2 Diode

2
Diode
2.1 Formelsammlung
Diffusionsspannung
Φi =
NA ND
kT
ln
q
n2i
(2.1)
Überschussladungsträgerdichten an den Rändern der Raumladungszone
q
p′n (xn ) = pn0 exp
Upn − 1
bzw.
(2.2)
kT
q
n′p (−xp ) = np0 exp
Upn − 1
(2.3)
kT
Diodengleichung
q
Upn − 1
ID = IS exp
kT
Sättigungsstrom
Dp
Dn
+
L p ND
L n NA
Dn
Dp
+
IS = qAn2i
wn ND
wp NA
IS = qAn2i
(2.4)
(lange Abmessungen)
(2.5)
(kurze Abmessungen)
(2.6)
Weite der Raumladungszone (abrupter pn-Übergang)
2ε0 εr 1
1
w=
(Φi − Upn )
+
q
NA
ND
(2.7)
Ausdehnung der Raumladungszone in das n- bzw. p-Gebiet
NA
NA + ND
ND
xp = w
NA + ND
xn = w
H. Göbel, H. Siemund, Übungsaufgaben zur Halbleiter-Schaltungstechnik,
DOI 10.1007/978-3-642-53903-9_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
(2.8)
(2.9)
18
2 Diode
Sperrschichtkapazität
Cj =
Diffusionskapazität
Cd = τT
Diffusionsladung
Aε0 εr
w
(2.10)
q
q
IS exp
Upn
kT
kT
(2.11)
Qd = τT ID
(2.12)
Speicherzeit
IF
τT
IR
(2.13)
q
ID,A
kT
(2.14)
tS = −
Diodenleitwert
gD =
2.2 Verständnisfragen zur Diode
Aufgabenstellung
a. Erklären Sie den Begriff Diffusionsspannung. Beschreiben Sie am Beispiel
des abrupten pn-Übergangs die Vorgänge im Halbleiter, die zum Aufbau
der Diffusionsspannung führen.
b. Warum führt die Diffusionsspannung nicht zu einem Stromfluss, wenn die
beiden Anschlüsse einer Diode über einen metallenen Leiter miteinander
kurzgeschlossen werden?
c. An eine pn-Diode werde eine äußere Spannung Upn angelegt und der
Strom ID gemessen (Abb. 2.1). Beschreiben Sie die für den Stromfluss
relevanten physikalischen Effekte bei positiver bzw. negativer Spannung
Upn .
ID
p-Gebiet
n-Gebiet
Upn
Abb. 2.1. pn-Diode mit angelegter äußerer Spannung Upn
2.2 Verständnisfragen zur Diode
19
Lösung zu: a. Diffusionsspannung
Die Diffusionsspannung ist die Potenzialdifferenz, die als Folge der Ladungsträgerdiffusion zwischen unterschiedlich dotierten Gebieten eines Halbleiters
auftritt.
Im Falle eines pn-Übergangs entsteht wegen der unterschiedlichen Ladungsträgerkonzentrationen im p- und im n-Gebiet und den damit verbundenen Konzentrationsgradienten zunächst eine Diffusionsbewegung von Elektronen in Richtung des p-Gebietes und von Löchern in Richtung des n-Gebietes
(Abb. 2.2).
ü
ý
ü
ý
ü
ü
ü
ü
ý
neutrales n-Gebiet
Raumladungszone
neutrales p-Gebiet
Diffusion
Diffusion
Drift
Drift
r
qND
+
_
x
-qNA
E
x
F
Fi
-xp
0
xn
x
Abb. 2.2. pn-Übergang mit den sich einstellenden Verläufen der Raumladung ρ,
des elektrischen Feldes E und der Spannung Φ
Durch das Abwandern der Elektronen entsteht daher am linksseitigen
Rand des n-Gebietes ein Bereich, in dem die Ladung der ortsfesten, positiv ionisierten Donatoratome (in Abb. 2.2 nicht dargestellt) nicht mehr durch
Elektronen kompensiert wird, so dass der Halbleiter dort positiv geladen ist.
Entsprechendes gilt am rechtsseitigen Rand des p-Gebietes, wo durch das
Abwandern der Löcher wegen der ortsfesten, negativ ionisierten Akzeptoratome ein negativ geladener Bereich entsteht. Die Ladungsdichte ρ in diesem
als Raumladungszone bezeichneten Bereich (−xp < x < xn ) bestimmt sich
aus der jeweiligen Dichte der Dotieratome zu qND bzw. −qNA . Die Integration über die Raumladungsdichte ρ führt auf die elektrische Feldstärke E,
2.1.1
20
2 Diode
nochmalige Integration ergibt die über der Raumladungszone liegende Diffusionsspannung Φi .
Das elektrische Feld E führt nun zu einer Driftbewegung der Ladungsträger, die der beschriebenen Diffusionsbewegung entgegengesetzt ist. Dadurch stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein, der dadurch gekennzeichnet
ist, dass sich die Drift- und Diffusionsströme jeweils gegenseitig kompensieren.
S.m.i.L.E: 2.1 pn-Übergang
Lösung zu: b. Kurzgeschlossene Diode
2.1.2
In Abb. 2.3 ist eine Diode gezeigt, bei der das p- und das n-Gebiet über einen
metallenen Leiter miteinander kurzgeschlossen sind. Die Diffusionsspannung
Φi führt nicht zu einem Stromfluss, weil sich an den beiden Metall-HalbleiterÜbergängen, ähnlich wie beim pn-Übergang, so genannte Kontaktspannungen
ΦK aufbauen und die Summe aller Spannungen gleich null sein muss, d.h.
ΦK1 + ΦK2 − Φi = 0. Die Kontaktspannungen und die Diffusionsspannung
heben sich also gerade auf.
FK1
ID=0
FK2
Fi
p-Gebiet
n-Gebiet
Abb. 2.3. Diode mit kurzgeschlossenem p- und n-Gebiet. Die Kontaktspannungen
und die Diffusionsspannung heben sich gerade auf.
Lösung zu: c. Diode bei Anlegen einer äußeren Spannung
2.1.2
Das Anlegen einer äußeren Spannung an die Diode führt dazu, dass sich die
Spannung Φi über dem pn-Übergang ändert. Dabei kann davon ausgegangen
werden, dass die neutralen Bahngebiete und die Metall-Halbleiter-Kontakte
sehr niederohmig sind, so dass das Anlegen einer äußeren Spannung Upn eine
gleich große Änderung der Spannung über dem Übergang von Φi auf Φi − Upn
bewirkt. Wird also eine negative Spannung Upn an die Diode gelegt, erhöht
sich die effektive Spannung Φi − Upn über der Raumladungszone und damit
auch betragsmäßig das elektrische Feld. Es kommt daher zu einer verstärkten
Driftbewegung der Minoritätsträger durch die Raumladungszone, die jedoch
wegen der geringen Dichte der Minoritätsträger zu einem nur sehr geringen
Strom, dem so genannten Sperrstrom, führt. Die Diode wird in diesem Fall in
Sperrpolung betrieben.
2.2 Verständnisfragen zur Diode
21
Durch Anlegen einer positiven Spannung Upn an die Diode verringert sich
die effektive Spannung Φi − Upn über der Raumladungszone und damit betragsmäßig das elektrische Feld. Die Driftbewegung der Ladungsträger wird
damit schwächer und kann demnach die Diffusion der Majoritätsträger nicht
mehr kompensieren. Es gelangen also Elektronen durch die Raumladungszone
bis in das neutrale p-Gebiet und entsprechend Löcher ins neutrale n-Gebiet,
wo sie jeweils mit den dortigen Majoritätsträgern rekombinieren. Diese werden
aus den neutralen Gebieten nachgeliefert, was einem Stromfluss ID entspricht.
Je größer die Spannung Upn , um so mehr Ladungsträger diffundieren durch
den Übergang und um so größer wird gemäß (2.4) der Strom ID . Die Diode
wird in diesem Fall in Durchlasspolung betrieben.
Sehr anschaulich lässt sich das Verhalten der Diode bei Anlegen einer
äußeren Spannung auch anhand des Bänderdiagramms erklären. Nach Anwendung der im Lehrbuch, Abschn. 2.4.1 beschriebenen Konstruktionsregeln
erhält man das in Abb. 2.4 gezeigte Bänderdiagramm für Upn < 0 V (links)
bzw. Upn > 0 V (rechts). In der Abbildung sind zusätzlich die jeweiligen
W
Upn < 0V
W
WC
WF
-q Upn
Upn > 0V
WC
WF
-q Upn
WV
p-Gebiet
n-Gebiet
WV
x
p-Gebiet
n-Gebiet
x
Abb. 2.4. Bänderdiagramm der Diode für Upn < 0 V (links) und Upn > 0 V (rechts)
Majoritätsträger in den Gebieten eingezeichnet. Da die Ladungsträger stets
versuchen, den Zustand niedrigster Energie einzunehmen, streben Elektronen
im Bänderdiagramm nach unten und Löcher nach oben. Wird eine Spannung
Upn an die Diode gelegt, so wird das Ferminiveau WF im p-Gebiet gegenüber
dem Ferminiveau im n-Gebiet energiemäßig um −q Upn verschoben.
Ist Upn also negativ, liegt das Ferminiveau im p-Gebiet oberhalb des Ferminiveaus im n-Gebiet. Dadurch entsteht eine große Energiebarriere zwischen
den beiden Gebieten, so dass die Majoritätsträger nicht über den Übergang
gelangen können. Die Diode wird in Sperrpolung betrieben.
Ist Upn hingegen positiv, liegt das Ferminiveau im p-Gebiet unterhalb des
Ferminiveaus im n-Gebiet. Dadurch verringert sich die Höhe der Barriere, so
dass Elektronen ins p-Gebiet und Löcher ins n-Gebiet gelangen können; die
Diode wird also in Durchlasspolung betrieben.
S.m.i.L.E: 2.1 Diode u. 2.4 pn-Übergang
2.4
22
2 Diode
2.3 pn-Übergang
Aufgabenstellung
Gegeben sei eine Siliziumdiode mit abruptem pn-Übergang, bei der das pGebiet mit 1015 Boratomen und das n-Gebiet mit 1017 Arsenatomen pro Kubikzentimeter dotiert wurde. Die effektive Querschnittsfläche der Diode betrage 0, 1 mm2 , die Bahngebiete seien lang gegenüber der Diffusionslänge der
jeweiligen Minoritätsträger. Die Lebensdauer der Elektronen und der Löcher
betrage jeweils 30μs. Die Diode soll bei Raumtemperatur in drei verschiedenen Arbeitspunkten betrieben werden: In Sperrpolung (Upn = −10 V), ohne
Vorspannung (Upn = 0 V) sowie in Durchlasspolung mit eingeprägtem Strom
ID = 100 μA. Für jeden dieser Arbeitspunkte sind zu bestimmen:
a. Der Diodenstrom ID (bzw. die Spannung Upn bei gegebenem Strom),
b. die Diffusions- und die Sperrschichtkapazität,
c. die maximal in der Diode auftretende elektrische Feldstärke,
d. der Verlauf der Ladungsträgerdichten n und p über dem Ort (Skizze).
Hinweise: Zur Vereinfachung kann die Transitzeit τT durch die Lebensdauer der Elektronen bzw. der Löcher abgeschätzt werden, d.h. τT = τp =
τn = 30 μs. Weiterhin kann schwache Injektion vorausgesetzt und die Generation bzw. Rekombination von Ladungsträgern in der Raumladungszone
vernachlässigt werden. Ebenso kann der ohmsche Spannungsabfall über den
Kontakten und den neutralen Bahngebieten vernachlässigt werden (dies bedeutet, dass eine von außen an die Diode angelegte Spannung Upn zu einer
entsprechenden Änderung der Spannung über dem pn-Übergang führt).
Lösung zu a. Gleichstromverhalten
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
•
•
•
•
•
•
NA = 1015 cm−3 = 1021 m−3 ,
ND = 1017 cm−3 = 1023 m−3 ,
A = 0, 1 mm2 = 10−7 m2 ,
τT = τn = τp = 30 μs,
T = 300 K ⇒ kT /q = 26 mV.
Geometrie: lange Abmessungen (da die Bahngebiete der Diode lang gegenüber der Diffusionslänge der Minoritätsträger sind).
Die Berechnung des Diodenstromes ID bzw. der Diodenspannung Upn erfolgt
mittels der Diodengleichung (2.4)
2.2.1
2.3 pn-Übergang
ID
q
Upn − 1
= IS exp
kT
23
(2.15)
mit dem Sättigungsstrom IS , der für lange Abmessungen durch (2.5)
Dp
Dn
2
(2.16)
+
IS = qAni
L p ND
L n NA
gegeben ist. Wir bestimmen zunächst die Diffusionskoeffizienten Dn und Dp
mit Hilfe der Einstein-Beziehung (1.11) sowie den gegebenen Werten für die
Ladungsträgerbeweglichkeiten μn bzw. μp (vgl. Seite XVI) und erhalten
kT
μn = 26 mV × 0, 135 m2 V−1 s−1
q
= 3, 510 × 10−3 m2 s−1 ,
kT
μp = 26 mV × 0, 048 m2 V−1 s−1
Dp =
q
= 1, 248 × 10−3 m2 s−1 .
Dn =
(2.17)
Die Diffusionslängen Ln und Lp berechnen sich nach (1.12) mit τp = τn =
30 μs zu
Ln = Dn τn = 324, 5 μm ,
(2.18)
Lp = Dp τp = 193, 5 μm .
Damit ergibt sich ein Sättigungsstrom von
IS = 39, 2 fA .
(2.19)
Für Upn = −10 V erhalten wir mit Hilfe der Diodengleichung
ID ≈ −IS = −39, 2 fA .
(2.20)
ID = 0
(2.21)
Für Upn = 0 V ergibt sich
und für ID = 100 μA erhält man durch Umstellen der Diodengleichung
ID
100 μA
kT
ln 1 +
= 26 mV ln 1 +
Upn =
q
IS
39, 2 fA
= 0, 563 V .
(2.22)
Man erkennt, dass bei Upn ≤ 0 kein bzw. nur ein vernachlässigbar kleiner
Strom, der Sperrstrom, durch die Diode fließt (Sperrpolung). Beim Anlegen
einer positiven Spannung steigt der Strom dann exponentiell an und erreicht
ab etwa 0, 5 bis 0, 6 V bereits sehr große Werte (Durchlasspolung).
S.m.i.L.E: 2.2 Diodenkennlinie
24
2 Diode
Lösung zu b. Diffusions- und Sperrschichtkapazität
Die Sperrschichtkapazität hat ihre physikalische Ursache darin, dass sich bei
einer Änderung der Diodenspannung auch die Weite der Raumladungszone
und damit die Menge der dort vorhandenen Raumladung ändert. Da die Ladungsänderung an den Rändern der Raumladungszone erfolgt, ergibt sich bei
der Berechnung der Kapazität die gleiche Beziehung wie bei einem Plattenkondensator, wobei die Weite der Raumladungszone dem Plattenabstand entspricht. Es gilt somit (2.10)
Cj =
2.2.4
Aε0 εr
.
w
(2.23)
Da die Weite w der Raumladungszone nach (2.7)
2ε0 εr 1
1
(Φi − Upn )
w=
+
q
NA
ND
(2.24)
mit zunehmender Sperrspannung größer wird, nimmt die Sperrschichtkapazität entsprechend ab. Mit der Dielektrizitätszahl ǫr = 11, 9 für Silizium und
der Diffusionsspannung (2.1)
Φi =
NA ND
kT
1015 cm−3 × 1017 cm−3
ln
= 697 mV
=
26
mV
ln
q
n2i
(1, 5 × 1010 cm−3 )2
(2.25)
erhalten wir durch Einsetzen der Zahlenwerte in (2.24) bzw. (2.23) die Beziehungen
w(Upn ) = 1, 330 × 10−12 m2 V−1 (697 mV − Upn ) bzw.
(2.26)
Cj (Upn ) =
1, 054 × 10−17 Fm
.
w(Upn )
(2.27)
Die sich damit ergebenden Werte von w und Cj sind für die drei in der Aufgabenstellung angegebenen Arbeitspunkte in Tabelle 2.1 zusammengestellt.
Tabelle 2.1. Zusammenstellung der Ergebnisse von Aufgabenteil b. und c.
w
Cj
Cd
Emax
Upn = −10 V
3, 772 µm
2, 79 pF
0F
−5, 67 MVm−1
Upn = 0 V
0, 963 µm
10, 9 pF
0, 045 fF
−1, 45 MVm−1
Upn = 0, 563 V
0, 422 µm
25, 0 pF
115 nF
−0, 63 MVm−1
Die physikalische Ursache der Diffusionskapazität ist, dass sich bei einer
in Durchlassrichtung betriebenen Diode mit Änderung der Diodenspannung
2.3 pn-Übergang
25
auch die Menge der in den neutralen Gebieten gespeicherten Ladung ändert.
Diese wächst mit zunehmender Spannung und berechnet sich gemäß (2.11) zu
q
q
Cd = τT
IS exp
Upn .
(2.28)
kT
kT
Mit τT = 30 μs, kT /q = 26 mV und IS = 39, 2 fA erhalten wir die ebenfalls in Tabelle 2.1 angegebenen Werte für die Diffusionskapazität, abhängig
vom Arbeitspunkt. Es ist zu erkennen, dass sowohl Sperrschichtkapazität als
auch Diffusionskapazität mit steigender Diodenspannung Upn ansteigen. Im
Sperrbereich dominiert jedoch die Sperrschichtkapazität, im Durchlassbereich
hingegen überwiegt die Diffusionskapazität.
Lösung zu c. Maximale Feldstärke
Zur Veranschaulichung werden zunächst die ortsabhängigen Verläufe der
Raumladungsdichte ρ und der elektrischen Feldstärke E bei einem abrupten pn-Übergang mit ND > NA skizziert (Abb. 2.5). Die zugrunde liegenden
physikalischen Effekte sind im Lehrbuch, Abschn. 2.1 und 2.2 beschrieben.
Upn
Fi - Upn
-Q
r
qND
-xp
-xp
+Q
+
_
xn
-qNA
E
-xp
xn
0
0
x
xn
x
Emax
Abb. 2.5. Verlauf von Raumladungsdichte ρ und elektrischer Feldstärke E bei
einem abrupten pn-Übergang mit ND > NA
Wie in Abb. 2.5 zu sehen ist, ist die Raumladungsdichte in den neutralen Gebieten gleich null, da dort die Ladung der ionisierten Dotieratome durch die
2.1
2.2
26
2 Diode
freien Ladungsträger kompensiert wird. Innerhalb der Raumladungszone, wo
sich praktisch keine freien Ladungsträger befinden, ist die Raumladungsdichte
näherungsweise durch die Dichte der ionisierten Dotieratome gegeben, also
ρ = −qNA
für
− xp ≤ x < 0 ,
ρ = +qND
für
0 ≤ x ≤ xn .
(2.29)
Da aus Neutralitätsgründen die Ladung Q in dem n- und dem p-Gebiet betragsmäßig gleich groß ist, gilt
Q = qxn AND = qxp ANA .
(2.30)
ND xn = NA xp ,
(2.31)
Daraus folgt unmittelbar
d.h. die Raumladungszone dehnt sich um so weiter in das n- bzw. p-Gebiet
aus, je geringer die Dotierung dort ist. Die elektrische Feldstärke E erhalten
wir durch Integration der Raumladungsdichte ρ über dem Ort x, also
1
E(x) =
ρ dx.
(2.32)
ε0 εr
Der betragsmäßig größte Wert Emax der Feldstärke wird bei x = 0 erreicht.
Auswerten des Integrals führt damit auf
Emax
1
= E(0) =
ε0 εr
0
(−qNA ) d x = −
x=−xp
qNA
xp .
ε0 εr
(2.33)
Dabei beschreibt xp die Ausdehnung der Raumladungszone in das p-Gebiet.
Diese können wir gemäß (2.9) ausdrücken durch
xp = w
ND
NA + ND
(2.34)
und erhalten somit aus (2.33)
NA ND
q
w(Upn )
ε0 εr NA + ND
= −1.504 × 1012 Vm−2 w(Upn ) .
Emax (Upn ) = −
(2.35)
Die sich für die drei Arbeitspunkte ergebenden maximalen Feldstärken sind
in Tabelle 2.1 zusammengestellt. Es ist deutlich zu erkennen, dass mit zunehmender Sperrspannung über dem pn-Übergang sich auch die Weite der Raumladungszone und damit die Menge der in der Raumladungszone gespeicherten
Ladung vergrößert. Damit steigt schließlich auch die maximale Feldstärke betragsmäßig an.
S.m.i.L.E: 2.1 pn-Übergang u. 2.1 Raumladungszone