voltmeter mit der
Kapazität Cx = 31 pF die Spannung U2 an. Nun wird der Abstand der
Metallplatten vom Wert d1 = d2 = 10 cm auf den neuen Wert d3 = 15 cm
vergrößert, wobei das elektrostatische Voltmeter angeschlossen bleibt.
Dadurch ändert sich seine Spannungsanzeige auf den Wert U3. Die
Auslenkung des Kügelchens ändert such auf den Wert s3. Berechnen Sie die
Verhältnisse U3 : U2 sowie s3 : s2.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte - Lösung
a) )
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte - Lösung
a) )
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte - Lösung
b) )
Die Feldstärke ist im Raum zwischen den Platten
doppelt so groß und damit auch die Auslenkung:
s1 = 2·s0 = 5,0 cm;
) Es gilt:
U1 = 2·E0 d; U1 = 27 kV
c) Berechnung der Kapazität des Plattenkondensators:
Wenn die Auslenkung zurückgeht, geht auch die elektrische Feldstärke und damit auch die Spannung zurück:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte - Lösung
c) Es handelt sich um eine Parallelschaltung von
Kondensator und Elektroskop (Cx). Bei der Verbindung
des Kondensators mit dem Elektroskop bleibt die
Ladung erhalten.:
d) Durch das Auseinanderziehen der Platten ändert sich die Kapazität
des Plattenkondensators auf den Wert
Da die Ladung beim Auseinanderziehen erhalten bleibt, gilt:
Die Auslenkung ist proportional
zur Feldstärke:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die Flächenladungsdichte
Die Feldstärke im radialen Feld
Aus den beiden Gleichungen = 0 E ,
Q
A
und A = 4 r2 erhält man für die Feldstärke des
radialen Feldes
1
Q
E
2
4 0 r
wobei Q die felderzeugende
Ladung ist
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Coulomb-Gesetz
Die Kraft zwischen zwei punktförmigen oder
kugelförmigen Ladungen Q1 und Q2 ist:
FC Q2 E
1
4 0
Q1 Q2
r2
dabei ist r der Abstand der beiden
Kugelmitten
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im radialsymmetrischen Feld
Die Arbeit, die man aufbringen muss, um eine positive
Ladung Q2 aus der Entfernung r1 im elektrischen Feld
einer Punktladung Q1 auf die Entfernung r2 zu bringen,
beträgt:
Q1 Q2 1 1
W
( )
4 0 r1 r2
Einführung in die Elektrizitätslehre
Arbeit im radialsymmetrischen Feld
Die Arbeit, die man aufbringen muss, um eine positive
Ladung Q2 aus der Entfernung r1 im elektrischen Feld
einer Punktladung Q1 ins Unendliche (r2 = ) zu
bringen, beträgt:
Q1 Q2 1
W
4 0 r1
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Potenzial
Unter dem elektrischen Potenzial in irgendeinem Punkt des
elektrischen Feldes in bezug auf einen willkürlich gewählten
Anfangspunkt A versteht man den Quotienten aus der Arbeit W,
die aufgewendet werden muss, um eine positive Ladung Q2 vom
Punkt A an die betreffende Stelle des Feldes zu bringen, und
der Ladung Q2
Q 1 1
W
r1 r2 1
Q
r
4
r
2
0 1
2
Das Potenzial hat die Einheit: 1 V (Volt)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Potenzial
Unter dem elektrischen Potenzial in irgendeinem Punkt des
elektrischen Feldes in bezug auf einen Punkt im Unendlichen
versteht man den Quotienten aus der Arbeit W, die aufgewendet
werden muss, um eine positive Ladung Q2 vom Punkt A an die
betreffende Stelle des Feldes zu bringen, und der Ladung Q2
Q
1
1 Q
1
4 0 r
4 0 r
1
Das Potenzial hat die Einheit: 1 V (Volt)
Einführung in die Elektrizitätslehre
Spannung und Potenzial
Die elektrische Spannung U zwischen zwei Punkten P1
und P2 ist gleich der Differenz ihrer Potenziale
U21 = 02 - 01
Man spricht von der Spannung P2 gegenüber dem Punkt P1,
geschrieben U21.
Die Spannung P2 gegenüber P1 ist positiv, wenn P2 ein
höheres Potenzial besitzt als P1.
Die Spannung P2 gegenüber P1 ist negativ, wenn P1 ein
höheres Potenzial besitzt als P2.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Potenzial
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Potenzial
4
2
0
-2
-4
0.02
0
-0.02
4
2
0
-2
-4
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Potenzial
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Potenzial
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Potenzial
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das elektrische Potenzial
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Coulomb-Gesetz
5.Aufgabe: Eine Probeladung von 8,34 nC ist 18 cm von einer Ladung
entfernt und erfährt von dieser eine Kraft von 23 mN.
a) Wie groß ist diese Ladung?
b) In welchem Abstand hat sich die Kraft halbiert?
Lösung:
a) Man benötigt die Gleichung für die
Coulomb-Kraft, setzt die gegebenen
Werte ein und erhält, nach Q2 aufgelöst:
FC
1
Q1 Q2
Q2 9,93 C
2
4 0 r
b) Die Ladung von Q2 ist jetzt bekannt. In die obige Gleichung wird Q2
eingesetzt, für FC entsprechende 23 mN/2 = 11,5 mN und man erhält als
Ergebnis: r = 0,255 m.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Coulomb-Gesetz
6.Aufgabe: a) Zwei kleine, isolierte Metallkügelchen tragen +31 nC und -23
nC Ladung. Wie groß ist die Kraft bei einem Abstand von 18 cm?
b) Die zwei Kügelchen werden kurz in Kontakt gebracht. Wie groß ist danach
die Kraft in 18 cm Abstand? Ist sie jetzt anziehend oder abstoßend?
Lösung:
a) Man benötigt die Gleichung für die
Coulomb-Kraft, setzt die gegebenen
Werte ein und erhält:
1
Q1 Q2
4
FC
1
,
98
10
N
2
4 0 r
b) Bringt man die beiden Kugeln in Kontakt, so verteilt sich die restliche Ladung von 31 nC–23 nC = 8 nC auf beide Kugeln. Jede Kugel trägt jetzt 4 nC.
Man setzt wieder in die obige Gleichung ein und erhält: FC = 4,4410-6 N.
Die Kraft ist jetzt abstoßend.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Coulomb-Gesetz
7.Aufgabe: Zwei kleine Kügelchen à 0.12 g werden an zwei 87 cm langen,
isolierenden Seidenfäden am selben Punkt aufgehängt und gleichstark
aufgeladen. Durch die Coulomb-Kraft werden die Kügelchen 14cm auseinander
getrieben. Wie groß ist die Ladung eines Kügelchens?
Lösung:
Aus der Zeichnung erkennt man
folgende Beziehungen:
7
Sin ( )
und
87
Q2
FC
4 0 r 2
Sin ( )
FG
mg
1
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Coulomb-Gesetz
Lösung:
Setzt man die angegebenen Werte ein,
so erhält man:
Q = 14,3 nC und = 4,61o
Sin ( )
7
und
87
Q2
FC
4 0 r 2
Sin ( )
FG
mg
1
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Coulomb-Gesetz
9.Aufgabe: Zwei Ladungen Q1 und Q2 haben Abstand
d. Eine Probeladung q wird auf der Verbindungsgeraden
platziert. In welchem Abstand von Q1 ist die Probeladung kräftefrei, wenn a) Q1 : Q2 = 1/4 b) Q1 : Q2 = -1/4
c) Spielt das Vorzeichen von q oder Q1 eine Rolle?
Lösung:
Auf die Ladung wirken zwei Kräfte,
einmal die von Q1 mit dem Abstand r1
und die von Q2 mit dem Abstand r2.
Diese beiden Kräfte sollen gleich sein
FCQ1
1
Q1 q
1 Q2 q
F
CQ2
4 0 r12
4 0 r22
Q1 r12 1
r2 2 r1
Q2 r22 4
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben zum Coulomb-Gesetz
Lösung:
Wenn Q1 und Q2 das gleiche Vorzeichen haben, so liegt q zwischen den
beiden Ladungen. Haben Q1 und Q2 ungleiche Vorzeichen, so liegt q
außerhalb der Verbindungslinie von Q1 und Q2. Hier muss noch
unterschieden werden, welches Vorzeichen q hat. Einmal liegt q dann
links von Q1 bzw. von Q2.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben
1.Aufgabe: Welche Kraft erfährt die Ladung 10 nC bzw. -10 nC in
einem Feld der Stärke 10 kN/C?
b) Wie groß ist die Ladung, die dort eine Kraft von 10 N erfährt?
a)Fel = Q*E = 10000N/C * 10 nC = 10-4 N
b)Q = Fel / E = 10 N / 10 kN/C = 1*10-9 C
2.Aufgabe: Die Ladung q1 = 1,0 nC erfährt im Feld E1 die Kraft F1 =
0,10 mN, die Ladung q2 = 3,0 nC im Feld E2 die Kraft F2 = 0,20 mN.
a) Welches Feld ist stärker?
b) In welchem Verhältnis müssten zwei Ladungen stehen, damit sie
im Feld E1 und E2 gleich große Kräfte erfahren?
a) E1 = Fel/q1 = 0,1 mN / 1,0 nC = 105 N/C
E2 = Fel/q2 = 6,67*104 N/C
b) Das Verhältnis müsste E2/E1 sein.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben
3.Aufgabe: Ein Kügelchen ( m = 4,0 g) trägt die Ladung q = 5,0 nC
und hängt an einem Faden der Länge l = 1,0 m.
a) Welchen Ausschlag s erfährt es im horizontal verlaufenden Feld der
Stärke 70 kN/C?
b) Bei welcher Ladung q schlägt ein Pendel doppelter Länge gleich
weit aus?
a)Man benutzt die Gleichung Fel /FG = s/l. Hier löst man nach s auf
und ersetzt Fel durch Q*E. Man erhält dann:
s = Q*E*l/FG. Setzt man die angegebenen Werte (m = 4 g und
nicht 0,4 g) ein, so erhält man s = 0,089m = 8,9 cm (Bei 0,4 g
sind es s = 0,89 m = 89 cm)
b)Q = s * FG / (E*l) = 0,89 m * 4*9,81 N/(70 000 N/C * 2m) =
2,5*10-9 C = 2,5 nC
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben
Dorn/Bader Seite 21
Aufgabe 1: Zwischen zwei Kondensatorplatten (Abstand d = 5,0 cm)
mit je 450 cm2 Fläche liegt die Spannung U = 10 kV.
a) Wie groß sind Feldstärke E und Flächenladungsdichte der
felderzeugenden Ladung? Welche Ladung trägt jede Platte?
b) Wie ändern sich diese Werte, wenn man die Platten bei konstanter
Plattenladung auseinander zieht?
c) Wie ändern sich die Werte, wenn dabei die Quelle angeschlossen
bleibt?
EFeld = U/d //. {U -> 10000, d -> 0.05}
E = 200000.00 V
sigma = epsilon0*EFeld //.
{epsilon0 -> 8.85*10-12, EFeld -> 200000.`}
=
1.77*10-6 C/m2
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben
Kapazitaet = epsilon0*A/d //.
{epsilon0 -> 8.85*10-12, A -> 0.045, d -> 0.05}
C = 7.965*10-12 F
Ladung = Kapazitaet*U //.
{Kapazitaet -> 7.965*10-12, U -> 10000}
Q=7.965*10-8 C
b) Die Ladung bleibt konstant, die Kapazität verkleinert sich,
damit erhöht sich die Spannung. Die elektrische Feldstärke bleibt
gleich.
c) Die Spannung bleibt konstant, die Kapazität verkleinert sich,
damit verkleinert sich auch die Ladung. Die elektrische Feldstärke
verkleinert sich.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben
Dorn/Bader Seite 21
Aufgabe 2: Die Kugel eines Bandgenerators trägt die Ladung Q =
0,1 C. Wie groß ist die Feldstärke im Abstand r = 80 cm vom
Kugelmittelpunkt? Welche Ladungen werden auf zwei Testplatten
(Fläche A = 4 cm2) influenziert, die senkrecht zum Feld stehen?
EFeld = Q1/(4*Pi*epsilon0*r2 -> 8.85*10
E = 1404,97 V/m2
-12}
sigma = epsilon0*EFeld //.
{epsilon0 -> 8.85*10-12, EFeld -> 1123.975`}
= 1,2434*10-8 C/m2
Solve[sigma == Ladung/A, Ladung] //.
{sigma -> 9.947*10-9, A -> 0.0004}
Q =4.974*10-12 C
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben
Dorn/Bader Seite 27
Aufgabe 2: Zwei kreisförmige Platten von 24 cm Durchmesser haben
den Abstand 4,0 mm. a) Berechnen Sie Energieinhalt und
Energiedichte bei U = 3,0 kV bzw. 6,0 kV. b) Mit welcher Kraft ziehen
sich die Platten an? c) Wie groß ist die Spannung, wenn die
Spannungswaage die anziehende Kraft 1,0 N anzeigt?
a) Energieinhalt (3000 V)= 0,026204 J
Energieinhalt (6000 V)= 0,052408 J
Energiedichte (3000 V) = 2,48906 J/m3
Energiedichte (6000 V) = 9,95625 J/m3
b) F (3000 V) = 0,112603 N
c) U = 6000 V
F (6000 V) = 0,45041 N
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aufgaben
Dorn/Bader Seite 27
Aufgabe 3: Ein Kondensator von 10 F wird auf 200 V aufgeladen
und einem auf 100 V geladenen gleicher Kapazität parallel geschaltet,
ohne das Ladung verloren geht. Welche Spannung nehmen die
Kondensatoren an? Wie viel elektrische Energie geht verloren?
Die Spannung an den beiden Kondensatoren beträgt:
U = 150 V
Die Energie der beiden einzelnen Kondensatoren
beträgt: WGes = 0.2 J + 0,05 J = 0,25 J
Nach der Parallelschaltung sind es: W = 0,225 J
Also ging W = 0,25 J – 0,0225 J = 0,025 J verloren.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Herz
Der sogenannte Sinusknoten, ein ca. 3 mm breites und
25 mm langes Gebilde im rechten Vorhof des Herzens ist
der eigentliche, natürliche Schrittmacher des Herzens,
der mit einer Frequenz von ca. 60 - 100 Impulsen pro
Minute erregt wird. Die von ihm ausgehenden elektrischen Impulse pflanzen sich mittels dreier Faserbündel
über die Vorhöfe zum sogenannten AV-Knoten fort.
Dieser AV-Knoten ist die "elektrische Sammelstelle" der
Vorhoferregung. Würde dem AV-Knoten nicht der
schnellere Takt des Sinusknotens aufgezwungen, so
würde er selbst eine Erregungsfrequenz von ca. 40
Impulsen pro Minute besitzen, die für einen "Notbetrieb"
des Herzens - bei einem Ausfall des Sinusknotens - noch
ausreichen würde.
Über weitere "Leitungen" (His-Bündel; Tawara-Schenkel)
gelangen die elektrischen Impulse zur Herzspitze, wo sie
schließlich die Kontraktion des Herzmuskels auslösen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Das Herz - Aktionspotenzial
Wie kommt es zur elektrischen Spannung im
Herzmuskel?
Führt man eine Mikroelektrode in das
Zellinnere einer Herzmuskelfaser und
legt man eine zweite Elektrode an das
Zelläußere, so kann man mit einem
empfindlichen Spannungsmesser (mVBereich) eine Spannung feststellen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aktionspotenzial
Ruhepotenzial
Die Zellmembran stellt die Trennwand zwischen dem Inneren und dem Äußeren
der Zelle dar. Im Ruhezustand der Zelle ist die Membran halbdurchlässig
(semipermeabel).
Die Konzentration der Kaliumionen (K+) ist im Zellinneren ca. 50mal größer als im
Zelläußeren. Durch Poren in der Zellmembran können die K+-Ionen leicht nach
außen diffundieren, somit verliert das Zellinnere an positiver Ladung. Umgekehrt
befinden sich im Zelläußeren ca. 15mal mehr Natriumionen als im Zellinneren. Die
Na+-Ionen können im Ruhzustand jedoch die Membran nicht passieren.
Durch den Verlust an positiven K+-Ionen wird das Zellinnere negativ, das Zelläußere positiv aufgeladen, es entsteht eine Potenzialdifferenz von ca. -70mV
(Potenzialnullpunkt: Zelläußeres). Durch die Fähigkeit der Membran, verschiedene
Ionenkonzentrationen aufrechtzuerhalten wird die Zelle zum Dipol, sie befindet
sich im Zustand der Polarisation.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aktionspotenzial
Aktionspotenzial (Erregung)
Wird das Ruhepotenzial der Herzmuskelzelle z.B. durch einen Spannungsimpuls gestört, so
kann es zu einer Umpolung der Zelle (Depolarisation) kommen, da die Durchlässigkeit
der Membran verändert wird.
Na+-Ionen können zunächst schnell ins Zellinnere dringen und gleichzeitig nimmt die
Membranpermeabilität für die K+-Ionen ab. Die Na+-Ionen erhöhen die positive Ladung
im Zellinneren soweit, dass es zu einer Umkehr des Vorzeichens der Potenzialdifferenz
kommt.
In einer zweiten Phase strömen neben den Natriumionen auch noch Calziumionen (Ca++)
in die Zelle. Dies geschieht nicht so schnell wie der anfängliche Transport der
Natriumionen. Daher erfährt das Aktionspotential das für die Herzmuskelzelle typische
Plateau. Das Eindringen der Calziumionen führt zur sogenannten elektromechanischen
Kopplung, welche die Kontraktion des Herzmuskels bewirkt. In dieser Phase ist die Zelle
durch weitere Impulse nicht mehr anregbar, sie ist refraktär und somit unempfindlich für
irgendwelche Störungen.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aktionspotenzial
Im Laufe dieses Prozesses nimmt nun wieder
die Permeabilität für Na+-Ionen ab, die für
K+-Ionen zu. So können wieder K+-Ionen aus
der Zelle strömen bis der ursprüngliche
Zustand wieder hergestellt ist
(Repolarisation).
Ist eine Zelle depolarisiert, so pflanzt sich
dieser Zustand auf die Nachbarzellen fort (vgl.
Ausbreitung einer Wasserwelle). Diese
Erregungsfortleitung von Zelle zu Zelle
geschieht über die gesamte Körperoberfläche,
so dass man die Potenziale auch an der Haut
mit Hilfe von Elektroden abgreifen kann.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Aktionspotenzial
Im Gegensatz zur normalen
Herzmuskelzelle ist die Zellmembran bei Sinusknotenzellen im Ruhezustand für K+Ionen nicht so stark durchlässig, Na+-Ionen gelangen
ein wenig durch die Membran.
Dadurch ist das Ruhepotenzial
nicht so stark negativ. Es besteht somit eine größere
Empfindlichkeit für die Depolarisation. Außerdem gehen
die Zellen des Sinusknotens
wieder schneller in den
Ruhezustand.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Sinn der EKG-Kurve
Das EKG stellt in der Medizin ein wichtiges Instrument zur Untersuchung der Herzfunktion dar.
Der niederländische Arzt W. Einthoven konnte im
Jahre 1903 als Erster elektrische Impulse, die
von einem Hundeherz ausgingen, nachweisen.
Der erfahrene Arzt kann mit Hilfe des EKGs u.a.
folgende Punkte beurteilen:
1.Herzfrequenz und Herzrythmus
2.Lage des Herzens
3.Eventuelle Störungen im Erregungsleitsystem
4.Vorliegen eines Herzinfarktes
5.Erkrankungen der Herzkranzgefäße
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die EKG-Kurve
Wie viele Elektroden zur Ableitung der Signale angelegt
werden, hängt davon ab, ob nur eine grobe Überprüfung der
Herzfunktion beabsichtigt ist (hier: drei Ableitungen nach
Einthoven) oder ob eine differenzierte Diagnose gestellt
werden soll (bis zu 12 Ableitungen). Die dabei sich
ergebenden Signale sind in der absoluten Höhe etwas
unterschiedlich, die Signalstruktur ist jedoch immer die
gleiche und hat etwa das folgende Aussehen:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die EKG-Kurve
Im Bild ist rot angedeutet, welcher Teil des Herzens gerade erregt wird. Die Pfeile zeigen auf die
dafür typische Signalform beim gesunden Herzen.
Die P-Welle ist die im positiven Spannungsbereich liegende halbrunde Welle, die bei der Erregung der Vorhöfe auftritt.
Die Q-Zacke ist eine kleine negative Zacke, die
den Beginn der Kammererregung bezeichnet.
Die R-Zacke ist schmal und hoch. Sie tritt bei der
Kammererregung auf.
Die S-Zacke ähnelt der Q-Zacke und gehört ebenfalls noch zur Kammererregung.
Die T-Welle ist relativ groß und breit. Sie entspricht der Erregungsrückbildung (Repolarisation).
Einführung in die Elektrizitätslehre
Die EKG-Kurve
Aus den zeitlichen Abständen einzelner Zacken und deren
relativer Höhe und Steilheit kann der Arzt erkennen, ob
das Herz gesund ist oder ob eine Krankheit vorliegt. Hier
einige Beispiele:
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der elektr. Widerstand
U
R=
I
Einheit: 1 V/A = 1
Der Kondensator
Q
C=
U
Einheit: 1 C/V = 1F
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der elektr. Widerstand - Farbcode
Auf ein Keramikröhrchen sind Schichten aus
verschiedenen Materialien aufgebracht. Da die
Widerstände sehr klein sind, kennzeichnet man den
Widerstandswert durch Farbringe. Dies hat gegenüber
Aufschriften auch den Vorteil, dass die Kennzeichnung
eines in eine Schaltung eingelöteten Widerstandes auf
jeden Fall zu erkennen ist.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der elektr. Widerstand - Farbcode
Ein Beispiel:
1.Ring
2.Ring
3.Ring
4.Ring
=
=
=
=
braun = 1
schwarz = 0
rot = 100
gold = 5
also : 10 x 100 = 1000 Ohm = 1kΩ ±5%
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der elektr. Widerstand – Farbcode 4 Ringe
Es gibt Farbcodes mit 4 Ringen,
mit 5 Ringen oder 6 Ringen. Bei
4 Ringen geben die ersten beiden Ringe die Zahlenwerte an,
der 3. Ring gibt den Multiplikator
und der 4. Ring gibt die Toleranzklasse an (siehe Tabelle unten). Bei dieser Art könnte man
bis zu 8640 verschiedene Abstufungen ausdrücken. Bei 5 Ringen
geben die ersten 3 Ringe den
Zahlenwert an, der 4. Ring ist
der Multiplikator und der 5. Ring
die Toleranzklasse. Bei 6 Ringen
ist es genau wie bei 5 Ringen,
nur, dass ein 6. Ring dazu
kommt, der eine Information
über den Temperaturkoeffizienten enthält.
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der elektr. Widerstand – Farbcode 5 oder 6
Ringen
Einführung in die Elektrizitätslehre
Der elektr. Widerstand - Beispiele
