Übungsaufgaben

Institut für mathematisch - naturwissenschaftliche Grundlagen
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Übungsaufgaben
Physik II
Fehlerrechnung
Autor:
Prof. Dr. G. Bucher
Bearbeitet:
Dipl. Phys. A. Szasz
Februar 2013
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
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Fehlerrechnung
Abbildungsgleichung (WS12/13)
Gegeben ist die Abbildungsgleichung einer gekrümmten Trennfläche zwischen zwei
Medien unterschiedlicher optischer Dichte:
n
n
n − n1
− 1+ 2 = 2
a
a
R
1
4
Gegenstandsweite: a = − m
optische Dichte:
n1 =
3
3
5
1
Bildweite:
optische Dichte:
a= m
n2 =
3
3
a) Berechnen Sie den Krümmungsradius R der Trennfläche!
b) Fehlerbehaftet seien die Grössen a und a .
Berechnen Sie nach dem Gaussschen Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten
Fehler ∆R für den Krümmungsradius!
∆R
c) Berechnen Sie den relativen Fehler
wenn Gegenstandsweite a und
R
Bildweite a mit jeweils einem relativen Fehler von 5% behaftet sind!
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Fehlerrechnung
Schaltung von Wechselstromwiderständen (SS2012)
Gegeben seien folgende Bauteile:
eine Spule der Induktivität L = 1.0 ⋅ 10 −3 H mit
∆L
= 5% , ein Kondensator der
L
∆C
= 5% und ein Ohmscher Widerstand R = 0.5 Ω mit
C
1
∆R
= 5% . Die Kreisfrequenz sei ω = 500 und gilt als fehlerfrei.
R
s
Hinweis: Für die Blindwiderstände von Spule und Kondensator gelten die Formeln:
1
X L = jωL und X C =
j ωC
Kapazität C = 1.0 ⋅ 10 −3 F mit
Die Parallelschaltung von Spule und Kondensator ist in Reihe zum Ohmschen
Widerstand geschaltet.
a) Skizzieren Sie die Schaltung!
b) Berechnen Sie den Scheinwiderstand Z der Schaltung!
c) Berechnen Sie die Frequenz, für die der Scheinwiderstand Z seinen
geringstmöglichen Wert annimmt!
d) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen des Scheinwiderstand Z nach den mit
Fehlern behafteten Größen L , C , und R .
e) Berechnen Sie nach dem Gaussschen Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten
∆Z
Fehler ∆Z und den prozentualen relativen Fehler
für die gegebene Frequenz.
Z
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Fehlerrechnung
Schaltung von Widerständen (WS11/12)
Gegeben seien drei Ohmsche Widerstände und deren relative Fehler:
∆R3
∆R2
∆R1
= 1% , R2 = 20 Ω mit
= 2% und R3 = 5 Ω
= 5% .
R1 = 5 Ω mit
R2
R3
R1
Die Reihenschaltung der Widerstände R1 und R2 ist parallel zum Widerstand R3
geschaltet.
a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R0 der Schaltung!
b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen des Gesamtwiderstands R0 nach den
Widerständen R1 R2 und R3 .
c) Berechnen Sie nach dem Gaussschen Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten
∆R
Fehler ∆R und den prozentualen relativen Fehler
.
R
d) Die Widerstände R1 und R3 werden nun vertauscht.
∆R 
Berechnen Sie den relativen Fehler 
 für diesen Fall!
 R  neu
Brennweite einer Linse (WS10/11)
Die bildseitige Brennweite f einer Glaslinse in Luft ergibt sich nach
folgender Gleichung aus den Krümmungsradien der Linsenflächen:
1 n −1 1 − n
=
+
f
R1
R2
Die optische Dichte von Glas beträgt n = 1.75 und gilt als fehlerfrei.
Eine Serie von Messungen ergibt für die Krümmungsradien der
Linsenflächen folgende Werte:
R 1 = (750 ± 5 ) mm
R 2 = −(250 ± 1) mm
a) Berechnen Sie die Brennweite f .
b) Bestimmen Sie nach dem Gauss’schen Fehlerfortpflanzungsgesetz
Δf
.
den absoluten Fehler Δf und den relativen Fehler
f
c) Bestimmen Sie den Messfehler ΔR 1 für den Radius R1 so, dass der
relative Messfehler der Brennweite
Δf
= 1 % beträgt.
f
Kondensatoren (SS10)
Gegeben sei eine Serienschaltung von zwei Kondensatoren mit
folgenden Kapazitäten:
ΔC1
ΔC 2
= 2% und C 2 = 4.0 μF mit
= 5%
C1 = 1.0 μF mit
C1
C2
a) Berechnen Sie die Gesamtkapazität C ges dieser Schaltung.
b) Berechnen Sie nach dem Gauss’schen Fehlerfortpflanzungsgesetz
ΔC ges
den absoluten Fehler ΔC ges und den relativen Fehler
dieser
C ges
Schaltung.
c) Bestimmen Sie die Unsicherheit der Kapazität C 2 so, dass der
ΔC ges
relative Fehler der Gesamtschaltung
= 2% beträgt!
C ges
Drillachse (WS09/10)
Im Versuch S1 wird mit Hilfe einer vertikalen Drillachse das
Massenträgheitsmoment einer Holzkugel aus der Formel der
Periodendauer eines harmonischen ungedämpften Drehschwingers
bestimmt:
J
T = 2π
c*
Auslenkung
Die Winkelrichtgröße c * der Drillachse wird durch
r statische
r
mit bekanntem Drehmoment ( M = F ⋅ r ; wobei F ⊥ r ) ermittelt. Mit einem
Federkraftmesser wurden folgende Kräfte für verschiedene
Auslenkwinkel β gemessen:
β
Abstand Drehachseπ
π
2π
5π
π
π Angriffspunkt der
rad
6
3
3
6
2
Kraft: r = 0.07 m = konstant
Unsicherheit des verwendeten
F
0.25 0.45 0.63 0.80 0.98 1.2
Kraftmessers: ΔF = 0.05 N
N
a) Zeichnen Sie die Messwerte für das Rückstellmoment der
Spiralfeder M (einschließlich „Fehlerbalken“) über den
Auslenkungswinkel β in ein Diagramm ein.
b) Bestimmen Sie graphisch die ausgleichende Gerade M = M ( β ) und
berechnen Sie aus der Steigung dieser Geraden die
Winkelrichtgröße c * der Feder.
Hinweis: Nach dem Hookeschen Gesetz ist das Rückstellmoment der
Spiralfeder M proportional zum Auslenkungswinkel β ( M = −c * ⋅β ).
c) Über die Steigungen der „Grenzgeraden“ ist eine Unsicherheit der
Winkelrichtgröße Δc * abzuschätzen.
d) Anschließend wird die Holzkugel auf die Drillachse aufgesetzt.
Mehrfache Messungen der Schwingungsdauer
ergeben: T = (1.79 ± 0.03) s .
Verwenden Sie für die Winkelrichtgröße c * entweder das Ergebnis
der Auswertung a) bis einschließlich c), oder den
Wert: c * = (2.39 ± 0.16) ⋅ 10−2 Nm und berechnen Sie das
Massenträgheitsmoment der Kugel J sowie den absoluten Fehler ΔJ
nach dem Verfahren der Fehlerfortpflanzung.
Geben Sie das Ergebnis mit der richtigen Einheit und sinnvoll
gerundet an.
2
e) Berechnen Sie nach der Formel: J = m ⋅ r 2 einen Vergleichswert für
5
das Massenträgheitsmoment dieser Kugel, wenn folgende Werte
bekannt sind:
Masse der Kugel: m = (1009 .24 ± 0.05 ) g
Durchmesser der Kugel: d = (138 ± 2 ) mm
f) Prüfen Sie die beiden Ergebnisse auf Verträglichkeit!
Radioaktivität (SS08)
Mit Hilfe einer Patent-Kobaltquelle soll nach dem Schwächungsgesetz
die Dicke d einer Materialprobe ermittelt werden. Das
Schwächungsgesetz lautet:
−μ⋅d
z (d ) = z 0 ⋅ e
Zählrate ohne absorbierendes Material im Strahlengang
z0 :
z (d ) :
Zählrate mit einer absorbierenden Schicht der Dicke d im
Strahlengang
μ:
linearer Schwächungskoeffizient der Materialprobe und hat
1
den Wert: μ = (0.25 ± 0.01)
cm
Die Zählraten mit und ohne absorbierendes Material im Strahlengang
unterliegen der statistischen Schwankung.
a) Bestimmen Sie nach dem Gauss`schen Fehlerfortpflanzungsgesetz
den absoluten Fehler Δd der Schichtdicke d .
1
und
b) In einem Experiment werden die Zählraten z 0 = 10002
min
1
1
z (d ) = 2 ⋅ z 0 (entspricht ca. z (d ) = 1334
) ermittelt.
e
min
Berechnen Sie die Schichtdicke d des absorbierenden Materials und
die Messunsicherheit Δd .
Schwächungskoeffizient (WS07/08)
Im Versuch A2 wird die Schwächung ionisierender Strahlung in Materie
untersucht und konkret der lineare Schwächungskoeffizient μ ermittelt.
Die Untergrundstrahlung wird im Folgenden vernachlässigt.
Die Gleichung
−μ⋅d
z(d) = z 0 ⋅ e
beschreibt die Schwächung ionisierender Strahlung durch einen
Absorber wobei:
z(d) : Zählrate mit einer absorbierenden Schicht der Dicke d
z 0 : Zählrate ohne absorbierende Materie zwischen Quelle und
Detektor
μ : linearer Schwächungskoeffizient
d : Dicke des Absorbers parallel zur Verbindungsstrecke QuelleDetektor
Hinweis: Die Zählrate z ist die Zahl der Zählereignisse pro Minute. Für
den statistischen Fehler ist die Gesamtzahl N aller Zählereignisse in
einem Experiment verantwortlich.
a) Berechnen Sie nach dem Gaußschen Gesetz der Fehlerfortpflanzung
Δμ
den absoluten Fehler Δμ und den relativen Fehler
für den
μ
linearen Schwächungskoeffizienten μ .
Die Zählraten z(d) und z 0 , sowie die Dicke d des Absorbers sind
fehlerbehaftet!
b) In einem Experiment werden die Zählereignisse N 0 = 10000 und
N (d ) = e −2 ⋅ N 0 (entspricht ca. 1350 Ereignissen) bei gleichen
Zählzeiten t Z = 1 min ermittelt.
Die Schichtdicke des Absorbers sei d = (5.00 ± 0.05 ) cm .
Berechnen Sie daraus den linearen Schwächungskoeffizienten μ ,
Δμ
sowie den absoluten Fehler Δμ und den relativen Fehler
.
μ
c) Berechnen Sie die notwendige Zählzeit t max für N (d ) , damit N 0 und
N (d ) den gleichen Beitrag zum Gesamtfehler des linearen
Schwächungskoeffizienten μ leisten.
Brennweite einer Linse (SS07)
Im Versuch O1 wird die Brennweite einer Linse nach dem Besselschen
Verfahren mit folgender Gleichung bestimmt:
L2 − s 2
f =
4 ⋅L
wobei:
f:
Brennweite der untersuchten Linse
L (fehlerbehaftet):
Abstand zwischen Gegenstands- und Bildebene
s (fehlerbehaftet):
Abstand der beiden Gegenstandstandebenen für
scharfe Abbildung bei gegebenem Abstand L .
a) Berechnen Sie nach dem Gaußschen Gesetz der Fehlerfortpflanzung
Δf
den absoluten Fehler Δf und den relativen Fehler
für die
f
Brennweite f .
b) Der Abstand zwischen Gegenstands- und Bildebene wurde mit
L = (1000 ± 1) mm ermittelt und für den Abstand zwischen den beiden
Gegenstandsebenen wurde s = (701 ± 2 ) mm gemessen.
Berechnen Sie die zugehörige Brennweite f mit absolutem Fehler Δf
Δf
.
und relativem Fehler
f
c) Der Abstand L zwischen Gegenstands- und Bildebene werde nun mit
ΔL
= 0.7 % und der Abstand s der beiden
einem relativen Fehler
L
Δs
= 1%
Gegenstandsebenen wird mit einem relativen Fehler
s
bestimmt.
Berechnen Sie, bezogen auf den Abstand L , die Brennweite f
Δf
= 1 % bestimmt
derjenigen Linse, die mit einem relativen Fehler
f
werden kann.
Detektorempfindlichkeit (SS06)
Mit Hilfe einer Patent-Kobaltquelle soll die Detektorempfindlichkeit
bestimmt werden. Die Quelle hatte bei der Herstellung eine Aktivität von
A0 = (1024,0 ± 51.2 ) kBq . Die Quelle ist (8 Jahre ± 2 Monate ) alt und hat
eine (exakte) Halbwertszeit T = 2 Jahre . Bei jedem Zerfall werden
3 Gammaquanten frei.
Der Detektor befindet sich in einem Abstand d = (0.500 ± 0.005 ) m und
hat selbst einen Radius von R D = (10.0 ± 0.1 ) mm .
Für den Nulleffekt wurde eine Impulszahl N 0 = 100 in der Zeit t 0 = 10 min
gemessen.
a) Berechnen Sie die Anzahl N γ der Gammaquanten, die pro Minute auf
den Detektor treffen.
b) Geben Sie die Formel an, nach der die Detektorempfindlichkeit ε
bestimmt wird.
c) Berechnen Sie mit Hilfe der Gaussschen Fehlerfortpflanzung den
Gesamtfehler Δε der Nachweiswahrscheinlichkeit ε .
Δε
d) Berechnen Sie den relativen Fehler
der
ε
Nachweiswahrscheinlichkeit.
e) Der Detektor liefert eine mittlere Zählrate von z = 40
Berechnen Sie den relativen Fehler
Δε
ε
1
.
min
der
Nachweiswahrscheinlichkeit für eine Zählzeit von t Z = 2.5 min .
f) Berechnen Sie die Zählzeit t optimal , die Sie mindestens einhalten
müssen, um den relativen Fehler
auf 10 % zu begrenzen.
Δε
ε
der Nachweiswahrscheinlichkeit
RC-Glied (WS05/06)
Die Entladung eines Kondensators C über einen Widerstand R
( RC − Glied ) wird durch folgende Gleichung beschrieben:
−
t
R ⋅C
u(t) = U 0 ⋅ e
In dieser Gleichung sind die Größen U 0 , R und C fehlerbehaftet. Die
Zeit t ist fehlerfrei.
a) Berechnen Sie allgemein nach dem Gaussschen
Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten Fehler Δu (t ) und den
Δu (t )
.
relativen Fehler
u (t )
b) Berechnen Sie die Spannungswerte u i (t ) und die relativen
Δui (t )
für die Zeiten: t 1 = 1 s; t 2 = 10 s; t 3 = 100 s mit folgenden
Fehler
ui (t )
Zahlenwerten:
Eulersche Konstante: e = 2
U 0 = (10.0 ± 0.1) V
ΔR
R = 107 Ω mit
= 5%
R
ΔC
= 2%
C = 10 −6 F mit
C
Widerstände (SS05)
Über das Verhältnis von Spannung U und Widerstand R ges wird die
Stromstärke I bestimmt. Der Widerstand R ges setzt sich aus 2 parallel
geschalteten Widerständen R1 und R 2 zusammen. Die Spannung U
wird mit 6.0 V ermittelt, das Messgerät hat einen Messbereich von 10 V ,
und eine Toleranz von ± 2 % vom Vollausschlag.
ΔR1
ΔR 2
= 5% und R 2 = 12 Ω mit
= 1%
Es sei: R1 = 3 Ω mit
R1
R2
a) Berechnen Sie den Strom I .
b) Berechnen Sie theoretisch (ohne Zahlenrechnung) nach dem
Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten Fehler ΔI für diese
Strommessung.
c) Berechnen Sie nach einer Methode Ihrer Wahl den relativen
ΔI
und den absoluten Fehler ΔI dieser Strommessung in
Fehler
I
Zahlen.
Abbildungsgleichung (WS04/05)
Gegeben sei folgende Gleichung für eine brechende Fläche:
n2 n1 n2 − n1
− =
a
a
R
Eine Serie von Messungen ergibt für die Gegenstandsweite einen
mittleren Wert a = −(1.00 ± 0.05) m , die Bildweite ergibt sich zu
a = (1.50 ± 0.05) m . Die optischen Dichten sind: n1 = 1.0 (Luft) und
n2 = 1.5 (BK 7).
Berechnen Sie den Krümmungsradius R dieser Anordnung und geben
ΔR
an.
Sie den absoluten Fehler ΔR und den relativen Fehler
R