Thermodynamik
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Thermodynamik - Aufgaben Thermodynamik Fragen zur Energie Energie ist wohl der meist missverstandene Begriff der Physik. Im Alltag wird Energie erzeugt, vernichtet, erneuert, veredelt oder entwertet. Der Grund für diesen umfassenden Missbrauch eines physikalischen Begriffs ist im neunzehnten Jahrhundert zu suchen. Hätte man die Thermodynamik auf der Basis der Bilder und Ideen von Carnot entwickelt, würden heute mehr Leute begreifen, wie eine Wärmepumpe funktioniert oder wieso der Dieslmotor einen höheren Wirkungsgrad als der Benzinmotor hat. Die nachfolgenden Fragen sind im Sinne eines Ratespiels zu verstehen (Frage lesen, eigene Antwort formulieren, nachschauen und analysieren). Als Preis winkt ein umfassendes und korrektes Verständnis des Begriffs Energie. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Welche Rolle übernimmt die Energie in der Physik der dynamischen Systeme? Was versteht man unter einer Prozessleistung? Wie ist der zugeordnete Energiestrom definiert? Was versteht man in der Physik unter Arbeit? Was versteht man unter Wärme? Können Arbeit, Wärme, elektrische und chemische Energie gespeichert werden? Wieso kann man die Energie in verschiedenen Formen speichern? Wie kann man erkennen, in welcher Form eine Energie gespeichert ist? Was hat Einstein mit der Formel ( ) gemeint? Kann Energie in verschiedene Formen umgewandelt werden? Wandelt ein fallender Körper potentielle Energie in kinetische um? Ist Energie Arbeitsvermögen? Fragen zur Entropie Die Entropie ist bilanzierfähig, bleibt in der Regel aber nicht erhalten. Deshalb sind die Physiker des 19. Jahrhunderts auf der Suche nach den Grundlagen der Thermodynamik zuerst auf die Energie (erster Hauptsatz der Thermodynamik) und erst später auf recht abenteuerlichem Weg auf die Entropie (zweiter Hauptsatz der Thermodynamik) gestossen. Im 21. Jahrhundert sollten die Studierenden die Irrwege unserer Vordenker aber nicht mehr abschreiten müssen, sondern direkt zur Sache gehen dürfen: • • • • • • die Entropie ist die mengenartige Grundgrösse der Thermodynamik die Entropie entspricht in etwa dem, was man im Alltag mit Wärme umschreibt die Entropie ist der Energieträger der Thermodynamik o der Wärmeenergiestrom ist gleich absolute Temperatur mal Stärke des Entropiestromes o die in einem thermischen Prozess umgesetzte Leistung ist gleich Temperaturdifferenz mal Stärke des durchfliessenden Entropiestromes durch Reibung entsteht Entropie (bei jedem realen Prozess wird Entropie erzeugt) ein Körper wird wärmer, sobald man ihm Entropie zuführt; um ihn zu kühlen, muss man Entropie entziehen ein Stoff kann ohne Temperaturerhöhung Entropie aufnehmen (latente Wärme). Ein Stoff nimmt beim Schmelzen und Verdampfen latente Entropie auf. Gasförmige Stoffe können Entropie bei konstanter Temperatur Entropie aufnehmen, indem sie ihr Volumen vergrössern (isotherme Expansion) Die folgenden Fragen sind im Sinne eines Ratespiels zu beantworten: Frage lesen, eigene Antwort überlegen und nachschauen. Wer mit der Antwort nicht einverstanden ist, wende sich an Prof. Werner Maurer (mau Affenschwanz zhwin Punkt ch). 1. Ein Liter Milch soll um 10°C erwärmt werden. Benötigt man dazu Energie oder Entropie? 2. Wieso ist eine Wärmepumpe ökologischer als eine Elektroheizung? Ist eine Wärmepumpe immer ökologischer als eine Gasheizung? 3. Wieso sollte der Kühlschrank nicht zu kalt eingestellt werden? 4. Warum kombiniert man Wärmepumpen in der Regel mit einer Bodenheizung? 1 Thermodynamik - Aufgaben 5. Das Kernkraftwerk Gösgen hat eine thermische Leistung von 3002 MW und eine Bruttonennleistung von 1020 MW. Wieso gibt dieses Kraftwerk rund 2/3 der "produzierten" Energie ungenutzt über den Kühlturm ab. 6. Lawinen gleiten zu Tal, bewegte Körper kommen zur Ruhe, Akkus entladen sich mit der Zeit und sogar die Erde rotiert immer langsamer. Häufig werden all diese Phänomene mit der Energie erklärt, die gegen ein Minimum streben soll (weil die Energie erhalten bleibt, muss Energie aus dem System abgeführt werden). Welches physikalische Grundprinzip steckt nun hinter all den alltäglichen Erscheinung, wonach Prozesse die Tendenz haben, "freiwillig" in eine Richtung abzulaufen? Kennen Sie solche Prozesse, bei dem die Energie des Systems gleich bleibt oder sogar zunimmt? 7. Presst man die in der Velopumpe enthaltene Luft zusammen, erhöht sich die Temperatur. Wie kann man das erklären? 8. Wieso überlebt man einen längeren Aufenthalt in der 80°C warmen Sauna, obwohl eine Körpertemperatur von mehr als 40°C schon recht gefährlich ist? 9. Was macht die Erde mit all der Entropie, die wir Menschen so leichtfertig produzieren? Milch kühlen In einem Milchverarbeitungsbetrieb sollen 6000 Kilogramm Milch von 25°C auf 5°C abgekühlt werden. Eine Wärmepumpe, welche die Wärme reversibel von -3°C und 37° fördert, sorgt für eine konstante Temperatur des Kühlraums von 0°C. Milch hat eine spezifische Wärmekapazität von 3.85 kJ/(kgK). 1. Im Text kommt das Wort Wärme drei Mal vor. Ist drei Mal die gleiche physikalische Grösse gemeint? 2. Wie viel Energie gibt die Milch an den Kühlraum ab? 3. Wie viel Entropie wird dem Kühlraum von der sich abkühlenden Milch zugeführt? 4. Wie viel Entropie fördert die Wärmepumpe? 5. Wie viel Energie benötigt sie dazu? 6. Die Wärme wird zum Schluss an die Umwelt abgeführt (Temperatur 27°C). Wie viel Entropie wird infolge des ganzen Kühlvorgangs produziert? Dampfmaschine Die besten Dampfmaschinen hatten bereits um 1910 einen sehr hohen Wirkungsgrad und erreichten mit Steinkohle mittlerer Güte einen Verbrauch von etwa 0.5 kg/PS-Stunde. Der Heizwert (Reaktionsenthalpie) von Steinkohle beträgt etwa 30 MJ/kg. Eine Pferdestärke (PS) entspricht einer Leistung von 735 W. 1. Wie gross ist der Wirkungsgrad der Dampfmaschine, wenn man die abgegebene Leistung mit dem Heizwert der Steinkohle vergleicht. 2. Wasserdampf kann in einem Kessel bis auf etwa 350°C erhitzt werden. Mit Hilfe eines Unterdrucks im Kondensator lässt sich die Temperatur des entspannten Dampfes auf etwa 50°C absenken. Welcher Wirkungsgrad erreicht eine zwischen diesen beiden Temperaturen reversibel arbeitende Wärmekraftmaschine, wenn man unter Wirkungsgrad das Verhältnis von freigesetzter Prozessleistung zu Stärke des zufliessenden Energiestromes versteht? 3. Wieso ist der Wirkungsgrad einer Dampfmaschine im Vergleich zur reversibel arbeitenden Wärmekraftmaschine immer noch fast drei Mal kleiner? 4. Wieso haben Verbrennungsmotoren einen viel höheren Wirkungsgrad als Dampfmaschinen? Wärmepumpe Eine Wärmepumpe (WP) fördert Entropie (Wärme) aus einem kälteren System in ein wärmeres. Würde die WP reversibel arbeiten, wäre die notwendige Prozessleistung gleich Stärke des Entropiestromes mal Temperaturdifferenz (Förderhöhe). Um die Effizienz von Wärmepumpen zu vergleichen, bildet man die Leistungsziffer oder Leistungszahl ε 2 Thermodynamik - Aufgaben Die Leistungszahl vergleicht den abgegebenen, zugeordneten Energiestrom mit der zugeführten Prozessleistung. Sind im Nenner die Leistungen der Hilfsgeräte dabei, nennt man das Verhältnis auch Coefficent of Performance (COP). Hinter den Begriffen Leistungsziffer, Leistungszahl oder COP steckt eigentlich ein Vergleich von zwei Heizmethoden: die Leistungszahl vergleicht die Heizleistung einer Wärmepumpe mit der einer Elektroheizung. 1. Ein Wärmepumpe, welche die Wärme bei 0°C aufnimmt und bei 35°C abgibt, habe bei einer Heizleistung von 12 kW eine Leistungszahl (COP) von 4.5. 1. Welche elektrische Leistung nimmt die Wärmepumpe in diesem Betriebszustand auf? 2. Wie stark sind die beiden Entropieströme (Eingang und Ausgang)? Wie gross ist die Entropieproduktionsrate? 3. Wie gross ist die minimal mögliche Pumpleistung bei gleicher Heizleistung (zugeordneter Energiestrom beim Ausgang) und gleicher Temperaturdifferenz? 2. Die Graphik zeigt den Verlauf der Leistungszahl einer realen und einer idealen Wärmepumpe (C steht für Carnot-Prozess) in Funktion der Vorlauftemperatur des Heizungssystems (Ausgang der Wärmepumpe). 3. Wie wird Epsilon WC berechnet? 1. Wie hoch ist die Temperatur am Eingang der Wärmepumpe, bei welcher Temperatur "saugt" diese Wärmepumpe die Entropie an? 2. Wie definiert man bei Wärmepumpen einen Wirkungsgrad, der die Performance des vorhandenen Gerätes direkt mit dem physikalisch gerade noch Möglichen vergleicht? Der so definierte Wirkungsgrad muss gleich eins sein, wenn keine Entropie produziert wird. 3. Berechnen Sie diesen Wirkungsgrad für ein paar Punkte in der nebenstehenden Graphik. Reversibles Mischen Giesst man 10 Kilogramm Wasser von 80°C in ein Eis-Wasser-Gemisch (8 Liter Wasser und 2 kg Eis) stellt sich eine bestimmte Temperatur oder ein neues Eis-Wasser-Gemisch ein. Obwohl die Energie erhalten bleibt, scheint bei diesem Mischvorgang eine gewisse Qualität verloren zu gehen (heisse und ganz kalte Getränke sind irgendwie hochwertiger als ein lauwarmes Gesöff). Wie wir alle wissen, geht beim Mischen nichts verloren, sondern es wird sogar etwas produziert: bei allen irreversiblen Vorgängen wird Entropie erzeugt! 1. Welcher Endzustand stellt sich bei diesem Mischvorgang ein? 2. Wie viel Entropie wird produziert? 3. Welcher Endzustand würde sich einstellen, wenn der Temperaturausgleich reversibel, also mit Hilfe einer idealen Wärmekraftmaschine herbeigeführt würde? 4. Wie viel Energie im Sinne von Arbeitsvermögen würde die Wärmekraftmaschine abgeben? Wasser: • spezifische Schmelzenthalpie 334 kJ/kg 3 Thermodynamik - Aufgaben • • • spezifische Verdampfungsenthalpie 2'256 kJ/kg spezifische Enthalpiekapazität (spez. Wärmekapazität Wasser) 4.19 kJ/(kg K) spezifische Enthalpiekapazität (spez. Wärmekapazität Eis) 2.1 kJ/(kg K) Kühlen von Wasser Siedendes Wasser ist bei Normaldruck in Eis von 0°C zu ‚verwandeln‘. Die Umgebung habe eine Temperatur von 25°C. 1. Man giesst das heisse Wasser in eine Tiefkühltruhe und wartet bis alles gefroren ist. Wie viel Energie muss die Kühltruhe pro Kilogramm aufwenden, wenn sie die Wärme reversibel von 30°C auf 50°C hinauf pumpt? 2. Nun denkt man sich eine Maschine, welche die Entropie absolut reversibel an die Umgebung abführt. Muss bei reversibler Prozessführung Energie aufgewendet werden oder gewinnt man nutzbare Energie? Wie viel spezifische Energie muss aufgewendet oder kann gewonnen werden? Hinweise: • • Bei der ersten Prozessführung fliesst die Wärme total irreversibel (unter maximaler Entropieproduktion) auf -30° hinunter. Dabei bleibt die Energie erhalten. Danach wird die Wärme um 70°C hinauf gepumpt. In diesem zweiten Teil des Prozesses bleibt die Entropie erhalten. Im zweiten Prozess ist die an die Umwelt abgeführte Entropie gleich der Änderung des Inhaltes des Wassers. Die Änderung der Enthalpie im Wasser ist aber nicht gleich der an die Umgebung abgegebenen Wärme. Wasser: • • • • spezifische Schmelzenthalpie 334 kJ/kg spezifische Verdampfungsenthalpie 2'256 kJ/kg spezifische Enthalpiekapazität (spez. Wärmekapazität Wasser) 4.19 kJ/(kg K) spezifische Enthalpiekapazität (spez. Wärmekapazität Eis) 2.1 kJ/(kg K) Wasser in Gefrierfach Ein Plastikbeutel mit drei Liter Wasser der Temperatur 15°C wird in eine Tiefkühlfach gelegt. Das Tiefkühlfach hat eine Temperatur von -22°C. Die Umgebungstemperatur liegt bei 25°C. 1. Wie viel Energie muss dem Kühlgerät im Minimum zugeführt werden, um das Wasser abzukühlen? 2. Würde man das Wasser in einem Vorgefrierfach bei -1°C zu Eis erstarren lassen, so wäre die Prozessführung energetisch günstiger. Wieso? Geben Sie zwei Gründe an. Hinweis: Die Wärme wird total irreversibel vom zu kühlenden Körper auf das Kühlfach übertragen. Danach pumpt die Kühlmaschine die Entropie an die Umgebung ab. Also bilanziert man im ersten Teilprozess die Energie. Danach bestimmt man die vom Kühlfach an die Umgebung abzuführende Entropie und berechnet dann die Pumparbeit. Daten: • • • spezifische Enthalpiekapazität (Wärmekapazität) von Wasser 4.19 kJ/(kgK) spezifische Enthalpiekapazität von Eis 2.1 kJ/(kgK) spezifische Schmelzenthalpie von Eis 334 kJ/kg) 4 Thermodynamik - Aufgaben Badewanne Wer sich in der Badewanne entspannen will, sollte auf die richtige Temperatur und die Dauer des Bades achten. 36°C bis 38°C Grad Celsius haben sich als optimale Temperatur für ein erholsames Bad bewährt. Bei höherer Wassertemperatur verliert die Haut zu viel Fett und Feuchtigkeit. Ist aber ein Bad heute noch zu verantworten? Wie viel Energie geht bei einem solchen Bad "verloren"? Machen wir dazu ein Modell. Die Badewanne habe ein Fassungsvermögen von 180 Liter und das Wasser muss von 15°C auf 40°C aufgewärmt werden. 1. Wie viele Kilowattstunden Energie müssen zum Aufheizen des Bades vom Elektrizitätswerk geliefert werden (Verluste sind zu vernachlässigen)? 2. Das Wasser soll nun mit einer Wärmepumpe erwärmt werden. Wie viel Energie nimmt eine Wärmepumpe zu diesem Zweck auf, falls sie die Wärme reversibel von 0°C und 50°C hoch pumpt? 3. Wie viel Energie müsste man aufwenden, wenn man die Entropie absolut reversibel aus dem 10°C warmen Grundwasser direkt in das anfänglich 15°C warme Wasser pumpen könnte? 4. Nach dem Bad ist das Wasser noch 30°C warm. Wie viel Energie könnte man mit einer idealen Wärmekraftmaschine zurückgewinnen, falls diese die Wärme gegen das 10°C warme Grundwasser abgibt und das Badewasser bis auf diese Temperatur abgekühlt werden darf. Die Energie-Problematik des ausgiebigen Badens ist offensichtlich nicht so einfach zu durchschauen. Wer das Wasser gar mit Sonnenkollektoren aufheizt, darf den ganzen Sommer in der Badewanne verbringen, ohne ein schlechtes Gewissen zu haben. Eistee 54 g Eis von -15°C werden mit 0.2 Liter Tee von 30°C gemischt. Der Tee wird dabei auf 7°C abgekühlt. Die Umgebung hat eine Temperatur von 20°C. 1. Wie viel Energie hat das System Eistee während des Mischens mit der Umwelt ausgetauscht? 2. Um wie viel hat sich die Entropie des Systems Eistee geändert? 3. Wie viel Entropie ist durch diesen Prozess produziert worden? Wasser: • • • • spezifische Schmelzenthalpie 334 kJ/kg spezifische Verdampfungsenthalpie 2'256 kJ/kg spezifische Enthalpiekapazität (spez. Wärmekapazität Wasser) 4.19 kJ/(kg K) spezifische Enthalpiekapazität (spez. Wärmekapazität Eis) 2.1 kJ/(kg K) Eisturm Anfrage von Nationalrat Peter Schmid vom 12. Juni 1989 (Behandlungsdatum): "Wie der Presse zu entnehmen war, wird die Schweiz an der Weltausstellung 1992 in Sevilla mit einem 30 Meter hohen Turm aus Eis imponieren. Dieses Projekt eines ETH-Professors wurde von einer Jury, die sich aus Exponenten der Bundesverwaltung, der Schweizerischen Verkehrszentrale, der Medien, der Schweizerischen Zentrale für Handelsförderung und von Pro Helvetia zusammensetzt, aus 91 Entwürfen ausgewählt. Ich zweifle nicht, dass ein Eisturm unter der andalusischen Sonne, welche die Temperaturen in jener Gegend Spaniens bis zu 40 Grad im Schatten ansteigen lässt, den merkwürdigen Hang von Schweizern widerspiegelt, während der Ferien, im Freizeitverhalten und im Sport Winterfreuden im Sommer und Sommerfreuden im Winter zu geniessen. Meine Fragen: 1. Was hält der Bundesrat vom Entscheid der Jury und dem ausgewählten Projekt? 5 Thermodynamik - Aufgaben 2. Findet er den schweizerischen Ausstellungsbeitrag angesichts des weltweiten wachsenden Umweltbewusstseins nicht anachronistisch? 3. Hofft der Bundesrat mit mir, dass sich bei Lehrern an technischen Ausbildungsanstalten die Einsicht allmählich durchsetzt, nicht alles Machbare sei auch sinnvoll, vorbildlich und richtungweisend für die Zukunft?" Die Geschichte um den Eisturm, aus dem schlussendlich ein Papierturm geworden ist, hat zu folgender Prüfungsaufgabe Anlass gegeben: 1. Wie viel Energie muss mindestens aufgewendet werden, um einen Eisturm (0°C) von 6.00 m Durchmesser und 20.0 m Höhe herzustellen, wenn das dazu benötigt Wasser 15°C warm ist und die reversibel arbeitende Wärmepumpe die Wärme bei -4°C ansaugt und bei 45°C abgibt? 2. Wie viel Energie müsste aufgewendet werden, wenn der ganze Kühlprozess reversibel ablaufen würde und die Umgebungstemperatur 38°C beträgt? Hinweis: Bei der ersten Prozessführung ist mit Hilfe einer Energiebilanz die Entropiezu berechnen, die von der Pumpe von -4°C auf 45°C gefördert werden muss. Im zweiten Prozess ist die Pumpenergie gleich der Differenz zwischen der Enthalpieänderung des Wassers und der von der Entropie an die Umwelt abgeführten Energie. Airbus A340-300 Der Airbus A340 ist ein vierstrahliges Tiefdecker des europäischen Flugzeugherstellers Airbus. Die A340-300 der Swiss kann 228 Passagiere in einer Drei-Klassen-Konfiguration über eine Entfernung von 11'000 km befördern. Im Reiseflug (Geschwindigkeit 900 km/h) verbraucht jedes der vier Triebwerke des Typs CFM56-5C4 1780 Liter Treibstoff pro Stunde und erzeugt dabei einen Schub von 31 kN. 1. Wie viel Luft strömt im Reiseflug pro Sekunde auf den Fanquerschnitt (Duchmesser 1.84 m) zu? 2. Um welchen Betrag müsste diese nach hinten strömende Luft schneller gemacht werden, damit der Schub den Wert von 31 kN erreicht? 3. Wie viel Leistung muss dem Luftstrom dabei zugeführt werden? 4. Wie gross ist die "Heizleistung" (Reaktionsenthalpie pro Sekunde) des Triebwerkes? 5. Wie gross ist die Leistung der Schubkraft (gegen die als ruhend angenommene Luft)? Hinweise: • • 3 Ein Liter Kerosin hat eine Dichte von 0.8 kg/dm und einen Heizwert von 43 MJ/kg. In der Reisflughöhe von 11'000 km hat die Luft bei einer Temperatur von -56.5 °C eine Dichte 3 von 364 g/m . Entropie Enthalpie Energie Das Wort Wärme kann auf unterschiedliche physikalische Grössen angewendet werden. Deshalb findet man oft in Lehrbüchern und Skripten falsche Definitionen oder missverständliche Umschreibungen. Das sollte eigentlich nicht passieren, sind doch die Grössen Wärme, Entropie, Enthalpie und Energie exakt definiert. 1. 2. 3. 4. Wie lautet die offizielle Definition von Wärme? Was ist Entropie? Was versteht man unter innerer Energie? Was misst man mit der Enthalpie? 6 Thermodynamik - Aufgaben Haus isolieren Ein Haus aus den sechziger Jahren, das die Form eines Kubus (12 m lang, 8 m breit und 6 m hoch) hat, soll saniert werden. In den letzten Jahren hat man an einem grauen Wintertag (mittlere Aussentemperatur 0°C) 250 kWh elektrische Energie gebraucht, um die Innentemperatur des Hauses auf 20°C zu halten. Das Haus soll mit neuen Fenstern (40% der Fassadenfläche) ausgestattet 2 werden, die einen Wärmedurchgangskoeffizienten von nur 1 W/(K m ) haben. Die Backsteinmauer (27 cm Wandstärke) soll eine 20 cm Dicke Isolation aus Styropor erhalten und auf das Flachdach wird eine Pyramidendach gesetzt, das in der Mitte vier Meter hoch ist und im wesentlichen mit einer 15 cm dicken Schicht aus Steinwolle isoliert sein wird. 1. Wie gross ist der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient des bisherigen Gebäudes. 2. Wie stark werden die Energieströme sein, die an einem grauen Wintertag durch alle Fenster, durch die Mauer und das Dach wegfliessen. 3. Welchen Wert wird der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient beim sanierten Haus annehmen? Daten: Übergangskoeffizient innen Übergangskoeffizient aussen Wärmeleitfähigkeit Styropor Wärmeleitfähigkeit Steinwolle Wärmeleitfähigkeit Backstein 2 8 W/(m K) 2 25 W/(m K) 0.04 W/(m K) 0.04 W/(m K) 0.4 W/(m K) Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern Eine Wärmepumpe holt Wärme aus dem Grundwasser bei 4°C und gibt sie an Wasser von 54°C ab. Die Anlage wird als ideale Wärmepumpe mit vor- und nachgeschaltetem Wärmetauscher modelliert. Auf der Seite des Grundwassers hat der Wärmetauscher einen Wärmeleitwert von 1200 W/K; der zweite Wärmetauscher hat einen Wärmeleitwert von 1000 W/K. Damit das Grundwasser nicht zu stark abgekühlt wird, darf man ihm nur einen Energiestrom von maximal 15 kW entziehen. 1. Wie gross ist die Heizleistung der Wärmepumpe? 2. Wie gross ist die Entropieproduktionsrate in der ganzen Anlage? Erdwärme Die geothermische Tiefenstufe ist die Tiefe, in der sich die Erdkruste um ein Grad Celsius erwärmt. Die geothermische Tiefenstufe misst im Durchschnitt etwa 33 Meter, was einen Gradienten von 3 °C pro 100 Meter ergibt. Die aus dem Erdinnern abfliessende Energietromdichte (Stromstärke pro 2 Fläche) der Energie beträgt im Durchschnitt 0.065 W/m . 30% dieser Energie stammt aus dem sich abkühlenden Erdkern und 70% von den radioaktiven Elementen der Erdkruste. Nun machen wir ein einfaches Modell aus drei homogenen Teilen: die Erde habe einen Radius von 6400 km und besitze eine Kruste von 30 km Mächtigkeit, einem Mantel und einen 4500°C heissen Eisen-Nickel-Kern mit einem Durchmesser von 6800 km. 1. 2. 3. 4. Wie stark ist der gesamte Energiestrom, der durch die Erdoberfläche weg fliesst? Wie gross ist die Wärmeleitfähigkeit der Erdkruste? Wie hoch ist in diesem Modell die Temperatur zwischen Kruste und Mantel? Wie gross ist der Wärmeleitfähigkeit des Erdmantels? Iglu Das Iglu ist das Schneehaus der Inuit. Im Inneren des Iglus herrschen für Arktisbewohner durchaus angenehme Temperaturverhältnisse (in der Nähe des Gefrierpunktes), obwohl die Aussentemperatur 7 Thermodynamik - Aufgaben bis -50°C fallen kann. Als Wärmequellen wirken der menschliche Körper und das Qulliq (flache steinerne Öllampenschale). Steigt die Innentemperatur höher als etwa 5°C schmilzt der Schnee. Unser Iglu sei eine Halbkugel mit einem mittleren Durchmesser von 6 m. Die Gesamtleistung aller Wärmequellen betrage 800 W. 1. Wie dick muss die Hülle des Iglus gemacht werden, damit die Innentemperatur in einer langen Polarnacht (-50°C) nicht unter -10°C sinkt? 2. Welche Temperaturen weisen dann die Innen- bzw. die Aussenfläche der Igluhülle auf? 3. Wie sieht ein mögliches Systemdynamik-Modell für das Temperaturverhalten des Iglus aus? 4. Was passiert, wenn die Aussentemperatur in 20 Tagen von -10°C sinusartig auf -50°C absinkt? Daten: • • • • 3 Dichte von Eis 400 kg/m spezifische Wärmekapazität 2.1 kJ/(kg K) Wärmeleitfähigkeit 0.55 W/(mK) 2 Wärmeübergangskoeffizient 25 W/(m K) Auskühlender Kessel Ein zylinderförmiger Stahlkessel (Radius 4 m, Höhe 8 m) ist mit heissem Wasser der Temperatur 75°C gefüllt. Deckel und Boden sind sehr gut isoliert. Für die Kesselwand wird ein 2 Wärmedurchgangskoeffizient (inklusive Strahlung) von 45 W/(m K) angegeben. Die Aussentemperatur beträgt 30°C. 1. 2. 3. 4. Wie stark ist der Energiestrom, der zusammen mit der Entropie aus dem Kessel austritt? Wie gross ist die Entropieproduktionsrate? Wie lange dauert es, bis das Wasser auf 50°C abgekühlt ist? Wie gross wäre die Nettostrahlungsleistung der Kesselwand zu Beginn des Vorganges (bei einer Kesseltemperatur von 75°C), wenn die Wand ideal schwarz wäre? Hinweis: Der Kessel bildet bezüglich der Energie ein RC-Glied Satellit umkreist Sonne Ein kugelförmiger Satellit (Durchmesser 10 m) umkreist die Sonne (Durchmesser 1'391'000 km) im Abstand der Erde (149,6 Millionen Kilometer). Die Oberfläche des Satelliten besteht aus blankem Metall. Deshalb ist sein Emissionsvermögen zehnmal kleiner als das eines idealen Temperaturstrahlers. Vom einfallenden Sonnenlicht vermag der Satellit ebenfalls nur 10% zu absorbieren. Im Abstand der Erde hat der von der Sonne kommende Energiestrom eine Dichte von 2 1367 W/m . 1. Wie viele Tonnen Masse verliert die Sonne infolge ihrer Wärmestrahlung? 2. Wie heiss müsste die Sonne sein, wenn sie ein idealer Temperaturstrahler wäre? 3. Welche Temperatur stellt sich im langsam rotierenden Satelliten ein? Isochores Heizen Ideale Gase lassen sich heizen oder kühlen und drücken (komprimieren) oder entspannen (expandieren). Sowohl der Heiz- bzw. Kühlprozess als auch der Kompressions- bzw. Expansionsprozess können auf zwei verschiedene Arten geführt werden. So sind insgesamt vier verschiedene Prozessführungen möglich. 1. Wie heissen die vier Grundprozesse, denen ein homogenes Fluid unterworfen werden kann? 2. Wie muss der Carnotor geschaltet sein, damit isochores Heizen möglich ist? 3. Formulieren Sie die Energiebilanz zu einem beliebigen Zeitpunkt (Leistungsbilanz) für das isochore Heizen? 8 Thermodynamik - Aufgaben 4. Wie berechnet man die thermische zugeführte Energie (Wärme), wenn sowohl Anfangs- und Endtemperatur als auch Art und Menge des Stoffes bekannt sind? 5. Wie gross ist die Änderung der inneren Energie 6. Um wie viel ändert sich die Entropie? 7. Wie verläuft der Prozess im T-S-Diagramm? 8. Wie verläuft der Prozess im p-V-Diagramm? Hinweis: Das Verhalten des idealen Gases ist durch das universelle Gasgesetz entweder durch das energetische oder durch das entropische und Stoffgesetz bestimmt. Isobares Heizen Ideale Gase lassen sich heizen oder kühlen und drücken (komprimieren) oder entspannen (expandieren). Sowohl der Heiz- bzw. Kühlprozess als auch der Kompressions- bzw. Expansionsprozess können auf zwei verschiedene Arten geführt werden. So sind insgesamt vier verschiedene Prozessführungen möglich. 1. Wie heissen die vier Grundprozesse, denen ein homogenes Fluid unterworfen werden kann? 2. Wie muss der Carnotor geschaltet sein, damit isobares Heizen möglich ist? 3. Formulieren Sie die Energiebilanz zu einem beliebigen Zeitpunkt (Leistungsbilanz) für das isobare Heizen? 4. Wie berechnet man die thermische zugeführte Energie (Wärme), wenn sowohl Anfangs- und Endtemperatur als auch Art und Menge des Stoffes bekannt sind? 5. Wie gross ist die Änderung der inneren Energie 6. Um wie viel ändert sich die Entropie? 7. Wie verläuft der Prozess im T-S-Diagramm? 8. Wie verläuft der Prozess im p-V-Diagramm? Hinweis: Das Verhalten des idealen Gases ist durch das universelle Gasgesetz entweder durch das energetische oder durch das entropische und Stoffgesetz bestimmt. Isothermes Drücken Ideale Gase lassen sich heizen oder kühlen und drücken (komprimieren) oder entspannen (expandieren). Sowohl der Heiz- bzw. Kühlprozess als auch der Kompressions- bzw. Expansionsprozess können auf zwei verschiedene Arten geführt werden. So sind insgesamt vier verschiedene Prozessführungen möglich. 1. Wie heissen die vier Grundprozesse, denen ein homogenes Fluid unterworfen werden kann? 2. Wie muss der Carnotor geschaltet sein, damit isothermes Drücken möglich ist? 3. Formulieren Sie die Energiebilanz zu einem beliebigen Zeitpunkt (Leistungsbilanz) für die isotherme Kompression? 4. Wie berechnet man die mechanisch zugeführte Energie (Arbeit), wenn sowohl Anfangs- und Endvolumen als auch Art und Menge des Stoffes bekannt sind? 5. Wie gross ist die Änderung der inneren Energie 6. Um wie viel ändert sich die Entropie? 7. Wie verläuft der Prozess im T-S-Diagramm? 8. Wie verläuft der Prozess im p-V-Diagramm? Hinweis: Das Verhalten des idealen Gases ist durch das universelle Gasgesetz oder durch das entropische entweder durch das energetische Stoffgesetz bestimmt. 9 und Thermodynamik - Aufgaben Isentropes Drücken Ideale Gase lassen sich heizen oder kühlen und drücken (komprimieren) oder entspannen (expandieren). Sowohl der Heiz- bzw. Kühlprozess als auch der Kompressions- bzw. Expansionsprozess können auf zwei verschiedene Arten geführt werden. So sind insgesamt vier verschiedene Prozessführungen möglich. 1. Wie heissen die vier Grundprozesse, denen ein homogenes Fluid unterworfen werden kann? 2. Wie muss der Carnotor geschaltet sein, damit isentropes Drücken möglich ist? 3. Formulieren Sie die Energiebilanz zu einem beliebigen Zeitpunkt (Leistungsbilanz) für die isentrope Kompression? 4. Wie berechnet man die mechanisch zugeführte Energie (Arbeit), wenn sowohl Anfangs- und Endvolumen als auch Art und Menge des Stoffes bekannt sind? 5. Wie gross ist die Änderung der inneren Energie 6. Um wie viel ändert sich die Entropie? 7. Wie verläuft der Prozess im T-S-Diagramm? 8. Wie verläuft der Prozess im p-V-Diagramm? Hinweis: Das Verhalten des idealen Gases ist durch das universelle Gasgesetz entweder durch das energetische oder durch das entropische Stoffgesetz bestimmt. 10 und Thermodynamik - Aufgaben Lösungen Thermodynamik Fragen zur Energie 1. Die Energie übernimmt in der Physik der dynamischen Systeme die Rolle einer gebietübergreifenden Bilanzgrösse (Energie kann transportiert und gespeichert werden). Weil der umfassende Energiebegriff weder definiert noch aus theoretischen Überlegungen abgeleitet werden kann, sollte man solches schon gar nicht probieren. 2. In einem Prozess durchfliesst eine mengenartige Grösse (Masse, Volumen, elektrische Ladung, Impuls, Drehimpuls, Entropie oder Stoffmenge) eine zugehörige Potenzialdifferenz (Gravitationspotenzial, Druck, elektrisches Potenzial, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Temperatur, chemisches Potenzial). Die zugehörige Prozessleistung ist dann Potenzialdifferenz mal Stärke des durchfliessenden Mengenstromes. 3. Einem Mengenstrom kann bezüglich einer Referenzfläche ein Energiestrom zugeordnet werden. Die Stärke dieses zugeordneten Energiestromes ist gleich Potenzial auf der Referenzfläche mal Stromstärke der Menge. Im Gegensatz zur Prozessleistung hängt der Stärke zugeordnete Energiestrom von der Wahl des Potenzialnullpunktes ab. Den Begriff des zugeordneten Energiestromes braucht man unter anderem, um die Energieänderung eines Speichers zu rechnen. 4. Etwas salopp formuliert ist Arbeit die bezüglich eines Systems mechanisch ausgetauschte Energie. Arbeit ist demnach eine Austauschform der Energie bezüglich eines vorher umschriebenen und abgegrenzten Systems. Was bedeutet nun aber mechanisch (ist mechanisch eine Eigenschaft der Energie)? Das Attribut mechanisch weist darauf hin, dass diese Energie zusammen mit dem Impuls oder dem Drehimpuls ausgetauscht worden ist. Arbeit kann streng genommen nur über den Begriffen Kraft und Drehmoment definiert werden. Deshalb sollte man soweit wie möglich und zweckmässig nur von Arbeit einer Kraft oder Arbeit eines Drehmomentes reden. Die Leistung einer Kraft und die Leistung eines Drehmomentes entsprechen dann den zugeordneten Energieströmen (eine Kraft ist eine bezüglich des Systems gemessene Stärke des Impulsstromes, ein Drehmoment ein bezüglich des Systems gemessene Stärke des Drehimpulsstromes). 5. In der Physik ist Wärme die bezüglich eines Systems thermisch ausgetauschte Energie. Wärme ist demnach eine Austauschform der Energie bezüglich eines vorher umschriebenen und abgegrenzten Systems. Was bedeutet nun aber thermisch (ist thermisch eine Eigenschaft der Energie)? Das Attribut thermisch weist darauf hin, dass diese Energie zusammen mit dem Entropie ausgetauscht worden ist. Weil die in der Physik gebräuchliche Definition unseren Alltagsvorstellung von Wärme nicht entspricht, geistert viel Unsinn herum. Streng genommen müsste man Wörter wie Wärmespeicher, Wärmekapazität oder Wärmeerzeugung verbieten. 6. Arbeit, Wärme, elektrische und chemische Energie sind Austauschformen der Energie. Folglich kann keine dieser Grössen gespeichert werden. 7. Die in einem System gespeicherte Energie darf nicht in Formen eingeteilt werden. Die gespeicherte Energie heisst schlicht und einfach innere Energie des Systems. Bei den in der Mechanik eingeführten Energieformen handelt es sich streng genommen nicht um im System gespeicherte Energie. Die Bewegungsenergie eines Körpers, die in eine kinetische Energie und eine Rotationsenergie unterteilt werden kann, bezieht sich immer auf ein (materielles) Bezugssystem. Die kinetische Energie wird freigesetzt, wenn der Körper auf die gleiche Geschwindigkeit wie das Bezugssystem gebracht wird: beim Abbremsen gibt der zwischen Körper und Bezugssystem fliessende Impulsstrom die kinetische Energie frei. Die Rotationsenergie wird freigesetzt, wenn der Körper auf die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie das Bezugssystem gebracht wird: beim Abbremsen gibt der zwischen Körper und Bezugssystem fliessende Drehimpulsstrom die Rotationsenergie frei. Die potentielle Energie steckt dagegen im Gravitationsfeld (bzw. im elektromagnetischen Feld). Die potentielle Energie wird nur dem Körper zugerechnet, weil man der Gewichtskraft (bzw. der elektromagnetischen Kraft) üblicherweise keine Arbeit zuschreibt. 8. Albert Einstein hat 1905 folgendes geschrieben: Die Masse eines Körpers ist ein Mass für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um L, so ändert sich die Masse in demselben 20 Sinne um L/(9 10 ), wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird. Nach Einstein sind Masse und Energie zwei Wörter für die gleiche physikalische Grösse, d.h. Energie selber hat die Eigenschaft der Schwere und der Trägheit. Einstein hat also nicht behauptet, man könne aus Masse Energie produzieren oder Masse könne in Energie umgewandelt werden (man kann eine Grösse nicht in sich selbst umwandeln). Die von 11 Thermodynamik - Aufgaben Einstein formulierte Äquivalenz von Masse und Energie relativiert einige Aussagen zur Energie. Wenn man in umgangssprachlichen Formulierungen das Wort Energie durch den äquivalenten Begriff Masse ersetzt, erhält man Aussagen, die von den Dadaisten kaum schräger hätten formuliert werden können: Wärme ist eine Masseform; Masse ist Arbeitsvermögen; erneuerbare Massen waren lange Zeit eine energiewirtschaftliche Randerscheinung. 9. Kann Masse in verschiedene Formen umgewandelt werden? Die Physik der dynamischen Systeme nutzt den von Einstein geschaffenen Freiraum, um die Rolle der Energie klarer zu definieren. Die Begriffe Prozessleistung und zugeordneter Energiestrom widersprechen der von Einstein formulierten Äquivalenz von Masse und Energie nicht direkt, sie vereinfachen nur. Die Energie ist eine rein buchhalterische Grösse, die zusammen mit einer andern Menge transportiert und in einem System gespeichert werden kann. Der Energieträger legt die (Austausch-) Form der Energie fest. 10. Der fallende Körper tauscht mit dem Gravitationsfeld Impuls und Energie aus. Weil man die im Gravitationsfeld gespeicherte Energie dem Körper zuschreibt, muss man von einer Umwandlung reden (Umwandlung, Wandlung oder Transsubstantiation sind Begriffe aus der Philosophie oder Theologie und sollten in der Physik nur mit Vorsicht angewendet werden). 11. Energie ist nur dann Arbeitsvermögen, wenn sie in einem Prozess freigesetzt werden kann, wenn sie sich von einem Träger auf einen zweiten umladen lässt. Energie (Masse) ist nicht per se Arbeitsvermögen. Fragen zur Entropie 1. Um einen Liter Milch um 10°C zu erwärmen, muss man Energie (etwas 39 kJ) und Entropie (etwa 130 J/K) zuführen. Das Wort benötigen suggeriert aber etwas ganz anderes, nämlich einen Aufwand. Um die Milch von 5°C auf 15°C zu erwärmen, benötigt man gar nichts. Man nimmt sie einfach aus dem Kühlschrank und wartet. Um die Milch von 20°C auf 30°C aufzuwärmen, muss man sie dagegen aktiv heizen. 2. Eine Wärmepumpe fördert Entropie von draussen ins Haus hinein. Die dazu notwendige Energie ist mindestens gleich Entropie mal Temperaturdifferenz (Menge mal Pumphöhe). Die Elektroheizung produziert die Entropie vor Ort. Die dazu notwendige Energie ist gleich Entropie mal absolute Temperatur. Die Elektroheizung entspricht einer Wärmepumpe, welche die Entropie von Null Kelvin herauf pumpt. Ob eine Wärmepumpe ökologischer ist als eine Gasheizung kann man erst wissen, wenn man die ganze Prozesskette druchgerechnet hat (vielleicht ist es ökologischer das Gas im eigenen Keller statt im Gaskraftwerk zu verbrennen). 3. Je kälter der Kühlschrank eingestellt ist, desto mehr Wärme (Entropie und Energie) fliesst durch die Hülle in den Kühlschrank hinein und umso höher muss die Entropie nachher gepumpt werden. Die optimale Temperatur (Schutz der Nahrungsmittel versus Ökologie) beträgt um die 5°C. 4. Ein Bodenheizung gibt die Wärme (Energie und Entropie) über eine grosse Fläche ab. Entsprechend tief kann die Vorlauftemperatur der Heizung eingestellt werden. Die Wärmepumpe muss die Entropie so nicht sehr hoch hinauf pumpen und benötigt folglich entsprechend wenig Pumpenergie. 5. Ein Kernkraftwerk ist ein thermisches Kraftwerk, bei dem die Entropie mit Hilfe einer Kernstatt einer chemischen Reaktion produziert wird. Die im Reaktor erzeugte Entropie tritt über einen ersten Wärmetauscher in den Sekundärkreis ein, gibt dort einen Teil der mitgeführten Energie an die Turbine ab und fliesst dann über einen zweiten Wärmetauscher an den Kühlkreislauf ab. Die maximal mögliche Prozessleistung ist gleich Differenz der Temperaturen in den beiden Wärmetauscher mal Stärke des durchfliessenden Entropiestromes (Wasserfallbild). In Gösgen fliessen 3 GW Energie zusammen mit der Entropie aus dem Reaktor. Dieser Entropiestrom setzt im Sekundärkreis eine Leistung von etwa 1 GW frei. Wenn man nun den zugeordneten Energiestrom beim ersten Wärmetauscher mit der Prozessleistung im Sekundärkreis vergleicht, vermischt man Äpfel mit Birnen. Um die Effizienz eines Kernkraftwerkes zu vergrössern, müsste die Temperatur des Reaktors erhöht werden, was eine andere Technologie voraussetzt und nicht ganz harmlos ist. 6. Prozesse laufen in eine Richtung ab, weil dabei Entropie erzeugt wird. Könnte man Entropie vernichten, wäre die andere Richtung auch möglich: Pendel schwingen hin und her, weil die Entropieproduktion klein ist; der Strom in elektrische Schwingkreisen wird nur durch die Entropieproduktion in den Widerständen abgebremst. Bei irreversiblen Prozessen muss die Entropie nicht zwingend abnehmen: mischt man warmes und kaltes Wasser, bleibt die Energie erhalten (lauwarmes Wasser kann sich aber nicht von selbt in heisses und kaltes Wasser aufteilen, weil dabei Entropie vernichtet würde). Die Energie kann bei irreversiblen Prozessen sogar zunehmen: löst man Salz in Wasser auf, kühlt sich die Flüssigkeit ab und 12 Thermodynamik - Aufgaben nimmt aus der Umgebung Wärme (Energie und Entropie) auf. Die Energie der Lösung ist danach höher als die Energie des Wassers und des Salzes zusammen (endotherme Reaktion). 7. Drückt man ein Gas zusammen, verliert dieses einen Teil seiner Speicherfähigkeit für Entropie (volumenmässige oder latente Entropie). Weil die Luft in der Velopumpe die "verdrängte" Entropie nicht so schnell an die Umgebung abgeben kann, steigt die Temperatur (latente Entropie wandelt sich bei der Kompression eines Gases in aktuelle um; bei der Kompression eines Gases wird Entropie thermisch "hochgequetscht"). 8. Die Entropie fliesst immer vom wärmeren zum kälteren Körper, weil sie dabei zusätzlich Entropie produziert (mit der im thermischen Prozess freigesetzten Energie wird Entropie erzeugt). Der saunende Mensch kann sich dem Zufluss der Wärme (Entropie und Energie) nicht widersetzen. Um die zufliessende und die von seinem Körper zusätzlich produzierte Entropie dennoch abzuführen, benutzt der Mensch den "Verdunstungskanal". Flüssigkeit, die verdampft oder verdunstet, benötigt viel mehr Entropie als sie durch eine noch so irreversibel gestaltete Prozessführung produzieren kann. Folglich entzieht eine Flüssigkeit beim Übergang in den gasförmigen Zustand der Umgebung Entropie. Ohne zu schwitzen würde niemand einen Aufenthalt in der Sauna lange überleben. Da Hunde luftgekühlt sind, sollte man diese Tiere nicht unbedingt in die Sauna mitnehmen. 9. Die Erde strahlt gleich viel Energie in den Weltraum ab, wie sie von der Sonne bezieht. Energetisch befindet sich die Erde in einem Fliessgleichgewicht. Weil aber das absorbierte Sonnenlicht etwa 20 Mal weniger Entropie enthält als die in den Weltraum abgestrahlte Wärme, gibt die Erde mehr Entropie ab als sie aufnimmt. Bei diesen Mengen an umgesetzter Entropie fällt der von den Menschen produzierte Anteil kaum ins Gewicht. Milch kühlen Eine Wärmepumpe fördert Entropie aus einem kälteren in einen wärmeren Bereich. Weil reale Wärmepumpen selber Entropie produzieren, ist der Entropiestrom am Ausgang grösser als am Eingang. Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, ist hier von einer idealen Wärmepumpe die Rede. Solche Pumpen fördern nur Entropie, erzeugen selber aber keine. 1. Eine Wärmepumpe fördert Entropie. Folglich darf man eine Wärmepumpe auch als Entropiepumpe bezeichnen. Der zweite Satz der Aufgabenstellung könnte somit auch lauten: Eine Entropiepumpe, welche die Entropie reversibel von -3°C und 37° fördert, sorgt für eine konstante Temperatur des Kühlraums von 0°C. Mit Wärmekapazität ist weder die Entropiekapazität (falsche Einheiten) noch die Wärme im Sinne der Physik gemeint. In der Physik versteht man unter Wärme eine Austauschform der Energie. Weil die Kapazität eine Eigenschaft eines Speichers beschreibt, handelt es sich beim Wort Wärmekapazität eigentlich um ein Oxymoron. In der Regel ist mit Wärmekapazität die Änderung der Enthalpie eines Systems pro Temperaturänderung gemeint. 2. 6000 Kilogramm Milch, welche bei konstantem Druck um 20°C abgekühlt werden, geben 462 MJ (128 kWh) Energie in Form von Wärme ab. 3. Falls der Kühlraum die ganze Zeit genau 0°C warm ist, nimmt der Kühlraum MJ/K Entropie auf. =1.692 4. Die Wärmepumpe muss =1.711 MJ/K Entropie fördern. 5. Um 1.711 MJ/K Entropie über eine Temperaturdifferenz von 40 K zu fördern, benötigt die Wärmepumpe 68.4 MJ (19 kWh) Energie. 6. Die Wärmepumpe gibt 530 MJ Energie in Form von Wärme an die 300 K warme Umgebung ab. Die Entropie, die diese Energie in die Umgebung hinein trägt, hat einen Betrag von 1.768 MJ/K. Zählt man zu diesem Wert die Entropieverminderung der Milch von -1.605 MJ/K dazu, erhält man eine Gesamtproduktion von 163 kJ/K. Dampfmaschine Der Wirkungsgrad ist bei Wärmekraftmaschinen eine problematische Grösse. In der Regel vergleicht man eine Prozessleistung mit einem zugeordneten Energiestrom. 13 = Thermodynamik - Aufgaben 1. 500 g Steinkohle haben einen Heizwert von 15 MJ. Vergleicht man diesen Heizwert mit der abgegebenen Energie von 2.65 MJ (1 PSh), ergibt sich ein über alles Wirkungsgrad von 17.6%. 2. Ein Entropiestrom, der reversibel von 350°C auf 50°C hinunterfällt, setzt eine Prozessleistung frei, die gleich Stromstärke mal Temperaturdifferenz ist. Setzt man diese Prozessleistung ins Verhältnis zum zugeordneten Energiestrom bei der höheren Temperatur, erhält man = 48.2%. 3. Die Kohle verbindet sich während des Verbrennungsvorganges mit dem Sauerstoff der Luft. Dabei werden die Luft und auch die Bestandteile der Kohle auf hohe Temperatur gebracht. Die heissen Gas erwärmen danach das Wasser, verdampfen es (Nassdampf) und heizen den Dampf weiter auf (Heissdampf). Auch wenn dieser Heizprozess teilweise im Gegenstromverfahren abläuft (schon etwas ausgekühlte Abgase wärmen das Wasser vor und erzeugen den Nassdampf), fällt die Entropie thermisch hinunter, ohne Prozessleistung freisetzen zu können. Dabei wird nutzlos weitere Entropie produziert. Daneben gibt es noch weitere irreversible Prozesse (Wärmeleitung in den Metallteilen, mechanische Reibung) die zusätzlich Entropie erzeugen und den Wirkungsgrad weiter schmälern. 4. Bei Verbrennungsmotoren übernehmen die Abgase (Produkte des Verbrennungsvorganges) gleichzeitig die Funktion des Arbeitsmediums: Die Verbrennungsgase werden nahezu isentrop entspannt und geben dabei einen Teil ihrer inneren Energie in Form von Arbeit an den Kolben ab. Der Wirkungsgrad der Verbrennungsmotoren kann vergrössert werden, indem die Verbrennungstemperatur erhöht oder die Abgastemperatur beim Austritt aus dem Zylinder vermindert wird. Beide Möglichkeiten sind im Rahmen der technischen Möglichkeiten schon ziemlich stark ausgereizt. Wärmepumpe Jedem Entropiestrom kann bezüglich einer Referenzfläche ein Energiestrom zugeordnet werden. Der Energiestrom ist gleich absolute Temperatur bei der Referenzfläche mal Stärke des hindurch fliessenden Entropiestromes. 1. Die Wärmepumpe fördert Entropie aus der 273 K warmen Umgebung in das 308 K warme Wasser der Heizung. 1. Die notwendige Leistung ist gleich Heizleistung (thermisch zugeordneter Energiestrom am Ausgang) dividiert durch die Leistungszahl, was einen Wert von 2.67 kW ergibt. 2. Der thermische Energiestrom beim Eingang der Wärmepumpe hat eine Stärke von 9.33 kW (die Summe über alle Energieströme bezüglich des Systems Wärmepumpe muss im stationären Betrieb gleich Null sein). Dividiert man die beiden thermischen Energieströme durch die zugehörigen (absoluten) Temperaturen, erhält man einen Entropiestrom der Stärke 34.2 W/K am Eingang und einen Strom der Stärke 39 W/K am Ausgang. Die Produktionsrate beträgt somit 4.8 W/K. 3. Die minimale Pumpleistung bei gleicher Heizleistung stellt sich dann ein, wenn das System selber keine Entropie produziert. Für diesen idealen Prozess gilt = 1.36 kW. 2. Ideale (reversible) Prozesse werden aus historischen Gründen oft mit der Bezeichnung Carnot versehen. Mit Carnot-Leistungszahl ist eigentlich die Leistungszahl eines Carnot-Prozesses gemeint. Wer aber weiss, was Entropie ist und wie diese mit der Energie zusammenhängt, benötigt den ganzen historischen Ballast der klassischen Thermostatik nicht mehr. 1. Weil bei einem Carnot-Prozess keine Entropie erzeugt wird, gilt . 2. Die Temperatur am Eingang kann mit Hilfe der Carnot-Leistungszahl (Epsilon WC) berechnet werden . Ermittelt man mit dieser Formel aus der Graphik ein paar Zahlen, erhält man Werte in der Umgebung von 273 K (0°C). 14 Thermodynamik - Aufgaben 3. Der Wirkungsgrad, der diesen Namen auch verdient, ist gleich dem Quotienten aus realer und idealer Leistungsziffer 4. Mit steigender Temperatur sinkt der Wirkungsgrad (nicht nur die Leistungszahl) der Wärmepumpe ab. Der aus den graphisch gegebenen Werten zu ermittelnde Wirkungsgrad sinkt von 66% (bei 26°C) auf 52% (bei 57°C) ab. Reversibles Mischen Eine Wassermenge von 10 Kilogramm setzt 3.352 MJ Energie in Form von Wärme frei, falls sie von 80°C auf 0°C abgekühlt wird. Um 2 Kilogramm Eis zu schmelzen, benötigt man 668 kJ Energie. Nach dem fraglichen Mischvorgang ist folglich nur noch Wasser vorhanden. 1. Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 2.684 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder auf 32°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur von 32°C. Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen = 0. 2. Die produzierte Entropie ist gleich der aufgenommenen minus die abgegebene Entropie: = 967 J/K 3. Könnte man den Temperaturausgleich mit Hilfe einer idealen Wärmekraftmaschine herbeiführen, bliebe die Entropie erhalten = 0. Die Endtemperatur wäre dann gleich = 301.5 K (28.5°C). 4. Die von der Wärmekraftmaschine abgegebene Energie ist dann gleich der Enthalpieänderung des Wassers. =296 kJ. Diesen Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen . Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser. Bis Ende des 19. Jahrhunderts hat man Energie als Arbeitsvermögen bezeichnet. Albert Einstein konnte dann um 1905 zeigen, dass Energie und Masse gleichwertige Bezeichnungen für die gleiche physikalische Grösse sind (Masse und Energie sind äquivalent). Dieser scheinbare Widerspruch zwischen der alten und der neuen Vorstellung von Energie löst sich auf, wenn man zwischen zugeordnetem Energiestrom und Prozessleistung unterscheidet. Nur die in einem Prozess freigesetzte Energie darf als Arbeitsvermögen bezeichnet werden. Dies lässt sich nirgends so gut zeigen wie in der Thermodynamik. Überlässt man ein System sich selber, bleibt die Energie erhalten. Will man aber die maximale Energie im Sinne von Arbeitsvermögen gewinnen, muss man dafür sorgen, dass die Entropie erhalten bleibt. Kühlen von Wasser 1. Die pro Kilogramm abgegebene Wärmeenergie ist gleich der Änderung der spezifischen Enthalpie des Wassers = -753 kJ/kg. Diese Energie wird bei einer Temperatur von 243 K von der spezifischen Entropie = 3.1 kJ / (kg K) in die Wärmepumpe hinein transportiert. Die Pumpe muss dann pro Kilogramm mindestens 248 kJ Energie aufwenden, um diese Entropie um 80 K hinauf zu befördern. 2. Die spezifische Entropie des Wassers nimmt um = - 2.53 kJ /(kg K) ab. Diese Entropie nimmt 754 kJ/kg Energie mit, sobald sie an die Umgebung abgeführt wird. Vergleicht man diesen Wert mit der Änderung der spezifischen Enthalpie, ist kaum ein Unterschied auszumachen. Die Maschine arbeitet zuerst als Wärmekraftmaschine, bis das siedende Wasser auf 25°C abgekühlt ist. Danach muss sie die Wärme pumpen, bis 15 Thermodynamik - Aufgaben alles Wasser gefroren ist. Die im ersten Teilprozess freigesetzte Energie entspricht in etwa der für den zweiten Teilprozess aufzuwendenden Energie. Deshalb ist der totale, reversibel geführte Prozess von der umgesetzten Energie her gesehen ziemlich neutral. Wir beurteilen die Energie, die wir zum Heizen und Kühlen benötigen, eher im Sinne der zweiten Prozessführung. Um einen Körper wärmer oder kälter als die Umgebung zu machen, müssen wir Energie aufwenden. Kalte und heisse Milch, die auf den Küchentisch gestellt werden, nehmen dann von selbst die Temperatur der Umgebung an. Weil unsere Maschinen nicht ideal arbeiten und weil wir die Entropie zum Heizen meistens erzeugen statt pumpen, sind für uns Heizen und Kühlen nicht unbedingt symmetrische verlaufende Prozesse. In den Schulen wird die zum irreversiblen Erwärmen der Milch notwendige Energie oft im Physikunterricht berechnet. Die Frage nach dem Energieaufwand zum Kühlen der Milch scheint die meisten Physiklehrer dagegen kalt zu lassen. Wasser in Gefrierfach 1. Der Plastikbeutel mit Wasser gibt die Energie = -1.33 MJ in Form von Wärme ab. Diese = 5.3 kJ/K Entropie zur Wärmepumpe transportiert. Die Pumpe Wärme wird von muss dann mindestens = 249 kJ Energie aufwenden, um diese Entropie an die 25°C warme Umgebung abzuführen. 2. Im Vorgefrierfach "fällt" die vom Wasser abgegebene Entropie weniger tief hinunter als im Gefrierfach und nimmt deshalb entsprechend weniger stark zu. Die Wärmepumpe des Vorgefrierfaches muss die Entropie weniger hoch hinauf pumpen. Weniger Menge und weniger Pumphöhe erfordert aus zwei Gründen weniger Energie. Badewanne 1. Die zuzuführende Energie ist gleich der Änderung der Enthalpie des Wassers = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz. = 58.4 kJ/K. Um 2. Die von der Wärmepumpe bei 50°C abegebene Entropie ist gleich diese Entropie um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe Energie im Umfang von = 2.9 MJ oder 0.81 kWh. 3. Die Entropie des Wassers nimmt um = 62.8 kJ/K zu. Diese Entropie trägt eine = 17.8 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe Wärmeenergie von hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zur Enthalpieänderung, also W = ∆ H - Q = 1.09 MJ (0.3 kWh) aufbringen. 4. Die Enthalpie des Wassers ändert sich um = -15.1 MJ und die Entropie um = -515 kJ/K. Diese Entropie nimmt = 14.6 MJ Energie in Form von Wärme an die Umwelt mit. Die Differenz zwischen der Abnahme der Enthalpie und der Abwärme ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 51 kJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm). Eistee Wir berechnen hier nur die Entropie, die durch den Temperaturausgleich produziert wird. Enthält der Tee noch Zucker, wird durch die Diffusion des Zuckers ins Eiswasser zusätzlich Entropie erzeugt. 1. Die Enthalpie ändert sich um = 21.3 kJ - 19.3 kJ = 2.05 kJ. Diese Energie ist von der Umwelt in Form von Wärme zugeflossen. 2. Die Entropie des Tees hat um = 78.2 J/K - 66.2 JK = 12 J/K zugenommen. 16 Thermodynamik - Aufgaben 3. Weil die Umgebung eine Entropie von J/K produziert worden. = 7 J/K abgegeben hat, sind nur 5 Die Relevanz dieser Aufgabe sollte nicht überschätzt werden. Doch wieso darf sich in unserer Gesellschaft nur der Literat, der zufällig die Zusammensetzung des Lieblings-"Eistees" von Ernest Hemingway kennt (5 cl Rum, 1 cl Kirschlikör, 1 cl Grapefruitsaft und 2 cl Zitronensaft), erhaben fühlen? Sollte da der Ingenieur nicht auch Stolz darauf sein können, zu wissen, wie Energie und Entropie sauber zu bilanzieren sind? Eisturm 3 Eis hat eine Dichte von 917 kg/m . Die Eisturm hat somit eine Masse von 519 Tonnen. = -206 GJ ab. Diese 1. Die Enthalpie des Wassers nimmt um Energie muss bei -4°C in Form von Wärme an die Wärmepumpe abgeführt werden. Die Pumpe nimmt dabei = 765 MJ/K Entropie auf. Um diese Entropie über eine Temperaturdifferenz von 49 K hinauf zu fördern, braucht die Pumpe im Minimum 37.5 GJ (10.4 MWh) Energie. 2. Das Wasser ändert seine Entropie um = -751 MJ/K. Wird diese Entropie an die 38°C warme andalusische Luft abgeführt, nimmt sie 233 GJ Energie in Form von Abwärme mit. Die Wärmepumpe muss nur die Differenz zwischen dieser Abwärme und dem Betrag der Enthalpieänderung aufbringen: W = 233 GJ - 206 GJ = 27.7 GJ (7.6 MWh). Eine reale Wärmepumpe benötigt sicher mehr als doppelt so viel Energie, wie unter 1. berechnet worden ist. Zudem hätte man den Eisturm laufend kühlen müssen. Doch wie viel Energie hat wohl die Nationalrätliche Kommission für ihr Schulreisli an die Weltausstellung verpufft? Airbus A340-300 2 3 1. Auf den Fanquerschnitt von 2.66 m fliesst ein Volumenstrom der Stärke 665 m /s zu. Dies entspricht einem Massenstrom der Stärke 242 kg/s. 2. Die Geschwindigkeit ist die Impulsbeladung des Massenstromes (die Geschwindigkeit ist auch die Energiebeladung des leitungsartigen Impulsstromes). Um einem Massenstrom von 242 kg/s einen Impulsstrom der Stärke 31 kN zu entziehen, muss die Geschwindigkeit des Massenstromes um 31 kN / 242 kg/s = 128 m/s vermindert werden. Die Luft strömt folglich mit 378 m/s aus dem Triebwerk weg. 3. Die zuzuführende Leistung entspricht der Zuwachsrate der kinetischen Energie des Luftstromes = 9.7 MW. 4. Die "Heizleistung" eines Triebwerkes ist gleich Verbrennungsrate der Masse mal spezifische Reaktionsenthalpie, was hier 17 MW ergibt. 5. Die Leistung der Schubkraft ist gleich Kraft mal Geschwindigkeit, also gleich 31 kN * 250 m/s = 7.8 MW. Bemerkung: • • • Die dem Luftstrom zugeführte Leistung von 9.7 MW muss im Verbrennungsprozess freigesetzt werden. Das Verhältnis der vom Luftstrom aufgenommenen Leistung zur "Heizleistung" nennt man inneren Wirkungsgrad des Triebwerks. Der innere Wirkungsgrad beträgt hier 57%. Die Leistung der Schubkraft ist ein zugeordneter Energiestrom. Demnach hängt diese Leistung vom Bezugssystem ab. Als Bezugssystem wird die umgebende Luft genommen. Das Verhältnis der Leistung der Schubkraft zu der vom Luftstrom aufgenommenen Leistung heisst äusserer Wirkungsgrad. Der äussere Wirkungsgrad beträgt hier 80%. Steht das Flugzeug mit laufenden Triebwerken auf der Piste, ist der äussere Wirkungsgrad gleich Null. Der Gesamtwirkungsgrad berechnet sich aus dem Produkt aus innerem und äusserem Wirkungsgrad und ist hier gleich 46%. 17 Thermodynamik - Aufgaben Entropie Enthalpie Energie In der Thermodynamik versteht man unter Wärme die zusammen mit der Entropie über eine Systemgrenze hinweg transportierte Energie. Hinter dem umgangssprachlichen Wort Wärme versteckt sich dagegen häufig das Wort Entropie. Das lässt sich anhand einiger Beispiele zeigen Alltag Wärmeinhalt, Wärmespeicher Wärmekapazität Arbeit in Wärme umwandeln Durch Reibung entsteht Wärme Heizwärme Energie Entropie eine Austauschform ist nicht speicherbar Entropie ist sehr wohl speicherbar im Sinne von Aufnahmekapazität zulässig, aber unsinnig als Speicherkapazität Arbeit und Wärme sind zwei verschiedene Austauschformen Entropiekapazität ist ein sinnvoller Begriff Energie wird vom Impuls auf die Entropie umgeladen Energie kann nicht entstehen Durch Reibung entsteht Entropie Heizenergie ist eine reine buchhalterischer Grösse Ein Körper wird warm oder schmilzt, weil seine Entropie zunimmt 1. Wärme ist offiziell als die bezüglich eines Systems thermisch ausgetauschte Energie definiert, wobei meist offen gelassen wird, was das Wort thermisch bedeutet. 2. Entropie ist eine Primärgrösse wie Masse, elektrische Ladung, Impuls, Drehimpuls oder Energie, die nicht weiter erklärt werden kann. Entropie ist die Basisgrösse der Thermodynamik. Entropie ist die Grösse, die wir oft meinen, wenn wir Wärme sagen. In einem mikroskopischen oder atomaren Modell der Stoffe ist die Entropie über die Zustandssumme berechenbar. 3. Die innere Energie ist die Energie des ruhenden Systems. Nach Albert Einstein ist die innere Energie gleich Masse mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Weil dieser Wert viel zu gross ist, wird die innere Energie bei einem beliebigen aber vernünftig gewählten Zustand gleich Null gesetzt. 4. Der Begriff Enthalpie wird aus der Grösse innere Energie abgeleitet (die Enthalpie eines Systems ist gleich innere Energie des Systems plus Druck mal Volumen des Systems). Bei isobarer Prozessführung ist die Wärme (Zufuhr) gleich der Änderung der Enthalpie (Zustandsgrösse). Mit der Enthalpieänderung misst man unter anderem die beim isobaren Heizen zu- oder abgeführte Wärme (Wärme im Sinne der offiziellen Definition). Die Enthalpie ist das, was in vielen Lehrbüchern fälschlicherweise als Wärmeinhalt oder thermische Energie des Systems bezeichnet wird. Haus isolieren 2 2 2 Die Fassade misst 240 m (96 m Fenster, 144 m Mauerwerk, Türe wird vernachlässigt). Mit dem 2 2 Aufbau vergrössert sich die Dachfläche von 96 m auf 125.6 m . 1. Die Heizung liefert einen thermischen Energiestrom der Stärke 10.4 kW. Dividiert man diesen Wert durch die Temperaturdifferenz von 20°C, erhält man für den Wärmeleitwert der Hülle 520 2 W/K. Dies ergibt einen Wärmedurchgangskoeffizienten (U-Wert) von 1.55 W/(Km ). 2. Der Energiestrom durch die Fenster ist gleich Wärmedurchgangskoeffizient mal Temperaturdifferenz mal Fläche und beträgt 1.92 kW. Für die Fassade und das Dach muss der Wärmedurchgangskoeffizient zuerst berechnet werden, indem man die einzelnen Leitwerte pro Fläche reziprok zum reziproken Wärmedurchgangskoeffizienten 2 zusammenzählt. Der U-Werte der Mauer beträgt 0.17 W/(Km ) und der des Daches 0.26 2 W/(Km ). Bei einer Temperaturdifferenz von 20°C erhält man durch die neue Dachfläche einen Wärmestrom der Stärke 0.65 kW und durch das Mauerwerk 0.49 kW. 3. Durch die Hülle des sanierten Hauses fliesst ein Wärmestrom von 3.07 kW weg. Dies ergibt 2 einen mittleren Durchgangskoeffizienten von 0.42 W/(Km ). 18 Thermodynamik - Aufgaben Die hier durchgeführte Berechnung liefert nur eine erste Abschätzung. Vertikal stehende Wände haben infolge der Konvektion andere Übergangskoeffizienten als ein schief liegendes Dach. Zudem haben Wind und Luftfeuchtigkeit Einfluss auf den äusseren Wärmeübergang. Kanten und Ecken müsste man separat rechnen. Sobald die Sonne scheint, ist dieser Einfluss in die Energiebilanz mit einzubeziehen. Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern Dieses Modell einer Wärmepumpe besteht aus drei Teilen. In den beiden Wärmetauschern fliesst die Wärme von selbst von hoher zu tiefer Temperatur. Weil die Energie längs des Transportweges erhalten bleibt und die Entropie maximal zunimmt (total irreversibler Prozess), modelliert man die Wärmeleitung mit Hilfe der Energie. Der einfachste Ansatz (lineares Gesetz) ist hier hinreichend genau Im mittleren Teil, der eigentlichen Wärmepumpe, wird die Entropie thermisch hinauf gepumpt. In einer idealen Wärmepumpe bleibt die Entropie erhalten. Die von der Wärmepumpe zu erbringende Prozessleistung ist gleich Das Bild zeigt die drei Prozesse: • • • erster Wärmetauscher: Energie bleibt erhalten, Entropie nimmt maximal zu ideale Pumpe: Entropie bleibt erhalten, Energie muss zugeführt werden zweiter Wärmetauscher: Energie bleibt erhalten, Entropie nimmt maximal zu Der durch den ersten Wärmetauscher fliessende Energiestrom legt die untere Temperatur bei der Wärmepumpe fest oder = 264.5 K Der bei der idealen Wärmepumpe ankommende Entropiestrom hat demnach eine Stärke von (zugeordneter Energiestrom durch Potenzial gleich Stärke des Trägerstromes) = 56.7 W/K Am Ausgang der Wärmepumpe nimmt dieser Entropiestrom einen Energiestrom mit, der gleich Entropiestromstärke mal die dort herrschende, absolute Temperatur (T2) ist. Kombiniert man diese Aussage mit dem Wärmeleitungsgesetz für den zweiten Wärmetauscher, erhält man die folgende Gleichung Diese Gleichung liefert bei einer Umgebungstemperatur (TU) von 327 K eine Ausgangstemperatur bei der idealen Wärmepumpe von 346.7 K. Multipliziert man diesen Wert mit der Stromstärke der gepumpten Entropie, erhält man einen zugeordneten Energiestom von 19.66 kW. Dieser Energiestrom geht ungehindert als Heizleistung an die 54°C warme Umgebung weg. Die Entropieproduktionsrate des ganzen Systems ergibt sich aus der Differenz der beiden Entropiestromstärken 19 Thermodynamik - Aufgaben = 5.97 W/K Erdwärme 14 1. Unsere Modellerde hat eine Oberfläche von 5.15 10 13 Energiestrom der Stärke 3.35 10 W (33.5 TW). 2 m . Durch diese Oberfläche fliesst ein 2. Die Wärmeleitfähigkeit ist gleich Energiestromdichte durch Temperaturgradient = 2.15 W/(m K). 3. In einer groben Vereinfachung verteilen wir die radioaktiven Wärmequellen auf eine Fläche in der Mitte der Erdkruste (15 km unter der Erdoberfläche). Dann fliesst durch den äusseren Teil 2 der Erdkruste auf einer Länge von 15 km eine Energiestromdichte von 65 mW/m und durch den inneren Teil auf einer Länge von ebenfalls 15 km eine Energiestromdichte von19.5 2 mW/m (30% der totalen Energiestromdichte), was für die ganzen Erdkruste eine totale = 606 K Temperaturdifferenz von ergibt. Nimmt man eine Oberflächentemperatur von gegen 300 K an, ergibt sich für die Oberfläche des Erdmantels eine Temperatur von 900 K oder etwa 630°C. 13 4. Durch den Erdmantel fliesst ein Energiestrom von 10 W bei einer Temperaturdifferenz von 9 3900 K. Der mittlere Wärmeleit des Erdmantels beträgt demnach 2.57 10 W/K. Um die mittlere Leitfähigkeit des Erdmantels zu berechnen, können nun verschiedene Modellannahmen getroffen werden. Im ersten Modell nimmt man als Querschnitt einmal die Aussenfläche und einmal die Innenfläche des Erdmantels und mittelt danach die beiden Leitfähigkeiten. Im zweiten Modell rechnet man mit dem mittleren Querschnitt des Erdmantels, modelliert den Erdmantel aber immer noch als prismatischen Körper. Im dritten Modell setzt man die geometrische exakte Formel für eine homogene Kugelschale an. 1. Modell: = 15 W/(m K) oder 52.6 W/(m K); λ = 33.8 W/(m K) 2. Modell: = 25.5 W/(m K) 3. Modell: = 28.1 W/(m K). Iglu Wir vernachlässigen den Umstand, dass bei einer Hohlkugel die Innenfläche kleiner als die 2 Aussenfläche ist. Das Iglu hat somit eine Wandfläche von von 56.6 m , was bei einem Energiestrom von 800 W eine Energiestromdichte von jW = 14.15 W ergibt. 1. Der Wärmedurchgangskoeffizient der Iglu-Wand darf nicht grösser als Energiestromdichte dividiert durch Temperaturdifferenz sein, also gleich 2 = 0.354 W/(m K). Dies ergibt eine Wandstärke von = 1.5 m . 2. In den beiden Übergängen zwischen Luft und Schnee fällt die Temperatur entlang des = 0.56 K ab. Die Innenfläche des Iglus ist demnach etwa Wärmestromes um je gleich warm wie der Innenraum und die Aussenfläche nimmt praktisch die Aussentemperatur an. Offensichtlich ist beim Iglu - im Gegensatz zu einer Tasse mit heissem Tee - das Material und nicht die Oberfläche für die Wärmedämmung verantwortlich. 3. Zur Modellierung zerlegen wir das Iglu in vier Energiespeicher (Innenraum und drei Schneeschichten). Die Wärmeleitung erfolgt dann über vier Leitwerte (Übergang plus ein Sechstel der Schneeschicht, zwei Mal ein Drittel der Schneeschicht und nochmals ein Sechstel der Schneeschicht plus Wärmeübergang). Die Speichergrösse nennen wir H für 20 Thermodynamik - Aufgaben Enthalpie. Der Innenradius messe 2.25 m und der Aussenradius 3.75 m. Die Kapazität des Innenraums kann nur grob geschätzt werden, weil der Boden ebenfalls kapazitiv wirkt. 4. Das untenstehende Diagramm zeigt den Temperaturverlauf aussen, innen und in den drei Schneeschichten. Offensichtlich wirkt die Hülle des Iglus stark dämpfend. Zudem läuft die Innentemperatur phasenverschoben der Aussentemperatur nach. Weil es draussen anfänglich zu warm (-10°C) gewesen ist, steigt die Innentemperatur zuerst an. Das Iglu ist zu stark isoliert, weil die Dämmung auf die tiefste Temperatur ausgelegt worden ist. Auskühlender Kessel 1. Der Wärmedurchgangskoeffizient entspricht dem Wärmeleitwert pro Fläche. Multipliziert man den gegebenen Wärmedurchgangskoeffizienten mit der Mantelfläche des Kessels, ergibt sich ein Wärmeleitwert von 9 kW/K. Folglich fliesst bei einer Temperaturdifferenz von 45°C ein thermischer Energiestrom der Stärke 407 kW aus dem Kessel. 2. Der zugeordnete Energiestrom bleibt längs des Transportweges erhalten. Deshalb nimmt die Stärke des Entropiestomes zu. Die Entropie-Produktionsrate ist gleich der Differenz der beiden Entropieströme, die bei verschiedenen Temperaturen den gleichen Energiestrom transportieren = 174 W/K. 5 3. Die Zeitkonstante ist gleich = 1.86 10 s. Löst man die Funktion für den Entladevorgang des RC-Gliedes man nach der gesuchten Zeit auf, erhält 5 = 1.51 10 s. 21 Thermodynamik - Aufgaben 4. Der Nettostrahlung beträgt = 71.1 kW. Befände sich der Kessel in einem evakuierten Raum, würde er die Wärme mindestens sechs Mal langsamer abgeben. Satellit umkreist Sonne 23 1. Legt man eine Kugel im Abstand der Erde um die Sonne, hat diese eine Fläche von 2.81*10 2 m . Multipliziert man diesen Wert mit Energiestromdichte (Solarkonstante) von jW = 1367 2 W/m , erhält man für den von der Sonne abgegebenen Energiestrom eine Stärke von 26 9 3.85*10 Watt. Daraus folgt nach Albert Einstein ein Massenstrom der Stärke 4.27*10 kg/s. Die Sonne führt demnach pro Sekunde etwa 4.3 Millionen Tonnen Masse in Form von Wärmestrahlung in den Weltraum ab! 2. Vernachlässigt man die Rückstrahlung des 3 K kalten Weltraumes und modelliert die Sonne als idealen Temperaturstrahler, gilt oder 3. Im stationären Prozess lautet die Energiebilanz bezüglich des Satelliten = 5'779 K. . Weil die Absorptions- (α) und die Emissionszahl (ε) gleich gross sind, heben sie sich wie auch der Radius des Satelliten aus der Gleichung für die Energiebilanz weg. Die Temperatur des Satelliten ist damit gleich oder etwa 6°C. = 279 K Ein kurzer Auszug aus einem "Reisebericht" zu Apollo 13 zeigt, dass die Verhältnisse doch nicht ganz so einfach sind (Aquarius war der Name der Mondlandefähre, Odyssey hiess die Kommandokapsel): Die nächsten 50 Stunden wurden für die Astronauten zermürbend. "Aquarius" war kaum geräumiger als eine Telefonzelle. An der sonnenzugewandten Aussenseite stieg die Temperatur auf plus 120 Grad Celsius, auf der abgewandten Seite herrschten minus 130 Grad. Korrekturdüsen versetzten Apollo 13 in den "barbecue roll", einen langsamen Dreh um die Längsachse. Heizung und Ventilatoren waren abgestellt. Im Innern sank die Temperatur auf elf Grad in "Aquarius" und drei Grad in "Odyssey". Schwitzwasser bildete sich an den Wänden und auf den Instrumententafeln. Die Luft war kalt, abgestanden und feucht. Isochores Heizen 1. Ein homogenes Fluid kann isochor und isobar geheizt oder gekühlt werden. Zudem lässt es sich isentrop oder isotherm komprimieren oder expandieren. 2. Beim isochoren Heizen muss der hydraulische Port geschlossen sein. 3. Der thermisch zugeführte Energiestrom entspricht der Änderungsrate der inneren Energie . 4. Die Wärme ist gleich der Änderung der inneren Energie 5. Diese Frage hat sich mit der letzten Antwort erledigt. 6. Die Entropie ändert sich um 7. Löst man die Formel für die Änderung nach der Temperatur auf, erhält man die folgende T-SFunktion , wobei T1 die Anfangstemperatur und T2 die steigende Temperatur ist. ∆ S ist der Entropiezuwachs bezogen auf den Startpunkt. Im T-S-Diagramm erscheint das isochore Heizen als Stück einer Exponentialfunktion. 8. Der Prozess erscheint im p-V-Diagramm als vertikale Linie. Isobares Heizen 1. Ein homogenes Fluid kann isochor und isobar geheizt oder gekühlt werden. Zudem lässt es sich isentrop oder isotherm komprimieren oder expandieren. 2. Beim isobaren Heizen muss der hydraulische Port mit der Umgebung kurz geschlossen sein, damit der Druck konstant bleibt. 22 Thermodynamik - Aufgaben 3. Der thermisch zugeführte Energiestrom entspricht der Änderungsrate der Enthalpie . 4. Die Wärme ist gleich der Änderung der Enthalpie 5. Die Änderung der inneren Energie ist kleiner als die zugeführte Wärme 6. Die Entropie ändert sich um 7. Löst man die Formel für die Änderung nach der Temperatur auf, erhält man die folgende T-S, wobei T1 die Anfangstemperatur und T2 die steigende Funktion Temperatur ist. ∆ S ist der Zuwachs an Entropie bezogen auf den Startpunkt. Im T-SDiagramm erscheint das isobare Heizen als Stück einer Exponentialfunktion. Diese Kurve verläuft aber flacher als beim isochoren Heizen, weil das Gas neben der sensiblen (fühlbaren) Entropie auch noch latente (thermisch nicht aktive) Entropie aufnimmt. 8. Der Prozess erscheint im p-V-Diagramm als horizontale Linie. Isothermes Drücken 1. Ein homogenes Fluid kann isochor und isobar geheizt oder gekühlt werden. Zudem lässt es sich isentrop oder isotherm komprimieren oder expandieren. 2. Beim isothermen Drücken muss der thermische Port mit der Umgebung kurz geschlossen sein, damit die Temperatur konstant bleibt. 3. Der mechanisch (hydraulisch) zugeführte Energiestrom entspricht dem thermisch abgeführten, weil sich die innere Energie des idealen Gases bei konstanter Temperatur nicht ändert . 4. Die Arbeit ist gleich der Fläche unter dem p-V-Diagramm . 5. Die innere Energie des idealen Gases ändert sich bei konstanter Temperatur nicht. 6. Die Entropie ändert sich um 7. Im T-S-Diagramm erscheint die isotherme Kompression als horizontale Linie. 8. Der Prozess verläuft im p-V-Diagramm entlang einer Hyperbel, weil bei der isothermen Kompression das Produkt aus Volumen und absolutem Druck konstant bleibt. Isentropes Drücken 1. Ein homogenes Fluid kann isochor und isobar geheizt oder gekühlt werden. Zudem lässt es sich isentrop oder isotherm komprimieren oder expandieren. 2. Beim isoentropen Drücken muss der thermische Port geschlossen sein, damit die Entropie nicht abfliessen kann. 3. Der mechanisch (hydraulisch) zugeführte Energiestrom ist gleich der Änderungsrate der inneren Energie . 4. Die Arbeit entspricht der Fläche unter dem p-V-Diagramm und ist gleich der Änderung der inneren Energie , wobei sich die Temperaturänderung aus der Volumenänderung durch folgende Beziehung berechnet 5. Die Änderung der inneren Energie ist - wie schon gesagt - gleich der mechanisch zugeführten Energie, die man Arbeit nennt 6. Die Entropie ändert sich nicht. Deshalb heisst dieser Prozess isentrop 7. Der Prozess erscheint im T-S-Diagramm als vertikale Linie. 8. Der Prozess erscheint im p-V-Diagramm als Kurve, die den Ausdruck 23 konstant lässt.
