Übung 10 - Universität zu Köln

Institut für Theoretische Physik
Universität zu Köln
Prof. Dr. A. Rosch
Dr. J. Lux
TPII (Quantenmechanik) — Übungsblatt 10
Sommersemester 2016
http://www.thp.uni-koeln.de/~lux/QMSS16/
Abgabe:
Mittwoch, 29. Juni 2016
1. Berry Phase (8 Punkte)
λ) welcher von den Parametern λ = (λ1 , λ2 , . . . ) abhängt.
Betrachten Sie einen Hamiltonian Ĥ(λ
Die normierten Eigenzustände seien durchnummerierbar mit n = 0, 1, 2, . . . und für einen festen
λ), d.h. es gelte
Parametersatz λ gegeben durch |n; λ i mit Energien n (λ
λ) |n; λ i = n (λ
λ) |n; λ i .
Ĥ(λ
(1)
λ) < 1 (λ
λ) < 2 (λ
λ) < . . . gelte. Nun
Wir nehmen an, dass es keine Entartung gibt und dass 0 (λ
sei λ = λ (t) zeitabängig. Betrachten Sie die Schrödingergleichung
i~
d
λ(t)) |Ψ(t)i .
|Ψ(t)i = Ĥ(λ
dt
(2)
Zur Zeit t = 0 sei der Zustand gegeben durch den Grundzustand zum Parameter λ (t = 0), d.h.
λ(0)i.
|Ψ(0)i = |0; λ(0)i ≡ |λ
a) Nun nehmen wir an, dass die Zeitabängigkeit so langsam sei, dass die Wellenfunktiλ(t)i folgt, d.h. dass die Beimischung
on adiabatisch dem Grundzustand |0; λ (t)i ≡ |λ
von anderen Zuständen vernachlässigbar ist. Allerdings kann die Wellenfunktion einen
Phasenfaktor aufsammeln. Machen Sie daher den Ansatz
λ(t)i .
|Ψ(t)i = eiγ(t) eiΘ(t) |λ
(3)
Rt
λ(τ )). Ermitteln Sie aus der Schrödinmit der dynamischen Phase Θ(t) = − ~1 0 dτ 0 (λ
λ(t)| die Differenzialgergleichung (2) durch Einsetzen von (3) und Multiplikation mit hλ
gleichung für die Phase γ(t) und lösen Sie diese. Sie sollten finden, dass
Z
γ(t) = i
t
λ
dλ
λ(τ )|∇λ |λ
λ(τ )i .
· hλ
dτ
dτ
0
(4)
b) Zeigen Sie, dass die Phase γ(t) in Gleichung (4) nur vom Pfad im Parameterraum
abhängt, aber nicht von der Geschwindigkeit, mit welcher dieser durchlaufen wird. γ
heißt deshalb geometrische Phase, oder auch Berry Phase nach dem Autor einer entscheidenen Publikation Michael Berry. Schreiben Sie dazu γ(t) in der Form
Z
λ(t)
λ · A(λ
λ)
dλ
γ(t) =
(5)
λ(0)
mit dem Berry Zusammenhang (Berry connection)
λ) = i hλ
λ|∇λ |λ
λi
A(λ
1
(6)
Im folgenden betrachten wir den Fall einer zyklischen Zeitabhängigkeit mit Zyklus T , d.h. λ (0) =
λ (T ). Der geschlossene Weg im Parameterraum sei C, d.h. γ(t) kann geschrieben werden als das
Linienintegral
I
λ · A(λ
λ)
dλ
γ(t) =
(7)
C
λi hätten wir auch andere Grundzustände |λ
λi0 = eiφ(λλ) |λ
λi
c) Statt den Grundzuständen |λ
wählen können, welche sich durch eine Phase unterscheiden. Man spricht hier von einer
anderen ”Eichung” (warum?). Bestimmen sie das entsprechenden Berry Zusammenhang A0 . Zeigen Sie weiter, dass γ bis auf 2π eichinvariant ist, d.h. dass eiγ für einen
λ) abhängt.
geschlossenen Pfad nicht von der Wahl von φ(λ
d) Benutzen Sie den Satz von Stokes um γ(t) als Flächenintegral zu schreiben
Z X
γ(t) =
dλµ ∧ dλν Ωµν
(8)
S µ<ν
mit
Ωµν =
∂
∂
Aν −
Aµ .
∂λµ
∂λν
(9)
und ∂S = C, d.h. der Rand der Fläche S ist der geschlossene Weg C im Parameterraum. Ω heißt Berry Krümmung (Berry curvature). Zeigen Sie, dass Ω eichinvariant ist.
Entweder Sie verwenden ihr Wissen über Differentialformen und führen die Rechnung
in allgemeinen Dimensionen durch, oder Sie können die Rechnungen explizit in drei
Dimensionen und kartesischen Koordinaten durchführen, dann ist
X
F · B mit Bρ =
dλµ ∧ dλν Ωµν als dF
µ<ν
1X
µνρ Ωµν
2 µ,ν
(10)
F zu interpretieren.
und Flächennormale dF
e) Diskutieren Sie Analogien der oben auftauchenden Begriffe und Konzepte zur Elektrodynamik. Welche Entsprechungen haben Eichtransformation, A, Ω und B?
2. Qubit/Spin Berry Phase (5 Punkte)
Als Beispiel betrachten Sie den Hamilton Operator
~
Ĥ(φ(t)) = −µ B (φ(t)) · σ
mit

cos(φ)
~ = (σx , σy , σz )
B (φ) = B0  sin(φ)  und σ
0
(11)

wobei
σx =
0 1
1 0
, σy =
0 −i
1 0
, σz =
.
i 0
0 −1
(12)
(13)
Im Folgenden sollen Sie die Berry Phase für eine Drehung von φ um 2π bestimmen, z.B. mit
φ(t) = ωt in der Zeit T = 2π
ω .
2
a) Zeigen Sie zunächst, dass der Grundzustand für festes φ als
eiφn e−iφ
|φi = √
1
2
(14)
mit n ∈ Z gewählt werden kann.
b) Bestimmen Sie den Berry Zusammenhang A aus Gleichung (6).
c) Berechnen Sie die Berry Phase γ und den Phasenfakor eiγ .
3. Aharonov-Bohm Effekt (6 Punkte)
Betrachten Sie ein Teilchen mit Ladung q auf einem Ring mit festem Radius ρ und den Koordinaten r = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, 0)T . Der Hamilton Operator ist gegeben durch
Ĥ =
mit dem Vektorpotential A(r) =
Φ
2πρ eϕ ,
2
1 q
p̂ − A(r̂)
2m
c
(15)
wobei eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0)T .
a) Berechnen Sie das Magnetfeld B = ∇ × A für ρ > 0. Nutzen Sie hierfür ∇ = eρ ∂ρ +
eϕ ρ1 ∂ϕ + ez ∂z mit eρ = (cos ϕ, sin ϕ, 0)T und ez = (0, 0, 1)T . Zeigen Sie weiterhin, dass
R
der totale magnetische Fluss durch die x-y Ebene Φ ist, d.h. dxdy B = Φez .
b) Zeigen Sie, dass sich der Hamilton Operator (15) im Ortsraum vereinfacht zu
Ĥ =
~2 Φ 2
−
i∂
−
ϕ
2mρ2
Φ0
(16)
und bestimmen Sie das Flussquantum Φ0 . Berechnen Sie dessen Eigenfunktionen und
Eigenwerte (siehe Aufgabe 3 auf Blatt 3). Zeichnen Sie die niedrigsten Eigenenergien
als Funktion von Φ/Φ0 und bestimmen Sie jeweils den Grundzustand.
c) Bestimmen Sie den den Ladungsstrom je im Grundzustand ΨGS (ϕ) als Funktion von
Φ/Φ0 . Berechnen Sie dazu
q~
iq
∗
je =
Im ΨGS ∇ − A ΨGS .
(17)
m
~c
3