Lösungen 12 - Fakultät für Physik

Ludwig–Maximilians–Universität München – Fakultät für Physik
.
E1 – Mechanik
Übungsblatt 12
WS 2014 / 2015
Prof. Dr. Hermann Gaub
Aufgabe 1 Dopplereffekt
Eine mit ν = 440Hz schwingende Stimmgabel wird in einen tiefen Schacht geworfen. Wie
weit ist die Stimmgabel gefallen, wenn oben eine Frequenz zu hören ist, die sich um 10% von der
ursprünglichen Frequenz unterscheidet? Die Schallgeschwindigkeit ist c = 340 m
s.
Lösungsvorschlag:
Formel für den Dopplereffekt: νE = νS 1+1 u .
c
Somit ist die Geschwindigkeit der Stimmgabel (bei 10% Unterschied der Frequenzen) u =
( ννES − 1)c = 37, 8m. Die Stimmgabel befindet sich im freien Fall, also gilt für die Geschwindigkeit v(t) = gt und somit für die Fallzeit tf = ug = 3, 85s. Die zurückgelegte Strecke ist:
s(tf ) = 12 gt2f = 72, 7m. Nun muss noch die Zeit berücksichtig werden, die der Schall benötigt, um
oben beim Empfänger anzukommen: tS = sc = 72,7m
= 0, 21s. Also wird die gesuchte Frequenz
340 m
s
nach t = tf + tS = 4, 06s beim Empfänger registriert, dabei ist die Stimmgabel 81m tief gefallen.
Aufgabe 2 Wellen, Interferenz und Schwebung
a) Zwei voneinander entfernte Schallquellen mit einer Frequenz von 100 Hz schwingen synchron
in Phase. An einem Punkt, der 5,00 m von der einen und 5,85 m von der anderen Quelle
entfernt ist, haben die Amplituden der von den einzelnen Quellen erzeugten Schallwellen
jeweils den Wert A. Bestimmen Sie die Phasendifferenz der beiden Schallwellen und die
Amplitude der resultierenden Welle an diesem Punkt.
b) Zwei voneinander entfernte Lautsprecher senden Schallwellen mit derselben Frequenz aus,
aber mit einem Phasenunterschied von 90◦ vom ersten zum zweiten Lautsprecher. Es sei r1
der Abstand eines bestimmten Punktes vom ersten und r2 der Abstand desselben Punktes
vom zweiten Lautsprecher. Bestimmen Sie (in Bruchteilen der Wellenlänge) den kleinsten
Wert von r2 − r1 , bei dem die Amplitude an diesem Punkt maximal oder minimal wird.
c) Zwei Lautsprecher seien 6,00 m voneinander entfernt. Ein Hörer sitze im Abstand von 8,00
m vor einem der Lautsprecher, wobei die Lautsprecher und der Hörer ein rechtwinkliges
Dreieck bilden. Berechnen Sie die beiden kleinsten Frequenzen, für die der Wegunterschied
von den Lautsprechern zum Hörer eine ungerade Anzahl halber Wellenlängen beträgt.
Warum hört er diese Frequenzen, selbst wenn die Lautsprecher in Phase schwingen?
d) Zwei Geiger stehen zwei Schritte voneinander entfernt und spielen dieselbe Note. Gibt es Orte
im Raum, an denen bestimmte Töne durch destruktive Interferenz nicht wahrgenommen
werden können? Erklären Sie!
1
n = 0, ±1, ±2, ... Der kleinste Wert von (r2 ­
== auf. Dann ist r2 - rl == )./4.
b) Bei einem Minimum ist fJ == (2 n - 1) 1f mit
n == 0,±1,±2, ... Das ergibt T2 - rl = ).(nDamit tritt der kleinste Betrag von (T2 - rI) für
r2-rl = -)./4 auf, und der kleinste positive Wert
ist T2 - rl == 3 ),/4.
rd tritt für n
°
t).
Lösungsvorschlag:
2c)
v~ '3ltO m/s
Der Wegunterschied am fraglichen
Punkt ist ~x == 0,85 lll. Die Wellenlänge des
Schalls ist). == v/v == 3,4 m == 4~x. Damit
ist die Phasendifferenz fJ = 2 7l" ~x /). == 7l" /2
90°.
Die resultierende Amplitude ist Ar ==
2 A cos ~fJ == 2 A cos 7l" /4 = J2 A.
2 Q)
J
-
Die Hypothenuse des rechtwinkligen
Dreiecks, das die Lautsprecher und der Hörer bil­
den, ist 10m lang. Damit ist der Wegunterschied
~x == 2 m. Wir nehmen an ~x == ),/2; dann ist
). == 4 m, und die Frequenz ist v == v /). == 85 Hz.
Das nächste ungeradzahlige Vielfache von >'/2 ist
~x = 3 >./2; also ist). = (4/3) mund 1/ == 255 Hz.
9 Etwas Schall wird aus mehreren Gründen doch
zu hören sein. So sinkt die Schall-Intensität mit
b)
Wir schreiben die beiden Wellen als Yl =
Al sin(kx - wt + 1f/2) und Y2 == A 2 sin(kx - wt).
Su btraktion der Argumente der Sinusfunktionen
ergibt die Phasendifferenz zwischen den Wellen
zu k (r2 - rl) - 7l" /2 == fJ bzw. r2 - rl == ). [{;/ (211")
+ ~]. a) Bei einem Maximum ist {; == n 21f mit
n = 0, ±1, ±2, ... Der kleinste Wert von (r2 ­
rd tritt für n ==
auf. Dann ist r2 - rl == )./4.
b) Bei einem Minimum ist fJ == (2 n - 1) 1f mit
n == 0,±1,±2, ... Das ergibt T2 - rl = ).(nDamit tritt der kleinste Betrag von (T2 - rI) für
r2-rl = -)./4 auf, und der kleinste positive Wert
ist T2 - rl == 3 ),/4.
°
t).
dem Abstand, und sie hängt auch vom Wjnkel des
Schalls gegen den Lautsprecher ab. Zudem wird
auch etwas Schall von den Wänden reflektiert, so
daß insgesamt verschiedene Wegunterschiede vor­
liegen.
:2cJ ) Allgemein
wird die Auslöschung des
Schalls nicht total sein. Die Geigen bringen keine
kohärenten Wellen hervor, so daß sich die Phasen­
differenz mit der Zeit ändert. Außerdem werden
Reflexionen an den Wänden oder Gegenständen
im Raum verschiedene Wegunterschiede erzeu­
gen; dadurch kann selbst im Falle konstanter Pha­
sendifferenz keine totale Auslöschung eintreten.
2c)
Aufgabe 3 ideale
Gase
Die Hypothenuse
des rechtwinkligen
Dreiecks, das die Lautsprecher und der Hörer bil­
den,
ist 10m
lang. Damit ist
der Wegunterschied
a) Welche
Eigenschaften
kennzeichnen
das ideale Gas?
~x == 2 m. Wir nehmen an ~x == ),/2; dann ist
== 4 m, Sie
und aus
die Frequenz
ist v == v /). == 85für
Hz.ideale Gase her:
b)). Leiten
der Zustandsgleichung
Das
nächste
ungeradzahlige
Vielfache
von
>'/2
ist
i) das Gesetz von Boyle-Mariotte (isotherm:
T = const),
~x
=
3
>./2;
also
ist).
=
(4/3)
mund
1/ == 255 Hz.
ii) das Gesetz von Gay-Lussac (isobar: p = const),
9 iii)
Etwas Schall wird aus mehreren Gründen doch
das Gesetz von Amontons (isochor: V = const)
zu hören sein. So sinkt die Schall-Intensität mit
c)dem
Warum
kann
alsdes
ideales Gas beschrieben werden?
Abstand,
undflüssiges
sie hängt Wasser
auch vomnicht
Wjnkel
Schalls gegen den Lautsprecher ab. Zudem wird
auch etwas Schall von den Wänden reflektiert, so
Lösungsvorschlag:
daß insgesamt verschiedene Wegunterschiede vor­
liegen.
a) Die Gasteilchen haben kein Eigenvolumen, der Teilchenabstand ist sehr viel größer als die
Teilchengröße, Wechselwirkungen werden nur durch elastische Stöße beschrieben (nicht
Allgemein wird die Auslöschung des
durchnicht
Kräfte
den Teilchen),
die Teilchen folgen einer statistischen GeschwindigSchalls
totalzwischen
sein. Die Geigen
bringen keine
keitsverteilung
(der
sog.
Maxwell-Boltzmann-Verteilung)
kohärenten Wellen hervor, so daß sich die Phasen­
:2cJ )
differenz mit der Zeit ändert. Außerdem werden
Reflexionen an den Wänden oder Gegenständen
b)imIdeale
pV = N kB T erzeu­
Raum Gasgleichung:
verschiedene Wegunterschiede
i) dadurch
Ist T =kann
const
⇒N
const ⇒Pha­
pV = const ⇒ p = N kVB T ⇒ p ∼ V −1
gen;
selbst
imkFalle
konstanter
BT =
N
k
B
sendifferenz
totale
ii) Ist p =keine
const
⇒ Auslöschung
= consteintreten.
⇒ V = N kB T ⇒ V ∼ T
iii) Ist V = const ⇒
p
N kB
V
= const ⇒ p =
p
N kB
V T
2
⇒p∼T
c) Teilchen wechselwirken auch ohne Stöße (Dipole), Teilchengröße ist nicht viel kleiner als
Teilchenabstand
Schätzung des Abstandes (nicht gefragt):
M (H2 O) = 18u = 29, 88 · 10−27 kg, 1l = 1dm3 = 1024 nm3
1kg
25
Anzahl der Atome pro kg: 29,88·10
−27 kg = 3, 347 · 10
1l Wasser wiegt ca. 1kg, in einem kg Wasser sind 3, 347 · 1025 Moleküle. Nun teilen wir das
Volumen in Würfel um die einzelnen
Atome auf:
p
1024 nm3
3 ⇒ a = 3 0, 029nm3 = 0, 310nm
=
0,
029nm
3,347·1025
Der Abstand ist also nur unwesentlich größer als die Teilchengröße (rW asser = 0, 14nm)
Aufgabe 4 Ballonfahrt
Welche Höhe erreicht ein Ballon mit einem konstanten Volumen von V = 500m3 der mit Hekg
lium (Dichte: ρHe = 0, 179 m
3 ) gefüllt ist und eine Masse von m = 350kg trägt? (Die Temperatur
sei über den gesamten Aufstieg konstant)
Lösungsvorschlag:
Nach der barometrischen Höhenformel gilt: p = p0 e
−
ρ0 gh
p0
. Da die Temperatur konstant ist,
−
ρ0 gh
ist weiterhin p ∼ ρ und deshalb gilt für die Auftriebskraft: FA = ρV g = ρ0 V ge p0 .
Die maximale Höhe ist die Gleichgewichtshöhe, an der Schwerkraft und Auftriebskraft betragsmäßig gleich groß sind. Somit gilt:
ρ0 V ge
−
ρ0 ghmax
p0
= mg + ρHe V g
ρ0 ghmax
ρ0
⇒ e p0
= m
V + ρHe
ρ0 gH
ρ0
⇒
= ln m
p0
V + ρ0
p0
ρ0
= 3046m
⇒ hmax =
ln m
+
ρHe
ρ0 g
V
3