Photonen

Photonen
1. In dieser Aufgabe kannst du c = 3,00 · 108 ms für die Lichtgeschwindigkeit, h =
6,62 · 10−34 Js für das Planck’sche Wirkungsquantum und e = 1,60 · 10−19 C für die
Elementarladung verwenden.
(a) Gib 19,2 · 10−19 J in der Einheit 1 eV an.
(b) Gib 13,6 eV in der Einheit 1 J an.
(c) Welche Frequenz hat Licht der Wellenlänge 780 nm?
(d) Welche Wellenlänge hat Licht der Frequenz 4,20 · 1014 Hz?
(e) Welche Energie besitzt eine Lichtquant der Wellenlänge 635 nm (Ergebnis in
der Einheit 1 eV)?
(f) Welche Wellenlänge und welche Frequenz haben Lichtquanten der der Energie
8,20 eV?
Lösung: (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
12,0 eV
2,18 · 10−18 J
3,85 · 1014 Hz
714 nm
1,95 eV
λ = 151 nm; f = 2,0 · 1015 Hz
2. (a) Welche Energie hat ein Photon der Handystrahlung des D-Netzes mit der Frequenz f = 900 MHz?
(b) Welche Energie hat ein Photon von grünem Licht der Wellenlänge λ = 500 nm?
(c) Welche Wellenlänge hat eine elektromagnetische Welle, deren Photonen die
Energie 4,13 · 10−7 eV besitzen? Um welche Wellenart könnte es sich handeln?
(d) Welche Wellenlänge hat eine elektromagnetische Welle, deren Photonen die
Energie 4,13 keV? Um welche Strahlungsart handelt es sich?
1
= 5,96 · 10−25 J = 3,72 · 10−6 eV
s
6,626 · 10−34 Js · 3,00 · 108 ms
hc
(b) W = hf =
=
= 3,97 · 10−19 J = 2,48 eV
λ
5,00 · 10−7 m
6,626 · 10−34 Js · 3,00 · 108 ms
hc
c
(c) λ =
=
= 3,00 m, f = = 100 MHz (UKW)
−26
W
6,62 · 10
J
λ
m
−34
8
6,626 · 10
Js · 3,00 · 10 s
hc
=
= 3,00 · 10−10 m (Röntgenstrahlung)
(d) λ =
W
6,62 · 10−16 J
Lösung: (a) W = hf = 6,626 · 10−34 Js · 9 · 108
3. UV-Strahlung der Wellenlänge λ = 200 nm trifft auf ein Aluminiumblech. Dabei
werden Elektronen mit der maximalen kinetischen Energie Wkin = 2,00 eV aus dem
Metall geschlagen. Welche Energie (Austrittsarbeit A) ist erforderlich, um Elektronen von Aluminium abzulösen? Welche maximale Geschwindigkeit haben die aus
dem Blech austretenden Elektronen?
1
Lösung: Energie des Photons:
6,626 · 10−34 Js · 3,00 · 108 ms
hc
=
= 9,93 · 10−19 J = 6,20 eV
Wγ = hf =
λ
2,00 · 10−7 m
A = Wγ − Wkin = 4,20 eV
r
me 2
m
2Wkin
−19
v = Wkin = 3,20 · 10
J =⇒ v =
= 5,93 · 105
2
me
s
4. Nimm zu folgenden Aussagen kritisch Stellung. Im Fall (b) sollte eine kleine Rechnung nicht fehlen!
(a) Licht der Frequenz f besteht aus Quanten der Energie hf .
(b) Das Vakuum ist absolut leer.
Lösung: (a) Licht der Frequenz f besteht nicht aus Quanten der Energie hf , sondern bei der
Wechselwirkung mit einem quantenmechanischen System kann nur ein ganzzahliges
Vielfaches von hf ausgetauscht werden.
(b) Das Vakuum ist voll von virtuellen Teilchen, die immer paarweise (Teilchen und
Antiteilchen) aus dem Nichts entstehen. Die Lebensdauer der virtuellen Teilchen ist
nach Heisenberg ∆t ≈ 2 mh0 c2 .
5. Im System S (Laborsystem) trifft ein Photon mit
der Energie Wγ = 9999 We0 auf ein ruhendes Elektron (Ruhenergie We0 ). Das unter dem Winkel
ϕ = 90◦ gestreute Photon hat die Energie Wγ′
und den Impulsbetrag p′γ . Nach der Wechselwirkung bezeichnen wir die Größen des Elektrons mit
Wek (kinetische Energie), We (Gesamtenergie), ~pe
(Impuls) und ve (Geschwindigkeitsbetrag).
Laborsystem S
Wγ
ε
f1
Wγ′
(a) Berechne Wγ′ , Wek und We , jeweils als Vielfaches von We0 und in MeV.
(b) Berechne den Winkel ε, den die Flugrichtung des Rückstoßelektrons mit der
ve
Richtung des einfallenden Gammaquants einschließt. Berechne auch βe = .
c
Wir befassen uns jetzt mit der ErzeuSchwerpunktsystem S’
Laborsystem S
+
gung des einfallenden Photons: Ein An−
−
′
p p
p+
p
−v
v′
v
−
tiproton p aus einem Beschleuniger trifft
im Laborsystem S mit der Geschwindigf2′
f1′
f1
f2
keit v = βc und der Gesamtenergie W auf
ein ruhendes Proton p+ . Dabei entstehen
zwei Gammaquanten mit den Frequenzen f1 und f2 , die sich parallel zur Einfallsrichtung des Antiprotons ausbreiten. Da das Proton in S ruht, ist die Relativgeschwindigkeit von S’ zu S durch vS’S = v ′ gegeben.
2
(c) Zeige, dass in S’ f1′ = f2′ gilt. Mit f0 bezeichnen wir die Frequenz eines
der beiden Photonen, die bei der Zerstrahlung von einem ruhenden ProtonAntiproton-Paares erzeugt werden. Berechne f0 und beweise dann:
f0
1 − β′
f1 =
(d) Berechne β ′ und dann β mit Hilfe des Additionstheorems für Geschwindigkeiten. Welche Beschleunigungsspannung hat das Antiproton durchlaufen?
Lösung: (a) λ′ = λ + λC (1 − cos ϕ) = λ + λC =
hc
hc
10 000 hc
10 000 hc
+
=
·
=
Wγ
We0
9999 We0
Wγ
Wγ
hc
= 0,9999 We0 = 0,5109 MeV
=
λ′
10 000
= Wγ − Wγ′ = 9998 We0 = 5109 MeV
Wγ′ =
Wek
We = Wek + We0 = 9999 We0 = 5109,5 MeV
(b) p~e = p~γ −
tan ε =
p′γ
~
=
pγ
p′γ
Wγ′
= 10−4
Wγ
We0
1
=
c
Wγ
Wγ′
ε = 10−4 = 0,00573◦
=⇒
s
We0
We
2
p
1 − 10−8 = 1 − 5 · 10−9
1 − βe2
(c) In S’ ist der Gesamtimpuls null, d.h. die beiden Photonen haben den gleichen Impulsbetrag und damit die gleiche Energie und Frequenz.
We = p
=⇒
2hf0 = 2mp c2
=⇒
βe =
f0 =
1−
=
mp c2
1
= 2.269 · 1023
h
s
Dopplerformel:
(d) β ′ = 1 −
f1 = f1′
s
= f0
s
mp c2
1 + β′
p
=
1 − β′
h 1 − β ′2
s
1 + β′
= f0
1 − β′
s
1 + β′
=
(1 − β ′ )(1 − β ′2 )
f0
1 + β′
=
′
2
′
(1 − β ) (1 + β )
1 − β′
f0
mp c2
mp
=1−
=1−
= 0,8164
f1
Wγ
9999 me
v = v′ ⊕ v′ =
2v ′
′ ′ ,
1 + vc2v
β=
2β ′
= 0,9798,
1 + β ′2
Wk,p− = (γ − 1)mp c2 = 6,007 · 10−10 J = 3749 MeV
3
γ=p
=⇒
1
1 − β2
= 4,996
U = 3,749 GV
6. Ein energiereiches Gammaquant der
Energie Wγ = 2,815 GeV trifft auf
ein ruhendes Teilchen der Masse m
und der Ruhenergie W0 . Der Impuls
des gestreuten Quants bildet mit der
Richtung des einfallenden Photons den
Winkel ϕ = 53,130◦ , das Rückstoßteilchen fliegt unter dem Winkel ε = ϕ2 davon (siehe Abb.).
p′γ
m
ϕ
ε
pγ
p
m
nachher
vorher
(a) Zeichne eine Vektorkette aller beteiligten Impulse und drücke mit Hilfe des
Sinussatzes p′γ durch pγ und die Winkel aus. Berechne dann die Energie Wγ′
des gestreuten Quants.
(b) Leite aus der Comptonformel für die Wellenlängendifferenz eine Beziehung zwischen Wγ , Wγ′ , W0 und ϕ her. Berechne dann W0 . Um welches Teilchen handelt
es sich also bei dem Rückstoßteilchen?
(c) Der Ort der Wechselwirkung ist im Zentrum einer großen Detektorkammer.
Das Rückstoßteilchen und das gestreute Quant legen beide die gleiche Strecke
a = 5,00 m bis zum jeweiligen Detektor zurück. Um welche Zeit ∆t wird das
Teilchen später registriert als das Photon?
pγ
Lösung: (a) Mit ψ = 180◦ − ϕ − ε = 100,305◦ folgt
p′γ
pγ
=
sin ε
sin ψ
=⇒
p′γ
ϕ
sin ε
= pγ ·
sin ψ
p′γ
sin ε
= 1279,54 MeV
sin ψ
hc
hc
h
hc
(b) ∆λ = λ′ − λ = ′ −
=
(1 − cos ϕ) =
(1 − cos ϕ)
Wγ
Wγ
mc
W0
1
1
1 − cos ϕ
1 − cos ϕ
−
=
=⇒ W0 = 1
1 = 938,3 MeV
′
Wγ
Wγ
W0
W ′ − Wγ
ε
p
ψ
Wγ′ = p′γ c = Wγ ·
=⇒
Proton
γ
(c) Kinetische Energie des Protons: Wk = Wγ − Wγ′ = (γ − 1)W0
r
Wγ − Wγ′
1
1
γ=p
= 2,636 =⇒ β = 1 − 2 = 0,925
=1+
2
W
γ
0
1−β
a
a
−9
∆t =
− = 1,35 · 10 s = 1,35 ns
βc c
7. Ein Positron prallt mit der Gesamtenergie W = γW0 (v = 0,600c) auf ein ruhendes
Elektron (Ruhenergie W0 ). Die beiden Teilchen zerstrahlen in zwei Photonen mit
den Frequenzen f bzw. f ∗ . Das Photon mit der Frequenz f fliegt in die gleiche
Richtung wie das einfallende Positron und trifft auf ein ruhendes Elektron. Das
Elektron fliegt mit dem Impuls ~pe davon und es entsteht ein gestreutes Quant mit
der Energie Wγ′ = hf ′ senkrecht zur Richtung des einfallenden Photons (siehe Abb.).
4
p
~e
v
e−
Wγ∗ = hf ∗
Wγ = hf
v=0
W
v=0
λ∗
λ
e−
e+
ganz vorher
λ′
f′
vorher
ε
nachher
(a) Beweise für die Energie des einen Photons:
Wγ =
p
W0
(1 + γ + γ 2 − 1)
2
und berechne dann den Zahlenwert von α in Wγ = αW0 . Wie groß ist Wγ∗ ?
(b) Schreibe die Energien Wγ , Wγ′ , die kinetische Energie Wek und die die Gesamtenergie We des Elektrons alle als Vielfache von W0 . Drücke ebenso die Impulse
pγ , p′γ und pe durch me c aus. Unter welchem Winkel ε (siehe Abb.) fliegt das
Elektron davon?
Lösung: (a) Mit dem Impuls p des Positrons gilt
p2 c2 = W 2 − W02 = (γ 2 − 1)W02
=⇒
p=
W0 p 2
γ −1
c
W0
W0 (1 + γ) = hf + hf ∗
=⇒
(1 + γ) = f + f ∗ (1)
h
hf
W0 p 2
hf ∗
W0 p 2
γ −1 =
γ − 1 = f − f ∗ (2)
Impulssatz:
−
=⇒
c
c
c
h
p
p
W0 W0 (1)+(2) :
1 + γ + γ 2 − 1 = 2f =⇒ Wγ = hf =
1 + γ + γ2 − 1
h
2
r
3
p
1
1
2−1 =
1,25
1
+
1,25
+
= 1,5
=
1,25
=⇒
α
=
γ=
1 − 0,62
2
2
Energiesatz:
Wγ∗ = W + W0 − Wγ = (γ + 1 − α)W0 = 0,75W0
(b) Wγ = 32 W0 . Mit ϕ = 90◦ ist 1 − cos ϕ = 1 und damit
λ′ = λ + λ C
Wek =
=⇒
Wγ − Wγ′
Wγ′ =
=
hc
hc
=
=
′
λ
λ + λC
3 3
−
2 5
W0 =
9
W0 ,
10
Wγ′
3
3
Wγ
= me c, p′γ =
= me c,
pγ =
c
2
c
5
1,62 me c
p′γ
2
tan ε =
=⇒ ε = 21,8◦
=
pγ
5
5
hc
Wγ
pe =
hc
=
+ mhc
2
ec
2
3W0
1
+
1
W0
We = W0 + Wek =
q
p2γ + p′2
γ =
3
= W0
5
19
W0
10
pγ
p′γ
ε
pe
8. (a) Im LHC werden Protonen der GesamS
S′
W
W′
W′
tenergie W ′ = 7,0 TeV aufeinander
p
−p′
p′
′
geschossen (System S , Schwerpunktsystem). Wie viele Proton-Antiproton-Paare
können beim Stoß von zwei Protonen maximal erzeugt werden?
(b) Welche Gesamtenergie W müsste ein Proton haben, das auf ein ruhendes Proton geschossen die gleiche Schwerpunktsenergie W ′ hätte wie im LHC? Verwende die Energie-Impulsrelation für einzelne Teilchen und folgenden Satz:
Sind S und S′ zwei Inertialsysteme, dann gilt für die Gesamtenergie Wges und den Gesamtimpuls pges aller Teilchen
2
2
′ 2
Wges
− p2ges c2 = Wges
− p′ges c2
(Energie-Impuls-Invariante).
Drücke W zunächst allgemein durch W ′ und W0 = mp c2 aus.
(c) Beweise, dass bei der Zerstrahlung eines Teilchens mit seinem Antiteilchen
mindestens zwei Photonen entstehen.
Berechne die Wellenlänge λ der beiden Photonen, die beim Stoß eines Protons mit der Geschwindigkeit v1 = 0,8c und eines Antiprotons (v2 = −0,8c)
entstehen.
2(W ′ − W0 )
W′
=
− 1 = 7459
2W0
W0
′ = 2W ′ und p′
(b) Wges = W + W0 , pges = p, Wges
ges = 0
Lösung: (a) n =
=⇒
(W + W0 )2 − p2 c2 = (2W ′ )2
W 2 − p2 c2 +2W W0 + W02 = 4W ′2
| {z }
W02
2W W0 + 2W02 = 4W ′2
W W0 + W02 = 2W ′2
2W ′2
2W ′2 − W02
=
− W0
W0
W0
W = 1,0 · 1017 eV = 0,017 J
W =
(c) Im Schwerpunktsystem der beiden Teilchen ist der Gesamtimpuls vor der Kollision
null, d.h. der Gesamtimpuls der Photonen muss auch null sein. Da die Energie der
Photonen nicht null ist, ist auch der Impuls eines Photons nicht null und nur mehrere
Photonen können den Gesamtimpuls null haben.
Wegen v2 = −v1 ist pges = 0, d.h. die beiden Photonen haben den gleichen Impulsbetrag und damit auch die gleiche Energie Wγ :
2Wγ = 2W = 2γW0 =
λ=
2hc
2W0
= 2hf =
0,6
λ
0,6hc
0,6hc
0,6h
hc
=
= 7,9 · 10−16 m
=
=
W
W0
mp c2
mp c
6
7