4 Flächen und Räume - dfv

Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 29
Flächen und Räume
4
Flächen und Räume
Bei der Berechnung von Flächen und Räumen gibt es verschiedene Maßeinheiten.
Längenmaße, Flächenmaße und Raummaße können nur verarbeitet werden, wenn diese
eingeordnet und umgerechnet werden können.
Merke!
Längenmaße Ò in zweckmäßige Einheiten wie Meter (m) oder Kilometer (km)
umrechnen.
Flächenmaße Ò in Quadratmeter (m2) umrechnen.
Raummaße
Ò im Lebensmittelbereich (Flüssigkeiten und Gase) in Liter (l)
umrechnen.
Längenmaße:
1 cm = 10 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm
1 km = 1.000 m = 10.000 dm = 100.000 cm = 1.000.000 mm
Flächenmaße:
1 cm2 = 100 mm2
1
100 cm2 = 10.000 mm2
2
2
1 m = 100 dm = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
2
1 km = 1.000.000 m2 = 100.000.000 dm2 = 10.000.000.000 cm2
dm2 =
Bei der Landberechnung kommen die Maßeinheiten Hektar (ha) und Ar (a) zur Anwendung:
1a
= 100 m2
1 ha = 100 a
1 km2 = 100 ha
29
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 30
Rechnerische Grundlagen
Raummaße:
oder 1 Milliliter (ml)
1 cm3 = 1.000 mm3
oder 1 Liter (l)
1 dm3 = 1.000 cm3 = 1.000.000 mm3
1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3 = 1.000.000.000 mm3 oder 1.000 Liter (l)
Bei der Volumenberechnung von Flüssigkeiten kommen auch Hektoliter (hl) und
Zentiliter (cl) zur Anwendung:
1 cl = 10 ml
1 hl = 100 l
Merke: Umrechnung von Raummaßen
Rechnet man von der kleineren zur nächstgrößeren Einheit um (z. B. 4.000 cm3 = 4 dm3),
so dividiert man durch 1.000.
Rechnet man von der größeren zur nächstkleineren Einheit um (z. B. 4 m3 = 4.000 dm3),
so multipliziert man mit 1.000.
Beachte!
Flächen und Räume werden mit Hilfe von Formeln berechnet.
Bei der Flächenberechnung werden die Fläche oder der Umfang berechnet.
Bei der Raumberechnung werden das Volumen (Inhalt) oder die Oberfläche berechnet.
Flächenformen und Berechnungsformeln
Diese Buchstaben werden als mathematische Zeichen verwendet:
A =
U =
R =
Fläche
Umfang
Großradius
d =
r =
Durchmesser
Radius
30
Merke!
Seiten (Strecken) einer Fläche werden mit Buchstaben
gekennzeichnet.
Seiten mit gleicher Länge erhalten den selben Buchstaben (etwa beim Viereck).
Das Benennen der Seiten durch Buchstaben ist die
Grundlage für die Formel zur Berechnung der Fläche.
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 31
Flächen und Räume
Quadrat
A = a · a = a2
a
U = a+a+a+a
a
oder
a·4
(ein Quadrat hat 4 gleiche Seiten)
Rechteck
A = a · b = ab
b
U = (a + b) · 2 (ein Rechteck hat 2 a- und 2 b-Seiten)
a
Beachte!
Klammern zuerst ausrechnen!
Punktrechnung geht vor Strichrechnung!
Dreieck
h = Höhe des Dreiecks
h
U=a+b+c
Merke!
Dreieck:
Die kürzeste Seite wird mit dem Buchstaben 'a' bezeichnet. Die zweitkürzeste Seite
wird mit dem Buchstaben 'b', die längste Seite mit dem Buchstaben 'c' bezeichnet.
31
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 32
Rechnerische Grundlagen
Kreis
A=r ·r·␲
A = r2 · ␲
mit ␲ = 3,14
Beachte!
Kurz erklärt:
A
Ò ist zu errechnen: die Fläche des Kreises.
r
Ò bezeichnet den Radius. Der Radius ist der halbe Durchmesser.
␲
Ò bezeichnet die Kreiszahl 3,14, auch Archimedes-Konstante genannt.
r · r Ò kann man auch verkürzt schreiben: r2.
Archimedes-Konstante
Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von ␲.
Würde man einen Kreis öffnen und zu einer Geraden ziehen, so würde die Kreislänge 3,14
betragen. Das ist der Umfang des Kreises.
Ein Rad mit 1 m Durchmesser kommt mit einer Umdrehung 3,14 m voran.
U=2·r·␲
Ebene Grundfiguren sind Quadrat, Rechteck und Kreis. Die Grundformen der Flächenberechnung entsprechen den Anforderungen des Fachbereichs Fleischwirtschaft.
Es gibt weitere ebene Figuren wie Trapez, Ellipse, Parallelogramm und krummlinige Figuren.
Die Flächeninhalte ebener Figuren werden durch die Anzahl der in ihr enthaltenen Einheitsquadrate bestimmt.
Beachte!
Ebene Figuren haben zweidimensionale Ansichten: Länge und Breite (z. B. m2).
Körper bzw. Räume besitzen eine Dimension mehr. Länge, Breite, Höhe (z. B. m3).
Berechnet wird:
das Volumen = der Inhalt (z. B. m3) oder
• die Oberflächen, wobei diese zweidimensional bleiben (z. B. m2).
•
32
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 33
Flächen und Räume
Würfel
V = a · a · a = a3
O = a · a · 6 = 6a2
O = 6 · a2 = 6a2
a
Quader
Die Oberfläche (O) eines Würfels erhält man,
indem zunächst die Grundfläche (Quadrat)
berechnet wird. Sie wird mit der Anzahl der
Flächen, nämlich 6, multipliziert.
Warum? Jeder weiß vom Würfelspiel, dass der
Würfel sechs verschiedene Zahlen aufweist.
Also hat ein Würfel sechs Seiten, somit sechs
Grundflächen. Diese ergeben die Oberfläche.
Die Berechnung erfolgt nach dem gleichen Modus wie beim
Würfel.
Das Volumen wird errechnet aus der Formel „Grundfläche
mal Höhe“ = a · b (· h) (z. B. Länge mal Breite mal Höhe).
Drei Dimensionen werden multipliziert (z. B. m3 oder dm3).
Die Oberfläche erhält man, indem die Grundflächen berechnet werden. Der Quader besitzt 3 verschiedene Grundflächen, jede 2-mal.
Warum? Wie beim Würfel haben wir sechs Seiten. Die
3 Grundflächen werden errechnet, dann jede mit 2 multipliziert. Zum Schluss werden die jeweils 2-mal vorhandenen
3 Grundflächen addiert. Das ergibt die Oberfläche.
Zylinder
Das Volumen ergibt sich aus der Formel „Grundfläche mal
Höhe“. Diese Berechnung wird angewendet zur Ermittlung
des Fassungsvermögens von Behältern.
V = ␲ · r2 · h
Die Oberfläche von Zylindern ergibt sich, wenn man die
beiden Kreisebenen mit dem Radius und der Höhe multipliziert. Diese Berechnung wird angewendet bei dem
bekanntesten Zylinder, dem geraden Zylinder, oder beim
Rotationszylinder. Von Rotationszylinder spricht man,
wenn beide Kreisebenen im gleichen parallelen Abstand
zueinander stehen.
O = ␲ · 2 · r (r + h)
33
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 34
Rechnerische Grundlagen
4.1 Übungsaufgaben: Flächen und Räume
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
3
3.1
4
4.1
4.2
4.3
5
5.1
34
Ein Landfleischer will sein Schlachthaus neu streichen lassen. Der Raum ist 9 m lang,
4,80 m breit und 4,20 m hoch. Er soll bis zu 4 m Höhe mit heller Ölfarbe gestrichen
werden. Das kostet 12,50 €/m2. Die Decke und der obere Streifen der Wände sollen für
4,– €/m2 gekalkt werden.
Wie viel m2 werden mit Ölfarbe gestrichen, wenn 10 % der Fläche auf Tür und Fenster
fallen?
Wie teuer wird das Streichen mit Ölfarbe?
Wie teuer wird das Kalken?
Wie teuer wird die Erneuerung des Schlachthauses?
Ein Fleischer lässt die Wurstküche erneuern. Sie ist 7,5 m lang, 4,80 m breit und
5,40 m hoch. 1/12 der Wandfläche sind Fenster und Türen. Die Wände werden in ganzer Höhe mit hellen, glasierten Platten belegt. Das kostet 45,50 €/m2. 1 m2 Fußboden
ist 1,50 € billiger. Das Kalken der Decke kostet 4,20 €/m2.
Wie teuer wird die Erneuerung der Wurstküche?
Um wie viel Prozent steigen die Kosten, wenn der Meister am Fußboden eine umlaufende Hohlkehle für 9,90 € pro laufendes Meter anbringen lässt?
Ein Fleischer will eine Nische in seiner Wurstküche nutzen, indem er dort eine Klimaanlage einbauen lässt. Die Nische ist 2,20 m lang, 1,80 m hoch und 1,20 m tief. Ein
Drittel der Grundfläche gehen für Apparatur und Isolierung verloren.
Wie viel m3 Luftraum können in der Anlage klimatisiert werden?
Die Decken in den Arbeitsräumen und im Gewürzlager sollen mit Platten aus Kunststoff
isoliert werden. Sie haben folgende Maße: 7,50 m ⫻ 8,50 m und 9,50 m ⫻ 7,50 m
und 3,50 m ⫻ 2,50 m.
Wie groß sind die Deckenflächen?
Wie viele Deckenplatten werden benötigt, wenn eine einzelne Platte 0,50 m ⫻ 0,50 m
groß ist?
Was kostet die Deckenverkleidung, wenn pro m2 34,70 € veranschlagt werden?
Für Arbeitskräfte in gewerblichen Räumen ist pro Person ein Raumbedarf von 16,5 m3
vorgesehen. In einer Fleischerei ist die Werkstatt für das Zerlegen von Fleisch 3,00 m
hoch, 5,00 m lang und 4,40 m breit.
Wie viele Personen dürfen dort ständig arbeiten?
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 35
Flächen und Räume
6
Bakteriologen haben die Zahl der Keime auf verschiedenen Tischen in den Abteilungen einer Fleischerei ermittelt. Sie stellten je cm2 Oberfläche folgende Keimzahlen
fest (in Tausend):
Betriebsraum
Schlachthaus
Rohwurstabteilung
Schinkenherstellung
6.1
6.2
Holztisch
ungereinigt
gereinigt
700.000
32.000
32.800
52.000
26.000
21.000
Metalltisch
ungereinigt
gereinigt
86
110
4.600
76
13
9
Wie viele Keime befanden sich auf dem Holztisch im Schlachthaus vor und nach dem
Reinigen, wenn er 1,5 m breit und 2,5 m lang war?
Wie hoch war der Keimgehalt auf den Tischen gleicher Größe in den einzelnen Betriebsräumen?
35
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 36
Rechnerische Grundlagen
5
Dreisatz
Die häufigste und wichtigste Rechenmethode in der Fleischwirtschaft ist der Dreisatz.
Er besteht aus
• drei bekannten Werten, die sich gegenseitig bedingen, und
• einem vierten, unbekannten Wert (dem Ergebnis).
Von einer vorgegebenen Menge oder Mehrheit wird auf die kleinste Einheit geschlossen, um
damit die neue Menge bzw. Mehrheit zu errechnen.
Bei der Dreisatzrechnung verbinden sich Multiplikation und Division zu einer Rechenoperation. Dabei wird das Rechnen mit Brüchen angewendet.
Einfacher Dreisatz mit geraden Verhältnissen
Aufgabe:
In einem Sonderangebot kosten 6 kg Kasseler Kamm als Mindestabnahme
33,90 €. Wie viel Euro kosten 8,750 kg?
Ansatz:
6,000 kg kosten 33,90 €
8,750 kg kosten ? €
Bedingung
Frage (mathematisch steht für das ? ein x)
Lösung:
6,000 kg kosten 33,90 €
Bedingungssatz: Er sagt, was wir wissen.
1,000 kg kosten 33,90 € : 6
Mittelsatz: Er schließt von der Mehrheit
auf die Einheit.
Schlusssatz: Er schließt von der Einheit
auf die Mehrheit.
Ergebnis:
49,44 €
Regel:
Zuerst den bekannten Satz aufstellen. Fragesatz in die zweite Reihe setzen.
Gleiche Benennungen untereinanderschreiben. Erfragte Benennung an das
Satzende stellen.
Antwortsatz: Er schließt die Aufgabe ab.
Merke!
Einfacher Dreisatz mit geraden Verhältnissen:
Je mehr, desto mehr.
Größeres Gewicht Ò höherer Preis.
Je weniger, desto weniger. Kleineres Gewicht Ò niedrigerer Preis.
36
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 37
Dreisatz
Vom Dreisatz zur Verhältnisgleichung
Aufgabe:
3 kg Kassler kosten 20,88 €. Wie teuer sind 4,75 kg?
Viele Rechner lösen die Aufgaben mit einer Verhältnisgleichung:
Lösung:
Verhältnis aufstellen!
Es verhalten sich: 3 kg zu 20,88 € wie 4,75 kg zu x €.
Außenglied mit Außenglied,
Innenglied mit Innenglied malnehmen:
Teilen durch den Faktor von x:
Ergebnis:
3 · x = 20,88 · 4,75
x =
20,88 · 4,75
3
x = 33,06
Merke!
Vom Dreisatz zur Verhältnisgleichung:
Aus gleich benannten Zahlen eine Gleichung mit je einer Seite des Verhältnisses bilden.
Gleichung auflösen nach den Regeln:
• Außenglied mit Außenglied, Innenglied mit Innenglied malnehmen.
• Beide Seiten durch den Faktor von x teilen.
Auch für Verhältnisgleichungen mit geradem Verhältnis gilt:
Je mehr, desto mehr.
Größeres Gewicht Ò höherer Preis.
Je weniger, desto weniger. Kleineres Gewicht Ò niedrigerer Preis.
Einfacher Dreisatz mit ungeradem Verhältnis
Beim einfachen Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem) Verhältnis ist das Verhältnis der
beiden bekannten Werte umgekehrt.
Aufgabe:
4 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in 5 Stunden ab. Wie viel Zeit
benötigen 5 Vakuumfüllautomaten?
Ansatz:
4 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in 5 Stunden ab.
5 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in ? Stunden ab.
37
Fachmathematik für Fleischer 2010_Fachmathematik 16.04.2010 11:21 Seite 38
Rechnerische Grundlagen
Lösung:
4 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in 5 Stunden ab.
1 Vakuumfüllautomat benötigt für 4.000 kg 4-mal länger.
(4 · 5 Std. = 20 Std.)
5 Vakuumfüllautomaten benötigen den 5. Teil der Zeit von
einem Vakuumfüllautomat.
1 Vakuumfüllautomat benötigt 20 Std.
5 Vakuumfüllautomaten ein Fünftel der Zeit = 20 Std. / 5 = 4 Std.
Ergebnis:
5 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in 4 Stunden ab.
Merke!
Regel für den Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem) Verhältnis:
Je mehr, desto weniger.
Je weniger, desto mehr.
Höhere Leistung
Ò geringere Zeit.
Höheres Gewicht Ò niedrigerer Preis.
Geringere Leistung Ò längere Zeit.
Doppelter Dreisatz mit geraden Verhältnissen
Der doppelte Dreisatz verarbeitet zwei einfache Dreisätze in einem. Man kann die Aufgaben
auch nacheinander rechnen. Hier wird ein Lösungsweg gezeigt, der das Ergebnis auf einem
Bruchstrich errechnet.
Aufgabe:
Eine Fleischerei benötigt für den 15 Personen starken Mittagstisch einer
Kantine in 5 Tagen 6 kg Fleisch. Durch den Ausfall eines Kochs wird der
Mittagstisch für die nächsten 15 Tage für weitere 15 Personen übernommen.
Der Mittagstisch beträgt nunmehr 30 Personen für die nächsten 15 Tage.
Wie viel Fleisch wird unter den veränderten Bedingungen benötigt?
Ansatz:
15 Personen benötigen in 5 Tagen 6 kg Fleisch
30 Personen benötigen in 15 Tagen ? kg Fleisch
Lösung:
Erster Schritt: Wie viel verbraucht eine Person an 5 Tagen?
Den 15. Teil von 6 oder =
6
kg
15
Zweiter Schritt: Wie viel verbrauchen 30 Personen?
30-mal so viel wie eine Person oder
38
6 · 30
(Der Bruchstrich wird erweitert.)
15