Klausur zur Vorlesung PC-II (3. Sem.), Teil Quanten

Klausur zur Vorlesung PC-II (3. Sem.), Teil Quantenmechanik
Aufgabe 1
(12 Punkte)
(a) Beschreiben Sie knapp den experimentellen Befund des photoelektrischen Effektes. Wie
hängen Photostrom und Energie der Elektronen von Frequenz und Intensität des Lichtes
ab?
(b) Zeichnen Sie die kinetische Energie der Elektronen als Funktion der Lichtfrequenz. Welche
physikalische Größen entsprechen dem Anstieg und dem y-Abschnitt dieser Kurve?
(c) Welche Geschwindigkeit haben Elektronen, die von Licht der Wellenlänge 330 nm aus
Cäsium (EA = 1.30 eV) herausgeschlagen werden?
Lösung:
(a) Bestrahlen eines Materials (meist ein Metall) mit Licht führt zur Freisetzung von Elektronen. Die Energie der Elektronen hängt nur von der Frequenz des Lichtes ab, nicht von
der Intensität. Die Photostrom ist proportional zur Intensität.
(b) Die Auftragung Ekin gegen ν zeigt eine Gerade. Die Steigung ist das Plancksche Wirkungsquantum, der y-Abschnitt die Austrittsarbeit.
(c) Es gilt:
Ekin =
hc
me v 2
= hν − EA =
− EA
2
λ
Aufgelöst nach v erhält man:
s
v=
2 hc
( − EA )
me λ
Die Austrittsarbeit ist in der Einheit eV gegeben, also der Energie, die eine Elementarladung beim Durchlaufen der Spannung von einem Volt gewinnt. Der Betrag in J ist also
EA = 1.30 × e0 × 1Volt = 2.083 × 10−19 J. Einsetzen der Zahlen liefert v = 9.297 × 105
m/s.
Aufgabe 2
(7 Punkte)
Die Struktur eines Kristalles soll durch Beugung von Strahlung bestimmt werden. Um die
gewünschte Auflösung zu erzielen, braucht man Strahlung mit einer Wellenlänge von 10 pm.
Welche Energie (in eV) müssen Photonen, Elektronen und Neutronen haben, wenn man sie
hierfür verwenden will?
Lösung: Ein pm (Pikometer) sind 10−12 m.
(a) Für Photonen gilt E = hν = hc/λ. Die Energie in eV erhält man, wenn man die Energie
in Joule durch die Elementarladung dividiert (Die Energie in eV ist gleich der Spannung,
mit der man eine Elementarladung beschleunigen muss: E = e0 U ). Also:
hc
E
=
= 123985 eV
e0
e0 λ
1
(b) Für Teilchen gilt E = p2 /(2m). Den Zusammenhang zwischen Impuls und Wellenlänge
gibt das Postulat von de Broglie: pλ = h. Also gilt für den Wert in eV:
E
p2
h2
=
= 2
e0
2me0
2λ me0
Das Ergebnis ist 15041 eV für Elektronen und 8.18 eV für Neutronen.
Aufgabe 3
(12 Punkte)
(a) Welche Interpretation hat der Göttinger Physiker Born der Wellenfunktion gegeben (1
Satz)?
(b) Nennen Sie drei unabhängige Kriterien, die nach dieser Interpretation eine sinnvolle
Wellenfunktion erfüllen muss.
(c) Welche der folgenden Funktionen wären demnach im Bereich 0 ≤ x < ∞ zulässig? Nennen Sie bei den anderen Funktionen jeweils eine Bedingung, die verletzt wird.
f1 (x) = x2 exp(−x2 )
1
f2 (x) =
x−1
1
f3 (x) = 2
x +1
f4 (x) = exp(−x) + 1
Lösung:
(a) Das Betragsquadrat |ψ(x)|2 der Wellenfunktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das
System am Ort x zu finden.
(b) Die wichtigen Bedingungen sind die ersten drei:
(i) Die Wellenfunktion muss eindeutig sein
(ii) Die Wellenfunktion muss stetig sein
(iii) Die Wellenfunktion muss quadratintegrabel (normierbar) sein.
(iv) Die zweite Ableitung der Wellenfunktion muss existieren. (Ausnahme: An Punkten,
wo das Potential einen pathologischen Sprung macht, ist eine Unstetigkeit in der
ersten Ableitung zulässig.)
(c) Die Funktionen f1 und f3 erfüllen alle Bedingungen, die Funktion f2 ist nicht stetig und
nicht normierbar, die Funktion f4 wird im Unendlichen konstant ungleich Null, ist also
auch nicht normierbar.
Aufgabe 4
(15 Punkte)
(a) Wie lautet die Schrödingergleichung für ein Teilchen der Masse m in einem linearen Kasten
der Länge L?
(b) Wie lauten die Randbedingungen, welche die Wellenfunktion erfüllen muss?
2
(c) Welche Wellenfunktionen und Energieniveaus erhält man als Lösung der Schrödingergleichung mit diesen Randbedingungen? (Lassen Sie die Normierungskonstante unbestimmt). Welche Werte kann die Quantenzahl annehmen?
(d) Der lineare Kasten mit der zusätzlichen Annahme der Besetzung der Energieniveaus nach
dem Pauliprinzip ist ein sehr einfaches Modell zur Beschreibung linearer Polyene. Das
Maximum der ersten Absorptionsbande von Butadien liegt bei 217 nm. Welche Kastenlänge muss man wählen, um diesen Wert aus dem Modell zu erhalten?
Lösung:
(a)
h̄2 ∂ 2
−
ψ = Eψ
2m ∂x2
(b)
ψ(0) = 0
(c) Wellenfunktionen:
ψ(L) = 0
µ
nπx
ψn (x) = Nn sin
L
¶
Energien:
h2 n 2
8mL2
Die Quantenzahl n kann alle ganzen Zahlen ohne die Null annehmen.
En =
(d) Die 4 π-Elektronen des Butadiens besetzen die Orbitale n = 1 und n = 2. Der Übergang
ist also n = 2 → n = 3. Zu lösen ist also:
∆E =
mit dem Ergebnis:
s
L=
Aufgabe 5
h2 (32 − 22 )
hc
=
2
8mL
λ
5hλ
= 0.5736 × 10−9 m
8mc
(7 Punkte)
Die mittlere Energie eines harmonischen Oszillators in einem Ensemble mit Temperatur T ist
hEi =
1
hν
+ hν
exp(hν/kB T ) − 1 2
(a) Bei welcher Temperatur sind CO Moleküle (ν̄ = 2170 cm−1 ) im Mittel einfach angeregt?
(b) Welche Temperatur wäre nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik
erforderlich, um die CO Moleküle im Mittel mit der Vibrationsenergie hν auszustatten?
Lösung:
3
(a) Ein einfach angeregter harmonischer Oszillator hat die Energie E1 = 3/2hν. Zu lösen ist
also:
3
hν
1
hν =
+ hν
2
exp(hν/kB T ) − 1 2
Da nach der Temperatur gefragt ist, muss man auflösen:
hν
hcν̄
exp(hν/kT ) = 2 ⇒ T =
=
kB ln 2
kB ln 2
Einsetzen der Zahlenwerte liefert T = 4506 K.
(b) Nach dem Gleichverteilungssatz gilt für einen Schwingungsfreiheitsgrad hEi = kB T . Das
soll gleich hν sein, also gilt für die Temperatur:
hν
hcν̄
T =
=
= 3124 K
kB
kB
.
Achtung: Die Einheit der Wellenzahl cm−1 ist keine SI-Einheit. Damit die Dimensionen aufgehen muss man umrechnen: 1 cm−1 = 100 m−1 .
Aufgabe 6
(15 Punkte)
Die Rotation des zweiatomigen Moleküls 1 H35 Cl wird sehr gut durch das Modell des starren
linearen Rotators beschrieben.
(a) Geben Sie für einen zweiatomigen Rotator mit reduzierter Masse µ und Bindungsabstand
R die Formel der Energiezustände an.
(b) Welcher Ausdruck ergibt sich daraus für die Wellenzahl des Übergangs vom Zustand mit
der Quantenzahl J zum nächsthöheren Zustand?
(c) Spektroskopisch findet man den Übergang J = 1 → J = 2 bei der Wellenzahl ν̄ = 42.3636
cm−1 . Wie groß ist die Bindungslänge? Die reduzierte Masse beträgt µ = 1.6267 × 10−27
kg.
Lösung:
(a) Die Energieniveaus lauten:
h̄2 J(J + 1)
EJ =
; J = 0, 1, 2, ...
2µR2
(b)
∆EJ = (EJ+1 − EJ ) =
h̄2
h̄2 (J + 1)
[(J
+
1)(J
+
2)
−
J(J
+
1)]
=
2µR2
µR2
∆EJ
h(J + 1)
ν̄ =
= 2
hc
4π cµR2
(c) Die Übergangsenergie ist als Wellenzahl angegeben. Man muss also J = 1 setzen und
dann
h
ν̄ = 2
2π cµR2
nach R auflösen. Einsetzen der Zahlenwerte liefert schliesslich:
s
R=
h
= 1.2747 × 10−10 m
2π 2 µcν̄
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Aufgabe 7
(7 Punkte)
Zwei Wellenfunktionen |ψ1 i und |ψ2 i seien Eigenfunktionen zu einem hermiteischen Operator
Ab mit den Eigenwerten a1 6= a2 .
(a) Welche Aussage über das Überlappintegral ist richtig:
(i) hψ1 |ψ2 i = 1.
(ii) hψ1 |ψ2 i = 0.
(iii) eine bestimmte Aussage ist ohne genaue Kenntnis der Funktionen nicht möglich.
(b) Wie groß ist der Erwartungswert des Operators Ab für die Wellenfunktion
|ψi = |ψ1 i − |ψ2 i?
Lösung:
(a) Eigenfuntkionen hermiteischer Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
Richtig ist daher Aussage (ii).
(b) Ausgehend von der Definition des Erwartungswertes findet man:
hψ|A|ψi
hψ|ψi
hψ|ψi = hψ1 |ψ1 i − hψ1 |ψ2 i − hψ2 |ψ1 i + hψ2 |ψ2 i = 2
hψ|A|ψi = hψ1 |A|ψ1 i − hψ1 |A|ψ2 i − hψ2 |A|ψ1 i + hψ2 |A|ψ2 i = a1 + a2
1
(a1 + a2 )
hAi =
2
hAi =
Konstanten
c = 2.997925 · 108 m s−1
h = 6.62618 · 10−34 J s
mN = 1.67492 · 10−27 kg
e0 = 1.60219 · 10−19 A s
me = 9.10953 · 10−31 kg
kB = 1.380 · 10−23 J K−1
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