Gürtler Andreas - Abteilung Prof. Dr. H. Helm

Bestimmung des Nah- und Fernfeldes einer
Halbleiterantenne fur Subpicosekundenpulse im
THz-Bereich in Experiment und Simulation
Diplomarbeit
vorgelegt von
Andreas Gurtler
Albert-Ludwigs-Universitat
Freiburg im Breisgau
Fakultat fur Physik
September 1998
ETHz [a.u.]
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
8
9
Propagations
x [m
m]
7
-6
-4
-2
0
2
4
6
10
richtung z [m
m]
11
Simulierter THz-Puls in dreidimensionaler Darstellung 36 ps nach der Erzeugung.
Die Antenne bendet sich bei z=0 mm und reicht von x=-5,7 mm bis x=+5,7 mm.
Der Puls propagiert entlang der z-Achse.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Grundlagen
1.1 Erzeugung von THz-Pulsen . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Wechselwirkung des Lasers mit dem Halbleiter .
1.1.3 Das "Stromsto\-Modell . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Mikrometergroe Halbleiterantennen . . . . . .
1.1.5 Groachige Halbleiterantennen . . . . . . . . .
1.2 Detektion von THz-Strahlung . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Halbleiterantennen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Der elektro-optische Nachweis . . . . . . . . . .
1.2.3 Weitere Nachweismethoden . . . . . . . . . . .
1.3 Das Lasersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Der Titan:Saphir Oszillator . . . . . . . . . . .
1.3.3 Der Stretcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Der regenerative Verstarker . . . . . . . . . . .
1.3.5 Der Kompressor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Propagation von THz-Pulsen im freien Raum
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die skalare Beugungstheorie . . . . . . . . . .
Die Rayleigh-Sommerfeldsche Beugungstheorie
Nichtmonochromatische Wellen . . . . . . . .
Vektorielle Beugungstheorie . . . . . . . . . .
3 Experimenteller Aufbau
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
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Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Einkoppeln des Probestrahls . . . . . . . . . . .
Der Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Meprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charakterisierung des Aufbaus und erste Messungen .
1
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3
7
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14
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31
34
37
39
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45
45
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2
INHALTSVERZEICHNIS
3.5.1 Zuordung der Reektionspeaks . . . . . . . . . . .
3.5.2 Abhangigkeit von der angelegten Hochspannung . .
3.5.3 Experimenteller Vergleich der Einkoppelgeometrien
3.5.4 Charakterisierung des benutzten ZnTe-Kristalls . .
3.6 Das Frequenzspektrum des THz-Pulses . . . . . . . . . . .
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55
56
4 Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
61
5 Vergleich von Experiment und Simulation
83
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitliches Prol am Emitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raumliches Prol am Emitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Durchfuhrung der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parameter der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagation der THz-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorielle Simulation und raumliche Strahlungsfeldcharakteristik
Grenzen der experimentellen Auosung . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
62
65
66
69
76
76
77
82
5.1 Verschiedene Propagationslangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Die Doppelpeakstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Messungen auerhalb der Strahlachse . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Zusammenfassung und Ausblick
Anhang
A Justierungsanleitung
B Das Simulationsprogramm
Abbildungsverzeichnis
Literaturverzeichnis
Danksagung
93
95
95
99
103
105
111
Einleitung
Seit vielen Jahren gibt es leistungstarke Quellen und Detektoren fur elektromagnetische Strahlung mit beinahe jeder Wellenlange, von langwelligen Radiowellen
uber Mikrowellen, dem sichtbaren Licht bis hin zu Rontgen- und -Strahlung. In
dem zuganglichen Wellenlangenbereich klate allerdings lange Zeit eine Lucke.
Zwischen den Mikrowellen, die z. B. mit Gunn-Oszillatoren [Sze96] oder MASERN
[Sie64] erzeugt werden konnen, und dem Infraroten, das uber Laser und Schwarzkorperstrahler erreichbar ist, liegt ein Frequenzbereich von ca. 100 GHz bis zu
einigen Terahertz (1012 Hz), in dem nur diskrete Wellenlangen, zum Beispiel mit
HCN-Lasern, zuganglich waren: die Terahertz-Strahlung, oft auch als fernes Infrarot (FIR) bezeichnet. Da in diesem Frequenzbereich verschiedene interessante
physikalische Eekte, wie zum Beispiel Rotationsubergange in polaren Molekulen
und Phononenresonanzen in Kristallen zu beobachten sind, ist es wunschenswert,
eine einfache und stabile Quelle zu besitzen, die diesen Wellenlangenbereich von
ca. 100 m bis zu 3 mm, das entspricht ca. 3 THz bis 100 GHz, abdeckt.
Die Entwicklung der ersten Kurzpulslaser mit Pulsdauern im Pico- bis Femtosekundenbereich (10;12 ; 10;15 s) eronete neue Moglichkeiten, ultraschnelle
Prozesse zu beobachten und zu erzeugen [HW84]. Eine Anwendung der Kurzpulslaser ndet sich in der Optoelektronik. Mitte der 70er Jahre entwickelte
D. Auston einen schnellen optoelektronischen Schalter, den nach ihm benannten Auston-Switch [Aus75]. Er besteht aus einer unterbrochenen Leiterbahn auf
einem hochohmigen Halbleitersubstrat. Wird die Leiterbahnlucke von einem kurzen Laserpuls beleuchtet, so wird der Schalter durch die erzeugten Photoladungstrager fur kurze Zeit leitend und ein Strom kann ieen. In Halbleitern mit kurzen
Ladungstragerlebensdauern konnen so Schaltzeiten im Picosekundenbereich realisiert werden.
Solche kurzen Stromstoe sind Quellen elektromagnetischer Strahlung. Aufgrund der kurzen Dauer dieser Pulse, die in der Groenordnung der Laserpulsdauer liegt, weisen sie ein breites Frequenzspektrum von ca. 0,1 bis 3 THz auf.
Daher stammt die Bezeichnung Terahertz-Strahlung fur die so erzeugten Pulse.
Nach Austons Entdeckung setzte eine rasend schnelle Entwicklung ein. Unterstutzt durch den schnellen Fortschritt der Femtosekunden-Lasertechnologie
und der Verfugbarkeit verstarkter Femtosekundenlasersysteme wurden neue Emittergeometrien mit z. T. wesentlich hoherer Abstrahlungsleistung vorgestellt und
3
4
Einleitung
damit ein breites Spektrum an Anwendungsmoglichkeiten erschlossen. Diese umfassen Spektroskopie (THz Time Domain Spectroscopy) an Festkorpern, Flussigkeiten und Gasen [Kei94] [SHK98] sowie an Flammen [CG95], zwei- und dreidimensionale bildgebende Verfahren [MJN96], Pump-Probe Experimente [MW97]
und Feldionisation hochangeregter Atome [RRJB93]. Einen U berblick uber die
Grundlagen und Anwendungsgebiete von THz-Strahlung geben Nuss und Orenstein in [NO96].
In unserer Arbeitsgruppe wurde ein Verfahren entwickelt, das elektrische Feld
eines frei propagierenden THz-Pulses uber den Pockels-Eekt in elektro-optischen
Kristallen nachzuweisen [JWS+ 96]. Dieses Detektionsverfahren bietet die Moglichkeit, das raumliche Prol eines THz-Puls zweidimensional aufzunehmen und auf
diese Weise bildgebende Verfahren zu entwickeln [WHZ96]. Um moglichst hohe Abstrahlungsleistungen zu erreichen, werden hierzu groachige Halbleiterantennen verwendet, die mit verstarkten Kurzpulslasersystemen betrieben werden
[HDZA90].
Ziel dieser Arbeit ist es, das Nah- und Fernfeld einer groachigen THzAntenne mittels einer speziellen Geometrie der elektro-optischen Detektion zu
untersuchen. Dazu wird ein geeignetes THz-Experiment mit der in dieser Form
noch nicht verwendeten Reektionsgeometrie der elektro-optischen Detektion vorgestellt und auf seine Eignung als Spektrometer und fur bildgebende Verfahren
untersucht. Eine Zielsetzung war es dabei, einen moglichst kompakten und robusten Aufbau zu realisieren.
Die genaue Kenntnis der THz-Pulsform ist wichtig fur Feldionisationsexperimente, bei denen der THz-Puls einen Impuls auf das hochangeregte Elektron eines
Rydbergatoms ubertragt. Ein solches Experiment ist in unserer Arbeitsgruppe in
Vorbereitung. Der Einu der Geometrie der Antenne sowie der Eigenschaften
des Pumpstrahls und des Halbleiters auf die THz-Pulsform im Nah- und Fernfeld wird in dieser Arbeit anhand einer Computersimulation untersucht, deren
Ergebnisse mit experimentellen Pulsformen verglichen werden.
Die vorliegende Arbeit gliedert sich wie folgt: Im ersten Kapitel werden die
Grundlagen fur die Erzeugung und Detektion von THz-Strahlung mit verschiedenen Methoden sowie das Lasersystem vorgestellt. Dabei wird besonderer Wert
auf die in dieser Arbeit benutzten Technologien, die Erzeugung von THz-Pulsen
mit groachigen Halbleiterantennen und die elektro-optische Detektion gelegt.
Kapitel 2 ist der Beugung elektromagnetischer Pulse im Picosekundenbereich
an einer Apertur gewidmet. Die Form eines THz-Pulses am Ort des Detektors
wird stark beeinut durch die Beugung an der Apertur des Emitters und die Propagation des Pulses vom Emitter zum Detektor. Daher wird zunachst die skalare
Kirchhosche Beugungstheorie sowie deren Erweiterung auf nichtmonochromatische Wellenpakete vorgestellt. Weiterhin wird eine auf Smythe zuruckgehende
vektorielle Verallgemeinerung der Kirchhoschen Theorie gezeigt, die in dieser
Arbeit auf Wellenpakete verallgemeinert wird.
Im 3. Kapitel ist der in dieser Arbeit realisierte experimentelle Aufbau zur
Einleitung
5
Vermessung des Nah- und Fernfeldes einer THz-Antenne beschrieben. Zunachst
werden die verschiedenen Moglichkeiten dargestellt, die elektro-optische Detektion experimentell zu realisieren. Danach werden der Aufbau selbst sowie einige Messungen zur Charakterisierung der Detektionsmethode und des benutzten
ZnTe-Kristalls vorgestellt.
Kapitel 4 stellt die Computersimulation der Erzeugung und Propagation von
THz-Pulsen von groachigen Halbleiterantennen vor, die im Zuge dieser Arbeit entwickelt wurde. Dazu werden das raumliche und zeitliche Prol des THzPulses am Emitter aus dem benutzten Modell zur Erzeugung der THz-Strahlung
bestimmt. Es werden Simulationen gezeigt, die den Einu verschiedener Parameter des Laserstrahls, der Geometrie und der benutzten Materialien auf die
THz-Pulsform verdeutlichen.
Das 5. Kapitel zeigt eine Reihe von Messungen mit den dazugehorigen Simulationen, Kapitel 6 bringt die Zusammenfassung der Ergebnisse dieser Arbeit
sowie einen Ausblick auf mogliche weitere Experimente.
Im Anhang nden sich eine Anleitung zur Justierung des Aufbaus sowie die
Dokumentation des Simulationsprogramms.
6
Einleitung
Kapitel 1
Grundlagen
1.1 Erzeugung von THz-Pulsen
1.1.1 Einfuhrung
Das Prinzip der Erzeugung kurzer Pulse im THz-Bereich ist relativ einfach. Ein
Halbleiter in einem externen elektrischen Feld wird von einem Kurzpulslaserstrahl
beleuchtet. Dabei werden im Halbleiter Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband
gehoben und somit Elektronen-Loch-Paare erzeugt. Das externe "Vorspannungsfeld\ beschleunigt diese Photoladungstrager, was nach der Maxwellschen Theorie
zur Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen fuhrt. Da die Ladungstrager
von dem ultrakurzen Laserpuls innerhalb von einigen 100 Femtosekunden erzeugt werden, liegen die groten in dem abgestrahlten elektromagnetischen Puls
enthaltenen Frequenzen in der Groenordnung von einigen Terahertz. Deshalb
wird so erzeugte Strahlung Terahertz-Strahlung genannt. Der Frequenzbereich
der THz-Strahlung von ca. 100 GHz bis zu einigen THz wird oft auch als "fernes
Infrarot\ (FIR) bezeichnet.
Die obere Grenze des erzeugbaren Frequenzspektrums wird durch die Ladungstragerdynamik im Halbleiter nach unten verschoben. Dies ist so zu verstehen, da die Photoladungstrager kurz nach der Erzeugung nicht im thermischen
Gleichgewicht sind, sondern erst durch Stoe in den Gleichgewichtszustand relaxieren mussen. Daher kann die Ladungstragerdynamik dem ultrakurzen Laserpuls
nicht folgen. Weiterhin begrenzt die frequenzabhangige Absorption des Emittermaterials das Frequenzspektrum der THz-Pulse.
Es gibt verschiedene Mechanismen, die zu der Erzeugung der THz-Strahlung
beitragen sowie verschiedene Arten, die THz-Antenne zu realisieren. Je nachdem, ob der Elektrodenabstand auf dem Emitter kleiner oder groer als die Wellenlange der emittierten Strahlung ist, unterscheidet man zwischen mikrometergroen und groachigen Antennen, die unterschiedliche Eigenschaften haben.
Fur vorgespannte Halbleiterantennen gibt es vorwiegend zwei Prozesse, die zur
7
8
1. Grundlagen
Abbildung 1.1: Bandstruktur verschiedener Halbleiter im Vergleich. Links ist Ge,
in der Mitte Si und rechts GaAs gezeigt [Sze96].
THz-Emission beitragen:
ballistische Beschleunigung reeller Photoladungstrager
instantane Polarisation virtueller Ladungstrager
Im allgemeinen wird die abgestrahlte Welle Beitrage aus beiden Eekten enthalten. Im Falle von vorgespannten groachigen Halbleiterantennen bei Anregung oberhalb der Bandkante, wie sie in dieser Arbeit benutzt wurden, tragen
hauptsachlich reelle Ladungstrager zur THz-Emission bei [SN96].
Da der U bergang Luft-Halbleiter an der Oberache des Halbleiters ein internes Feld senkrecht zur Oberache erzeugt, kann auf das externe Feld auch
verzichtet werden. Dann wirkt das interne Oberachenfeld des Halbleiters als beschleunigendes Feld [Sch96]. Um moglichst hohe THz-Feldstarken zu erreichen,
wird die Antenne allerdings meist mit Feldstarken von 3-8 kV/cm vorgespannt.
Andere Arten, THz-Pulse zu erzeugen sind optische Rektikation [BJMM95]
und Dierenzfrequenzbildung [BMND95].
1.1.2 Wechselwirkung des Lasers mit dem Halbleiter
In diesem Abschnitt soll die Wechselwirkung der Photonen des Pumpstrahls mit
einer Energie ~! mit dem Emittermaterial diskutiert werden. Hierfur kommen
verschiedene Halbleiter in Frage, wie z. B. GaAs, CdTe oder InP. In dieser
Arbeit wurde undotiertes hochohmiges Galliumarsenid (GaAs) benutzt. GaAs
ist ein direkter Halbleiter. Das bedeutet, da das Minimum des Leitungsbandes
im k-Raum vertikal uber dem Maximum des Valenzbandes liegt. Daher konnen
9
1.1. Erzeugung von THz-Pulsen
E
e-
Leitungsband
ballistische
Beschleunigung
Leitungsband
E
e-
Ec
Ec
+
Loch
Valenzband
Loch +
Ev
Valenzband
Ev
x
x
(a) Erzeugung reeller Photoladungstrager im Leitungsband
durch raumlich vertikalen U bergang
(b) Erzeugung virtueller Photoladungstrager im Leitungsband
durch U bergang senkrecht zu
den Bandkanten
Abbildung 1.2: Bandstruktur eines vorgespannten Halbleiters. Das externe Feld
zeigt in x-Richtung. Die Bandkanten sind verbogen, was zur Beschleunigung der
reellen und zur instantanen Polarisation der virtuellen Ladungstrager fuhrt.
U bergange vom Valenz- ins Leitungsband ohne Zuhilfenahme eines Phonons erfolgen.
Abb. 1.1 zeigt die Bandstruktur des GaAs im Vergleich mit der des indirekten Halbleiters Silizium. In der Struktur des GaAs-Leitungsbandes tauchen
Seitentaler auf, die mindestens 0,31 eV uber dem als ;-Tal bezeichneten Haupttal liegen. In dem daruberliegenden L-Seitental haben die Elektronen eine viel
groere eektive Masse und damit eine sehr viel geringere Mobilitat im Vergleich
zum zentralen ;-Tal. Der Bandabstand betragt fur GaAs bei Raumtemperatur
Eg = 1; 42 eV, das entspricht einer Wellenlange von 870 nm.
Ein externes elektrisches Feld verbiegt die Bandkanten eines Halbleiters [Sze96].
Daher weisen die Kanten vom Valenz- und Leitungsband uber den Emitter den
in Abb. 1.2 skizzierten Verlauf auf.
Ist die Photonenenergie des Pumpstrahls groer als die Bandlucke des verwendeten Halbleiters, werden reelle Ladungstrager im Leitungsband erzeugt und
durch das Vorspannungsfeld beschleunigt. Der U bergang von Valenz- ins Leitungsband ist in diesem Fall ein raumlich vertikaler U bergang (siehe Abb. 1.2(a)).
Weniger intuitiv ist, da auch bei Anregung unterhalb der Bandkante THzStrahlung erzeugt werden kann. In diesem Fall werden virtuelle Ladungstrager
erzeugt, die nur fur die Dauer des Pumppulses existieren [KS93]. Diese virtuellen Ladungstrager vollziehen zu den Bandern orthogonale Interbandubergange,
d. h. jene mit der kleinstmoglichen Energie. Da das externe elektrische Feld die
Bandkanten verbiegt, bedeutet dies, da der U bergang raumlich gesehen nicht
vertikal ist (Abb. 1.2(b)). Das generierte Ladungstragerpaar ist deshalb instan-
10
1. Grundlagen
tan raumlich polarisiert. Dieser Eekt tritt nur in direkten Halbleitern auf. In
indirekten Halbleitern wie z. B. Silizium werden zufallige Phononenstoprozesse
fur den U bergang in das Leitungsband benotigt. Dies zerstort die Koharenz zwischen den Elektronen und Lochern und es tritt keine instantane Polarisation auf
[HdSK+ 95]. Hu et al. konnten die Erzeugung von THz-Strahlen mit virtuellen
Ladungstragern experimentell zeigen [HZA91].
Absorbierte Photonen mit einer Energie uber der Bandkante des Emittermaterials generieren reelle Photoladungstrager. In unserem Experiment wird die 1 cm2
groe Antenne mit typisch 2 J Pulsenergie bestrahlt. Bei einer Photonenenergie
von 1,55 eV und einem Reektionskoezienten von R=0,3 fur GaAs bedeutet
dies, da pro Laserpuls ca. 8 1012 Photonen ungefahr 5; 7 1012 Ladungstrager
erzeugen.
Der Beitrag der virtuellen Ladungstrager zum THz-Puls wird also nur von
dem Anteil des Pumpspektrums stammen, das unterhalb der Bandkante liegt.
Bei einem Pumppuls mit einer Zentralwellenlange von ca. 800 nm und einer Halbwertsbreite (engl. Full Width Half Maximum, Abk. FWHM) von ca. 150 fs, wie er
in dieser Arbeit verwendet wurde, kann der Beitrag der virtuellen Ladungstrager
in erster Naherung vernachlassigt werden.
Da die Generation von virtuellen und reellen Photoladungstragern auf unterschiedlichen Zeitskalen ablaufen, ist es moglich, die beiden Eekte zu trennen. Mit Pump-Probe Experimenten kann die Dynamik der Photoladungstrager
beobachtet werden. Dabei werden von einem Pumppuls Photoladungstrager im
Halbleiter erzeugt. Kurz darauf folgt ein Probepuls. Beide Pulse erzeugen ein
THz-Feld, nachgewiesen wird aber nur das des Probepulses. Die Zeitverzogerung
zwischen den beiden Pulsen wird schrittweise verlangert und so das Verhalten
der vom Pumppuls erzeugten Photoladungtrager beobachtet.
Pedersen et al. setzten diese Technik zuerst bei mikrometergroen THzAntennen ein [PLH+ 93]. Spater wurden Experimente dieser Art auch fur zentimetergroe Antennen durchgefuhrt [TRS97]. Bei genugend hoher Zeitauosung
konnen die verschiedenen Phasen der Ladungstragerdynamik unterschieden werden.
Hu et al. haben solche Experimente mit einer Laserpulsdauer von 10 fs durchgefuhrt [HdSK+95]. Dabei konnten sie den Beitrag der virtuellen Ladungstrager,
der innerhalb der Pumppulsdauer erfolgt, von dem der ballistischen Beschleunigung trennen, die in einer Zeit kleiner als die mittlere Stozeit in der Groenordnung von 100 fs ablauft. Nach dieser Zeit setzen Stoe zwischen den Ladungstragern sowie mit Phononen ein, die die Beschleunigung stoppen. Dabei werden
Elektronen in Seitentaler der Bandstruktur mit geringerer Mobilitat gestreut.
Bei groen Vorspannungsfeldern kann in der Beschleunigungsphase die statische
Driftgeschwindigkeit uberschritten werden, bevor Stoe einsetzen konnen ("velocity overshoot\). Deshalb sinkt danach die Ladungstragergeschwindigkeit und
erreicht den statischen Wert nach einigen 100 fs. Dies ist nur dann zu beobachten,
wenn die Anregungsenergie nur knapp uber der Bandkante liegt. Andernfalls wer-
1.1. Erzeugung von THz-Pulsen
11
den die Photoladungstrager mit soviel uberschussiger Energie erzeugt, da viele
Ladungstrager sofort in das L-Seitental gestreut werden, das durch ca. 0,31 eV
vom ;-Tal getrennt ist [SNW94]. Diese relaxieren dann langsam mit einer Zeitkonstanten von ca. 2 ps ins ;-Tal zuruck [NAC87].
Bei den in dieser Arbeit durchgefuhrten Experimenten lag die Wellenlange
des Pumplasers bei ca. 800 nm, was 1,55 eV entspricht und somit nur ca. 110 meV
uber der Bandkante des GaAs liegt. Um den "velocity overshoot\ im THz-Signal
beobachten zu konnen, sollte die Photonenenergie allerdings noch naher bei der
Bandkante liegen. Auerdem werden hierzu sehr hohe Vorspannungsfeldstarken
benotigt (Eb > 10 kV/cm bei einer Pumppulsenergie von 1,44 eV [SNW94]). Es ist
daher nicht zu erwarten, da in den in dieser Arbeit durchgefuhrten Messungen
ein "velocity overshoot\ zu beobachten ist.
1.1.3 Das "Stromsto\-Modell
Das Stromsto (engl. current surge) Modell ist weithin akzeptiert als Modell
fur die Erzeugung von THz-Pulsen. In diesem Modell wird angenommen, da
die Photoladungstragerdichte an der Oberache des Halbleiters mit der Zahl der
absorbierten Photonen, das heit mit dem Zeitintegral der Intensitat des Pumppulses ansteigt. Die so erzeugten Photoladungstrager zerfallen dann exponentiell
mit einer materialabhangigen Lebensdauer car . Diese liegt in undotiertem GaAs
in der Groenordnung von 100 ps, ist also sehr viel groer als die Pumppulsdauer
[Jep96]. In anderen Materialien, wie z.B. RDSOS (Radiation Damaged SiliconOn-Sapphire) kann sie bis zu 600 fs kurz werden.
Mit diesen Annahmen lat sich die Oberachenleitfahigkeit s in 1=
schreiben als [GK91]
t
Z
t;t0
e
(1
;
R
)
s (t) = ~!
dt0 (t ; t0 )Iopt(t0)e; car
;1
(1.1)
Hierbei ist R die Reektivitat des Emittermaterials, (t) die Mobilitat der Photoladungstrager in m2/Vs und car die Zerfallskonstante der Photoladungstrager.
Iopt ist die Pumpintensitat in J/(m2s) und ~! die Photonenenergie in J. In Gleichung (1.1) geht die Zahl der erzeugten Photoladungstrager als Anzahl der absorbierten Photonen der Energie ~! ein.
Die Ladungstrager benden sich kurz nach der Anregung nicht im thermischen
Gleichgewicht. Gleichung (1.1) tragt dieser Tatsache mit der zeitabhangigen Ladungstragermobilitat (t) Rechnung. Die Mobilitat der Photoladungstrager steigt
im allgemeinen langsamer an als der ultrakurze Pumppuls. Der genaue Verlauf
der Mobilitat ist recht kompliziert und von vielen Faktoren wie z. B. der Photonenenergie ~! und dem externen Vorspannungsfeld abhangig. In einem einfachen Modell steigt die Mobilitat exponentiell von einem Startwert i auf ihren
12
1. Grundlagen
Gleichgewichtswert dc, der typischerweise nach einigen Picosekunden erreicht
wird [TBY93][GK91]:
(t) = dc ; (dc ; i)e;;t :
(1.2)
; ist der Kehrwert der mittleren Stozeit s im Halbleiter: ; = 1s .
Die Zeitabhangigkeit der Mobilitat von Photoladungstragern in GaAs wurde
z. B. von Nuss et al. gemessen [NAC87]. Da sich die Parameter dieser Messung,
vor allem die Photonenenergie des Pumplaserstrahls, erheblich von den Bedingungen in dieser Arbeit unterscheiden, konnen die Ergebnisse dieser Experimente
allerdings nicht direkt ubernommen werden.
In [BRT94] wird die Elektronenmobilitat in GaAs kurz nach der Anregung
mit einem 1,5 eV-Puls zu ca. 1400 cm2/Vs abgeschatzt. Die Gleichgewichtsmobilitat im GaAs betragt dc = 8500 cm2/Vs. Zum Vergleich: In [SFGD92] wurde
die Mobilitat nach Anregung mit einem 2 eV-Puls zu 300 cm2/Vs bestimmt. Die
wichtigsten Daten von GaAs sind in Tab. 1.1 zusammengefat.
Kristallstruktur
Zinkblende
Bandlucke Eg
1,424 eV
Gleichgewichtsmobilitat dc
8500 cm2 /Vs
spezischer Widerstand
> 107 cm
Lebensdauer der Photoladungstrager car
350 ps
Tabelle 1.1: Eigenschaften von GaAs bei 300 K (aus [Sze96]).
1.1.4 Mikrometergroe Halbleiterantennen
Mikrometergroe Antennen sind der Ursprung der optoelektronischen Erzeugung
von FIR-Strahlung. D. Auston entwickelte einen schnellen Schalter, der aus einer unterbrochenen Leiterbahn auf einem Halbleitersubstrat bestand. Beleuchtete
man diese Lucke mit einem kurzen Laserpuls, so wurde der sogenannte AustonSwitch fur kurze Zeit leitend und der Schalter war geschlossen, bis die Photoladungstrager rekombiniert waren.
Bald erkannte man, da die so entstandenen kurzen Photostrompulse elektromagnetische Strahlung im THz-Bereich abgaben. Daraus entwickelten sich die
mikrometergroen THz-Emitter, die auch als "small aperture antennas\ bezeichnet werden. Ein solcher Emitter ist in Abb. 1.3 skizziert. Die Leiterbahnen sind
lithograsch auf einem undotierten Halbleiter, z. B. GaAs, aufgebracht. Die Lucke
ist einige m breit. Hierauf wird ein unverstarkter Kurzpulslaser mit Pulsenergien
im Nanojoule-Bereich fokussiert. An der Lucke liegt eine Spannung von einigen
Volt an. Die Lucke zwischen den Elektroden ist sehr viel kleiner als die mittlere
Wellenlange der emittierten Strahlung von einigen hundert m. Deshalb darf die
13
1.1. Erzeugung von THz-Pulsen
GaAs
Ti:Sa Emitterstrahl
Metallbahnen
Achromatische
Linse
5V
Ti-Sa-Laserfokus
e h
h e
GaAs Chip
15 mm
5µm
Silizium
Linse
50 µm
5 µm
E THz
5V
Abbildung 1.3: Mikrometergroer Emitter (aus [Sch96]).
Antenne als Punktquelle angesehen werden, die stark divergente Strahlung aussendet. Diese divergente Strahlung wird mit einer Kugellinse aus Silizium direkt
vor der Antenne kollimiert.
Mit Halbleitermaterialien mit kurzer Ladungstragerrekombinationszeit kann
man mit dieser Geometrie sehr kurze Pulse erzeugen. In [GK91] werden THzPulse von 380 fs Lange demonstriert. Die Eigenschaften von mikrometergroen
Antennen werden ausfuhrlich von Jepsen et al. in [JJK96] diskutiert.
1.1.5 Groachige Halbleiterantennen
Fur viele Anwendungen, wie zum Beispiel Durchleuchtungstechniken [WHZ96]
oder Feldionisation von Rydberg-Atomen [RRJB93], ist es vor allem wunschenswert, moglichst intensive THz-Pulse zu erzeugen. Verstarkte Kurzpulslasersysteme
erreichen Pulsenergien von 1 mJ pro Puls und mehr. Wenn so hohe Pulsenergien
zur Verfugung stehen, liegt es nahe, die Ausgangsleistung einer THz-Antenne zu
erhohen, indem man die emittierende Flache vergroert. Dies fuhrt zu Emittern
mit einem Elektrodenabstand von einigen Millimetern bis Zentimetern, sogenannten "large aperture antennas\. Diese Antennengeometrie wurde zuerst von Hu et
al. vorgeschlagen [HDZA90]. Die in dieser Arbeit benutzten Antennen haben
einen Elektrodenabstand von ca. 1 cm.
Bild 1.4 zeigt einen groachigen Emitter, der von einem Kurzpulslaser beleuchtet wird. Er besteht aus einem undotierten, hochohmigen GaAs-Wafer, auf
den mit Leitsilber und Sekundenkleber Kupferelektroden geklebt sind. An den
14
1. Grundlagen
+ HV
800 nm
GaAs
Abbildung 1.4: Groachiger Emitter. Verschiedene Frequenzen werden an der
Apertur unterschiedlich stark gebeugt. Groere Wellenlangen werden starker gebeugt.
Elektroden liegt bei einem Elektrodenabstand von 1 cm eine Spannung von 2 bis
5 kV, bei einer gepulsten Hochspannungsquelle bis zu 8 kV an.
Eine wichtige Eigenschaft von groachigen Antennen ist, da die emittierte
THz-Strahlung gerichtet und steuerbar ist. Das zeitliche Verhalten der Photostromverteilung an der Oberache des Emitters und damit die Phasenbeziehung
zwischen den von verschiedenen Punkten auf dem Emitter abgestrahlten THzPulsen wird von der Ankunftszeit des Pumpstrahls bestimmt. Ein unter einem
Winkel op einfallender Pumpstrahl erzeugt daher einen in den Halbleiter hineingerichteten und einen "ruckwartigen\ THz-Strahl mit der raumlichen Phasenbeziehung des Pumpstrahls. Diese drei Strahlen erfullen deshalb in erster Naherung
ein verallgemeinertes Snellius'sches Brechungsgesetz [DHZA90]:
n2(!THz ) sin 2 = n1 (!THz ) sin 1 = n1 (!op) sin op
(1.3)
Die Winkel sind in Abb. 1.5 erklart. n1 und n2 sind die Brechungsindizes von Luft
bzw. GaAs.
Die Propagationsrichtung der erzeugten THz-Strahlen lat sich also durch den
Einfallswinkel des Pumpstrahls steuern.
Einige Simulationen, die das Strahlungsfeld einer groachigen THz-Antenne
zeigen, sind in Kapitel 4 in den Abbildungen 4.14 bis 4.17 dargestellt.
1.2 Detektion von THz-Strahlung
1.2.1 Halbleiterantennen
Halbleiterantennen, wie sie in Abschnitt 1.1 als THz-Emitter vorgestellt wurden,
eignen sich auch zum Nachweis von THz-Strahlung. Hierfur werden die Antennen
15
1.2. Detektion von THz-Strahlung
φ op
φ1
THzout
n1
GaAs
n2 φ 2
+ HV
THz in
Abbildung 1.5: Einfallender Pumpstrahl sowie ruckwartiger und vorwartsgerichteter THz-Strahl erfullen ein verallgemeinertes Snellius'sches Gesetz.
jedoch nicht vorgespannt, sondern die Elektroden mit einem empndlichen Strommegerat verbunden. Um die in Abb. 1.3 dargestellte mikrometergroe Antenne
als Detektor zu benutzen, ersetzt man die Vorspannungsquelle durch das Strommegerat. Ein Probelaserpuls, auch Gatepuls genannt, erzeugt Photoladungstrager im Halbleitermaterial und onet so ein Zeitfenster, in dem der Detektor
sensitiv fur einfallende Strahlung ist. Als Detektormaterial verwendet man Halbleiter mit kurzen Rekombinationszeiten der Photoladungstrager wie z. B. RDSOS.
Bei mikrometergroen Detektoren wird analog zu den Emittern der einfallende
THz-Puls mit einer Kugellinse auf die Bahnlucke fokussiert. Das elektrische Feld
des THz-Pulses wirkt nun wie ein angelegtes externes Feld. Nach dem Ohmschen
Gesetz iet ein Photostrom, der von empndlichen Megeraten nachgewiesen
werden kann. U blicherweise wird hierzu ein Lockin-Verstarker verwendet. Bei einer mikrometergroen Antenne liegt der vom THz-Puls induzierte Photostrom
in der Groenordnung von einigen Nanoampere. Es ist daher auch moglich, das
THz-Signal mit einem sogenannten Femtoamperemeter direkt auf einem Oszilloskop sichtbar zu machen.
Verlangert man nun die optische Weglange des Probepulses, so wird dieser
gegenuber dem THz-Puls zeitlich verzogert. Somit wird ein spaterer Teil des
THz-Feldes wahrend des Zeitfensters, in dem der Detektor empndlich ist, nachgewiesen.
Durch schrittweise Verlangerung der Weglange des Probestrahls kann der zeitliche Verlauf des elektrischen Feldes des THz-Pulses als Funktion der resultierenden Zeitverzogerung zwischen THz- und Probepuls aufgezeichnet werden.
Dies fuhrt zu dem Konzept der THz Time-Domain-Spectroscopy (THz-TDS).
Dabei wird eine zu untersuchende, im FIR transmittierende Materialprobe in den
16
1. Grundlagen
THz-Strahlengang eingebracht. Das durch eine Fouriertransformation erhaltene
Frequenzspektrum dieses THz-Pulses wird mit dem eines Referenzpulses ohne
Probe verglichen. Daraus lassen sich Brechungsindex und Absorptionskoezent
des untersuchten Materials uber die gesamte spektrale Breite des THz-Pulses
ermitteln.
Diese Nachweismethode ist koharent, d. h. Amplitude und Phase des elektrischen Feldes des THz-Pulses werden gleichzeitig detektiert. Nicht koharente
thermische Hintergrundstrahlung wird nicht nachgewiesen. Daher ist der Betrieb
bei Zimmertemperatur moglich. Dies gilt auch fur die im nachsten Abschnitt
beschriebene elektro-optische Detektion. Ein Vergleich des THz-Spektrums mit
dem des thermischen Hintergrundes wird in Abschnitt 3.6 gezeigt.
Mit Detektoren dieser Art wurden Bandbreiten bis uber 4 THz nachgewiesen
[GK91]. Die spektrale Bandbreite der Antennen wird vom Halbleitermaterial und
der Antennengeometrie bestimmt. Wegen der hohen Repetitionsrate unverstarkter Kurzpulslaser lat sich mit Spektrometern, die mikrometergroe Antennen
einsetzen, ein sehr hohes Signal-zu-Rausch-Verhaltnis von 10000:1 und mehr erreichen.
In ahnlicher Weise konnen groachige Antennen zum Nachweis von intensiver THz-Strahlung (high power THz radiation) benutzt werden. Diese weisen
allerdings eine geringere spektrale Bandbreite auf [DZAM92].
1.2.2 Der elektro-optische Nachweis
Die in dieser Arbeit verwendete Nachweismethode ist der elektro-optische Nachweis. Erste Arbeiten von Auston et al. aus dem Jahre 1972 benutzten den PockelsEekt in LiTaO3, um die zeitliche Pulsform von in diesem Kristall generierten
elektrischen Pulsen mit Pulsdauern im Picosekundenbereich zu messen. 1995
wurde diese Technik ungefahr gleichzeitig von Jepsen et al. [JWS+ 96], Wu et
al. [WZ95] und Nahata et al. [NAH96] weiterentwickelt, um frei propagierende
THz-Pulse nachzuweisen.
Der Pockels-Eekt, auch als linearer elektro-optischer Eekt bezeichnet, beschreibt eine lineare Abhangigkeit des Brechungsindizes eines elektro-optischen
Mediums von einem externen elektrischen Feld [ST91]:
(1.4)
n(E ) = n ; 21 n3rij E:
rij ist eine Komponente des elektro-optischen Tensors. Die rij werden auch als
elektro-optische Koezienten oder Pockels-Koezienten bezeichnet.
Selbst in Kristallen, deren elektro-optische Koezienten gro sind, wie z. B.
LiNbO3 mit r33 = 30; 8 10;12 m/V sind die Auswirkungen eines elektrischen Feldes auf den Brechungsindex recht gering. Ein Feld von 106 V/m bewirkt zum Beispiel in Lithium Niobat eine Brechungsindexanderung von nur ca. 0.01% [NF2].
In zentrosymmetrischen Materialien ist der Pockels-Koezient null.
17
1.2. Detektion von THz-Strahlung
Photodiode
Polarisator, 90° gedreht
n3 n2
n1
Ey,Probe
ZnTe-Kristall
Polarisationsrichtung d. THz-Pulses
Ex,Probe
Polarisationsrichtung d. Probepulses
Polarisator
Abbildung 1.6: Schema der elektro-optischen Detektion
Legt man ein elektrisches Feld parallel zu einer Hauptachse eines elektrooptischen Kristalls an, so andert sich der Brechungsindex entlang dieser Achse
und bleibt konstant entlang der anderen. Ein unter 45 zu den Hauptachsen
polarisierter einfallender Lichtstrahl erfahrt also eine vom externen elektrischen
Feld abhangige Phasenverzogerung zwischen den Polarisationskomponenten entlang der Achsen des Kristalls. Somit verhalt sich das System wie eine variable
Verzogerungsplatte, die abhangig von der elektrischen Feldstarke aus linear polarisiertem Licht einen beliebigen Polarisationszustand macht. Aus linear polarisiertem Licht wird bei steigender Feldstarke elliptisch polarisiertes, zirkulares,
um 90 gedrehtes linear polarisiertes, elliptisches und wieder zirkular polarisiertes
Licht.
Bringt man einen solchen Kristall zwischen zwei gekreuzte Polarisatoren, so
erhalt man ein System, das abhangig von einem externen elektrischen Feld die
Amplitude eines Lichtstrahls moduliert.
Beim elektro-optischen Nachweis von THz-Strahlung ist das externe Feld das
elektrische Feld des THz-Pulses. Ein entsprechender Aufbau ist in Abb. 1.6 skizziert. Der THz-Strahl ist parallel zu einer der Kristallachsen polarisiert, d. h. sein
elektrisches Feld zeigt in Richtung dieser Achse. Ein optischer Probepuls, dessen
Polarisationsrichtung unter 45 zu den Kristallachsen und damit zum THz-Feld
steht, durchlauft kolinear mit dem THz-Puls den Kristall und erfahrt dabei eine Phasenverzogerung zwischen seinen Polarisationskomponenten, die abhangig
von der elektrischen Feldstarke des THz-Pulses ist. Der Probestrahl erhalt so eine Polarisationskomponente in Durchlarichtung des zweiten Polarisators. Dieser
transmittierte Anteil kann von einer Photodiode nachgewiesen werden.
Zu der von der THz-Feldstarke abhangigen Phasenverzogerung (engl. phase
18
1. Grundlagen
retardation, Abk. P.R.) kommt ein verhaltnismaig hoher Untergrund, der von
der unvollstandigen Ausloschung der Polarisatoren und einer naturlichen oder von
Kristallfehlern und mechanischen Spannungen hervorgerufenen Doppelbrechung
des Kristalls herruhrt. Zur Detektion des relativ kleinen THz-Signals auf einem
hohen Untergrund wird ein Lock-in-Verstarker verwendet.
Im allgemeinen verlat der ursprunglich linear polarisierte Probestrahl den
Kristall also elliptisch polarisiert. Der Betrag der vom THz-Puls induzierten
Phasenverzogerung zwischen der Ex- und der Ey -Komponente des Probestrahls
= y ; x ist abhangig von den elektro-optischen Koezienten und der Absorption des THz-Pulses sowie der zuruckgelegten Wegstrecke im Kristall.
In einem dispersiven Medium, d. h. in einem Medium mit wellenlangenabhangigem Brechungsindex haben THz- und Probepuls im allgemeinen unterschiedliche Geschwindigkeiten. Die Gruppengeschwindigkeit eines Pulses, d. h. die
Geschwindigkeit, mit der sich das Maximum des Pulses fortbewegt, kann sich in
einem dispersiven Medium stark von der Lichtgeschwindigkeit der einzelnen Frequenzkomponenten unterscheiden.
Kennt man den Verlauf des cw-Brechungsindizes1 n() des Mediums, so kann
man daraus mit der Beziehung [ST91]
ng () = n() ; dnd()
(1.5)
den Gruppenindex ng fur einen Puls mit Zentralwellenlange bestimmen. Die
Gruppengeschwindigkeit vg dieses Pulses im dispersiven Medium ist dann
(1.6)
vg = nc ;
g
wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.
Die resultierende Phasenverzogerung ist daher [JWS+ 96]
THz (t) = C
Z L
0
ETHz
n z + t e;z dz
c
(1.7)
C ist ein kristallspezischer Faktor, der den Brechungsindex und die elektrooptischen Koezienten enthalt, L die Kristallange und n = nTHz ; ng (800 nm)
ist der Brechungsindexunterschied zwischen THz- und Probestrahl. Der Term
e;z berucksichtigt die Absorption des elektrischen THz-Feldes im Kristall. cn L
ist die Zeit, um die der schnellere Puls den langsameren im Kristall uberholt.
Das gemessene Phasenretardierungssignal ist daher das Integral des elektrischen
Feldes des THz-Pulses uber diese Zeitdierenz.
Im Falle naturlich doppelbrechender Kristalle wie z. B. LiTaO3 und LiNbO3
mit unterschiedlichen Brechungsindizes no und ne entlang der ordentlichen bzw.
1
cw steht fur "continous wave\, d. h. eine kontinuierliche elektromagnetische Welle.
19
1.2. Detektion von THz-Strahlung
Frequenz [THz]
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
4,2
4,0
3,8
cw-Brechungsindex
Gruppenindex
Brechungsindex im FIR
3,6
n
3,4
3,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
Wellenlänge [nm]
Abbildung 1.7: Brechungsindex von ZnTe im Optischen (untere Skala, aus [SJ66]),
im FIR (obere Skala, aus [SHK98]), sowie Gruppenindex im Optischen.
auerordentlichen Achse mu je nach Orientierung des Kristalls noch eine konstante naturliche Phasenverzogerung nat berucksichtigt werden. Bei einer Polarisation des Probestrahls unter 45 zu den Kristallachsen gilt
(1.8)
nat = !c (ne ; no )dz:
Auch eigentlich nicht doppelbrechende Kristalle zeigen oft intrinsische Doppelbrechung, da sich z. B. mechanische Spannung von einer Halterung uber den
elasto-optischen Eekt auf den Brechungsindex auswirken. Eine solche konstante
optische Vorspannung\ kann durch Polarisationskompensatoren im Probestrahl
"ausgeglichen
werden, sofern sie uber die Querschnittsache des Probestrahls homogen ist.
In dieser Arbeit wurde als elektro-optischer Kristall ein mit der Oberache
in h110i-Richtung geschnittener Zinktellurid (ZnTe) Kristall mit einer Dicke von
1 mm und einer Flache von 10x10 mm2 benutzt. ZnTe bietet gegenuber anderen eo-Kristallen mehrere Vorteile [WJS+ 97]. Zum einen weist ZnTe eine recht
geringe Absorption im FIR auf ( 5 cm;1 ; [SHK98]) und ist nicht naturlich
doppelbrechend. Zum anderen sind die Brechungsindizes von ZnTe und damit
die Lichtgeschwindigkeiten im Sichtbaren und im fernen Infrarot sehr ahnlich.
Der cw-Brechungsindex sowie der nach Gl. (1.5) berechnete Gruppenindex von
ZnTe im optischen Wellenlangenbereich sind zusammen mit dem Brechungsindex im THz-Bereich in Abb. 1.7 gezeigt. Daraus ergibt sich, da der THz-Puls
20
1. Grundlagen
Transmittierte Intensität vs. Phasenverzögerung
1
0.9
sin2 (x/2)
0.8
I [a.u.]
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1.00 −0.75 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50
Phasenverzögerung [rad/Pi]
0.75
1.00
Abbildung 1.8: Transmittierte Intensitat eines Phasenverzogerers zwischen gekreuzten Polarisatoren
im ZnTe-Kristall geringfugig schneller ist als der Probepuls. Mit den Daten aus
Abb. 1.7 ergibt sich fur ZnTe
nZnTe = nTHz ; ng (800 nm) = 3:17 ; 3:24 = ;0:07;
das bedeutet eine Gruppengeschwindigkeitsdierenz2 (engl. Group Velocity Mismatch, Abk. GVM) von -233 fs/mm. Das heit, in einem 1 mm dicken ZnTeKristall spiegelt die gemessene Phasenverzogerung das Integral des elektrischen
THz-Feldes uber eine Zeitdierenz von GVM = 233 fs wieder.
Die Fehlanpassung der Gruppengeschwindigkeiten wirkt sich auf das nachweisbare Frequenzspektrum aus. Sie fuhrt zu einem Einbruch der spektralen
Empndlichkeit der Detektion bei Frequenzen von (GVM );1 und ganzzahligen
Vielfachen davon [WZ97]. Anschaulich lat sich das so erklaren, da bei einer Frequenz von (GVM );1 der Probestrahl im Kristall genau eine Wellenlange uberstreicht. Da das P.R.-Signal das Integral uber die Zeit GVM ist, ist der Beitrag
der Frequenz (GVM );1 zur Phasenverzogerung null.
Die transmittierte Intensitat eines Systems mit einem Phasenverzogerer zwischen gekreuzten Polarisatoren betragt abhangig von der Phasenverzogerung [ST91]
I () = I0 sin2 2 :
(1.9)
Sie ist in Abb. (1.8) aufgetragen. Die Steigung der sin2-Funktion und damit
die Dynamik der Messung ist um = 2 am groten. Daher erwartet man das
grote Photodiodensignal, wenn man mit einer optischen Vorspannung von 0 =
arbeitet, das heit, nach dem Kristall einen =4-Verzogerer in den Probestrahl
2
genaugenommen die inverse Gruppengeschwindigkeitsdierenz, da der GVM ublicherweise
in s/m angegeben wird
2
21
1.2. Detektion von THz-Strahlung
einbringt. Der austretende Probestrahl ist dann leicht abweichend vom zirkularen
Polarisationszustand elliptisch polarisiert.
Das Signal-zu-Rausch-Verhaltnis wird entscheidend verbessert, wenn man ein
abgeglichenes Diodenpaar (engl. balanced diodes) verwendet. Dazu benutzt man
als Analysator einen Polarisationsstrahlteiler und weist beide Strahlen mit Photodioden nach. Dieser Aufbau ist in Abb. 1.9 skizziert. Die Signale beider Photodioden werden im Lock-in-Verstarker voneinander subtrahiert. Dadurch hebt sich
das Rauschen des Probestrahls sowie der konstante Untergrund aus dem Signal
heraus.
Photodiode
ZnTe
THz-Emitter
λ/2−Verzögerer
2. Polarisator Photodiode
1. Polarisator
Probestrahl
Abbildung 1.9: Detektionsaufbau mit abgeglichenen Dioden.
Bei gekreuzten Polarisatoren ohne optische Vorspannung ist die Phasenverzogerung gleich der vom THz-Feld induzierten Phasenverzogerung THz, wahrend
bei einer Detektion mit optischer Vorspannung, d. h. mit zirkularem Licht, eine
konstante Phasenverzogerung von 0 = =2 hinzukommt. Mit einigen Additionssatzen fur trigonometrische Funktionen und der Taylor-Entwicklung erhalt
man aus (1.9) fur die transmittierte Intensitat in den beiden Fallen
1. optische Vorspannung von 0 = 2 :
I ( 2 + THz) = 21 (1 + sin(THz) 12 (1 + THz)
(1.10)
2. keine optische Vorspannung (0 = 0):
I (0 + THz ) = 12 (1 ; cos(THz)) 41 2THz
(1.11)
Diese Gleichungen verdeutlichen die Vor- und Nachteile der Detektion mit zirku-
22
1. Grundlagen
lar bzw. linear polarisiertem Licht:
zirkular polarisierter Probestrahl:
{ hohe Dynamik
{ transmittierte Intensitat steigt linear mit ETHz
{ groer konstanter Untergrund, der sich aber im Fall eines abgeglichenen Diodenpaares weghebt.
linear polarisierter Probestrahl
{ niedrige Dynamik
{ transmittierte Intensitat steigt quadratisch mit ETHz
{ niedriger Untergrund
Fur Anwendungen bei bildgebenden Verfahren ist die Detektion ohne optische
Vorspannung vorzuziehen, da hier kein Lock-in-Verstarker zur Verfugung steht,
sondern der Probepuls nach dem 2. Polarisator mit einer CCD-Kamera nachgewiesen wird. Einfache handelsubliche CCD-Kameras haben eine Graustufentiefe
von 8 Bit, was nicht ausreicht, um den relativen kleinen Beitrag des THz-Feldes
auf dem hohen Untergrund der optischen Vorspannung aufzulosen. Fur Anwendungen in der Spektroskopie ist die Detektion mit abgeglichenen Dioden besser
geeignet.
Der Vorteil der elektro-optischen Nachweismethode liegt in der konstanten
Empndlichkeit uber einen weiten Spektralbereich. Dies gilt z.B. bei ZnTe im
Bereich von einigen GHz bis zu mehreren THz. Begrenzt wird die Empndlichkeit
durch ein starkes Ansteigen der Absorption in der Nahe der Phononenresonanzen.
Die erste transversal-optische Phononenresonanz von ZnTe liegt bei 5,31 THz
[SHK98].
Fur den Nachweis sehr hoher Frequenzen sind sehr kurze Laserpulsdauern
notig. Mit der elektro-optischen Detektionsmethode in ZnTe wurden mit einer
Pulsdauer von 12 fs Frequenzen bis zu 37 THz nachgewiesen [WZ97].
In Tab. 1.2 sind die fur die elektro-optische Detektion wichtigen Eigenschaften von ZnTe noch einmal zusammengefat. Die Werte fur den Brechungsindex
konnen allerdings je nach Herkunft, Wachstumsmethode und eventuellen Kristallfehlern des speziellen Kristalls um bis zu 6% variieren [Pal91].
1.2.3 Weitere Nachweismethoden
Weitere Nachweismethoden fur FIR-Strahlung, die in unserer Arbeitsgruppe nicht
eingesetzt werden, sollen nur der Vollstandigkeit halber kurz erwahnt werden.
1.2. Detektion von THz-Strahlung
23
Brechungsindex bei 800 nm
2,853
Brechungsindex bei 1 THz
3,17
Gruppenindex bei 800 nm
3,24
Gruppengeschwindigkeitsdierenz
233 fs/mm
Absorptionskoezient bei 1 THz
5 cm;1
elektro-optischer Koezient r41 bei 640 nm 4; 1 10;12 m/V
1. TO Phononenresonanz
5,3 THz
Tabelle 1.2: Eigenschaften von ZnTe (aus [SHK98] und [SJ66]).
Interferometrischer Nachweis
Hierbei wird die THz-Strahlung durch ein Michelson-Interferometer geschickt. Die Lange eines Armes ist variabel, somit kann ein Interferogramm
aufgenommen werden. Der eigentliche Nachweis des Intensitatsinterferogramms geschieht meist durch heliumgekuhlte Bolometer. Diese bestehen
aus einem Halbleiterbauelement, das FIR-Strahlung absorbiert und dessen
Leitfahigkeit temperaturabhangig ist. Ein Nachteil dieser Methode ist die
aufwendige Kuhltechnik, mit der die Bolometer auf einige Kelvin gekuhlt
werden mussen, um thermisches Rauschen zu minimieren. Diese Nachweismethode ist nicht koharent.
Magneto-optischer Nachweis
Diese Methode benutzt den Faraday-Eekt, um analog zur elektro-optischen
Detektion das Magnetfeld des THz-Pulses nachzuweisen [RSLZ97]. Die Polarisationsrichtung eines linear polarisierten Lichtstrahls wird in einem magneto-optischen Medium um einen Winkel / Bk z gedreht, wobei Bk = k B
die Projektion des Magnetfeldes B auf die Ausbreitungsrichtung k des
Lichtstrahls ist und z die Propagationslange im magneto-optischen Medium. Wenn das Magnetfeld senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht,
erfolgt also keine Drehung. Beim magneto-optischen Nachweis wird daher
der THz-Strahl orthogonal zum Probestrahl durch das magneto-optische
Medium gefuhrt, so da das magnetische THz-Feld parallel zur Ausbreitungsrichtung des Probestrahls ist.
Elektro-optischer Einzelschunachweis
Fur diese Spielart der elektro-optischen Detektion werden "gechirpte\ Pulse
benutzt [JZ98]. Man erhalt mit einem Schlag das gesamte elektrische Feld
eines THz-Pulses. Hierbei wird ausgenutzt, da die Frequenzen in einem
Probepuls mit linearem "Chirp\ raumlich getrennt sind. Somit erfahrt jede
Frequenz eine andere Phasenverzogerung, wenn der Probepuls kolinear mit
dem THz-Puls durch den elektro-optischen Kristall lauft. Die einzelnen Frequenzen werden dann mit einem Gitter getrennt und mit einer Zeilenkamera
24
1. Grundlagen
Schaltelektronik
Nd-YAG Laser
ORC-1000
Regenerativer Verstärker
TRA-1000
Argon-Ionen-Laser
Compressor
PC-1000
Stretcher
PS-1000
Oszillator
NJA-5
Abbildung 1.10: Aufbau des Lasersystems
nachgewiesen. Diese Methode hat zwar eine geringere Frequenzauosung als
die normale eo-Detektion, ist aber u. U. zur Spektroskopie schneller Prozesse in Echtzeit von Vorteil.
1.3 Das Lasersystem
1.3.1 Einfuhrung
Das wichtigste Werkzeug fur alle Experimente zur Erzeugung von THz-Pulsen
ist der Kurzpulslaser. Die schnelle Entwicklung auf diesem Gebiet fuhrte in den
letzten Jahren zu immer kurzeren Laserpulsen bis hin zu Pulsdauern unter 5 fs
[SSK98]. Mit kurzen Pulsdauern stehen nicht nur sehr hohe Intensitaten zur
Verfugung, sondern es eronen sich auch Moglichkeiten zur Beobachtung sehr
schneller Prozesse.
Um ultrakurze Laserpulse zu erzeugen, ist ein Lasermedium mit einem sehr
breiten Verstarkungsprol vonnoten, da die Pulslange eines gauformigen Pulses
p mit seiner spektralen Breite uber
2
p 2 ln
(1.12)
verknupft ist [DR96]. Dies trit z. B. auf Titan-dotierte Saphir-Kristalle (Ti:Al2O3 )
zu, deren Verstarkungsprol von 700nm bis 900nm reicht. Die hohe Zerstorungsschwelle und das breite Verstarkungsprol von Ti:Saphir ermoglichen den Bau
von relativ einfach zu handhabenden, betriebssicheren Femtosekundenlasern mit
hoher Leistungsdichte und einer in einem weiten Bereich durchstimmbaren Zentralwellenlange.
1.3. Das Lasersystem
25
Fur die Experimente in dieser Arbeit stand das kommerzielle System CPA1000 des amerikanischen Herstellers Clark MXR mit einem Argon-Ionen Pumplaser der Firma Coherent zur Verfugung. Es besteht aus folgenden Komponenten:
dem Argon-Ionen-Laser Coherent Innova 316
dem Titan-Saphir-Oszillator NJA-5
dem Pulse Stretcher PS-1000
dem Nd:YAG-Laser ORC-1000
dem regenerativen Verstarker TRA-1000
dem Compressor PC-1000
Dieses leistungsfahige Lasersystem liefert folgende Ausgangsdaten:
ultrakurze Pulse im Bereich von 100fs
Pulsenergien bis zu 1 mJ
Repetitionsrate von 1 kHz
durchstimmbarer Wellenlangenbereich von 780 nm bis 820 nm
Das vollstandige System ist in Abb. 1.10 schematisch dargestellt. Das System
arbeitet nach dem Prinzip der "chirped pulse amplication\ (CPA) [SSMH91].
Das bedeutet, da der ultrakurze Laserpuls eines Femtosekundenoszillators mit
Energien im Nanojoulebereich um einen Faktor von ca. 104 zeitlich gestreckt wird.
Dann wird er in einen zweiten Oszillator injiziert, wo er wegen der vergleichsweise geringen Leistungsdichte gefahrlos verstarkt werden kann. Danach wird der
verstarkte Puls, der jetzt eine Energie von bis zu 1,6 mJ aufweist, zeitlich wieder
komprimiert. Dies fuhrt zu ultrakurzen Laserpulsen mit einer Dauer von ca. 100 fs
und einer Energie von ca. 1 mJ, was einer Leistung von 10 GW entspricht.
Die einzelnen Komponenten des Femtosekundenlasersystems sollen in den folgenden Abschnitten kurz erlautert werden. Die Skizzen stellen dabei nur das
grundlegende Prinzip der jeweiligen Komponente dar, der eigentliche Aufbau ist
meist wesentlich komplexer.
26
1. Grundlagen
1.3.2 Der Titan:Saphir Oszillator
Herz des Lasersystems ist ein von einem Argon-Ionen-Laser mit ca. 3,5 W Dauerstrichleistung gepumpter Ti:Saphir Oszillator. Der Aufbau ist in Abb. 1.11 dargestellt. Um kurze Laserpulse zu erhalten, mussen die Moden des Oszillators, die
mit statistisch verteilten Phasen anschwingen, synchronisiert werden3 . Dann bilden sich, analog zu einer Schwebung aus vielen Frequenzen, kurze hohe Maxima
dort, wo alle Frequenzen konstruktiv interferieren. Das Maximum wird um so
kurzer und hoher, je mehr Moden gekoppelt sind. In einem fs-Oszillator werden
bis zu 105 Oszillatormoden gekoppelt.
Argon-Ionen Strahl
Schlitzblende
Endspiegel
Prismen
Auskoppelspiegel
Pumplinse
Titan:Saphir Kristall
fokussierender Spiegel
fokussierender Spiegel
Abbildung 1.11: Der Titan-Saphir Oszillator
Die im NJA-5 benutzte Modenkopplungstechnik ist das sogenannte "Kerr lens
mode locking\. Mit dem Kerr-Eekt wird die in allen Materialien unabh
angig von
ihrer Symmetrie auftretende Abhangigkeit des Brechungsindizes von der Intensitat
n(Iopt) = n0 + n1 Iopt
(1.13)
bezeichnet [ST91]. Bei einem Gauschen Strahlprol fuhrt dies zu einem hoheren
Brechungsindex in der Mitte des Prols, wo die Intensitat am groten ist und
einem Abfall des Brechungsindex zum Rand hin. Ein solches Brechungsindexprol
wirkt wie eine fokussierende Linse, die um so starker fokussiert, je hoher die
Intensitat des Laserstrahls ist.
Sowohl der Pumpstrahl des Argon-Ionen Lasers als auch der Ti:Saphir-Strahl
werden in den Ti:Saphir Kristall fokussiert. Wegen des hoheren Brechungsindizes des Ti:Saphir im Wellenlangenbereich des Pumplasers lat sich dieser besser
im Kristall fokussieren. Energieuktuationen des Ti:Saphir-Strahls mit hoheren
3
Das nennt man auch Modenkopplung, engl. mode locking.
27
1.3. Das Lasersystem
Energien haben nach Gl. (1.13) einen hoheren Brechungsindex und damit einen
besseren U berlapp mit dem Pumpstrahl. Deshalb werden diese Fluktuationen
besser verstarkt und haben eine hohere Intensitat, weshalb sie immer besser
verstarkt werden. Dadurch beginnt der Oszillator zu pulsen. Durch die Selbstfokussierung haben Pulse mit hoher Intensitat einen etwas anderen Strahlweg im
Oszillator, daher kann der modengekoppelte Anteil des Ti:Saphir-Strahls zusatzlich durch eine Blende vom cw-Anteil getrennt werden.
Um kurze Pulse zu erhalten, mu die Gruppengeschwindigkeitsdispersion (engl.
Group Velocity Dispersion, Abk. GVD), die hauptsachlich von der Dispersion im
Ti:Saphir stammt, kompensiert werden [KWP92]. Dazu dienen die beiden Prismen in Abb. 1.11.
Der Titan-Saphir Oszillator liefert Pulse von 70-100 fs Dauer und einer Energie von bis zu 5 nJ bei einer Repetitionsrate von 100 MHz. Die Repetitionsrate
ist abhangig von der Zeit, die ein Puls braucht, um einmal den Oszillator zu
durchlaufen.
1.3.3 Der Stretcher
Wurde man ultrakurze Laserpulse direkt in einen Verstarker injizieren, hatte dies
wegen der unglaublich hohen Spitzenleistungen der verstarkten Pulse hochstwahrscheinlich die Zerstorung des Lasermediums im Verstarker zur Folge. Auerdem
setzen bei zu hohen Leistungen nichtlineare Eekte ein, die die Strahlqualitat
verschlechtern. Daher werden die Pulse aus dem Oszillator zeitlich gestreckt, um
die Leistungsdichte in einem Puls zu verringern. Die Pulse werden von ca. 100 fs
auf ca. 500 ps verlangert. Das Funktionsprinzip des Stretchers ist in Abb. 1.12
skizziert.
Parabolspiegel
Faltungsspiegel
blau
rot
Endspiegel
Gitter
Abbildung 1.12: Prinzipskizze des Stretchers
Der Strahl tritt unter dem Endspiegel in den Stretcher ein. Dann fallt er auf
28
1. Grundlagen
ein Gitter, an dem lange Wellenlangen unter einem groeren Winkel reektiert
werden als kurze Wellenlangen. Die separierten Wellenlangen fallen auf einen Parabolspiegel, in dessen Brennebene ein Faltungsspiegel steht. Dieser reektiert
den Strahl uber den Parabolspiegel zuruck auf das Gitter und den Endspiegel.
Danach geht der Strahl denselben Weg noch einmal und verlat den Stretcher
wieder unter dem Endspiegel. Hierbei laufen die roten Frequenzen eine kurzere
Wegstrecke als die blauen, die einzelnen Frequenzen folgen also zeitlich aufeinander4 . Der Puls ist nun um die Laufzeitdierenz zwischen der kleinsten und der
groten Frequenz verlangert und kann in den regenerativen Verstarker injiziert
werden.
1.3.4 Der regenerative Verstarker
Der regenerative Verstarker besteht aus einem eigenen Ti:Saphir-Oszillator, der
von einem gepulsten frequenzverdoppelten Nd:YAG Laser mit einer Leistung von
9 W bei 1000 Hz Repetitionsrate gepumpt wird. Abb. 1.13 zeigt den schematischen Aufbau.
Schaltelektronik
Nd:YAGPumpstrahl
Pockelszelle
Endspiegel
Endspiegel
Seed Pulse
Titan:Saphir Kristall
vom/zum Stretcher
Abbildung 1.13: Prinzipskizze des regenerativen Verstarkers
Das Prinzip der regenerativen Verstarkung ist, in einem zweiten Oszillator mit
eigenem Ti:Saphir-Kristall eine Besetzungsinversion zu erzeugen, die, bevor sich
selbstandige Lasertatigkeit entfalten kann, von dem zu verstarkenden Puls ("seed
pulse\) abgeraumt wird. Dazu mu der unverstarkte Puls in den Verstarker eingekoppelt und, nachdem er den Oszillator einige Male durchlaufen hat, wieder
ausgekoppelt werden. Dies wird mit einer Kombination aus einem Polarisationsstrahlteiler und einer Pockelszelle bewerkstelligt.
Ohne angelegte Spannung wirkt die Pockelszelle wie eine =4-Platte. Der aus
dem Stretcher kommende Strahl ist horizontal polarisiert und wird mit dem Polarisationsstrahlteiler eingekoppelt. Er durchlauft die Pockelszelle zweimal, dabei
4
Dies bezeichnet man mit dem englischen Wort "chirp\.
1.3. Das Lasersystem
29
wird seine Polarisation um 90gedreht. Daher wird er nun am Polarisator transmittiert. Jetzt schaltet die Elektronik die Hochspannung an der Pockelszelle an,
die die statische Doppelbrechung des elektro-optischen Kristalls in der Pockelszelle kompensiert. So kann der Puls den Oszillator einige Male durchlaufen, bis
die Hochspannung wieder ausgeschaltet wird. Dann wird die Polarisation des Pulses bei zweimaligem Durchlaufen der Pockelszelle wieder um 90gedreht und der
Puls wird am Polarisator ausgekoppelt.
Das Schalten der Hochspannung mu mit dem Pulstakt des eigentlichen Femtosekundenoszillators synchronisiert werden. Dazu wird der Pulszug des Ti:SaphirOszillators mit einer schnellen Photodiode aufgenommen. Dieses Signal, das in
diesem System eine Frequenz von 100 MHz aufweist, wird von einem Frequenzteiler auf die Ausgangsfrequenz des Verstarkers herunterdividiert, die durch die zur
Verfugung stehende Pumpleistung des Nd:YAG-Lasers begrenzt ist. In diesem
Fall betragt die Ausgangsfrequenz 1 kHz.
Mit diesem Signal wird zum einen der Pumplaser des regenerativen Verstarkers
angesteuert, zum anderen wird nach einer einstellbaren Verzogerungszeit die
Pockelszelle an und nach einer weiteren variablen Verzogerung wieder ausgeschaltet. Der Pulszug5 aus dem Oszillator des Verstarkers wird von einer zweiten
schnellen Photodiode aufgenommen und auf einem Oszilloskop sichtbar gemacht.
Damit kann die Verzogerungszeit so eingestellt werden, da der Puls nach der
gewunschten Anzahl von Durchlaufen durch den Verstarker ausgekoppelt wird.
Der ausgekoppelte Puls lauft in den Stretcher zuruck, von wo aus er in den Kompressor geleitet wird.
Nachdem der zu verstarkende Puls den regenerativen Verstarker 10 bis 20 Mal
durchlaufen hat, hat er eine Pulsenergie von bis zu 1,6 mJ bei einer Repetitionsrate von 1 kHz.
1.3.5 Der Kompressor
Der Kompressor macht die im Stretcher eingefuhrte Dispersion ruckgangig und
komprimiert den verstarkten Puls zuruck auf eine Dauer von 100 fs. Auerdem
wird hier die Dispersion des Ti:Saphir Kristalls des regenerativen Verstarkers
kompensiert. Die Funktionsweise des Kompressors ist in Abb. 1.14 skizziert.
Der Strahl fallt wieder auf ein Gitter. Die raumlich getrennten Frequenzen
werden von einem Retroreektor, der aus zwei unter einem Winkel von 90angeordneten Spiegeln besteht, auf das Gitter zuruckgeworfen. U ber einen Faltungsspiegel laufen sie denselben Weg zuruck.
In dieser Anordnung haben nun die roten Frequenzen einen langeren Strahlweg
als die blauen. Die Strahlwegdierenz ist von der Position des Retroreektors
Der Pulszug besteht aus den einzelnen Durchlaufen des eingekoppelten zu verstarkenden
Pulses durch den Verstarkeroszillator. Die einzelnen Pulse des Pulszugs sind daher durch die
Umlaufzeit des Oszillators getrennt.
5
30
1. Grundlagen
blau
rot
Gitter
Spiegel
Retroreflektor
Abbildung 1.14: Prinzipskizze des Kompressors
abhangig, die mit einer Verschiebestufe verandert werden kann. Damit wird der
Kompressor so justiert, da die im Stretcher und im Verstarker eingefuhrte Dispersion kompensiert wird.
Kapitel 2
Propagation von THz-Pulsen im
freien Raum
2.1 Einfuhrung
Gegenstand dieses Abschnitts ist die Beschreibung der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Raum in Gegenwart beugender Aperturen. Im Falle kurzer
Pulse wie der hier betrachteten THz-Pulse, wird durch die Beugung an einer
Apertur sowohl das raumliche als auch das zeitliche Prol des Pulses verandert.
In diesem Abschnitt wird zunachst die Kirchhosche Beugungstheorie fur
monochromatische Wellen dargestellt, die dann auf breitbandige Wellenpakete
verallgemeinert wird. Aufgrund dieser Beugungstheorie wurde in dieser Arbeit
eine Simulation entwickelt, die den zeitlichen Verlauf des elektrischen Feldes des
gebeugten THz-Pulses an jedem Punkt im Raum berechnet. Die Daten dieser Simulation konnen mit den gemessenen Pulsformen verglichen und so das benutzte
Modell der Erzeugung der THz-Strahlung uberpruft werden.
Die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen im Raum wird durch die
Maxwellsche Theorie beschrieben. Die vier Maxwellgleichungen lauten im SISystem im Vakuum [HR86]:
r E = 0
r E = ; @@tB
rB = 0
r B = 0j + c12 @@tE
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Die Ladungsdichte und die Stromdichte j sind die Ursachen fur das elektrische
Feld E und die magnetische Induktion B. Im quellenfreien Raum (j 0; 0)
31
32
2. Propagation von THz-Pulsen im freien Raum
wird aus Gl. (2.2)
r E + @@tB = 0
; r (r E) ; @t@ (r B)
r
= 0
2
4 + c12 @t@ 2 E = 0
;
2:4
(2.5)
Im letzten Schritt wurde noch r (r E) = 0 benutzt. Gleichung (2.5) ist die
Wellengleichung fur das elektrische Feld einer elektromagnetischen Welle. Analog
ergibt sich fur das B-Feld
2
4 + c12 @t@ 2 B = 0
(2.6)
Die Losungen der Maxwell-Gleichungen im quellenfreien Raum genugen also auch
der Wellengleichung und stellen laufende Wellen dar, die sich mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Weitere Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
zeigen sich, wenn man als Losungen fur die Wellengleichungen ebene Wellen ansetzt:
E(r; t) = E0(k)ei(kr;!t)
B(r; t) = B0(k)ei(kr;!t)
jkj = !=c
Aus den Maxwell-Gleichungen folgt, da die Amplituden E0(k) und B0(k)
und der Wellenvektor k paarweise orthogonal sein mussen [RF93]. Elektromagnetische Wellen sind also transversale Wellen und weisen eine Polarisation auf.
Der Vektorcharakter der Wellengleichungen (2.5) und (2.6) sowie der MaxwellGleichungen fuhrt also dazu, da elektromagnetische Wellen als Vektorphanomen
betrachtet werden mussen.
Die Wellengleichungen lassen sich zwar durch die Einfuhrung von Potentialen
vereinfachen, sind aber trotzdem im allgemeinen zu komplex, um fur beliebige
Randbedingungen analytisch losbar zu sein. Fur die Beschreibung der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen sowie der Beugung hat sich eine viel einfachere
Theorie als erstaunlich brauchbar erwiesen: die von Fresnel, Kirchho, Rayleigh
und anderen aufgestellte skalare Beugungstheorie. Unter Vernachlassigung der
von den Maxwell-Gleichungen hergestellten Beziehungen zwischen den Komponenten des elektrischen bzw. magnetischen Feldes wird hier nur eine skalare Feldfunktion u(x; t) betrachtet, die eine Komponente entweder des elektrischen oder
des magnetischen Feldes reprasentiert. Man nimmt hierbei an, da die anderen
2.1. Einfuhrung
33
Abbildung 2.1: Veranschaulichung des Huygensschen Prinzips. Die nach Beugung an einer Apertur entstehenden Wellenfronten sind die U berlagerung von
von Punkten auf der Apertur A auslaufenden Kugelwellen.
Komponenten unabhangig voneinander genauso behandelt werden konnen. Das
ist naturlich nicht exakt richtig, da z. B. die Randbedingungen an beugenden
Objekten Beziehungen zwischen den Komponenten der Felder herstellen.
Im Falle linear polarisierten Lichtes kann u(x; t) als die elektrische oder magnetische Feldstarke betrachtet werden. Das Quadrat der Feldfunktion, die auch
als optische Erregung bezeichnet wird, ist ein Ma fur die Intensitat der elektromagnetischen Welle. Selbstverstandlich kann eine skalare Theorie die Vektoreigenschaften von elektromagnetischen Wellen wie z. B. die Polarisation nicht
erklaren. Unter bestimmten Bedingungen beschreibt die Kirchho-Theorie Beugungserscheinungen jedoch sehr gut. Dies ist der Fall, wenn die beugende Apertur
viel groer ist als die Wellenlange und der Beobachtungspunkt nicht zu nah an
der Apertur gewahlt wird. Fur viele Probleme sind diese Bedingungen erfullt.
Fur andere, z. B. die Beugung an hochauosenden Gittern, mu die vektorielle
Natur des Lichts berucksichtigt werden.
Das einfache und anschauliche Huygenssche Prinzip besagt, da von jedem
Punkt auf einer Wellenfront Elementarwellen ausgehen, die sich zu einer resultierenden Wellenfront uberlagern (s. Abb. 2.1)). Dabei mu allerdings der rucklauge
Teil dieser Kugelwellen vernachlassigt werden, da ansonsten aus jeder Wellenfront
auch eine ruckwarts laufende Front entstunde. Dieses Prinzip ndet sich auch in
der skalaren Beugungstheorie wieder, allerdings werden hier die Elementarwellen
mit einem geometrischen Faktor cos moduliert.
Erst 1991 rettete David A. Miller das Huygenssche Prinzip der eektiven
Punktquellen, indem er Huygens Kugelwellen durch raumlich-zeitliche Dipole ersetzte und zeigte, da das so korrigierte Huygenssche Prinzip eine exakte Formulierung des skalaren Beugungsproblems darstellt [Mil91].
Im folgenden Abschnitt wird zunachst die skalare Kirchhosche Beugungstheorie und ihre Verallgemeinerung auf breitbandige Wellenpakete dargestellt.
34
2. Propagation von THz-Pulsen im freien Raum
Das dabei erhaltene Beugungsintegral bildet die Grundlage fur die skalare Simulation der Propagation von THz-Pulsen, die in Kapitel 4 vorgestellt wird. Das
Smythe-Kirchho Integral stellt eine vektorielle Verallgemeinerung des Kirchhoschen Beugungsintegrals dar. Es wird in Abschnitt 2.5 vorgestellt und auf breitbandige Wellenpakete verallgemeinert. Diese breitbandige Version des SmytheKirchho Integrals wird fur die vektorielle Simulation benutzt.
Die Maxwell-Gleichungen konnen zusammen mit gegebenen Randbedingungen auch streng gelost werden [BW57]. Allerdings werden auch in dieser sogenannten rigorosen Beugungstheorie einige Idealisierungen eingefuhrt und nur relativ
einfache Spezialfalle betrachtet, da andernfalls die mathematischen Schwierigkeiten unuberwindlich werden. Vorreiter war hier Sommerfeld mit der rigorosen
Losung des Problems der Beugung einer ebenen Welle an einer unendlich dunnen,
unendlich leitfahigen Halbebene [Som96]. Umfassende Darstellungen der skalaren
und vektoriellen Beugungstheorie nden sich in z. B. in [Goo96] und [Jac82]. Die
rigorose Beugungstheorie ist z. B. in [BW57] dargestellt.
2.2 Die skalare Beugungstheorie
Zunachst soll die Beugung monochromatischer ebener Wellen betrachtet werden.
Fur eine solche Welle ist die komplexe Feldfunktion
u(x; t) = U (x) e;i!t
(2.7)
anzusetzen. Die eigentliche (reelle) Feldfunktion ist der Realteil Re(u(x; t)). Einsetzen des Ansatzes (2.7) in die skalare Wellengleichung
@ 2 )u(x; t) = 0
(4 + c12 @t
2
; ! = 2
(2.8)
; k = !c = 2 :
(2.9)
liefert die skalare Helmholtz-Gleichung
(4 + k2)U (x) = 0
Die komplexe Amplitude jeder monochromatischen elektromagnetischen Welle
der Frequenz mu einer solchen Gleichung genugen.
Ein Grundproblem der Beugungtheorie ist die Behandlung eines Schirms mit
einer O nung A, der von einer ebenen Welle beleuchtet wird (Abb. 2.1). Zu berechnen ist die Feldverteilung hinter dem Schirm. Bei den in dieser Arbeit durchgefuhrten Experimenten ist der Schirm durch die Elektroden und die Halterung
des Emitters gegeben, die Apertur ist die Flache zwischen den Elektroden, die
von der THz-Strahlung beleuchtet wird.
Die Grundlage der skalaren Beugungstheorie ist das Greensche Theorem. Es lautet [Goo96]
35
2.2. Die skalare Beugungstheorie
S sei eine geschlossene Flache, die das Volumen V begrenzt. f (x) und
g(x) seien beliebige in V zweifach stetig dierenzierbare komplexe
Funktionen. Dann gilt
ZZZ
ZZ @g
@f
(f 4g ; g4f ) dv =
f @n ; g @n ds
(2.10)
V
S
n ist die nach auen gerichtete Normale an jedem Punkt auf S , @n@ ist
die Ableitung in Richtung dieser Normalen.
Um dieses Theorem auf das Beugungsproblem anwenden zu konnen, identiziert
man f aus (2.10) mit der Feldfunktion U , die die skalare Helmholtzgleichung
erfullt und g mit einer Greenschen Funktion G des Wellenoperators (4 + k2), die
im gesamten Raum der Bestimmungsgleichung
(4 + k2 )G(x; x0) = (x; x0)
(2.11)
genugt. Kirchho wahlte als Greensche Funktion eine vom Punkt x auslaufende
Kugelwelle:
ikr0
(2.12)
G(x; x0) = er0 ; r0 = jx ; x0 j
Da die Kugelwelle fur r0 = 0 divergiert, ist ein Integrationsvolumen V 0 so zu
wahlen, da es die Polstelle nicht enthalt. Dies kann man erreichen, wenn man
als Oberache S 0 = S + S wahlt, wobei S die Oberache einer kleinen Kugel
mit Radius um den Punkt x herum ist. V 0 ist dann das Volumen zwischen den
beiden Oberachen.
Indem man ausnutzt, da U und G in V 0 die Helmholtz-Gleichung erfullen
und gegen Null gehen lat, erhalt man das Integraltheorem von Helmholtz und
Kirchho [Goo96]:
Z
1
@U (x0 ) G(x; x0) ; U (x0 ) @G(x; x0 ) df 0
U (x) = 4
@n
@n
S
mit
(2.13)
ikr0
G(x; x0) = er0 ;
wobei df 0 ein Flachenelement der Flache S und eine Integration nach x0 bezeichnet. Dies bedeutet
U (x) kann durch die Randbedingungen
auf einer beliebigen geschlossenen Flache
um x ausgedruckt werden.
36
2. Propagation von THz-Pulsen im freien Raum
R
S1
A
n
x
x’
r’
x
S2
y
z
Abbildung 2.2: Integrationsgebiet fur das Kirchhosche Theorem. S2 ist ein Kugelabschnitt mit Radius R, S1 eine Flache auf dem Schirm.
U (x) kann also als Integral von U und einer geeignet zu wahlenden Greenschen
@G
Funktion G sowie ihrer Normalenableitungen @U
@n und @n uber einer beliebigen
geschlossenen Flache S um den Punkt x herum geschrieben werden. Um das
Kirchho-Theorem auf das Beugungsproblem anwenden zu konnen, ist neben
der Wahl einer geeigneten Funktion G die richtige Wahl der Oberache S, uber
die integriert wird, sehr wichtig.
Eine sinnvolle Wahl der Oberache S ist in Abb. 2.2 dargestellt [Goo96]. S
wird hier aufgeteilt in die Flache S1 in der Ebene der Apertur und die Flache des
Kugelabschnitts S2. Da die Feldfunktion nur auf der Apertur A bekannt ist, mu
die Integration auf diese Flache reduziert werden.
Betrachten wir zunachst S2. Hierzu lat man den Radius R des Kugelabschnitts S2 ins Unendliche wachsen. Auf S2 ist r = R und nkR und somit
ikR
G = eR
und
@G = ik ; 1 eikR ik eikR (fur R ! 1)
@n
R R
R
Eingesetzt in Gl. (2.13) ergibt dies
Z Z
@U
@U
0
G @n ; U (ikG) df = G @n ; ikU R2 dd
S2
Dabei wurde das Flachenintegral uber S2 in ein Integral uber den von dem
Kugelabschnitt S2 uberstrichenen Raumwinkel umgewandelt. Da jRGj = eikR
uberall auf S2 beschrankt ist, verschwindet das Integral uber S2 fur R ! 1,
wenn auf S2 gilt:
@U ; ikU = 0
lim
R
R!1
@n
(2.14)
2.3. Die Rayleigh-Sommerfeldsche Beugungstheorie
37
Dies ist die Sommerfeldsche Strahlungsbedingung. Sie ist hier sicher erfullt,
da die Felder in Gebiet II in Abb. 2.1 durch die Apertur A getreten sind und
fur sehr groe r die Apertur immer besser durch eine Punktquelle angenahert
werden kann. Somit haben in die Felder in Gebiet II fur groe r den Charakter
auslaufender Wellen:
ikr
U ! f (; ) er (r ! 1):
Sofern Gl. (2.14) erfullt ist, tragt das Integral uber S2 also nicht zum Gesamtintegral bei.
Nun ist das Oberachenintegral aus Gl. (2.13) auf ein Integral uber die Flache
S1 direkt hinter dem Schirm reduziert. Da U (x) aber nur auf der Apertur A
bekannt ist, macht man Annahmen uber die Werte von U und @U
@n auf S1 :
1. Die Feldverteilung U und ihre Normalenableitung @U
@n sind innerhalb der
Apertur A genauso, wie sie ohne Schirm waren.
2. U und @U
@n verschwinden uberall auf S1 , auer in der Apertur A.
Dies sind die Kirchhoschen Randbedingungen. Mit ihnen reduziert sich Gl. (2.13)
zu einem Integral uber die Apertur A:
Z 1
@U
@G
0
U (x) = 4
(2.15)
@n G ; U @n df :
A
Es ist oensichtlich, da diese Annahmen nur naherungsweise erfullt sein konnen.
Der Schirm stellt Randbedingungen an die Feldfunktion, die ohne ihn nicht vorhanden waren und der geometrische Schatten ist nicht perfekt, sondern die Felder
erstrecken sich mehrere Wellenlangen lang in den geometrischen Schattenbereich
hinein. Dieser Eekt kann jedoch sicher vernachlassigt werden, wenn die Apertur
viel groer ist als die Wellenlange.
Des weiteren enthalten die Kirchhoschen Bedingungen mathematische Inkonsistenzen. Man kann fur die Helmholtz-Gleichung (2.9) zeigen, da aus der
Forderung U = 0 und @U
@n = 0 auf einer beliebigen endlichen Flache U 0
im ganzen Raum folgt [Jac82]. Dies wurde bedeuten, da die gebeugte Welle
uberall verschwinden wurde, was nicht beobachtet wird und im Widerspruch zur
1. Kirchhoschen Bedingung steht.
2.3 Die Rayleigh-Sommerfeldsche Beugungstheorie
Fur Spezialfalle konnen die Inkonsistenzen der Kirchhoschen Bedingungen durch
geschickte Wahl der Greenschen Funktionen umgangen
werden. Wenn man Green0
sche Funktionen mit G(x; x0) = 0 auf S1 bzw. @G(@nx;x ) = 0 auf S1 benutzt (Dirichletsche bzw. Neummannsche Randbedingungen), reicht es aus, die Kirchhoschen
38
2. Propagation von THz-Pulsen im freien Raum
~
x
x
~r
r
A
α
−α
n
x’
Abbildung 2.3: Konstruktion der Greenschen Funktion aus zwei spiegelbildlichen
Punktquellen.
Bedingungen lediglich entweder an U (x) oder @U
@n zu stellen. Dies fuhrt zum sogenannten Rayleigh-Sommerfeldschen Beugungsintegral, das eine sehr allgemeine
Formulierung des Beugungsproblems darstellt.
Kennt man U (x), braucht man also eine Greensche Funktion, die die Dirichletbedingung
GD (x; x0 ) = 0 fur Punkte x0 auf S1
(2.16)
erfullt. Dann vereinfacht sich das Kirchho-Integral zu
Z
1
(x; x0 ) df 0
U (x) = 4 U (x0 ) @GD@n
(2.17)
S1
Ist @U@n(x) bekannt, vereinfacht eine Greensfunktion zu Neumannschen Randbedingungen mit
@GN (x; x0 ) = 0 fur Punkte x0 auf S
(2.18)
1
@n
das Kirchho-Integral zu
Z
0
1
(2.19)
U (x) = ; 4 @U@n(x ) GN (x; x0) df 0
S1
Fur den hier betrachteten Spezialfall eines (im Prinzip unendlich ausgedehnten) ebenen Schirms bei z = 0 lat sich die Greensche Funktion durch die Spiegelungsmethode bestimmen. Nehmen wir an, G(x; x0) sei eine U berlagerung zweier
Kugelwellen gleicher Wellenlange, die von zueinander spiegelbildlichen Punktquellen an den Punkten x und x~ ausgehen (siehe Abb. 2.3) und mit einer Phasenverschiebung von = 180bzw. in Phase ( = 0) schwingen. Die resultierenden Greenschen Funktionen lauten dann
GD
(x; x0) =
eikr0 ; eikr~0
r0
r~0
( = 180)
(2.20)
2.4. Nichtmonochromatische Wellen
(x; x0) =
39
eikr0 + eikr~0
r0
r~0
GN
( = 0)
(2.21)
mit r~ = jx~ ; x0j, r0 = jx ; x0 j.
Auf der Flache S1 ist r0 = r~0. Somit verschwindet GD auf S1 und erfullt daher
die Dirichlet-Bedingung. GN aus (2.21) erfullt die Neumannsche Randbedingung,
d. h. @G@nN verschwindet auf S1. Interessant fur die Anwendung auf die Beugung
von THz-Wellen ist die Dirichletsche Funktion GD , da die Feldfunktion U direkt
am Emitter, d. h. auf der Apertur A, als bekannt angenommen wird. Der genaue
Verlauf der Feldfunktion am Emitter wird in Abschnitt 4.3 diskutiert. Setzt man
die Normalenableitung von GD aus Gl. (2.20)
@GD = cos(n; r0)k i ; 1 eikr0 ; cos(n; ~r0)k i ; 1 eikr~0
(2.22)
@n
kr0 r0
kr~0 r~0
in Gleichung (2.17) ein, ergibt sich
Z
ikr0
1
e
0
U (x) = i U (x ) r0 cos(n; r0) df 0:
(2.23)
S1
Hierbei wurde benutzt, da r0 ist und somit die Terme kr1 0 und k1r~0 aus
Gl. (2.22) vernachlassigt werden konnen. Auf Gleichung (2.23) konnen nun die
Kirchhoschen Naherungen angewandt werden, ohne mathematische Inkonsistenzen zu erzeugen, da sie nur noch die Feldfunktion U enthalt und nicht mehr U
und @U
@n . Dadurch reduziert sich das Integral auf die Apertur A und man erhalt
das Rayleigh-Sommerfeld Integral:
Z
ikr0
1
e
0
U (x) = i U (x ) r0 cos(n; r0) df 0 :
(2.24)
A
Diese sehr allgemeine und nutzliche Formel ist die Grundlage fur die im nachsten
Abschnitt folgende Ableitung des breitbandigen Huygens-Fresnel Integrals, auf
dem die Simulation der Ausbreitung von THz-Pulsen aufbaut.
In Gleichung (2.24) ndet sich das Huygenssche Prinzip in etwas abgewandelter Form wieder. Das Feld am Punkt
x ist eine U berlagerung aus verschieden
0
ikr
stark gewichteten Kugelwellen e r0 , die von Punkten auf der Apertur ausgehen.
Diese sind mit einem Richtungsterm cos(n; r0) moduliert, der die Abstrahlung in
Vorwartsrichtung begunstigt.
2.4 Nichtmonochromatische Wellen
Die bisherigen Ergebnisse waren nur fur monochromatische Wellen gultig. Kurze THz-Pulse haben jedoch ein breites Frequenzspektrum, soda die RayleighSommerfeld-Formel auf nicht-monochromatische Wellenpakete verallgemeinert werden mu.
40
2. Propagation von THz-Pulsen im freien Raum
Genau betrachtet liefert Gleichung (2.24) die Feldverteilung U (x; ) hinter
dem Schirm fur eine feste Frequenz . Die zeitabhangige Feldfunktion u(x; t) lat
sich nun als Fouriertransformation schreiben:
u(x; t) =
Z+1
;1
U (x; )ei2t d
(2.25)
U (x; ) ist hier die Fouriertransformierte von u(x; t) und die Frequenz der
elektromagnetischen Welle. Um u(x; t) als Linearkombination von in z-Richtung
propagierenden ebenen Wellen des Typs (2.7) zu schreiben, fuhrt man eine Variablentransformation ! 0 = ; durch und erhalt
u(x; t) =
+1
Z
;1
U (x; ; 0 )e;i20t d 0
(2.26)
Aus Gleichung (2.24) wird jetzt
U (x; ; 0 ) = ; i
0Z
i2 0 rc0
r0
U (x0 ; ; 0 ) e
cos(n; r0) df 0
(2.27)
c A
In dieser Gleichung wird die Greensche Funktion (2.20) benutzt, da sie naturlich
auch fur ; die Bestimmungsgleichung der Greenschen Funktion zur Helmholtzgleichung (2.11) erfullt, in die k und damit quadratisch eingeht. Daher haben die
aus dieser Funktion stammenden 0 in Gleichung (2.27) ein positives Vorzeichen.
Einsetzen von Gl. (2.27) in (2.26) liefert
u(x; t) =
Z+1Z
;1
A
;i 0 cos(n; r0)U (x0 ; ; 0 )e;i20 (t; ) df 0 d 0
cr0
r
c
und nach Vertauschen der Integrationen
+1
Z
0) Z
cos(
n
;
r
;
i
2 0 t; rc0
0
0
0
u(x; t) =
;i2 U (x ; ; )e
d 0 df 0
0
2
cr
A
;1
(2.28)
Benutzt man nun die Tatsache, da eine Multiplikation mit i! = i2 in der
Frequenzdomane einer Ableitung in der Zeitdomane entspricht, d. h. in diesem
Fall
+1
+1
d u(x; t) 2=:26 d Z U (x; ; 0 )e;i20 t d 0 = Z (;i2 0 )U (x; ; 0 )e;i20 t d 0 ;
dt
dt
;1
;1
41
2.5. Vektorielle Beugungstheorie
kommt man auf die folgende einfache Formel:
u(x; t) =
Z
cos(n; r0) d u(x0; t ; r0 ) df 0
c
A 2cr0 dt
(2.29)
Gleichung (2.29) ist das breitbandige Huygens-Fresnel Integral. Die Feldfunktion
am Punkt x ist also proportional der zeitlichen Ableitung des
Flachenintegrals
der Feldfunktion uber die Apertur. Die retardierte Zeit t ; rc0 im Argument der
Feldfunktion u tragt der Tatsache Rechnung, da eine Erregung am Punkt x0
auf der Apertur die Zeit r0=c benotigt, um am Punkt x anzukommen. Gleichung
(2.29) berucksichtigt somit auch Nahfeldeekte. Im Fernfeld1 kann man Gl. (2.29)
durch weitere Naherungen vereinfachen. Die Eekte der retardierten Zeit werden
mit zunehmendem Abstand kleiner und schlielich ist r0 jxj zu setzen. Dann ist
der Laufzeitunterschied von verschiedenen Punkten auf der Apertur zum Beobachtungspunkt x vernachlassigbar und es treten keine Nahfeldeekte mehr auf.
2.5 Vektorielle Beugungstheorie
Fur eine genauere Beschreibung des Nahfeldes einer groachigen THz-Antenne
ist eine Theorie erforderlich, die den vektoriellen Eigenschaften von elektromagnetischen Wellen Rechnung tragt. In diesem Abschnitt wird daher eine vektorielle Verallgemeinerung der in den vorhergehenden Abschnitten hergeleiteten
Beugungsintegrale beschrieben.
Zunachst wird hierfur eine vektorielle Entsprechung des Helmholtz-Kirchhoschen Integraltheorems (2.13) benotigt, die man erhalt, wenn man Gleichung
(2.13) fur alle drei Komponenten des elektrischen Feldes E(x) aufschreibt:
Z 0)
0) @
E
(
x
@G
(
x
;
x
1
0
0
0
G
(x; x ) ; E(x )
df
(2.30)
E(x) = 4
0
0
@n
@n
S
Die Notation ist hier dieselbe wie in Abschnitt 2.2. E(x) ist das elektrische Feld
an einem beliebigen Punkt x im Raum, S ist eine geschlossene Flache um diesen
Punkt und n0 ist die innere Normale auf diese Flache.
In [Jac82], Kap. 9.9 wird aus dieser Formel unter Benutzung einiger Satze
aus der Vektoranalysis und der Maxwell-Gleichungen mit ahnlichen Methoden
wie in Abschnitt 2.2 ein allgemeines vektorielles Beugungsintegral hergeleitet.
Dieses kann wiederum mit Hilfe der Kirchhoschen Naherungen (s. S. 37) vereinfacht werden. Man erhalt dann ein Integral, das aufgrund seines Vektorcharakters
das gebeugte Feld umfassender beschreibt als die skalare Theorie, das aber immer noch die Naherungen und Inkonsistenzen der Kirchhoschen Bedingungen
enthalt.
2
1 Die Fraunhofer-Bedingung f
ur das Fernfeld lautet d , wobei die Ausdehnung der
beugenden Apertur ist.
r
0
d
42
2. Propagation von THz-Pulsen im freien Raum
Fur den hier betrachteten Spezialfall der Beugung an einem ebenen leitfahigen
Schirm bei z = 0 mit einer Apertur A kann man auf einfacherem Weg zum Ziel
kommen, indem man auf die Ergebnisse der skalaren Theorie aufbaut.
Die gebeugten Felder E und B im Gebiet hinter dem Schirm lassen sich aus
einem skalaren und einem Vektorpotential konstruieren:
(x; t)
E(x; t) = ;r(x; t) ; @ A@t
(2.31)
und
B(x; t) = r A(x; t):
(2.32)
Sie haben ihren Ursprung in der Flachenladungsdichte und dem Flachenstrom,
die in dem Schirm erzeugt werden. Im Falle eines unendlich dunnen Schirms weist
der Flachenstrom keine z-Komponente auf. Demzufolge ist auch Az 0.
Schreibt man Gleichung (2.19) komponentenweise fur das Vektorpotential A
fur n = nz auf, erhalt man, da auf S1 r0 = r~0 gilt mit Gl. (2.32)
Z
Z 0
0 ) eikr0
@A
@A
(
x
1
x (x0 ) eikr df 0 = 1
z
;By + @x
df 0 (2.33)
Ax = ; 2
0
0
@z
r
2
r
S1
S1
Z
Z 0
0
ikr
0 ) eikr0
1
@A
(
x
)
e
1
@A
(
x
y
z
0
Ay = ; 2
df = 2
Bx ; @y
df 0 (2.34)
0
0
@z
r
r
S1
S1
Z
Z 0
0
ikr
0 ) eikr0
1
@A
(
x
)
e
1
@A
(
x
z
z
0
0;
Az = ; 2
df
=
;
df
(2.35)
0
0
r
2 S1
@z
r
S1 @z
oder, in Vektorschreibweise und mit Az 0
Z
ikr0
1
e
0
A = 2 (n B(x )) r0 df 0:
(2.36)
S1
Das B-Feld erhalt man durch Bildung der Rotation:
Z
ikr0
1
e
0
B(x) = 2 r (n B(x )) r0 df 0:
(2.37)
S1
Aus der Symmetrie der quellenfreien Maxwell-Gleichungen bezuglich E und B
ergibt sich analog zu (2.37) fur das elektrische Feld im Gebiet z > 0 der Ausdruck
Z
ikr0
e
1
0
(2.38)
E(x) = 2 r (n E(x )) r0 df 0:
S1
Wendet man die Kirchhoschen Randbedingungen an, so lat sich die Integration
wieder auf die Flache der Apertur A beschranken und man erhalt das SmytheKirchho Integral [Jac82]:
Z
ikr0
e
1
0
E(x) = 2 r (n E(x )) r0 df 0:
A
(2.39)
43
2.5. Vektorielle Beugungstheorie
Dieses Integral ist die Grundlage fur die in Kapitel 4 vorgestellte vektorielle Simulation der Ausbreitung von THz-Strahlung. Um es fur die Propagation von
THz-Pulsen nutzen zu konnen, mu allerdings analog zu Abschnitt 2.4 noch eine breitbandige Version von Gleichung (2.39) gefunden werden. Das prinzipielle
Vorgehen ist dabei dasselbe wie in Abschnitt 2.4.
Gleichung (2.39) gibt strenggenommen einen Ausdruck fur das elektrische Feld
~E(x; ) bei einer festen Frequenz . Ausgehend von der vektoriellen Version von
Gleichung (2.26),
E(x; t) =
erhalt man mit (2.39)
E(x; t) =
Z+1
;1
8
<
1 r
2 :
= r
Z+1
;1
= r
Z
A
+1
Z
;1
Z 8
<
A
1 n
2 :
8
<
E~ (x; ; 0 )e;i20 t d 0;
ei2 0 rc0
n E~ (x0 ; ; 0 )
Z A
1 n
2r0 :
ei2 0 rc0
E~ (x0 ; ; 0 )
Z+1
;1
r0
r0
(2.40)
9
=
df 0; e;i20t d 0 (2.41)
9
=
df 0; e;i20t d 0 (2.42)
9
=
0
0 (t; r ) 0
0
;
i
2
c
)e
d ;
E~ (x0; ;
df 0:
(2.43)
Der Term in der geschweiften Klammer in (2.41) stammt aus Gl. (2.39), wobei
k = 2c benutzt wurde. Von (2.41) nach (2.43) wurden die Integrationen vertauscht, sowie von der Integrationsvariable unabhangige Terme vor das Integral
gezogen.
In der geschweiften Klammer
in Gl. (2.43) steht nun n E(x0; t) zum retar0
dierten Zeitpunkt t ; rc . Damit erhalten wir einen Ausdruck fur das SmytheKirchho Integral, der fur breitbandige, gepulste Strahlung anwendbar ist:
E(x; t) = r Z
1 ;n E(x0; t ; r0 ) df 0:
c
A 2r0
Dies ist die in der vektoriellen Simulation benutzte Formel.
(2.44)
44
2. Propagation von THz-Pulsen im freien Raum
Kapitel 3
Experimenteller Aufbau
3.1 Einfuhrung
Im Zuge der vorliegenden Arbeit wurde ein Aufbau zur Vermessung des Nah- und
Fernfeldes einer groachigen THz-Antenne realisiert. Zum Einsatz kamen THzEmitter aus GaAs mit einem Elektrodenabstand von ca. 1 cm (s. Abschnitt 1.1.5)
sowie die elektro-optische Detektion in einem ZnTe-Kristall (Abschnitt 1.2.2).
Der THz-Emitter besteht aus einem Teil eines hochohmigen GaAs-Wafers mit
h100i-Oberache, einem Durchmesser von 2 Zoll, einer Dicke von 507 m und einem spezischen Widerstand von ca. 107 cm. Auf dieser Halbleiterscheibe werden mit Leitsilber und Sekundenkleber Elektroden aus Kupferband befestigt.
Als Detektorkristall wurden ZnTe-Kristalle mit einer Flache von 10x10 mm2 und
Dicken von 1 und 0,79 mm verwendet. Die ZnTe-Kristalle sind mit den Frontachen in h110i-Richtung geschnitten.
Wie in Abschnitt 1.2.2 beschrieben, propagiert der optische Probestrahl bei
der elektro-optischen Detektion kolinear mit dem THz-Strahl durch den Detektionskristall. Dazu mu ein Weg gefunden werden, den Probestrahl in die Achse
des THz-Strahls einzukoppeln. Ein Ziel dieser Arbeit war es, eine in unserer Arbeitsgruppe bisher noch nicht benutzte Geometrie fur das Einkoppeln des Probestrahls experimentell zu realisieren, zu charakterisieren und auf ihre Eignung
fur den Einsatz in einem Spektrometer und fur bildgebende Verfahren zu untersuchen. Diese Geometrie ermoglicht unter anderem eine sehr kompakte Bauweise
des THz-Aufbaus.
In Abschnitt 3.2 werden zunachst die moglichen Methoden zum Einkoppeln
des Probestrahls vorgestellt und ihre Vor- und Nachteile diskutiert. Danach werden in den nachsten Abschnitten der experimentelle Aufbau und erste Messungen
zur Charakterisierung des Aufbaus und des benutzten ZnTe-Kristalls vorgestellt.
45
46
3. Experimenteller Aufbau
3.2 Das Einkoppeln des Probestrahls
In diesem Abschnitt sollen die Moglichkeiten vorgestellt werden, die elektrooptische Detektion experimentell zu realisieren. Alle hier aufgefuhrten Geometrien werden oder wurden in unserer Arbeitsgruppe eingesetzt.
Parabolspiegel mit kleinem Loch
Diese Geometrie benutzt einen Parabolspiegel aus Metall, um die THz-Strahlung fokussieren [JWS+ 96]. In
den Parabolspiegel ist ein kleines Loch gebohrt, durch
das der Probestrahl eingekoppelt wird. Diese Geometrie
kann nur benutzt werden, wenn man mit fokussierter
THz-Strahlung arbeiten will. Aufgrund der geringen Verluste werden MetallParabolspiegel fur die Fokussierung von THz-Strahlung in Spektrometern bevorzugt. Fur bildgebende Verfahren ist diese Methode weniger geeignet.
Probestrahl
ZnTe
Kleiner Spiegel im THz-Strahlengang
Bei dieser Methode wird ein kleiner Spiegel mit einer
Flache von ca. 5x5 mm2 nahe am Emitter in den THzStrahlengang eingebracht. Mit diesem Spiegel wird der
Probestrahl in den eo-Kristall gelenkt. Da der Spiegel
naturlich nicht direkt vor den Emitter plaziert werden
kann, mu man hierbei einen kleinen Winkel zwischen THz- und Probestrahl in
Kauf nehmen. Ein weiterer Nachteil ist, da der Spiegel den Teil des THz-Strahls
blockt und somit einen blinden Fleck produziert [JH98].
Probestrahl
ZnTe
Folienstrahlteiler
Folienstrahlteiler (engl. pellicle beamsplitter) bestehen
aus einer ca. 2 m dunnen Nitrocellulosemembran. Sie
reektieren ca. 5 % im Sichtbaren und sind transparent
im fernen Infrarot [MGK]. Somit kann der Probestrahl
in den THz-Strahl eingekoppelt werden, ohne den THzStrahl zu storen [WZ96b][WLH98]. Folienstrahlteiler sind extrem empndlich.
Sie konnen nicht gereinigt werden und sind anfallig gegen Luftstromungen und
Feuchtigkeit. Da mit Folienstrahlteilern auch ein aufgeweiteter Probestrahl eingekoppelt werden kann, wird diese Methode bei elektro-optischen bildgebenden
Verfahren eingesetzt.
Probestrahl
ZnTe
47
3.2. Das Einkoppeln des Probestrahls
ZnTe
THz
Probe
THz
Probe
THz
Probe
(a) t0 : THz- und Probe-
puls laufen auf den eoKristall zu
THz
Probe
(b) t2 : THz-
und Probepuls
propagieren
gegenlaug im
Kristall.
THz-Reflex
(c) t3 : Re-
ektierter
Probepulsanteil ist kolinear
zum THz Puls.
(d) t4 : Reex
d. THz Pulses
ist wieder gegenlaug zum
Probepuls.
Abbildung 3.1: Verschiedene Phasen der Detektion bei der Reektionsgeometrie.
Es ist t0 < t1 < t2 < t3 .
Reektion am Detektionskristall
In dieser Anordnung propagieren THz- und Probestrahl
zunachst gegenlaug durch den Detektionskristall. An
der im Bild linken Grenzache ZnTe-Luft werden ca.
23 % des Probestrahls reektiert. Dieser reektierte Anteil ist nun kollinear mit dem THz-Puls und lauft mit
diesem durch den Kristall. Dies ist die in der vorliegenden Arbeit eingesetzte Geometrie. Sie soll im folgenden ausfuhrlicher beschrieben
werden.
Geometrien, bei denen der Probestrahl am Detektionskristall reektiert wird,
wurden zunachst bei der Detektion mit LiTaO3 eingesetzt. Dabei wurde ein speziell geschnittenen Kristall verwendet und der Probestrahl unter einem Winkel
in das Kristall geleitet. So wurde die Gruppengeschwindigkeitsdierenz zwischen
THz- und Probestrahl im Kristall teilweise ausgeglichen, weil die Komponente der Probestrahlgeschwindigkeit in Richtung der Kristallachse geringer wurde
[WZ95].
In [WZ96a] wurde eine Geometrie vorgestellt, bei der der Probestrahl unter 180an der Detektionskristalloberache reektiert wird. Das genaue Prinzip
ist in Abb. 3.1 dargestellt. Probe- und THz-Puls kommen aus unterschiedlichen
Richtungen auf den Detektionskristall zu. Im Kristall propagiert der Probepuls
zunachst gegenlaug zum THz-Strahl (Abb. 3.1(b) ). Hierbei erfahrt er eine Polarisationsanderung, da er uber den schon im Kristall liegenden Teil des THz-Pulses
streicht. Die daher ruhrende Phasenverzogerung ist proportional dem Zeitintegral
uber diesen Teil, d. h. der schraerten Flache in Abb. 3.1(b).
Ungefahr 23% der Probestrahlintensitat wird an der ruckwartigen Kristalloberache reektiert und lauft nun kolinear mit dem THz-Puls zuruck durch
Probestrahl
ZnTe
48
3. Experimenteller Aufbau
den eo-Kristall (Abb. 3.1(c)). Der in der Folge an der rechten Kristalloberache
transmittierte Puls liefert das Phasenretardierungsignal.
Allerdings werden sowohl THz- als auch Probepuls teilweise an der Oberache
reektiert und propagieren kolinear zuruck durch den Kristall (Abb. 3.1(d) ).
Der reektierte THz-Puls wird an der linken Kristalloberache wieder teilweise
reektiert und lauft dann kolinear mit einem um
tReex = Ln
c
verzogerten Probepuls durch den Kristall. L ist die Lange des Detektionskristalls,
n der Brechungsindex von ZnTe im FIR. Dies ergibt einen Reektionspeak im
gemessenen Feldverlauf, der tReex nach dem Hauptmaximum auftaucht. Derselbe Etaloneekt tritt auch in der GaAs-Scheibe des Emitters auf. Es sind also
mehrere dieser Reexe in der Mekurve zu erwarten.
Die in Abb. 3.1 gezeigten Phasen ergeben unterschiedliche Beitrage zur gemessenen Phasenretardierung (P.R.). Die Zeitfenster, in denen die kolineare bzw.
die gegenlauge Propagation des THz-Pulses eine Phasenverzogerung auf den
Probestrahl ausuben, sind
(3.1)
= Lc (nTHz ; ng ) (kolinear)
und
= L (nTHz + ng ) (gegenlaug):
(3.2)
c
ng ist der Gruppenindex des Probepulses im Detektionskristall. Mit den in Abschnitt 1.2 gezeigten Gleichungen fur die elektro-optische Detektion ergibt sich
fur die Beitrage der kolinearen und gegenlaugen Propagation zur Phasenverzogerung unter Vernachlassigung der Absorption im Kristall
t+
Z
1
PR(t) / ETHz(t) dt + 1
|
t
{z
}
|
Zt
t;tcr
ETHz(t) dt
{z
(3.3)
}
kolinear
kontralinear
L
tcr = c nTHz ist die Lange des Ausschnitts des THz-Pulses, der im Kristall liegt,
ist die Gruppengeschwindigkeitsdierenz. Aus Bild 3.1(b) ist ersichtlich, da
sich der Beitrag der kontralinearen Propagation im P.R.-Signal erst gegen Ende
des Pulses bemerkbar macht, da dann ein nicht zu vernachlassigender Anteil des
THz-Pulses im Kristall liegt.
3.3 Der Aufbau
Das wahrend dieser Arbeit realisierte THz-Experiment ist in Abb. 3.2 skizziert.
Es besteht im wesentlichen aus der groachigen THz-Antenne aus hochohmigem
49
3.3. Der Aufbau
GaAs und der elektro-optischen Detektion in einem ZnTe-Kristall. Fur Erzeugung
und Nachweis wird ein regenerativ verstarkter Femtosekundenlaser der Firma
Clark MXR mit einer Repetitionsrate von 1 kHz und einer maximalen Pulsenergie
von ca. 1 mJ benutzt (s. Abschnitt 1.3).
Strahlteiler 90:10
Neutralfilter
Photodiode
Chopper
λ/2
+HV
GaAs
Linse
ZnTe
Polarisator
Abbildung 3.2: Experimenteller Aufbau.
Der Laserstrahl kommt horizontal polarisiert am Experiment an. Er wird
zunachst von einem Strahlteiler im Verhaltnis 90:10 in einen Pump- und einen
Probestrahl geteilt.
Der Pumpstrahl wird durch ein Teleskop aufgeweitet und von einem oder
mehreren Neutralltern abgeschwacht. Dann wird der Pumppuls und damit auch
der erzeugte THz-Puls durch das Lichtrad eines mechanischen Zerhackers (engl.
chopper) mit einer vorgegebenen Frequenz moduliert. Diese Frequenz ist die Referenzrefrequenz fref fur den Lock-in Verstarker, der als Megerat benutzt wird.
Sie liegt im Bereich zwischen 100 und 150 Hz. Danach wird der Pumpstrahl auf
den GaAs-Emitter gefuhrt und erzeugt dort Photoladungstrager, die die Quelle
des THz-Pulses sind (s. Abschnitt 1.1).
Der Probestrahl wird in eine variable Verzogerungsstufe geleitet. Diese besteht
aus einem auf einer Verschiebestufe montierten Retroreektor. Somit kann uber
die Position der Verschiebestufe der Strahlweg des Probestrahls verlangert oder
verkurzt werden. U ber eine Lochblende mit 1 mm Durchmesser und eine =2Verzogerungsplatte wird der Strahl auf einen Polarisationsstrahlteiler geleitet, der
die horizontale Polarisationskomponente durchlat. Die =2-Platte dient dazu,
die Intensitat des Probestrahls nach dem Polarisator einzustellen.
Nach dem Polarisator fallt der Probestrahl unter einem Winkel von 90auf
den Detektionskristall. Er wird an der im Bild linken Oberache des Kristalls
50
3. Experimenteller Aufbau
reektiert und lauft kolinear mit dem THz-Puls zuruck durch den Kristall. Dabei
andert sich die Polarisation abhangig vom elektrischen Feld des THz-Pulses (s.
Abschnitt 1.2). Der an der linken Kristalloberache transmittierte Anteil des
Probestrahls wird von einem Stuck Photokarton abgeblockt.
Der Probestrahl tritt dann wieder aus dem Kristall aus und fallt zuruck auf
den Polarisationsstrahlteiler, wo die vertikal polarisierte Komponente reektiert
wird. Aufgrund der durch den Pockelseekt im eo-Kristall in den Probestrahl
eingebrachten Phasenverzogerung (s. Abschnitt 1.2) ist eine senkrechte Polarisationskomponente vorhanden. Der reektierte Anteil des Probestrahls wird mit
einer Photodiode nachgewiesen. Der Polarisationsstrahlteiler ersetzt somit zwei
gekreuzte Polarisatoren. Der an der im Bild rechten Oberache reektierte Anteil des Probestrahls erfahrt keine Phasenverzogerung und wird daher durch den
Polarisator transmittiert.
Bei der Justage mu darauf geachtet werden, da die optische Weglange des
Probepulses innerhalb einiger Millimeter mit der Summe der Weglangen des
Pump- und des THz-Pulses ubereinstimmt, da andernfalls kein U berlapp der
beiden Pulse im Detektionskristall erreicht werden kann. Zu beachten ist hierbei,
da in einem Medium der Lange L mit Brechungsindex n die optische Weglange
Lopt = nL betragt.
Am Emitter liegen typischerweise Spannungen von 2-5 kV an. Die Energie
eines Pumppulses liegt im Bereich von 0,1-10 J.
Der THz-Strahl kann mit einer HDPE-Linse in den Kristall fokussiert werden. HDPE (High Density Polyethylen) ist ein im Optischen undurchsichtiger
Kunststo, der im THz-Wellenlangenbereich transparent ist und nur wenig absorbiert. Der Brechungsindex von HDPE im FIR betragt 1,53 und ist uber den
Bereich von 0,2-1,6 THz konstant [WLH98]. Durch die Fokussierung des THzPulses steigt die THz-Feldstarke im Kristall erheblich. Der Puls wird auerdem
kurzer, da die hohen Frequenzen starker fokussiert werden konnen und so im
Vergleich zum unfokussierten Puls starker reprasentiert sind [JH98].
3.4 Das Meprinzip
Der Mevorgang ist in Abb. 3.3 schematisch dargestellt.
Zunachst wird an der Choppersteuerung eine Frequenz von typischerweise
130 Hz eingestellt. Mit dieser Frequenz wird uber ein Lichtrad der Pump- und
damit der THz-Strahl an- und abgeschaltet. Diese Frequenz wird an den Referenzeingang des Lock-in Verstarkers ubergeben. Der Lock-in Verstarker verstarkt
nur Signale, die mit dieser Referenzfrequenz moduliert sind. Dadurch wird das
Signal-zu-Rausch Verhaltnis erheblich verbessert. Der LIA ist uber eine IEEESchnittstelle mit dem Merechner verbunden.
Ein von Peter Uhd Jepsen geschriebenes Programm steuert den Schrittmotor,
nimmt die Medaten auf und stellt sie grasch dar. U ber die parallele Schnittstelle
3.5. Charakterisierung des Aufbaus und erste Messungen
51
PC
Meßdaten
LIA
1.15
SMS
SM
Meßsignal
CH
Referenz
PD
CS
Abbildung 3.3: Schematische Darstellung des Meprinzips. LIA: Lock-in
Verstarker, SMS: Schrittmotorsteuerung, SM: Schrittmotor, CS: Choppersteuerung, CH: Chopper, PD: Photodiode
gibt die Software Positionierungsanweisungen an die Schrittmotorsteuerung. Der
Schrittmotor ist uber eine exible Welle mit der Verschiebestufe verbunden, auf
die der Retroreektor montiert ist. Somit kann das Meprogramm eine Position
anfahren und den entsprechenden Mewert aufnehmen. Im Laufe einer Messung
kann so mit der benutzten Verschiebestufe der Probestrahlweg um bis zu 100 mm
verlangert werden, was einer Zeitdierenz von 330 ps entspricht.
In der Praxis wird bei einer Messung normalerweise eine Zeitdierenz von 5100 ps uberstrichen. U ber die Software kann die Anzahl der Mepunkte auf dieser
Zeitdierenz eingestellt werden. Sie ist begrenzt durch die minimale Schrittweite
des Schrittmotors. Bei dem in diesem Experiment benutzten Modell betragt sie
8,3 fs. Typischerweise werden Schrittweiten von 41,5-166 fs benutzt, das entspricht
5-20 Schritten pro Mekanal.
3.5 Charakterisierung des Aufbaus
und erste Messungen
3.5.1 Zuordung der Reektionspeaks
Abbildung 3.4 zeigt einen unfokussierten THz-Puls, der unter folgenden Bedingungen aufgenommen wurde: Hochspannung am Emitter Ub = 3; 6 kV, Elektrodenabstand 11 mm, gemittelter Photostrom am Emitter Iph = 200 A, Pump-
52
3. Experimenteller Aufbau
pulsenergie 2 J, Abstand Emitter-Detektor: 17 mm.
Es fallt auf, da vor und nach dem eigentlich THz-Puls Reexe auftreten.
Dies sind Etalon-Eekte im GaAs-Wafer, im ZnTe-Kristall sowie im Strahlteiler,
der den Laserstrahl in Pump- und Probestrahl aufteilt. Auerdem treten bei sehr
kleinen Abstanden von Emitter zu Detektor Peaks von dem an der Vorderseite
des ZnTe-Kristalls reektierten THz-Puls auf, der vom GaAs-Wafer des Emitters
zuruckreektiert wird.
1,00
unfokussierter THz-Puls
0,80
THz-Peak
1. interner Reflex d.
GaAs-Emitters
ETHz [a.u.]
0,60
2. interner Reflex d.
GaAs-Emitters
0,40
Rückreflexe
ZnTe-GaAs-ZnTe
0,20
0,00
interner Reflex
Reflex d.
Strahlteilers des ZnTe
-0,20
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Zeitverzögerung [ps]
Abbildung 3.4: Gemessener THz-Puls mit Reexen von GaAs, ZnTe und Strahlteiler.
Um die verschiedenen Maxima zuzuordnen, wurden Messungen mit verschieden dicken GaAs- und ZnTe-Kristallen sowie bei verschiedenen Abstanden EmitterDetektor durchgefuhrt. Die Ergebnisse dieser Messungen sind in Abb. 3.4 eingetragen.
Weiterhin fallt in Abb. 3.4 eine langwellige Struktur ins Auge, die bei der
Zeitverzogerung t 90 ps einsetzt, bei t 150 ps ein Minimum hat und
bis zum Ende des Scans wieder ansteigt. Die Herkunft dieser Struktur wurde
in dieser Arbeit nicht weiter verfolgt. Da der Emitter einen Kondensator mit
GaAs als Dielektrikum darstellt, ist eine mogliche Erklarung das Wiederauaden
des Emitters, nachdem die gespeicherte Energie durch den kurzen Photostrom
entladen wurde.
3.5. Charakterisierung des Aufbaus und erste Messungen
53
3.5.2 Abhangigkeit von der angelegten Hochspannung
Die abgestrahlte THz-Feldstarke und damit die dem Probestrahl aufgepragte
Phasenverzogerung skaliert innerhalb des Gultigkeitsbereichs des Ohmschen Gesetzes linear mit der Vorspannungsfeldstarke [BRT94]. Daher wurden Messungen
bei verschiedenen Hochspannungen durchgefuhrt, um zu untersuchen, inwieweit
sich das Photodiodensignal bei der benutzten Geometrie mit gekreuzten Polarisatoren linear mit der Phasenverzogerung verhalt.
high voltage from 5.22 to 1.25 kV
1,0
1,0
peak P.R.
5.22 kV
4.75 kV
3.82 kV
3.18 kV
2.74 kV
2.35 kV
1.71 kV
1.25 kV
0,8
0,6
P.R.
0,4
x =-0,055+0,07 x+0,024 x
0,8
2
0,6
0,4
0,2
0,0
0
0,2
2
4
6
high voltage [kV]
0,0
-0,2
-0,4
0
50
100
150
200
250
time delay [ps]
Abbildung 3.5: Gemessener THz-Puls fur Hochspannungen von 1,25 bis 5,22 kV.
Der Einsatz zeigt das maximale P.R.-Signal aufgetragen gegen die Hochspannung.
Abb. 3.5 zeigt die erhaltenen THz-Pulsformen. Der Einsatz zeigt das maximale
P.R.-Signal aufgetragen gegen die angelegte Hochspannung. Der Zusammenhang
zwischen Phasenverzogerung und Hochspannung ist nicht linear, wie nach der
Formel fur die Detektion mit gekreuzten Polarisatoren (1.10) zu erwarten (s.
Abschnitt 1.2).
In erster Naherung kann der Verlauf allerdings als linear angenommen werden. Dies ist in der Tatsache begrundet, da durch die z. B. durch mechanische
Belastung induzierte Doppelbrechung eine optische Vorspannung 0 in den Probestrahl einbringt und die durch den THz-Puls verursachte Phasenverzogerung
THz sehr klein, namlich maximal ca. 4, ist [Win97]. Dadurch ist die transmittierte Intensitat nicht proportional sin2 THz, was einen quadratischen Zusam-
54
3. Experimenteller Aufbau
menhang ergabe, sondern proportional sin2(0 + THz ) mit 0 < 0 < =2 (siehe
Abschnitt 1.2, Abb. 1.8).
3.5.3 Experimenteller Vergleich der Einkoppelgeometrien
Um die mit der Reektionsgeometrie gemessenen THz-Pulsformen mit den anderen in Abschnitt 3.2 beschriebenen Geometrien vergleichen zu konnen, wurden
Messungen an Experimenten durchgefuhrt, in denen der Probestrahl mit einem
kleinen Spiegel [JH98] bzw. mit einem Folienstrahlteiler [WLH98] eingekoppelt
wird. Diese beiden Experimente benutzen einen zirkular polarisierten Probestrahl
und abgeglichene Dioden zur Detektion. Die Ergebnisse dieser Messungen sind in
Abb. 3.6 dargestellt.
1,2
1,0
ETHz [a.u.]
0,8
Reflektionsgeometrie
Folienstrahlteiler
kleiner Spiegel
Anstiegsflanke
10%-90%: 670 fs
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Zeitverzögerung [ps]
Abbildung 3.6: Experimenteller Vergleich der Einkoppelgeometrien.
Die Messungen mit Reektionsgeometrie (Kreise in Abb. 3.6) und Folienstrahlteiler (Quadrate) wurden bei einem Abstand von Emitter zu Detektor von
120 mm durchgefuhrt, bei dem mit einem kleinen Spiegel im THz-Strahlengang
eingekoppelten Probestrahl (Dreiecke) betrug der Abstand 240 mm. Die Messungen wurden mit unterschiedlichen Emittern und ZnTe-Kristallen durchgefuhrt,
die THz-Pulse waren nicht fokussiert. Die einzelnen Kurven sind normiert.
Da die fallende Flanke des THz-Pulses mageblich vom Elektrodenabstand
und dem Pumpprol bestimmt ist (s. Abschnitt 4.5), kann in Abb. 3.6 nur die
ansteigende Flanke verglichen werden. Diese zeigt eine bemerkenswerte U bereinstimmung der drei Geometrien. Die 10%-90%-Anstiegszeit betragt in allen drei
Fallen 670 fs.
3.5. Charakterisierung des Aufbaus und erste Messungen
55
Die in Abb. 3.6 dargestellten Medaten zeigen, da die verschiedenen Geometrien sowie die Detektion mit linearem und zirkularem Probestrahl aquivalente
THz-Pulsformen liefern.
3.5.4 Charakterisierung des benutzten ZnTe-Kristalls
Die Eigenschaften des Detektionskristalls bestimmen mageblich die Qualitat der
Messung, insbesondere die Breite des detektierten Spektrums und das Signal-zuRausch Verhaltnis. Da Brechungsindex und Absorption des ZnTe abhangig von
Herkunft und Wachstumsmethode um bis zu 6 % variieren konnen, wurden die
Kristalleigenschaften in einem von Michael Schall aufgebauten THz-Spektrometer
untersucht. Das Spektrometer ist in [Sch96] beschrieben. Dabei wurde festgestellt, da die Absorption des in dieser Arbeit benutzten Detektionskristalls auergewohnlich hoch ist. Brechungsindex und Absorptionskoezent1 des benutzten ZnTe-Kristalls (#1) sind in zusammen mit den Werten eines zweiten Kristalls
in Abb. 3.7 dargestellt.
3,5
60
ZnTe #1
ZnTe #2
50
-1
3,3
70
Absorption [cm ]
Brechungsindex
3,4
3,2
3,1
3,0
2,9
2,8
40
30
20
ZnTe #1
ZnTe #2
10
0
-10
2,7
-20
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Frequenz [THz]
(a) Brechungsindex
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Frequenz [THz]
(b) Absorption
Abbildung 3.7: Charakterisierung des benutzten ZnTe-Kristalls (#1).
Die hohe Absorption wurde durch Messungen bestatigt, bei denen Kristall in
einem von Carsten Winnewisser realisierten THz-Aufbau [WLH98], in dem der
Probestrahl mit einem Folienstrahlteiler eingekoppelt wird, als Detektionskristall
eingesetzt wurde.
Die Groe, die die Detektion am starksten beeinut, ist die Gruppengeschwindigkeitsdierenz (GVM). Um diesen Wert fur den benutzten Kristall direkt zu bestimmen, wurde das ZnTe-Kristall einmal in den Fokus des THz-Strahls
1
Der Absorptionskoezent beschreibt die Absorption der Intensiat.
56
3. Experimenteller Aufbau
und einmal in den Pumpstrahl eingebracht. Die Messungen sind in Abb. 3.8 dargestellt. Aus der Dierenz der Zeitverzogerungen der Nulldurchgange der beiden
1,2
1,0
1 mm ZnTe im THz-Strahl
ZnTe in Pumpstrahl
ETHz [a.u.]
0,8
Zeitdifferenz zwischen
den Nulldurchgängen von
und
:
∆t =276 fs
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Zeitverzögerung [ps]
Abbildung 3.8: Messung der Gruppengeschwindigkeitsdierenz
Pulsformen ergibt sich der Laufzeitunterschied von THz- und 800 nm-Puls im
ZnTe. Die Verzogerung wurde aus Abb. 3.8 zu 276 fs bestimmt. Dieser Wert
wurde in den Simulationen benutzt.
Die Abweichung von dem in Abschnitt 1.2 berechneten Wert liegt darin begrundet, da in der Rechnung die Daten eines anderen Kristalls sowie Literaturwerte fur den cw-Index benutzt wurden.
3.6 Das Frequenzspektrum des THz-Pulses
Ein unfokussierter THz-Puls, der in einem Abstand von 100 mm vom Emitter aufgenommen wurde, ist zusammen mit seinem durch eine numerische Fouriertransformation erhaltenen Frequenzspektrum in Abb. 3.9 aufgetragen. Das Frequenzspektrum dieses Pulses erstreckt sich bis ca. 1 THz. Bei genauer Betrachtung sind
hier einige Absorptionslinien des in der Laborluft enthaltenen Wasserdampfes zu
sehen, z. B. bei 1 THz und 1,2 THz [Jep96]. Da sich hohe Frequenzen starker
fokussieren lassen als niedrige, sind in fokussierten THz-Pulsen die hohen Frequenzen im Vergleich zu den niedrigen starker reprasentiert und das Spektrum
erstreckt sich bis zu 1,5 THz [WLH98].
Um wie in Abb. 3.9(a) die absolute Feldstarke des elektrischen THz-Feldes
anzugeben, mu das gemessene Phasenverzogerungssignal geeicht werden. Eine
57
3.6. Das Frequenzspektrum des THz-Pulses
Moglichkeit hierzu ist, bei abgeblocktem Pumpstrahl einen geeichten Polarisationskompensator in den Probestrahl einzubringen. Damit kann die Phasenverzogerung so eingestellt werden, da das Photodiodensignal den maximalen Ausschlag
des THz-Signals erreicht.
Dann kann am Kompensator der Wert der Phasenverzogerung abgelesen werden, den der THz-Strahl uber den Pockels-Eekt in den Probestrahl einbringt.
U ber Gl. (1.7) kann dann die maximale Feldstarke des THz-Pulses ermittelt werden.
In der vorliegenden Arbeit wurde keine eigene Eichung durchgefuhrt, sondern
die Eichung von Carsten Winnewisser ubernommen [Win97].
3000
ETHz [V/m]
8x10
6x10
4x10
2x10
5
2500
4
2000
4
Amplitude
1x10
4
4
1000
0
500
4
-2x10
1500
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Zeitverzögerung [ps]
(a) THz-Pulsform
13
14
15
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Frequenz [THz]
(b) Frequenzspektrum
Abbildung 3.9: Pulsform und Spektrum eines THz-Pulses
Die spektrale Strahlungsdichte S der von einem Flachenelement dF eines
schwarzen Korpers in den Raumwinkel d
emittierten Strahlung betragt [Dem95]
3
d
:
S d
= 2h
(3.4)
2
h=
(
c e kT ) ; 1
Die Einheit der spektralen Strahlungsdichte ist Wm;2Hz;1sr;1 .
Vom Emitter aus wird die Flache des Probestrahls mit 1 mm Durchmesser in
100 mm Entfernung unter einem Raumwinkel von d
= 7; 85 10;5 sr gesehen.
Ein Schwarzkorperstrahler mit der Flache des Emitters von 1 cm2 strahlt also
eine spektrale Intensitat von
3 7; 85 10;5 sr
1 cm2
I ( ) = 2h
(3.5)
c2 eh=(kT ) ; 1 0; 25 mm2
auf die Flache des Probestrahls ab.
58
3. Experimenteller Aufbau
Die spektrale Intensitat dieses Schwarzkorperstrahlers bei Raumtemperatur
(T=300K) ist zusammen mit der des THz-Pulses aus Abb. 3.9 in Abb. 3.10 halblogarithmisch aufgetragen. Die spektrale Intensitat des THz-Pulses in Abb. 3.10
ist die wahrend eines Pulses vorhandene Intensitat. Die mittlere Intensitat in
einer Sekunde liegt um einen Faktor von THz R = 109 niedriger, wobei THz die
Lange des THz-Pulses von 1 ps und R die Repetitionsrate von 1 kHz ist.
1E-14
2
Iν [W/(m Hz)]
1E-15
1E-16
THz-Puls
Schwarzkörperstrahler
bei T=300K
1E-17
1E-18
1E-19
1E-20
1E-21
1E-22
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Frequenz [THz]
Abbildung 3.10: Spektrale Intensitat eines THz-Pulses im Vergleich zu der eines
Schwarzkorperstrahlers.
Die spektrale Intensitat des THz-Pulses wurde mit der Gleichung
I ( ) = c0 jE~ ( )j2
(3.6)
berechnet, wobei E~ ( ) die Fouriertransformierte des elektrischen THz-Feldes ist,
und uber die Beziehung
Z +1
;1
normiert.
jE (t)j2 dt =
Z +1
;1
jE~ ( )j2 d
(3.7)
3.6. Das Frequenzspektrum des THz-Pulses
59
Abb. 3.10 verdeutlicht die Vorteile der koharenten Detektion. Bei nicht koharenten Detektoren wie z.B. Bolometern mu die thermische Hintergrundstrahlung
aufwendig abgeschirmt und der Detektor auf einige Kelvin gekuhlt werden.
Koharente Detektionsverfahren sind nur empndlich fur Felder mit festen
Phasenbeziehungen unter den einzelnen enthaltenen Frequenzen und zum Probepuls. Da die Phasen und elektrischen Feldvektoren der thermischen Hintergrundstrahlung statistisch verteilt sind, tragen sie nicht zum Phasenverzogerungssignal
der elektro-optischen Detektion bei.
Diese Detektionsmethode ist daher bei Raumtemperatur einsetzbar. Dasselbe
gilt fur die in Abschnitt 1.2 vorgestellte Detektion mit Halbleiterantennen. Mit
koharenten Detektionsverfahren ist es sogar moglich, Flammen zu spektroskopieren, die mit ihrer hohen thermischen Ausstrahlung nicht koharente Detektoren
vollig uberforden wurden [CG95].
60
3. Experimenteller Aufbau
Kapitel 4
Computersimulation des
Strahlungsfeldes der Antenne
4.1 Einfuhrung
Der experimentell bestimmte raumliche und zeitliche Verlauf des Strahlungsfeldes in der Umgebung der Antenne soll im folgenden mit einer theoretischen Beschreibung der Antenne und ihres Strahlungsfeldes verglichen werden. THz-Pulse
konnen experimentell erst eine gewisse Distanz vom Emitter entfernt nachgewiesen werden. Je nach Art des Nachweises sind dies mindestens ca. 10 mm. Es mu
also die Propagation der THz-Strahlung durch den freien Raum sowie die Beugung an der Apertur des Emitters berucksichtigt werden. Zu diesem Zweck wurde
wahrend dieser Arbeit ein Simulationsprogramm geschrieben, das, basierend auf
der in Kapitel 2 dargestellten Beugungstheorie, aus dem am Emitter erzeugten
Puls die Pulsform berechnet, die durch Beugung und Propagation entsteht.
Dabei kann wahlweise das skalare Huygens-Fresnel Integral (2.29) oder das
vektorielle Smythe-Kirchho Integral (2.44) benutzt werden. Diese Integrale liefern die THz-Pulsform an jedem Punkt im Raum. Beugende Apertur in diesem

Fall ist die Onung
des Emitters, die von der Halterung in y-Richtung und von
den Elektroden in x-Richtung begrenzt wird. Somit ist es moglich, die Ergebnisse
der skalaren und der vektoriellen Theorie miteinander und mit dem Experiment
zu vergleichen.
Weiterhin kann in der Simulation die experimentelle Auosung der Detektion
einbezogen werden. In Abschnitt 4.8 werden drei Eekte diskutiert: die endliche
Lange des Probepulses, die raumliche Ausdehnung des Probepulses sowie die
unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten von Probe- und THz-Puls im
Detektionskristall.
Es wurde versucht, die Situation bei der Entstehung der THz-Strahlung moglichst genau in die Simulation einzubinden. Die dafur benotigten Parameter werden in Abschnitt 4.5 beschrieben. Dabei wird der Einu der verschiedenen Pa61
62
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
rameter auf die THz-Pulsform diskutiert. Zunachst mussen jedoch die Ausgangsbedingungen bestimmt werden. Hierzu werden in den nachsten Abschnitten das
zeitliche und raumliche Prol des THz-Pulses am Emitter bestimmt. Die Beugung
dieses Pulses an der Apertur der Elektroden wird dann mit den oben genannten
Integralen numerisch berechnet.
Als Grundlage fur die Entstehung der THz-Strahlung wird das in Abschnitt
1.1.3 beschriebene "current surge\-Modell benutzt.
4.2 Zeitliches Prol am Emitter
Voraussetzung fur die Berechnung des Integrals (2.29) ist die Kenntnis der Feldfunktion u(x0; t) an der Apertur, das heit direkt am Emitter. Dafur mu ein
Modell entwickelt werden, das es erlaubt, das abgestrahlte Feld aus den Randbedingungen am Emitter zu konstruieren.
Da bei groachigen Antennen die emittierende Flache groer ist als die Wellenlange der emittierten Strahlung und der Beobachtungspunkt sehr nahe an der
Antenne ist, ist es nicht moglich, die abgestrahlten Felder durch wenige Momente
der Stromverteilung auszudrucken.
Die von einer groachigen Antenne abgestrahlten Felder werden im Nahfeld
am besten durch ebene Wellen beschrieben, die von der emittierenden, d. h. vom
Pumpstrahl beleuchteten Flache der Antenne ausgehen. Diese Felder mussen nun
aus einer Oberachenstromdichte mit beliebigem zeitlichen Prol berechnet werden. Die dazu benotigten Gleichungen haben Darrow et al. in [DZAM92] abgeleitet. Dabei zeigt sich, da die abgestrahlten Felder an der Emitteroberache eine
vollig andere zeitliche Charakteristik aufweisen als im Nah- oder Fernfeld.
Abb. 4.1 zeigt die Antenne und die Felder in und auerhalb des Halbleiters bei
senkrechtem Einfall des Pumpstrahls. Der Pumpstrahl erzeugt eine Oberachenladungsdichte an der linken Seite des Emitters. Aufgrund der Beschleunigung
der Ladungstrager durch das Vorspannungsfeld Eb entstehen elektromagnetische
Wellen, die sowohl in den Halbleiter hinein als auch von ihm weg gerichtet sind.
Die dazugehorigen Felder Ein; Bin und Eout ; Bout sind naturlich zeitabhangig.
Aus den Maxwell-Gleichungen kann man die Randbedingungen fur das elektrische und magnetische Feld gewinnen. Wendet man den Satz von Stokes auf
das Faradaysche Gesetz [Jac82]
0@H
r E = ; @@tB = ; @t
an, so ergibt sich
I
Z
E dl = ; 0 @@tH ny df
(4.1)
C
S
wobei das Magnetfeld H und die magnetische Induktion B durch die Materialgleichung
B = 0H
63
4.2. Zeitliches Profil am Emitter
+V b
w
E
ETHz,out
800
nm
THz,in
l
S
Eb Js
x
y
GaAs
z
Abbildung 4.1: Abgestrahlte Felder am Emitter. Die Flache S wird von l und w
begrenzt. C ist der Umri von S.
miteinander verknupft sein sollen. Im Vakuum ist = 1. S ist die zur Emitteroberache senkrechte Flache mit Normalenvektor ny , die von w und l in Abb. 4.1
begrenzt wird, C ist ihr Umri.
Wahlt man l viel groer als die Wellenlange der emittierten Strahlung und
kleiner als den Durchmesser des emittierten Strahls, kann man die Felder entlang
l als konstant annehmen. Dies ist zwar nur naherungsweise richtig, die Naherung
kann aber, falls die Felder entlang l nur langsam variieren, beliebig gut gemacht
werden, da man die Felder als stuckweise konstant sehen und die Stucke klein
genug werden lassen kann. Auerdem liegen die emittierten Felder in der Ebene des Emitters und sind somit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung nz . Damit
vereinfacht sich Gl. (4.1) zu
ETHz;in ; ETHz;out = ;w0 @t@ (HTHz;in ; HTHz;out)
(4.2)
Da @t@ (HTHz;in ; HTHz;out) beschrankt ist, kann man den Grenzwert w ! 0
bilden und erhalt
lim (E
; ETHz;out) = 0;
(4.3)
w!0 THz;in
das heit
ETHz;in = ETHz;out:
(4.4)
Das in den Emitter hinein abgestrahlte Feld ist also genauso gro wie das nach
auen abgestrahlte. Dieses Ergebnis ist experimentell bestatigt worden [HDZA90]
und ist nur fur groachige Antennen gultig. Dipolantennen mit einem Abstand
von einigen m strahlen hochdivergente Wellen ab, so da Gl. (4.2) nicht mehr
64
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
gultig ist. Aus Gleichung (4.4) erhalt man dieselben Randbedingungen wie fur
statische Felder [Jac82]:
nz (ETHz;in ; ETHz;out) = 0:
(4.5)
Auf analoge Art und Weise liefert das Ampere-Maxwellsche Gesetz
r H = J + @@tD
die Randbedingungen fur das Magnetfeld H. Die elektrische Verschiebungsdichte
E sei gegeben durch
D = 0 E
mit = 1 im Vakuum. Daraus ergeben sich mit Hilfe des Stokes'schen Satzes
wiederum dieselben Randbedingungen wie im statischen Fall:
Js(t) = (HTHz;out ; HTHz;in) nz
(4.6)
Der Oberachenstrom Js ist hierbei deniert als Integral uber die Photostromdichte J von z = 0 bis zur maximalen Tiefe im Halbleiter, in der noch Photoladungstrager existieren
Z
Js(t) = J(z; t) dz:
0
Durch die Maxwellschen Gleichungen sind die abgestrahlten elektrischen und
magnetischen Felder durch die folgenden Formeln miteinander verknupft [JB68]:
p
(4.7)
HTHz;in(t) nz = ETHz;in(t)
0
HTHz;out(t) nz = ; 1 ETHz;out(t)
(4.8)
q
0
0 = 00 120 ist der sogenannte Freiraumfeldwellenwiderstand (engl. free
space impedance) [Geo97].
Setzt man die Gleichungen (4.7) und (4.8) ein in Gl. (4.6) und benutzt (4.4),
so erhalt man
p
1
4:7;4:8
Js(t) = ; ETHz;out(t) ; ETHz;in(t)
0
p0
1
4:4
= ; ETHz;in(t) ; ETHz;in(t)
0
0
p 1
+
= ; ETHz;in(t)
(4.9)
0
(4.10)
Das abgestrahlte E-Feld am Emitter ist also proportional zum Photostrom Js.
Dies steht im Gegensatz zur Situation im Fernfeld, wo das elektrische Feld proportional der Zeitableitung des Photostroms ist [TBY93].
4.3. Raumliches Profil am Emitter
65
Das Ohmsche Gesetz liefert fur den Photostrom
Js(t) = s(t) Eb;
(4.11)
wobei Eb das externe Vorspannungsfeld am Emitter ist.
Bei hoheren Pumpleistungen kommt nun ein weiterer Eekt zum Tragen: die
Abschirmung des Vorspannungsfeldes Eb im Emitter durch das entgegengerichtetete E-Feld des THz-Pulses. Aus dem Ohmschen Gesetz folgt fur den Oberachenstrom
Js(t) = s (t) (Eb + ETHz;in) :
(4.12)
mit der Oberachenleitfahigkeit s aus Gleichung (1.1). Aus den Gleichungen
(4.9) und (4.12) erhalt man fur das abgestrahlte elektrische Feld
(4.13)
ETHz;in(t) = ;Eb (t)s(+t)10+ p
s
0
Diese Gleichung fur das abgestrahlte THz-Feld berucksichtigt nun die Abschirmung des Vorspannungsfeldes und sagt voraus, da das ETHz bei steigender
Pumpleistung sattigt. Aus Gleichung (4.12) ist ersichtlich, da die Sattigung dann
eintritt, wenn das THz-Feld die Groenordnung des Vorspannungsfelds erreicht.
Diese Ergebnisse sind experimentell bestatigt worden [BRT94], [DZA91].
Zu beachten ist, da fur groe Vorspannungsfelder Eb das Ohmsche Gesetz
seine Gultigkeit verliert. Fur Felder, die ca. 5 kV/cm uberschreiten, mu die
Feldabhangigkeit der Oberachenleitfahigkeit berucksichtigt werden. Gleichung
(4.13) reproduziert den in einigen Experimenten (z.B. [YJBD93]) beobachteten
Ruckgang der THz-Feldamplitude bei steigender Pumpintensitat nicht. Dies lat
darauf schlieen, da in diesen Fallen der Gultigkeitsbereich des Ohmschen Gesetzes uberschritten wurde [TBY93].
Gleichung (4.13) gibt die Zeitabhangigkeit der THz-Feldverteilung an der
Apertur des Emitters an, die im Integranden des Beugungsintegrals (2.29) auftaucht. Um die Feldfunktion berechnen zu konnen, benotigt man noch eine Aussage uber die raumliche Verteilung des THz-Feldes am Emitter.
4.3 Raumliches Prol am Emitter
Das raumliche Prol des THz-Feldes am Emitter wird bestimmt durch
das Vorspannungfeld Eb (x)
die Oberachenleitfahigkeit s(x; y).
Der Feldverlauf des Vorspannungsfeldes innerhalb des Halbleiters ist abhanging
von der Geometrie der Elektroden auf dem Emitter. Mit elektro-optischen Messungen, bei denen der Pockels-Eekt im GaAs ausgenutzt und die linear vom Feld
66
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
im Halbleiter abhangende Phasenretardierung eines infraroten Laserstrahls mit
einer Photonenenergie weit unterhalb der Bandkante des GaAs gemessen wird,
kann der Verlauf des Vorspannungsfeldes im Emitter bestimmt werden.
Budiarto et. al. haben solche Messungen durchgefuhrt und festgestellt, da
die Feldstarke an den Elektroden stark uberhoht und in der Mitte des Emitters
annahernd konstant ist ([BMJ+ 96]). Dieses Ergebnis wird auch durch Messungen
bestatigt, bei denen ein kleiner Pumpstrahl senkrecht zu den Elektroden uber den
Emitter gefahren und die THz-Feldstarke im Nahfeld fur verschiedene Punkte
x gemessen wird. Fur die Simulation wurde eine Funktion gewahlt, die diesen
Verlauf qualitativ reproduziert:
EMitte x6
Eb(x) = EMitte + ERand ;
l6
(4.14)
ERand ist hierbei die Feldstarke an den Elektroden, EMitte die Feldstarke in der
Mitte des Emitters, l ist der halbe Elektrodenabstand des Emitters. x kann Werte von ;l bis +l annehmen. Es wird angenommen, da das Feld in y-Richtung,
d. h. parallel zu den Elektroden, konstant ist. Gleichung (4.14) gibt die Ortsabhangigkeit des Vorspannungfelds in Gleichung (4.13) an.
Nach dem in Abschnitt 1.1.3 angegebenen Ausdruck fur die Oberachenleitfahigkeit (1.1) ist s im Halbleiter proportional zur Dichte der durch den
Pumppuls generierten Photoladungstrager. Diese wiederum ist proportional der
Zahl der absorbierten Photonen, d. h. dem zeitlichen Integral der Pumpintensitat,
wenn sich das Prol nicht zeitlich andert. Das raumliche Prol der Oberachenleitfahigkeit ist also dasselbe wie das Pumpprol. Idealerweise hat der Pumpstrahl
ein gauformiges Strahlprol. Im Experiment stellt sich jedoch heraus, da das
Prol des Ti:Sa-Lasers einige Meter vom Laser entfernt oft erheblich davon abweicht. Das Pumpprol wurde mit einer CCD-Kamera gemessen. Abb. 4.2(a)
zeigt ein solches gemessenes Prol.
Fur die Simulation wurden gauformige Pumpprole benutzt, die an das gemessene Strahlprol angepat wurden. Abb. 4.2(b) zeigt ein gauformiges Prol
multipliziert mit der Verteilung des Vorspannungsfeldes aus Gl. (4.14). Fur nicht
zu groe Pumpintensitaten gibt dieses Produkt die Ortsabhangigkeit des abgestrahlten elektrischen THz-Feldes am Emitter an.
4.4 Durchfuhrung der Simulation
Die fur die Simulation notwendigen Gleichungen wurden in den vorhergehenden
Abschnitten erlautert. Im wesentlichen sind dies das Huygens-Fresnel Integral
(2.29)
Z
Z
0) d
cos(
n
;
r
0
0 ; t) df 0
0
0
r
f
(
x
u
(
x
;
t
;
)
df
=
u(x; t) =
c
0
2cr dt
A
A
67
4.4. Durchfuhrung der Simulation
x
y
2
0
4 -4 -2
0
2
4
-2
-4
2
1.5
E
1
(a) Gemessenes Pumpprol
(b) Gauformiges Pumpprol
multipliziert mit an den Elektroden bei x=5 mm uberhohtem
Vorspannungsfeld.
Abbildung 4.2: Prol von Pump- und THz-Puls am Emitter
und die Feldverteilung am Emitter (4.13)
0
u(x0; t) = ;Eb (x0) (x0; ts)(x ;+t)10+ p :
s
0
Fur die Vektorsimulation wurde das breitbandige Smythe-Kirchho Integral (2.44)
Z
1 ;n E(x0; t ; r0 ) df 0
E(x; t) = r 2r
c
0
A
benutzt.
Die Flachenintegrale musen numerisch ausgewertet
werden. Dabei ist zu be0
r
achten, da durch die retardierte Zeit t ; c die sehr starke Lokalisierung des
Integranden f (x0 ; t) innerhalb von ca. 500 fs auf die raumliche Dimension ubertragen wird. Abb. 4.3 zeigt f (x0; t) zu verschiedenen Zeitpunkten t. Die Funktion
ist stark lokalisiert, deshalb mu die Schrittweite des Integrationsalgorithmus'
klein genug gewahlt werden.
Die raumlichen und zeitlichen Ableitungen in den Beugungsformeln werden
numerisch durchgefuhrt. Auch hier ist auf eine sinnvolle Schrittweite zu achten.
Um die Rechenzeit in Grenzen zu halten, werden die Werte der Ladungstragerdichte zu jedem Zeitpunkt t nur einmal berechnet und tabelliert.
68
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
6·10
-11
4·10
0.2
-11
2·10
4
-11
0
-2
2
2
0
-4
-2
0
4
0.1
0.05
0
2
0
-4
0.15
-2
-2
0
-4
2
4
-4
4
t=0 ps
t=1 ps
0.15
0.1
0.1
4
4
0.05
0.05
2
2
0
0
0
-4
-2
0
0
-4
-2
-2
-2
0
2
2
-4
4
-4
4
t=2 ps
t=3 ps
0.1
0.1
4
4
0.05
0.05
2
2
0
0
-4
0
0
-4
-2
-2
-2
0
-2
0
2
2
-4
-4
4
4
t=4 ps
t=5 ps
Abbildung 4.3: Integrand des Beugungsintegrals fur einen Punkt x=(0,0,10) zu ver-
schiedenen Zeiten t. Die Grundache ist die Emitterache. Die Beitrage zu einem THzPuls auf der z-Achse zu verschiedenen Zeiten t kommen von konzentrischen Ringen auf
dem Emitter mit unterschiedlichem Radius.
69
4.5. Parameter der Simulation
Parameter
Lange d. Pumppulses
Breite d. Pumpprols
Apertur
Elektrodenabstand
U berhohung des E-Feldes an den Elektroden
Zerfallskonstante d. Photoladungstrager
Abstand von Emitter zu Detektor
Standardwert simulierter Wertebereich
200 fs
70-300fs
9 mm
4-12 mm
keine
1-20 mm
11,6 mm
6-16 mm
1:5
1 : 1 - 10 : 1
350 ps
600 fs (RDSOS) - 400 ps
10 mm
10-200mm
Tabelle 4.1: Parameter der Simulation
In Abb. 4.3 ist deutlich zu sehen, da im Nahfeld an einem Punkt x zu jedem
Zeitpunkt t nur bestimmte Regionen des Emitters zum THz-Feld beitragen. Das
lat vermuten, da das Signal im Nahfeld auch von der Struktur des Emitters,
z. B. von Kratzern oder Kratern von Spannungsuberschlagen abhangt.
4.5 Parameter der Simulation
Die wichtigen Parameter, die die Pulsform des simulierten THz-Pulses beeinussen, sind in Tabelle 4.1 zusammengestellt. Abbildung 4.4 erklart die Bedeutung
+ HV
Pumpstrahl
Probestrahl
PW
A
PL
d Probe
XL
d
GaAs
ZnTe
Irisblende
Abbildung 4.4: Parameter der Simulation. PW: Breite des Gau'schen Pumpprols (FWHM). PL: Halbwertsbreite des Pumppulses. A: Apertur der Irisblende.
XL: Elektrodenabstand in X-Richtung. d: Abstand Emitter-Detektor.
der geometrischen Parameter.
Die Lange des Pumppulses ist die zeitliche FWHM-Lange des als gauformig
angenommenen Pumppulses, die Breite des Pumpprols ist der 1=e-Radius des
Pumpstrahls. Der Verlauf des statischen Vorspannungsfeldes im Emitter wird als
Polynom 6. Grades nach Formel (4.14) modelliert. Die U berhohung des Vorspannungsfeldes an den Elektroden gegenuber der Mitte der Antenne (EMitte =ERand )
70
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
reicht von keiner U berhohung (1:1) bis zu einem Verhaltnis von 1:10.
Die Lebensdauer der Photoladungstrager ist kein eigentlicher Parameter der
Simulation, da sie eine Konstante des Emittermaterials ist und in dieser Arbeit
nur Emitter aus hochohmigem GaAs benutzt wurden. Da die Zerfallskonstante
sehr viel groer ist als die THz-Pulsdauer von ca. 0,5-1,5 ps, ist die Ableitung der
exponentiellen Zerfallsfunktion in dem betrachteten Bereich sehr klein und der
Zerfall der Photoladungstrager hat keinen Einu auf die THz-Pulsform. Trotzdem wurden Simulationen mit verschiedenen Zerfallskonstanten durchgefuhrt,
da andere mogliche Emittermaterialien sehr viel kurzere Zerfallszeiten haben
konnen, wie z. B. RDSOS (Radiation Damaged Silicon-On-Sapphire) mit 600 fs
oder LTG-GaAs (Low Temperature Grown GaAs).
Um den Einu dieser Parameter auf die THz-Pulsform zu untersuchen wurde
jeweils einer dieser Parameter in den in Tabelle 4.1 angegebenen Grenzen variiert,
wahrend alle anderen Parameter auf dem in der Tabelle angegebenen Standardwert festgehalten wurden. In Anhang B werden noch einige weitere Parameter
erklart, die fur Sonderfalle von Bedeutung sind.
Abbildung 4.5 zeigt den Einu der U berhohung des Vorspannungsfeldes an
den Randern auf die THz-Pulsform. Die Werte reichen fur ERand =EMitte von 1:1
(keine U berhohung) bis zu 10:1, das bedeutet ein zehnmal hoheres Feld am Rand
als in der Mitte. Bild 4.6 zeigt den dazugehorigen Feldverlauf sowie die ortliche
Verteilung des Photostroms in x-Richtung. Die raumliche Verteilung des Photostroms ist fur kleine Pumpleistungen nach Gl. (4.11) das Produkt aus Vorspannungsfeld und Pumpprol. Die Simulation zeigt fur ein Verhaltnis von 1:1 einen
schnellen Anstieg und einen langsameren, glatten Abfall.
Sobald allerdings die Felduberhohung ins Spiel kommt, macht sich der Laufzeitunterschied von Strahlen, die von der Mitte der Antenne ausgehen, gegenuber
solchen vom Rand bemerkbar. In der Beugungsformel (2.29) wird der Tatsache,
da Licht von den Randern spater ankommt als das von der Mitte, mit der retardierten Zeit ret = t ; rc Rechnung getragen. Die Felduberhohung bewirkt ein
zweites Maximum nach dem Hauptpeak, das mit groer werdender U berhohung
ausgepragter wird. Auch ohne Felduberhohung bleibt an der Stelle des 2. Maximums immer noch ein Knick, der sich aus dem abrupten Ende der emittierenden
Flache ergibt.
In Abbildung 4.7 wird bei gleichbleibendem Pumpprol der Abstand der Elektroden auf dem Emitter von 6 mm bis 16 mm variiert. Wie nach dem eben Gesagten erwartet, verschiebt sich hierbei der zweite Peak zu spateren Zeiten, da
die Laufzeitdierenz von der Mitte zu den Elektroden zunimmt. Die Zweitmaxima werden zunehmend schwacher. Die Erklarung hierfur liefert die Verteilung
des Photostroms in x-Richtung (Abb. 4.8). Die U berhohung an den Elektroden
fallt immer weniger ins Gewicht, da das gauformige Pumpprol an den Randern
sehr viel starker abfallt als der polynomiale Anstieg des Vorspannungsfeldes. Die
Breite des THz-Pulses nimmt mit zunehmendem Elektrodenabstand zu. Mit zu-
4.5. Parameter der Simulation
71
nehmender Emitterbreite wachst auch die Zeitdierenz zwischen dem THz-Puls
von der Mitte der Antenne, der die kurzeste Wegstrecke zuruckzulegen hat, und
den Pulsen von den Randern. Daher wird der THz-Puls langer. Die Lange des
THz-Pulses wird also von der Breite der emittierenden Flache bestimmt, das
heit vom Elektrodenabstand und vom Pumpprol.
Die Bilder 4.9 und 4.10 zeigen THz-Feld und Photostrom fur verschiedene
1=e-Breiten des Pumpprols. Es zeigt sich wieder, da fur kleine Prolbreiten
das Gauprol so stark abfallt, da sich die Felduberhohung am Emitterrand
nicht bemerkbar machen kann.
Abbildung 4.11 verdeutlicht, wie der THz-Puls bei anderen Emittermaterialien mit anderen Lebensdauern der Photoladungstrager aussehen konnte. Es sind
Lebensdauern von 600 fs bis 400 ps gezeichnet. Der schnelle Zerfall der Photoladungstrager in nur 600 fs fuhrt zu einem sehr schnellen Abfall der Oberachenleitfahigkeit und damit des Photostroms, dessen zeitlicher Verlauf zusammen mit
dem seiner Ableitung in Abb. 4.12 zu sehen ist. Dies fuhrt zu einer bipolaren Form
der Zeitableitung des Photostroms und damit zu einem bipolaren THz-Puls.
Bei groachigen Emittern machen sich allerdings die Randeekte im THzPuls stark bemerkbar. Eine A nderung der Lebensdauer von 50 ps auf 400 ps
andert die THz-Pulsform nur wenig. Die im Vergleich zur THz-Pulslange sehr lange Ladungstragerlebensdauer in GaAs in der Groenordnung von 100 ps [Jep96]
hat also praktisch keinen Einu auf die THz-Pulsform und braucht fur die Simulation nicht genauer bekannt zu sein.
72
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
12000
1:1
2:1
4:1
6:1
10:1
10000
ETHz [a.u.]
8000
6000
4000
2000
0
-2000
28
30
32
34
36
38
time delay [ps]
40
42
44
46
Abbildung 4.5: THz-Puls fur Felduberhohungen von Rand zu Mitte von 1:1 bis 10:1
10
1:1
2:1
4:1
6:1
10:1
4
3.5
Photostrom [a.u.]
8
Ebias
6
3
2.5
2
1.5
1
0.5
4
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
2
0
-6
-4
-2
0
x [mm]
2
4
6
Abbildung 4.6: Feldverlauf des Vorspannungsfeldes im Emitter. Der Einsatz zeigt die
raumliche Verteilung des Photostroms.
73
4.5. Parameter der Simulation
1
l=6mm
l=8mm
l=10mm
l=12mm
l=14mm
l=16mm
0.9
0.8
0.7
ETHz [a.u.]
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
32
34
36
38
time delay [ps]
40
42
44
Abbildung 4.7: Zeitlicher Verlauf des elektrischen Feldes des THz-Pulses fur Elektrodenabstande von 6 mm bis 16 mm.
7
l=6mm
l=8mm
l=10mm
l=12mm
l=14mm
l=16mm
6
Ebias*Pumpprofil [a.u.]
5
4
3
2
1
0
-8
-6
-4
-2
0
x [mm]
2
4
6
Abbildung 4.8: Produkt aus Pumpprol und Vorspannungsfeld.
8
74
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
1
w=6mm
w=8mm
w=10mm
w=12mm
w=14mm
w=16mm
0.9
0.8
0.7
ETHz [a.u.]
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
28
30
32
34
36
38
time delay [ps]
40
42
44
46
Abbildung 4.9: THz-Puls fur 1=e-Breiten des Pumpprols von 6 mm bis 16 mm
6
w=6mm
w=8mm
w=10mm
w=12mm
w=14mm
w=16mm
5
Photostrom [a.u.]
4
3
2
1
0
-6
-4
-2
0
x [mm]
2
4
Abbildung 4.10: Raumliche Verteilung des Photostroms.
6
75
4.5. Parameter der Simulation
5
T=0.6ps
T=2ps
T=10ps
T=50ps
T=400ps
4
[a.u.]
2
E THz
3
1
0
-1
-2
28
30
32
34
36
38
time delay [ps]
40
42
44
46
Abbildung 4.11: THz-Puls fur Zerfallskonstanten der Photoladungstrager von
600 fs (z.B. fur RDSOS) bis 400 ps
2
Photostrom [a.u.]
Ableitung d. Photostroms [a.u.]
1.5
T=0.6ps
T=2ps
T=10ps
T=50ps
T=400ps
1
0.5
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0-5
0
5
10
15
Zeit [ps]
20
25
30
0
-0.5
-1
-2
0
2
4
Zeit [ps]
6
8
10
12
Abbildung 4.12: Zeitableitung des Photostroms. Der Einsatz zeigt den Photostrom selbst.
76
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
4.6 Propagation der THz-Strahlung
In diesem Abschnitt sollen die Ergebnisse der Simulation diskutiert werden, die
den Einu der Beugung an der Apertur des Emitters und der Propagation durch
den freien Raum deutlich machen. Dazu wurden Simulationen mit einem Beobachtungspunkt auf der Strahlachse, d. h. zentrisch zum Emitter bei verschiedenen
Abstanden d von Emitter zu Detektor durchgefuhrt.
Die Simulationen sind in Kap. 5 in Abb. 5.4 zusammen mit den entsprechenden experimentellen Pulsformen dargestellt. Sie zeigen, da der THz-Puls bei
zunehmender Propagationslange kurzer wird und die im Nahfeld vorhandenenen
Strukturen bei groeren Abstanden verschwinden. Dies ist so zu erklaren, da die
bei groer werdendem Abstand der Laufzeitunterschied von verschiedenen Orten
auf dem Emitter zum Detektor immer weniger ins Gewicht fallt und schlielich
bei groen Abstanden vernachlassigbar wird. Dann sind die Beitrage von allen
Orten auf dem Emitter in Phase.
Dieser Eekt ist in Abb. 5.5 deutlich zu sehen. Weil hier durch die U berhohung
des elektrischen Feldes der Beitrag von Orten nahe den Elektroden auf dem Emitter deutlich auszumachen ist, kann beobachtet werden, wie der Laufzeitunterschied zwischen den Beitragen von der Mitte der Antenne und denen von den
Randern immer kleiner wird und schlielich alle Beitrage in Phase sind.
4.7 Vektorielle Simulation und raumliche Strahlungsfeldcharakteristik
Die auf der breitbandigen Verallgemeinerung des Smythe-Integrals Gl. (2.44) basierende vektorielle Simulation liefert fur die Ex-Komponente des elektrischen
THz-Feldes sehr ahnliche Pulsformen wie die skalare Simulation. Ein Vergleich
der Ergebnisse der beiden Simulationen ist in Abb. 4.13 dargestellt.
Eine raumliche Auftragung der Ergebnisse der vektoriellen Simulation ist in
den Abbildungen 4.14 bis 4.17 gezeigt. Die Abbildungen zeigen die Ex- und Ez Komponenten des elektrischen THz-Feldes zu verschiedenen Zeitpunkten nach der
Erzeugung des THz-Pulses durch den Pumppuls. Der Puls propagiert entlang
der z-Achse, der Emitter bendet sich bei z=0 und hat eine Ausdehnung von
x=-5,7 mm bis x=+5,7 mm.
Abb. 4.14 zeigt die x-Komponente des THz-Feldes 36 ps nach der Anregung.
Die Pulsfront ist in dieser Zeit ca. 11 mm propagiert und bendet sich somit
bei z=11 mm. In der Abbildung bezeichnet rot eine positive Feldstarke, blau
bezeichnet eine Feldstarke von 0. Die Pulsfront vor dem Emitter ist eben, krummt
sich aber durch die Beugung an den Randern.
In Abb. 4.15 ist die z-Komponente dieses Pulses dargestellt. Rot bezeichnet
hier positive, blau negative Feldstarken. Grun bedeutet eine Feldstarke von 0.
Die Abbildung verdeutlicht, da auf der Strahlachse (x=0) die z-Komponente
77
4.7. Raumliche Strahlungsfeldcharakteristik
1
Skalare Simulation
Vektorielle Simulation
ETHz [a.u.]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10
12
14
16
18
20
Zeitverzögerung [ps]
22
24
Abbildung 4.13: Vergleich der Ergebnisse der vektoriellen und der skalaren Simulation.
des elektrischen THz-Feldes 0 ist. Durch die Beugung wachst die z-Komponente
allerdings betragsmaig, wenn man sich von der Strahlachse wegbewegt. Auerhalb des Bereiches des Emitters steht elektrische Feld bei z=0 senkrecht auf der
Emitterebene und zeigt links (negative x) vom Emitter weg, rechts (positive x)
zum Emitter hin.
Die Abbildungen 4.16 und 4.17 zeigen dieselbe Situation 333 ps nach der Anregung. Die Pulsfront ist nun 100 mm vom Emitter entfernt und die Pulsdauer
sehr viel kurzer. Dies bedeutet, da alle Beitrage von verschiedenen Orten auf
dem Emitter in Phase sind.
4.8 Grenzen der experimentellen Auosung
Die Auosung der elektro-optischen Detektion im hier betrachteten Frequenzbereich unterhalb der ersten Phononenresonanz des eo-Kristalls wird im wesentlichen durch drei Eekte bestimmt.
Die endliche Lange des Probepulses
Die Simulation geht von einem -formigen Probepuls aus. Um die endliche Probepulslange einzuberechnen, wird die Ordinate jeden Punktes des
simulierten THz-Pulses mit einer Gauglocke der Breite des Laserpulses
multipliziert. Dann werden an jedem Punkt die Werte aller dieser Gaukurven addiert und durch die Anzahl der Punkte dividiert. Die Simulation
zeigt, da hierdurch bei langen Pulsdauern der Nachweis hoher Frequenzen
unterdruckt wird.
Die endliche Ausdehnung des Probepulses
Der Probepuls ist nicht punktformig, sondern hat einen Durchmesser von
78
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
11,0
10,5
10,0
z [mm]
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
-6
-4
-2
0
2
4
6
X [mm]
Abbildung 4.14: Raumliche Verteilung der x-Komponente 36 ps nach Anregung.
11,0
10,5
10,0
z [mm]
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
-6
-4
-2
0
2
4
6
x [mm]
Abbildung 4.15: Raumliche Verteilung der z-Komponente 36 ps nach Anregung.
4.8. Grenzen der experimentellen Auflosung
79
100,0
99,5
99,0
z [mm]
98,5
98,0
97,5
97,0
96,5
96,0
95,5
-6
-4
-2
0
2
4
6
x [mm]
Abbildung 4.16: Raumliche Verteilung der x-Komponente 333 ps nach Anregung.
100
z [mm]
99
98
97
96
-6
-4
-2
0
2
4
6
x [mm]
Abbildung 4.17: Raumliche Verteilung der z-Komponente 333 ps nach Anregung.
80
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
ca. 1 mm. Daher ist das gemessene Signal das Flachenintegral des THzPulses uber die Flache des Probestrahls. Da sich das Prol des THz-Pulses
uber einen Millimeter allerdings nur wenig andert, erwartet man von diesem Eekt keinen groen Einu auf die Auosung der Detektion. Die Simulationen bestatigen dies. Allerdings macht sich der Laufzeitunterschied
von den Elektroden zum Mittelpunkt des Probestrahls und von den Elektroden zum Rand des Probestrahls bemerkbar. Dieser Laufzeitunterschied
verschiebt die Lage des U berhohungspeaks. Da die Messung uber alle Laufzeitunterschiede integriert, fuhrt dies zu einem langsameren Abfall der Pulsform. Dieser Eekt wurde wegen seines geringen Einusses nicht in die Simulation einbezogen.
Der Laufzeitunterschied von THz-und Probestrahl im ZnTe
Die unterschiedlichen Brechungsindizes des ZnTe im FIR und Sichtbaren
fuhren zu unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten des THz- und
Probepulses im Kristall. In dem in dieser Arbeit benutzten ZnTe-Kristall
betragt dieser Geschwindigkeitsunterschied (engl. group velocity mismatch,
Abk. GVM) 276 fs/mm. Das Kristall hat eine Lange von 1 mm. Der Probepuls uberstreicht also im Detektionskristall ein Zeitfenster von einer 276 fs
des THz-Strahls, das gemessene Signal ist daher das Integral des THz-Pulses
uber dieses Zeitfenster. Die innerhalb der Pumppulsdauer ansteigende Flanke des simulierten THz-Pulses wird dadurch abgeacht.
Abbildung 4.18 zeigt den THz-Puls bei einer Entfernung des Detektors von
185 mm fur eine realistische Laserpulslange von 200 fs. Die gestrichelte Linie zeigt
die reine Simulation, die graue Linie die Simulationsdaten nach Einbeziehung der
endlichen Probepulslange. Die durchgezogene dunkle Linie zeigt die Simulation,
nachdem die Gruppengeschwindigkeitsdierenz (GVM) einberechnet wurde. Die
Quadrate stellen die gemessenene Pulsform dar.
Abb. 4.19 zeigt das Frequenzspektrum dieser Kurven. Deutlich zu sehen ist,
da das Spektrum des Pulses mit experimenteller Auosung fruher endet. Die
endliche Lange des Probepulses ubt also einen begrenzenden Einu auf das nachweisbare Spektrum aus. Der Einu der Gruppengeschwindigkeitsdierenz ist
sehr drastisch. In diesen Simulationen wurde der von Wu und Zhang in [WZ96b]
gegebene Wert fur die Gruppengeschwindigkeitsdierenz von 1,1 ps/mm benutzt.
Wie in Abschnitt 1.2 dargestellt, fuhrt dies zu einer Nullstelle im Frequenzspektrum an der Stelle (GVM );1=0,91 THz. Es ist allerdings anzumerken, da der in
dieser Arbeit berechnete und gemessene Wert fur die Gruppengeschwindigkeitsdierenz mit GVM = 276 fs wesentlich niedriger liegt (s. Abschnitt 3.5.4).
81
4.8. Grenzen der experimentellen Auflosung
0,14
d=185 mm
reine Simulation
Sim. mit endl.
Probepulslänge
Sim. mit GVM
Meßdaten
0,12
ETHz [a.u.]
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
-0,02
16
17
18
19
Zeitverzögerung [ps]
Abbildung 4.18: Simulierter Puls bei d=200mm unter Berucksichtigung der endlichen Probepulslange von Laser =200 fs und der Gruppengeschwindigkeitsdierenz
(GVM) sowie gemessene Pulsform.
0,005
Amplitude
0,004
0,003
0,002
0,001
0,000
0,5
1,0
1,5
2,0
Frequenz (THz)
Abbildung 4.19: Frequenzspektrum der Kurven in Abb. 4.18.
82
4. Computersimulation des Strahlungsfeldes der Antenne
4.9 Zusammenfassung der Ergebnisse
In diesem Kapitel wurde eine Simulation vorgestellt, die, aufbauend auf dem
Stromsto-Modell zur Erzeugung von THz-Pulsen, die zu messende Pulsform an
einem beliebigen Punkt im Raum berechnet. Die Abhangigkeit der THz-Pulsform
von der Geometrie des Emitters, den Charakteristika des anregenden Laserpulses, den Halbleitereigenschaften sowie der Beugung an der Emitterapertur wird
berucksichtigt. Hier soll noch einmal eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten
Ergebnisse der Simulationen gegeben werden.
Die Lange des THz-Pulses im Nahfeld wird mageblich von der ausgeleuchteten Flache des Emitters bestimmt. Je groer die emittierende Flache,
desto groer ist die Zeitdierenz zwischen zwei zum gleichen Zeitpunkt von
zwei extremen Punkten auf der Antenne ausgehenden Strahlen. Der THzPuls wird also mit groer werdender emittierender Flache langer.
Die Pulsform wird bestimmt durch die Kombination von U berhohung des
elektrischen Feldes an den Elektroden und Pumpstrahlbreite. Reicht die
ausgeleuchtete Flache bis nahe an die Elektroden heran, so kommt es zu
den charakteristischen U berhohungspeaks nach dem Hauptmaximum.
Die Lage dieses von der U berhohung des elektrischen Feldes an den Elektroden herruhrenden Nebenmaximums ist abhangig von der Emitterbreite.
Die Lebensdauer der Photoladungstrager im GaAs ist sehr viel langer als
die Pumppulslange. Aus diesem Grund hat der Zerfall der Ladungstrager
nur geringen Einu auf die Form des THz-Pulses.
Bei zunehmendem Abstand von Emitter zu Detektor wird der Puls kurzer.
Dies liegt zum einen daran, da der Laufzeitunterschied von verschiedenen
Punkten auf dem Emitter zum Beobachtungspunkt kleiner wird und im
Fernfeld schlielich die Beitrage von allen Punkten auf der Antenne in Phase sind. Zum anderen werden bei der Beugung am Elektrodenrand kleine
Frequenzen starker gebeugt als hohe. Daher liefern die hohen Frequenzen
bei zunehmendem Abstand relativ groere Beitrage.
Durch die kleiner werdende Laufzeitdierenz bei zunehmendem Abstand
verschwinden die im Nahfeld vorhandenen Strukturen in der zeitlichen Pulsform in einigem Abstand vom Emitter. Im Fernfeld nahert sich die Pulsform
einer Gauglocke.
Die Laserpulsbreite sowie die Anpassung der Gruppengeschwindigkeiten im
Detektionskristall wirken sich auf die Pulsform aus. Beide Eekte bewirken,
da die gemessene Form von der eigentlichen THz-Pulsform abweicht und
das gemessene Frequenzspektrum bei niedrigeren Frequenzen endet, als eigentlich im Puls vorhanden sind.
Kapitel 5
Vergleich von Experiment und
Simulation
5.1 Verschiedene Propagationslangen
Um den Auswirkung der Propagation eines THz-Pulses durch den freien Raum
auf die Pulsform zu untersuchen, wurde der Emitter parallel zu Strahlachse verschoben und Messungen bei Abstanden von 11 bis 185 mm des Emitters vom
Detektor gemacht. Dieser Aufbau ist in Abb. 5.1 skizziert.
Photodiode
x
d
z
. Polarisator
ZnTe
THz-Emitter
Abbildung 5.1: Aufbau zur Messung verschiedener Propagationslangen d. Der
Emitter wird entlang der Pfeilrichtung verschoben.
Die Ergebnisse einer solchen Mereihe sind in Abb. 5.2 gezeigt. Die eingezeichneten Hilfslinien verdeutlichen, da der THz-Puls bei zunehmender Propagationslange kurzer und seine Anstiegsanke steiler wird. Wie in Abschnitt 4.6
dargelegt, erklart sich dies mit der geringer werdenden Laufzeitdierenz zwischen
Pulsen, die von der Mitte der Antenne ausgehen, zu solchen vom Rand der Antenne.
Weiterhin macht sich hier bemerkbar, da niedrige Frequenzen unter groeren
Winkeln gebeugt werden als hohe Frequenzen. Daher steigt der Anteil hoher
83
84
5. Vergleich von Experiment und Simulation
Frequenzen im Puls bei zunehmender Entfernung vom Emitter. Dies ist auch in
den in Abb. 5.3 gezeigten normierten Frequenzspektren einiger Pulse aus Abb. 5.2
zu sehen.
Die THz-Pulsformen fur drei ausgewahlte Abstande sowie die dazugehorigen
Simulationen sind in Abb. 5.4 gezeigt. Tabelle 5.1 fat die Parameter zusammen,
die fur diese Simulationen benutzt wurden. Zunachst wurde fur die Gruppengeschwindigkeitsdierenz in ZnTe der von Wu und Zhang in [WZ96b] angegebene
Wert von 1,1 ps/mm benutzt. Diese Simulationen sind in Abb. 5.4 mit durchgezogenen Linien dargestellt. Sie stimmen sehr gut mit den Medaten uberein.
Abweichungen bei Zeitverzogerungen > 13 ps liegen in zwei Eekten begrundet,
die in dieser Simulation nicht berucksichtigt sind, zum einen ist dies die endliche
Ausdehnung des Probepulses, zum anderen der Beitrag der kontrapropagierenden
Phase zum PR-Signal. Letzteres wurde in den spateren Simulationen (gestrichelte
Linien in Abb. 5.4) berucksichtigt.
Parameter
Halbwertsbreite d. Pumppulses
1/e Breite d. Pumpprols
Apertur
Elektrodenabstand
U berhohung des E-Feldes an den Elektroden
Abstand von Emitter zu Detektor
GVM
Wert
250 fs
16,8 mm
17 mm
11,4 mm
2 5:1
11 mm, 20 mm, 81 mm
1,1 ps/mm und 276 fs/mm
;
Tabelle 5.1: Parameter der Simulationen fur THz-Pulsformen nach verschiedenen
Propagationslangen
Im Lauf der vorliegenden Arbeit wurde die Gruppengeschwindigkeitsdierenz
des benutzten ZnTe-Kristalls direkt gemessen und zu 276 fs bestimmt (s. Abschnitt 3.5.4).
Die mit diesem Wert gemachten Simulationen haben eine wesentlich steilere
Anstiegsanke als die gemessenen Daten und sagen im Fernfeld kurzere Pulse als
beobachtet vorher. Diese Diskrepanz konnte in dieser Arbeit nicht mehr geklart
werden. Es wurden 3 verschiedene ZnTe-Kristalle ausprobiert, die zwar unterschiedliche Empndlichkeiten aufwiesen, aber alle dieselbe Pulsform reproduzierten. Aus diesem Grund ist die beobachtete Diskrepanz mit groer Wahrscheinlichkeit nicht auf eine Eigenschaft des benutzten ZnTe-Kristalls zuruckzufuhren.
Moglicherweise ist diese Diskrepanz darauf zuruckzufuhren, da die Photoladungstrager kurz nach ihrer Erzeugung nicht im thermischen Gleichgewicht sind
und daher in den ersten einigen 100 fs das Ohmsche Gesetz nicht gultig ist.
Das in der Simulation benutzte Modell sagt voraus, da die Anstiegszeit der
Flanke des THz-Pulses in der Groenordnung der Anstiegszeit des Pumpulses
von ca. 100 fs liegt. Tatsachlich wurden experimentell jedoch nie schnellere Anstiegszeiten als ca. 600-700 fs erreicht.
85
5.1. Verschiedene Propagationslangen
Abstand
Emitter-Detektor
1,00
11,5 mm
15 mm
21 mm
0,75
25 mm
P.R. [a.u.]
31 mm
40 mm
50 mm
60 mm
0,50
70 mm
81 mm
0,25
100 mm
121 mm
185 mm
0,00
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Zeitverzögerung [ps]
Abbildung 5.2: Experimentelle Pulsformen fur verschiedene Propagationslangen.
1,0
d=20 mm
d=81 mm
d=185 mm
Amplitude
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Frequenz [THz]
Abbildung 5.3: Frequenzspektren einiger ausgewahlter Pulse aus Abb. 5.2.
86
5. Vergleich von Experiment und Simulation
Messung
d=11 mm
d=20 mm
d=81 mm
2,0
1,8
Simulation
GVM=1,1 ps/mm
GVM=276 fs/mm
1,6
1,4
ETHz [a.u.]
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
6
8
10
12
14
16
18
20
Zeitverzögerung [ps]
Abbildung 5.4: Mekurven und Simulationen bei verschiedenen Propagationslangen. Die Kurven sind je 0,5 Skt nach oben und 1 ps nach links versetzt.
5.2. Die Doppelpeakstruktur
5.2 Die Doppelpeakstruktur
87
Wie in Abschnitt 4.5 gezeigt ist es durch die U berhohung des elektrischen Feldes an den Elektroden des Emitters moglich, da die Rander der emittierenden
Flache einen vergleichbar groen Beitrag zum THz-Feld liefern wie die Mitte, wo
die Pumpintensitat am groten ist. Der Beitrag von den Randern kommt aber
um (rRand ; rMitte)=c verzogert am Beobachtungspunkt an, wobei rRand und rMitte
die Abstande vom Beobachtungspunkt zum Rand bzw. zur Mitte des Emitters
bezeichnen. Daher kann sich nach dem Maximum des THz-Peaks ein zweites
Maximum ausbilden.
Es wurden Messungen mit dem in Abb. 5.1 gezeigten Aufbau durchgefuhrt,
bei denen diese U berhohung deutlich zu sehen ist. Dazu mu vor allem gewahrleistet sein, da das Pumpprol bis an die Elektroden heranreicht. Abb. 5.5 zeigt die
THz-Pulsformen fur Propagationslangen des THz-Pulses von 12 mm bis 110 mm
sowie die dazugehorigen Simulationen. Die Simulation reproduziert die Lage der
beiden Maxima, die nur vom Elektrodenabstand des Emitters und der Propagationslange abhangig sind, sehr zuverlassig. Abweichungen, wie z. B. in der Kurve
zu d=26 mm, sind hauptsachlich dem Fehler beim Messen des Abstandes vom
Emitter zum Detektor zuzuschreiben, der nur auf ca. 0; 3 mm genau gemessen
werden konnte. Die beiden Maxima rucken bei zunehmender Propagationslange
naher zusammen, bis sie in einer Entfernung von ca. 110 mm zusammenfallen,
weil rRand rMitte ist.
Auch bei diesen Messungen sinkt das THz-Signal nach dem Hauptpuls (fur
Zeiten >36 ps in der obersten Kurve) wegen des Beitrags der kontralinearen Propagation in ZnTe-Kristall nicht auf null.
88
5. Vergleich von Experiment und Simulation
4
d=12mm
d=16mm
d=26mm
d=35mm
d=57mm
d=88mm
d=110mm
3.5
3
ETHz [a.u.]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Zeitverzögerung [ps]
Abbildung 5.5: THz-Puls mit zwei deutlichen Maxima in der Pulsform, die von der
U berhohung des Vorspannungsfeldes an den Elektroden herruhren, nach Propagationslangen von 12 mm bis 110 mm. Die durchgezogenen Kurven zeigen die Simulationen. Die einzelnen Kurven sind um jeweils 0,5 Skt nach oben und um 0,5 ps nach rechts
verschoben.
89
5.3. Messungen auerhalb der Strahlachse
5.3 Messungen auerhalb der Strahlachse
Um das THz-Strahlprol langs der Achse senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
zu bestimmen, wurde der Emitteraufbau entsprechend Abb. 5.6 verandert. Der
Emitter sowie ein Einkoppelspiegel wurden auf eine Platte montiert, die wiederum
auf einer Verschiebestufe senkrecht zur Strahlrichtung befestigt ist. Der Einkoppelspiegel wurde unter 45zur Probestrahlachse gestellt und der Pumpstrahl so
justiert, da sich die Position des Pumpprols auf dem Emitter beim Verschieben
der Emitterplatte nicht verandert.
Photodiode
x
x
. Polarisator
ZnTe
z
THz-Emitter
Abbildung 5.6: Aufbau zur Messung bei verschiedenen Abstanden zur optischen
Achse. Der Aufbau in der schraerten Flache wird entlang der Pfeilrichtung
verschoben.
Abb. 5.7 zeigt die Mekurven sowie die dazugehorigen Simulationen. Beim
Vergleich der gemessenen Pulsformen mit den Simulationen zeigt sich, da die
U bereinstimmung mit zunehmender Verschiebung schlechter wird. Dies ist moglicherweise so zu erklaren, da bei groer werdendem Abstand des Emitters von der
Strahlachse am Detektor zunehmend keine ebene Welle, sondern eine gebogene
Wellenfront ankommt. Daher lauft der THz-Strahl unter einem Winkel zum Probestrahl durch den Detektionskristall und die Geschwindigkeitskomponente des
THz-Pulses in Probestrahlrichtung wird kleiner. Dadurch nimmt die Gruppengeschwindigkeitsdierenz zwischen THz- und Probepuls zu. Dieser Eekt wurde
in der Simulation nicht berucksichtigt. Die in Abb. 5.8 gezeigten vektoriellen Simulationen verdeutlichen jedoch, da die die Komponente des elektrischen THzFeldes in z-Richtung Ez relativ zur x-Komponente immer groer wird, je weiter
der Emitter verschoben wird.
90
5. Vergleich von Experiment und Simulation
x=0mm
x=1mm
x=2mm
x=3mm
x=4mm
x=5mm
3
2.5
2.5
2
2
ETHz [a.u.]
ETHz [a.u.]
3
x=0mm
x=1mm
x=2mm
x=3mm
x=4mm
x=5mm
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0
2
4
6
8
10
Zeitverzögerung [ps]
(a) Experiment
12
14
0
2
4
6
8
10
Zeitverzögerung [ps]
12
14
(b) Simulation
Abbildung 5.7: THz-Pulsformen fur Emitterpositionen von x=0 mm bis x=5 mm.
Die einzelnen Kurven sind um jeweils 0,5 Skt nach oben verschoben.
91
5.3. Messungen auerhalb der Strahlachse
1
1
Ex bei x=0mm
Ez bei x=0mm
Ex bei x=2mm
Ez bei x=2mm
0.8
0.6
ETHz [a.u.]
ETHz [a.u.]
0.8
0.4
0.2
0
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.2
0
2
4
6
8
10
Zeitverzögerung [ps]
12
14
0
2
(a) x=0 mm
6
8
10
Zeitverzögerung [ps]
12
14
12
14
(b) x=2 mm
1
1
Ex bei x=4mm
Ez bei x=4mm
0.8
Ex bei x=5mm
Ez bei x=5mm
0.8
0.6
0.6
P.R. [s.u.]
ETHz [a.u.]
4
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
0
2
4
6
8
10
Zeitverzögerung [ps]
(c) x=4 mm
12
14
0
2
4
6
8
10
time delay [ps]
(d) x=5 mm
Abbildung 5.8: Ex und Ez Komponenten der vektoriellen Simulation zu den gleichen Parametern wie in Abb. 5.7
92
5. Vergleich von Experiment und Simulation
Kapitel 6
Zusammenfassung und Ausblick
In der vorliegenden Diplomarbeit wurde ein THz-Experiment mit groachiger
Halbleiterantenne und elektro-optischer Detektion in Reektionsgeometrie aufgebaut. Zunachst wurden Messungen durchgefuhrt, um die Reektionsgeometrie
zu charakterisieren und auf ihren Nutzen fur Spektroskopie und bildgebende Verfahren zu untersuchen. Es wurde gezeigt, da es mit dieser Geometrie moglich
ist, einen sehr kompakten THz-Aufbau zu realisieren.
Dabei stellte sich heraus, da das gemessene Phasenverzogerungssignal nicht
in einem linearem Zusammenhang zum elektrischen Feld des THz-Pulses steht.
Das Signal-zu-Rausch Verhaltnis ist in der gewahlten Detektionsgeometrie mit
einer Photodiode nicht befriedigend. Diese Nachteile konnen umgangen werden,
wenn eine Detektion mit abgeglichenen Photodioden zum Einsatz kommt. Aufgrund der Tatsache, da der Probestrahl in der Reektionsgeometrie den Detektionskristall zweimal durchlauft, kommt es zu mehreren Reexen in der THzPulsform. Andere Geometrien weisen eine geringere Anzahl solcher Reexe auf.
Aus den oben genannten Grunden ist der in dieser Arbeit realisierte Aufbau
fur spektroskopische Anwendungen weniger geeignet. Ein mogliches Anwendungsgebiet dieser Geometrie sind bildgebende elektro-optische Verfahren.
Weiterhin wurde in dieser Arbeit das Nah- und Fernfeld der groachigen
Halbleiterantenne vermessen. In diesem Zusammenhang wurde eine Computersimulation der Beugung von THz-Pulsen entwickelt und der Einu verschiedener
Parameter auf die THz-Pulsform untersucht. Es zeigt sich, da die Form des
THz-Pulses im Nahfeld mageblich von der Groe und Geometrie der emittierenden Flache sowie vom Verlauf des Vorspannungsfeldes innerhalb des Emitters
bestimmt wird. Dies kann mit dem Laufzeitunterschied des THz-Pulses von verschiedenen Punkten auf dem Emitter zu einem Beobachtungspunkt im Nahfeld
erklart werden. Im Fernfeld ist die THz-Pulsform weitgehend unabhangig von der
Geometrie der Antenne.
Es konnte in Experiment und Simulation gezeigt werden, da die unterschiedlichen Laufzeiten des THz-Pulses von verschiedenen Punkten auf der Antenne bei
zunehmendem Abstand des Beobachtungspunktes vom Emitter weniger ins Ge93
94
6. Zusammenfassung und Ausblick
wicht fallen und schlielich im Fernfeld die Beitrage der gesamten emittierenden
Flache in Phase sind.
Das simulierte raumliche Strahlungsfeld zeigt, da das elektrische Feld des
THz-Pulses auf der Strahlachse nur eine Komponente parallel zum Vorspannungsfeld zwischen den Elektroden auf dem Emitter aufweist. Auerhalb der
Strahlachse hat der Puls eine Feldkomponente parallel zur Ausbreitungsrichtung.
Diese wird allerdings von der benutzten Detektionsgeometrie nicht nachgewiesen.
Es eronen sich eine Reihe interessanter Moglichkeiten fur weitere Experimente. Zu nennen ist hier die Moglichkeit, mit der in dieser Arbeit realisierten Detektionsgeometrie ein elektro-optisches bildgebendes Verfahren zu entwickeln, das ohne abbildende Optiken den THz-Puls direkt zweidimensional nachweist. Dabei ist von Vorteil, da die Reektions- und Absorptionsverluste der
THz-Optiken entfallen. Weiterhin eronet dies die Aussicht auf ein NahfeldDurchleuchtungsverfahren mit einem Auosungsvermogen unterhalb der Wellenlange der THz-Strahlung.
Ein weiteres interessantes Arbeitsgebiet ist die Untersuchung der Ladungstragerdynamik in der Halbleiterantenne. Hier ware es z. B. von Interesse, die
Abhangigkeit des THz-Signals von der Wellenlange des Pumppulses zu beobachten, insbesondere, wenn die Photonenenergie des Pumpstrahls uber die Kante der
Seitentaler der GaAs-Bandstruktur gestimmt wird.
Anhang A
Justierungsanleitung
IB
LB2
ST1
L1
L2
LB1
SP6
SP1
Neutralfilter
SP2
RR
LB3
SP4
Chopper
Photodiode
+HV
SP3
SP5
P1
GaAs
ZnTe
P2
POL
Abbildung A.1: Justage des Aufbaus. LB: Lochblenden, IB: Irisblende, ST: Strahlteiler, L: Linsen, SP:Spiegel, RR:Retroreektor, POL: Polaristator.
In diesem Abschnitt soll die grundlegende Justage des Aufbaus erklart werden. Die verwendeten Abkurzungen sind in Abb. A.1 erklart. Emitter, Detektor
und Polarisator sind mit Reitern auf einer 80 cm langen Schiene montiert. Zur
anfanglichen Justage werden die Reiter mit Emitter und Detektor herausgenommen. Es ist unbedingt darauf zu achten, da der Reiter mit dem Detektionskristall
wieder an dieselbe Stelle zuruckgesetzt wird. Die Position des Detektors ist auf
der Schiene mit einem Klebestreifen markiert. Sie ist durch die Bedingung festgelegt, da die Laufzeit des Probestrahls sowie die Summe der Laufzeiten von
95
96
A. Justierungsanleitung
Pump- und THz-Strahl vom Strahlteiler ST1 bis zum Detektionskristall gleich
sein mussen. Die Position des Emitters ist dagegen unkritisch. Zur Justage steht
ein auf einen Reiter montiertes Fadenkreuz zur Verfugung.
Die Justage vollzieht sich in folgenden Schritten:
Einfallenden Laserstrahl zentrisch auf das Teleskop aus L1 und L2 justieren.
Mit dem Strahlteiler und dem Spiegel SP1 wird der Probestrahl so justiert,
da er am Retroreektor nicht abgeschnitten wird und zentrisch den Spiegel
SP2 trit.
Fadenkreuz an die Stelle P1 setzen. LB3 entfernen, 1mm Blende in LB2
setzen. Mit SP2 und SP3 Probestrahl auf das Fadenkreuz justieren. Dann
mit ST1 und SP1 den Probestrahl so justieren, da sich seine Position auf
dem Fadenkreuz beim Verschieben des RR um mehrere Zentimeter nicht
andert.
LB1 und LB2 entfernen, 1mm Blende in LB3 einsetzen.
Probestrahl mit SP2 und SP3 so justieren, da er sowohl an Pos. P1 als
auch an P2 das Fadenkreuz trit.
Pumpstrahl mit SP5 und SP6 so justieren, da er sowohl an Pos. P1 als
auch an P2 das Fadenkreuz trit.
Fadenkreuz entfernen, Emitter und Detektor einsetzen. Um den THz-Puls
zu nden, setzt man den Emitter am besten so nah wie moglich an den
Detektor.
ZnTe so drehen, da der am ZnTe reektierte Probestrahl auf sich selbst
zuruckgeworfen wird. Dazu kann man den Probestrahl auf dem Polarisator
mit dem Infrarotsichtgerat beobachten.
Mit SP4 reektierten Probestrahl auf Photodiode justieren.
Emitter in der Halterung so um die senkrechte Achse drehen, da der re
ektierte Pumpstrahl auf sich selbst zuruckgeworfen wird.
Hochspannung anschalten
Mit dem Meprogramm den Schrittmotor durchfahren, bis sich ein THzSignal auf dem Monitor zeigt.
Phase am Lockin-Verstarker setzen.
Wenn der THz-Puls gefunden ist, Rotationswinkel von Emitter und Detektor optimieren.
97
Nach dieser Justage sollte nur noch der Spiegel SP4 verandert werden. Die
Hochspannung sollte auf Werte zwischen 3 und 5 kV eingestellt werden. Die
Pumpleistung ist mit Neutralltern dann so zu regeln, da der Photostrom nicht
mehr als ca. 100 A betragt. An der Choppersteuerung sollte eine Frequenz von
ca. 130 Hz eingestellt werden.
Es mu darauf geachtet werden, da die verschiedenen Kabel sich nicht zu
nahe kommen, da es andernfalls zu U bersprechen z.B. von der Hochspannungszufuhrung oder dem Schrittmotor auf das Photodiodenkabel und damit zu einem
hohen Rauschen kommen kann.
Die dem Emitter zugewandte Seite des ZnTe-Kristalls ist mit einem Stuck
Photokarton abgedeckt, um zu verhindern, da der transmittierte Anteil des Probepulses auf den Emitter trit und dort Photoladungstrager erzeugt. Diese Abdeckung kann abgenommen werden, um mit dem Infrarotsichtgerat die Position
des Probestrahls auf dem Kristall zu uberprufen.
98
A. Justierungsanleitung
Anhang B
Das Simulationsprogramm
Im Zuge der vorliegenden Arbeit wurde eine Computersimulation entwickelt, die
die Form eines THz-Pulses aus einer groachigen Antenne nach der Beugung an
der Apertur der Antenne berechnet. Das Simulationsprogramm wurde in C mit
dem Compiler gcc Version 2.7.2.1 unter dem Betriebssystem Linux entwickelt. Es
wurde groen Wert auf Portabilitat gelegt. Die Simulationen wurden auf einem
Parallelrechner des Typs Origin 2000 von Silicon Graphics unter dem Betriebssystem IRIX 6.4 sowie auf Rechnern des Typs RS/6000 von IBM unter AIX 4.2.1
durchgefuhrt.
Das Simulationsprogramm huygens wird vollstandig uber eine Parameterdatei gesteuert. Daher lautet der Aufruf des Programms einfach
huygens Parameterdatei
Die Parameterdatei ist eine ASCII-Datei. Ein Eintrag der Form
Parameter=Wert
setzt den Wert fur den entsprechenden Parameter. Die moglichen Parameter sind
in Tab. B.1 zusammengefat.
Eine Simulation wird durchgefuhrt, wenn das Programm auf einen Eintrag der
Form
x y z tStep Dateiname
trit, wobei x, y, z und tStep reelle Zahlen sind. Es wird dann der zeitliche Verlauf des elektrischen Feldes an der Stelle (x,y,z) in mm mit den bisher gesetzten
Parametern berechnet. Alle anderen Parameter haben dann die in Tab. B.1 angegebenen Standardwerte. Das Feld wird zwischen den Zeitpunkten (x/c-TMINUS)
und (x/c+TPLUS) in Abstanden von tStep in ps berechnet, wobei TMINUS und
TPLUS normale Parameter und c die Lichtgeschwindigkeit sind.
Der Nullpunkt des Koordinatensystems ist die Mitte des Emitters. Die Ergebnisse der Simulation werden in einer Datei mit Namen Dateiname gespeichert.
99
100
B. Das Simulationsprogramm
Nach einer solchen Simulation konnen in der gleichen Parameterdatei weitere
Parameter gesetzt und Simulationen durchgefuhrt werden. Die Vektorsimulation
kann mit dem Parameter VECTOR=1 ausgewahlt werden.
Parameter
PUMPLENGTH
PUMPWIDTHX
PUMPWIDTHY
PUMPCENTER
PUMPX
PUMPY
APERTURE
XLONG
YLONG
ERAND
CARRIERDECAY
CONST
TMINUS
TPLUS
CRYSTALLENGTH
RISETIME
INTSTEPS
DIR
VECTOR
Bedeutung
Standardwert
Halbwertsbreite d. Pumppulses
200 fs
halbe 1/e-Breite d. Pumpprols in x3 mm
Richtung
halbe 1/e-Breite d. Pumpprols in y3 mm
Richtung
Pumppulsenergie in J
2 J
Versatz des Pumpprols von der Emitter0 mm
mitte in x-Richtung
Versatz des Pumpprols von der Emitter0 mm
mitte in y-Richtung
Apertur im Pumpstrahlengang
100 mm
Elektrodenabstand
5 mm
Emitterlange in y-Richtung
5 mm
U berhohungsfaktor des E-Feldes an den
2
Elektroden
Zerfallskonstante d. Photoladungstrager
350 ps
Startzeitpunkt der Simulation
Endzeitpunkt der Simulation
Lange des Detektionskristalls
phanomenologische Anstiegszeit, wird nur
benutzt, wenn ein Wert dafur gesetzt wird.
Anzahl Stutzpunkte in x- und y-Richtung
fur Flachenintegral
Arbeitsverzeichnis
0: Skalare Simulation, 1: Vektorsimulation
7 ps
13 ps
1 mm
300
0
Tabelle B.1: Alle Parameter der Simulation
Weitere mogliche Eintrage in der Parameterdatei sind:
R=radius AngleStep Dateiname
Speichert den E-Feld Vektor an der Stelle des Maximums der simulierten
THz-Pulsform auf einem Kreis des Radius radius um den Nullpunkt in Winkelschritten von AngleStep Grad ab.
TIMEPLOT=Dateiname [EndTime]
Speichert den zeitlichen Verlauf des THz-Feldes am Emitter ab, der in den
101
Integranden des Beugungsintegrals eingeht, sowie seine Zeitableitung. Der
optionale Parameter EndTime gibt an, bis zu welchem Zeitpunkt in ps die
Funktion gespeichert werden soll.
SPATIALPLOT=Dateiname [yPos]
Speichert einen Schnitt in x-Richtung durch das raumliche Prol des THzFeldes am Emitter ab, d. h. den raumlichen Anteil des Integranden des
Beugungsintegrals. Der optionale Parameter yPos gibt an, an welcher Stelle
in y-Richtung der Schnitt erfolgen soll. Standardwert ist null.
SPATIALPLOT3D=Dateiname
Speichert das raumliche Prol des THz-Feldes am Emitter als Matrix ab.
A=x z Steps Dateiname
Fuhrt vektorielle Simulationen zum Zeitpunkt z/c fur x-Werte von -x..+x
und z-Werte von z-4.7 mm bis z+0,3 mm durch. Das Ergebnis ist eine raumliche Strahlungsfeldcharakteristik wie z. B. in Abb. 4.14 gezeigt. Die Ergebnisse fur die Ex- und Ez -Komponente werden in unterschiedlichen Dateien
als Matrizen abgespeichert, die z. B. in das Graphikprogramm ORIGIN
importiert werden konnen.
Dateiformate der Ausgabedateien
Skalare Simulation
1. Spalte: Zeit [ps] , 2. Spalte: reine Simulation, 3. Spalte: Simulation gefaltet mit endlicher Probepulsdauer, 4. Spalte: Simulation mit Integral uber
GVM, 5. Spalte: Anteil der gegenlaugen Propagation, 6. Spalte: Summe
aus 4. und 5. Spalte
Vektorielle Simulation
1. Spalte: Zeit [ps] , 2. und 3. Spalte: reine Simulation, Ex und Ez , 4.
und 5. Spalte Simulation, Ex und Ez gefaltet mit gesamter experimenteller
Auosung.
Timeplot
1. Spalte: Zeit [ps] , 2. Spalte: elektrisches THz-Feld am Emitter, 3. Spalte:
Zeitableitung der 2. Spalte.
Spatialplot
1. Spalte: x [mm] , 2. Spalte: elektrisches THz-Feld am Emitter
Raumliche Strahlungsfeldcharakteristik
Reine Matrix aus Ex bzw. Ez -Werten. Die Spalten sind unterschiedliche
Werte der x-Koordinate, die Zeilen der z-Koordinate. Die absoluten Groen
102
B. Das Simulationsprogramm
und Schrittweiten konnen der Steuerdatei oder den Kommentaren in der
Datei fur die Ex-Werte entnommen werden.
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
Bandstruktur verschiedener Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . .
Erzeugung von Photoladungstragern . . . . . . . . . . . . . . . .
Mikrometergroer Emitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groachiger Emitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gerichtete Strahlung von groachigen Emittern . . . . . . . . . .
Schema der elektro-optischen Detektion . . . . . . . . . . . . . . .
Brechungsindex von ZnTe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transmittierte Intensitat eines Phasenverzogerers zwischen gekreuzten Polarisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Detektionsaufbau mit abgeglichenen Dioden. . . . . . . . . . . . .
Aufbau des Lasersystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Titan-Saphir Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prinzipskizze des Stretchers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prinzipskizze des regenerativen Verstarkers . . . . . . . . . . . . .
Prinzipskizze des Kompressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
13
14
15
17
19
20
21
24
26
27
28
30
2.1 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Kirchhosches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Konstruktion der Greenschen Funktion aus zwei spiegelbildlichen
Punktquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
Phasen der Detektion bei der Reektionsgeometrie . . . . . . . .
Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematische Darstellung des Meprinzips . . . . . . . . . . . . .
Exp. THz-Puls mit Reexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exp. THz-Pulsform bei verschiedenen Hochspannungen . . . . . .
Experimenteller Vergleich der Einkoppelgeometrien . . . . . . . .
Charakterisierung des benutzten ZnTe-Kristalls . . . . . . . . . .
Messung der Gruppengeschwindigkeitsdierenz . . . . . . . . . . .
Pulsform und Spektrum eines THz-Pulses . . . . . . . . . . . . .
Spektrale Intensitat eines THz-Pulses im Vergleich zu der eines
Schwarzkorperstrahlers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
49
51
52
53
54
55
56
57
58
4.1 Abgestrahlte Felder am Emitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
103
104
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
A.1
Prol von Pump- und THz-Puls am Emitter . . . . . . . . . . . . 67
Integrand des Beugungsintegrals zu verschiedenen Zeiten . . . . . 68
Parameter der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
THz-Puls fur Felduberhohungen von Rand zu Mitte von 1:1 bis 10:1 . 72
Feldverlauf des Vorspannungsfeldes im Emitter . . . . . . . . . . . 72
THz-Pulsform fur Elektrodenabstande von 6 mm bis 16 mm . . . . 73
Produkt aus Pumpprol und Vorspannungsfeld. . . . . . . . . . . 73
THz-Puls fur 1=e-Breiten des Pumpprols von 6 mm bis 16 mm . . 74
Raumliche Verteilung des Photostroms. . . . . . . . . . . . . . . . 74
THz-Puls fur Zerfallskonstanten der Photoladungstrager von 600 fs
bis 400 ps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Zeitableitung des Photostroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Vergleich der Ergebnisse der vektoriellen und der skalaren Simulation. 77
Raumliche Verteilung der x-Komponente 36 ps nach Anregung. . . 78
Raumliche Verteilung der z-Komponente 36 ps nach Anregung. . . 78
Raumliche Verteilung der x-Komponente 333 ps nach Anregung. . 79
Raumliche Verteilung der z-Komponente 333 ps nach Anregung. . 79
Experimentelle Auosung bei Laser =200 fs . . . . . . . . . . . . . 81
Experimentelle Auosung (Fouriertransformierte) . . . . . . . . . 81
Aufbau zur Messung bei verschiedenen Propagationslangen . . . . 83
Exp. Pulsformen bei verschiedenen Propagationslangen . . . . . . 85
Exp. Frequenzspektren bei verschiedenen Propagationslangen . . . 85
Messung und Simulation bei verschiedenen Propagationslangen . . 86
Die Doppelpeakstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Aufbau zur Messung bei Positionen senkrecht zur Strahlrichtung . 89
THz-Pulsform fur verschiedene x-Positionen . . . . . . . . . . . . 90
Vektorsimulation fur verschiedene x-Positionen . . . . . . . . . . . 91
Justage des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
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Danksagung
An dieser Stelle sei allen herzlich gedankt, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben:
Herrn Prof. Dr. Hanspeter Helm fur die Vergabe dieser Diplomarbeit und seine
engagierte Bereitstellung der dafur benotigten Mittel.
Carsten Winnewisser und Peter Uhd Jepsen fur die sehr angenehme Zusammenarbeit, endlose Geduld bei der Beantwortung unzahliger Fragen sowie die groe
Hilfsbereitschaft bei der Justage des Lasers.
Michael Schall fur viele interessante Diskussionen und die Messungen des ZnTeKristalls in seinem Spektrometer.
Ullrich Muller fur seine groe Diskussionsbereitschaft, Markus Braun fur nie versiegende Tabakvorrate.
Allen Diplomanden, Doktoranden und Angestellten der Abteilung Helm fur die
angenehme und freundliche Atmosphare.
Den Mitgliedern der mechanischen Werkstatt fur die zuverlassige Ausfuhrung der
Auftrage.
Nicht zuletzt mochte ich meinen Eltern danken, die mir stets mit grozugiger
moralischer und nanzieller Unterstutzung zur Seite gestanden haben.
111
Ich versichere hiermit, da ich diese Arbeit eigenhandig verfat und keine als die
angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.
Freiburg i. Br., den 2. September 1998