Theoretische Elektrodynamik

Theoretische Elektrodynamik
Literatur:
1. Joos:
2. Jackson:
3. Nolting:
Lehrbuch der Theoretische Physik
Klassische Elektrodynamik
Grundkurs Theoretische Physik
zusätzlich:
Sommerfeld:
Landau/Lifschitz:
Feynman:
Bd. 3 + Bd. 6 Mathematische Physik
Elektrodynamik der Kontinua
Vorlesungen über Physik
Keine SI-Einheiten:
Fließbach:
Elektrodynamik
1
Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei.
Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständig
zu überprüfen.
Hinweise und Anregungen bitte an:
[email protected]
Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die
Bilder von http://de.wikipedia.org/ , Fließbach, Jackson oder wurden selbst erstellt.
Viele Visualisierungen stammen von http://ocw.mit.edu/ MIT's OpenCourseWare:
8.02T Electricity and Magnetism.
2
1. Einleitung
Die klassische Elektrodynamik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit elektrischen
und magnetischen Feldern und Potenzialen, elektromagnetischen Wellen und der
Dynamik elektrisch geladener Teilchen und Strömen beschäftigt.
Die Elektrodynamik basiert auf den Maxwell-Gleichungen, die das Zusammenspiel von
elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Sie wird 'klassisch' genannt, da
sie quantenmechanische Aspekte nicht berücksichtigt.
3
Vektorfelder:
Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet.
Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Physik, um zum Beispiel die Stärke und
Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, zu
beschreiben. Die elektromagnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) können durch ihre
Kraftwirkung F auf eine Ladung q nachgewiesen werden.
F =q E  r , t q v × 
B  r , t 
Ladungen und Ströme sind die Quellen der elektromagnetischen Felder.
Feldgleichungen:
Die Bewegungsgleichungen für Felder nennt man Feldgleichungen. Sie sind partielle
Differenzialgleichungen, die das räumliche und zeitliche Verhalten der Felder bestimmen.
Die Feldgleichungen des elektromagnetischen Feldes sind die Maxwell-Gleichungen,
diese Gleichungen sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik.
4
1.1 Gradienten, Divergenzen und Rotationen
Die Abbildung zeigt einige Höhenlinien Φ(x,y) = const.
Im Dreidimensionalen werden diese Höhenlinien zu den
Flächen Φ(x,y,z) = const. Der Gradient von Φ steht
senkrecht auf diesen Flächen. Er zeigt in die Richtung
des stärksten Anstiegs von Φ; sein Betrag ist
proportional zu diesem Anstieg.
Zur Berechnung der Divergenz wird ein kleines
Volumen betrachtet (hier kugelförmig). Wenn das
Vektorfeld im Bereich des Volumens konstant ist,
verschwindet die Divergenz. Die Divergenz wird
maximal, wenn das Vektorfeld durchweg parallel zum
Vektor der Oberfläche des Volumens dA ist.
Zur Berechnung der Rotation wird eine kleine Fläche
(hier kreisförmig) mit dem Normalenvektor n
betrachtet. Wenn das Vektorfeld im Bereich der
Fläche konstant ist, verschwindet die Rotation. Nimmt
V dagegen quer zur Feldrichtung zu, so ist n·rot V
ungleich Null. Die Rotation wird maximal, wenn V
parallel zum Wegelement dr des Randes der Fläche
ist.
5
entnommen aus: Fließbach, Elektrodynamik, 4. Auflage
Kartesische Koordinaten:
Der Gradient einer skalaren Größe Φ ergibt einen Vektor:

∂ ∂ ∂
grad  = ∇ =
,
,
∂x ∂ y ∂z

Die Divergenz eines Vektors A ergibt eine skalare Größe:
div 
A = ∇⋅
A=
∂ Ax ∂ A y ∂ Az


∂x
∂y
∂z
Die Rotation eines Vektors A ergibt eine vektorielle Größe:

rot A = ∇ × 
A=
∂ A z ∂ A y ∂ Ax ∂ Az ∂ A y ∂ A x
−
,
−
,
−
∂y ∂z ∂z
∂x ∂x
∂y

Der Nabla-Operator ist definiert als ein Vektor:
∇=

∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂ y ∂z

In kartesischen Koordinaten lautet das Wegelement dr:
d r = dx ex dy ey dz ez =  dx , dy , dz 
6
Häufig benutzte Formeln der Vektorrechnung
Es sei r = (x,y,z) der Ortsvektor eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem. Sein Betrag sei r = |r| und n = r/r bezeichne den Einheitsvektor in Richtung von
r. Ferner sei f(r) eine differenzierbare Funktion. Dann gilt:
∂x ∂ y ∂z


=3
∂x ∂ y ∂z
∇ × r = rot r = 0
2
∂f
∇ ⋅[n f r] = f 
r
∂r
∇ × [
n f r] = 0
f r
∂f
 a ⋅ ∇  n f r =
[
a − n  
a ⋅ n ]  n  a ⋅ 
n
r
∂r
∇ r ⋅
a  = a  r ∇ ⋅a   i  L × a 
∇ ⋅ r = div r =
wobei
1

L = r ×∇ 
i
den Drehimpulsoperator darstellt.
7
Einige nützliche Formeln der Vektorrechnung
∇ × ∇  = rot grad  = 0
∇ ⋅ ∇ × 
a  = div rot 
a=0
2
∇ × ∇ × a  = rot rot a = ∇  ∇ ⋅ 
a  − ∇ a = grad div a −a
∇ ⋅a  = 
a ⋅∇    ∇ ⋅a
∇ × a  = ∇  × a   ∇ × a
∇ 
a ⋅ b =  
a ⋅∇  b   b⋅∇  
a
a × ∇ × 
b  
b × ∇ × a 
∇ ⋅a × b = b⋅ ∇ × 
a  − a ⋅ ∇ × b
∇ × 
a×
b  = a  ∇ ⋅ b − b  ∇ ⋅
a    b ⋅ ∇  a − 
a ⋅ ∇  b
a ⋅ b × c  = 
b⋅ c × a  = c ⋅ a × 
b
a ⋅ c  
b −  a ⋅ 
b  c
a ×  b × c  =  
 a × 
b⋅ c × 
d  = 
a ⋅ c  b⋅d  −  a ⋅ d  b ⋅c 
8
1.2 Integralsätze aus der Vektoranalysis
V sei ein dreidimensionales Volumen mit dem Volumenelement dV=d3r und S eine Fläche
die V begrenzt. df ist ein Flächenelement mit Richtung der äußeren Flächennormalen.
Gauß'scher Satz:
3

div
A
d
r =∫
A⋅d f
∫
V
S
S sei eine Fläche die von einem Rand ∂S begrenzt wird. dr ist ein Linienelement längs des
Rands.
Stokes'scher Satz:
∫ rot A⋅d f = ∮ A⋅d r
S
∂S
Für ein Vektorfeld ist Wirbelfreiheit gleichbedeutend mit der Wegunabhängigkeit
des Linienintegrals:
rot 
A=0
2

∫ A⋅d r = wegunabhängig
1
9
1.3 Das System der Maxwellschen Gleichungen im Vakuum
div 
D=
div 
B=0

∂
B
rot 
E =−
∂t

∂
D
rot 
H = j
∂t

D = 0 
E

B = 0 
H
Das Vorhandensein von Materie modifiziert die letzten beiden Gleichungen, die dann
durch materialspezifische Näherungen ersetzt werden.
Von grundlegender Bedeutung für die Elektrodynamik ist die Lichtgeschwindigkeit
im Vakuum.
c=
1
 0 0
10
2. Elektrostatik
2.1. Grundbegriffe / Maßsysteme
1)
Experimentelle Erfahrung: Es gibt zwei Arten von Ladungen, die man als
Q > 0: positive Ladung
Q < 0: negative Ladung
bezeichnet.
Das Vorzeichen ist so festgelegt, dass das Reiben eines Glasstabes auf
diesem die Ladung Q > 0 zurück lässt (Hartgummistab Q < 0).
2)
Das Elektron besitzt die kleinste, nicht mehr teilbare Ladung:
Elementarladung e (Nachweis durch den Millikan-Versuch)
In unserer Definition ist die Ladung des Elektrons negativ.
−19
e = 1.602⋅10
Robert Andrews Millikan
22. März 1868 in Morrison, Illinois, USA
† 19. Dezember 1953 in San Marino USA
Nobelpreis für Physik 1923
As
Quarks
1
2
± e ,± e
3
3
11
Der experimentelle Nachweis von Elektronen gelang erstmals im Jahr 1897 durch den
Briten Joseph John Thomson.
Der Name kommt vom griechischen Wort elektron (ηλεκτρον) und bedeutet Bernstein.
Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen ohne räumliche Ausdehnung.
In guter Übereinstimmung mit der Quantenelektrodynamik ergaben Elektron-ElektronStreuexperimente an Teilchenbeschleunigern eine maximale Elektronengröße von 10-19 m.
Elektronen gehören zu den Leptonen. Ihre Antiteilchen sind die Positronen (e+), mit
denen sie bis auf ihre elektrische Ladung in allen Eigenschaften übereinstimmen.
Sir Joseph John Thomson
18. Dezember 1856 in Cheetham Hall
† 30. August 1940 in Cambridge
Nobelpreis für Physik 1906
12
3)
Es existiert ein Erhaltungssatz für Gesamtladungen, erhalten bleibt nur die
Summe von Ladungen. Er gilt nicht für nur positive oder negative Ladungen.
Ladung wird in Coulomb gemessen 1 C = 1 As.
4) SI-Maßsystem
Länge in m
Zeit in s
Masse in kg
Ladung in C = As
Das Ampere ist die Stärke des zeitlich unveränderlichen
elektrischen Stromes durch zwei geradlinige, parallele,
∞ lange und ∞ dünne Leiter, die den Abstand 1 m haben
und zwischen denen die durch den Strom elektrodynamisch hervorgerufene Kraft im leeren Raum je 1 m
Länge der Doppelleitung 2*10-7 N beträgt.
13
Verwendete Bezeichnungen:
Ladung Q = n e
(ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e)
Ladungsdichte ρ(r)
Ladung pro Volumeneinheit
-> Gesamtladung
Q = ∫  r  dV
V
Flächenladungsdichte σ: Ladung pro Flächeneinheit
Linienladungsdichte η:
Ladung pro Linienelement
14
2.2. Das Coulombsche Gesetz in Vakuum
Das Coulombgesetz beschreibt die elektrostatische Kraftwirkung zwischen
ruhenden Ladungen.
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an.
Q ' im Ursprung P 0,0 ,0
 = Q ' Q r
F
4  0 r 3
2
2
2
r = ∣r∣ =  x  y  z
Q' übt eine Kraftwirkung auf Q aus (r zeigt von Q' -> Q).
● Kraftwirkung auf Q' hat den gleichen Betrag, ist aber entgegengesetzt gerichtet.
●
0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums
0 = 8,854⋅10−12
Charles Augustin Coulomb
14. Juni 1736 in Angoulême
† 23. August 1806 in Paris
As
Vm
15
Allgemeine Form des Coulombgesetzes für zwei Ladungen im Punkt r und r':
Q ' Q r −r '

F  r  =
4 0 ∣r −r '∣3
1) Die Kraft ist direkt proportional zu den Ladungen Q und Q',
2) Der Betrag ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Ladungen,
Q' Q
1
1
∣
F  r ∣=
∣
r
−
r
'∣
~


4  0 ∣r − r '∣3
∣r − r∣2
3) Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen gerichtet.
anziehend für Ladungen mit ungleichen Vorzeichen
abstoßend für Ladungen mit gleichen Vorzeichen
4) actio = reactio (Die Kraft, die eine Ladung spürt, entspricht der Kraft auf die
andere Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen.).
16
2.2.1 Konzept des elektrischen Feldes E(r)
Obwohl die Messgröße eine Kraft ist, ist es zweckmäßig, den Begriff des elektrischen
Feldes einzuführen.
Das elektrische Feld E(r) wird durch eine gegebene Ladungskonfiguration erzeugt und
ist durch die Kraft definiert, die auf eine kleine positive Testladung q wirkt.
- Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe mit der Einheit V/m.
- Da die Testladung selbst das Feld verändern würde, gilt die Definition für das
elektrische Feld nur für den Grenzübergang zu einer sehr kleinen Testladung.
f

E  r  = lim
q 0 q
Das Feld-Konzept zerlegt die Kraftwechselwirkung in 2 Schritte:
1) Eine vorgegebene Ladungskonfiguration (Q') erzeugt ein elektrisches Feld
(unabhängig von der anderen Ladung)
2) Ladung Q reagiert auf das Feld E(r) durch Kraftwirkung
Q ' r − r '

E  r  =
4  0 ∣r − r '∣3
f  r  = Q 
E  r 
Q' am Ort r' erzeugt ein elektrisches Feld, dieses ist Ursache der Kraft auf Q am Ort r.
17
2.2.2 Feldlinien
Veranschaulichung durch Bilder in Form von Feldlinien:
Feldlinien sind Bahnen, auf denen sich ein positiver
geladener, kleiner, anfangs ruhender Körper aufgrund der
Coulomb-Kraft fortbewegen würde.
+
-
22. September 1791 Newington Butts
† 25. August 1867 bei Hampton Court
Feldlinien von Punktladungen sind radial.
In jedem Raumpunkt r liegt das elektrische Feld E(r) tangential an der dort
existierenden Feldlinie. Feldlinien schneiden sich nie!
18
2.2.3 Elektrostatisches Potenzial U
Alle Kräfte die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes sind, sind
Potenzialkräfte. Die Rotation solcher Kraftfelder verschwindet und sie besitzen ein
skalares Potenzial.
Damit existiert auch für das elektrische Feld E ein skalares Potenzial U.
rot 
E =0
Q'
r − r '

E  r  =
4 0 ∣r − r '∣3
E besitzt ein elektrostatisches Potenzial U mit der Einheit Volt [V]..
E r  = −
∇ U r  = −grad U r 
Das elektrostatische Potenzial kann durch Äquipotenziallinen dargestellt werden.
19
Wegunabhängigkeit der Potenzialdifferenz
Zu U kann immer eine beliebige Konstante addiert werden
-> messbar sind nur Potenzialdifferenzen
r2
r2
U  r2 − U  r1  = ∫ dU = ∫
grad U =

r1
r1
∂U ∂U ∂ U
∂x , ∂ y , ∂z



r2
r2
1
1
∂U
∂U
∂U
dx 
dy 
dz = ∫ grad U⋅d r = −∫ E⋅r
∂x
∂y
∂z
r
r
d r = dx , dy , dz
r2
U  r2  − U  r1  = −∫ 
E⋅d r
r1
Dieses Linienintegral ist wegunabhängig.
wegen:
Stokes'scher Satz (siehe Übung)
∫ rot a ⋅d f = ∮ a ⋅d r
F
∂F

E ⋅d f = ∮ 
E ⋅d r = 0
∫ rot

F da rot E
 =0
20
Potenzial des elektrischen Feldes
Eine Ladung Q' sei im Nullpunkt unseres Koordinatensystems. Eine andere Ladung, die
aus dem Unendlichen zum Ort r' gebracht wird, muss die Potenzialdifferenz bewältigen
r '
⋅d r
U  r ' −U ∞=−∫ E
∞
übliche Wahl der Konstanten U ∞ = 0 ,und Q ' im Nullpunkt ,
r '
r '
Q
'
r ⋅d r
U  r '  = −∫ E  r ⋅d r = −
∫
4  0 ∞ r 3
∞
Q'
=−
4  0
r '
dr
Q'
=
∫ r 2 4  r '
∞
0
r⋅d r = x dx ydy zdz=∣r∣∣d r∣
a⋅b=a bcos 
Das ist das elektrische Potenzial am Ort r' erzeugt durch eine Ladung Q' im
Nullpunkt, für eine Ladung Q' an einem beliebigen Ort r erhalten wir
U=
Q'
4  0∣r −r '∣
21
2.2.4 Superpositionsprinzip
●
Mehrere Punktladungen Qi an Orten ri
Jede Punktladung erzeugt ein Feld Ei(r) am Ort r
● Gesamtfeld E (r)
●

E  r  = ∑ 
E i  r 
i
mit 
E i  r  =
Q i r − ri
4 0 ∣r − ri∣3
U  r  = ∑ U i  r 
i
Qi
1
U i  r  =
ri∣
4  0 ∣r − 
Ursache ist die Linearität der Maxwell'schen Gleichungen. Die Summe von Lösungen ist
wieder Lösung der Maxwell'schen Gleichungen.
Für sehr starke Felder treten nichtlineare Effekte auf, in diesen Fällen gilt das
Superpositionsprinzip dann nicht!
22
2.2.5 Raumladungsdichte - Raumladungswolke
d Qi
 r  =
dV
Qi = ∫ r dV
Vi
Ladung dQ im Volumen dV
Die Ladungdichte ist Ladung pro Volumen:
 r  =
dQ
dV
Übergang von diskreten Punktladungen zu Ladungsverteilungen:
U r  = ∑
i
3
Qi
r ' d r '
1
=
∫ ∣r−r '∣
4 0∣r − ri∣
4 0
3
d r ' = dx ' dy ' dz '
1
U  x , y , z =
dx ' dy ' dz '
∫∫∫
4  0
 x ' , y ' , z ' 
 x− x ' 2 y− y ' 2 z− z ' 2
23
2.2.6 Fluss des elektrischen Feldes durch eine Fläche
Fluss des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche einer Kugel
∮ E ⋅d f
Ladung im Mittelpunkt einer Kugel
df: Flächenelement ist orientiert in Richtung der Normalen auf der Fläche
Q r
4  0 r 3
Q ∣r∣
Q 1
∣E  r ∣ =
=
4 0 r 3
4 0 r 2
E r  =
konstant auf Kugeloberfläche
E hat Richtung von r, df ebenfalls, E ist parallel zu df
∮ E⋅d f = ∮ E df
F
F
2
= E ∫ df = E 4
r

F
Kugel !
Q


E⋅d
f
=
∮
0
24
Für eine beliebige geschlossene Fläche ist E und die Flächennormale nicht mehr parallel.
Das elektrische Feld E hat die Richtung des Vektors r.
Raumwinkel
d  = sin  d  d 
cos  d f = r 2 d  er
3
r ⋅d f = r cos ∣d f ∣= r d 

E ∥ d f
Skalarprodukt bedeutet Projektion von df auf E
Q
Q
r⋅d f


∮ E⋅d f = 4  ∮ r 3 = 4 
0
0
2
r⋅r d 
Q
∮ r 3 = 4 
0
d=
∮

4
Q
0
 2
∫ ∫ sin  d  d  = 4 
0
0
25
●
Viele Ladungen in geschlossener Fläche
Superposition  
E=
∑ E i
Q = ∑ Qi
i
i
2.2.7 Physikalischer Gauß'scher Satz
0 ∮ 
E ⋅ d f = Q
∂V
Der Fluss des E-Feldes durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens V ist gleich
der eingeschlossenen Gesamtladung mal einem Faktor (ε0).
Gauß'scher Satz aus der Mathematik:
∫ div E r  d 3 r = ∮ E ⋅d f
V
S V 
26
Zum Gauß'schen Satz
Kann sich eine Punktladung im elektrischen Feld anderer Ladungen in einem stabilen
mechanischen Gleichgewicht befinden?
Stabiles Gleichgewicht für positive Ladung Q
+
(stabil -> E = 0)
Es gibt keine stabilen Gleichgewichtspunkte in irgendeinem elektrostatischen Feld, außer genau an der Stelle
einer anderen Ladung.
(-> Atome: dynamisches Gleichgewicht, Elektronen auf Bahnen)
27
Viele Probleme mit Symmetrie lassen sich sehr einfach mit dem Gauß'schen Satz lösen.
1.
∞ langer, homogen geladener Stab
λ = Ladung pro Längeneinheit
●
Fluss von E durch Fläche = Ladung im Inneren/ε0
● wegen Symmetrie nur radiale Komponente E
r

Q ⋅l


E
⋅d
f
=
E
d
f
=
E
2
r⋅l
=
=
∮
∫
0
0
l
2.
E=

2 0 r
1
4 0
Q
r2
r R
1
E=
4 0
1
2
r
Qr
3
R
Die elektrische Feldstärke ist umgekehrt
proportional zum senkrechten Abstand vom
geladenen Stab.
homogen geladene Kugel
E=
R
3
r R
28
3.
homogen geladene dünne Kugelschale
P sei ein Punkt im Inneren einer homogen geladenen Kugelschale.
r1
kleiner Kegel mit Scheitel in P bis zur Kugeloberfläche
df = r2 sinθ dθ dφ
2
r2
d f 1 r1
= 2
d f 2 r2
Wenn die Kugeloberfläche homogen geladen ist, ist die Ladung dq auf jedem
Flächenelement proportional zum Flächeninhalt
dq 2 df 2
=
dq1 df 1
dq =  df
Nach dem Coulomb'schen Gesetz stehen die Beträge der Feldstärken, die von
diesen Flächenelementen in P erzeugt werden, im Verhältnis
2
E 2  q2 / r 2
=
= 1.
E 1  q1 / r 12
Die Felder kompensieren einander. Das Feld im Inneren einer homogen geladenen
Kugel ist 0. Das ist allerdings nur so, wenn das Coulombgesetz ~ 1/r2 ist, ansonsten
verschwindet das elektrische Feld nicht.
29
B. Franklin hat als erster bemerkt, dass im Inneren eines geladenen hohlen Körpers E
= 0 ist. Er schloss daraus auf die quadratische Abstandsabhängigkeit
des Coulombgesetzes. (Priestley erreichte 1775 gleiches Ergebnis.)
Durch Messung des elektrischen Feldes im inneren eines geladenen Körpers, lässt
sich umgekehrt die Abstandsabhängigkeit des Coulombgesetzes überprüfen.
1
r
Maxwell ermittelte:
Plimpton + Laughton 1939:
2
δ < 10-5
δ < 10-9
Die Gültigkeit des Coulombgesetzes ist bis zu Abständen von 10-15 m gesichert,
darunter scheint es ca. 10 mal zu schwach zu sein (doch keine Punktladungen?).
Benjamin Franklin
17. Januar 1706 in Boston
† 17. April 1790 in Philadelphia
30
2.2.8 Dielektrische Verschiebung
Definition: Vektor der dielektrischen Verschiebung D

D = 0 
E
Aus dem physikalischen und mathematischen Gaußschen Satz erhalten wir:
∮ D ⋅d f = Q
∫ div D ⋅d 3 r = Q = ∫  r  d 3 r
V
V
da V beliebig ist, muss gelten:
div 
D =  r 
Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes!
31
2.2.9 Grundgleichungen der Elektrostatik im Vakuum
1. rot E = 0
2. div E =
1

0
elektrische Felder sind wirbelfrei
div D = 
mit D = 0 E
Integrale Darstellung:
1.∮ E ⋅d r = 0
1
2.∫ E ⋅d f = Q
0
F
32
1.
ist automatisch erfüllt, da rot grad = 0
E = - grad U
2.
Beide Gleichungen lassen sich zur Poisson-Gleichung umschreiben:
1
r
0
−
U =
lineare, inhomogene, partielle
0
div - gradU  =


∂2
∂2
∂2
−


U

r
=
2
2
2
0
∂x ∂ y ∂z
Differenzialgleichung
Lösung:
1
U r  =
4 0
3
r '  d r '
∫ ∣r −r '∣
falls ρ(r') für alle r' bekannt ist und keine Randbedingungen für U(r) im Endlichen
vorliegen.
33
Randwertproblem der Elektrodynamik
Häufig ist allerdings ρ(r') in einem endlichen Volumen bekannt und die Werte
für U(r) oder deren Ableitungen auf einer Oberfläche gegeben.
Gesucht wird dann U(r) für alle r -> Randwertproblem.
34
Überprüfung der allgemeinen Lösung der Poissongleichung:
1
1
3
d
r
'

r
'




∫
r
∣r − r '∣
4  0
1
1
=− ∫ d 3 r '  r '    r − r '  = −
  r 
0
0
r U  r  =
Siehe z.B. Nolting Bd. 3 Elektrodynamik S. 32
 r −r '  = −
Beweis:
1
1

4  ∣r −r '∣
a)  r − r0  = 0
b)
∫ d 3 r   r − r0  =
V
r ≠ r0
{
1 falls r0 ∈V
0 sonst
35
Zu a)
r ≠ r ' ,  r − r '  = 0
1
1
r − r '

= div grad
= div
∣r −r ' ∣
∣r −r ∣
∣r − r '∣3
div  r − r ' 
1
=


r
−
r
'
⋅grad
3
3
∣r −r '∣
∣r −r '∣
 r − r ' 
3
1
=
−
3
r
−
r
'
⋅
=0


3
4
∣
r
−
r
'∣
∣r − r '∣
∣r − r '∣
b)
∫ d 3 r r '
V
1
1
= ∫ d 3 r ' ' r ' '
∣r − r '∣ V
r''
r ' ' = r −r '
Wegen a) ist der Integrand für r''≠0 Null. -->
Enthält V den Nullpunkt, so kann man das
Integral über eine Kugel im Ursprung durchführen.
∫ d r r
3
V
∫ d 3 r ' '  1r = 0
falls 
r = 0 ∈V
 
1
1
1
3
= ∫ d r div grad  = ∫ d f⋅ - 2 er
r V
r
r
F
K
2

r0
= ∫ d ∫ sin  d  ∫ r 2 er⋅0
0
0
1
e = −4 
2 r
r
36
Elektrisches Feld eines Dipols
Eine positive Ladung q sei bei r1 und eine negative gleichgroße Ladung (-q) bei r2.
 r  = q   r − r1 −q  r − r2 
Das Potenzial ergibt sich aus der Lösung der Poissongleichung.
3
 q r ' − r1 −q r ' −r2  d r '
 r '  d 3 r '
1
1
U  r  =
=
=
∫
∫
∣r − r '∣
∣r − r '∣
4 0
4  0
1
q
q
=
−
4 0 ∣r −r1∣ ∣r − r2∣
[
]
Das elektrische Feld lautet

E  r  = −gradU  r  =
[
r − r1
r −r2
q
−
4  0 ∣r − r1∣3 ∣r −r2∣3
]
Das Dipolmoment ist ein Vektor mit der Einheit Coulomb mal Meter:
p = q  r1 − r2 
Eine noch häufig genutzte Einheit ist das Debye: 1 Debye = 3.33564 10-30 C m.
Für Moleküle liegt das Dipolmoment meist im Bereich von 0 - 12 Debye (H2O: 1.84).
37
Potenzials eines Dipols:
Feldlinien eines Dipols:
38
2.3 Das Coulombsche Gesetz in Materie
a) Nichtmetalle
ersetzen
0   = r ⋅0
r  0
Die dielektrischen Funktion ε in Materie setzt sich aus der Dielektrizitätskonstante des
Vakuums ε0 und der relativen dielektrischen Funktion εr zusammen.
ε und εr sind phänomenologische Größen, die prinzipiell aus Experimenten bestimmbar
oder mittels Quantentheorie berechenbar sind.
Achtung! Materie muss nicht homogen sein.
r
1
r
2
r
3
 r 
div 
D = div [ r  
E  r  ] =  r 
−div [ r  grad U r  ] = r 
 r 
 U r  ≠ −
 r 
Ausweg: effektive Medien-Theorie
gemitteltes ε (ε1, ε2, ..., Konzentration, Struktur)
39
Materie besteht aus positiven und negativen Ladungen. Alle chemischen Bindungen
und Wechselwirkungen lassen sich auf elektrostatische Anziehung zwischen
entgegengesetzten Ladungen zurückführen.
- kovalente Bindungen
- Ionenbindung
- Metallbindung
- Dipolwechselwirkungen (z.B. Wasser)
Emikroskopisch≠ 0, selbst wenn die Materie insgesamt elektrisch neutral ist.
Die klassische Elektrodynamik ist ein makroskopische Theorie, so dass wir ein
Mittelungsprozedur über mikroskopische Bereiche benötigen.
Definition:
E  r  = E mikro  r 
Mittelwert über mikroskopische Felder
Mittelung über großen Bereich + Materie neutral ergibt die Mittelung Null (z.B. Ein
Eimer Wasser besitzt kein Dipolmoment, auch wenn jedes Molekül
ein Dipolmoment besitzt.)
- typische Längenskalen mikroskopisch 10-10 m,
40
Mittelung über 1023 molekulare Teilchen pro cm-3 in Bewegung entspricht
einer Mittelung über räumlich und zeitlich schnell oszillierende Felder,
Jede makroskopische Messung ist immer eine Mittelung über einen
endlichen Bereich. Die Eigenschaften der Materie auf diesen
makroskopischen Skalen sollen homogen sein.
Definition:
A  r , t  =
1
1
3

d
r
'
A

r
'
,
t

=


∫
V  r  V r 
V
∫
d 3 r ' 
A  r '  r , t 
V 0
A(r,t): mikroskopische Feldgröße
V(r):
mikroskopisch groß, makroskopisch kleines
Volumen (Kugel bei r)
z. B. V ≈ 10-6 cm³ ~ 1017 Teilchen)
wegen der großen Zahl von Teilchen werden durch die
räumliche Mittelung gleichzeitig auch die raschen zeitlichen
Fluktuationen geglättet.
∇ f =∇ f
41
2.3.1 Polarisation von Materie
+
-
+
-
+
Das Einbringen einer zusätzlichen Ladung erzeugt
eine Verschiebung von Ladungen -> Polarisation
(Dipole entstehen, Deformationspolarisation)
Im neutralen Atom fallen die Ladungsschwerpunkte zusammen.

E=
E vak  
E pol Feld verschiebt diese -> resultierendes Dipolmoment entsteht
Dielektrische Polarisation nennt man eine Ladungsverschiebung in einem
nichtleitendem Material, die durch das Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes
verursacht wird.
Die Ladungsverschiebung in einem Leiter wird Influenz genannt.
Im Inneren der Materie sowie an den Oberflächen ist eine makroskopische
Ladungsverteilung (Polarisationsladungen) wahrnehmbar.
42
Verschiebungspolarisation
Bei unpolaren Molekülen wird die Elektronenwolke, die den Atomkern umgibt,
durch das angelegte elektrisches Feld gegen den Atomrumpf verschoben. Durch
die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte wird ein Dipolfeld erzeugt. Im Inneren
des Körpers entsteht so eine makroskopische, inhomogene Ladungsverteilung.
Orientierungspolarisation
In einem Körper mit polaren Molekülen richten sich dessen Dipole im äußeren
elektrischen Feld aus.
43
Die Polarisationsladungen erzeugen elektrische Felder, so dass das elektrische Feld
im Inneren der Materie eine Überlagerung aus dem äußeren elektrischen Feld (Feld
ohne Materie = Feld im Vakuum) und dem elektrischen Feld der
Polarisationsladungen darstellt.
Im neutralen Atom fallen die Ladungsschwerpunkte zusammen.

E=
E vak  
E pol Feld verschiebt diese -> resultierendes Dipolmoment entsteht
Evak: Feld, das im Vakuum vorhanden wäre
Epol: Feld durch Polarisation E ≠ 0, E < Evak
Damit erhalten wir aus den Maxwell'schen Gleichungen:
0 div 
E = 0 div  
E vak  
E pol  =    pol
ρpol: Polarisationsladung durch auftretende Dipole
44
Definition: Polarisationsvektor oder Verschiebungsvektor
In der Elektrostatik bezeichnet der Vektor der Polarisation das Vektorfeld, das aus einem
permanenten oder induzierten Dipolmoment in einem dielektrischen Material
(Dielektrikum) resultiert. Der Polarisationsvektor P hat die Einheit eines Dipolmoment pro
Volumen. Es ist dem Feld E in der Materie entgegen gerichtet.

P = −0 
E pol
div 
P = − pol
Historisch war ρpol unbekannt, so dass eine einfache Form für div D = ρ gesucht wurde.

D = 0 
E
P
div 
D = div 0 
E  div 
P =    pol −  pol = 
Jedes Atom/Molekül spürt nicht nur das Vakuumfeld, sondern auch alle Felder der
anderen Atome oder Moleküle.
P wird nicht durch Evak allein verursacht, verschwindet aber ohne äußeres Feld.

E=
E vak  
E pol  
E vak

P =
P 
E≠ 
P 
E vak 
45
Wenn P eine Funktion von E ist und wir hinreichend kleine Felder voraussetzen,
ist eine lineare Näherung (Taylor-Entwicklung) möglich.
P = 0 e E
χe: Die elektrische Suszeptibilität ist ein Maß für die Polarisierbarkeit von Materie.
D = 0 E  P = 0 10  E
 = 0 1e  = 0 r
E = E vak  E pol = E vak − 1 P = E vak − e E
0
1e  E = E vak
da E  E vak , muss  e  0
46
Folgerungen:
1) In Materie mit großen ε oder χe sind elektrische Felder schwächer.
2) ε ist groß, falls Ladungen leicht verschiebbar sind (große Polarisierbarkeit)
●
●
●
●
Ionenkristall: Ladungen fest auf Atomen
kovalente Bindungen: Elektronen müssten bewegt werden
Wasser: Rotation der H20-Moleküle
Eis: keine Rotation
Diamant
Glas
Si
Helium
Luft
Wasserstoff
Metall
0
5,5
Wasser
4 ... 10 Aceton
11,7 Ä thanol
-> ε klein
-> ε größer
-> ε groß
-> ε klein
0
80
22
25
1.00007
1.00059
1.00026
∞
47
Verallgemeinerung:
a)
D = ε E ist ein Materialgesetz (Näherung)
für alle nicht kubischen Kristalle oder nicht isotropen Medien wird ε zu
einem Tensor
Di = ik E k
 
ε 0 0
ε ik = 0 ε 0 = ε  ik
0 0 ε
für kubische Kristalle
Falls eine Vorzugsrichtung existiert, ist E im Allgemeinen nicht mehr parallel zu
P.

D =  
E,
b)

D im Allgemeinen nicht parallel zu 
E
P ~ E ist nur lineares Glied der Taylor-Entwicklung von P(E)
3

P=
P 0  0 e 
E
E c 
E
E
48
Arten von dielektrischen Stoffen:
1)
Paraelektrikum heißen Stoffe mit permanenten Dipolen (H20, NH3, ...), die
zufällig angeordnet sind und die sich in einem äußeren elektrischen Feld E
ausrichten können (Orientierungspolarisation).
2)
P0 sei eine ohne äußeres elektrisches Feld bestehende Polarisation.
Ferroelektrika besitzen einen permanenten Dipol, der oberhalb einer
kritischen Temperatur Tc verschwindet.
Siegnette-Salz: NaKC4H406 * 4H20, Bariumtitanat BaTi03
Pyro- und piezoelektrische Materialien
Glieder höherer Ordnung wichtig für nichtlineare Optik
(Laser-Frequenzverdopplung)
Starke T- und p-Abhängigkeit
H20 bei Normaldruck
exp
0° C
87,8
10° C 20° C 30° C 40° C 50° C
83,9 80,1 76,5
73
69,7
Temperatur -> Fluktuationen wirken gegen die Ausrichtung im elektrischen Feld
49
c)
frequenzabhängige Felder
E  r , t  = E 0 cos k⋅r −t 
mit k = k ek ,
 = 2 v ,
2
k=

 =  , k 
Die k-Abhängigkeit ist oft unwesentlich, außer bei:
- optisch aktive Substanzen (Rechts – Linksquartz) ε(ω,e)
- für λ ~ Röntgenbereich: Bragg-Reflexion (Interferenz)
- (photonic bandgap) Materialien mit photonischer Bandlücke (Opal)
Die ω-Abhängigkeit ist sehr wichtig.
H20: εr (ω = 0) = 80 εr (ωLicht) ≈ 1,8
Die Frequenzabhängigkeit wird Dispersion genannt.
Brechzahl n =  ⋅ µ
50
Schematische Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion
Orientierungspolarisation 1010 Hz
● IR-Ionenpolarisation 1012 Hz
● Elektronenpolarisation 1015 Hz
●
-> bei hohen Frequenzen nährt sich ε(ω) -> ε0
Ladungen können den Änderungen von E nicht mehr folgen.
51
Frequenzabhängigkeit des Brechungindex von Wasser
52
Frequenzabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten von Wasser
Schlechtes Wetter
beeinträchtigt die
Übertragung von Satelliten im
Wellenlängenbereich
λ ≈ 3 cm mehr, als die
Übertragung über
terrestrische Sender bei
λ ≈ 30 cm.
53
Metalle
b) frei bewegliche Ladungen
+
+
+
+
-
+
+
+
+
- -+
- --
+
+
+
+
Eine zusätzliche Ladung wird völlig kompensiert:
Elektronen fließen, solange das elektrische Feld im
Inneren nicht Null ist, und schirmen die Ladung ab.
Der Ladungsüberschuss verteilt sich effektiv auf
die Oberfläche (Rand).
Das elektrische Feld im Inneren von Metallen ist Null. Daraus folgt (wegen grad),
dass das elektrische Potenzial im Inneren konstant ist. Der Rand (die Oberfläche)
des Metalls ist eine Äquipotenzialfläche. Die Feldlinien des elektrischen Feldes
stehen immer senkrecht auf Äquipotenzialflächen. Daraus folgt -> Feldlinien stehen
immer senkrecht auf der Oberfläche von Metallen.
D im Inneren

D = 0 
E
P =0
54
2.4. Grenzflächen zweier Medien/Randbedingungen
ε sei stückweise stetig: Sprung an
Grenzflächen
1
2
z
x
div r 0 
E  = −
a) Nichtmetalle (Dielektrika)
a
h
d
rot E = 0
Stokes'scher Satz
∮ E ⋅d r = 0 = ∫ rot E ⋅d f
z
b
dz dx
l
c
1 x
2
h << l
für jeden geschlossenen Weg
b
d
a
c
∫ E 1x dx − ∫ E 2x dx  ∫ E z dz − ∫ E z dz
a
c
d
b

=0
für h  0 und endliche Felder
55
Mittelwertsatz der Integralrechnung:
b
∫ f  x dx =
f b−a
a
b
1
1
∫ E x dx = Ex l
mit hinreichend kleinem l
a
1
2
 Exl = Ex l
1
2
Ex = Ex
1
2
analog E y = E y 
Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes sind stetig.
1
2
Et = Et
Elektrostatisches Potenzial U1 = U(x,y,z=+0), U2 = U(x,y,z=-0):
Angenommen es gelte U1 = U2 + const., wegen E = -grad U,
∂U
= ∞ ~ Ez = ∞
∂z
daraus folgt const = 0
U1 = U2
56
Normalkomponenten von D
z
d f
Zylinder mit Höhe h und Deckfläche F,
1
div D = 
h ≪  F , h 0
∮ D⋅d f = Q
∂V
2
h
d f
Fluss von D durch den Zylinder
∮ D ⋅ d f = ∫ D 1z d f z
Dm⋅d f
∫
−∫ D2z d f z = Q
Mantelfläche mit h  0 und endlichen Feldern
57
Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung und hinreichend kleine Fläche
F, so dass D in der Fläche konstant ist.
1
2
D z F − D z F = Q = ⋅F
1
 = Flächenladung
Q
F
2
Dz − Dz = 
Dz entspricht der Normalkomponente DN auf der Fläche F.
1
N
Die Differenz der Normalkomponenten der dielektrischen
Verschiebung ist gleich der Flächenladung auf der Grenzfläche.
2
N
D −D =
Falls keine Flächenladung auf der Grenzfläche (σ = 0) existiert:
1
2
1
2
D N = D N  1 E N = 2 E N
Die Normalkomponenten des elektrischen Feldes sind an der Grenzfläche unstetig,
der Sprung des elektrischen Feldes ist durch den Sprung der Dielektrizitätsfunktion
der Medien bestimmt.
58
Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien
Einschränkung der Allgemeinheit σ = 0
D = εE
1
tan 1  =
1
2
tan 2  =
1
E t 1
falls  = 0
tan 1  D 1N

= 2 = 1
tan 2  E t 2
2
2
DN
Et
E
E
E
1
N
2
t
2
N
1
=
=
E t 1
D1N
2
E t 2
D 2N
da die Tangentialkomponenten von E
und die Normalkomponenten D an der
Grenzfläche gleich sind.
59
b)
Metalle - Leiteroberflächen
Im Inneren ist E = 0 = D -> U = const.
Die Oberfläche ist eine Äquipotenzialfläche, die Feldlinien stehen
senkrecht auf die Oberfläche.
außen
innen
innen
Et = E t = 0 ~ U = U
innen
D außen
=

,
da
D
=0
N
N
außen
Wird ein äußeres Feld ≠ 0 angelegt, fließen solange Ladungen bis das
elektrische Feld im Inneren Null wird <-> Oberfläche ist geladen.
60
2.5 Einfache Aufgaben aus der Elektrostatik
1. Gegeben seien E und ε, gesucht seien D und ρ
-> trivial (Multiplikation + div.)
2. Gegeben seien ρ und ε, gesucht sind D und E
a)
 r ' 
1
3
d
r
'
∫  ∣r −r '∣
4 

E = −grad U
U  r  =
b) Symmetrien nutzen (Gauß'scher Satz)
61
3.
Dielektrika im Raum
Lösung Poisson-Gleichung  U = −


in Medium und Randbedingungen
(numerische Lösung mittels finiter Elemente und Ansatz)
- Punktladung
- Dipol
- kugelförmige Raumladung
4.
Metallkörper im Raum (Numerik, Spiegelungsprinzip)
elektrisches Feld einer geladenen Metallkugel
Q = 4 R 2 
D 4  r2 = Q
U innen= U außen
Q
U außen =
4  r
∮ D⋅d f = Q ,

D ∥ d f  Kugelsymmetrie
Q
r außen
3
4  r
Oberfläche

E=

E = 0 innen
62
Methode der Bildladungen (Spiegelladungen)
Wir betrachten eine Punktladung vor einer Metallwand. Der Abstand der Ladung
zur Platte sei a. Wenn die Metallplatte geerdet ist, besitzt sie das Potenzial Null.
Gesucht ist das elektrostatische Potenzial und die Influenzladung auf der Wand.
63
Die Metallplatte teilt den Raum in zwei Hälften (x<0 und x>0). Im rechten Teilraum,
der ohne Ladung ist, erhalten wir als Lösung:
für x0
U  r  = 0
Diese Lösung genügt auch der Laplacegleichung mit den Randbedingungen U=0 bei x=0.
Es ist ebenfalls Lösung, falls der gesamte Raum x>0 durch einen vollen Metallkörper
ersetzt wird.
Wir suchen nun die Lösung für den linken Teilraum, wobei wir als Randbedingung
beachten müssen, dass die Feldlinien senkrecht auf der Metallwand stehen. Eine
äquivalente Randbedingung ist das Übereinstimmen des Potenzials auf der Wand.
U  r  = −q  r a ex 
für x0,
U  x=0, y , z  = 0
Wenn man sich an das Potenzial eines Dipols erinnert, stellt man fest das dieses
Potenzial eine Lösung für die linke Seite ist.
U  r  =

q
1
1
−
4  0 ∣r a ex∣ ∣r −a ex∣

64
Die Methode der Bildladungen besteht allgemein darin, zusätzliche Ladungen außerhalb
des interessierenden Bereiches zu finden, so dass die Randbedingungen für das
Potenzial erfüllt werden. Diese Spiegelladungen existieren nicht wirklich,
sondern dienen der mathematischen Beschreibung.
Das elektrische Feld auf der linken Seite lautet

E  r  = −gradU  r  =
[
r a ex
r −a ex
q
−
4  0 ∣r a ex∣3 ∣r −a ex∣3
]
für x0
Das reale elektrische Feld auf der
rechten Seite ist Null.
65
Influenzladung
Die auf der Metallwand induzierte Ladung ist durch die Normalkomponente von D
gegeben. Die Normalkomponente auf der Wand entspricht der x-Komponenten von ε0E.
  y , z = −0 E x  x=0, y , z = −
[
q
a
2   a 2  y 2  z 2 3 /2
]
Die Oberflächenladung ist maximal bei y=0 und z=0 und nimmt mit wachsenden
Abstand von diesem Lotpunkt ab. Die Gesamtladung auf der Metallplatte ist dann
∞
∞
qinfl = ∫   y , z  dy dz = 2 ∫ d    = −q a ∫

0
0
[
d
2
2 3/ 2
 a  
]
= −q
Zylinderkoordinaten
Über die Influenzladung üben die Metallplatte und die Punktladung Kräfte
aufeinander aus, die messbar sind.
66
2.6. Die Energie eines elektrostatischen Feldes
Das Zusammenführen zweier gleicher Ladungen kostet Arbeit. Das
Zusammenführen zweier ungleicher Ladungen bringt Energie.
Vereinbarung
- Energie hat das Symbol W (wegen |E| = E)
- Energiedichte ω(r): W = ∫d3r ω(r)
Im elektrischen Feld E(r) am Ort r wird auf die Punktladung q die Kraft
F(r) = q E(r) ausgeübt.
Um die Punktladung q im Feld E(r) vom Punkt B nach A zu verschieben, muss also
Arbeit geleistet werden.
A
F · dr sei negativ, falls beide Ladungen
das gleiche Vorzeichen haben.
  r ⋅d r
W = −∫ F
B
A
A
= −q ∫ 
E  r ⋅d r = q∫ dU
B
= q [ U  A − U  B  ]
B

dU =
∂U
∂U
∂U
dx
dy
dz=grad U⋅d r
∂x
∂ dy
∂z

67
1. Situation
- eine Punktladung sei bei r1, Q1
(Energie Q1 nach r1 zu schaffen ist Null,
da F(r) = 0)
- eine zweite Punktladung Q2 aus dem
Unendlichen nach r2 schaffen
- elektrisches Feld wird durch Q1 erzeugt
r2
Q2
r1− r2
d r − r2 
r2
r2
Q1
r1
Q 1 r − r1

E r  =
4  ∣r − r1∣3
r2
Q r − r1 ⋅d r
Q 1 Q 2 r − r1 ⋅d r − r1 
  r ⋅d r = −Q 2∫ 1
W = −∫ F
=
−
∫ ∣r −r ∣3
3
∞
4

4

∣
r
−
r

∣
∞
∞
1
1
Q1 Q 2
=−
4 0
r2
r
Q1 Q 2 1
dx Q 1 Q 2 1
∫ x 2 = 4  ∣r − r ∣ = 4   ∣r −r ∣
∞
1 ∞
2
1
∣
2
x = ∣r − r1∣
68
2. Situation: 3. Ladung aus dem Unendlichen nach r3 führen
Energie von Q1 und Q2 ist bekannt. Q1 und Q2 erzeugen ein elektrisches
Feld, das mit Q3 wechselwirkt. Superposition der elektrischen Felder
E(r) = E1 + E2
W=
Q1 Q 2
Q1 Q3
Q 2 Q3


4  ∣r1 − r2∣ 4  ∣r1− r3∣ 4 ∣r2 − r3∣
3. Situation: viele Punktladungen (N)
N
W =∑
i j
Qi Q j
4 ∣
r i − rj∣
andere Schreibweise (z.B. Nolting)
1
W=
8
N
Q i Qi
∑ ∣r − r ∣
i,j=1
i
j
i≠ j
wegen Doppelsummation
i≠ j ⇔ j≠i
1, 2 ⇔ 2,1
69
4. eine Raumladungswolke ρ(r), ∑ -> ∫, Q -> dQ = ρdV
 r   r '  1
1
3
3
3
d
r
d
r
'
=
d


r  r U  r 
∫
∫
∫
8 
∣r −r '∣
2
1
 r ' 
3
U  r  =
d
r
'
∫  ∣r −r '∣
4
W=
Sechsfaches Integral (Die Singularität r = r' ist integrierbar und stört nicht)
5. Zwei Raumladungswolken ρ1(r), ρ2(r)
W=
1
3
d r
∫
8 
[
3
∫ d r '
1  r  1  r '   2  r   2  r '  2 1  r  2  r ' 


∣r −r '∣
∣r − r '∣
∣r −r '∣
W1
W2
 W 12
]
Energie der ersten Wolke + Energie der zweiten Ladungswolke +
Wechselwirkung zwischen Wolken
70
Es gilt für eine Ladungswolke ρi
Wi =
1
2
∫ d 3 r i r  U i r 
außerdem gilt die Poissongleichung (für homogenes ε)
−i
U i =
 i = −U i

−
3
Wi =
d r  U i r   U i r 
∫
2
Weiterhin folgt aus der Vektoranalysis die folgende Beziehung:
div U grad U  = grad U 2  U  U
Wi =−


3
3
2
d
r
div
U
gradU


d
r
gradU


∫
∫
i
i
i
2V
2V
Anwendung des mathematischen Gauß'schen Satzes
∫ div A dV = ∮ A⋅d f
V
Wi =−



d
f
⋅U
grad
U


d3r 
E i ⋅
Ei
∮
∫
i
i
2 ∂V
2 V
∂V
71
Beweis der folgenden Beziehung aus der Vektoranalysis:
div U grad U  = grad U 2  U  U

 
 

2
2
2
∂U
∂U
∂U
∂ U ∂U ∂ U ∂U ∂ U ∂ U
∂ U ∂ U ∂ U
div U
,U
,U
=
,
,
⋅
,
,
+U
2 
2 
2
∂x
∂y
∂z
∂x ∂ y ∂z
∂x ∂ y ∂z
∂x
∂y
∂z

Die linke Seite gibt:

   
      
∂ U ∂U  ∂ U ∂U  ∂ U ∂U
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
2
2
2
2

2
2
∂U
∂U
∂U
∂ U
∂ U
∂ U
=


U


2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z

72



W i = − ∮ d f ⋅U i grad U i   ∫ d 3 r 
E i ⋅
Ei
2 ∂V
2 V
Wir fordern: Alle Ladungen befinden sich in einem endlichen Volumen V
Es ist dann möglich, über eine Kugel mit
R -> ∞ zu integrieren, da ρ nur im
Endlichen ≠ 0
~ R2
1
U ~
R
1
∣grad U∣ ~ 2
R
∮ d f ...
U=
1
4
∫d r'
3
 r ' 
∣r −r '∣
Für den ersten Term erhalten wir damit als Grenzwert für R -> ∞
∮ d f ⋅U gradU
R ∞

1
 0
R
Nur der zweite Term überlebt und gibt einen Beitrag

W=
2
∫ d 3 r E  r ⋅ E  r 
73
1
d 3 r 
E r ⋅ 
D r 
∫
2
1
w= 
E ⋅
D
2
W=
Das elektrische Feld ist der Träger der elektrostatischen Energie.
Quantenmechanische Interpretation:
Die klassische Elektrodynamik kann für kleine Impuls- und Energieüberträge und
einer großen Anzahl von Photonen als ein Grenzfall der Quantenelektrodynamik
betrachtet werden. Die Energie des Feldes ist in den Photonen (Feldquanten)
gespeichert. Die Anzahl der Photonen ist proportional zur elektrischen Feldstärke.
 2d V
d N ~∣E∣
Die elektrostatische Kraftwirkung wird durch den Austausch von Photonen zwischen
den Ladungen vermittelt.
74
3. Magnetostatik
3.1. Grundbegriffe
In der Natur existieren magnetische Felder.
Es gibt allerdings keine Quellen des
magnetischen Feldes, d. h. es wurden noch nie
magnetischen Ladungen (magnetische Monopole)
gefunden.
Magnetische Felder werden erzeugt durch
magnetische Multipole (Dipole, Quadrupole ...)
und Ströme.
Eisenspäne auf Papier, aus Practical Physics (1914)
Magnetostatische Felder entstehen durch stationäre elektrische Ströme.
Haben Multipole ihre Ursachen in atomaren Strömen? (Elektronen in Atomen?)
●
Der Ursprung des Magnetfeldes ist nicht mit klassischer Physik erklärbar ->
Quantenmechanik (van Vleck)
●
Ströme (nicht klassisch berechnet)
●
Spin
(z.B. e- besitzt magnetisches Moment, wie Kompassnadel)
75
3.2. Grundlagen
Definition: Magnetfeld H (magnetische Feldstärke)
[
H]=
A
m
-> wie in der Elektrostatik (rot E = 0) gilt auch hier:
rot H = 0
H = - grad V
V: magnetostatisches Potenzial
Definition: magnetische Induktion B (magnetische Flussdichte)

B = µ0 
H
µo = 4 ⋅10−7
Vs
Am
μ0: Permeabilität des Vakuums
Die magnetische Permeabilität μ beschreibt die Durchlässigkeit von Materie für
magnetische Felder. In Materialien ist die Permeabilität eines Materials
frequenzabhängig, Temperatur- und Druckabhängig und muss als komplexe
Größe definiert werden.
76
Stärkstes und schwächstes Magnetfeld
Das mit 0,000000001 Tesla (1 nT) derzeit schwächste genutzte Magnetfeld findet man in
einem speziell abgeschirmten kubischen Gebäude der Physikalisch-Technischen
Bundesanstalt in Berlin. Zweck des Kubus ist die Messung der schwachen Hirnströme
von Menschen.
Das Magnetfeld der Erde beträgt 20 bis 30 Mikrotesla an der Erdoberfläche. Als Ursache des Erdmagnetfeldes gelten
Konvektionsströme im äußeren flüssigen Erdkern, die durch den
Temperaturunterschied zwischen dem festen inneren Erdkern und
dem Erdmantel aufrechterhalten werden (Geodynamo).
In Dresden (Rossendorf) ensteht ein gepulster Magnet der 100 T erzeugen soll.
Um eine Feldstärke von 100 Tesla zu erreichen, wird eine elektromagnetische Energie
von 50 MJ und ein Spitzenstrom von 100 kA benötigt.
Auf der Oberfläche von Neutronensternen, wie z. B. Pulsaren, herrschen laut unseren
theoretischen Vorstellungen typischerweise Flussdichten von 100 Tesla,
bei Magnetaren, einer speziellen Sorte von Neutronensternen, sogar 1000 Tesla.
77
Nach dem Gauß'schen Satz ist der Fluss von B durch eine Oberfläche:
∮ B ⋅d f = ∫ div B d 3 r = 0
V
keine magnetischen Ladungen
div 
B=0
Magnetische Feldlinien haben keinen Anfang und kein Ende, sondern verlaufen als
geschlossene Bahnen. Das Magnetfeld ist quellenfrei.
In der Magnetostatik gibt es im Gegensatz zur Elektrostatik keine Ladungen –
magnetische Monopole sind zwar mathematisch denkbar, alle experimentellen
Tatsachen sprechen aber gegen ihre Existenz.
Die Grundgleichungen der Magnetostatik, haben die gleiche mathematische
Struktur wie die Grundgleichungen der Elektrostatik.
rot 
H =0
div B = 0
Grundgleichungen
Magnetostatik
78
Randbedingungen
Da die Grundgleichungen mathematisch die gleiche Form haben wie für E
und D, müssen die Randbedingungen genauso sein.
(gleiche Gleichungen = gleiche Lösungen).
Ht1 = Ht2
BN1 = BN2
die tangentialen Komponenten von H sind gleich
die normalen Komponenten von B sind gleich, da es keine magnetische Ladungen (wie σ) gibt
In Analogie zur Elektrostatik
Elektrostatik
W=
1
d 3 r 
H r  
B  r 
∫
2
Magnetostatik
E
D
ε0
U
Q, ρ, σ, η
H
B
µ0
V
―
p Dipolmoment
D = ε0 E + P
m magnetisches Moment
B = µ0 H + M
79
3.3. Magnetfelder in Substanzen
analog zu: D = ε0 E + P
P wird verursacht durch elektrische Dipole in Materie.
In der Magnetostatik gilt: B = µ0 H + M,
Die Magnetisierung M wird verursacht durch magnetische Dipole.
1. Paramagnetismus
Atome/Moleküle besitzen magnetische Momente mi, die nicht orientiert sind.
Die Richtungen sind durch Wärmebewegung statistisch verteilt.
1

M=
V
 
M =0
∑ mi
i
Mittelwert: keine Magnetisierung
Bei Anlegen eines äußeren Feldes werden die magnetischen Momente mi ausgerichtet.
für kleine ∣
H∣:

M = µ 0 m 
H
kleine H
M = M max tanh
µB B
kT
m : magnetische Suszeptibilität
M max : alle 
mi gleiche Richtung
80

B = µ0 
H 
M ≈ µ0 
H  µ 0 m 
H = µ0 1m  
H = µ0 µ r 
H=µ
H
Die lineare Näherung ist bereits für technisch erzeugbare Felder im Allgemeinen falsch.
Die Sättigungsmagnetisierung wird bei niedrigen Temperaturen schnell erreicht.
B = µ H:
lineare Näherung
µ ist im Allgemeinen ein Tensor
µ = µ(ω) , Temperatur, Druck, ...
Jedes Atom, z. B. Natrium, das eine ungerade Zahl von Elektronen hat, wird ein
magnetisches Moment haben, auch Radikale mit einem ungepaarten Elektron sind
magnetisch. Wenn Verbindungen (Doppelbindungen) gebildet werden, heben sich diese
Momente im Allg. gegenseitig auf.
Ein resultierendes magnetisches Moment gibt es in Stoffen, deren Atome eine innere,
teilweise ungefüllte Elektronenschale haben:
Übergangselemente Cr, Mn, Fe, Ni, Co, ... (seltene Erden).
81
2. Diamagnetismus
Bei Anlegen eines Feldes werden magnetische Momente erzeugt, die dem
äußeren Feld entgegen wirken.
χm negativ
aber 1 + χm > 0
-> Es bildet sich ein dem äußeren Feld entgegengesetztes Feld aus.
Alle Stoffe sind diamagnetisch, allerdings ist der Diamagnetismus sehr schwach,
so dass dieser Effekt manchmal durch andere Effekte (Paramagnetismus oder
Ferromagnetismus) überdeckt wird.
In Metallen erzeugen die frei beweglichen Elektronen Diamagnetismus (Landau). Die
restlichen Ionen können Paramagnetismus verursachen, meist überwiegt der
Diamagnetismus
B = µ H µ < µ0
Wiederum gilt: lineare Näherung
µ ist eigentlich ein Tensor
µ = µ(ω) (geringe) Temperatur-, Druckabhängigkeit
82
Magnetische Suszeptibilität einiger Stoffe bei Raumtemperatur:
Wasser
Benzene
NaCl
Graphite ║
Graphite ┴
Cu
Ag
-90.0 · 10-6
-7.2 · 10-6
-13.9 · 10-6
-260.0 · 10-6
-3.8 · 10-6
-1.1 · 10-6
-2.4 · 10-6
Warum gilt eigentlich immer µ = (1 + χm) µ0 ≥ 0?
µ kann nie negativ werden, da
=
1   1  
H ⋅B = 
H ⋅H µ
2
2
>0
Falls µ negativ wäre, würden Magnetfelder sich selbst verstärken (-> ∞), da durch
höhere Magnetfelder die Energie des Systems immer kleiner werden würde.
Supraleiter sind perfekte Diamagneten mit χm=-1 und µ = 0.
83
3. Ferromagnetismus
Es existieren so genannte Weiss'sche Bereiche
(Domänen) mit ausgerichteten magnetischen
Momenten M ≠ 0
In einem Bezirk gilt

M =
M 0 T   µ0 m 
H
Mmax: alle Atome ausgerichtet
TC: Curie-Temperatur
Thermische Fluktuationen zerstören Ausrichtung, magnetisches Feld stellt
Ausrichtung wieder her.
84
M0(T) bildet das nullte Glied einer Taylor-Reihe von M(H)
B = µ0 H + M(H,T)
näherungsweise für kleine H:
B = µ0 H + M0(T) + µ0 χm H + ...
B = µ H + M0(T)
T > TC : M0(T) = 0
T < TC : M0(T) ≠ 0
mit µ = µ0(1 + χm)
paramagnetisches Verhalten
ferromagnetisches Verhalten
In einem ferromagnetischen Körper existieren viele Weiss'sche Bezirke. Ein
starkes Magnetfeld kann ein „Umklappen“ der Magnetisierung der Weiss'schen
Bezirke bewirken.
85
Hc
MR
c
Ms
b
a
d
Ms
4. Ferrimagnetismus
Hc
H
a Neukurve
b Sättigung
c Remanenz
d Koerzitivkraft
unterschiedlich große Momente
5. Antiferromagnetismus
6. Antiferrimagnetismus
⋮
chirale Strukturen
frustrierte Strukturen
Wesentlich: B = µ H ist eine grobe Näherung, die nur für Para- und Diamagnete
anwendbar ist.
86
Magnetfeld im Inneren eines Stabmagnetes
Stabmagnet: B = µH + M
Sommerfeld § 12, Elektrodynamik

M

B
da div B = 0
(Feldlinien müssen geschlossen sein)
HH

H
rot H = 0
1
H =  B −
M
µ
Im Inneren ist damit B antiparallel zu H
B ≠ µH
87
Analytisches Ergebnis für eine Kugel mit homogener Magnetisierung M
N
M
M
B

M sei gegeben

M

B = 2 
H =−
M
3µ
3
M
H
S
div 
B = 0 = µ div 
H  div 
M
Die Magnetisierung macht einen Sprung an Oberfläche, den H kompensieren muss.
Die Normalkomponente von H hat deswegen einen Sprung von -M.
Wegen rot H = 0 muss auf jedem geschlossenen Weg gelten, dass
H⋅ d r = 0
∮
Ein Teilintegral außerhalb des Magneten (B, H gleiche Richtung) ist positiv.
Deshalb muss das Teilintegral über den Weg innerhalb des Magneten negativ
sein.
∫

H ⋅d r  0
∫

M⋅d r = ∫ 
B⋅d r − µ
innen
innen
∫

B⋅d r  0

M =
B − µ
H
innen
innen
∫

H⋅d r  0 ,
innen
d. h., H im Inneren des Magneten hat auf jeder Feldlinie (durchschnittlich) die
entgegengesetzte Richtung wie M.
88
4. Ströme und deren magnetische Wirkungen
4.1. Elektrische Ströme
4.1.1. Die Kontinuitätsgleichung
Stationäre Ströme = Ladung, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt
(Gleichstrom)
dI
≠0
beschleunigte Bewegung:
dt
Beliebiges Volumen, durch das der Strom fließen soll
-> Ladung in V (Q(t))
Ladungserhaltungssatz: Eine Ladung kann nicht verschwinden.
Q̇ t = Strom hinein oder hinaus aus V
(durch Oberfläche von V)
j
Strom fließt in Richtung der Flächennormalen
Strom
I = ∮ j ⋅d f , j = Stromdichte =
Fläche
∂V
Q̇  I = 0
Q = ∫ d 3 r   r 
V
89
Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes
d
 d 3 r  ∫ div j d 3 r = 0
∫
dt V
V
-> für gegebenes beliebiges Volumen V
d
 div j = 0
dt
Kontinuitätsgleichung
(mikroskopische Form der Ladungserhaltung)
(analog zur Hydrodynamik: Massenerhaltung
̇ m  div j m =)0
Die Ladungsdichte in einem Volumen kann sich nur ändern, wenn durch die
Oberfläche des Volumens ein Strom fließt.
90
4.1.2. Das Ohm'sche Gesetz
Ursache von Strömen sind elektrische Felder
(Spannung = Potenzialdifferenz)

E  
F =e
E  
F = m a
Elektrisches Feld wirkt auf eine Ladung -> Kraftwirkung -> beschleunigte Bewegung
Warum erzeugt E einen Gleichstrom mit der Dichte
j =  v
statt
dj
dt
≠ 0?
Im Vakuum (oder Ionosphäre) verursacht E beschleunigte Ladungen.
● In Materie werden Elektronen ständig durch Gitterschwingungen und Defekte gestreut,
diese Reibung führt zu einer gleichförmigen Geschwindigkeit der Ladungsträger.
●
Georg Simon Ohm
16. März 1789 in Erlangen
† 6. Juli 1854 in München
91
Idealer Kristall bei T = 0
Elektron fliegt durch den Kristall.
realer Kristall bei T ≠ 0
Bewegung der Elektronen wie bei Reibung
(bzw. Fall aus großer Höhe).
m ̈r ̇r  = e 
E
=
1
= mittlere

Zeit
zwischen zwei Stößen
Elektrisches Feld bewirkt eine Beschleunigung
̈r   ̇r = const . , da ̇r wächst und ̈r sinkt
̈r = 0 m  ̇r = e E
2
e
j = en v = n E =  E
Ohmsches Gesetzt der Leitfähigkeit
m
 = en
n=
Ladungsdichte
Ladungsträgerdichte

j =  E
92
Das Ohm'sche Gesetz ist ein Materialgesetz und nur näherungsweise gültig:
● σ ist im Allgemeinen ein Tensor: j nicht parallel zu E
● σ(k,ω) zeigt Dispersion wie ε(k,ω)
● temperatur-, druckabhängig
● σ linear (1. Glied einer Taylor-Reihe)
●
j
j
negativer Widerstand
Tunneldiode
E
●
EF
E
In der Ionosphäre sowie in Nano- und Mikrostrukturen bei tiefen Temperaturen
findet ballistischer Transport statt, bei dem das elektrische Feld die Ladungen
beschleunigt.

E  d j
dt
Leo Esaki (jap. Esaki Reona)
12. März 1925 in Ōsaka
Physik-Nobelpreis 1973 (Tunneldiode)
Bild: http://nobelprize.org/physics/laureates/1973/
93
Einfaches Beispiel: Draht mit konstantem Querschnitt
j ∥ 
E
A
l
l
l
U =−∫
E⋅d r = − ∫ E d x = −E l
0
0
I = ∫ j ⋅d f = ∫ j x df x = j ⋅ A = 
A
Spannung = |Potenzialdiff.|
U
j = E = 
l
A
1
=
R
l
U
A
l
U =lE
I =
U
R
94
4.1.3. Die Joule'sche Wärme
Das elektrische Feld E verursacht eine Beschleunigung, die kinetische
Energie müsste zunehmen, was aber durch die Reibung aber nicht
passiert.
Wo bleibt diese fehlende Energie?
Reibung erzeugt Wärme -> stromdurchflossener Körper erwärmt sich
Für 1 Elektron abgegebene Arbeit:
 r = F⋅
 v dt = P dt
dW = F⋅d
P = Leistung
P = e E⋅ v
Für viele Elektronen, E und ν gleich:
James Prescott Joule
24. Dezember 1818 in
Salford bei Manchester
† 11. Oktober 1889 in
Sale bei London
P = ∑ e E⋅ v = Q⋅ E⋅ v
dP = E⋅ v dQ
da  =Ladung pro Volumenelement dQ =  dV
dP =  E⋅ v dV =  dV
95
dP =  
E⋅ v dV =  dV
Es gilt  
v = j
 = j⋅ 
E
Falls das Ohm'sche Gesetz gilt
Die Joule'sche Wärme entspricht der im
Volumenelement dV pro Zeiteinheit dt
produzierten Wärme.
j =  
E
j 2
 =
E =

2
j ∥ 
E
Einfaches Beispiel: Draht
V=A∙l
I=j∙A
A
U=El
l
2
U
P = ∫ d r  = ∫ d r j ⋅ 
E = j E V = j E A l = I ⋅U =
= I2R
R
3
3
Einheit der Leistung P: Watt, W = A V
96
4.2. Das durch stationäre elektrische Ströme erzeugte Magnetfeld
4.2.1. Das Ampère'sche Gesetz
I
(Durchflutungsgesetz, Verkettungsgesetz)
Experiment: I erzeugt einen Wirbel (Magnetfeld)
Richtung entspricht der „rechten Hand“-Regel
H⋅ d r = I
∮
 = j
rot H
Ørsted studierte Naturwissenschaften und Pharmazie an der Universität Kopenhagen.
1819 isolierte er erstmals Piperidin.
1820 entdeckte er mit einem Kompass die magnetische Wirkung des elektrischen Stromes.
1825 stellte er erstmals Aluminium her.
Hans Christian Ørsted
14. August 1777 in Rudkøbing
† 9. März 1851 in Kopenhagen
Erkannte 1820 die magnetische
Wirkung von Strömen.
André-Marie Ampère
20. Januar 1775 in Poleymieuxau-Mont-d'or neben Lyon
† 10. Juni 1836 in Marseille
Ampère erklärte den Begriff der
elektrischen Spannung und des
elektrischen Stromes und setzte die
Stromrichtung fest.
97
H-Linien sind konzentrische Kreise
mit wachsendem Abstand sinkt H
x
(Symmetrie H konstant auf Kreis -> H || dr)
∮

H⋅d r = H 2  R = I
Kreis
Nach Stokes:
rot 
H = j , div 
H =0
div rot 
H = div j=0
∫ rot H ⋅d f = ∫ j ⋅d f
H=
I
2 R
rot H = j kann nur richtig sein, falls ̇ = 0 ,
da die Kontinuitätsgleichung gelten muss.
̇  div j = 0
 stationäre Ströme
Bemerkungen:
∮ H⋅ d r = const.⋅I
A
const. = 1 durch SI-Einheiten von [ 
H ]:
m
andere Einheiten:
1
A
4
=
Orsted
m 1000
Vs
4
B = µ 
H:
=
Tesla
=
10
Gauss
m2
98
4.2.2. Ring- und Zylinderspulen
1. Ringspule
Gesucht ist das Magnetfeld in
der Spule.
Liegen die Windungen dicht, wird H in der Spule näherungsweise konstant.
H ⋅ d r = n I
∮
H=
2. Zylinderspule
nI
2R
H ⋅ d r = n I
∮
Näherungen: H homogen im Inneren (dichte Wicklung)
H außen sehr klein (am Anfang + Ende der Spule falsch)
nI
l : Länge der Spule
l
verbiegen der Zylinderspule -> Ringspule
l=2πR
H=
99
4.2.3. Das Vektorpotenzial
In der Magnetostatik gilt:
rot H = 0
3 DGL zu lösen
div B = 0
1 weitere DGL
Die ersten 3 Gleichungen lassen sich durch einen Potenzialansatz lösen,
H = - grad V
V: skalares Potenzial
allerdings nur wenn rot H = 0.
Können wir irgendetwas von div B = 0 nutzen, das wegen seiner mathematischen
Struktur immer Null ist?
Einführung des Vektorpotenzials A, so dass div B = 0 immer erfüllt ist.
Da aus der Vektoranalysis bekannt ist, das immer gilt div rot = 0, definieren wir das
Vektorpotenzial als mathematische Hilfgröße:
B = rot A:
: A Vektorpotenzial
100
A ist dadurch nicht eindeutig bestimmt:
● Es kann immer ein konstanter Vektor addiert werden.
●
●
rot grad ≡ 0
-> Zu A kann der Gradient einer beliebigen Funktion addiert werden.
●A' und A = A' + grad W(r,t)
●
liefern das gleiche B-Feld
● W(r,t) kann so gewählt werden, dass zusätzliche Bedingungen (die Rechnungen
erleichtern) erfüllt sind.
●
Die von der Theorie vorhergesagten Wechselwirkungen ändern sich nicht, wenn eine
bestimmte Größe lokal frei gewählt wird. Eine Größe an jedem Ort unabhängig festzulegen,
kann man auch als Definition eines Maßstabes (einer Eichung) sehen.
Der Mathematiker Hermann Weyl führte den Namen Eichinvarianz bzw. Eichsymmetrie
für solche Theorien ein.
In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die den
statischen Grenzfall der Lorenzeichung darstellt.
Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt
eine mögliche Einschränkung des Vektorpotenzials A(r, t) dar.
div A = 0
101
Beweis:
angenommen
A' erfülle die Coulomb-Eichung nicht: div A' = c(r) ≠ 0
gesucht ist:
A = A' + grad W(r,t), so dass die Coulomb-Eichung gilt div A = 0
div A = div A' + div grad W
0 = c(r) + ∆ W
W als Lösung dieser Gleichung gewählt, so dass: div A = 0
Man kann immer ein A konstruieren, für das div A = 0 gilt.
A' voraussetzen, div A' = 0 überprüfen
Die Elektrodynamik ist eine eichinvariante Feldtheorie, d..h B hängt nicht von der
Eichung ab. In der Elektrostatik ergibt U + const. dasselbe E wie U
Ladungserhaltungssatz
E. Noether
-
jede Invarianz <--> Erhaltungssatz
Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotenzial sondern auch das skalare
Potenzial fest. Die Lösung für das skalare Potenzial U(r,t) entspricht im Falle der
Coulomb-Eichung dem elektrostatischen Coulomb-Potenzial.
Daher kommt der Name Coulomb-Eichung.
∂
A r , t 

E  r ,t  = −grad U  r ,t −
∂t
102
Nach dem Ampere'schen Durchflutungsgesetz gilt rot H = j.
Zusammen mit B = μ H, nutzen wir B = rot A als Ansatz.
rot
1
rot 
A = j
µ
falls μ = const.
rot rot 
A =  j
Es gilt
∆ = grad div – rot rot, da div A = 0
∆A = - µ j
in Coulomb-Eichung
Ähnliche Gleichungen haben ähnliche Lösungen (siehe Poissongleichung):
µ

A r  =
4
j  r ' 
∫ d r ' ∣r −r '∣
3
für eine gegebene Stromdichte j(r) folgt daraus A(r) und B = rot A.
Die Gültigkeit von div A = 0 war hier vorausgesetzt, aber es gilt diese zu prüfen
j r ' 
µ
3

div A r  =
d r ' div r
∫
∣r −r '∣
4
103
div ⋅ a  =  div a  a ⋅grad 
divr
j  r ' 
1
1


=
div
j

r
'


j⋅grad

r
∣r − r '∣ ∣r −r '∣ 
∣r − r '∣
0
div 
A=
grad r
µ
1
d 3 r ' j ⋅grad r
∫
4
∣r − r '∣
1
1
= −grad r '
∣r −r '∣
∣r −r '∣
µ
1
3

=−
d

r
'
j

r
'
⋅grad
∫
r '
4
∣r −r '∣
∣r −r '∣=   x− x ' 2 y− y ' 2 z− z ' 2
∂∣r − r '∣−1
−1
=
 x− x ' 
∂x
∣r− r '∣3
∂∣r − r '∣−1
1
=
 x− x ' 
∂ x'
∣r− r '∣3
div  a  =  div a  a⋅grad 
j  r ' 
µ
1
µ
3
3
=+
r ' −
∫ d r ' ∣r −r '∣ div
∫ d r ' div r ' ∣r −r '∣
r ' j 

4
4
0 wegen Gleichstrom
j  r ' 
µ


div A  r  = −
∮ d f ⋅∣r −r '∣ = 0
4
Falls die Oberfläche „weit genug weg“ ist, so dass keine Ströme aus dem Unendlichen
bzw. nach Unendlich durch die Oberfläche fließen.
µ

A r  =
4
j  r ' 
∫ d r ' ∣r −r '∣
3
104
4.2.4. Das Biot-Savart-Gesetz
Dünner Draht
Gesucht ist H(r) für einen dünnen stromdurch flossenen
Draht
µ

A r  =
4
d 3 r ' = d r ⋅d f
j r ' 

∫ d r ' ⋅∫ d f ∣r −r '∣
r' ändert sich nur infinitesimal über den Querschnitt des
Drahtes, da dieser dünn sein soll.
d.h. in Bezug auf das Flächenelement df , welches den
Querschnitt integriert, ist
1
= const.
∣r −r '∣
Zerlegung
µ

A  r  =
4
=
Jean-Baptiste Biot
21. April 1774 in Paris
† 3. Februar 1862 in Paris
µ
4
f j  r ' 
d
∫ d r ' ∣r −1r '∣ ∫

I
I
∫ d r ' ∣r −
r '∣
105
Da für einen Draht mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen gilt, dass entlang
des Drahtes I= const. ist:
µI
1

A  r  =
d
r
'

∫ ∣r −r '∣
4
 B = rot 
A = µ
H
I
d r '

H r  =
rotr
∫
∣r − r '∣
4
Es gilt:
rot ⋅ a  =  rot a − a × grad  ,
I

H  r  = −
4
rot r d r ' = 0
1
∣r − r '∣

∫ d r ' × grad r
−
I

H  r  =
4
r −r '
∣r −r '∣3
∫ d r ' × ∣rr−−rr'∣' 3
Ein Drahtstück dr' am Ort r' erzeugt ein Magnetfeld am Ort r
d
H  r  =
I
r −r '
d r ' ×
4
∣r − r '∣3
106
4.3. Kraftwirkungen zwischen Magnetfeldern und Strömen
4.3.1. Kraftwirkung eines Magnetfeldes auf ein Stromelement
Die Rolle des Coulomb'schen Gesetzes der Elektrostatik übernimmt in der
Magnetostatik das Ampere'sche Gesetz:
Auf ein Strom durchflossenes Wegelement dr in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft:
∣d F∣~ I
∣d 
F∣ ~∣d r∣
d
F ⊥ d r
d
F  r  = I d r × 
B  r 
Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern:
C1
d r1
I1
r1
r12
r2
C2
d r2
I2

F=
µ0 I 1 I 2
4
∮∮
C 1 C2
d r1×d r2 × r12 
∣r12∣3
0
Kraftwirkung auf den Strom in einer Leiterschleife, durch das Magnetfeld, dass durch
den Strom in einer zweiten Leiterschleife erzeugt wird.
107
M
a
g durch den Strom I in der Schleife C erzeugte magnetische Induktion ist
Die
2
2
n
e
I2
d r 2×r 12

B

r

=
µ

t
2
1
0
4  C ∣r 12∣3
f
e
Mit dem vom Strom I2 erzeugten B-Feld wechselwirkt der Strom I1 in der
lLeiterschleife C
1
d
e

F 12 = I 1 d r1 × B2  r1 
s
C
∮
2
∮
d r1
B
a
u
f
e
i
n
e
d f
1
3



F 12 = ∫ [ j  r  × B  r  ] d r

F 12 = ∫ [ j  r  × 
B r  ] d 3 r
Kraft eines Magnetfeldes B auf eine beliebige Stromverteilung j.
108
Lorentzkraft eines Magnetfeldes auf eine bewegte
Punktladung:
Hendrik Antoon Lorentz
* 18. Juli 1853 in Arnhem
† 4. Februar 1928 in Haarlem
Nobelpreis für Physik 1902
j =  v = q  3  r − r0  v
r0 :Ort der Ladung q
F = ∫ d 3 r q 3  r − r0  v × B  r  = q v  r0  × 
B  r0 
Gesamtkraft auf eine Ladung bei elektrischen und
magnetischen Feldern

F = q
E  q v × 
B
●
●
Rechte-Hand-Regel
Elektron bewegt sich auf Kreisbahn
t
●
●
●
●
●
●
●
Diese Kraft ist bedeutend für:
alte Bildschirme (Monitor, Fernseher), Elektronenmikroskop
Nachweis geladener Teilchen in Nebel- oder Blasenkammer (Q/m bestimmen)
geladene Teilchen im Magnetfeld der Erde
Elektromotor
Betatron, Synchrotron (Beschleuniger)
Kernfusion (Plasmafalle)
109
Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern
µ0 I 1 I 2

F=
4
∮∮
r1
d r1 × d r2× r12 
r12
d r1
d r2
r2
∣r12∣3
C1 C2
Das komplizierte doppelte Vektorprodukt lässt sich für manche Zwecke günstiger
umschreiben.
d r1 × d r2 × r12  = d r2  d r1⋅r12 − r12  d r1⋅d r2 
r12
∮ d r1⋅∣r ∣3 = −∮ d r1⋅grad ∣r1 ∣ = − ∫ d f ⋅rot grad r1 = 0
12
12
12
C
C
Fläche C
1
1
1
Der erste Term verschwindet im Ausdruck für die Kraft unter Nutzung des
Stokes'schen Satzes und der Beziehung rot grad = 0.
I1I2
4

F 12 = − 
F 21

F = −µ0
r12
∮∮ d r1 ⋅ d r2 ∣r ∣3
C1 C2
12
Actio gleich reactio ist durch diesen Ausdruck für die Kraft erfüllt, da r12 das
Vorzeichen ändert.
110
4.3.2 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
Gegeben seien zwei unendlich lange, parallele, gerade Drähte mit Abstand a,
durch die die Ströme I1 und I2 fließen. Welche Kraft übt der Strom durchflossene
Leiter C2 auf das Element dz1 des Leiters C1 aus?
I1
a
l1
r2 − r1
dz1
r1
r2
I2
dz2 c2
(z2-z1)êz
∞
I 1 I2
- r2 − r1 

d F 12 = − µ0
dz ∫ dz
4  1 −∞ 2 ∣r1 −r2∣3
r2 − r1 = a ex   z 2 −z 1  ez
∣r2− r1∣=  a2  z 2 − z 1 2
0x
z
x
Stromfluss im ∞ durch einen Halbkreis geschlossen.
So weit weg, dass der Krafteinfluss vernachlässigt werden kann.
111
d
F 12 = µ0
∞
I1 I2
dz 1
4
I1I2
= µ0
dz 1
4
∫ dz
[
a ex z 2 −z 1  ez
2
−∞
∞
∫ dz
[ a 2 z 2− z 12 ]
3/2
∞
a ex
2
−∞
[ a  z 2− z 1  ]
2
2
3/ 2
 ez
∫
 z 2 − z1  dz 2
−∞ [  a  z 2 − z 1   ]
2
2
3/2
]
∞
I1I2
dz
= µ0
dz 1 a ex 2 ∫ 2 2 3/ 2
4
0 a  z 
∞
I1I2
2z
= µ0
dz 1 a ex 2 2 2 1 /2
4
a a z  0
I 1 I 2 ex
= µ0
dz
2 a 1
∣
Die von den geraden Leitern aufeinander ausgeübte Kraft ist senkrecht zu beiden
Stromrichtungen. Sie ist anziehend, falls die Ströme die gleiche Richtung haben.

F 12 = µ0
I1 I2
z e x
2 a
SI: a = 1 m, I1 = I2 = I
I beträgt gerade 1 A, wenn dadurch
auf einen 1 m langen
Leiterabschnitt eine Kraft von 2 *
10-7 N ausgeübt wird.
112
4.3.3. magnetostatische Energien
W mag = ∫ d 3 r m  r  =
=
1
2
1
2
1
H ⋅
B = ∫ d 3 r ( 
H ⋅rot 
A)
∫ d 3 r 
2
1
3
H  ∫ d r div  
A×
H
∫ d 3 r A⋅rot 
2
div  
A×
H=
H ⋅rot 
A−
A ⋅rot 
H
j r ' 
µ
3

A  r  =
d r '
∫
4
∣r −r '∣
r∞
H  = ∮ d f ⋅ 
A×
H  0
∫ d 3 r div  A × 
~r
2
~
1
r
~
1
r2
da rot 
H = j
Wm=
1
2
3
d
∫ r j  r , t ⋅ A r , t 
elektrostatische Analogie:
W el =
1
2
∫ d r  r  U  r 
3
113
Damit erhalten wir durch Einsetzen von A (r):
j r ' , t
1
µ
3
3

W m = ∫ d r j r , t⋅
∫ d r ' ∣r −r '∣
2
4
j r , t ⋅ j r ' , t
µ
3
3
=
∫ d r ∫ d r '
∣r −r '∣
8
Die magnetostatische Energie ist durch die Wechselwirkung zwischen den
Stromdichten bestimmt. Dieser Ausdruck ähnelt sehr stark dem Ergebnis für
elektrostatische Energien, der die Wechselwirkung zwischen den
Ladungsverteilungen beschrieben hat.
W el =
1
8 
∬ d 3 r d 3 r '
 r   r ' 
∣r −r '∣
114
5. Die Maxwell'schen Gleichungen
5.1. Der Verschiebungsstrom
rot 
E =0
rot 
H = j
bisher:
div 
D=
div 
B=0
Die Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) fordert:
̇  div j = 0
Wenn aber
da
rot 
H = j
dann muss gelten
̇ = 0 ,
div
rot 
H = div j .

0
Es fehlt offensichtlich ein Term, der diesen Widerspruch korrigiert.
115
rot 
H = j  ̇D
Postulat:
div rot 
H = div j  div ̇D = 0
div j  ̇ = 0
Bedeutung:
̇D
̇D
= 0 ̇E̇P erzeugt ein Magnetfeld
= Verschiebungsstromdichte
rot 
H = Stromdichte + Verschiebungsstromdichte
d P
: wird durch Ladungsträgerbewegung verursacht,
dt
d E
: ist ein neuer Effekt (wesentlich für Wechselstrom).
dt
116
5.2. Das Faraday'sche Induktionsgesetz
Magnet wird an Spule heran bewegt
-> Induktion einer Spannung
=
∫

B ⋅d f
Fläche der
Ringspule
d
=∮
E ⋅d r
dt
Änderung des Flusses
erzeugt elektrisches Feld
Richtung von E ist durch die Lenz'sche Regel (entgegen der Ursache) gegeben.
j=σE
da eine Spannung in einem Leiter einen Strom verursacht
j erzeugt Magnetfeld Hs
Hs und HM sind entgegengesetzt gerichtet
―> Abstoßung
117
Um Strom zu erzeugen, muss Arbeit geleistet werden.
∮ E ⋅d r
ist positiv (festgelegt durch Skizze)
d
d
 = ∫ B ⋅d f
dt
dt
Faraday`sches
Induktionsgesetz
negativ
d
d

E
⋅d
r
=
= − ∫
B ⋅d f

∮
dt
dt
22. September 1791 Newington Butts
† 25. August 1867 bei Hampton Court
Ui =∮
E ⋅ d r =
induzierte Spannung
hat anderes Vorzeichen als früher
r2
 U  r1 − U  r2  = −∫ E ⋅d r
r1
Grund:
Induzierter Strom verursacht Spannung
früher: Spannung verursacht Strom
118
Anwendung des Stokes'schen Satzes
d 



E
⋅
d
r
=
rot
E
⋅d
f
=
−
B ⋅d f

∮
∫
∫
dt
rot 
E = −̇
B
Die differenzielle Form besitzt nicht die vollständige Information.
Zeitliche Änderungen von B verursachen einen Wirbel von E, aber auch die Fläche
kann zeitlich veränderlich sein.
∫ ̇B df
wäre nicht ausreichend, aus
rot 
E = −̇
B
ist dies nicht zu sehen.
Experimenteller Befund:
d 
B ⋅d f
∫
dt
ist richtig (Generator)
Stromerzeugung (Dynamo, Generator)
1866/7 technische Realisierung durch
Siemens
Ernst Werner von Siemens
13. Dezember 1816 in Lenthe bei
Hannover;
† 6. Dezember 1892 in Berlin
119
5.3. Das System der Maxwell'schen Gleichungen
rot 
H = j  ̇
D
div 
D=
rot 
E = − ̇
B
div 
B=0
Achtung:
Den Inhalt dieser Seite
sollten Sie zur Prüfung
wissen. Er ist absolut
notwendig (aber nicht
hinreichend).
Statik: alle Zeitableitungen Null, j = 0
Stationäre Ströme: alle Zeitableitungen Null, j ≠ 0
Materialgleichungen:
D = 0 E  P  E 
B = µ0 
H 
M 
H
j = j  E 
Näherungen

D =  E
B = µ 
H
j =  E
Kontinuitäts-Gleichung folgt direkt aus den Maxwell'schen Gleichungen:
rot 
H = j  ̇
D
̇  div j = 0
Kraft: Lorentz-Kraft

F = q
E  q v × 
B
120
●
Die Maxwell'schen Gleichungen wurden zwischen 1861 bis 1864 von James Clerk
Maxwell entwickelt.
Sie beschreiben in einer geschlossenen Form die Erzeugung von elektrischen und
magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie deren Wechselwirkung und
bilden die theoretische Grundlage der Elektrodynamik und der Elektrotechnik.
● Die Maxwell'schen Gleichungen beinhalten:
●


●
das Ampère'sche Gesetz,
das Faraday'sche Gesetz,
das Gauß'sche Gesetz
Das Zusammenfassen dieser Gesetze in eine einheitliche Theorie
und die Erkenntnis der Notwendigkeit des Maxwell'schen
Verschiebungsstromes aus theoretischen Überlegungen stellt eine
der herausragendsten Leistungen dar.
1931, zum hundertsten Jahrestag von Maxwells Geburt, beschrieb
Einstein das Werk Maxwells als „das Tiefste und Fruchtbarste, das
die Physik seit Newton entdeckt hat“.
James Clerk Maxwell
13. Juni 1831 in Edinburgh
† 5. November 1879 in Cambridge
121
5.4. Energie(erhaltungs)satz
Maxwell'sche Gleichungen
rot 
H = j  ̇D
rot E = − ̇B
∣ ⋅E Skalarprodukt
∣ ⋅
H
Subtraktion der Gleichungen

E ⋅rot 
H −
H ⋅rot 
E = j⋅
E
E ⋅̇
D
H ⋅̇
B
Es gilt:
−div  
E ×
H=
E ⋅rot 
H −
H ⋅rot 
E

−div  
E ×
H=
j ⋅
E

E ⋅̇
D
H ⋅̇
B
Joule'sche Wärme 
Falls D = ε E und B = µ H
(falls nicht: siehe Landau/Lifschitz: Elektrodynamik der Kontinua VIII)
122
−div  
E ×
H  =   
E ⋅̇
E  µ
H ⋅̇
H
da
d  
 H ⋅ H  = ̇
H ⋅
H 
H ⋅̇
H = 2
H ⋅̇
H
dt

−div  
E ×
H=
2
1
=
2
d  
 E⋅ E   µ
dt
2
d  
 E⋅D   1
dt
2
d  
 H ⋅H 
dt
d  
 H ⋅B 
dt
elektromagnetische Energiedichte:
w = w el  w mag =
1  1 
E ⋅D  H ⋅ B
2
2
ẇ  div  
E ×
H  = −
Energiesatz der
Elektrodynamik
123
Definition: Poynting-Vektor

S =
E ×
H
John Henry Poynting
9. September 1852 in
Monton
† 30. März 1914 in
Birmingham
Für Nichtleiter σ = 0 -> ν = 0
ẇ  div S = 0
Energieerhaltungssatz
Die Energiedichte kann sich nur ändern, wenn ein Energiestromes fließt.
—> Poynting-Vektor = Energiestromdichte in Richtung des Energieflusses
In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In
anisotropen optischen Medien, zum Beispiel in doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im
allgemeinen nicht.
(Der Poynting-Vektor beschreibt 3 der 10 unabhängigen Komponenten des EnergieImpuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.)
ν ≠ 0 Elektromagnetische Energie kann in Wärme umgewandelt werden
Damit existiert kein Erhaltungssatz für elektromagnetische Energie.
124
5.5. Die Wellengleichung
●
●
●
●
●
Radiowellen -> Licht -> Röntgen -> Gamma-Strahlung sind elektromagnetische Wellen
Voraussetzungen für die Herleitung der Wellengleichung:
µ, ε sind zeitliche und räumliche skalare Konstanten
ρ = 0 keine freien Ladungen
σ = 0 keine Leiter (nicht leitfähig)
aus Maxwell:

D = 
E, 
B = µ
H
rot 
H =  ̇
E
rot 
E = −µ ̇
H
div 
E =0
div 
H =0
- eine der Gleichungen mit rot nehmen und rot rot bilden
rot rot 
E = − µ rot ̇
H = −µ  ̈
E

E = grad div
E − rot rot E
0
2
2
∂
E
1
∂
E

E = µ 2 = 2
∂t
c ∂ t2
Lichtgeschwindigkeit
1
=  µ in Medien mit ε, µ}
2
c
1
= 0 µ0
2
c
Wellengleichung
Vakuum c
125
2
2
∂
E
1
∂
E

E = µ 2 = 2
∂t
c ∂ t2
Lösung einer linearen, partiellen Differenzialgleichung;
allgemeine Lösung ist eine ebene Welle


E  r ,t  = 
E 0 e i  k⋅r − t
E0 selbst kann komplex sein:
Re E : physikalisch sinnvoll
E 0x = ∣E 0x ∣⋅e i  ,
x
E 0y = ∣E 0y ∣⋅e i  ,
y
E 0z = ∣E 0z ∣⋅e i 
z
∣E 0x ∣=  Re E 0x 2  Im E 0x 2
Damit gilt ausführlich Re E
E x  r , t = ∣E 0x∣cos k⋅r −t x 
E y  r ,t  =∣E 0y∣cos k⋅r − t y 
E z  r , t = ∣E 0z∣cos k⋅r − t z 
126
Überprüfen unseres Lösungsansatzes:
∂ 
E = −i  
E
∂t


E=
E 0 ei  k⋅r − t
∂ 
E = i k x 
E
∂x

∇⋅
E =i
k⋅
E
2
2

E = 
∇ 
E = −k 
E
Damit folgt für unsere Wellengleichung

E=


1
−k 2 
E = 2 - 2  
E
c
2

k 2 −

E=0
2
c
2

 k = 2
c
2
1 ̈
E
2
c
Wir suchen eine nicht triviale
Lösung mit E ≠ 0
 = c∣k∣ für beliebige Vektoren k , 
E0
127
Bedeutung von ω:
z. B. x-Komponente
Re E x
E x  r , t = ∣E 0x∣cos k⋅r −t x 
Der Kosinus ist eine periodische Funktion, die Periode ist τ:
  = 2
Kreisfrequenz ω:
1
f =
Frequenz

2
=
= 2 f

Bedeutung von k:
Wir wählen ein
k = k x , 0 , 0
cosk x x − t   x 
Die Wellenlänge λ ergibt sich aus kx λ = 2 π
kx =
2

falls k in x-Richtung
128
Allgemein gilt:
2
∣k∣= k =

 = c k ⇒ 2 f = c
2

f =c
Ebene Wellen


E=
E 0 ei  k⋅r − t 
Warum wird die obige Lösung ebene Welle genannt?
Für konstante Zeit t: k gegeben
k⋅r = const.

1 lineare Gleichung für x, y, z
Ebenengleichung

k ist ein konstanter Vektor auf der Ebene, der in
e =
k Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt.
129
t = beliebig:
E ist konstant auf einer Ebene, die sich
mit Geschwindigkeit c in Richtung k bewegt.
k⋅r = k⋅r0 =  t
da r0 ∥ k
k r 0 = t
r0 =

t = ct
k
unendlich ausgedehnter
Lichtstrahl
Eine ebene Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen konstanter
Amplitude sind,die sich geradlinig ausbreiten.
130
Allgemeine Lösung:
Durch Überlagerung von ebenen Wellen lassen sich beliebige andere Wellen
darstellen. Die Superposition ist möglich, da die Maxwell'schen Gleichungen
lineare DGL sind, so dass die Summe von Lösungen wieder eine Lösung ist.


E  r ,t  = ∫ 
E 0  k  e i k⋅r − t d 3 k
E0(k) ist die Amplitude, welche von Richtung und Frequenz abhängen kann.
Welchen Charakter (transversal oder longitudinal) haben die Wellen?
Es gilt immer noch ε = skalar = const. und ρ = 0.
 =0
div 
E =
∇⋅
E =i
k⋅E
k⋅E = 0
E ⊥ zur Ausbreitungsrichtung
Ebene Wellen sind transversale Wellen, das elektrische Feld schwingt
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
131
Bemerkungen
●
●
●
Röntgen hielt seine Strahlen noch für longitudinales Licht.
Falls ε ein Tensor 
k  
E = 0 i. Allg. k nicht senkrecht zu 
E
anisotropes Medium (nicht kubischer Einkristall)
Wellen haben longitudinale Anteile —> Doppelbrechung
ρ ≠ 0 (z. B. Ionosphäre)
div  
E=



i k⋅E =

--> longitudinale Schwingungen --> „Plasma-Schwingungen“
Wilhelm Conrad Röntgen
27. März 1845 in Lennep
(heute Stadtteil von
Remscheid)
† 10. Februar 1923 in
München
Nobelpreis Physik 1901
Wellen werden charakterisiert durch:
x
y
z
● Amplituden: |E |, |E |, |E |
0
0
0
●
●
●
E⋅
k = ,0
Nur zwei sind unabhängig, da 
in Ausbreitungsrichtung ist die Amplitude Null.
Wellenlänge λ und Frequenz f
2 Phasen
Polarisation (linear, zirkular, elliptisch)
132
Polarisation elektromagnetischer Wellen
a) linear polarisiert mit k || z
E0y y
E
x
0
x
E x  r , t = ∣E 0x∣cos k⋅r −t x 
E y  r ,t  =∣E 0y∣cos k⋅r − t y 
Phasen αx = αy

E = E 0x ex  E 0y ey
E x =∣E 0x∣cos 
k⋅r −t
E y =∣E 0y∣cos k⋅r − t
 = ∣E 0x∣ex ∣E 0y∣ey  cos k⋅r− t
E

orts- und zeitunabhängig
feste Richtung von E
(Polarisations-Richtung)
y
tan  =
∣E 0∣
∣E 0x∣
133
b) zirkular (Phasen αx – αy = ± π/2)
x
y
∣E 0∣=∣E 0∣= E

E = E  cos k x− t e x ∓sin k z −t 
für fester Raumpunkt = Parameter-Darstellung
 =
k aus
Eheu

2
 =−
 Kreis
2
x
Blickrichtung
im pos. z
E-Vektor durchläuft einen Kreis vom Radius E
mit Winkelgeschwindigkeit ω in einer Ebene
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
c) elliptisch: beliebige Phasendifferenz,
x
z
k
x
∣E 0∣ ≠ ∣E 0∣
134
Wie sieht das H-Feld aus?
 =−µ ̇
rot E
H
 = ̇
rot H
E
 = rot ̇
rot rot H
E=−µ  ̈
H
 =grad div
 − H

rot rot H
H

0
2
 1 ∂2 H

∂
H

 H =µ 
= 2
2
∂t
c ∂ t2
mit der ebenen Welle als Lösung
  r ,t = H 0 e i k⋅r −t 
H
 =0
wegen div H

k⋅H
 =0
mit =c∣k∣
 ⊥ k
H
Ausbreitungsrichtung
Zusammenhang zwischen E und H:
 =−µ ̇
rot E
H
 = 1 k× E

H
µ
⇒
 =i  µ H

i k × E
 ⊥ k und H
 ⊥E

H
135
Für den Betrag von |H| gilt damit:

k∣∣E∣
 ∣  µ
 ∣
∣E

∣
E∣

∣
∣H∣=
= =
= ∣E
µ
µ
µ µc
Für die Energiestromdichte erhalten wir:
 
k × 
E
1   




S= E × H = E ×
=
E × k × E 
µ
µ
 = 
 − C
 

Es gilt: 
A× 
B×C
B 
A⋅C
A⋅B
 2 heisst hier Re E
 ⋅Re E
 
E

1  2   
k 2 k

 2= 1 E
 2 e
S=
[ k  E  − E 
k⋅E  ]=
E =
e E
µ
µ
µ
cµ
0


µ
µ
2
 D=E

 
E⋅
D=
H 
H =µ H =H B= H⋅
B


1
1    
⇒ w el =w mag = w
w=  E
⋅D  H⋅B 
2
2
1  

 = e c w
S = e
E⋅D = e c 
E⋅D
µc
Elektromagnetische Energie strömt mit Lichtgeschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung
der Welle.
136
Definition: Brechungsindex n
c vak
1
1
1
c=
=
=
    r r  0 0 n
n=  r  r
Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit des Lichtes im
Vakuum und seiner Geschwindigkeit c im jeweiligen Medium.
eMta-materialien = Material mit negativem Brechungindex
1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit
negativen Brechzahlen voraus. Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen,
könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als
das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen.
Forschern um Srinivas Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es,
einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das
für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt.
Im Oktober 2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle
aus einer Legierung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff eine negative Brechzahl für
Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei
ineinander geschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die
negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des
Einfallswinkels auf.
137
Eigenschaften von normalen und negativ brechenden Medien
Ein halb in Wasser
getauchter Bleistift
erscheint geknickt, weil
der Brechungsindex von
Wasser höher ist als der
von Luft.
Wenn Licht von einem
Medium mit niedrigem
Brechungsindex n in
eines mit höherem Index
übergeht, wird es zur
Normalen hin gebrochen.
Ein Objekt, das sich in
einem Medium mit
positivem Index vom
Beobachter entfernt,
erscheint infolge des
Doppler-Effektes röter.
In einem negativ
brechenden Medium wird
der Bleistift scheinbar
komplett aus dem
Medium heraus geknickt.
Wenn Licht von einem
Medium mit positivem
Brechungsindex in eines mit
negativem Index übergeht,
wird es komplett zurück zu
derselben Seite der Normalen
gebrochen.
In einem Medium mit
negativem Index
erscheint ein sich
entfernendes Objekt
blauer.
138
Ein geladenes Objekt, das
sich in einem positiv
brechenden Medium
schneller als die darin
geltende Lichtgeschwindigkeit bewegt, erzeugt einen
Kegel aus Cerenkov-Strahlung in Vorwärtsrichtung.
In einem negativ
brechenden
Medium weist der
Kegel rückwärts.
In einem Medium mit
positivem Index wandern
die Berge und Täler eines
elektromagnetischen Pulses
in dieselbe Richtung wie der
gesamte Puls und die
Energie.
In einem negativ
brechenden Medium
wandern die Einzelschwingungen
entgegengesetzt zum
Gesamtpuls und zur
Energie.
139
normales Material
Ein elektrisches Feld
(grün) erzeugt eine
geradlinige Bewegung der
Elektronen (rot).
Ein Magnetfeld (violette Pfeile)
induziert eine kreisförmige
Bewegung der Elektronen.
Metamaterial
Realisierung eines Metamaterial
Geradlinige Ströme
(rote Pfeile) fließen in
parallel angeordneten
Drähten
Kreisförmige Ströme fließen in
Spaltringresonatoren; diese
können auch quadratisch sein.
Die Drähte und Resonatoren
müssen kleiner als die
Wellenlänge der elektromagnetischen Strahlung sein.
140
Anwendungen von Materialien mit negativem Brechnungsindex
Superlinse
Eine rechteckige Platte aus Material mit negativem
Brechungsindex wirkt als Superlinse. Das von dem Objekt
(links) ausgehende Licht (blaue Linien) wird an der Oberfläche
der Linse gebrochen und vereinigt sich innerhalb der Platte zu
einem spiegelverkehrten Bild. Beim Austritt aus der Platte wird
das Licht erneut gebrochen und erzeugt ein zweites Bild
(rechts). Bei einigen Metamaterialien enthält das Bild sogar
Details, die kleiner sind als die verwendete Wellenlänge.
Tarnkappe (für Mikrowellen)
Vor kurzem gelang die Realisierung einer (2D)
Tarnkappe für Mikrowellen. Das Objekt ist für MW
einer bestimmten Frequenz unsichtbar. Ähnliches
wurde auch schon für rotes Licht durch ein
gitterartiges Material aus Silber erreicht, das mit
Löchern von 100 nm einen Brechungsindex von
-0,6 bei 780 nm Wellenlänge besitzt.
„Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave
Frequencies“, D. Schurig et al.,
Science (2006): 314, 977 - 980
141
Ändert sich beim Durchgang zu einem anderen Medium die Wellenlänge λ oder
die Frequenz f?
Die Frequenz bleibt konstant, da E ~ eiωt. Um die Randbedingungen für alle Zeiten t zu
erfüllen, muss deswegen gelten ωinnen = ωaußen.
--> λ ändert sich, da w=ck gilt erhalten wir
c vak k vak =c k
(im Stoff z.B. Glas)
k =n k vak
 vak
=
Wellenlänge wird kürzer, n > 1
n
142
Der Wellenwiderstand charakterisiert, wie sich eine Welle in einem Medium
fortpflanzt.
Bildlich entspricht dies der Härte oder Weichheit, die das Medium der sich
ausbreitenden Welle entgegensetzt.

E
µ
=

H
µ
Z 0= 0 =377 
0
Def. Wellenwiderstand: Z =

Vakuum:
Aus dem Zusammenhang zwischen E und H erhalten wir:
k × 

E = µ H
k E= µ H
E µ
µ
µ
=
= µ c=
=
H
k
 µ 

Widerstandstypen:
● Ohmscher Widerstand
● Wechselstromwiderstände (Kapazitäten, Induktivitäten, Impedanz)
● Wellenwiderstand bei Hohlleitern (wichtig für Anpassung damit es nicht zu
Reflexionen kommt, z.B. Netzwerke 50 Ω)
143
5.6. Wellen in Materie (mit Absorption): Telegrafengleichung
Bisher hatten wir ebene Wellen als Lösung der Wellengleichung.
E= E0 e i k⋅r − t 
x
E x =E 0 cos k⋅r −t x 
Da die Energiedichte proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke ist, muss sich
die Amplitude ändern, wenn Absorption auftritt.
Welche Voraussetzung bei der Herleitung der Wellengleichung ändert sich in Materie?
●
●
●
µ, ε konstante Skalare
ρ = 0 auch erfüllt
σ = 0 ist nicht erfüllt.
Wichtig ist die Frequenzabhängigkeit, entscheidend ist die Leitfähigkeit bei der Frequenz
der sich ausbreitenden Welle, so kann σ(ω=0) = 0, aber σ(ωLicht) ≠ 0.
 =−̇
rot E
B
 = E
  ̇
rot H
E
 =−µ rot ̇
rot rot E
H =−µ ̇
E  ̈
E
da rot rot=grad div−
2


1
∂
E
∂E

 E= 2
µ 
2
∂t
c ∂t
Telegrafen-Gleichung
144
2


1
∂
E
∂E

 E= 2
µ 
2
∂t
c ∂t
Analogie aus der Mechanik:
Die erste Zeitableitung gibt eine Geschwindigkeit, Reibungskräfte sind proportional
zur Geschwindigkeit. Reibung = Dämpfung einer Bewegung

∂E

Absorption
∂t
Die Telegrafengleichung ist nicht mehr Zeit invariant, d.h. die
Symmetrie (t -> – t) ist zerstört. Absorption ist ein irreversibler Prozess.
Die Lösung der Telegrafengleichung wird wieder durch einen ebenen Wellen
Ansatz gesucht.
 r , t = E0 e i  k⋅r − t 
E

∂E
∂
E


~ −i  E
~ i kx E
∂t
∂x
 −k 2 E

E
Einsetzen des Ansatzes gibt eine Bedingung, wann der Ansatz eine Lösung ist:
2

 =−


−k E
E−i  µ  E
2
c
2
145
Nur die nicht triviale Lösung mit E ≠ 0 ist von Interesse:
2

2
k = 2 i   µ
c

2

k = 2 i  µ=i 
c
Damit erhalten wir rein formal einen komplexen Wellenvektor k. Anstatt eines
komplexen k, führen wir einen komplexen Brechungsindex ñ ein.
k = k vak n
n =ni 
Um die Ausbreitungrichtung der Welle zu bezeichnen führen wir einen Einheitsvektor e
in Ausbreitungsrichtung ein.
i e⋅r k


E = E0 e
vak
n − t
−e⋅r k

=
E0 e
vak

e
i  e⋅r k vak n−t 
Amplitude
Die Amplitude nimmt exponentiell mit der Ausbreitung (wachsendes r) ab.
Die Absorption bewirkt also eine gedämpfte Schwingung.
146
Die Ursache der Dämpfung liegt in der Leitfähigkeit.
≠0


j= E

v=j⋅E.
Es fließt ein Strom bei bei der Frequenz der elektromagnetischen Welle. Der
Stromfluss ist immer mit Joule'scher Wärme verbunden.
Die Umwandlung von elektromagnetischer Energie in Wärme zeigt sich in der
exponentiell kleiner werdenden Amplitude der Schwingung.
Der Imaginärteil des komplexen Brechungsindex steht für die Absorption (kvakκ) und
kann als Absorptionskoeffizient α interpretiert werden.
(Im Allgemeinen ist der Absorptionskoeffizient = 2 kvakκ, da die Intensität proportional
zum Betrag des Poyntingvektors |S| ist.)
Wenn ein Material bestimmte Frequenzen absorbiert, ist es in diesem Bereich immer
leitfähig für einen Wechselstrom mit diesen Frequenzen.
z.B. Glasfilter: grünes Glas - absorbiert rotes Licht und ist in diesem
Frequenzbereich auch leitfähig.
147
Die Absorption ist also direkt mit dem komplexen Brechungindex verbunden. Dieser
kann auch direkt aus der Dielektrizitätskonstante abgeleitet werden. Damit wird die
elektromagnetische Wechselwirkung direkt mit einer Materialeigenschaft in Beziehung
gesetzt.
n =
 
 2 µ2r
1
r µr  2r µ2r  2 2
2
 0
für   0
n   r µr
 
 2 µ2r
1
2 2
 =
−r µr  r µr  2 2
2
 0
für   0
●
●
●
=0
Wurzel einer komplexen Zahl ist mehrdeutig, gewählt wird die Lösung für die
σ = 0 für ω -> 0 ist.
n(ω) heißt Dispersion, starke Abhängigkeit von σ(ω), ε(ω) und eventuell µr(ω).
148
Historisches: Warum eigentlich Telegrafengleichung?
Wilhelm Weber und Carl Friedrich Gauß führten 1833 Versuche mit einem
elektromagnetischen Telegrafen durch. Im selben Jahr gelang ihnen die erste telegrafische
Nachrichtenübertragung vom Physikgebäude in der Göttinger Innenstadt zur Göttinger
Sternwarte. Zur Nachrichtenübertragung dienen positive oder negative Spannungspulse, die
durch gezieltes Umpolen und Auf- und Abbewegen einer Induktionsspule erzeugt werden.
Der entscheidende Durchbruch kam 1837 mit dem von Samuel Morse konstruierten und
1844 verbesserten Schreibtelegrafen.
Mit der Verlegung von Seekabeln wurde 1839 begonnen. Nach mehreren Fehlschlägen
wurde die erste Verbindung zwischen Europa und Nordamerika 1857/58 eingerichtet.
Wilhelm Weber
24. Oktober 1804 in Wittenberg
† 23. Juni 1891 in Göttingen
Johann Carl Friedrich Gauß
30. April 1777 in Braunschweig
† 23. Februar 1855 in Göttingen
Samuel Finley Breese Morse
27. April 1791 in Charlestown
† 2. April 1872 in New York
149
5.7. Strahlung eines schwingenden Dipoles
Ebene Wellen kommen aus ∞ und gehen nach ∞.
Was ist ihre Ursache? Wie entstehen elektromagnetische Wellen?
Es sind Quellen notwendig: Antenne, Lichtquelle
Für Quellen gilt: ̇≠0  wegen ̇div j=0

j≠0
Die Quelle soll sich in Koordinatenursprung bei r = 0 befinden.
Außerdem soll wie bisher gelten:
 = ̇
rot H
E
 =0
div H
 =−µ ̇
rot E
H
 =0
div E
Damit gilt die Wellengleichung
ohne Absorption.
 und H

Hertz hat einen Trick gefunden, wie man eine Lösung für E
findet, um dann auf ̇ und j im Ursprung zurück zuschließen
(Insofern genial, da andere Wege meist nur auf die Fernfelder weit weg von
der Antenne kommen.)
150
Heinrich Rudolf Hertz
22. Februar 1857 in Hamburg
† 1. Januar 1894 in Bonn
Hertzscher Hilfsvektor Z :
r ≠0 :
 =rot ̇Z
H
rot rot ̇Z = ̇E
 = 1 rot rot Z zeitlich konstantes Feld
E

Annahme: für eine ungeladene Antenne (ρ = 0) sei das zeitlich
konstantes Feld ≡ 0
 = 1 rot rot Z
 = 1 [grad div Z
 − 
E
Z]


Aus den Maxwell'schen Gleichungen und dem Hertz'schen Hilfsvektor erhalten wir:
̇ = − rot ̈
rot 
E = − H
Z = rot −µ ̈
Z grad 
 =−µ ̈
E
Z grad 
mit beliebigem φ, da rot grad φ ≡ 0.
1
1
grad div Z −  Z =− ̈
Z grad 


151
nun wird φ so gewählt, dass gilt
1
grad div Z =grad 

1
 = µ ̈
Z
Z = 2 ̈
Z
c
Man löse nun diese Gleichung für Z und berechne H und E aus
1
 =−µ ̈

E
Z  grad div Z

 =rot ̇
H
Z
Eine Lösung wäre natürlich:
 = Z0 e i k⋅r −t ,
Z
aber diese Lösung erlaubt keinen Rückschluss auf j in der Quelle.
 r ,t = Z0 e
Z
Kugelwellen als Ansatz von Hertz:
i  t−k r 
r
Kugelwellen sind Lösung, falls ω = ck. Die Amplitude von Z (nicht E oder H) ist
konstant, falls
 t=k r

r 
= =c
t
k
Die Amplitude ist konstant auf einer Kugel, deren Radius mit Lichtgeschwindigkeit
wächst.
152
Beweis: In Kugelkoordinaten gilt:
∂2 2 ∂
= 2 
Winkelableitungen
∂r r ∂r
Die Winkelableitungen spielen keine Rolle, da unser Ansatz Z nicht von Winkeln
abhängt.
 r ,t = Z0 e
Z
 
 
 
    [
∂ Z
 =− 1 Z
  1 −ik  Z 0 ei  t− kr =− 1 ik Z

∂r
r
r
r
2
1 1
∂ Z
= 1 
 ik  1 ik
Z

ik
Z
r r
r
∂r2
r2
2
1
1
2 1
  ik 
=
⇒
Z= 2 Z
Z−
ik Z
r
r r
r
Damit erhalten wir:
 
] 
i  t−k r 
r
2
= 1 Z
  1 ik 
Z
Z
2
r
r
1
2 1
1 
2
= 1 

ik −
ik Z
Z
ik

Z
−
Z =−k 2 Z
2
2
r
r r
r
r
2
 =−k Z

Z
2
1 ̈ − 
Z= 2 Z
2
c
c

 Z=
1 ̈
Z ist erfüllt, falls =ck
2
c
153
Berechnung von H:
Es gilt:
 =rot ̇

H
Z =i  rot Z
 r ,t = Z0 e
Z
rot  V = rot V −V ×grad 
[
 = −i  Z0×grad 1 e i t −k r  = −i  Z0 × −r e i  t−kr  1 grad e i t −kr 
H
r
r
r3
Für den Term mit grad ei(ω t - k r) gilt:
r
]
r=  x 2  y 2 z 2
2
2
2
∂ e i t−k r =e i t−k r  −ik  ∂  x  y  z =−ik e it−k r  1
∂x
∂x
2
 grad e
i  t−k r 
i t−k r 
2x
−ik i t−k r 
=
e
x
2
2
2
 x y z r
~r
Damit erhalten wir für das Magnetfeld:
[
]
 =i 0 Z0 × r  i k r ei t −k r =i 0 Z0 × r i r r 2  e i  t−k r 
H
3
2
3
3
r
r
r
r 
[
]
Erstes Glied wichtig für r < λ: Nahfeld, Nahzone
Zweites Glied wichtig für r > λ: Fernfeld, Fernzone
154
1. Nahzone:
Um auf j in der Antenne zu schließen:
und nur erstes Glied für H:
r 0
e
−ikr
−i
=e
2
r

0
≈e ≈1
 =i  Z0 × r3 e i  t
H
r
wenn wir ein harmonisch veränderliches Z0 einführen
Z0 t = Z0 e i  t
r
 =i  Z0 t  × r = ̇
H
Z
t

×
0
r3
r3
Nahzone ist nicht nur r < λ, sondern auch ω -> 0, da =2 c /, d.h. wir suchen
eine Lösung für niederfrequente Wechselströme, die obiges H liefern.
Erinnerung: Biot-Savart: Drahtstück dr' bei r' = 0 erzeugt ein Magnetfeld bei r.
  r = I d r ' × r
dH
4
r3
(sieht überraschend ähnlich aus!)
155
Jetzt kommen wir endlich zu einem Dipol:
 Q
−Q
 d r '
mit Qt =Q 0 e
p =Q d r '
i t
i t
p t =Q d r ' =Q 0 e d r '
Ursache für zeitlich veränderliche Ladung in einem Volumen ist ein Strom der fließt
Id r ' =Q̇ d r ' =̇p t
Unsere Lösung entspricht einer mit Wechselstrom gespeisten Dipolantenne, falls
̇pt 
p
̇
Z 0 t =
bzw. Z0=
4
4
Insgesamt gilt für das H-Feld:
 =i 
H
p0
r ik
r ik
i t −kr i 
× 3  2 r e
=
p0 ei t−kr × 3  2 r
4
4
r r
r r
p t = p0 e
[
it
p0 e
]
i t −kr 
  [
[
= p0 e
 = p t− kr = p t− r 
i  t−
kr


  [
c
 = i  p t− r × r  ik r = 1 ̇p t− r × r  ik r
H
3
2
3
2
c
c
4
4
r r
r r
]
]
]
156
2. Fernzone:

1
1
ik =i  ~ ∂
c ∂t c

nur zweites Glied
  r ,t = ik ̇pt− r  × r = 1 ̈pt− r  × r
H
c
c
4
r 2 4 c
r2
H(t) wird verursacht durch einen Strom zu einem früheren Zeitpunkt
Differenz zeigt Kausalität der Wellenausbreitung mit c.
Berechnung von E:
r
Die
t−
c
1

̈
E=−µ
Z  grad div Z

p
Z = 0 1 e i  t−kr 
4 r
Als Übung für Ableitungen sehr zu empfehlen :-)
157
Als Lösung erhält man:
[
]
 =µ 2 Z
 − 1 p0 1  ik e i t−kr 
E
4 
r3 r2
1
r
r it−kr 
−
p
⋅
r
−3
−2
ik
e




0
3
4
4 
r
r
1
1 ik
ik r i t−kr 
−
p
⋅
r

−
e




0
3
2
4 
r
r r
[
[
]
]

Verschiedene Zonen:
Fernzone:
Mittelzone:
Nahzone:
(für H war die Nahzone ~
d = Größe der Quelle
2
2
 
2 1
k
1
~
~
r
r
 r
k 2
1
~
~
r 2 r 2
r2
1
~ 3
r
d ≪≪r
d ≪r~
d ≪r ≪
1
1
~
und
Fernzone
)
2
r
r
158
Im folgenden Teil wird nur die Fernzone diskutiert (Nah- und Mittelzone sind
allerdings wichtig für Geophysik oder Nahfeldmikroskopie)
1  p0⋅r  r 2 i  t−kr 
2


E  r ,t =µ  Z −
k e
3
4  r
mit
2
2 
2
k = 2 =  µ
c
p0 e i t−kr
Z =
4 r
2

µ i t−kr  p0  r⋅r   p0⋅r  r

E r ,t =
e
−
3
3
4
r
r
[
Es gilt:
]
r × p0×r = p0 r⋅r −r r⋅
p 0
2
µ
1
  r , t=
E
e i t−kr  3 [ r × p0 ×r  ]
4
r
159
Wie früher gilt:
r
i t− 
r
it−kr
c
p t = p0 e  p t− = p0 e
= p0 e
c
r
r
2
̈pt− =− p t− 
c
c
it 
Als Ergebnis für die Fernzone erhalten wir:


 r ,t = 1 ̈p t − r  × r
H
4 c
c
r2
  r , t=  1 r × r × ̈p t− r 
E
4 r3
c


Für elektromagnetische Wellen haben wir bereits einen Zusammenhang zwischen E
und H hergeleitet.

E r ,t =µc H ×r =µc H
 ×e
r
160
Nachfeld wird beeinflusst durch Ladungen und Ströme der Quelle. Die elektrischen
Feldlinien bei der Quelle folgen den Schwingungen der Ladungen.
i t
p t = p0 e
161
Das Fernfeld wird nur durch die gegenseitige Induktion bestimmt.
162
163
Winkelbeziehungen:
 =0
r⋅E
 =0
r⋅H
 H
 =0
E⋅
}
stehen senkrecht aufeinander
Für den Poynting-Vektor folgt:
 
 1 r
r

S=
̈
p
t−
×r ]
[
c 16  r
c
A× 
 = 
 − C
  A⋅B

B ×C
B  A⋅C

S= E
 ×H
 =  c H ×r × H
 =  c H⋅
 H
 r
r
r
2
5
2
∣
S∣~

r
4
2
2
sin 
̈p
Die Energie verteilt sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit
Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.
164
Zusammenfassung
● Elektromagnetische Wellen können durch eine Dipolantenne
(schwingendes Ionenpaar = schwingender Dipol) erzeugt werden.
● Die elektromagnetischen Felder nehmen für große Entfernungen mit 1/r ab.
● Die Ausbreitung der Wellen erfolgt mit Lichtgeschwindigkeit.
● Längs der Dipolachse findet keine Abstrahlung ab, Maximum der Abstrahlung ist
senkrecht zum Dipolmoment.
H-Feld: Dipolmoment entlang der z-Achse, θ sei Winkel zur z-Achse
- konzentrische Kreise um den Dipol
- |H| wird mit sinθ schwächer (Null für θ=0,π)
● E-Feld: tangential zu den Längenkreisen
- Für θ=0,π ist E in der Fernzone Null, d.h. die Terme der Nah- und Mittelzone werden
wichtig. Diese Terme sind die Ursache für das Abbiegen der elektrischen Feldlinien.
●
Magnetfelder sind mit den Wirbeln der elektrischen Felder und umgekehrt verknüpft.
http://www.mikomma.de/fh/eldy/hertz.html
165
Zusammenfassung
● Eine Dipolantenne empfängt das elektrische Feld, Sender und Empfänger sollten parallel
zueinander stehen,
Das Magnetfeld kann über das Faraday'sche Induktionsgesetz genutzt werden
(Ferritantenne, durch viele Wicklungen um einen Ferritkern kann die induzierte Spannung
vergrößert werden.)
Da die elektrische und magnetische Energiedichte gleich ist, sind diese Antennen
gleichwertig.
● Der Poyntingvektor gibt die Energieabstrahlcharakteristik. Die Energie verteil sich auf
immer größere Kugelflächen, die sich mit c ausbreiten.
4 2
∣s∣~ 2 sin 
r
Die Frequenzabhängigkeit in der 4. Potenz ist Ursache für die historische Entwicklung
Langwelle -> Mittelwelle -> Kurzwelle -> UKW.
166
Jede beschleunigte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab.
Id r ' =Q̇ d r ' =̇p t
Für eine Punktladung ρ=qδ(r-r0) ergibt sich:
I d r =∫ j⋅d f d r =∫  v⋅d V =∫ q  r −r0  
v⋅d V =q 
v =̇p t
̈pt  = q ̇v
Anwendungen/Bedeutung:
●
●
●
Atommodell
Röntgenbremsstrahlung
Synchrotronstrahlung = sehr breites, kontinuierliches
Spektrum vom infraroten über den sichtbaren
Spektralbereich, ins ultraviolett bis tief in den Bereich
der Röntgenstrahlung mit hoher Strahlungsintensität
167
●
●
Freier-Elektronen-Laser (einer von 21 weltweit in 2006 ist in Rossendorf bei Dresden)
Rayleigh-Streuung ist die Streuung elektromagnetischer Wellen an Teilchen, die klein
im Vergleich zur Wellenlänge λ der Wellen sind. Der Streuquerschnitt ist proportional
zur vierten Potenz der Frequenz.
Blaues Licht wird stärker gestreut als rotes. Dieser Effekt ist für die blaue Farbe des
Himmels bei hohem Sonnenstand, sowie für die rote Farbe bei Sonnenaufgang und
Sonnenuntergang verantwortlich.
168
6. Niederfrequente Wechselfelder
6.1. Der Skin-Effekt
Übergang zu niedrigen Frequenzen und leitfähigem Material ->
Wechselstromtechnik
Wir starten von der Telegraphen-Gleichung:

E=
Bei fester Kreisfrequenz
1 ̈
E  µ ̇
E
2
c
mit
1
=µ
2
c
=2 f :
∣
E∣ ~ e i  t
µ ̇
E ~ 
E µ
 µ ̈
E ~ 2 
E µ

E = µ ̈
E   ̇
E
Wenn ω klein und σ groß ist:
 ≫ 
 µ  ̇
E ≫  µ ̈
E
 
E = µ  ̇
E
169
rot 
H = j  ̇D =  E  ̇E
da
~
rot 
H =  E
j =  E
rot E = − ̇B = −µ ̇
H
Wir betrachten einen Zeitpunkt t, bei dem E gerade wächst
E


H

H wächst
rot E = −µ ̇
H
Schwächung des verursachenden E-Feldes in der Mitte des Drahtes
dicker Draht
Quantitative Rechnung für ein einfaches Beispiel, das
aber
die gleichen
2
2
∂ =
 ∂ 2 gilt:
physikalischen Phänomene zeigt (da in Zylinderkoordinaten
2
∂r
z
E
+
0
)
tangential Komponente von E stetig
Metall
-
∂x
E  x , t  = 0 , 0 , E z  x , t 
0
für x  0 : E z = E z t  = E z e
it
bekannt
170
Randbedingung:
E z  x  0 , t  = E 0z e i t
Ohm'sches Gesetz soll gelten:
j z =  E z  j z auch bekannt
zu lösen ist:

E = µ  ̇
E
∂2 E z
∂x
Ansatz:
2
= µ  Ė z
E z  x ,t  = E 0z e i t− x
(erfüllt unsere Randbedingung für x = 0)
2
Einsetzen ergibt
 Ez = i  µ  Ez
2 = i  µ 
Wurzel aus i:
i = ±
1
1i
2
1
1
1i2 = 12 ii 2 = i
2
2
171
Das Vorzeichen wird so gewählt, dass die Felder endlich sind.
=
1i
1
1i   µ =
l
2
E z  x ,t  = E 0z e
i t −1i
mit l =
x
l
−
= E 0z e
x
l

e
2
 µ
x
i  t− 
l
l ist die Eindringtiefe. Re Ez entspricht einer gedämpften Kosinus-Funktion.
Stromfluss im Inneren des Metalls ist geschwächt, wegen Ohm'schen Gesetz jz = σEz.
Skin-Effekt: Der Hauptstrom fließt an der Oberfläche des Leiters.
Mit größerem σ und ω dringt der Strom immer schlechter in das Metall ein.
z.B.
f = 50 Hz, σCu: l ≈ 1 cm
f = 5·109 Hz : l ≈ 1 µm
● Strom fließt nur in einer Randschicht (Hohl-Leiter)
● Für ω -> 0 geht l -> ∞, d.h. Strom fließt im gesamten Draht.
172
Falls ω klein ist, so dass σ >> ωε tritt der Skin-Effekt auf. Die Oberfläche der Leiter
(Kontakte) sind wichtig.

E = µ  ̇
E
Wird ω hinreichend groß, müssen Welleneffekte berücksichtigt werden.

E = µ ̇
E   µ ̈
E
Das Draht-Innere kann dann weggelassen werden (Hohlleiter), der hohle Draht dient
zur Führung der Wellen.
Koaxialkabel:  f  10 GHz ,   3 cm 
S = E ×
H

S ∥ Draht
1. Seele (Innenleiter)
2. Dielektrikum
3. Kabelschirm
4. Schutzmantel (Isolation)
gut beschrieben durch  
E = µ  ̇E
Hohlleiter:
 f  10 GHz 

E = µ  ̇
E   µ ̈
E
innerer Leiter („Seele“) weg
Die Randbedingungen entsprechen
einem Spiegel für Felder (z.B. Silber).
- geringe Verluste bei hohen Frequenzen,
da kein Material zur Stützung der Seele
173
6.2. Wechselstromkreis
Nur eine Spule
L = Selbstinduktions-Koeffizient
UR: Spannung am Widerstand R
zur Zeit t
Ue
UR =∫
E⋅d r =
 R
Spannung am Kondensator UC,
Uc =−
1 
e
j⋅d
r
=
I = RI

∫
  R
F
induzierte Spannung UL an der Spule
Q
c
U L = − L İ
verkleinert die angelegte Spannung
U e −L İ −
Q
=IR
C
U e = I R  L İ 
Q
C
In der Elektrotechnik wurde die Stromrichtung anders definiert.
Elektrotechnik I = Q̇
U e = L Q̈  Q̇ R 
Elektrodynamik I Q̇ = 0
Q
C
174
für gegebenes Ue ―> DGL für Q (bzw. I)
(sieht aus wie harmonischer, gedämpfter Oszillator mit äußerer Kraft)
m ẍ  a ẋ  k x = F
Ergebnis: Schwingungen mit Resonanz (Schwingkreis) bei harmonischer Anregung.
U e = U 0 e i t
 = 2  f  f = 50 Hz 
Lösungsansatz:
I t  = I 0 e
i t −i 
Q̇ = I  Q =
U0 e
i t

dI
= i  I 0 e i  t−i 
dt
1
I 0 e i t−i 
i

1
= R i  L 
I 0 e i  t−i 
i C
Wechselspannung
U 0 cos  t Re U
U e = I R  L İ 
Q
C

]
[
U0 = Ri L−
1
C
I 0 e−i 
Z
Z: komplexer Widerstand = Wechselstromwiderstand
175
Da es eine komplexe Gleichung für Real- und Imaginärteil ist, haben wir 2 Gleichungen
für die unbekannten Größen I0 und α.
Betrag:
∣e−i ∣= 1
I0 =
U 0 = ∣Z∣I 0
U0


1
R 2   L−
C
2

Für eine Antenne als Schwingkreis würde U0 im Allgemeinen sehr klein sein. Um große
Ströme (Signale) zu bekommen, benötigt man kleine Widerstände R und Resonanz:
2 =
1
LC
(In alten Radios erfolgte die Grobabstimmung über L und die Feinabstimmung über C.)
176
Ausschaltvorgang bei RL-Glied:
U e = L İ  R I
Ue
 für stationären Strom İ = 0 , I 0 =

R
1. Ausschalten einer Gleichspannung
Ue =
{
const t  0
0
t0
für t  0
für t  0
R
I˙ = −
I
L
Ue
I = I0 =
R
Ue = 0
I t = I 0 e
−
R
t
L
U
Anfangsbedingung t = 0 : I 0 = e
R
-> Messung von L
Energie (Strom) kommt aus dem H-Feld der Spule.
177
2. Einschalten einer Gleichspannung
t0
U =I =0

I = I 0 1− e
I˙ = I 0

R
e
L
−
R
t
L
−R
t
L


178