2 Satz des Pythagoras

2 Satz des Pythagoras
Übersicht
1 Dreiecke
2 Satz des Pythagoras
Thema: Pythagoras am Bau
3 Zusammengesetzte Flächen
Mathematische Reise: Beweisen
4 Ähnliche Figuren
Üben – Wiederholen
Test
Aufbau und Intention des Kapitels
Aus den vorhergehenden Schuljahren bringen die
Schülerinnen und Schüler Vorkenntnisse der verschiedenen Dreiecksformen mit. Die Besonderheiten, die
bereits im Namen eines Dreiecks stecken und zum
Rechnen benötigt werden, müssen dabei immer wieder ins Bewusstsein gerückt werden.
Die ersten Seiten des Kapitels führen zu den Besonderheiten des rechtwinkligen Dreiecks, die dann im
Satz des Pythagoras ihre Anwendung finden. Das
handlungsorientierte Vorgehen führt zum Erkennen
systematischer Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten.
Die Themenseite Pythagoras am Bau schlägt eine
Brücke zur späteren Berufswelt vieler Jugendlicher.
In der Berechnung zusammengesetzter Flächen
finden die erworbenen Kenntnisse Anwendung. Einfache Flächenberechnungen und Aufgaben aus dem
Alltag werden dabei ebenso angeboten wie Aufgaben, bei denen es nicht um mathematische Genauigkeit geht, sondern um das Vereinfachen von Formen
und Überschlagsrechnungen.
Bei der Betrachtung ähnlicher Figuren wird der aus
der Geografie bekannte Begriff des Maßstabes bei
der Verkleinerung oder Vergrößerung ebener Flächen
verwendet und auf Alltagsprobleme übertragen.
Neben der inhaltlichen Umsetzung der Leitideen
„Größen und Messen“ und „Raum und Form“ führen die Aufgaben durch handelndes, zeichnerisches
und tabellarisch-systematisches Vorgehen (Leitidee
„Daten und Zufall“) zunehmend auch auf die formalabstrakte Ebene.
Partnerarbeit bietet die Möglichkeit, Erkenntnisse zu
verbalisieren, zu vergleichen, zu diskutieren, zu begründen und somit Lernergebnisse zu festigen.
Die Schülerinnen und Schüler schulen damit ihre allgemeinen mathematischen Kompetenzen gemäß des
Kerncurriculums in Niedersachsen:
– Problemlösungsstrategien wie systematisches Probieren und Beispiele finden und nutzen
– mathematische Einsichten und Lösungen mit
eige­nen Worten erläutern und präsentieren
– an geeigneten Beispielen und Veranschaulichungen die allgemeine Gültigkeit von Aussagen
zeigen
– inner- und außermathematischer Probleme strukturieren und lösen
Weiterführende Hinweise
Bei zusammengesetzten Flächen gibt es häufig mehrere Möglichkeiten der Teilung. Sinnvolle Teilflächen zu
erkennen, ist Übungssache und außerdem abhängig
vom Vorstellungsvermögen und den Rechenfertigkeiten des Einzelnen. Normalerweise teilt man parallel
zu gegebenen Seiten, im Karoraster oder im 45°-Winkel. Ist ein Kreis oder Kreisteil ausgeschnitten, muss
immer zur Gesamtfläche ergänzt werden, manchmal
ist dies auch bei anderen Flächen der schnellere Weg.
Tipp: Die Schülerinnen und Schüler können Skizzen
anfertigen, mit der Schere zerschneiden, die Teilflächen berechnen und danach wieder zusammensetzen.
Ebenso sinnvoll kann es sein, Teilskizzen mit Maßangaben zu fertigen. Die einfachste Hilfsmöglichkeit ist
ein leeres Stück Papier (z. B. ein Post-it). Es wird so auf
die Zeichnung gelegt (geklebt), dass die nicht relevanten Flächen verdeckt sind. Dies hilft besonders bei
Berechnungen mit dem Satz des Pythagoras.
Werkzeugkasten
Schere, Klebstoff, Bleistift und Farbstifte, Geodreieck
und Taschenrechner; außerdem für den Einstieg in
das Thema „Pythagoras“ (S. 30) Karopapier kopiert
auf gelbes und blaues Papier.
Hinweis: Die meisten Aufgaben dieses Kapitels machen das Rechnen mit dem Taschenrechner erforderlich. Deshalb wurde auf das TR-Symbol im gesamten
Kapitel verzichtet.
L 26
Legespiele
Tangram und ähnliche Legespiele helfen, das Vorstellungsvermögen im Flächenbereich spielerisch zu
trainieren.
Die genaue Herkunft des Spieles und seines Namens
sind nicht bekannt. Um 1813 wurde es in einem
chine­sischen Buch mit 300 Lege-Figuren entdeckt.
Es entwickelte sich zum Zeitvertreib im 19. Jahr­
hundert. Der amerikanische Schachspezialist Sam
Loyd (1841 bis 1911) erdichtete eine mystische Herkunftsgeschichte des Spiels und seines Namens und
entwickelte ca. 300 weitere Muster. Dadurch bekam
das Spiel eine enorme Beliebtheit.
Dreiecksraster
Das Dreiecksraster, das dem Legespiel S. 26 oben
links zugrunde liegt, ist hilfreich für das Zeichnen von
Rauten, gleichseitigen Dreiecken und für SchrägbildKonstruktionen.
Beschreibung des Rauten-Legespiels auf Seite 26: rechtwinkliges Dreieck (Teil 1, 2, 3, 6, 7);
gleichseitiges Dreieck (Teil 4);
Raute (Teil 5)
Kreuzbrecher
An vielen Schulen gibt es im Grundschul-Material
Tangram-Spiele. Sie können aber auch leicht aus Foto­
karton im Unterricht selbst hergestellt werden.
5
7
6
1
4
2
3
1 cm
Man kann Legespiele mit verschiedenen Regeln und
Aufgaben spielen:
a) Lege eine Katze, ein Schiff etc.
b) Jeder erfindet eigene Figuren und zeichnet sie als
Vorlage und als Lösung.
Diese Figuren können den Mitschülern und Mitschülerinnen als Aufgaben gestellt werden.
c) Wettbewerb: Wer legt eine vorgegebene Figur am
schnellsten nach?
Vorlagen zu Legespielen im Internet:
www.mathematische-basteleien.de/tangram.htm
L 27
Quadrat
Die neuen Quadrate entstehen, indem man die kleinen Rechtecke (5 × 10) in die beiden verbleibenden
Teile schiebt.
1 Dreiecke
In dieser Lerneinheit wiederholen und festigen die
Schülerinnen und Schüler ihre Grundkenntnisse von
Dreiecksformen und deren Eigenschaften:
– Die Summe zweier Seiten ist immer größer als die
dritte Seite.
– Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
Wiederholt werden grundlegende Begriffe wie
Schenkel, Basis und Winkelarten (spitzer, stumpfer,
rechter Winkel). Dies ist Voraussetzung für die Lern­
einheit 2, in der dann eine besondere Eigenschaft
des rechtwinkligen Dreiecks (Satz des Pythagoras) im
Zentrum steht.
Einstieg
Der Einstieg dient dazu, durch handelnden Umgang mit selbst erstelltem Material die Formen und
Eigenschaften verschiedener Dreiecke und deren
Abhängigkeit von Seitenlänge bzw. Winkelgröße zu
erkennen.
Impulse
➜ Bastelarbeit
Tipp: Möglich ist auch die Herstellung von Lochstreifen, die mithilfe von Briefklammern verbunden werden.
➜ Individuelle Lösungen
➜ Die Schülerinnen und Schüler können durch das
Vergleichen ihrer Dreiecke die Sortierkriterien
­Seite bzw. Winkel erkennen.
➜ Es gibt jeweils drei besondere Merkmale zur
­Seitenlänge und zu den Winkeln.
Dreiecke geordnet nach Seitenlängen:
– gleichseitiges Dreieck
– gleichschenkliges Dreieck
– allgemeines Dreieck
Dreiecke geordnet nach Winkelgrößen:
– spitzwinkliges Dreieck
– rechtwinkliges Dreieck
– stumpfwinkliges Dreieck
Manche Dreiecke haben gleichzeitig mehrere Merkmale (z. B. gleichschenklig und rechtwinklig) und können dann sowohl bei den Seitenlängen als auch bei
den Winkeln zugeordnet werden. Man könnte z. B.
auf eine Heftseite alle Dreiecke zum Sortierkriterium
Seitenlänge zeichnen.
Merkkasten
Hier werden die Erkenntnisse der Impulse zusammen­
gefasst.
Darüber hinaus ist wichtig: Dreiecke mit besonderen
Merkmalen haben auch besondere Eigenschaften,
die später in Aufgaben als bekannt vorausgesetzt
werden.
Weiter geht’s
➜ a) gleichseitiges Dreieck
b) rechtwinkliges Dreieck
c) gleichschenkliges Dreieck
➜ a) gleichschenklig sind 1; 2; 3; 4; (5); 8
b) gleichseitig ist 5
c) spitzwinklig sind 2; 5; 7; 8; 9
d) rechtwinklig sind 3; 4
e) stumpfwinklig sind 1; 6
Aufgaben
1 Die Dreiecke können in ein Koordinatensystem ein­
gezeichnet werden, das 10 cm × 10 cm groß ist.
a) rechtwinklig
b) gleichschenklig und spitzwinklig
c) rechtwinklig
d) stumpfwinklig
e) gleichschenklig und rechtwinklig
2 Es ist sinnvoll, mit dem Winkel c zu beginnen. Dann
zeichnet man die beiden gleich langen Schenkel mit­
hilfe des Zirkels und verbindet die Basispunkte mit­
einander.
a) c > 90°
b) c < 90°
c) c = 90°
3 Die Seitenlängen im Dreieck stehen im gleichen
Verhältnis zueinander wie die Winkel. Dem kleinsten
(größten) Winkel gegenüber liegt die kleinste (größte) Seite. Sind zwei Winkel gleich groß, so sind auch
die entsprechenden Seiten gleich lang. Aus der Winkelsumme von 180° ergibt sich, dass der 90°-Winkel
der größte Winkel im Dreieck ist. Somit muss ihm
auch die längste Seite gegenüberliegen.
L 28
4 a) rechtwinklig: Dreiecke 1; 2; 4; 6 bis 9 und 11
7 ¶ ABC bezeichnet das Dreieck mit den Punkten
gleichseitig: Dreiecke 3; 5; 10
b) individuelle Lösungen (z. B. Fachwerkhäuser)
Dreiecke finden sich in vielen technischen Konstruk­tio­
nen bei Baukränen, Strommasten usw.
A, B und C.
a) zwei gleichschenklige und rechtwinklige Drei­ecke
b) zwei rechtwinklige Dreiecke
c) ¶ ABC ist spitzwinklig (nicht gleichschenklig)
¶ ACD ist stumpfwinklig
d) ¶ ABC ist rechtwinklig und gleichschenklig
¶ ACD ist spitzwinklig und gleichschenklig
5
Å = Å3
2 = Å2
3 = ÅÅ
4=9
5 = Å0
6=8
a) nach Winkel
stumpfwinklig
stumpfwinklig
stumpfwinklig
spitzwinklig
stumpfwinklig
stumpfwinklig
7
14
rechtwinklig
stumpfwinklig
b) nach Seiten
allgemeines
allgemeines
allgemeines
nicht gleichschenklig
gleichschenklig
(nach Augenmaß „gleichschenklig“, bei genauem
Nachmessen nicht gleichschenklig)
gleichschenklig
gleichschenklig
6 Es ist sinnvoll, alle drei Dreieckskonstruktionen
grundsätzlich mit der Seite c zu beginnen. Die beiden
begrenzenden Punkte A und B sollten markiert werden.
a) Die beiden fehlenden Seiten werden mit dem Zirkel
abgetragen, dabei wird für die Seite a bei Punkt B und
für b bei Punkt A eingestochen. Der Schnittpunkt der
Zirkelkreise oberhalb der Seite c ist der Punkt C des
Dreiecks.
Das Dreieck ist rechtwinklig.
b) In Punkt B wird oberhalb der Seite c der Winkel b
eingetragen (mithilfe des Geodreiecks). Danach auf
dem Schenkel des Winkels mit dem Zirkel oder mithilfe
des Geodreiecks die Länge der Seite a markiert. Dort
liegt der Punkt C.
Das Dreieck ist stumpfwinklig.
c) In Punkt A wird oberhalb der Seite c der Winkel a
gezeichnet und in Punkt B wird der Winkel b angelegt.
Dort, wo sich beide Schenkel schneiden, liegt der Punkt
C des Dreiecks.
Bei c) entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
Hilfreich für die Schülerinnen und Schüler ist das
Dreieck auf der Randspalte. Hier kann mit den Jugend­
lichen die Lage und Bezeichnung der Winkel themati­
siert werden.
L 29
8 Ein gleichseitiges Dreieck lässt sich am leichtesten
mit dem Zirkel zeichnen.
Wenn ich jede Seite halbiere und diese Punkte miteinander zu einem kleinen Innendreieck verbinde,
entstehen 4 Dreiecke. Die 60°-Winkel bleiben erhalten, also sind diese Dreiecke wiederum gleichseitig.
9 a) Richtig, da die Winkelsumme im Dreieck 180°
beträgt, gilt: Sobald ein Winkel ≥ 90° ist, sind die
beiden anderen Winkel spitze Winkel mit der Winkelsumme ≤ 90°.
b) Falsch, wenn a + b = 180° sind, bleibt für c
„nichts übrig“. Die Seiten a und b verlaufen parallel
und schneiden sich nicht mehr.
c) Richtig, denn so wird ein stumpfwinkliges Dreieck
definiert.
d) Falsch, auch jedes rechtwinklige und stumpfwinklige Dreieck hat zwei spitze Winkel.
e) Richtig, da a + b = 90° nur zwei spitze Winkel
möglich macht.
Knobeln
Hinweis: Das blaue Dreieck ist gleichschenklig und
rechtwinklig, d. h. der Innenwinkel hat 90°.
Lösung:
rot
blau
gelb
2 Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras ist eine der ältesten Erkenntnisse der Planimetrie, der ebenen Geometrie.
Er wird der frühgriechischen Zeit zugeordnet (pytha­
goreische Schule), war aber vermutlich bereits um
2000 v. Chr. im mesopotamischen Kulturkreis bekannt.
Er wird verwendet für Berechnungen in der Ebene
und im Raum, auch weit über die Bereiche der Schulmathematik hinaus.
Auf einen mathematisch exakten Beweis des Satzes
sollte in der Schule verzichtet werden, jedoch können
Beispiele den Satz plausibel machen. (Siehe dazu die
Beweise auf der Seite L 38.)
Einstieg
Die Schülerinnen und Schüler stellen deduktiv zunächst Zusammenhänge zwischen den Dreiecksseiten und den Quadraten, die mit den Seitenlängen
gebildet werden können, her. Dies führt zum Satz des
Pythagoras. Das gelbe Quadrat ist im rechtwinkligen
Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse, die beiden
blauen Quadrate sind die Katheten-Quadrate. Behält
man die Größe des gelben Quadrates und eines Blauen bei und ändert die des anderen Blauen, so verändern sich die Winkel zwischen den Seiten.
Die Schülerinnen und Schüler können am Schluss
dieser Seite – z. B. neben der Tabelle – einige ihrer
besonderen Dreiecke in ihr Heft kleben, damit die han­
delnd erkannten Zusammenhänge optisch festgehalten
­werden.
Impulse
Das bunte Karopapier für die Quadrate kann einfach
durch Kopieren einer karierten Seite auf farbiges
­Papier hergestellt werden. Werden die Quadrate selbst
angemalt, bedeutet dies einen wesentlich höheren
Zeitaufwand.
➜ Bastelarbeit
➜ Individuelle Lösungen. Dabei wenden die Schüle-
rinnen und Schüler die Begriffe aus Lerneinheit 1
an.
➜ Ein spitzwinkliges Dreieck erhält man (zusammen mit 64 und 25) mit: Quadrat 81 und allen
kleineren Quadraten bis Quadrat 16.
Ein stumpfwinkliges Dreieck erhält man mit Quadrat 100.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist nicht möglich, da
die Summe der beiden blauen Quadrate keine
Zahl mit ganzzahliger Wurzel ergibt.
➜ Mögliche Formulierung von Merksätzen: Je kleiner (größer) die blauen Quadrate, desto
kürzer (länger) werden die Dreiecksseiten im Vergleich zur gelben Seite, desto stumpfer (spitzer)
wird der Winkel.
Einige der Jugendlichen werden bereits hier auf
Sätze kommen, die zumindest teilweise den Zusam­
menhang erklären, der im letzten Impuls erfragt
wird (siehe unten).
➜ Individuelle Lösungen
Je mehr verschiedene Dreiecke die Schülerinnen und
Schüler in ihre Tabelle eintragen, desto deutlicher
wird der Zusammenhang zwischen der Summe der
blauen Quadrate und dem gelben Quadrat.
➜ Drei Zusammenhänge ergeben sich:
1. Ist die Summe der beiden blauen Quadrate kleiner als das gelbe Quadrat, entsteht ein stumpfwinkliges Dreieck.
2. Ist die Summe der beiden blauen Quadrate
gleich groß wie das gelbe Quadrat, entsteht ein
rechtwinkliges Dreieck.
3. Ist die Summe der beiden blauen Quadrate größer als das gelbe Quadrat, entsteht ein spitzwinkliges Dreieck.
Zu einem gelben Quadrat kann es mehrere Lösun­
gen für spitz- und stumpfwinklige Dreiecke geben,
jedoch nur genau eine Lösung für ein rechtwinkliges
Dreieck.
L 30
Merkkasten
Die Begriffe Hypotenuse und Kathete werden erst
auf Seite 32 eingeführt. Es ist wichtig zu verstehen,
dass es um den Zusammenhang zwischen der längsten und den beiden kurzen Seiten geht – unabhängig von der Bezeichnung. Dadurch werden Fehlanwendungen des Satzes bei solchen Dreiecken, in
denen die Hypotenuse nicht c ist, vermieden.
Bei Berechnungen ist es hilfreich, wenn die gesuchte
Seite vorne steht, wie z. B. c 2 = a 2 + b 2.
Weiter geht’s
➜ 16 cm2 + 9 cm2 = 25 cm2
➜ Individuelle Lösungen
Es sollte darauf hingewiesen werden, dass zum
Zeichnen eines rechten Winkels die 90°-Linie des
Geodreiecks benutzt werden sollte und nicht die
90°-Ecke. Der rechte Winkel wird mit einem kleinen
Kreisbogen mit Punkt gekennzeichnet ¾.
richtig
falsch
Aufgaben
1 Die grundlegende Überlegung heißt: Welche ist die
längste Seite? Dann gilt wie im Merkkasten: (kurze Seite) 2 + (mittlere Seite) 2 = (längste Seite) 2
a) s 2 + t 2 = u 2 (oder: u 2 = s 2 + t 2)
b) x 2 + z 2 = y 2
c) v 2 + w 2 = z 2
d) b 2 + c 2 = a 2
2 Zeichnerische Lösung: Mit dem Geodreieck messen, ob in der Zeichnung c = 90° ist.
Rechnung: (6 cm) 2 + (8 cm) 2 = (10 cm) 2
Das Dreieck ist rechtwinklig.
L 31
3 Bei den Quadraten A bis D wird die Hypotenuse
(die längste Seite) gesucht, d. h. man muss addieren.
Bei den Quadraten E bis I ist jeweils eine Kathete (eine
kurze Seite) gesucht, also muss man subtra­hieren.
Der Flächeninhalt beträgt
A = 2 cm2
B = 6 cm2
C = 7 cm2
D = 11 cm2
E = 25 cm2
F = 16 cm2
G = 7 cm2
H = 3 cm2
I = 2 cm2
Bei Berechnungen mit dem Satz des Pythagoras müs­
sen immer wieder Zahlen quadriert bzw. radiziert wer­
den. Darum ist es sinnvoll, wichtige Quadratzahlen und
Quadratwurzeln auswendig zu kennen.
(Merkzettel zum Kopieren)
Merkzettel
1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100
_
​√__
1 ​ = 1
​√__
4 ​ = 2
​√__
9 ​ = 3
​√___
16 ​ = 4
​√___
25 ​ = 5
​√___
36 ​ = 6
​√___
49 ​ = 7
​√__
64 ​ = 8
​√___
81 ​ = 9
​√100 ​ = 10
11 2 = 121
12 2 = 144
13 2 = 169
14 2 = 196
15 2 = 225
16 2 = 256
17 2 = 289
18 2 = 324
19 2 = 361
20 2 = 400
25 2 = 625
___
​√___
121 ​ = 11
​√___
144 ​ = 12
​√___
169 ​ = 13
​√___
196 ​ = 14
​√___
225 ​ = 15
​√___
256 ​ = 16
​√___
286 ​ = 17
​√___
324 ​ = 18
​√___
361 ​ = 19
​√___
400 ​ = 20
​√625 ​ = 25
Abgeleitet von diesen Zahlen sollten auch Zahlen qua­
driert und radiziert werden können, die um Zehnerpo­
tenzen vergrößert oder verkleinert sind.
Beispiele: 0,4 2 = 0,16 oder 90 2 = 8100
Tipp: Dabei ist wichtig zu erkennen, dass beim Qua­
drieren die Schrittgröße 100 ist (10 2 = 100)! Dazu teilt
man die Zahl unter der Wurzel von der Komma­stelle
aus (nach vorne oder hinten) in Zweierschritte ein so
kann man erkennen, ob es eine ganzzahlige Quadrat­
zahl ist oder____
nicht.
______
√
Beispiel: ​
9.00 ​
= 30 und ​√0,00.09 ​ 
= 0,03
_____  
aber: ​√
90.00 ​
 
≠
30 oder
300 ____
und ​√0,90. ​ 
≠ 0,3
4 Liegt das gesuchte Quadrat über einer der kurzen
Seiten oder über der langen Seite? Ist das Quadrat
über einer kurzen Seite gesucht, subtrahiert man das
„kleine“ Quadrat vom „großen“ Quadrat. Für das Qua­
drat über der längsten Seite addiert man die beiden
anderen Quadrate.
a) 5 cm2
b) 21 cm2
5 Achtung bei d) sind unterschiedliche Maßeinheiten
gegeben, die umgerechnet werden müssen.
Außerdem muss bei dieser Aufgabe die Wurzel gezogen
werden (siehe Tabelle Seite L 31).
a) x = 1 cm b) x = 2 cm c) x = 6 cm d) x = 5 cm
Hinweis: Bei Berechnungen mit dem Satz des Pythagoras ist bei den meisten Aufgaben die Anwendung
des Taschenrechners notwendig, da Quadratwurzeln
nur bei ganzzahligen Ergebnissen ohne TR ermittelt
werden können.
6 Hier wird rechnerisch geprüft, ob a 2 + b 2 = c 2 ist.
Wie auf der Einstiegsseite der Lerneinheit, Seite 30,
könnte die Lösung als Tabelle dargestellt werden.
a 2
b 2
a 2 + b 2
c 2
7 a) c = 13 cm
c) c = 17 cm
b) c = 25 cm
d) c = 15 cm
c) b = 28,8 cm
b) a = 24 cm
d) a = 11,25 cm
9 Bei Sachaufgaben ist es grundsätzlich sinnvoll, eine
Skizze anzufertigen, in die der rechte Winkel, die Hypo­
tenuse und die gesuchte Seite (farbig) eingezeichnet
werden. Ist im Buch ein Bild angegeben, kann dieses
als Skizze ins Heft übertragen werden.
Der Abstand des Drachens von Lenas Kopf ist die
Kathete a des rechtwinkligen Dreiecks.
a2 = (100 m) 2 – (80 m) 2
a = 60 m
Der Drache steht in einer Höhe von 60 m über Lena.
10 Die Höhe des Mastes ist für die Skizze und die
Rechnung nicht relevant.
a)
m
Information
In den folgenden Aufgaben wird vorausgesetzt, dass
die Begriffe angewendet werden können. Sinnvoll erscheint, im Unterricht generell die Begriffe Kathete –
kurze Seite und Hypotenuse – lange Seite parallel zu
gebrauchen. Der Satz des Pythagoras kann jetzt auch
so formuliert werden:
Hypotenuse 2 = Kathete 2 + Kathete 2
8 a) b = 144 cm
35
a) 121 cm2 3600 cm2 3721 cm2 3721 cm2
b) 2,25 cm2
25 cm2 27,25 cm2 30,25 cm2
2
c) 92,16 cm 163,84 cm2 256 cm2 256 cm2
d) 40,96 cm2 144 cm2 184,96 cm2 184,96 cm2
recht­
winklig
ja
nein
ja
ja
Im Beispiel wird gezeigt, wie die Gleichung umzustel­
len ist, wenn eine Kathete gesucht wird.
Umgestellte Formel: a 2 = c 2 – b 2 oder b 2 = c 2 – a 2
h=?
20 m
b) Die Seile sind in einer Höhe von 28,72 m verankert.
11_____
a) 42 dm2 + 7,52 dm2 = 72,25 dm2
dm = 8,5 dm (die Grundseite wird halbiert)
​√72,25 ​  
b)______
122 dm2 + 28,82 dm2 = 973,44 dm2
​√973,44 ​  
dm = 31,2 dm
2
15__
dm2 – 122 dm2 = 81 dm2
​√81 ​  dm = 9 dm Ein sehr großer Drachen, er ist 3,78 m hoch und 2,40 m
breit.
L 32
Bei allen Aufgaben dieser Seite müssen zunächst zwei
Fragen beantwortet werden:
1. In welchem rechtwinkligen Dreieck kann die gesuch­
te Seite berechnet werden?
2. Welche Seite ist die Hypotenuse?
16 Anhand dieser Aufgabe kann die Schreibweise von
Für Schülerinnen und Schüler ist es oft schwierig, in
einer allgemeinen Figur das entsprechende Dreieck zu
erkennen, in dem die Berechnung über den Satz des
Pythagoras möglich ist.
Tipps: Es ist hilfreich, mit Papier die nicht benötigten
Teile der Figur abzudecken, bis nur noch das Dreieck zu
sehen ist in dem die Berechnung erfolgen soll.
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Figur ins
Heft abzuzeichnen und das Dreieck farbig zu schraffie­
ren, in dem eine Seite berechnet werden soll.
Für die Anwendung der gelernten Formel (a 2 + b 2 = c 2) kann die längste Seite im „Berechnungs­
dreieck“ mit c bezeichnet werden und die beiden kur­
zen Seiten dann mit a und b.
Höhenunterschied ist eine Kathete des rechtwinkligen
Dreiecks, in der man die Luftlinie berechnen kann. Bei
dieser Aufgabe sind die verschiedenen Maßeinheiten
zu beachten und umzuwandeln.
Die Bergbahn hat etwa 2543 m (2,5 km) Luftlinie
zurück­gelegt.
2
24______
cm2 – 19,22 cm2 = 207,36 cm2
​√207,36 ​  
cm = 14,4 cm
Das Rechteck ist 14,4 cm breit.
cm
25
genau diagonal über den Platz laufen, legen sie rund
108 m zurück.
b) 90 m + 60 m = 150 m
Der Wegunterschied ist 42 m.
19 In dieser Aufgabe ist es sinnvoll, das jeweilige Teil-
Weiteres Angebot: für Fußballexperten
Fragen zum Fußballfeld in Aufgabe 19
Wie weit ist es bis zu den Torpfosten?
Lösung
1
b) 16,8 cm
15 In beiden Teilaufgaben muss zunächst die Länge
einer Diagonalen berechnet werden.
a) Diagonale: 17 m; Gesamtstrecke: 177 m
b) Diagonale: 8,5 m; Gesamtstrecke: 68 m
L 33
18 a) Unter der Voraussetzung, dass die Spieler
25
cm
13 Ein Quadrat hat folgende Eigenschaften: 14 a) 24 cm
17 Das Seil (die Fahrstrecke) ist die Hypotenuse, der
Dreieck, in dem die Berechnung der gesuchten Strecke
möglich ist, ins Heft zu übertragen.
a) Die Breite des Tores muss für die Berechnung hal­
biert werden.
Spieler A ist 26,05 m vom Tor entfernt.
Spieler B ist 10,68 m vom Tor entfernt.
Spieler C ist 20,90 m vom Tor entfernt.
b) Die Spieler A und C sind 41,79 m voneinander entfernt.
12 Die Diagonale ist die Hypotenuse. Die Diagonalen sind gleich lang,
halbieren sich und stehen senkrecht
zueinander, die Seiten sind gleich
lang.
2
25____
cm2 + 252 cm2 = 1250 cm2
​√1250 ​  
cm ≈ 35,46 cm
Eine Seite ist 35,4 cm lang.
4 · 35,4 cm = 141,6 cm
Der Umfang beträgt 141,6 cm.
Strecken wiederholt werden.
_
​  bedeutet: Strecke von A nach B
AB​
_
Die Strecke BC​
​  ist etwa 235 m lang.
A
B
C
Tormitte
26,05 m
10,68 m
20,9 m
nächster Pfosten
23,33 m
7,78 m
17,39 m
entfernter Pfosten
28,98 m
13,95 m
24,45 m
Thema: Pythagoras am Bau
Die Schülerinnen und Schüler können herausgefordert werden, weitere Beispiele aus dem Baubereich
(oder aus ihrem Alltag) zu finden, in denen der Satz
des Pythagoras hilfreich sein kann (z. B. könnten sie
auch Fragen an verschiedene Handwerker stellen).
Beispiele für die Anwendung:
a) Die Breite eines Hauses und die Höhe des Dachstuhls sind bekannt – wie lang müssen die schrägen
Dachbalken mindestens sein? Reichen Balken mit
10 m Länge aus oder wird eine 15 m lange Version benötigt?
b) Passen die Möbel durchs Treppenhaus – oder ist
ein Außenaufzug nötig?
Eine Skizze hilft, sich den Sachverhalt der Aufgabe
vorzustellen.
Aufgaben
1 Die Diagonale des Durchgangs ist 2,15 m lang, also
passt die Platte mit ihrer Breite von 2,10 m schräg
durch den Durchgang.
2 Die Leiter reicht 4,24 m hoch.
3 Siehe Grafik auf der Randspalte. Die Leiter bildet
ein gleichschenkliges Dreieck. Die Standbreite muss
also halbiert werden, um die Höhe zu berechnen.
Der TR zeigt als Ergebnis 2,427. Hier muss – entgegen
der mathematischen Regel – sinnvoll abgerundet wer­
den, und zwar auf 2,42 m (ca. 2,40 m).
4 Beim maßstäblichen Zeichnen (auch beim Karten­
maßstab) wird die Größe auf der Zeichnung mit der
Größe in der Wirklichkeit (im Längenmaß „cm“) zuei­
nander ins Verhältnis gesetzt. Dabei wird das Maß auf
der Zeichnung bzw. der Karte immer zuerst genannt.
Maßstab 1 : 10 heißt also, 1 cm auf der Zeichnung sind
10 cm in der Wirklichkeit.
Maßstab 1 : 200 000 heißt: 1 cm auf der Karte sind
200 000 cm (= 2 km) in der Wirklichkeit.
a) Maßstab 1 : 10 (Katheten: 6 cm und 8 cm)
Die Winkel betragen 37° und 53°
b) + c) Individuelle Lösungen
5 Siehe Grafik auf der Randspalte. Wenn man einen
Schrank kippen muss, um ihn aufzustellen, ist die
Schrankdiagonale zwischen Rückwand und Türen das
größte Maß – es muss kleiner sein als die Zimmerhöhe.
Mögliche Erklärungen: Wenn der Schrank im Zimmer
zusammengebaut wird, reicht die Zimmerhöhe sicher,
da der Schrank nur 2,30 m hoch ist.
Wenn der Schrank schon zusammengebaut ist, muss
er zum Aufstellen gekippt werden. Dazu berechnet
man die Schrankdiagonale zwischen Rückwand und
Schranktüren.
Die Diagonale des Schrankes ist ca. 2,35 m. Da das
Zimmer 2,40 m hoch ist, kann der Schrank gekippt
werden.
6 Die Zimmerdecke ist rechtwinklig.
7 Hier muss erkannt werden, dass die beiden gesuch­
ten Seiten die Katheten sind. Somit wird die Formel
des Pythagoras zur Gleichung:
x 2 + x 2 = (150 cm) 2
2 x 2 = (150 cm) 2
2 x 2 = 22 500 cm2 | : 2__
2
x 2 = 11 250 cm
| ​√0 ​ 
_____
x=√
​ 11 250 ​  
cm
x = 106,07 cm
Die beiden Strecken sind jeweils ca. 106 cm lang.
8____
1002 cm2 – 802 cm2 = 3600 cm2
​√3600 ​  
cm = 60 cm
x = 60 cm
Die Länge der Lattenseite ist 60 cm, die Latten selbst
sind etwas länger.
Weiteres Angebot: Berufe
Welche Berufsgruppen verwenden den Satz des
Pytha­goras?
Lösung
Zum Beispiel Zimmermann, Dachdecker, Schreiner,
Gärtner.
L 34
3 Zusammengesetzte Flächen
Im Alltag kommen die reinen Grundformen der Geo­
metrie selten vor. Man zerlegt zusammengesetzte
Flächen oder setzt Teile zusammen, um den Materialbedarf zu ermitteln. Wie viel Stoff wird für eine Buchhülle, wie viel Holz für ein Vogelhaus, wie viel Glas für
eine Pergola usw. benötigt?
In diesem Kapitel soll der Blick für die sinnvolle Zerlegung von Flächen in ihre Grundformen geschärft
werden. Alle gelernten Flächenberechnungen werden
dabei angewendet.
Einstieg
Das Denken der Jugendlichen soll durchbrochen
werden, Mathematik habe nur etwas mit genauen
Zahlen zu tun. Abschätzen, Überschlagen, Erkennen,
ob eine Antwort stimmen kann, sind Grundvoraussetzungen für eigene Lösungen zu offenen Aufgaben.
Impulse
➜ „Mindestens“ heißt hier, den kürzesten und
schmalsten Stoffstreifen zu berechnen (451,4 m2).
„Höchstens“ heißt, den längsten und breitesten
Stoffstreifen zu berechnen (1281 m2).
➜ Die Perspektive der Insel stellt für die Schätzwerte
ein Problem dar. Darum sollte man darauf hinwei­
sen, dass der Stoffstreifen ringsum 60 m breit ist.
Die Schülerinnen und Schüler fertigen am besten
im Heft eine Skizze an, in der sie die Form in etwa
übertragen. Hier kann auch eingezeichnet wer­
den, in welche geometrische Grundformen zerlegt
werden kann. Sie erarbeiten auf dieser Grundlage
einen Schätzwert und stellen ihren Lösungsweg dar.
Mögliche Lösungsansätze: 1. Einen groben Durchschnittswert erhält man,
indem man die Gesamt­größe des verwendeten
Stoffes durch die Anzahl der Inseln teilt:
600 000 m2 : 11 gibt ca. 55 000 m2 pro Insel.
2. Die Stoffstreifen ringsum sind 60 m breit.
Den Umfang der Insel kann man mit zwölf- bis
fünfzehnmal 60 m abschätzen. Dann setzt man
Quadrate dieser Länge und Breite zusammen.
Es ergibt sich eine Stofffläche von 43 200 m2 bis
54 000 m2.
L 35
3. Man betrachtet die Gesamtfläche (Insel + Stoff)
als Rechteck (Teil links oben „abschneiden“ und
rechts „einsetzen“). Dieses Rechteck ist ca. 320 m
lang und 180 m breit. Anschließend zieht man die
Inselfläche (ca. ein Rechteck 60 m × 120 m) ab und
kommt man auf ca. 50 000 m2 Stofffläche.
4. Andere Lösungsansätze sind erwünscht (z. B.
Zerlegung des Stoffrings in Teilflächen).
Merkkasten
Hier könnte erarbeitet werden:
Welche Grundflächenformen sind uns bekannt?
Wie heißen die zugehörigen Formeln?
Die Subtraktion von Teilflächen ist generell notwendig, wenn Kreisteile ausgeschnitten sind.
Weiter geht´s
➜ a) Die Figur wird senkrecht zerteilt in ein Dreieck
(A1), ein Trapez (A2) und einen Halbkreis (A3).
b) Grundsätzlich soll zuerst die entsprechende For­
mel aufgeschrieben werden, mit der die Teilfläche
berechnet werden kann.
A1 = 9 cm2; A2 = 12,5 cm2; A3 = 6,28 cm2
c) Die Gesamtfläche ist die Summe der Teilflächen.
Ages = 27,78 cm2
Aufgaben
1 Die Teilflächen sind nicht eingezeichnet und müssen
von den Schülerinnen und Schülern erkannt werden.
Dies ist bei a) sehr leicht, erfordert aber bei c) schon
ein größeres Vorstellungsvermögen. Anschließend
berechnen sie mit der entsprechenden Formel die Teil­
flächen und addieren alles zur Gesamtfläche.
Nicht immer werden alle Maße für die Flächenberech­
nung benötigt (z. B. 1 b, 1 c).
a) Rechtecke: A1 = 12,25 cm2; A2 = 11,25 cm2;
Ages = 23,5 cm2
b) Dreieck: A1 = 12 cm2;
Rechteck: A2 = 21 cm2;
Ages = 33 cm2
c) Trapez: A1 = 18 cm2; Parallelogramm: A2 = 36 cm2;
Ages = 54 cm2
2 Bei diesen komplizierteren Figuren sind die Teilflä­
5 Der Preis ist pro Quadratmeter (m2) angegeben.
chen eingezeichnet. Dies ist auch für die Bemaßung
notwendig.
a) A1 = 1700 m2; A2 = 544 m2; AGes = 2244 m2
b) Der Radius des Kreises ist zugleich die Seite a des
Trapezes.
AViertelkreis = 1017,9 m2; ATr = 630 m2
AGes = 1647,9 m2
Daher ist es sinnvoll, die Längenmaße vor der Flächen­
berechnung in Meter umzurechnen, da Längenum­
wandlung leichter fällt als Flächenumwandlung.
a) AR = 6 m2; ADr = 3 m2
AGes = 9 m2
Der Preis beträgt 576 €.
b) ATr = 3,75 m2
AGes = 7,5 m2
Der Preis beträgt 480 €.
3 Bei beiden Teilaufgaben ist es möglich, die Profil­
leiste senkrecht oder waagerecht zu teilen.
a) senkrecht: 2 gleiche Trapeze und ein Rechteck
ATR = 432 mm2; AR = 288 mm2
AGes = 1152 mm2
waagerecht: 4 gleiche Dreiecke und ein Rechteck
ADr = 108 mm2; AR = 720 mm2
AGes = 1152 mm2
b) Teilung wie eingezeichnet
ADr 1 = 250 mm2; ADr 2 = 75 mm2; AR = 400 mm2
AGes = 725 mm2
senkrecht geteilt entstehen 2 Trapeze
ATR 1 = 500 mm2; ATR 2 = 225 mm2
AGes = 725 mm2
4 Die Hauswand wird in ein Rechteck (Traufhöhe;
Hausbreite) und ein Dreieck (Dachhöhe; Hausbreite)
geteilt. Da die Wand zweimal gestrichen werden soll,
benötigt man Farbe für die doppelte Fläche.
Für die Jugendlichen ist wichtig zu erkennen:
Da immer nur ganze Eimer Farbe gekauft werden
können, werden bei den Teilaufgaben (1), (2) und (3)
jeweils vier Eimer benötigt, obwohl die Flächen, die ge­
strichen werden müssen, unterschiedlich groß sind.
a) + b)
AR
ADr
AGes
Farbe für
(Å)
80 m2
20 m2
Å00 m2
200 m2
(2)
å2,25 m2
Å2,å5 m2
85 m2
Åå0 m2
Eimer
4
4
(3)
63 m2
28,88 m2
9Å,88 m2
Å83,å5 m2
≈ Å84 m2
4
6 Bei der Teilung entstehen ein Rechteck und vier
kongruente Dreiecke.
a) AR = 240 m2; ADr = 6 m2
AGes = 264 m2
b) Das Verputzen der Wand kostet 8976 €.
7 Sind bei zusammengesetzten Flächen Kreise oder
Kreisteile ausgeschnitten, muss die ergänzte Fläche
– bei Aufgabe (1) ein Rechteck – berechnet werden,
anschließend werden die Kreisteile subtrahiert.
Bei Teilaufgabe (2) kann der Halbkreis oben in die
­beiden ausgeschnittenen Viertelkreise eingesetzt wer­
den – so entsteht ein Rechteck.
a) (1) 3040 cm2 – 201,1 cm2 = 2838,9 cm2
(2) 2800 cm2
b) Bei beiden Flächen muss für den Umfang genau ein
Kreis berechnet werden.
Sinnvoll runden! Hier muss entgegen mathematischer
Rundungsregel auf ganze Zentimeter aufgerundet wer­
den, da sonst für eine Verarbeitung zu wenig Aluprofil
vorhanden ist.
(1) u = 218,3 cm ≈ 219 cm
(2) u = 222,8 cm ≈ 223 cm
(4)
48,24 m2
Å6,08 m2
64,32 m2
Å28,64 m2
≈ Å29 m2
3
L 36
8 Die Höhe des blauen und die Breite des roten
12 Beim Umfang zusammengesetzter Flächen ist
Rechtecks werden halbiert. Das innere Rechteck
ist 2 cm × 3,5 cm.
Der Umfang der Rechtecke wird mit der normalen
Umfangsformel berechnet, da die Seiten des weißen
Rechtecks denen des ursprünglichen Rechteck ent­
sprechen.
Arot = 35 cm2; Ablau = 33 cm2
urot = 26 cm; ublau = 28 cm
Vergleich:
Die größere Fläche hat den kleineren Umfang.
darauf zu achten, dass nicht die Umfänge der ganzen
Teilflächen addiert werden dürfen, sondern nur die
­Einzelstrecken.
a) Mithilfe des Satz des Pythagoras: d = 4,6 cm
AGes = ADr + AHkr
= 10,35 cm2 + 8,31 cm2 ≈ 18,66 cm2
u = 18,1 cm
b) Mithilfe des Satz des Pythagoras: h = 8 cm
AGes = ADr + AHkr
= 48 cm2 + 56,5 cm2 ≈ 104,5 cm2
u = 38,8 cm
9 Diese Fläche lässt sich nicht sinnvoll in Teilflächen
zerlegen, darum rechnet man das große Rechteck aus
und subtrahiert die Dreiecke.
AGes = 72 m2 – (5 m2 + 3 m2 + 4 m2 + 2,5 m2) = 57,5 m2
10 a) Die angegebenen Maße machen die Subtraktion
von Teilflächen sinnvoller.
AGes = 47,56 cm2 – 11,88 cm2 = 35,68 cm2
b) AGes = AR + ADr – AKr
= 45,44 cm2 + 32,96 cm2 – 7,07 cm2
≈ 71,33 cm2
c) Hier bietet es sich an Teilflächen zu subtrahieren.
AGes = 4 · AR + AQ – AKr
= 50 cm2 + 25 cm2 – 19,64 cm2
= 55,36 cm2
d) Drache minus Kreis (r = 1 cm)
AGes = 16,4 cm2 – 3,14 cm2 ≈ 13,26 cm2
11 Diese Aufgabe lässt sich ohne Rechnen lösen:
Die Flächen sind gleich groß.
Wenn man in den Stern das Rechteck einzeichnet,
können die überstehenden Ecken verschoben werden
(siehe Grafik). A = 2 cm · 3 cm = 6 cm2
Soll diese Aufgabe berechnet werden, muss man zu­
nächst die Diagonalen der kleinen Drachen mithilfe
des Satzes des Pythagoras berechnen (e = 1,41 cm und f = 0,71 cm), danach die Summe aller Drachen­flächen.
13 Die fehlende Seite wird mithilfe des Satzes des
­ ythagoras berechnet.
P
a) Mithilfe des Satz des Pythagoras: x ≈ 8,3 m
AGes = 68,82 m + 17,43 m = 86,25 m2
u = 36,6 m
b) Mithilfe des Satz des Pythagoras: x ≈ 6,4 m
AGes = 34,56 m + 9,88 m = 44,44 m2
u = 26,2 m
14 Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, Nähe­
rungswerte für solche Flächen zu finden.
Möglichkeit 1: Man sucht eine berechenbare Fläche,
die annähernd die Form der gesuchten Fläche hat, da­
bei müssen manche Teile verschoben werden.
a) Raute: 4,5 · 2,5 : 2 = 5,6 km2
b) Rechteck: 2,5 · 2 km = 5 km2
c) Trapez: (3 + 1,5) : 2 · 2 = 4,5 km2
Möglichkeit 2: Kästchen zählen:
Man ermittelt die Größe einer Fläche, indem man
zählt, wie viele Kästen ganz, mehr als halb und
­weniger als halb gefüllt sind. Die teilweise gefüllten
Kästchen werden addiert und durch 2 dividiert. Dabei
wird davon ausgegangen, dass sich im Durchschnitt
die unterschiedlichen Füllmengen ausgleichen. Hier
entsprechen 4 Kästchen = 1 km2.
ganze Kästchen
mehr als halb
weniger als halb
Durchschnitt
Summe
Fläche (km2)
0,5 cm
L 37
a)
15
8
8
8
23
5,75
b)
11
7
11
9
20
5
c)
10
5
11
8
18
4,5
Mathematische Reise: Beweisen
Einstieg
Anhand des Satzes von Pythagoras sollen die Schülerinnen und Schüler das Konzept und die Strategie
eines mathematischen Beweises kennenlernen. Beweise sind ein zentraler Bestandteil der Mathematik,
da nur so unumstößliche Aussagen getroffen werden
können. Zum Satz des Pythagoras gibt es in der
Literatur zahlreiche unterschiedliche Beweise, zwei
davon sind hier beispielhaft aufgeführt. Beim Zerlegungsbeweis 1 kommt es darauf an, durch „Puzzlen“
die Flächengleichheit herzustellen. Der Ergänzungsbeweis ist anschaulicher, hier kommt es auf die Versprachlichung und Erklärung an.
1 Zerlegungsbeweis
Auch in China war der Satz des Pythagoras schon
sehr früh bekannt. Sein chinesischer Name ist g
­ ou-gu.
Im Chiu chang suan shu („Neun Kapitel über die
Kunst der Mathematik“, 3. Jahrhundert v. Chr.), dem
klassischen mathematischen Werk Chinas mit einer
Sammlung von 263 Anleitungen zum Lösen von Aufgaben, wird er angewendet. Liu Hiu (3. Jahrhundert
n. Chr.) gibt in seinem Kommentar Jiuchang suanshu
im neunten Kapitel diesen Zerlegungsbeweis an.
Lösung:
3
5
2
1
2 Ergänzungsbeweis
a) Um das Zeichnen zu erleichtern, kann auch mit
farbig kopiertem Karopapier gearbeitet werden.
Wichtig ist, dass die Dreiecke gleich groß sind.
b) Der Flächeninhalt des grünen Quadrats in der linken unteren Abbildung ist c 2. Die Flächeninhalte der
beiden Quadrate in der rechten unteren Abbildung
sind a 2 bzw. b 2.
c) Die vier ausgeschnittenen Dreiecke können auf
beide Arten wie abgebildet zusammengelegt werden.
Das dabei entstehende gesamte Quadrat ist jeweils
gleich groß, da es in beiden Fällen die Seitenlänge
a + b hat. Da die gleichen vier Dreiecke verwendet
werden, muss also auch das grüne Quadrat auf der
linken Seite mit der Seitenlänge c genauso groß wie
die Summe der beiden Quadrate auf der rechten
­Seite mit den Seitenlängen a bzw. b sein. Die Flächen
a 2 und b 2 summieren sich also zur Fläche c 2 auf, es
gilt a 2 + b 2 = c 2.
Die Flächengleichheit ist hier sofort einsichtig. Im
Gegensatz zum Zerlegungsbeweis wird man hier –
auch ohne eigenes Herstellen der Dreiecke – die Behauptung gut nachvollziehen können. Wichtig ist das
Verbalisieren.
d) Die Dreiecke werden hier so zusammengelegt,
dass ein Quadrat in der Mitte entsteht, sie werden
also zu einem Quadrat ergänzt.
Randspalte
Die Summe der Katheten kann nie so groß sein wie
die Hypotenuse, da diese die direkte Verbindung der
beiden Endpunkte darstellt. Jeder andere Weg von
einem Endpunkt der Hypotenuse zum anderen Endpunkt, so auch der Weg über die beiden Katheten,
muss also länger sein. Demnach ist auch die Summe
der beiden Katheten immer größer als die Hypo­
tenuse.
Ist die Summe der Katheten genauso groß wie die
Hypotenuse, so entsteht kein Dreieck. Die Winkel a
und b würden 0° betragen, c 180°.
a
4
b
c
L 38
4 Ähnliche Figuren
Den Begriff des Maßstabes kennen die Schülerinnen
und Schüler aus dem Erdkundeunterricht von der
Arbeit mit Landkarten, daran wird angeknüpft. Neu
sind die Übertragungen dieses Begriffes auf geometrische Figuren sowie die Betrachtung von Winkeln
und Seitenverhältnissen dabei und der Begriff der
Ähnlichkeit.
Einstieg
Die meisten Schülerinnen und Schüler kennen vermutlich ähnliche Zeichnungen wie das Muster im
Buch als Mandalas und haben solche vielleicht auch
schon selbst farbig gestaltet oder entworfen. Sie
­wissen, dass die gleichen Muster bei solchen Dar­
stellungen immer wiederholt werden.
Impulse
➜ Alle Fische haben die gleiche Grundform, bei der
manche Rümpfe leicht nach links, andere nach
rechts gedreht und die rechte Flosse größer als
die linke ist. Die Fischgröße ist nicht immer gleich
und nimmt zum Rand hin ab.
➜ Jeweils zwei gleichfarbige, einander gegenüber
liegende Fische sind deckungsgleich, so wie die
beiden orangen Fische in der Mitte. Von innen
nach außen betrachtet findet man dabei immer
weiter verkleinerte Fische.
Merkkasten
Ähnliche Figuren haben zwar die gleiche Form, aber
nicht immer die gleiche Größe. Das heißt, die entsprechenden Winkel der Bildfigur sind genauso groß
wie die Winkel der Originalfigur und die Länge jeder
Bildstrecke ist das gleiche Vielfache der zugehörigen
Originalstrecke. Der immer gleiche Proportionalitätsfaktor ist der Maßstab k, auch Faktor k genannt.
Weiter geht’s
➜ Die beiden Dreiecke sind zueinander ähnlich.
a) Alle Seiten des grünen Dreiecks sind genau
doppelt so lang wie die Seiten des gelben Dreiecks. Der Maßstab k ist 2 : 1 kurz 2.
b) Alle entsprechenden Winkel der Bildfigur sind
genauso groß wie die Winkel der Originalfigur
(a = 90°, b = 37°, c = 53°).
L 39
Aufgaben
1 Die Schülerinnen und Schüler wählen entweder die
schwarzen oder das rote Dreieck als Bilddreieck. Bei
den Lösungen geht man davon aus, dass das schwarze
Dreieck Bilddreieck ist.
a) ähnlich (Verkleinerung; Faktor k = 0,5)
b) ähnlich (Verkleinerung k = 0,5 und Spiegelung)
c) Nicht ähnlich, da die Längenverhältnisse und die
Winkel verschieden sind.
d) Nicht ähnlich, vgl. c).
e) Nicht ähnlich, vgl. c).
f) Nicht ähnlich, da gleichschenklig.
2 Zu den Aufgaben mit den falschen Aussagen sollten
die Schülerinnen und Schüler Gegenbeispiele zeichnen.
a) Falsch, ein gleichseitiges und ein rechtwinkliges
Dreieck sind nicht ähnlich.
b) Falsch, der Winkel zwischen den gleichen Schenkeln kann stumpf, aber auch spitz oder ein rechter
Winkel sein.
c) Falsch, ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck und ein ungleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck sind nicht ähnlich.
d) Richtig, da in einem gleichseitigen Dreieck die
Winkel alle immer 60° betragen und alle Seiten
gleich lang sind, damit sind auch die Längenverhältnisse gleich.
e) Falsch, ein Quadrat und ein Trapez sind nicht ähnlich.
f) Richtig, da in einem Quadrat alle Winkel immer
90° betragen und alle Seiten gleich lang sind, damit
sind auch die Längenverhältnisse gleich.
g) Falsch, ein Rechteck, das doppelt so lang wie breit
ist, ist einem Rechteck, dass 1,5-mal so lang wie breit
ist nicht ähnlich.
h) Falsch, ein gleichschenkliges und ein ungleichschenkliges Trapez sind nicht ähnlich.
3 Durch Abzählen der Kästchen können die Längen­
6 Bei dieser Aufgabe kommen die Schülerinnen und
verhältnisse ermittelt werden.
Das rote Rechteck ist doppelt so lang wie breit, dies
gilt auch bei den Rechtecken a) und d).
Das Rechteck a) ist eine Verkleinerung des roten
Rechtecks mit Faktor ​ _23 ​ und das Rechteck d) ist eine
Vergrößerung mit Faktor 2. Alle anderen Rechtecke
weisen nicht das richtige Längenverhältnis aus.
Schüler mit Kästchenzählen nicht weiter, leichter ist es,
bei dieser Aufgabe die Längen zu messen.
Die Schwierigkeit in den Aufgaben a) und c) besteht
darin, dass das Bild wegen des vorgegebenen Maß­
stabes nicht genau über eine ganze Zahl von Kästchen
gehen wird.
a) Verkleinerung, da k < 1.
4 Misst man die Längen der Figuren im Buch, so er­
hält man die Verhältnisse.
a) Diese Figur besteht aus gleichschenkligen und
rechtwinkligen Dreiecken, diese sind immer zueinander ähnlich.
b) Vergleicht man die beiden Höhen 1,9 cm und
1,55 cm, so entsteht etwa der Faktor 1,23.
Vergleicht man die beiden Breiten 1,4 cm und 1,15 cm,
so entsteht der Faktor 1,22. Geht man von einem
Messfehler aus, so sind die Rechtecke ähnlich.
c) Vergleicht man die Breiten 1,5 cm und 1 cm, so hat
man den Faktor 1,5. Vergleicht man die Höhen 2,1 cm
und 1,6 cm, so entsteht der Faktor 1,3. Die beiden
Rechtecke sind nicht ähnlich.
b) Vergrößerung, da k > 1.
c) Vergrößerung, da k > 1.
Randspalte
Der Bilderrahmen ist ähnlich, der Faktor von Bild zu
Rahmen beträgt etwa 1,1.
5 Den Maßstab kann man jeweils durch Abzählen der
Kästchen ermitteln. Das angefangene Bild stellt die
Bildfigur dar.
a) Zählt man die schräg verlaufenden Linien, so er3
hält man den Faktor ​ _2 ​ , also ist der Maßstab 3 : 2 oder
1,5 : 1.
b) Maßstab 3 : 2
Achtung: Die zweite Kathete im Bild hat eine Länge
von 4,5 Kästchen.
c) Maßstab 4 : 3
d) Maßstab 4 : 3
8
12
4
3
8
6
Flächen statt der Längen.
a) Maßstab 2 : 1 b) Maßstab 1 : 4
c) Maßstab 3 : 2
die Lösungen der Aufgaben 3, 5, 6 und 7 helfen. Eine
Tabelle hilft die Maßstäbe nach Vergrößerung und Ver­
kleinerung zu sortieren.
Ist der Faktor größer als 1, handelt es sich um eine
Vergrößerung, ist er kleiner als 1, so handelt es sich
um eine Verkleinerung. Lea hat Recht.
9
4
Bild
Original
7 Manche Schülerinnen und Schüler vergleichen die
8 Beim Argumentieren können den Jugendlichen
6
3
Bei den Teilaufgaben b) und c) sollten die Schülerinnen
und Schüler vorher genau überlegen, wie groß das Bild
wird und den benötigten Platz im Heft planen. Um die
Genauigkeit der Zeichnung zu prüfen, können auch die
Winkel verglichen werden.
12
9
​ __
  ​ 
= _​   ​ = _​   ​ = _
​    ​ =
_
1,​3​ 
L 40
Information
Ähnliche Figuren entstehen durch Abbildungen, bei
denen die Länge jeder Bildstrecke ein gleiches Vielfaches der Länge der zugehörigen Originalstrecke ist.
Dabei gilt für den Proportionalitätsfaktor k: bei k > 1 wird maßstäblich vergrößert, bei 0 > k > 1 wird maßstäblich verkleinert.
Für k = 1 sind die Figuren deckungsgleich, sie wurden nur verschoben oder gedreht.
Kopieren
Zur Sache
Beispiel: Eine Vergrößerung von 120 % an einem
Kopie­rer bedeutet, dass sich die Seitenlängen der zu
kopierenden Fläche um den Faktor 1,2 vergrößern. Der
neue Flächeninhalt beträgt aber nicht 120 % des alten
Flächeninhalts, sondern 144 %.
1 Die Zahlenangaben in Prozent umrechnen.
a) Bei den Verkleinerungen:
3
4
75 %, ​ _23 ​ = 66,6 … %, ​ _41 ​ = 25 %
Bei den Vergrößerungen:
3 : 2 = 150 %, 5 : 4 = 125 %, 7 : 5 = 140 %
b) Reicht der Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungfaktor
nicht aus, wird mehrmals kopiert und dabei immer
wieder vergrößert bzw. verkleinert. Um auf 200 % zu
kommen, kopiert man z. B. mit dem Faktor 160 % und
dann 125 %. Um auf 225 % zu kommen, kopiert man
z. B. zweimal mit dem Faktor 150 %. 250 % erreicht
man mit 160 %, dann 125 % und noch mal 125 %.
​ _ ​ =
9 a) k = _​ 51 ​< 1
Verkleinerung
Vergrößerung
Verkleinerung
Vergrößerung
Verkleinerung
f) k = _​ 2 ​ > 1
5
Vergrößerung
g) k =
h) k = 1
Verkleinerung
verschoben oder gedreht
b)
c)
d)
e)
k=6>1
k = 0,7 < 1
k=4>1
k = _​ 31 ​ < 1
_
​ 23 ​ <
1
10 Der Faktor k entsteht durch Kürzen bzw. Umwan­
a’
deln des Bruches a_ 
​    ​, der entsteht, wenn man die Bild­
strecke a’ zur Originalstrecke a ins Verhältnis setzt. Bei
den Teilaufgaben c), e) und f) werden unterschiedliche
Einheiten verwendet.
a) k = 15 m : 10 m = 1,5
b) k = 3 cm : 9 cm = _​ 31 ​
c) k = 12 cm : 800 cm = 0,015
d) k = 8 dm : 6 dm = _​ 43 ​
3
e) k = 15 dm : 50 dm = _
​ 10  ​ = 0,3
f) k = 14 cm : 3500 cm = 0,004
Länge der
­Bildstrecke
Länge der
­Originalstrecke
a)
_
​ 25 ​
b)
6 : 5
c)
2,5
d)
0,6
3 a) Der Maßstab ist 75 : 100 oder 3 : 4.
b) Sowohl Länge als auch Breite des Bildes werden
auf 75 % verkleinert. 4,5 cm × 6,75 cm
c) Originalbild: 6 cm × 9 cm = 54 cm2
Verkleinerung: 4,5 cm × 6,75 cm = 30,375 cm2
Also 30,375 cm2 : 54 cm2 = 56,25 %.
Die Bildfläche hat 56,25 % der Originalfläche.
4 Der Kopierer kann auf 50 % eingestellt werden.
4
5 a)​ _25 ​ · ​ _25 ​= _
​ 25
  ​ = 0,16
100 dm
0,12 km 165 mm
18 cm
Der Flächeninhalt hat sich auf 16 % verkleinert.
b) Die Längen vergrößern sich im Maßstab 3 : 2.
250 dm
0,1 km
30 cm
6 Rechnung: 0,5 · 1,5 = 0,75
66 mm
12 Nur bei der Größe von 10 cm × 15 cm passt das
Bild ganz auf den Abzug, da auch hier das Bild ein­
ein­halb­mal so breit wie hoch ist. Der Vergrößerungsfaktor beträgt 25 : 6 = 4,166. Bei den anderen beiden
Abzügen stimmen die Seitenverhältnisse von Bild
und Original nicht überein, das Bild wird nach dem
Entwickeln beschnitten.
L 41
b) 1,88 mm · 120 % = 2,256 mm
Die Buchstaben haben eine Höhe von 2,256 mm.
Die Kopie passt nicht randlos in den Rahmen.
11
Maßstab k
2 a) Der Maßstab beträgt 120 : 100 oder 6 : 5
Das Bild ist kleiner als das Ausgangsbild (75 %).
Randspalte
Fernseh- und Kinofilme werden mit unterschiedlichen
Seitenverhältnissen aufgenommen. Üblich ist z. B. das
Seitenverhältnis 4 : 3 (Fernsehfilm), 1 : 1,65 (BreitwandFormat) oder 1 : 2,35 (Cinemascope). Hier wird ein
Breitwand-Format auf einem Fernseher betrachtet.
Üben – Wiederholen
1 Die Dreiecke können gemeinsam mit den Jugend­
4 a) ja, 402 + 92 = 412, denn 1600 + 81 = 1681
lichen durchnummeriert werden. Es gibt Dreiecke, die
sich aus anderen Dreiecken zusammensetzen.
Dach 1: Fasst man die ganze Dachkonstruktion zu
einem Dreieck zusammen, so gibt es ein ganz großes
gleichschenkliges Dreieck und zwei halb so große
rechtwinklige Dreiecke.
Unter den Dreiecken, die sich aus zwei Dreiecken
zusammensetzen sind keine rechtwinkligen, sondern
nur stumpfwinklige Dreiecke. Die beiden kleinen
oberen zusammen sind gleichschenklig. Die einzelnen Dreiecke sind wie folgt: die beiden oberen und
die äußeren sind rechtwinklig, die vier inneren sind
gleichschenklig.
Dach 2: Auch hier lassen sich je zwei Dreiecke der
unteren Dreiecke zu gleichschenkligen zusammenfassen. Die einzelnen unteren Dreiecke sind rechtwinklig. Das flache obere Dreieck ist stumpfwinklig
und gleichschenklig. Die beiden größeren einzelnen
Dreiecke sind spitzwinklig.
b) nein, denn 100 + 576 = 676 ≠ 625
c) nein, da 784 + 2025 = 2809 ≠ 3136
d) ja, denn 81 + 144 = 225
e) Zum Beispiel: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13; 8, 15, 17;
12, 16, 20
2 Eine Planskizze, bei der die angegebenen Maße a, b
und c eingetragen sind, ist hilfreich.
a) Am einfachsten ist es, einen Winkel von 90° zu
zeichnen und an den Winkelgeraden die Längen 4,2 cm
und 5,6 cm abzutragen.
C
cm
c = 90°
4,2
cm
a = 36,9°
A
a=
b=
5,6
c) c = 2,5 mm
b) c = 39 m
d) c = 1 dm
6 Zunächst müssen benötigte Längen mithilfe des
Satzes von Pythagoras hergeleitet werden.
a) Fehlende Breite a = 14,4 cm; u = 40,8 cm
b) Das Dreieck ist gleichschenklig.
Fehlende Schenkellänge: 4,5 cm; u = 14,4 cm
c) Die Dreiecke sind beide gleichschenklig.
_________
√2 5,6 3
2
Fehlende Schenkellänge: ​ ​​ _
​  2   ​  ​ ​ ​ + 2,1
  2 ​ cm = 3,5 cm
u = 4 · 3,5 cm + 2 · 3,5 cm = 21 cm
d) Den Kreisdurchmesser d erhält man über den Satz
des Pythagoras.
d = 9 cm; der Umfang eines Kreises ist u = d · π = 28,3 cm
7 Als Skizze kann das Schrägbild des Zylinders oder
der Schnitt durch den Zylinder dienen.
Die Höhe, der Durchmesser und die Diagonale des
Zylinders bildet ein rechtwinkliges Dreieck.
Ja, denn die Diagonale d = 39,7 cm ist länger als der
Zauberstab.
8 a) Der direkte Weg vom Start zum Ziel beträgt
b = 53,1°
c = 7 cm
5 a) c = 29 cm
B
b) Die angegebenen Seiten a und b sind die Katheten, die gesuchte Seite c ist die Hypotenuse.
c) Bei genauem Zeichnen ist c = 7 cm lang.
d) (4,2cm) 2 + (5,6 cm) 2 = 49 cm2 = c2; c = 7,0 cm
3 a) Messen ergibt: s = 2,2 cm; t = 2,2 cm
Rechnung: s 2 + t 2 = r 2; r = 3,11 cm
Man kann aber nicht auf zwei Stellen nach dem Kom­
ma genau messen.
b) Die Bezeichnungen der Seiten sind anders als üb­
lich. Die längste Seite heißt a statt c.
Messen ergibt: a = 3,5 cm; b = 1,6 cm
Rechnung: a 2 – b 2 = c 2; c = 3,11 cm
etwa 21,6 km + 33,2 km = 54,8 km.
Die lange rote Strecke ist 71 km lang.
Der direkte Weg ist 16,2 km kürzer.
16,2 km
b) ​ __
  
​ = 0,228
 
71 km
Es sind 22,8 % Ersparnis.
9 Es ist sinnvoll, die Skizze ins Heft zu übertragen, um
darin das Dreieck zur Berechnung der Grabentiefe ein­
zuzeichnen.
6,40 m – 4,30 m = 2,10 m
2,10 m : 2 = 1,05 m (eine Dreicksseite).
2
(2,80 m) – (1,05 m) 2 = 6,74 m2
____
​√6,74 ​  
m = 2,6 m
Der Graben ist ca. 2,6 m tief.
L 42
10 Die längste Strecke in einem Rechteck ist die
11 Um die Fläche zu berechnen, benötigt man bei
­ iagonale.
D
Legt man das Blatt schief, so kann man eine
­Strecke von 36 cm zeichnen, denn die Diagonale ist
ca. 36,37 cm lang.
allen Figuren die Höhe. Diese kann mithilfe des Satzes
von Pythagoras berechnet werden.
a) Parallelogramm
ha = 7,2 cm; A = 68,4 cm2
u = 34,6 cm
b) Dreieck (aber nicht gleichschenklig)
ha = 9,6 cm; A = 32,64 cm2
u = 27,2 cm
c) Trapez
h = 25,2 dm; A = 769,86 dm2
u = 117,8 dm
d) Trapez
h = 12 m; A = 114 m2
u = 44 m
Seilspanner Zur Sache
a) Die Ägypter nahmen ein Seil mit 12 Knoten, die
alle den gleichen Abstand zueinander hatten, wobei
mit dem 12. Knoten die Seilenden zusammengeknotet wurden. Dann steckten sie in den ersten, den
vierten und den achten Knoten einen Holzpflock.
Dadurch wurde die Schnur in Teilstücke von 3, 4 und
5 Seillängen unterteilt. So konnten sie ein rechtwinkliges Dreieck in den Boden stecken.
b) Individuelle Lösungen
c) Vervielfacht man die Anzahl der Knoten und der
Seilabschnitte mit der gleichen Zahl, erhält man immer
wieder rechtwinklige Dreiecke.
Anzahl der
Knoten
12
24
30
36
40
48
Abschnitte, die zu einem rechtwinkligen
Dreieck führen
3
4
5
6
8
10
5
12
13
9
12
15
8
17
15
12
16
20
Die Ägypter haben sich – ohne ihn zu kennen – den
Satz des Pythagoras zunutze gemacht. Ein Dreieck mit
den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm ist rechtwinklig.
Das dargestellte Dreieck ist zu diesem ähnlich.
Die drei Zahlen, die die Abschnitte des Dreiecks be­
schreiben, werden auch als pythagoreische Zahlen­
tripel bezeichnet. Aus jedem Tripel erhält man beliebig
viele neue Tripel pythagoreischer Zahlen, indem man
jede der drei Zahlen mit ein und derselben ganzen
Zahl multipliziert. Weitere individuelle Lösungen kön­
nen also daran geprüft werden, ob sie Vielfache eines
bekannten Tripels sind.
L 43
Bei den beiden folgenden Aufgaben handelt es sich
um zusammengesetzte Flächen. Die Teilflächen wer­
den einzeln berechnet und anschließend addiert bzw.
­subtrahiert.
12 a) Trapez + Dreieck
312 cm2 + 120 cm2 = 432 cm2
b) Dreieck1 + Trapez + Dreieck2
56 cm2 + 256 cm2 + 108 cm2 = 420 cm2
c) Trapez + Rechteck + Dreieck
24 cm2 + 90 cm2 + 54 cm2 = 168 cm2
13 a) Trapez1 + Trapez2
19 cm2 + 37,44 cm2 = 56,44 cm2
b) Rechteck – Dreieck
126 cm2 – 13,5 cm2 = 112,5 cm2
Bei Teilaufgabe b) könnte man auch Rechteck + Trapez
rechnen.
Weiteres Angebot: Satz des Pythagoras
Die Schülerinnen und Schüler können aufgefordert
werden, zusammengesetzte Flächen zu erfinden.
Dabei zeichnen sie die zum Rechnen notwendigen
Maße ein und stellen ihren Mitschülerinnen und Mitschülern diese Aufgabe. Schwieriger ist, die Aufgabe
so zu stellen, dass der Satz des Pythagoras angewendet werden muss.
14 Um die rote Raumdiagonale e zu berechnen, muss
16 Die schräg verlaufenden Linien könnten in Gedan­
die blaue Diagonale d auf der Grundfläche bekannt
sein. Es kann sinnvoll sein, beide Dreiecke mit ihren
Maßen als Teil-Skizzen aufzuzeichnen. d = 4,90 m und e = 5,26 m
Die Raumdiagonale ist 5,26 m lang.
ken zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzt und dann
durch Auszählen der Kästchen übertragen werden.
a) Es wird vergrößert, Maßstab 2 : 1 (k = 2)
b) Maßstab Å : 2 (k = 0,5)
c) Maßstab 3 : 2 (k = 1,5)
d) Maßstab 3 : Å (k = 3)
Insbesondere beim Trapez kann auch durch Kontrolle
der Winkelgrößen überprüft werden, ob die Figur maß­
stabsgerecht übertragen wurde.
15 Kommen die Jugendlichen nicht weiter, so eignet
sich diese Aufgabe zur Gruppenarbeit. Das Anfertigen
einer Trapez-Schablone im Maßstab 1 : 10 dient der Ver­
anschaulichung und Lösung aller Teilaufgaben.
a) Die Jugendlichen gehen unterschiedlich vor. Manche zeichnen acht Trapeze und kleben diese zusammen, andere nutzen den angedeuteten Kreis beim
Zeichnen. Der Radius des Kreises ist doppelt so lang
wie eine der schiefen Trapezseiten. Diese ist mit dem
Satz des Pythagoras zu berechnen und im Original
65 cm lang. Der Radius des zu zeichnenden Kreises ist
13 cm bzw. 6,5 cm lang.
b) Auch von den Tischlerplatten sollten maßstäbliche
Modelle zum Ausprobieren gezeichnet werden.
Auf die erste Platte passen alle 8 Teile.
Lösungsbeispiel:
Bildlänge
17 Der Ähnlichkeitsfaktor wird ermittelt mit Originallänge
​ __ 
 
 ​ ,
der dann so weit wie möglich gekürzt wird.
24 cm
3
_
Beispiel: ​ _
​= _
​ 24
16 cm  
16 ​ = ​ 2 ​ = 3 : 2.
Bildlänge
Originallänge
Ähnlichkeitsfaktor
a)
24 cm
16 cm
3:2
b)
14 m
35 m
2:5
c)
8 mm
3,2 mm
5:2
d)
15 dm
20 dm
3:4
18 Es werden Verhältnisgleichungen gebildet, das
heißt, der Dreisatz wird angewendet:
_
9 cm : 6 cm ist wie 8 cm : x, also ist x = 5,​3​  cm.
9 cm : 6 cm ist wie 3 cm : y, also ist y = 2 cm.
185 cm
19 Die Seitenverhältnisse der Katheten werden mitei­
260 cm
Auf die zweite Platte passen höchstens 7 Teile.
Lösungsbeispiel:
nander verglichen.
a) 3,5 cm : 5 cm = 0,7
6 cm : 8 cm = 0,75, also keine Ähnlichkeit.
b) 5 cm : 7 cm = 0,714
3 cm : 4,2 cm = 0,714, also ähnliche Dreiecke.
Möglich wäre es hier auch, die Dreiecke zu zeichnen
und dann die Ähnlichkeit über die Winkel zu kontrol­
lieren.
20 9 cm ist eineinhalbmal so lang wie 6 cm und 4 cm
150 cm
eineinhalb mal 6 cm. Die fehlende dritte Seite ergibt
sich mit 5 cm · 1,5 = 7,5 cm.
300 cm
c) Man kann immer nur ganze Platten kaufen. Von
der Tischlerplatte benötigt man nur eine Platte, daher ist sie günstiger als die Multiplexplatte.
L 44
Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 2
1 a) Zeichne ein gleichschenklig-rechtwinkliges
8 Ist ein Kinofilm, der genau auf eine Leinwand mit
Dreieck.
b) Kann einer der beiden anderen Winkel
ein stumpfer Winkel sein? Begründe.
C
einer Höhe von 8 m und einer Breite von 14 m passt,
auf einem Fernsehbildschirm mit den Maßen b = 70 cm und h = 40 cm ohne schwarzen Balken zu
sehen?
a=
2 Klaus rechnet:
c 2
a 2
5c
m
B
b 2
= +
= c 2 – a 2; b = 6,24 cm
Welchen Fehler hat Klaus
gemacht? Rechne richtig.
b=?
m
b 2
c=
8c
1 a) Individuelle zeichnerische Lösung.
A
3 Prüfe rechnerisch ob die Dreiecke rechtwinklig sind.
Seite
a
b
c
A
9 cm
18 mm
3,03 cm
B
12 cm
16 mm
4,04 cm
4 Berechne die fehlenden
C
15 cm
26 mm
5,05 cm
b) Da die Winkelsumme im Dreieck 180° ist, kann
neben einem rechten Winkel kein stumpfer Winkel
mehr im Dreieck sein.
2 Klaus hat den Satz des Pythagoras angewendet.
Aber hier ist die Hypotenuse mit b bezeichnet und
nicht mit c).
Richtig: b 2 = a 2 + c 2; b = 9,43 cm
3 Dreieck A und C sind rechtwinklig, B nicht.
2 cm
2,5 cm
h
4 cm
x
2,2
Strecken. Berechne zuerst
die Höhe h und dann die
Länge der Seite x.
Lösungen
4 h = 2,0 cm; x = 2,8 cm
5
5,5 cm
5 Bei einem Sturm knickt eine Tanne 4 m über dem
abg
Stumpf
4m
Boden ab. Die Baumspitze schlägt 7,6 m entfernt
auf den Boden. Wie hoch war die Tanne? Fertige zunächst eine Skizze an.
6 Berechne den Flächeninhalt der gefärbten Fläche
(1 Kästchen = 1 cm).
ekn
ick
ter
Ba
um
Boden: 7,6 m
Die Tanne war 8,6 m + 4 m = 12,6 m hoch.
6 A = 34,85 cm2
7
7 Original- und Bild-Rechteck sind zueinander ähnlich. Ergänze die Tabelle.
Original
Bild
Ähnlichkeitsfaktor
L 45
Original
Bild
Ähnlichkeitsfaktor
Länge
3,2 cm
4,8 cm
1,5 (3 : 2)
Vergrößerung, da k > 2
Länge
3,2 cm
4,8 cm
Breite
5,4 cm
8 Ja, denn 40 : 800 = 70 : 1400 = 0,05.
Breite
5,4 cm
8,1 cm