Physik II Serie 23

Physik II
Serie 23
HS 08
Prof. R. Hahnloser
Abgabetermin: 2.Dezember 2008
Aufgabe 23.1
Ein Neutron (mn = 1.68·10−27 kg) befinde sich im thermischen Gleichgewicht mit flüssigem
Helium (T = 4K). Wie gross ist seine mittlere kinetische Energie (in J und eV), seine
mittlere Geschwindigkeit und seine de Broglie-Wellenlänge?
Aufgabe 23.2
Betrachten Sie einen mit Helium gefüllten Ballon bei Zimmertemperatur und Atmosphärendruck. Berechnen Sie
(a) die mittlere de Broglie-Wellenlänge der Heliumatome und
(b) den mittleren Abstand zwischen den Atomen unter diesen Bedingungen. Die mittlere
kinetische Energie eines Atoms ist gleich (3/2)kT, wobei k die Boltzmann-Konstante ist.
(c) Können die Atome unter diesen Bedingungen wie Teilchen behandelt werden?
Aufgabe 23.3
(a) Die Unsicherheit im Ort eines Elektrons betrage 50 pm, was ungefähr dem Radius eines
Wasserstoffatoms entspricht. Wie gross ist die minimale Unsicherheit einer gleichzeitigen
Messung des Elektronenimpulses?
(b) Stellen Sie sich vor, Sie spielen Fussball in einem anderen Universum, in dem das
Planck’sche Wirkungsquantum den Wert 0.60 Js hat. Welche Unsicherheit hätte der Ort
eines 0.50 kg schweren Fussballs, der sich mit 20 m/s entlang einer Achse bewegt und bei
dem die Unsicherheit in der Geschwindigkeit 1.0 m/s beträgt?
Aufgabe 23.4
2
In der klassischen Mechanik ist die Bewegungsgleichung eines Federpendels m ddt2x = −Dx
wobei D die Federkonstante ist. Als Lösungpergibt sich eine harmonische Schwingung
mit der Amplitude A und der Frequenz ω = D/m. Nun wollen wir den harmonischen
Oszillator quantenmechanisch behandeln.
(a) Wie lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Federpendel?
(b) Zeigen Sie, dass z1 (x) = exp(−ax2 ) eine Lösung der Schrödingergleichung ist und
bestimmen Sie a und den Energie-Eigenwert E1 . (Anmerkung: z1 (x) und E1 entsprechen
dem quantenmechanischen Grundzustand des harmonischen Oszillators)
(c) Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit beträgt kψ(x)k2 = Cz12 (x).
x2
Wie gross ist σz1 , wenn wir z12 (x) = exp(− 2σ
2 ) als Gausssche Glockenkurve betrachten?
z
(d) Bestimmen sie C.
Aufgabe 23.5
Ein Proton und ein Deuteron (ein Deuteron hat dieselbe Ladung wie ein Proton, aber die
doppelte Masse) treffen auf eine 10 fm dicke und 10 MeV hohe Potenzialschwelle. Jedes
der Teilchen habe vor dem Auftreffen auf die Barriere eine kinetische Energie von 3.0
MeV.
(a) Wie gross sind die Transmissionskoeffizienten für die Teilchen?
(b) Wie gross sind ihre jeweiligen kinetischen Energien, nachdem sie durch die Potenzialschwelle getunnelt sind (vorausgesetzt, das war der Fall)?
(c) Wie gross sind ihre jeweiligen kinetischen Energien, falls sie von der Potenzialschwelle
reflektiert wurden?
(d) Ein 1500kg schweres Auto bewege sich mit 20 m/s auf einen 24m hohen und 30m
langen Hügel zu. Weder das Auto noch der Hügel können aufgrund ihrer Grösse als Materiewelle beschrieben werden. Berechnen Sie trotzdem den Transmissionskoeffizienten
für das Auto nach Gl. 39-21, als ob es wie eine Materiewelle durch den Hügel hindurchtunneln könnte. Behandeln Sie den Hügel als eine Potenzialschwelle für das Auto, dessen
potenzielle Energie sich auf die Schwerkraft bezieht.
Aufgabe 23.6
Die höchste erreichbare Auflösung eines Mikroskops wird lediglich durch die verwendete
Wellenlänge eingeschränkt: Die Ausdehnung der kleinsten noch erkennbaren Struktur
entspricht ungefähr dieser Wellenlänge. Angenommen, man möchte gerne in das Innere eines Atoms sehen. Für einen Atomdurchmesser von 100 pm müsste man also eine
Auflösung von rund 10 pm haben.
(a) Welche minimale Energie müsste ein Elektron in einem Elektronenmikroskop haben?
(b) Welche minimale Energie müsste ein Photon in einem Lichtmikroskop haben?
(c) Welches Mikroskop erscheint Ihnen praktikabler? Weshalb?