Hyperchromate - Qioptiq Shop

14
Basics
Systeme für die optische Messtechnik
ik
Hyperchromate mit
Brennweite f100
und f25.
Hyperchromate
Chromatische Aberrationen in optischen Systemen sind im Allgemeinen unerwünschte Bildfehler und werden durch eine geeignete Kombination optischer Medien so weit wie möglich unterdrückt. Hyperchromatische Optiken zeichnen sich dagegen dadurch aus, dass eine chromatische Aberration – nämlich der
Farblängsfehler – bewusst vergrößert wird. Dadurch ergeben sich besondere Eigenschaften dieser Systeme,
die insbesondere in der konfokal-chromatischen Messtechnik eine wichtige Anwendung finden. Im LINOS
Katalog werden eine Reihe hyperchromatischer Optiken angeboten, die in vier Varianten mit verschiedenen Brennweiten und Öffnungen verfügbar sind.
Hyperchromasie ist eine besondere
Eigenschaft optischer Systeme und beschreibt die Fähigkeit zur chromatischen
Aufspaltung der Bildorte. Achromatische
Systeme zeichnen sich dadurch aus, dass
sie für zwei Wellenlängen die gleichen
Bildorte besitzen. Der Farblängsfehler
wird für dieses achromatische Wellenlängenpaar minimiert. Bei hyperchromatischen Systemen wird dagegen der
Farblängsfehler maximiert. Die chromatische Längsaberration ist also bei
diesen Systemen kein unerwünschter
Abbildungsfehler, sondern gibt den
Hyperchromaten ihre besonderen Eigenschaften und eröffnet vielfältige Anwendungsmöglichkeiten. Seit Ende des 19.
Jahrhunderts sind hyperchromatische
Linsengruppen bekannt und wurden vor
allem als Teilsysteme zur chromatischen
Korrektion in photographischen und
mikroskopischen Systemen verwendet.
Neue Anwendungsmöglichkeiten finden
hyperchromatische Optiken in der Messtechnik, insbesondere in der konfokalchromatischen Abstandsmessung, die
in den letzten Jahren eine weite Verbreitung in allen Bereichen der industriellen
Messtechnik gefunden hat.
Farblängsfehler
Der Farblängsfehler als zentrale Eigenschaft der Hyperchromate ist die Bildwei-
tendifferenz für zwei Wellenlängen. Eine
Sammellinse besitzt für blaues Licht eine
kürzere Bildweite als für rotes Licht und
ist somit chromatisch unterkorrigiert.
dal = alm - alm mit m1 1 m2
1
2
Der Ausdruck dn/(n-1) beschreibt die
wellenlängenabhängige relative Dispersion des Glases. Der Kehrwert der relativen Dispersion ist die bekannte Abbesche Zahl o:
(1)
d{ =
Mit Hilfe von wenigen optischen Grundgleichungen [1] [2] lässt sich beschreiben, wie der Farblängsfehler mit den
Grundparametern Brechkraft und Dispersion zusammenhängt und wie er
damit für hyperchromatische Systeme
gezielt vergrößert werden kann. Die
Brechkraft { einer einzelnen dünnen
Linse in Luft mit den Radien r und r‘ sowie der Brechzahl n ist gegeben durch:
{ = ]n - 1 g b
1
1
rl
r
l
(2)
Die Brechkraft einer Linse wird unter
anderem durch die Brechzahl des Glasmaterials bestimmt, die wiederum von
der Wellenlänge abhängig ist. Durch Differenzieren von Gleichung (2) lässt sich
die Abhängigkeit der Brechkraft von der
Brechzahl – und damit von der Wellenlänge – darstellen:
d{
dn
=b
1
1
rl
r
d{ = {
l=
{
n-1
dn
n-1
(3)
(4)
{
(5)
o
In der Praxis werden die Brechzahlen bei
ausgewählten Fraunhoferschen Linien
als Bezugsgrößen für o gewählt. Für die
Bezugswellenlängen e (546,0740nm), F’
(479,9914nm) und C’ (643,8469nm) ist
die Abbesche Zahl oe definiert als:
oe =
ne - 1
n F l - n Cl
(6)
Die paraxialen Abbildungseigenschaften
einer dünnen Linse lassen sich durch die
Beziehung
{= 1 -1
al a
(7)
beschreiben. Dabei ist a die Objektweite und a‘ die Bildweite. Aus dieser Beziehung lässt sich ableiten, wie sich die
Bildweite einer dünnen Linse in Abhängigkeit ihrer Brechkraft verändert. Durch
Differenzieren von Gleichung (7) und
Einsetzten von Gleichung (5) erhält man
für den Farblängsfehler da’:
dal = - al 2 d{ = - al 2
{
o
(8)
No 23 | 2010 optolines
Basics
Abb. 1: Chromatische Aufspaltung der Bildorte durch ein hyperchromatisches System.
Durch Umformen von Gleichung (8)
kann man den Farblängsfehler in Abhängigkeit von der Brennweite f’ und
dem Abbildungsmaßstab b’ darstellen:
erfüllt ist. Da die Abbesche Zahl für alle
optischen Gläser positiv ist, muss dazu
ein Element eine negative Brechkraft erhalten.
l
dal = - f ^1 - blh2
o
Äquivalente Abbesche Zahl
Die äquivalente Abbesche Zahl ist eine
Größe, die gut geeignet ist, um die
besonderen Eigenschaften hyperchromatischer Systeme zu charakterisieren.
Normiert man in Gleichung (13) den
Farblängsfehler auf 1/{, ergibt sich:
(9)
Ein optisches System aus k dünnen Linsen in direktem Kontakt (Abstand zwischen den Linsen gleich Null) hat eine
Gesamtbrechkraft, die sich aus der Summe der Einzelbrechkräfte zusammensetzt.
k
k
{=
/ { = / ]n - 1g b 1rl - 1r l
i
i
i=1
i
i=1
(10)
i
Differenziert man diesen Ausdruck nach
der Brechzahl n, erhält man die Brechkraftänderung in Abhängigkeit der
Abbeschen Zahl:
/ {n d- n1
k
d{ =
i
i=1
/ {o
{1 {2
m
da l { = - 1 c
+
{ o1 o2
(15)
Der negative Kehrwert dieses Ausdruckes wird als äquivalente Abbesche
u bezeichnet [2].
Zahl o
1 = - da l { = - da l
fl
ou
(16)
k
i
=
i
i
i=1
(11)
i
Damit berechnet sich der Farblängsfehler eines solchen Systems aus:
k
da l = - a l 2 /
i=1
{i
oi
(12)
Für ein zweilinsiges System mit unendlicher Objektweite (a=- ; a’=f’=1/{) beträgt der Farblängsfehler:
{1 {2
m
dal = - 12 c
+
{ o1 o2
(13)
Aus dieser Beziehung lässt sich erkennen, dass es bei einem optischen System
aus zwei Elementen in direktem Kontakt
möglich ist, den Farblängsfehler für zwei
Wellenlängen vollständig zu korrigieren,
wenn die Achromasiebedingung
{1 {2
+
=0
o1 o2
No 23 | 2010 optolines
(14)
Sie entspricht der Abbeschen Zahl, die
das Glas einer dünnen Einzellinse haben
müsste, um denselben Farblängsfehler
wie das optische System zu erzeugen
[3]. Mit der äquivalenten Abbeschen
Zahl lässt sich für den Farblängsfehler
vereinfacht schreiben:
l
dal = - 1u = - fu
{o
o
(17)
Ein optisches System mit positiver Gesamtbrechkraft ist hinsichtlich des Farbu 2 0 unterkorrigiert
längsfehlers bei o
u 1 0 überkorri( dal 1 0 ) und bei o
u = 3 ist die
giert ( dal 2 0 ) [3]. Bei o
Achromasiebedingung erfüllt. Ist die
äquivalente Abbesche Zahl kleiner als
die Abbesche Zahl aller Einzelelemente
u 1 oi ) – und ist damit das Farbzer(o
legungsvermögen des Gesamtsystems
größer als das der Einzelkomponenten
– spricht man von Hyperchromasie [4].
In der Praxis lassen sich mit Standardgläsern zweilinsige Systeme mit äquivalenten Abbezahlen unter 20 realisieren,
also Werte, die deutlich niedriger sind als
bei den stärksten Schwerflintgläsern.
Abb. 2 zeigt für ein optisches System
aus zwei dünnen Linsen in direktem
Kontakt, wie sich die äquivalente Abbesche Zahl des Systems in Abhängigkeit
der Abbeschen Zahl der beiden Einzelelemente verändert. Für das gesamte
optische System wird die Brennweite
f’=100 angenommen, die sich aus den
Einzelbrennweiten f’1=50 und f’2=-100
zusammensetzt. Für die hyperchromatischen Systeme gilt o1 < o2, d.h. die positive Brechkraft wird mit einem hohen
Farbzerlegungsvermögen und die negative Brechkraft mit einem niedrigen
Farbzerlegungsvermögen kombiniert.
Können die Abbeschen Zahlen der
Einzelelemente im Bereich von 20 bis 80
liegen, lässt sich in diesem Beispiel eine
minimale positive äquivalente Abbesche
Zahl von 11,4 erreichen. Die diagonal
verlaufende weiße Linie zeigt die Materialkombinationen, bei denen die Achromasiebedingung erfüllt ist.
Abb. 2: Äquivalente Abbesche Zahl eines
optischen Systems aus zwei dünnen Linsen
(f’1=50 mm; f’2=-100 mm) in Abhängigkeit
von den Abbeschen Zahlen der Einzellinsen.
15
16
Basics
Abb. 3: Konfokalchromatischer
Abstandssensor
im schematischen
Aufbau.
Konfokal-chromatische Sensoren
Die wichtigste messtechnische Anwendung für hyperchromatische Optiken ist
der Einsatz in optischen Wegsensoren,
die nach dem konfokal-chromatischen
Prinzip arbeiten [5], [6] und [7]. Bei diesem Messverfahren wird polychromatisches Licht aus einer Punktlichtquelle
(z.B. einer Lichtleitfaser) durch eine
hyperchromatische Optik auf die Oberfläche des Messobjektes projiziert. Durch
die axiale chromatische Aufspaltung
des Lichtes wird in einer bestimmten
Entfernung der Objektoberfläche zur
Optik nur das Licht eines sehr schmalen Wellenlängenbereiches m0 scharf
und mit hoher Intensität fokussiert. Das
von der Oberfläche reflektierte und gestreute Licht dieses Fokusfleckes wird
wieder durch das hyperchromatische
Objektiv auf eine konfokal angeordnete
Blende oder auf ein Faserende abgebildet. Durch die erneute longitudinale
spektrale Zerlegung des reflektierten
Lichtes wird nur das Licht der Wellenlänge m0 scharf auf die Detektorblende abgebildet. Hinter der Blende oder
am Ausgang der Lichtleitfaser befindet
sich ein wellenlängenselektiver Detektor (Spektrometer). Abhängig von der
axialen Position der Objektoberfläche
wird dieser Detektor ein Intensitätsmaximum bei einer bestimmten Wellenlänge
messen. Durch eine Kalibrierung lässt
sich damit die gemessene Wellenlänge
direkt in einen absoluten Abstand des
Sensors zum Messobjekt überführen.
Abb. 3 zeigt den schematischen Aufbau eines konfokal-chromatischen Sensors. Das Licht einer punktförmigen
Lichtquelle läuft zunächst gerade durch
einen Strahlteilerwürfel. Das hyperchromatische Objektiv besteht hier aus zwei
identischen Linsengruppen mit jeweils
zwei Elementen. Die Einzelgruppen
sind für eine Abbildung nach Unendlich korrigiert und hier so angeordnet,
dass die Punktlichtquelle mit dem Abbildungsmaßstab 1:1 auf die Oberfläche
des Messobjektes abgebildet wird. Das
reflektierte Licht wird nach dem erneuten Durchgang durch das hyperchromatische Objektiv im Strahlteilerwürfel
umgelenkt und auf die Detektorblende
fokussiert.
Diverse Messanwendungen
Chromatisch-konfokale Sensoren können je nach Dimensionierung für Abstandsmessungen im Millimeter-Bereich
oder für Topografieuntersuchungen im
Sub-Mikrometerbereich eingesetzt werden. Besteht das Messobjekt aus einem
transparenten Medium, ist die gleichzeitige Detektion mehrerer Oberflächen
möglich, was beispielsweise in der Mittendickenbestimmung von Linsen [8]
oder in der Dickenmessung von Folien
wichtige industrielle Anwendungen findet. Die entscheidenden Kenngrößen
eines konfokal-chromatischen Sensors
sind der Messbereich und die Auflösung.
Sie werden durch den Farblängsfehler des
hyperchromatischen Objektives bestimmt. Durch das Spektrum der Lichtquelle und den Arbeitsbereich des Detektors gibt es eine minimale und eine
maximale Wellenlänge, die das System
detektieren kann. Der Messbereich
des Sensors entspricht der Schnittweitendifferenz der hyperchromatischen
Optik bei diesen Wellenlängen. Die
Auflösung eines konfokal-chroma-
tischen Sensors wird durch die spektrale Breite des Intensitätssignals hinter
der Detektorblende bestimmt. Diese ist
ebenfalls vom Farblängsfehler und von
der numerischen Apertur des hyperchromatischen Objektives abhängig.
Abbildungsqualität
Hyperchromatische Systeme, die in
messtechnischen Anwendungen für eine
wellenlängenabhängige
Ortsfilterung
eingesetzt werden, stellen hohe Anforderungen an die Qualität der optischen
Abbildung. So muss die Abbildungsleistung in der Ebene der Detektorblende
für alle Wellenlängen gleichermaßen
hoch sein. Analog zum Korrektionsprozess eines Achromaten werden auch bei
dem Hyperchromaten die beiden Korrektionsziele Öffnungsfehlerkorrektion und
Erfüllung der Isoplanasiebedingung verfolgt. Die Korrektion des Öffnungsfehlers
(sphärische Aberration) bedeutet, dass
die Schnittweite für den paraxialen und
den Öffnungsstrahl für die Hauptwellenlänge gleich sind. Durch die Einhaltung
der Isoplanasiebedingung wird erreicht,
dass in der Nähe der Achse die Koma
(Asymmetriefehler) korrigiert ist.
In Abb. 4 und Abb. 5 wird der Korrektionszustand eines achromatischen und
eines hyperchromatischen Systems verglichen, die jeweils für eine Abbildung mit
unendlicher Objektweite optimiert sind.
Beide Systeme bestehen aus zwei Elementen und besitzen die gleiche Brennweite und Öffnung. In der Darstellung
der longitudinalen Aberrationen des
verkitteten Achromaten lassen sich die
typischen Korrektionsmerkmale eines
solchen, für den sichtbaren Spektralbe-
No 23 | 2010 optolines
Basics
Abb 6: Queraberrationen auf der Achse bei 486 nm; Skala ±20 µm. Links: Achromat;
rechts: Hyperchromat.
reich ausgelegten Systems erkennen.
Der Öffnungsfehler ist für die grüne
Hauptfarbe korrigiert und das achromatische Wellenlängenpaar (blau und rot)
hat die gleiche Schnittweite bei einer
relativen Pupillenhöhe um 0,7. Deutlich
sichtbar ist, dass jede Wellenlänge einen
eigenen zonalen Aberrationsverlauf aufweist. Die Veränderung im Verlauf der
sphärischen Aberration in Abhängigkeit
von der Wellenlänge wird „Sphärochromasie“ oder „Gauß-Fehler“ genannt.
Der Gauß-Fehler ist eine inhärente Eigenschaft aller verkitteten Achromate
mit sphärischen Linsenflächen. In dem
oben gezeigten Beispiel ist der GaußFehler bereits minimiert worden, indem
der Farblängsfehler nicht auf der Achse
sondern in einer mittleren Pupillenhöhe
korrigiert wurde. Um einen weitgehend
tionsverlauf zu erreichen, wurde das
hyperchromatische System in Abb. 5
als Luftspaltsystem ausgeführt. Das Diagramm der longitudinalen Aberrationen
veranschaulicht den gezielt maximierten
Farblängsfehler. Der Öffnungsfehler und
dessen chromatische Variation sind in
diesem Beispiel nahezu vollständig kompensiert. Damit erfüllt dieses System alle
Anforderungen an eine wellenlängenabhängige Ortsfilterung mit hoher Auflösung. Inwieweit der störende zonale
Verlauf der sphärischen Aberration beim
Hyperchromaten unterdrückt werden
kann, zeigt der Vergleich der Queraberrationen in Abb. 6.
Fazit
Hyperchromate eröffnen durch ihre besonderen chromatischen Eigenschaften
interessante Anwendungsmöglichkeiten
in der Messtechnik. Sie müssen dafür
einen stark vergrößerten Farblängsfehler besitzen, der die räumliche spektrale Aufspaltung ermöglicht. Gleichzeitig
müssen die übrigen Aberrationen, wie
Öffnungsfehler und Koma, sehr gut korrigiert sein, um eine von der Wellenlänge unabhängige hohe Abbildungsqualität und damit eine konstante Qualität
der Filterung zu gewährleisten. Damit
eignen sich diese Systeme ebenfalls hervorragend für Anwendungen, in denen
monochromatisches Licht mit hoher
Qualität kollimiert oder fokussiert wird.
Literatur
[1] G. Schröder, Technische Optik,
Vogel-Buchverlag, Würzburg, 2007
[2] H. Haferkorn, Optik, Wiley-VCH, Weinheim, 2003
[3] H. Haferkorn, Bewertung optischer
Systeme, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1986
[4] H. Paul, Lexikon der Optik, Band 1, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg,
1999
[5] H. Gross, Handbook of Optical Systems,
Volume 4, Wiley-VCH, Weinheim, 2008
[6] N. Bauer, Handbuch zur industriellen
Bildverarbeitung, Fraunhofer IRB Verlag,
Stuttgart, 2008
[7] Mikš, J. Novák, P. Novák, „Theory of
chromatic sensor for topography measurements“, Proc. SPIE Vol. 6609, SPIE,
Washington, 2007
[8] M. Kunkel, J. Schulze, „Mittendickenmessung von Linsen – berührungslos“, Optolines No. 5, 2005
Die Autoren: Witold Hackemer,
Matthias Ulrich, LINOS Göttingen
Abb. 4: Longitudinale Aberrationen eines
verkitteten achromatischen Doublets
f‘=50 mm k=3,1 bei den Wellenlängen
436 nm, 486 nm, 546 nm, 588 nm, 656
nm, 707 nm; Skala ±0,25 mm.
wellenlängenunabhängigen
No 23 | 2010 optolines
Aberra-
Abb. 5: Longitudinale Aberrationen eines
hyperchromatischen Doublets f‘=50 mm
k=3,1 bei den Wellenlängen
436 nm, 486 nm, 546 nm, 588 nm, 656
nm, 707 nm; Skala ±3 mm.
Kontakt:
[email protected]
[email protected]
17