Aufgaben02 - LMU München

T2 Quantenmechanik
Lösungen 2
LMU München, WS 16/17
Prof. D. Lüst / Dr. A. Schmidt-May
version: 24. 10.
2.1. Lichtelektrischer Effekt
Ultraviolettes Licht der Wellenlänge λ1 falle auf eine Metalloberfläche, welche daraufhin Elektronen emittiert. Die kinetische Energie dieser Elektronen sei 2 eV. Anschließend
werde der Versuch wiederholt mit einer neuen Wellenlänge λ2 = 3λ4 1 . Diesmal haben die
ausgelösten Elektronen eine kinetische Energie von 3.47 eV.
a) Bestimmen Sie die den Wert der Wellenlänge λ1 in nm.
Lösung: Da die Austrittsarbeit der Elektronen konstant ist, gilt
W = hν1 − Ekin,1 = hν2 − Ekin,2
Mit νi =
c
λi
(2.S1)
folgt also
⇒
hc
hc
− Ekin,1 =
− Ekin,2
λ1
λ2
hc
4hc
− Ekin,1 =
− Ekin,2
λ1
3λ1
(2.S2)
(2.S3)
Auflösen nach λ1 ergibt mit hc ' 1240 nm·eV
λ1 =
hc
hc
=
' 281 nm
3(Ekin,2 − Ekin,1 )
3 · 1.47 eV
(2.S4)
(Damit ist λ2 ' 211 nm.)
b) Bestimmen Sie die Austrittsarbeit der Elektronen.
Lösung:
W = hν1 − Ekin,1 =
hc
1240 nm · eV
− 2 eV ' 2.41 eV
− Ekin,1 '
λ1
281 nm
(2.S5)
c) Was geschieht, wenn die Frequenz des einfallenden Lichtes stattdessen λ3 = 600 nm
beträgt? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung: Diese Wellenlänge entspricht einer Energie des Photons von E3 = λhc3 ' 2.07 eV. Da diese Energie
geringer als die Austrittsarbeit W ist, werden keine Elektronen aus dem Metall ausgelöst.
d) Bestimmen Sie die kinetische Energie der Elektronen für λ4 = 400 nm.
Lösung:
Ekin =
hc
1240 nm · eV
−W '
− 2.41 eV ' 0.69 eV
λ4
400 nm
(2.S6)
2.2. Compton-Effekt
a) Ausgehend von Energie- und Impulserhaltung, leiten Sie die Formel für die Wellenlängenzunahme bei der Compton-Streuung von Photonen an ruhenden Elektronen
her:
2h
∆λ ≡ λ0 − λ =
sin2 (θ/2)
(2.1)
me c
2.1
Hierbei ist λ die Wellenlänge des einfallenden Lichtes, λ0 die des ausfallenden Lichtes,
h das Planck’sche Wirkungsquantum, me die Masse des Elektrons, c die Lichtgeschwindigkeit und θ der Streuwinkel.
Lösung: Das Problem ist zweidimensional, da die Streuung in einer Ebene erfolgt. (Der Grund hierfür ist
die Impulserhaltung senkrecht zur Richtung des einfallenden Photons.) Wir wählen die Koordinaten so, dass
sich das einfallende Photon in x-Richtung bewegt. Dann gibt die Impulserhaltung für Impuls des Elektrons
~q = (qx , qy ) und des Photons p~ = (px , py ) vor und nach dem Stoß
qx + px = qx0 + p0x
qy + py = qy0 + p0y
h
h
⇒ 0 + = qx0 + 0 cos θ
λ
λ
h
0 + 0 = qy0 + 0 sin θ
λ
(2.S7)
(2.S8)
(2.S9)
(2.S10)
wobei θ der Winkel des auslaufenden Photons mit der x-Achse ist. Die Energieerhaltung für die Energie des
Elektrons Ee und des Photons Eγ vor und nach dem Stoß besagt
Ee + Eγ = Ee0 + Eγ0
q
hc
hc
= c m2e c2 + qx02 + qy02 + 0
⇒ me c2 +
λ
λ
(2.S11)
(2.S12)
Dies stellen wir um zu
q
h
h
− 0 = m2e c2 + qx02 + qy02
λ λ
2
h
h
me c + − 0
= m2e c2 + qx02 + qy02
λ λ
me c +
⇒
(2.S13)
(2.S14)
Nun lösen wir (2.S9) und (2.S10) nach den Elektron-Impulsen auf und quadrieren
qx02 =
qy02 =
h
h
− 0 cos θ
λ λ
2
=
h2
h2
h2
2
+
cos
θ
−
2
cos θ
λ2
λ02
λλ0
h2
sin2 θ
λ02
(2.S15)
(2.S16)
Dies setzen wir ein in (2.S14) und erhalten (nach Benutzen von cos2 θ + sin2 θ = 1)
2
h
h2
h2
h
h2
me c + − 0
= m2e c2 + 2 + 02 − 2 0 cos θ
λ λ
λ
λ
λλ
(2.S17)
Weiteres umstellen ergibt
me c
h2
h2
=
−
cos θ
λλ0
λλ0
h
(1 − cos θ)
⇒ λ0 − λ =
me c
h
h
− 0
λ λ
−
(2.S18)
(2.S19)
Mit (1 − cos θ) = 2 sin2 (θ/2) ergibt das den gesuchten Ausdruck.
b) Erklären Sie kurz in eigenen Worten, warum diese Wellenlängenzunahme nicht mit
dem Wellenbild für das Photon erklärt werden kann.
Lösung: Zum Beispiel: Eine Welle würde das Elektron zum Schwingen anregen und eine Welle mit gleicher Wellenlänge würde wieder ausgesendet werden. Es gäbe also keine Erklärung für die nichttriviale Winkelabhängigkeit der Wellenlänge der auslaufenden Welle. Nur der elastische Stoß zwischen zwei Teilchen kann
dieses Phänomen erklären.
2.2
Betrachten Sie nun eine Compton-Streuung für Licht der Wellenlänge λ = 400 nm, welches
am Elektron rückgestreut wird, d.h. θ = 180◦ .
c) Wieviel Energie wird in diesem Prozess auf das Elektron übertragen?
Lösung: Mit sin(π/2) = 1 haben wir
∆λ =
2h
' 0.0049 nm
me c
(2.S20)
Das heißt
λ0 ' 400.0049 nm
(2.S21)
Dies entspricht einer Energiedifferenz von
∆E =
hc hc
− 0 ' 0.038 meV
λ
λ
(2.S22)
welche an das Elektron übertragen wird.
d) Vergleichen Sie dieses Resultat mit der Energie, die das Elektron in einem lichtelektrischen Prozess mit dem gleichen Photon erhalten würde.
Lösung: Im lichtelektrischen Prozess wird die gesamte Energie des Photons an das Elektron übertragen.
Letzteres erhält also
hc
∆E =
' 3.10 eV
(2.S23)
λ
Um die kinetische Energie zu erhalten, muss hiervon natürlich noch die Austrittsarbeit abgezogen werden.
e) Kann ultraviolettes Licht mittels des Compton-Effektes Elektronen aus einem Metall
lösen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung: Die Austrittsarbeit für Elektronen im Metall beträgt typischerweise einige eV. Die bei der ComptonStreuung übertragene Energie reicht deshalb bei Weitem nicht aus um das Elektron aus dem Metall zu lösen.
(Ultraviolettes Licht hat Energien von 3 - 100 eV. Der Energieübertrag beim lichtelektrischen Effekt kann
deshalb ausreichen.)
2.3. Hohlraumstrahlung
Betrachten Sie einen leeren Raum mit den Maßen 5 m × 4 m × 2 m. Die Temperatur der
Wände sei T = 300 K. Bestimmen Sie die Anzahl von Photonen der Schwarzkörperstrahlung im Raum.
Hinweis: Sie dürfen folgendes Integral benutzen
Z ∞
x2
dx x
= 2ζ(3)
(2.2)
e −1
0
ζ ist die sogenannte Riemann’sche ζ-Funktion und ζ(3) ' 1.202.
Lösung: Die Energiedichte von Photonen mit Frequenz im Intervall [ν, ν+dν] ist gegeben durch die Planck’sche
Strahlungsformel,
8πν 2
hν
ρ(T, ν) dν = 3
dν
(2.S24)
c ehν/kB T − 1
Die Energie eines Photons ist jeweils hν und die spektrale Dichte von Photonen mit Frequenz im Intervall
[ν, ν + dν] beträgt demnach
n(T, ν) dν =
ρ(T, ν)
8πν 2
1
dν = 3
dν
hν
c ehν/kB T − 1
2.3
(2.S25)
Diesen Ausdruck integrieren wir über alle Frequenzen
Z
ν2
8π ∞
n(T ) = 3
dν
hν/k
BT − 1
c 0 e
(2.S26)
Nach Substitution x = hν/kB T erhalten wir
8π
n(T ) = 3
c
kB T
h
3 Z
∞
0
x2
dx
−1
(2.S27)
ex
Der Hinweis gibt dann
n(T ) = 16πζ(3)
kB T
hc
3
mit ζ(3) ' 1.202. Einsetzen der Temperatur T = 300 K ergibt schließlich (mit
1
n(T ) = 16πζ(3) 2.08 × 104 m
3
(2.S28)
hc
kB
= 5.46 × 1014 /m3
= 1.44 × 10−2 K m)
(2.S29)
Im Volumen V = 40 m3 befinden sich deshalb
N = V n(T ) = 2.19 × 1016
Photonen der Schwarzkörperstrahlung.
2.4
(2.S30)