6. Hausübung

Übungen zur Quantenmechanik II
WS 2009/10
6. Übungsblatt
(Bertram Klein, Wolfram Weise)
Besprechung ab 07. Dezember 2009
Aufgabe 14 (Hausübung – Besprechung ab 07.12.)
Die Wellenfunktion eines Fermionsystems (ohne Wechselwirkung zwischen den Fermionen)
wird durch die Slater-Determinante beschrieben:
ψα1 (~r1 ) . . . ψα1 (~rN ) 1
= √1 det ψα (~ri )
...
...
Ψ= √
det . . .
j
N!
N!
ψα (~r1 ) . . . ψα (~rN ) N
N
a) Weisen Sie nach, dass es bei der Berechnung der Erwartungswerte hΨ|Ô|Ψi von Operatoren, die in allen Koordinaten symmetrisch sind,
Ô(~r1 , . . . , ~ri , . . . , ~rj , . . . , ~rN ) = Ô(~r1 , . . . , ~rj , . . . , ~ri , . . . , ~rN ) ,
genügt, nur eine der beiden Wellenfunktionen zu antisymmetrisieren, z.B.:
Z
Z
Y
3
3
∗
ψα∗ j (~rj ) Ô det |ψβk (~ri )| .
hΨ|Ô|Ψi = d r1 . . . d rN Ψ Ô Ψ = d3 r1 . . . d3 rN
j
Zeigen Sie dies
(i) konkret am Beispiel N = 2;
(ii) allgemein für beliebige N .
b) Drücken Sie den Erwartungswert eines Einteilchenoperators
Ô(~r1 , . . . , ~rN ) =
N
X
ô(~ri )
i=1
aus durch die Einteilchenmatrixelemente
Z
d3 rψα∗ i (~r ) ô(~r ) ψαi (~r ) .
c) Berechnen Sie als Beispiel zu b) den Erwartungswert des Dichteoperators
ρ̂(~r ) =
N
X
i=1
1
δ (3) (~r − ~ri ) .
Aufgabe 15 (Hausübung – Besprechung ab 07.12.)
Bestimmen Sie die Wellenfunktion der energetisch niedrigsten Zustände des Heliumatoms
(Z = 2) mit Gesamtspin S = 0 (Singlet/Para-Helium) und S = 1 (Triplet/Ortho-Helium).
~ = ~s1 + ~s2 der beiden
a) Bilden Sie dazu zunächst Eigenfunktionen des Spin-Operators S
Elektronen mit S = 0, 1. Welche dieser Spin-Eigenfunktionen ist symmetrisch, welche
antisymmetrisch?
b) Kombinieren Sie diese Spinwellenfunktionen in geeigneter Weise mit den Wellenfunktionen für die Bahnbewegung der beiden Elektronen im Coulombfeld des Heliumkerns.
Die Wechselwirkung zwischen den Elektronen werde vernachlässigt.
Aufgabe 16 (Hausübung – Abgabe am 03.12. – 10 Punkte)
Zwei identische Spin 12 -Teilchen bewegen sich unabhängig voneinander im Potential eines
dreidimensionalen harmonischen Oszillators im niedrigsten Energiezustand mit Gesamtspin
S = 0.
~ ϕ(~r )
a) (3 Punkte) Geben Sie den Ortsanteil der Gesamtwellenfunktion Φ(~r1 , ~r2 ) = φ(R)
~ = (~r1 + ~r2 )/2 und ~r = ~r1 − ~r2 die Schwerpunkts- und Relativkoordinaten
an, wobei R
sind.
b) (6 Punkte) Zwischen den beiden Teilchen wirke zusätzlich ein schwaches, repulsives
Coulombpotential v = e2 /r. Berechnen Sie die entsprechende Energieverschiebung
∆E (1) in Störungstheorie erster Ordnung. Betrachten Sie numerisch folgende Fälle
und vergleichen Sie jeweils mit der Energiedifferenz zwischen Grundzustand und erstem
angeregten Zustand des harmonischen Oszillators:
2
(i) Zwei
mit a =
p Protonen (Masse2 m ≈ 940 MeV/c ) in einem Oszillatorpotential
−15
~/(mω) = 1.5 fm (e = 1.44 MeV fm, ~c = 197 MeV fm, 1 fm = 10
m);
(ii) zwei Elektronen (Masse m ≈ 0.511 MeV/c2 ) in einem Potential mit a = 1 Å =
10−10 m.
c) (1 Punkt) Diskutieren Sie die Anwendbarkeit der Störungstheorie in den beiden Fällen
(i) und (ii).
2