Messungen am Mikroskop

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Messungen am Mikroskop
Wie gut sich Einzelheiten an einem Gegenstand erkennen lassen, hängt davon ab, unter welchem Sehwinkel sie dem Auge erscheinen. Für die Angabe der Vergrößerung wurde eine deutliche
Sehweite von 25cm vereinbart. Die Vergrößerung eines optischen Instruments ist definiert als das
Verhältnis
tan α m
V=
tan α 0
wobei αm der Sehwinkel mit dem optischen Instrument und α0 der Sehwinkel mit unbewaffnetem
Auge ist. Das optische Instrument vergrößert also den Sehwinkel, unter dem man einen Gegenstand sieht.
Die Eigenschaften vom Linsen beschreibt das Brechungsgesetz: Zur Achse parallele Strahlen
werden nach der Brechung durch eine Sammellinse im Brennpunkt F vereinigt. Umgekehrt werden
Strahlen durch den Brennpunkt nach der Brechung achsenparallel. Strahlen durch den Linsenmittelpunkt behalten ihre Richtung bei. Bei Zerstreuungslinsen heißt der erste Satz entsprechend: Zur
Achse parallele Strahlen verlaufen nach der Brechung so, als ob sie vom Brennpunkt herkämen.
Bei der Abbildung mit einer Zerstreuungslinse entsteht nur das virtuelle Bild. Eine Sammellinse dagegen kann reelle und virtuelle Bilder erzeugen. Ein reelles Bild kann auf einem Schirm
sichtbar gemacht werden, während das virtuelle Bild nur durch eine Linse sichtbar wird. Das virtuelle Bild liegt auf der gleichen Seite der Linse wie der Gegenstand. Das reelle Bild liegt auf der
anderen Seite der Linse wie der Gegenstand.
Die Abbildung mit einer dünnen Linse läßt sich berechnen nach der Formel:
1 1 1
+ = =D
g b f
Hierbei ist g die Gegenstandsweite, b die Bildweite und f die Brennweite gemessen in Metern.
Der reziproke Wert der Brennweite f gibt die Brechkraft D in Dioptrien der Linse an. Je kürzer die
Brennweite einer Linse ist, desto größer ist ihre Brechkraft D.
Bei der Abbildung lassen sich vier einfache Fälle unterscheiden, deren Zusammenhang aus
obiger Formel leicht ersichtlich ist:
(1) Die Gegenstandsweite liegt außerhalb der doppelten Brennweite, kurz : g > 2 f . Das Bild,
welches die Linse entwirft ist reell und der Gegenstand erscheint verkleinert.
(2) Die Gegenstandsweite ist gleich der doppelten Brennweite, kurz: g = 2 f . Das Bild des Gegenstandes ist reell und identisch groß mit dem Gegenstand selbst.
(3) Die Gegenstandsweite liegt zwischen der doppelten Brennweite und dem Brennpunkt, kurz:
f < g < 2 f . Das Bild ist reell, aber der Gegenstand erscheint vergrößert.
(4) Die Gegenstandsweite ist gleich der Brennweite, kurz: g = f . Das Bild liegt nun im Unendlichen, da die Strahlen vom Brennpunkt ausgehen und auf der Bildseite der Linse parallel verlaufen. Das menschliche Auge kann ein solches Bild sehen. Auf einem Schirm kann man es
allerdings nicht abbilden, da man den Schirm praktisch nicht unendlich weit entfernen kann.
(5) Die Gegenstandsweite liegt innerhalb der Brennebene der Linse, kurz: g < f . Das Bild ist in
diesem Fall virtuell und erscheint vergrößert.
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Die Linsen werden durch Doppelpfeile symbolisiert um den Strahlengang übersichtlicher zu
gestalten. Der Gegenstand befindet sich jeweils auf der linken Seite der Linse.
Abb. 1: g > 2 f
Verkleinerung bei der Abbildung mit einer Sammelli
nse, reelles Bild
Abb. 2: g = 2 f
identische Abbildung mit einer Sammellinse, reelles
Bild
Abb. 3: f < g < 2 f
Vergrößerung bei der Abbildung mit einer Sammellinse, reelles Bild
Abb. 4: g = f
Parallele Strahlen, „unendliches Bild“
Abb. 5: g < f
Vergrößerung bei der Abbildung mit einer Sammellinse, virtuelles Bild
Es wird davon ausgegangen, daß sowohl Okular als auch Objektiv dünne Linsen sind. Das
heißt, daß ihre Dicke gering ist im Verhältnis zu ihrer Krümmung. Legt man dünne Linsen aufeinander, so ergibt sich ein System, das sich wieder wie eine dünne Linse verhält. Das Gesamtsystem
hat die Brechkraft, wie die Summe der Einzellinsen.
1
1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
+ +
fg
f 1 f 2 g1 g 2 b1 b2
3
Bei einem geringen Abstand D der Linsen folgt daraus:
1
1
1
D
=
+
−
fg
f1 f 2 f 1 f 2
Fehlerrechnung
Da fast alle Berechnungen die Form c =
a
haben, ist der Fehler in c nach dem Gaußschen
b
Fortpflanzungsgesetz:
∆c =
 ∂ a


 ∂a b 
2
⋅ ∆a 2
 ∂ a
+

 ∂b b 
2
⋅ ∆b 2 =
 1
 
 a
2
⋅ ∆a 2
 a
+

 b2 
2
⋅ ∆b 2
Vergrößerung
Zur Bestimmung der Vergrößerung des Mikroskops wird ein Maßstab in 25 cm Entfernung
mit einem Maßstab auf einem Objektträger verglichen. Die beiden Maßstäbe werden mit Hilfe
eines teilverspiegelten Strahlteilers aufeinanderprojiziert, so daß ein Vergleich der beiden Skalen
möglich wird. Gemessen wird mit dem Okular ①, das eine zehnfache Vergrößerung hat. Die Skalen der Maßstäbe sind in Meter umgerechnet.
Maßstab in 25 cm
Entfernung [cm]
10er Objektiv
40er Objektiv
100er Objektiv
Wechselblende
1
2,1
1,1
1
±
±
±
±
Ablesefehler
[cm]
0,1
0,1
0,1
0,1
=
=
=
=
Objektträger
[µm]
100
50
10
300
±
±
±
±
Ablesefehler
[µm]
10
5
1
10
Somit kann man die Vergrößerung der einzelnen Objektive bestimmen. Dabei entspricht 1
mm auf der Skala in 25 cm Entfernung 10 µm auf der Skala auf dem Objektträger.
10er Objektiv
40er Objektiv
100er Objektiv
Wechselblende
V=
V=
V=
V=
Vergrößerung
100
420
1100
33
±
±
±
±
Fehler
14
47
149
4
Linsenfehler
• Sphärische Aberration: Ein Punkt wird nur dann befriedigend abgebildet, wenn alle an der
Linse auftretenden Winkel klein sind. Achsferne Strahlen schneiden also die Hauptachse nicht
im Brennpunkt.
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• Chromatisch Aberration: Die Brechung des Lichts ist von seiner Wellenlänge abhängig.
Blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes Licht. Eine Linse kann daher von einem weißen
Gegenstand höchstens für jeweils eine darin enthaltene Farbe ein scharfes Bild herstellen, das
mit andersfarbigen Rändern umgeben ist.
Durch Kombination mehrere Linsen kann man die Farbzerstreuung und auch die übrigen Linsenfehler erheblich reduzieren. Solche Linsensysteme heißenAchromate.
Strahlengang des Mikroskops
Ein Mikroskop besteht im Wesentlichen aus einem dem Gegenstand zugewandten Objektiv
und einem dem Auge zugewandten Okular. Das Mikroskop ist so eingestellt, daß das reelle Bild
des Objektivs im Brennpunkt des Okulars liegt. Das so entstehende Bild liegt also im Unendlichen
und kann nicht mehr auf einem Schirm sichtbar gemacht werden. Das menschliche Auge kann
dieses Bild sehen, da es ja auch eine Linse enthält. Der Abstand Auge - Okular ist somit für die
Vergrößerung unerheblich, so daß ein ermüdungfreies Beobachten möglich wird.
Der Strahlengang eines Mikroskops ist zu konstruieren. Dabei sitzt die Feldlinse zwischen
Objektiv und Okular. Das Okularmikrometer befindet sich in der Z’B’-Ebene. Somit ist es möglich
die Größe des reellen Zwischenbildes zu bestimmen. Aus der bekannten Vergrößerung des Objektivs kann man nun die Größe des Objekts vermessen.
Strahlengang des Mikroskops
mit
HuygensOkular
Der Brennpunkt des Objektivs ist FObj, der Brennpunkt der Feldlinse ist deckungsgleich mit
dem zweiten Brennpunkt des Objektivs und liegt bei F’. Die beiden Okularbrennpunkte sind FOku.
Sowie FA bezeichnet den Brennpunkt des Auges.
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Das Huygens-Okular besteht aus zwei Linsen, der Feldlinse und der Augenlinse. Die Feldlinse
macht die vom Objektiv kommenden Strahlen noch etwas konvergenter. Das reelle Zwischenbild
entsteht somit nicht in der ZB-Ebene, sondern in der Z’B’-Ebene. Die Strahlen verlassen das
Okular parallel und werden erst durch das Auge zum einem Abbild zusammengefügt. Die Vorteile
des Huygens-Okulars sind:
1.) Das Sehfeld wird größer.
2.) Die sphärischen Aberrationen der beiden Linsen heben sich gegenseitig fast auf.
3.) Die chromatische Aberration wird aufgehoben, da das Auge parallele Strahlen in einem Punkt
vereinigt.
Das hier verwendete Mikroskop besitzt kein Huygens-Okular.
Okularmikrometer
Das Okularmikrometer, das in den Strahlengang eingefügt wird, ist eine transparenter Skala,
die zuerst geeicht werden muß. Dazu wird der Maßstab auf dem Objektträger verwendet. Durch
Vergleich der beiden Maßstäbe kann die Größe eines Skalenteils des Okularmikrometers bestimmt
werden. Das Okularmikrometer befindet sich im Okular②, das eine 12,5-fache Vergrößerung hat.
10er Objektiv
40er Objektiv
100er Objektiv
Wechselblende
Skalenteile des Okularmikrometers
100
100
100
65
Ablesefehler
±
±
±
±
1
1
1
1
Maßstab [µm]
=
=
=
=
605
125
50
990
Ablesefehler [µm]
±
±
±
±
2,5
1
2
5
Somit ergibt sich für jedes Objektiv eine unterschiedliche Skalierung des Okularmikrometers.
Das Mikrometer mißt die Größe des Objekts in µm SKT , (SKT = Skalenteil).
10er Objektiv
40er Objektiv
100er Objektiv
Wechselblende
µm/SKT
6,05
1,25
0,50
15,2
±
±
±
±
Fehler [µm/SKT]
0,07
0,02
0,02
0,3
Wellenlehre
Das Licht hat Wellencharakter. Es lassen sich Erscheinungen finden, die dies bestätigen. Insbesondere Beugung und Interferenz, die aus der Akustik bereits bekannt sind.
• Beugung: Licht verhält sich an Begrenzungsflächen nicht den Regeln der geometrischen Optik
gemäß. Es bilden sich keine scharfen Schattengrenzen aus. Das Licht wird in den Schattenraum
hineingelenkt, wodurch die Schattengrenze unscharf wird und zusätzliche Interferenzerscheinungen auftreten.
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• Interferenz: Als Interferenz bezeichnet man die Überlagerung zweier kohärenter Wellen, d.h.
Wellen, die die gleiche Frequenz, aber einen Gangunterschied haben. Durch konstruktive
Überlagerung entstehen Maxima, durch destruktive Überlagerung Minima der Intensität. In der
Optik interferieren nur Lichtstrahlen die vom selbem Punkt einer Lichtquelle herkommen, aber
unterschiedliche Wege durchlaufen.
Beugung am Spalt
Man denkt sich das Bündel, das unter dem Winkel α
den Spalt verläßt, in n Teilbündel zerlegt. Der Gangunterschied zwischen zwei benachbarten Teilbündeln beträgt
dann 1n ∆s . Man nimmt an, daß innerhalb der Teilbündel
kein Gangunterschied stattfindet. Zwei benachbarte Teilbündel löschen sich also genau dann aus, wenn ihr
Gangunterschied λ2 beträgt. Zu jedem Teilbündel gibt es
einen Partner mit λ2 Unterschied, so daß immer Auslöschung stattfindet.
Es gilt:
∆s
= sin α
d
Bei einer geradzahligen Anzahl Teilbündel ergibt sich also ein Intensitätsminimum unter dem
Winkel α. Bei einer ungeradzahligen Anzahl Teilbündel ergibt sich ein Intensitätsmaximum, da
sozusagen ein Teilbündel ohne Partner übrig bleibt, welches dann natürlich nicht ausgelöscht wird.
Das Hauptmaximum existiert immer (α=0). Für die Nebenmaxima gilt:
(2 n + 1) λ2
sin α =
d
Für die Nebenminima gilt analog:
2n λ2
sin α =
d
wobei d die Breite der Spaltöffnung ist.
Auflösungsvermögen
Unvermeidlich in allen optischen Geräten sind die Beugung und ihr Einfluß bei der Bildentstehung. Jede Linsenfassung ebenso wie jede Begrenzung der Prismen, Spiegel, usw. stellt eine
beugende Öffnung dar. Das hat zur Folge, das unabhängig von den sonstigen optischen Eigenschaften, ein Lichtpunkt unscharf abgebildet wird. Man spricht in diesem Fall von einem Beugungsscheibchen.
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Von jedem Punkt wird auf dem
Schirm ein Beugungsscheibchen
entworfen. Zwei solche Scheiben
sind dann noch zu unterscheiden,
wenn ihre Maxima mindestens um
den Radius R der Beugungsscheiben
voneinander
entfernt
sind
(theoretisch ist R wegen der kreisförmigen und nicht rechteckigen
Öffnung der Kreisblende um den
Faktor 1,22 größer). Der Winkelabstand der beiden Lichtpunkte P1 und
P2 muß mindestens so groß sein, daß das Hauptmaximum des ersten Beugungsscheibchens beim
ersten Minimum des zweiten liegt.
Also muß der Winkel ∆α die Mindestgröße ∆α = λd besitzen, wenn beide Punkte noch getrennt erkannt werden sollen. Der Kehrwert des minimalen Winkels ∆α heißt Auflösungsvermögen. Damit der Abstand zweier erkennbarer Punkte klein genug bleibt, muß man also die begrenzende Öffnung d groß machen.
Betrachtet man ein Objekt durch ein Mikroskop, so liegt der Gegenstand mit der Ausdehnung
g
g praktisch in der Brennebene des Objektivs, so daß für den Winkel ∆α = f gilt (f: Abstand
Objekt - Objektiv ≈ Brennweite). Für den Abstand zweier noch zu trennender Punkte gilt damit
f
g= λ
d
und für das Auflösungsvermögen
1 d
A= =
g λf
d
Hierbei ist f aber nichts anderes als die Apertur N des Objektivs, so daß man auch schreibt
N
A=
λ
Die numerische Apertur ist festgelegt durch
N = n sin u
wobei n der Brechungsindex des Mediums zwischen Objekt und Objektiv ist. Da im Versuch aber
keine Immersionsobjekte verwendet werden, kann für Luft n=1 angenommen werden. Für den
Aperturwinkel ergibt sich also:
d
sin u =
f
Das Auflösungsvermögen des Mikroskops ist durch den Abstand zweier noch zu trennender
Punkte definiert. Das Objektiv entwirft in seiner Brennebene ein Bild, das mit dem Okular betrachtet wird. Das Okular spielt nun für die Beugung keine Rolle, da zwei Punkte, deren Beugungsscheibchen sich schon in der Brennebene des Objektivs überlagern, auch nicht durch das
Okular entzerrt werden können.
Mit dem Mikroskop kann man höchstens Gegenstände erkennen, deren Ausmaße in der Größenordnung der Wellenlänge des benutzten Lichtes liegen. Eine Steigerung des Auflösungsvermögens kann man also nur durch Licht mit kürzeren Wellenlängen erreichen. Die Welleneigenschaften
setzen dem Auflösungsvermögen aller optischen Instrumente eine natürliche Grenze, die von der
Wellenlänge des benutzen Lichtes abhängt.
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Um die numerische Apertur zu bestimmen, wird im folgenden das Objektiv mit Wechselblende und Okular ② verwendet. Wie oben gezeigt, folgt aus dem Blendendurchmesser und dem Abstand Objektiv - Objekt direkt die numerische Apertur.
8 mm
Blendendurchmesser
[mm]
8
4 mm
4
2 mm
2
1 mm
0,5 mm
Abstand
Fehler
[mm]
[m]
34,5 ± 0,25
34,5 ± 0,25
numerische
Fehler in N
Apertur
0,231884 ±
17*10 -4
0,115942 ±
8,4*10 -4
0,058309 ±
0,029499 ±
4,2*10 -4
1
34,3 ± 0,25
33,9 ± 0,25
0,5
32,4 ± 0,25
0,015432 ±
1,2*10 -4
2,2*10 -4
Somit ergibt sich aus der Apertur das Auflösungsvermögen mit den verschiedenen Blenden,
sowie ein minimaler Punktabstand, der gerade noch aufgelöst werden kann. Für weißes Licht ist
ein mittlerer Wert der Wellenlängeλ = 550 nm angenommen.
8 mm
4 mm
2 mm
1 mm
0,5 mm
Auflösungsvermögen
421607
210804
106016
53634
28058
Punktabstand [µm]
2,37
± 3055
4,74
± 1528
9,43
± 773
18,65
± 396
216
35,64
±
±
±
±
±
±
Fehler [µm]
0,017
0,034
0,069
0,138
0,275
Um das Auflösungsvermögen experimentell nachzuprüfen, wird ein Objektträger mit Mirengruppen benutzt.
8 mm
4 mm
2 mm
1 mm
0,5 mm
Mirengruppe
7/6
7/4
6/4
5/4
4/4
Von den beobachteten Mirengruppen werden nun die Strichabstände bestimmt. Dazu wird
Okular ② mit dem vorher geeichten Okularmikrometer benutzt. Es wird weiterhin auf das Objektiv
mit zehnfacher Vergrößerung zurückgegriffen, da die Vergrößerung des Blendenring - Objektivs
nicht mehr ausreicht.
Mirengruppe SKT Strichabstand [µm]
Fehler [µm]
7/6
0,4
2,42 ± 0,03
7/4
0,5
3,03 ± 0,03
6/4
1
6,05 ± 0,07
5/4
2,5
15,13 ± 0,16
4/4
4,2
25,41 ± 0,27
9
Die gemessenen Strichabstände sind kleiner als der theoretisch berechnete Punktabstand. Die
Strichabstände ergeben sich direkt aus der Länge eines Skalenteils des Okularmikrometers. Die
Werte stimmen nicht mit dem handschriftlichen Versuchsprotokoll überein, da leider mit den
Werten der Wechselblende gerechnet wurde.
Um zu überprüfen, ob das Auflösungsvermögen von der Vergrößerung abhängt, wird für
zwei Blenden nochmals mit dem Okular① gemessen.
2 mm
0,5 mm
Blendendurchmesser [m] Mirengruppe
0,002
6/6
0,0005
4/4
Wie bereits oben diskutiert, kann das Okular das Auflösungsvermögen nicht verbessern. Das
Experiment stimmt also mit den theoretischen Überlegungen überein.
Blaues Licht hat eine kürzere Wellenlänge als weißes Licht (≈ 550 nm). Wie bereits oben diskutiert, verbessert sich also das Auflösungsvermögen mit blauen Licht. Experimentell konnte das
leider nicht nachgewiesen werden. Es konnte keine deutliche Verbesserung des Auflösungsvermögens festgestellt werden.
Da das Okular, wie bereits mehrfach erwähnt, das Auflösungsvermögen nicht verbessert, ist
ein Blaufilter vor dem Okular sinnlos. Eine Veränderung der Wellenlänge ist nur bei der Beleuchtung des Objekts interessant.
Theorie von Abbe
Die durchleuchteten Objekte haben sehr feine Strukturen, die mit dem Mikroskop erkannt
werden sollen. Als Modell für ein strukturiertes Objekt kann man ein Strichgitter nehmen. Das
Licht einer punktförmigen Lichtquelle L, die sich in praktisch unendlicher Entfernung zum Gitter
befindet, fällt parallel zur Objektivachse auf das Objektiv.
Wäre das Objekt nicht vorhanden, so würde bei völliger Korrektur
der Linsenfehler nur ein Lichtpunkt L’ der Lichtquelle erzeugt. Nun
wird aber das Lichtbündel am Objekt gebeugt. Es entstehen so neben
diesem Lichtpunkt L’ auf beiden Seiten noch die abgebeugten, spektral
zerlegten Bilder der Lichtquelle. Es interessieren aber nicht diese Bilder
der Lichtquelle, sondern vielmehr ein Bild des Objekts. Das reelle Bild
des Objekts liegt in der Brennebene des Objektivs. Die Strahlen, die die
Beugungsbilder der Lichtquelle liefern, müssen also das reelle Bild des
Objekts liefern!
Ein unendlich entfernter Lichtpunkt L entwirft einerseits das Zentralbild L’, an das sich links und rechts die mit 1,2,… bezeichneten
Strahlen abgebeugten Strahlen anschließen. In der Zeichnung ist angenommen, daß das Objektiv die abgebeugten Strahlen erster Ordnung
noch aufnimmt. Diese bilden die spektral zerlegten Beugungsbilder -S1
und +S1 der Lichtquelle. Die Strahlen zweiter Ordnung werden infolge
zu kleiner Apertur nicht mehr aufgenommen. Diese drei Strahlen (-S1, L’ und +S1) erzeugen auch
in der Bildebene des Objektivs ein Abbild des Objekts.
10
Ein strukturloses Objekt würde gar kein Beugungsbild der Lichtquelle erzeugen, also auch ein
strukturloses Bild ergeben. Die Abbildung der Objektstruktur ist also direkt an das Vorhandensein
der Beugungsspektren der Lichtquelle geknüpft. Um ein vollkommen ähnliches Abbild des Objekts
zu liefern, müssen alle Beugungsbilder zum Aufbau des reellen Objektbildes mitwi
rken.
Abbe nennt das Beugungsbild der Lichtquelle das primäre Bild, das reelle Bild des Objekts
das sekundäre Bild. In der Zeichnung ist das primäre Bild durch die drei Punkte -S1, L’ und +S1
angedeutet. Das sekundäre Bild ist die Bildebene B, in der das reelle Bild liegt. Jede Störung des
primären Bildes bringt eine Störung des sekundären Bildes hervor. Dies ist auch in der Zeichnung
der Fall, da hier nicht alle Beugungsordnungen in das Objektiv eintreten können.
Da die Intensität der Beugungsbilder mit höherer Ordnung stark abnimmt, sind nur die Beugungsbilder erster Ordnung für Bildentstehung wichtig. Abbe hat gezeigt, daß außer dem zentralen
Lichtbündel mindestens noch das Beugungsspektrum erster Ordnung durchgelassen wird. Das
sekundäre Bild der Struktur wird um so genauer, je mehr Strahlen vom Objektiv erfaßt werden
und zur Bildentstehung beitragen.
Gangunterschied
Es soll der Fall konstruiert werden, daß das Auflösungsvermögen gerade
1
g
=
N
λ
ist. Wie oben
bereits gezeigt, gilt für die Apertur N = . In diesem Fall gilt also für den Aperturwinkel bei n=1
d λ
sin u = = .
f g
Bei der Konstruktion des Strahlengangs ist der Abstand der beiden aufzulösenden Punkte g=2λ. Der Aperturwinkel
ergibt
sich
hiermit
zu
λ 1
sin u =
= ⇒ u = 30° . Die Theorie
2λ 2
der Beugung am Spalt gilt nur für parallele Lichtbündel. Daher muß der Schirm, auf dem die Interferenzmuster beobachtet werden sollen,
eine genügend große Entfernung zum Spalt haben. Bei genügend großer Entfernung liegen die
Intensitätsmaxima auf einer Geraden. Bei kleinem Abstand Schirm - Punkte ist das nicht mehr der
Fall, wie man an der Zeichnung deutlich erkennen kann.
Gleiches gilt auch für die Objektivblende, welche die Interferenzen aufnehmen soll. Die Blende hat somit in der Zeichnung einen relativ großen Abstand zu den Punkten.
d
f
Im zweiten Fall ist der Punktabstand
g=4λ. Somit ergibt sich der Aperturwinλ 1
= ⇒ u = 14 ,5° .
kel sin u =
4λ 4
In beiden Fällen ist der Gangunterschied der beiden Punkte zum Rand der Objektivblende
gleich einer Wellenlänge λ. Die graphische Konstruktion stimmt also mit den theoretischen Überlegungen überein.