3.Teil - TU Wien
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Zahlendarstellungen
Fahrplan
Konversion von ganzen Zahlen
Rechnen im binären System
Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen
Darstellung von negativen Zahlen
Ausblick und Zusammenfassung
Wolfgang Kastner, Institut für Rechnergestützte Automation, TU Wien
Zahlenkonvertierung
Quellsystem
Zielsystem
Zahl u, Basis b
Zahl U, Basis B
u=(um ... u1 u0.u-1u-2 ... u-n)b
U=(Uk ... U1 U0.U-1 U -2 ... U-l)B
wobei 0 ≤ ui < b
wobei 0 ≤ Ui < B
Rechnen im Zielsystem
oder
Rechnen im Quellsystem
Einleitung
Rechnen im Zielsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (um ... u1 u0)b.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (Un ... U1 U0)B!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffern ui in Zieldarstellung B
2a. Umwandeln von bi in Zieldarstellung B
3a. Berechnung
umbm+....u1b1+u0b0
oder (einfacher)
2b. Umwandeln von b in Zieldarstellung B
3b. Hornerschema
((...(umb+ um-1)b+...)b+u1)b+u0
Konversion von ganzen Zahlen
1
Rechnen im Zielsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (210)3.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl (
)10!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffern (2)3, (1)3, (0)3 in Zieldarstellung ( )10, ( )10, ( )10
2a. Umwandeln von (100)3, (10)3, (1)3 in Zieldarstellung ( )10, ( )10, ( )10
3a. Berechnung
2b. Umwandeln von (10)3 in Zieldarstellung ( )10
3b. Hornerschema
Konversion von ganzen Zahlen
Rechnen im Zielsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (1100100)2.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl (
)10!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffern (1)2, (0)2 in Zieldarstellung ( )10, ( )10
2a. Umwandeln von (1000000)2 ... (1)2 in Zieldarstellung (
)10 ...(
3a. Berechnung
2b. Umwandeln von (10)2 in Zieldarstellung (
3b. Hornerschema
)10
)10
Konversion von ganzen Zahlen
Rechnen im Quellsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (um ... u1 u0)b.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (Un ... U1 U0)B!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffer B in Quelldarstellung b
2. Berechnung
U0 = u mod B
U1= u / B mod B
U2= ë ëu / B / B mod B
...
wobei ë x größte ganze Zahl ≤ x
3. Abbruch bei
ë ... ë ëu / B / B ... / B = 0
Konversion von ganzen Zahlen
2
Rechnen im Quellsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (21)10.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (
)3!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffer (10)3 in Quelldarstellung (
2. Berechnung
)10
Konversion von ganzen Zahlen
Weitere Beispiele
(100)10 ⇔ (
)2 ⇔ (
)8 ⇔ (
)16
Aufgabe: Rechnen im Quellsystem (Basis 10)
Konversion von ganzen Zahlen
Rechnen im Zielsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (0.u-1u-2 ...u-m)b.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (0.U-1 U-2 ... U-n)B!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffern u-i in Zieldarstellung B
2a. Umwandeln von b-i in Zieldarstellung B
3a. Berechnung
u-1b-1+u-2b-2+...+u-mb-m
oder (einfacher)
2b. Umwandeln von b in Zieldarstellung B
3b. „Hornerschema“
((...(u-m / b +u1-m) / b + ... +u-2) / + u-1) / b
Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen
3
Rechnen im Zielsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (0.1001)2.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (0.
)10!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffern (1)2, (0)2 in Zieldarstellung ( )10, ( )10
2a. Umwandeln von 2-1 bis 2-4 in Zieldarstellung ( )10, ( )10, ( )10, (
3a. Berechnung
)10
oder (einfacher)
2b. Umwandeln von (10)2 in Zieldarstellung ( )10
3b. „Hornerschema“
Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen
Rechnen im Zielsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (0.1001)2.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (0.
)16!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffern (1)2, (0)2 in Zieldarstellung ( )16, ( )16
2a. Umwandeln von 2-1 bis 2-4 in Zieldarstellung ( )16, ( )16, ( )16, (
3a. Berechnung
)16
oder (einfacher)
2b. Umwandeln von (10)2 in Zieldarstellung ( )16
3b. „Hornerschema“
Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen
Rechnen im Quellsystem
Die Zahl u habe die Quelldarstellung (0.u-1u-2 ...u-m)b.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (0.U-1 U-2 ... U-n)B!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffer B in Quelldarstellung b
2. Berechnung
U-1 = ë u * B
U-2 = ë { u * B } * B
U-3 = ë { { u * B } * B }
...
wobei { x } = x - ë x , mit ë x größte ganze Zahl ≤ x
3. Abbruch bei { x } = 0
Falls keine endliche Entwicklung: Abbruch gemäß Vorgabe!
Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen
4
Rechnen im Quellsystem
Die Zahl u habe die Quell-Darstellung (0.5625)10.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (0.
)8!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffer (10)8 in Quelldarstellung (
2. Berechnung
)10
Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen
Rechnen im Quellsystem
Die Zahl u habe die Quell-Darstellung (0.1)10.
Gesucht Zieldarstellung der Zahl U (0.
)2!
Vorgangsweise:
1. Umwandeln der Ziffer (10)2 in Quelldarstellung (
2. Berechnung
)10
Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen
Vorzeichen und Betrag
VZ
Betrag
7
6
5
4
z
w
Darstellung
+0
0
0000 0000
+1
1
0000 0001
...
...
...
127
7
0111 1111
+2 -1
7
-0
2
-1
2 +1
7
3
2
1
0
Wie lautet die Darstellung der
Zahlen +27 und -27?
1000 0000
1000 0001
...
...
...
-127
2 -1
8
1111 1111
Darstellung negativer Zahlen
5
Einerkomplement
Betrag
7
6
5
4
z
w
Darstellung
+0
0
0000 0000
+1
1
0000 0001
...
...
...
+127
2 -1
7
0111 1111
7
-127
2
1000 0000
-126
2 +1
7
1000 0001
...
...
...
-1
2 -2
8
1111 0010
0
2 -1
8
1111 0011
3
2
1
0
Wie lautet die Darstellung der
Zahlen +27 und -27?
Darstellung negativer Zahlen
Zweierkomplement
7
6
5
4
z
w
Darstellung
+0
0
0000 0000
+1
1
0000 0001
...
...
...
+127
2 -1
7
0111 1111
7
-128
2
1000 0000
-127
2 +1
7
1000 0001
...
...
...
-2
2 -2
8
1111 1110
-1
2 -1
8
1111 1111
3
2
1
0
Wie lautet die Darstellung der
Zahlen +27 und -27?
Darstellung negativer Zahlen
Exzessdarstellung
EX
7
6
5
4
z
w
Darstellung
-128
0
0000 0000
-127
1
0000 0001
...
...
...
-1
2 -1
7
0111 1111
7
0
2
1000 0000
+1
2 +1
7
1000 0001
...
...
...
+126
2 -2
8
1111 1110
+127
2 -1
8
1111 1111
3
2
1
0
Wie lautet die Darstellung der
Zahlen +27 und -27?
Darstellung negativer Zahlen
6
