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-168-
Grundlagen der Elektrotechnik GET 1
3. Das Magnetfeld
• Die magnetische Flussdichte
• Die magnetische Feldstärke
• Das Durchflutungsgesetz und Beispiele
• Kräfte und Momente im Magnetfeld
• Magnetfeld und Materie
• Der Magnetische Fluss und das Induktionsgesetz
• Grenzbedingungen für das Magnetfeld
• Energie und Kräfte im Magnetfeld
[Buch Seite 143-257]
Kraftwirkungen bewegter Ladungen I
-169-
Phänomenologie der Effekte
q
M
vD
i
F
• Metallkörper
• Magnetnadeln
• Dauermagnete
• Bewegte Ladungen
• Stromdurchflossener Leiter
r
P
• Bewegte Ladungen q, bzw. ein
elektrischer Strom i rufen erneut eine Änderung des
Zustands des Raumes hervor.
• Äussert sich durch eine
erneute
Kraftwirkung (Kraft
F
und/oder
Drehmoment M).
• Fliesst in einem Leiter ein
Strom mit der Stromstärke i,
so wird:
(c) Ein Stromfluss in einer bewegten, geschlossenen Leiterschleife induziiert.
(a) Kraft auf magnetisierte Körper (Dauermagnete, Magnetausgeübt.
(d) Fliesst ein veränderlicher Strom, so wird in
einer geschlossenen Leiterschleife ein Strom
induziiert, selbst wenn die Schleife in Ruhe ist.
(b) Kraft auf bewegte Ladungen und weitere stromführenden Leiter(-schleifen) ausgeübt.
1
-170-
Kraftwirkungen bewegter Ladungen II
Schlüsse aus der Phänomenologie der Effekte
• Kräfte auf Dauermagneten Kräfte auf stromdurchflossene Leiterschleifen:
Kraftwirkung in Dauermagneten beruht auf mikroskopischen Kreisströmen.
Erste Definition des Magnetfeldes: Über die beschriebenen Kraftwirkungen kann erneut ein Feld eingeführt werden – das Magnetfeld. Ursache
des Magnetfeldes (d.h. die Quellen) sind bewegte Ladungen; also elektrische Ströme. Seine Wirkungen sind die genannten Kräfte und die beschriebene Induktionswirkung (ein weiterer Effekt der Kraftwirkung).
Geschlossener
Zyklus elektromagnetischer
Prozesse:
(Erster Hinweis
für eine einheitliche elektromagnetische
Feldtheorie)
Elektrische
Ladungen
Kraft auf bewegte
Ladungen
Magnetfeld
Elektrisches
Feld
Kraft auf
Ladungen
Zyklus
Elektrischer
Strom
Ladungsträgerbewegung
-171-
Kraftwirkungen bewegter Ladungen III
Vorgriff: Beschreibung des Magnetfeldes
(1) Kraftwirkung:
Die Kraftwirkung des
magnetischen Feldes wird durch das Vektorfeld der magneti
schen Flussdichte B beschrieben. Damit entspricht die magnetische Flussdichte
ihre Definition nach der elektrischen Feldstärke im Bereich des elektrischen Feldes.
BE
Merke: Für die magnetische Flussdichte wird gemäss DIN 1325 die Bezeichnung
«magnetische Induktion» vorgeschlagen (aus historischen Gründen wird aber an
der Verwendung der Bezeichnung «magnetische Flussdichte» festgehalten).
(2) Ursache:
Die Ursache des magnetischen Feldes ist der elektrische Strom. Zur Beschreibung
der Verknüpfung des Magnetfeld
mit seiner Ursache wird das Vektorfeld der
magnetischen Feldstärke H eingeführt. Damit entspricht die magnetische Feldstärke
der elektrischen Flussdichte im Bereich des elektrischen Feldes.
HD
2
-172-
Die magnetische Flussdichte I
Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife
(1) Versuchsanordnung:
Quelle
Bewegungsrichtung
Leiter 3
i
(2) Beobachtung der
Kraftwirkungen:
B
n
Leiter 2
F
B
i
Leiter 4
(
)
(Lage der Leiterschleife im Magnetfeld)
i
Leiter 1
F vD , F F i
F = f n, B
reibungsfreier Kontakt
• Leiter 2 ist stromdurchflossen und beweglich, d.h. verschiebbar.
• Leiter 1, 3 und 4 sind stromdurchflossen und starr montiert.
• Alle Leiter befinden sich im Magnetfeld.
Drei Versuchs-
Experimente
-173-
Die magnetische Flussdichte II
Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife
(3) Abhängigkeit der Kraftwirkung auf Drehung der Leiterschleife:
nmax
nmax
Drehrichtung
i
i
i
a)
2
1
Fazit:
Betrag der
Kraft auf den
Leiter 2 bleibt
unverändert !
i
Fmax,a
1
i
i
4
3
2
i
1
nmax
i
4
i
i
i
b)
1
4
i
2
c)
Fmax,b
nmax
i
3
Fmax,c
3
4
i
Fmax, a = Fmax,b = Fmax, c = Fmax, d
i
d)
2
i
Fmax,d
3
3
-174-
Die magnetische Flussdichte III
Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife
(Drehrichtung
parallel zu
Leiter 2)
Fazit:
Betrag der
Kraft auf den
Leiter 2 bleibt
unverändert !
nmax
n = nmax
(4) Abhängigkeit der
Kraftwirkung auf
axiale Drehung
der Leiterschleife:
i
i
a)
2
4
c)
1
i
nmax
3
i
n
2
i
3
Fmax,d
n
i
3
2
Fmax,b
i
n
i
d)
i
1
i
4
i
2
b)
Fmax, a = Fmax,b =
= Fmax, c = Fmax, d
Fmax,c
i
i
nmax
3
2
Fmax,a
i
1
Drehrichtung
i
3
4
2
4
1
i
-175-
Die magnetische Flussdichte IV
Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife
n = nmax
(4) Abhängigkeit der
Kraftwirkung auf
axiale Drehung
der Leiterschleife:
(Drehrichtung
senkrecht zu
Leiter 2)
Fazit:
Betrag der
Kraft auf den
Leiter 2 variert
sinusförmig
steht aber stets
senkrecht auf
Leiter 2!
i
Fmax,a
3
4
i
i
nmax
i
c)
3
i
4
i
i
3
n
nmax
Fmax,c
4
i
n
2
1
i
n
i
2
Fmax,b = 0
b)
F cos ( ( n, nmax ))
4
Fmax,c
i
i
2
i
1
Drehrichtung
a)
1
nmax
2
Fmax,d = 0
i
d)
1
bzw.
i
F sin , nmax
( (
))
3
i
4
-176-
Die magnetische Flussdichte V
Formale Definition
F sin , nmax
( (
B = B eB
eB = nmax = eFmax e
F
max
B = lim
0
i
i 0 ))
, nmax [ 0, ]
(
F
B = i Die magnetische Flussdichte VI
)
Vs
= 2 = T
m
-177-
Definition in Worten
Buch Seite 150:
«Die magnetische Flussdichte B ist ein Vektorfeld, welches
senkrecht auf einer von einer stromführenden Leiterschleife
aufgespannten Ebene steht, wenn auf die stromführenden
Leiter der Schleife in Abhängigkeit von der FlächennormalenRichtung entsprechend der bisherigen Diskussion die maximale Kraft ausgeübt wird.»
«Der Betrag der magnetischen Flussdichte ist gleich dem
Betrag der maximalen Kraft Fmax auf einen Leiter der Leiterschleife bezogen auf die Leiterlänge und die zugehörige
Stromstärke i, falls sowohl als auch i beliebig klein werden.»
«Die Richtung der Kraft auf den stromführenden Leiter steht
senkrecht zur Richtung des Leiters und senkrecht zur Richtung der magnetischen Flussdichte. Die Kraftrichtung ist der
Richtung des Bezugspfeiles der Stromstärke i, bzw. der Rich
tung des Längenvektors und der Richtung der magnetischen
Flussdichte B im Rechtsschraubensinn zugeordnet.»
5
-178-
Die magnetische Flussdichte VII
Kraftwirkung auf stromführenden Leiter
(1) «Makroskopische» Betrachtung:
i, F
B
i, i, F
Aus der Definition (Folie 177):
F
F
B
B
B
B
i, Fmax (vergleiche
B = lim
Folie 176)
0
i i 0 F = i B sin , B
( ( ))
F
B
i, F = i B
(
{
Wir haben eine Beziehung zwischen
den makro
skopischen Grössen der
Kraft F, des Stroms
i und der magnetischen
mit seiner Richtung
Flussdichte B gefunden.
( )
F, , B
)
Die drei Grössen
} : sind
einander im
Rechtsschraubensinn
zugeordnet.
-179-
Die magnetische Flussdichte VIII
Intermezzo: «Rechtsschraubensinn»
F
i, B
i, i, F
B
B
B
B
F
i, i, (1) Ausgangsgleichung:
F = i B
(
(2) Grössen:
{ (i ), B, F}
F
)
(3) Rechte-Hand-Regel:
F
F
i
( )
B
6
-180-
Die magnetische Flussdichte IX
Kraftwirkung auf stromführenden Leiter
(2) «Mikroskopische» Betrachtung:
Siehe hierzu Folie 131 zum Leiterstrom :
i = J n A = nq qvD A i = nq q A vD vD ( )
= nq q
V
=
A
i = Q vD
Mit:
(
(3) Vergleich mit Coulomb-Kraft:
Kraft auf bewegte
Ladung
Kraft auf ruhende
Ladung
F = Q v B F = Q E
(
F = i B
v vD
F = Q v B
)
)
(
)
Lorentz-Kraft
-181-
Die magnetische Flussdichte X
Beispiel: «Geladenes Teilchen im Magnetfeld»
x
(1) Bahnkurve:
2r0
F
v1
Q
v
Q
B
Fz
(2) Durch den Ablenkvorgang vom Magnetfeld
geleistete Arbeit:
Wm = F ds = Q v B ds
(
C
F = Q v B
F = Q v B v B
m v 2
Fz =
=: F
r0
m v
r0 =
QB
(
v2
C
)
)
Das Kräftegleichgewicht IF I = IFzI
ergibt eine konstant gekrümmte
Bahnkurve (Kreis mit Radius r0).
7
-182-
Die magnetische Flussdichte XI
Beispiel: «Geladenes Teilchen im Magnetfeld»
(2) Durch den Ablenkvorgang
vom Magnetfeld geleistete Arbeit:
x
Wm = F ds = Q v B ds
(
v2
C
2r0
F
v1
Q
ds Wm = Q B dt
C
v
Q
B
Fz
(
ds ds
)
C
ds = Q B ds
dt
C
der
a b c = b c a Aus
Vektor analysis
= ( c a )b
dt
d
s
ds = Q B ds = 0
dt C
)
(
)
Wkin,1 = Wkin, 2
v1 = v2
Die magnetische Flussdichte XII
-183-
Beispiel: «Geladenes Teilchen im Magnetfeld»
(3) Diskussion:
«Reflektor»
v1
Q
v1
• Bei der Ablenkung leistet das Magnetfeld
keine Arbeit.
• Ablenkrichtung aus Richtung der Teilchengeschwindigkeit und der magnetischen
Flussdichte im Sinne der Rechtsschraube.
B
• Für sehr grosse Werte der magnetischen
Flussdichte wird der Bahnradius r0 sehr
klein, das heisst, das geladene Teilchen
wird am Magnetfeld nahezu reflektiert.
• «Reflektorfunktion» kann im Sinne einer
Ladungsteilchensperre verwendet werden,
um ein «Ladungsteilchengas» (Plasma)
einzusperren.
• Man spricht in diesem Zusammenhang
von sogenannten «Magnetflaschen».
8
-184-
Die magnetische Flussdichte XIII
Beispiel: «Plasma-Einschluss in Magnetflasche»
Ladungsträgerbewegung
Toroidale «Flasche»
• Plasma: Viele freie Ladungsträger,
«Ladungsträgergas».
Stellarator
Leiter
• Fusionsszenario: Viele Träger bei
hohen Temperaturen miteinander
kollidieren lassen: heisses Plasma.
• Stellarator: So heisst die ringförmige Magnetflasche (cf. Bild).
Plasma
Die magnetische Feldstärke I
-185-
Unteschiedliche Zugänge
(1) Zum Wesen der magnetischen Feldstärke:
• Die magnetische Flussdichte B wurde über die Kraftwirkung des Magnetfeldes definiert (Betrachtung: Leiterstrom Magnetfeld Flussdichte B).
• Bei der Definition magnetischen Feldstärke H wird nun ein umgekehrter
Standpunkt eingenommen indem wir nach der Ursache des Magnetfeldes
fragen (Betrachtung: Leiterstrom Magnetfeld Feldstärke H).
• Ursachen für ein Magnetfeld sind:
(A) Ein elektrischer Strom
(B) Ein magnetisierter Körper
(C) Ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld.
• Ursache (A), d.h. der elektrische Strom, kann im Einklang mit Folie 169
als eine sehr allgemeine Quelle des Magnetfeldes betrachtet werden
und eignet sich deshalb gut für die Definition der magnetischen
Feldstärke H.
9
Die magnetische Feldstärke II
-186-
Unteschiedliche Zugänge
(2) Charakterisierung und Gestalt des Magnetfeldes:
In der Umgebung des Leiterdrahts bildet sich
ein Magnetfeld aus, welches über die Kraftwirkung in kleinen Leiterschleifen beschrieben werden kann.
Unter der Kraftwirkung werden Eisenfeilspäne
entlang von kreisförmigen Linien ausgerichtet:
Diese Linien können als Feldlinien des Magnetfeldes interpretiert werden.
Mittels einer kleinen Leiterschleife (Versuch
aus Folie 176) kann gezeigt werden, dass die
dargestellten Feldlinien parallel zur magnetischen Flussdichte verlaufen (Eisenfeilspäne
richten sich in Flussrichtung aus).
Im geraden Leiterdraht fliesst ein
elektrischer Strom der Stromstärke i.
Anordnung «Magnetfeld um Stromleiter» soll für
Definitionszwecke verbessert werden Spule.
Die magnetische Feldstärke III
-187-
Unteschiedliche Zugänge
(3) Das Magnetfeld in einer «langen» Spule:
• Anzahl Windungen w
• Länge • Durchmesser d
• Stromstärke i
• «Lange» Spule:
10d
• Feldlinien bilden in
sich geschlossene
Linien (Ausserhalb:
Streufeld).
Die Lage der Eisenfeilspäne deutet ein starkes, homogenes Magnetfeld im Innern der
Spule an, welches parallel zur Spulenachse ausgerichtet ist (im Innern: Hauptfeld).
10
-188-
Die magnetische Feldstärke IV
Unteschiedliche Zugänge
(4) Die «langen» Spule als Definitionsgrundlage der magnetischen Feldstärke:
B
H
«Lange Spule» mit homogenem Hauptfeld
eignet sich gut um die zweite, mit der Ursache des Magnetfeldes verknüpfte Feldgrösse zu definieren.
w
i
• Messung der magnetischen Flussdichte
mittels kleiner Leiterschleife (Folie 176).
i
• Magnetfeld im Innern Stromstärke i
• Magnetfeld im Innern Windungszahl w
Die magnetische Feldstärke H einer
«lange Spule» ist ein Vektorfeld dessen
Absolutbetrag entsprechend dem Experiment definiert wird. Die Richtung verläuft entlang der Spulenachse und steht
mit dem Bezugspfeil des Stromes im
Rechtsschraubensinn.
• Magnetfeld im Innern w i
H =
1
A
H =
m
Die magnetische Feldstärke V
-189-
Unteschiedliche Zugänge
(5) Die lokale Definition der magnetischen Feldstärke:
Hi
i
w
i
Ha
w i H a = lim 0
i 0
Der Richtungssinn des H-Feldes
bildet mit dem Kompensationsstrom
ein Linksschraubensystem.
• Bei der «Definition» der magnetischen Feldstärke auf Folie 188 handelt es sich eigentlich
mehr um eine «Messvorschrift».
• Die Definition einer (magnetischen) Feldgrösse
muss lokal geschehen, d.h. im Raumpunkt.
• «Messvorschrift» plus lokale Defintion ergeben
das folgende Vorgehen:
(A) Verschwindend kleine lange Spule wird in
ein äusseres Magnetfeld Ha gebracht.
(B) Stromstärke i und die Spulenrichtung werden so lange verändert, bis ein Nullfeld im
Innern der Spule resultiert (Kompensation).
(C) Der Betrag der elektrischen Feldstärke Ha
ist demnach gegeben und die Richtung
entspricht derjenigen der Spulenachse.
11
-190-
Die magnetische Feldstärke VI
Unteschiedliche Zugänge
(6) Magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte:
• Im Vakuum: Die magnetische Feldstärke
und die magnetsiche Flussdichte beschreiben dasselbe Magnetfeld und sind
im Vakuum zueinander proporional.
• Die Grösse 0 heisst magnetische Feldkonstante (ist wie 0 eine Naturkonstante).
• Im Material: Das Experiment zeigt eine
veränderte Proportionaliät zwischen der
magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte im homogenen
Material.
B = μ0 H
μ0 = 4 10 7 Vs Am
= 1.256610 6 Vs Am
B = μ0 μr H = μ H
μr :
Permeabilitätszahl
des Materials
-191-
Das Durchflutungsgesetz I
Definition
(1) Experimentalanordnung:
• Unendlich langer Draht.
• Es fliesst ein Strom mit
der elektrischen Stromstärke i.
• Frage: Wie gross ist die
magnetische Feldstärke
H in Abhängigkeit der
Stromstärke i.
s := s cos ( H , s )
Folie 188
N
H
=1
( w ik )
s C = =1 s
N
(
)
• Kleine Messspule gemäss
Anordnung aus Folie 189.
• Spule längs geschlossenen Kurven C führen, die
den Leiter umschliessen.
• Produkt H s bilden.
12
-192-
Das Durchflutungsgesetz II
Definition
(1) Experimentalanordnung:
N
( wi ) H
s
=
C sk s cos H , s
=1
=1
( (
N
N
= ( wik ) cos H , s
Summe
ist vom
Typ Strom.
( (
=1
H s
N
=i
=1
Folie 186: Je weiter weg
vom Leiter, umso schwächer
wird das magnetische Feld.
längs C
H
ds = i
C
))
))
=
i
Experiment!
Je weiter weg
vom Leiter, umso
länger ist C und
umso grösser N.
+ : Summe bzw. Integral konvergieren auf
einen (Strom-)Wert.
-193-
Das Durchflutungsgesetz III
Intermezzo: «Magnetfeldrichtung bei Stromleitern»
Rechte-Hand-Regel für Ströme:
i
H
13
-194-
Das Durchflutungsgesetz IV
Definition
(2) Das Durchflutungsgesetz:
Das Ergebnis aus Folie 192 kann zum
sogenannten «Durchflutungsgesetz»
verallgemeinert werden:
N
H
ds = i = =1
C
[] = A
Das Linienintegral der magnetischen
Feldstärke längs der geschlossenen
Kurve C ist die Summe der vom Weg
C umschlossenen elektrischen Stomstärken. Diese Grösse heisst elektrische Durchflutung . Sie durchsetzt
die von der geschlossenen Kurve C
aufgespannte Fläche A.
Der Flächennormalenvektor steht zum Umlaufsinn von C steht im Rechtsschraubensinn
(Folie 193). Ströme in Richtung der Flächennormalen werden positiv gezählt: damit ist
= i1 i2 + i3.
Das Durchflutungsgesetz V
-195-
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #1: «Unendlich langer, zylindrischer Leiter»
y
• Leiter mit Radius 0.
e
H
• Der Strom der Stromstärke i
entspricht einer konstanten
Integrationsweg C
Stromdichte:
P
x
n
i
a)
20
Leiteranordnung
J
b)
20
Leiterquerschnitt
H
i
J =
A
• In Anbetracht z.B. der Folie
193 wird die magnetische
Feldstärke wie folgt angesetzt:
H = H e
• Der Integrationsweg C sei ein
Kreis mit Radius .
14
-196-
Das Durchflutungsgesetz VI
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #1: «Unendlich langer, zylindrischer Leiter»
Integrationsweg
C
• Aussen, d.h. > 0:
y
=
H
ds = H e ds = H ds
e
H
P
C
= H 2 = i
x
n
i
C
H = H e = H =
a)
20
Leiteranordnung
C
ds = ds e
i e
2 i e
2 > 0
• Stromrichtung ist dem Flächennormaleneinheitsvektor entgegengesetzt: i.
Das Durchflutungsgesetz VII
-197-
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #1: «Unendlich langer, zylindrischer Leiter»
Leiterquerschnitt:
J
b)
20
H
• Innen, d.h. 0:
Kreisfläche innerhalb
i
i der Kontur C.
J =
J
e
=
02 z
02
i
2
C H ds = H 2 = 02 H = H =
i
2 02
i
e
2
2 0
0
15
-198-
Das Durchflutungsgesetz VIII
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #1: «Unendlich langer, zylindrischer Leiter»
H ()
H ( Innen )
«Innen»
i
20
«Aussen»
0
= H ( Aussen )
0
Magnetische Feldstärke ist
stetig aber nicht differenzierbar in 0.
1
0
0
3 0
2 0
-199-
Das Durchflutungsgesetz IX
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #2 : «Ideale lange Spule»
w
i
H
z
H 0
n
=wi
H ( Aussen ) 0
• Homogen bedeutet
hier:
C
= H ds = H ez ez = wi
C
ds = ds ez
• In der idealen langen
Spule gibt es nur ein
homogenes Haupt
feld (Streufeld ist
vernachlässigbar):
wi H=
ez
H = H ez
(cf. empirisch gefundene Formel in Folie 188)
16
Das Durchflutungsgesetz X
-200-
Intermezzo «Feldbilder von kurzen Spulen»
(1) Die kurze Spule:
• «Röhren»:
Verlauf der magnetischen
Feldlinien (H-Feld).
• «Farbcode»:
Intensität der magnetischen
Flussdichte im Sinne eines
«heissen» Farbkonzeptes
(rot: grosse Werte; blau:
kleine Werte).
• Kurze Spule ergibt relativ
grosses Streufeld, doch
auch ein bereits erstaunlich
homogenes Hauptfeld.
Das Durchflutungsgesetz XI
-201-
Intermezzo «Feldbilder von kurzen Spulen»
(1) Die noch kürzere Spule (Chip-Spule):
• «Röhren»:
Verlauf der magnetischen
Feldlinien.
• «Farbcode» der Röhren:
Intensität der magnetischen
Feldstärke im Sinne eines
«heissen» Farbkonzeptes
(rot: grosse Werte; blau:
kleine Werte).
• Farbcode der Leiter:
Potential entlang der verlustbehafteten Leiterspirale
(rot: positiv; blau: negativ).
• Sehr inhomogenes Feld!
17
-202-
Das Durchflutungsgesetz XII
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #3 : «Ringspule»
• Spule hat w Windungen.
• Mittlere Umfangslänge:
m = 2 12 ( ra + ri ) = 2 rm
lm
rm
• Gesucht: Magnetische Feldstärke auf
der mittleren Umfangslinie:
ri
=
ri
H
d
s
=
H
2 rm = wi
Cm
H
i
i
wi
H =
2 rm
H ds Cm
• Von Cm aufgespannte Fläche wird w-mal
von der Stromstärke durchsetzt: = w·i.
Das Durchflutungsgesetz XIII
-203-
Intermezzo «Rechte-Hand-Regel für Spulen»
18
-204-
Das Durchflutungsgesetz XIV
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #4: «Zwei parallele, unendlich lange, gerade Leiter»
H
H
i
i
i
0
i
0
(A) Gegensinniger elektrischer Strom:
- Feldlinien bilden Apollonische Kreise.
- In der Symmetrieebene (SE) zwischen
den Leitern verläuft das H-Feld parallel.
(B) Geichsinniger elektrischer Strom:
- Feldlinien umschliessen sowohl
einzelne als auch beide Leiter.
- Feldlienen sind senkrecht zur SE.
Das Durchflutungsgesetz XV
-205-
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #4: «Zwei parallele, unendlich lange, gerade Leiter»
• Graphische Konstruktion
des magnetischen Feldes:
- Im Raumpunkt durch
vektorielle Überlagerung
der Einzelfelder.
- Einzelfeld mit Hilfe des
Durchflutungssatzes
bestimmen (siehe hierzu
Beispiel #1, Folie 196).
- Feldlinien der Einzelfelder sind konzentrische
Kreise um den Mittelpunkt des jeweiligen
Leiters.
- Richtungssinn des Einzelfeldes gemäss Folie 193.
19
Das Durchflutungsgesetz XVI
-206-
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #4: «Zwei parallele, unendlich lange, gerade Leiter»
Nullstellen sind
nicht mehr in der
Leitermitte.
z=0
H =
=
Feld ausserhalb
der Leiter gilt:
i i
ez ez
2 x
2 ( d x )
id
ez = H z ez
2 x( d x )
H=
=
i
i ez ez
2 ( d x )
2 x
i( 2x d ) ez = H z ez
2 x( d x )
Das Durchflutungsgesetz XVII
-207-
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #4: «Zwei parallele, unendlich lange, gerade Leiter»
• Die magnetische Feldstärke zweier
Leiter mit zwei gegensinnigen Strömen
von jeweils unterschiedlicher
Stromstärke:
i2 = 2i1
20
-208-
Das Durchflutungsgesetz XVIII
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #5: «Koaxialleitung»
y
Bei der Koaxialleitung müssen vier Feldbereiche unterschieden werden:
H
ai
i
a
Zwischenbereich: [i, ai ]
e
i
i
[0, i ]
Innenleiter:
Aussenleiter:
[ai, a ]
Aussenbereich:
[a, [
x
Dielektikum
Mantel
Aussenleiter
Innenleiter
Das Durchflutungsgesetz
muss in allen vier Bereichen angesetzt werden,
d.h. es sind entsprechende Konturen C zu wählen.
-209-
Das Durchflutungsgesetz XIX
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #5: «Koaxialleitung»
y
Innenleiter:
Wie beim geraden Leiter aus Folie 197.
H
ai
i
e
i
i
a
H =
[ 0, i ]
Zwischenbereich:
x
i
2 i2
Dieser Bereich entspricht dem Aussenbereich beim geraden Leiter aus
Folie 196.
H =
i
2 [ i , ai ]
21
-210-
Das Durchflutungsgesetz XX
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Aussenleiter:
Beispiel #5: «Koaxialleitung»
- Aus Gründen der Symmetrie sind die
Feldlinien auch hier als konzentrische
Kreise um den Leiter ausgebildet.
- Integrationskontur umschliesst Strom
im Innenleiter und entgegengesetzten
Strom im Aussenleiter.
y
H
i
ai
e
a
J
i
i
x
a i
=i
2 ai2
2
2
a ai
= 2 H
[ ai , a ]
H =
H = 0 > a
Aussenbereich:
) (
(
(
(
)
2 ai2
i 1 2
2 a ai2
) ) -211-
Das Durchflutungsgesetz XXI
Beispiele zum Durchflutungsgesetz
Beispiel #5: «Koaxialleitung»
H ()
i
2i
Bereich 1
Leiter
Bereich 2
Luft
Bereich 3
Leiter
Bereich 4
Luft
Fällt stärker als
mit 1/ ab!
1
Bietet sich als Kabeltyp
zum Energietransport
an, wo grosse Ströme
(ohne äusseres Magnetfeld) fliessen können.
i
2ai
i
ai
a
22
-212-
Kräfte und Momente I
Kräfte zwischen zwei geraden, parallelen Leitern
(1) Experimentalanordnung:
d
d
H 2 ,B2
i2
F21
F12
i1
F12
i2
i1
F21
H1,B1 H 2,B2
a)
• Ströme sind die Ursache der Kräfte
(Folie 169).
H1,B1
b)
Gegensinniger Stromfluss
Gleichsinniger Stromfluss
y
z
x
Das gewählte
Koordinatensystem
d
Annahme: d >> 2·0
c)
• Kräfte über die Beziehung zwischen der
magnetischen Flussdichte und dem
elektrischen Strom
(Folie 178) berechnen.
• Gedankenexperiment:
Leiter 1 erzeugt magnetisches Feld in welches der stromführende Leiter 2 eingebracht wird.
-213-
Kräfte und Momente II
Kräfte zwischen zwei geraden, parallelen Leitern
(2) Gleichsinniger Stromfluss:
d
• Das im Leiter 2 vorhandene Magnetfeld, welches
vom Strom i1 im Leiter 1 erzeugt wurde (d >> 2·0)
H 2 ,B2
i2
F21
F12
i1
a)
H1,B1
μ i B1 = 0 1 ey
2 d
• Kraft des Leiter 1 auf ein Stück des Leiters 2 der
Länge (cf. Folien 178, 179):
2 = ez
μ i F21 = i2 2 B1 = i2 ez 0 1 ey 2 d (
y
z
x
c)
d
)
μ i i F21 = 0 1 2 ex
2 d
23
-214-
Kräfte und Momente III
Kräfte zwischen zwei geraden, parallelen Leitern
(2) Gleichsinniger Stromfluss:
d
• Kraft des Leiter 2 auf ein Stück des Leiters 1 der
Länge:
H 2 ,B2
i2
F21
F12
i1
H1,B1
a)
y
z
1 = ez
μ i F12 = i1 1 B2 = i1 ez 0 2 ey 2 d (
)
μ i i F12 = + 0 1 2 ex
2 d
Wäre auch über
«actio = reactio»
zu ermitteln gewesen!
Definition der Stromstärke 1 Ampère:
Die beiden Leiter ziehen sich gegenseitig an!
Abstand d = 1 m. Es fliesst genau 1 A, falls die
Anziehungskraft pro Abschnitt F = 2·107 N/m ist.
x
c)
d
Kräfte und Momente IV
-215-
Kräfte zwischen zwei geraden, parallelen Leitern
(3) Gegensinniger Stromfluss:
• Das Vorgehen im Fall des gegensinnigen
Stromflusses ist analog zu demjenigen des
gleichsinnigen Stromflusses.
d
F12
i2
i1
F21
H 2,B2
H1,B1
b)
• Die hier auftretende Kräfte sind denjenigen
des vorhergehenden Beispiels (gleichsinniger Stromfluss) entgegengesetzt:
Fij( gegensinnig ) = Fij( gleichsinnig )
i, j = 1, 2; j i
y
z
x
c)
• Die beiden Leiter stossen sich gegenseitig
ab!
d
24
-216-
Kräfte und Momente V
Drehmoment an einer Leiterschleife im Magnetfeld
i
• Geschlossene, von der Stromstärke i
durchflossene Leiterschleife.
i
• Magnetfeld in x-Richtung.
• Drehachse in y-Richtung.
h
B = Bex
y
x
z
a)
• Gemäss Rechte-Hand-Regel (Folie 179)
wirken die Kräfte in z-Richtung.
2a
• Kräfte auf die beiden Leiter:
F1 = i1 1 B = i hey Bex
= ih B ez
F2 = i2 2 B = i +hey Bex
= ih B ez
(
) (
)
(
) (
)
-217-
Kräfte und Momente VI
Drehmoment an einer Leiterschleife im Magnetfeld
T
i
n
F1
b)
F2
i
B
x
y
z
• Drehmoment auf die Leiterschleife:
T = T1 + T2 = a ex F1 + a ex F2 = aih B ex ez + ex ( ez )
= ( 2aih B ) ey = Ty ey
s1 = a ex
s2 = +a ex
• Hebelarme zur Erzeugung des Drehmoments:
(
)
25
Kräfte und Momente VII
-218-
Drehmoment an einer Leiterschleife im Magnetfeld
90° i
T
i
c)
F1
F1
n
• Winkelabhängigkeit des Drehmoments,
d.h. Abhängigkeit des Drehmoments T
zum Winkel zwischen der Flächennormalen und B-Feld.
F2
F2
• Kräfte F1 und F2 bleiben konstant in
Richtung und Betrag.
B
• Winkel zwischen Kräften (F1 und F2)
und den zugehörigen Hebelarmen
(s1 und s2) ändert sich mit 90° .
• Nur die Komponenten F1‘ und F2‘
leisten einen Beitrag zum Drehmoment.
(1) Drehmoment:
T = ( 2ahi B ) sin ey
= Ty ( ) ey
• Mit wachsendem Argument 90° nehmen die Komponenten F1‘ und F2‘ ab
doch treten zusätzliche Zug- und
Druckkräfte in der Schleife auf.
Kräfte und Momente VIII
-219-
Drehmoment an einer Leiterschleife im Magnetfeld
90° i
c)
F1
F1
T = ( 2ahi B ) sin i
T
n
• «Neue Schreibweise» der Winkelabhängigkeit des Drehmoments:
F2
F2
B
= n, B
(
)
Das magnetische Dipolmoment m einer geschlossenen Leiterschleife ist im Betrag gleich
der Stromstärke mal der von der Leiterschleife
aufgespannten Fläche. Die Richtung ist gleich
der Stromrichtung im Rechtsschraubensinn
zugeordneten Flächennormalen.
= ( Ai B ) sin = i A n B sin = ( i A n ) B =: m B
T = mB
[ m ] = Am 2
(2) Magnetisches Dipolmoment:
m = 2ahi n = i A n
26
-220-
Kräfte und Momente IX
Drehmoment an einer Leiterschleife im Magnetfeld
(3) Darstellung der Winkelabhängigkeit des Drehmoments:
• Stabile Gleichgewichtslage
für = 0: Dipolmoment und
B-feld sind parallel.
• Labile Gleichgewichtslage
für = : Dipolmoment und
B-Feld sind antiparallel.
Ty
«stabil»
0
2
«labil»
3 2
2
T = m B = Ty ( ) ey
-221-
Magnetfeld und Materie I
Mikroskopische Kreisströme
(1) Mikroskopische Modellannahmen zum magnetisierten Material:
• Bohr’sches Atommodell mit «kreisenden»
Elektronen Kreisstrom i.
• Kreisstrom i bewirkt elementares H-Feld.
dQ e i=
= =
e
dt T 2
27
Magnetfeld und Materie II
-222-
Mikroskopische Kreisströme
(2) Magnetisierbares Material im externen Magnetfeld:
• Die Gesamtheit der durch die atomaren Kreisströme erzeugten elementaren Magnetfelder beschreibt das magnetische Verhalten des Materials.
• Es ist eine semi-klassische Beschreibung: Der Drehimpuls des einzelnen
Elektrons (Spin) wird vernachlässigt, der Bahndrehimpuls der Elektronenbahn sei quantisiert (nimmt bestimmte feste Werte ein).
• Das so beschriebene Material erscheint gegen Aussen als «magnetisch
passiv», d.h. die Elementarfelder sind statistisch in alle Richtungen ausgerichtet und kompensieren sich in ihrer Gesamtheit.
• Wie reagiert ein so beschriebenes Material, wenn es in ein externes
Magnetfeld gebracht wird?
Bext = μ0 H ext
• Es werden hier drei resultierende, physikalische Effekte betrachtet:
Diamagnetismus, Paramagnetismus und Ferromagnetismus.
Magnetfeld und Materie III
-223-
Diamagnetismus
(1) Vereinfachtes Modell:
B=0
• Das Material ist in sich «magnetisch passiv».
r0
• Die elementaren Magnetfelder zugehörig zu
den verschiedenen Elektronenbahnen des
Atoms kompensieren sich.
v1
i1
v2
e
i2
z
• Im vereinfachten Modell betrachten wir zwei,
übereinanderliegende Elektronenbahnen.
• Die Umlaufrichtungen der beiden betrachteten Elektronenbahnen ist entgegengesetzt.
r
v1 = v2
B=0 i1 = i2
• Quantenmechanische Voraussetzung: die
Bahndrehimpulse («Drall» der Elektronenkreisbewegung) sind quantisiert, d.h. sie
können unter allen Umständen nur bestimmte, feste Werte einnehmen.
• Wir bringen das Atom in ein externes B-Feld.
28
-224-
Magnetfeld und Materie IV
Diamagnetismus
(2) Das Atom im externen Magnetfeld:
B
Fm1
r0
v1
i1
e
v2
Fm2
i2
z
r
v1 v2
B0 i1 i2
• Im externen Magnetfeld erfahren die Elektronen eine nach aussen oder innen gerichtete Lorentzkraft (Folie 180):
Fmi = e vi B
(
)
• Im Gleichgewichtsfall müssen diese Kräfte
durch die Zentrifugalkräfte der Elektronen
kompensiert werden.
• Bahndrehimpuls ist quantisiert (fester Wert),
d.h. die Bahnradien r0 bleiben konstant.
• Elektronen müssen daher ihre Bahngeschwindigkeit ändern (v1, v2), damit das
Gleichgewicht erhalten bleibt.
• Kreisströme ändern sich auch (i1, i2).
Magnetfeld und Materie V
-225-
Diamagnetismus
(3) Klärung eines vermeintlichen Widerspruchs:
Folie 224: Bahndrehimpuls der Elektronenbahn
bleibt konstant. Elektronengeschwindigkeit
muss sich im externen B-Feld aber ändern.
• Das Elektron kann zusätzlich Geschwindigkeit
aufnehmen, ohne dass der Bahndrehimpiuls
verändert wird, indem eine «anders gerichtete»
Drehbewegung überlagert wird.
• Diese «anders gerichtete» Drehbewegung
kann in der Form einer Präzession des Atoms
«implementiert» werden.
• «Drall» der Elektronenbahn bleibt konstant,
obwohl das Elektron von Aussen besehen die
Geschwindigkeitsänderung v erfahren hat.
29
-226-
Magnetfeld und Materie VI
Diamagnetismus
(4) Berechnung der resultierenden Änderungen:
B
Fm1
r0
e
Fm2
i2
z
r0
v1
i1
v2
B
• Beobachtung:
Änderungen
sind gleichgerichtet!
v1
i1
v 2
i2
r
• Annahmen: Das externe Magnetfeld sei schwach.Präzessionswinkel ist daher klein.
Die Änderungen v und i sind klein gegenüber den Werten v und i.
-227-
Magnetfeld und Materie VII
Diamagnetismus
(4) Berechnung der resultierenden Änderungen (Elektron #1):
v1 = v1 e = v1 e
v1 = v1 e
B = B ez
e ez = er
( )
v2 = v2 e = v2 e
Kräftegleichgewicht:
ze2 m
2 e
+
v
e
B
e
v
+
v
e
e
v
=
0
+
(
)
[
]
r
1
1
z
1
1
r
4 r02
r0
0 (
Coulombkraft
2
)
Lorentzkraft
Zentrifugalkraft
(
)
ze
m
e B( v1 + v1 ) + v12 + 2v1v1 + v12 = 0
2
4 0 r0
r0
e Br0 e Br0 v1
v1 v + 2v1 =0
m m
2
1
ungestörtes
Atom
ze2
m
= v12
2
4 0 r0
r0
30
-228-
Magnetfeld und Materie VIII
Diamagnetismus
(4) Berechnung der resultierenden Änderungen (Elektron #1):
e Br0 e Br0 v1
v1 v12 + 2v1 =0
m m
Quadratische Gleichung
Lösung unter Vernachlässigung kleiner quadratischer Terme:
2
e Br0 v +
v12
2m e Br0 v 2m 2
1
v1 i1
e Br0 v1 e
2m
e Br0
2m
v1 =1 r0
2
2
1
v1 e
2 r0
e2 B
i1 4 m
Die Geschwindigkeit v1 wird um den
Beitrag v1 vergrössert (siehe hierzu
auch die Beobachtung aus Folie 226)
v e B
1 = 1 r0
2m
LarmorPräzession
(Folie 225)
-229-
Magnetfeld und Materie IX
Diamagnetismus
(4) Berechnung der resultierenden Änderungen (Elektron #2):
( )
v2 = v2 e = v2 e
Kräftegleichgewicht:
( )
v2 = v2 e
B = B ez
e ez = er
m
ze2 2 +
e
+
v
e
B
e
v
+
v
e
e
v
=
0
(
)
[
]
r
2
2
z
2
2
r
4 r02
r0
0 (
Coulombkraft
( )
)
Lorentzkraft
Zentrifugalkraft
e Br0 e Br0 v2
v2 +
v22 + 2v2 +
=0
m m
e Br0
v2 2m
( )
e Br0
v2 = e
2m
Quadratische Gleichung
v2
e2 B
i2 =
2 r0 4 m
31
-230-
Magnetfeld und Materie X
Diamagnetismus
(5) Der gesamte Magnetisierungseffekt:
B
• Wie bereits in Folie 226 vermutet wurde, sind die
Geschwindigkeitsänderungen (v1, v2) gleichgerichtet.
r0
v1
i1
i
v 2
i2
• Dadurch sind auch die Änderungen der jeweiligen Kreisströme (i 1, i2) gleichgerichtet.
• Die Bezugspfeilrichtungen der Stromänderungen
sind (trotzt der entgegengesetzten Kreisströme)
gleich und positiv.
• Man darf also annehmen, dass das B-Feld im
Material einen zusätzlichen Kreisstrom i
erzeugt hat:
e2 B
i = i1 + i2 =
2 m
-231-
Magnetfeld und Materie XI
Diamagnetismus
(5) Der gesamte Magnetisierungseffekt:
B, H
m2
• Der resultierende Kreisstrom i erzeugt wiederum ein magnetisches Dipolmoment m.
e2 B
r02 n
m = i A n = i A n =
2 m
(
n
i1
i1
i2
i2
m1
m
Normalenvektor n bzw. m stehen
im Rechtsschraubensinn zu i.
=
)
e2 B r02 e2 μ0 r02
n =
H n
2m
2m
• Der Vektor des H-Feldes ist dem Normalenvektor
(und dadurch auch m) entgegengesetzt:
e2 μ0 r02 m=
H
2m
Magnetisches
Dipolmoment
schwächt das erzeugende H-Feld.
32
-232-
Magnetfeld und Materie XII
Diamagnetismus
(5) Der gesamte Magnetisierungseffekt:
• Es sei nA die Anzahl Atome pro Volumeneinheit eines diamagnetischen
Materials.
M = nA m
M =
1
m3
Am 2 = A m
magnetische
Dipoldichte
• Die magnetische Dipoldichte heisst Magnetisierung M und hat die Einheit der
magnetischen Feldstärke H.
Die Magnetisierung M ist gleich dem magnetischen Dipolmoment pro Volumeneinheit (magnetische Dipoldichte), das in einem Material unter Einfluss
eines externen Magnetfeldes ausgebildet wird oder dort permanent vorhanden ist (Permanentmagnet). Die Magnetisierung M ist gleichzeitig ein Mass
für die vom Material beim Anlegen des
Magnetfeldes gegenüber dem Fall des
B
=
μ
H
+M
0
Vakuums zusätzlich aufgebrachte magnetische Feldstärke (cf. Schwächung).
(
)
-233-
Magnetfeld und Materie XIII
Diamagnetismus
(6) Die magnetische Suszeptibilität m:
• Wie auch aus Folie 231 hervorgeht, ist beim Diamagnetismus die Magnetisierung proportional zur (lokalen externen) magnetischen Feldstärke.
M = m H
e2 μ0 r02
m = nA
2m
Folie 231
Magnetische
Suszeptibilität
• Die im diamagnetischen Material auftretende Flussdichte B ist daher:
B = μ0 H + M = μ0 (1+ m ) H = μ
μ
H
=
μ
H
0
r
(
)
μr
μ = μ0 μr
μr = 1+ m
: Permeabilität des Materials;
μ
μ0 : magnetische Feldkonstante
: Permeabilitätszahl des Materials (Diamagnetismus: < 1)
33
-234-
Magnetfeld und Materie XIV
Diamagnetismus
(6) Die magnetische Suszeptibilität m:
( Modell )
m
( real )
m
e2 μ0 r02
=
nA
2m
e2 μ0 r02
6m
Z nA
Mittelung über Atomorientierungen,
mittlerer Radius via Quantenmechanik,
Annahme schwacher Dipolwirkungen.
Beim Diamagnetismus
hat die Magnetisierung
M eine schwächende
Wirkung auf das externe
Magnetfeld. Die Magneti-
sche Suszeptibilität m
ist daher negativ.
-235-
Magnetfeld und Materie XV
Paramagnetismus
(1) Material mit nichtverschwindenden magnetischen Dipolmomenten:
z.B. ungleiche
Kreisströme
(a) Statistisch in alle
Richtungen weisendes
Dipolmoment führt zu
magnetisch passivem
Materialverhalten.
(b) Anlegen eines externen Magnetfeldes
erzeugt ein Drehmoment auf die Dipolmomente und lässt diese
in Richtung des externen Magnetfeldes
drehen: Verstärkung
des externen Magnetfeldes.
34
Magnetfeld und Materie XVI
-236-
Paramagnetismus
(2) Magnetische Suszebtilität m beim Paramagnetismus:
• Der Verstärkungseffekt des externen Magnetfeldes beim Paramagnetismus drückt sich
im positiven Wert der magnetischen Suszeptibilität m aus.
• Auch beim Paramagnetismus gilt näherungsweise die Proportionalität:
M = m H
μr = 1+ m > 1
• Die statistische Ausrichtung der Dipolmomente
bei fehlendem externen
Magnetfeld ist ein Effekt
der Temperaturbewegung.
• Der Wert von m ist daher
temperaturabhängig.
Magnetfeld und Materie XVII
-237-
Ferromagnetismus
Weiss’sche
Bezirke
180°-Wand
H=0
90°-Wand
• Auch ohne Anlegen eines externen Feldes
existieren Bereiche mit spontan, parallel
ausgerichteten Dipolmomenten (Weiss’sche
Bezirke), welche durch sog. Blochwände
abgegrenzt sind.
• Die resultierenden magnetischen Dipolmomente aller Weiss’schen Bezirke sind
statistisch in alle Richtungen ausgerichtet,
so dass keine Magnetisierung von aussen
festgestellt werden kann (magnetisch passiv).
• 90°- bzw 180°-Blochwände bezeichnen die
die Richtungswechsel des magnetischen
Dipolmomentes in den beiden durch die
Blochwand abgegrenzten Bezirke.
• Was geschieht nun durch Anlegen eines
externen Magnetfeldes?
35
Magnetfeld und Materie XVIII
-238-
Ferromagnetismus
H=0
Weiss’sche
Bezirke
90°-Wand
H
H
180°-Wand
a)
b)
c)
(1) Anlegen einer zunehmenden • Blochwände verschieben sich so, dass Bezirke mit
ähnlicher Ausrichtung der Magnetisierung zum
magnetischen Feldstärke:
externen Feld vergrössert werden.
• Magnetisierung wird weiter zum Feld hin gedreht.
Magnetfeld und Materie XIX
-239-
Ferromagnetismus
(2) Zusammenhang zwischen B-Feld und H-Feld:
• Der Magnetisierungsprozesses des ferromagnetischen Materials im externen Feld ist
wesentlich komplizierter geworden, da die Verschiebung der Blochwände einen
irreversiblen Prozess darstellen.
• Die Magnetisierung hängt deshalb von der «magnetischen Vorgeschichte» des
Materials ab.
• Der Zusammenhang zwischen der Magnetisierung M und dem H-Feld, bzw. zwischen
dem B-Feld und dem H-Feld ist die jeweilige Hysterese-Kurve (hier die Funktion g bzw. f).
M =g H
( )
B = μ0 H + M = f H
(
)
( )
• Der Zusammenhang zwischen dem M-, dem B- und dem H-Feld ist kompliziert und
nichtlinear geworden und lässt sich nicht mehr mittels Proportionalität beschreiben:
Für ferromagnetische Materialien kann keine Permeabilitätszahl r mehr definiert
werden.
36
-240-
Magnetfeld und Materie XX
Ferromagnetismus
(3) Die Hysterese-Kurve M(H):
Remanente
Magnetisierung Mr :
Sättigungsmagnetisierung Ms :
Koerzitivfeldstärke Hk :
(in Richtung des externen H-Feldes, Folie 238)
M max = M s eH
M r = M r eM
H k = H k ( eH )
Hk gross:
magnetisch hart.
Hk klein:
magnetisch weich.
Hysterese
M = M eM H = H eH
-241-
Magnetfeld und Materie XXI
Ferromagnetismus
(4) Die Hysterese-Kurve B(H):
B
Bs = μ0 M s
Br = μ0 M r
Steigung
Bs
μ0 H
Br
B = μ0 H
B = μ0 H + M
(
Bs
Br
)
(Folie 239)
37