1 Debye-Abschirmung

1
Debye-Abschirmung
Bringt man eine zusätzliche Testladung in ein Plasma ein, so wird deren elektrisches
Feld durch die Ladungen des Plasmas mit entgegengesetztem Vorzeichen abgeschirmt.
Die charakteristische Länge, über die die Abschirmung erfolgt, wird als Debye-Länge
λD bezeichnet. Typischerweise treten Raumladungen nur über Längen von der Größenordnung der Debye-Länge auf. In einem idealen Plasma ist die potentielle Energie qEλD
des elektrischen Feldes E kleiner als die Temperatur T . Das maximale elektrische Feld
ist also von der Größenordung E = T /(qλD ).
1.1
Grundlagen
Poisson-Gleichung: Testladung q und Ladungen qi mit Ladungsdichten ni
X
∆Φ = −4πqδ(x) − 4π
qi ni (x)
i
Gleichgewichtsverteilung: Boltzmannverteilung im Potential Φ
ni (x) = ni (∞) e−qi Φ(x)/T
Neutralitätsbedingung: Im Plasmavolumen, außerhalb der Debye-Kugel
X
qi ni (∞) = 0,
Φ(∞) = 0
i
Entwicklung für qΦ/T << 1:
ni (x) ≈ ni (∞)(1 −
∆Φ =
qi Φ
)
T
X q 2 ni (∞)
1 2
i
∂r rΦ = − 4πqδ(x) + 4π
Φ
r
T
i
Debye-Potential und Debye-Länge
q
r
Φ = exp (−r/λD ),
λD =
1
q
4π
P T2
i qi ni (∞)
1.2
Aufgabe
Die Ionen eines Plasmas seinen als eine homogen geladene Schicht der Dicke 2R bzw.
als ein homogen geladener Zylinder mit Durchmesser 2R vorgegeben. Bestimmen Sie
die Gleichgewichtsdichte der Elektronen und das elektrische Feld für verschiedene Temperaturen. Wie ändert sich die Lösung als Funktion von R/λD ?
Dies ist ein vereinfachtes Modell für ein Mikroplasma, das entsteht, wenn man z.B.
eine dünne Folie mit einem intensiven Femtosekunden-Laserpuls aufheizt. Innerhalb
der kurzen Zeitspanne können die Ionen wegen ihrer großen Trägheit als ruhend betrachtet werden, während die Elektronen in einen neuen Gleichgewichtszustand bei der
Temperatur T übergehen.
1.3
Randwertproblem
Die Teilchendichten der Ionen und Elektronen besitzten die Form,
ni = ni0 Θ(R − r),
ne = ne0 exp(−qe Φ/T ).
Hierbei sei ni0 die konstante Dichte einer Z-fach geladenen Ionensorte und ne0 die
Elektronendichte am Nullpunkt des Potentials. Ohne Einschränkung werde der Potentialnullpunkt im Ursprung gewählt, d.h.
Φ(0) = 0,
ne (0) = ne0 .
Für eine radialsymmetrische Lösung lautet der Laplaceoperator
∆Φ =
∂ 2 Φ n ∂Φ
1 ∂ n∂
r
Φ
=
+
,
rn ∂r ∂r
∂r2
r ∂r
wobei n = 0 für die ebene und n = 1 für die zylindrische Geometrie gesetzt wird. Die
Poisson-Gleichung ergibt,
∂ 2 Φ n ∂Φ
+
= −4πqe ne0 e−qe Φ/T − Zni0 Θ(R − r) .
2
∂r
r ∂r
Es werden nun die folgenden dimensionslosen Größen gewählt:
y=
qe Φ
,
T
x=
r
,
λD
wobei
q=
s
λD =
ne0
,
Zni0
p=
R
λD
T
4πqe2 Zni0
die Debye-Länge der Elektronen bezeichnet. Die Funktion y = y(x) genügt der Differentialgleichung
n
y 00 + y 0 + qe−y = Θ(p − x).
x
2
Die Lösung muß die Randbedingungen
y 0 (0) = y 0 (∞) = 0
für das elektrische Feld erfüllen. Am Ursprung verschwindet das elektrische Feld, da
dort keine Ladungssingularität vorhanden ist. In unendlich großem Abstand muß das
Feld ebenfalls verschwinden, da das Plasma insgesamt neutral sein soll. Die Differentialgleichung ist äquivalent zu einem Differentialgleichungssystem
y10 = y2 ,
y20 = − nx y2 − qe−y1 + Θ(p − x)
(1)
Lösen Sie dieses Differentialgleichungssystem numerisch mit dem Runge-Kutta Verfahren ausgehend von der Anfangsbedingung
x = 0,
y1 = 0,
y2 = 0.
Variieren Sie dann den Parameter q solange, bis die numerische Lösung auch die Randbedingung y2 → 0 für x → ∞ erfüllt. Stellen Sie die Lösung grapisch dar und variieren
Sie den verbleibenden Parameter p.
1.4
Runge-Kutta Verfahren
Gegeben sei ein Anfangswertproblem für ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.Ordnung,
dy
= f (x, y),
dx
y(x0 ) = y0
Die Funktion y(x) und das Richtungsfeld f (x, y) sind jeweils Vektoren mit n Komponenten. Zur numerischen Lösung werden schrittweise kleine Intervalle der Länge h
betrachtet. Die Lösung y n+1 an der Stelle xn + h erhält man mit dem Anfangswert y n
an der Stelle xn :
xZn +h
n+1
n
y
=y +
dx f (x, y).
xn
Für das Integral gibt es verschiedene näherungsweise Summenformeln. Die einfachste
Eulersche Methode besteht in der Approximation
y n+1 = y n + hf (xn , yn ).
Sie ist weder sehr genau noch numerisch stabil und wird daher nicht empfohlen. Eine
für die meisten Zwecke ausreichend gute Approximation erhält man durch die Runge-
3
Kutta-Methode 4. Ordnung,
k1 k2 k3 k4
+
+
+
+ O(h5 ),
6
3
3
6
hf (xn , yn )
h
k1
hf (xn + , yn + )
2
2
k2
h
hf (xn + , yn + )
2
2
hf (xn + h, yn + k3 )
y n+1 = y n +
k1 =
k2 =
k3 =
k4 =
1.5
Programmierungshinweise
Schreiben Sie zuerst ein Runge-Kutta Programm und testen Sie es mit der Schwingungsgleichung für einen harmonischen Oszillator.
Vektoren können wie folgt programmiert werden:
Definition eines Vektors mit einer festen Zahl von Elementen y[0], y[1], y[2]:
double y[3];
y[1]= ...;
Definition eines Vektors mit einer variablen Zahl von Elementen y[0], · · · , y[n]:
int n;
double *y;
y=new double[n+1];
y[1]= ...;
4
2.0
2.0
a) R=10λD
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0
10
20
30
40
50
2.0
0.0
0
10
20
30
40
50
2.0
c) R=3λD
1.5
1.0
0.5
0.5
0
10
20
d) R=λD
1.5
1.0
0.0
b) R=5λD
1.5
30
40
50
0.0
ne/ne0
eEλD/T
eEiλD/T
0
r/λD
10
20
30
40
50
r/λD
Abbildung 1: Elektronendichte und elektrisches Feld einer zylindrischen Säule für verschiedene Werte von R/λD . Für große Radien ist das Feld auf eine Oberflächenschicht
beschränkt. Das Innere der Säule ist nahezu neutral. Das maximale Feld ist etwa
T /(eλD ). Für kleine Radien sinkt die Elektronendichte im Innern stark ab. Unterhalb von R = 2λD ist kein Gleichgewicht mehr möglich, d.h. die Elektronen verteilen
sich im gesamten Raum. Zum Vergleich wird auch das von den Ionen alleine erzeugte
elektrische Feld Ei gezeigt.
5