Seminar vom 21. 04. 2008. Aufgabenblatt 02

Übungsblatt 02
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik
24.04.2008
Aufgaben
1. Berechnen Sie, ausgehend vom Coulomb-Gesetz, das elektrische Feld um einen geladenen Draht (Linienladungsdichte λ = lim ∆q
∆s ). Der Draht sei unendlich lange und liege auf der x-Achse.
∆s→0
2. Die Ladungen +Q0 seien bei x = x0 · (4n + 1) ,
Die Ladungen −Q0 seien bei x = x0 (4n − 1) ,
nZ
nZ
Berechnen Sie das elektrische Feld bei x = 0.
3. Im Abstand D sind an zwei isolierten massefreien Fäden der Länge ` zwei identische Kugeln aus einem
Material der Dichte ρ und dem Durchmesser d aufgehängt. Die eine Kugel wird mit der Ladung q1 versehen,
die zweite mit q2 . In welchen Winkeln α1 und α2 stehen die beiden Kugeln von der Senkrechten ab?
2
kg
m
−12 C , ` = 0, 2m,
Lösen Sie mit den Werten ρ = 103 m
3 , g = 9, 81 s2 , d = 5mm, D = 0, 05m, ε0 = 8, 85 · 10
m2 N
q1 = 10nC und q2 = 18nC die Gleichung grafisch nach α1 auf!
4. An den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit 7 mm Kantenlänge befinden sich drei negative Ladungen von
|q| = 60nC.
(a) Berechnen Sie Betrag und Richtung der Kräfte, die auf die Ladungen an den Ecken wirken.
(b) Wie gross muss eine in der Mitte des Dreiecks angebrachte Ladung sein, damit die Ladungen an den
Ecken kräftefrei sind?
5. An den Ecken eines gleichseitigen Tetraeders mit 8 mm Kantenlänge befinden sich vier positive Ladungen
von |q| = 50nC.
(a) Berechnen Sie Betrag und Richtung der Kräfte, die auf die Ladungen an den Ecken wirken.
(b) Wie gross muss eine in der Mitte des Tetraeders angebrachte Ladung sein, damit die Ladungen an den
Ecken kräftefrei sind?
~ = 1 · 105 V ein Drehmoment
6. Auf einen elektrischen Dipol wirkt in einem homogenen elektrischen Feld |E|
m
von |T~ | = 5zN m (Tip: machen sie sich über Einheitenvorsätze kundig!). Der Dipol steht in einem Winkel
von α = 0.6 zum elektrischen Feld. Welchen Abstand haben die Ladungen des Dipols voneinander, wenn es
sich um einfache Elementarladungen handelt?
7. Im Gebiet r < r0 um dem Nullpunkt ist die Ladungsdichte durch ρel = Ar gegeben. Berechnen Sie die
Ladung im gegebenen Gebiet. In Kugelkoordinaten ist dV = r2 sin θdθdϕdr.
8. An den Punkten P1 = (0, 4 m; 0, 3 m; 0, 2 m) und P2 = (0, 4 m; 0, 3 m; − 0, 2 m) befinden sich je eine
Ladung q1 = q2 = 1nC. Wie gross muss eine Ladung q3 bei P3 = (−0, 4 m; − 0, 3 m; 0) sein, damit das
elektrische Feld im Punkte 0 = (0; 0; 0) gleich null ist?
1
Lösungen
1. Aus Symetriegründen darf das elektrische Feld nur Komponenten in der yz-Ebene haben. Weiter ist das
elektrische Feld bezüglich der x-Achse zylindersymmetrisch. Wir müssen nur die z-Komponente berechnen.
Jedes Längenelement dx liefert den Beitrag
dEz (x, 0, z) =
1
λdx
z
4πε0 (x2 + z 2 ) 32
an der Stelle (0,0,z)
also
+∞
Z
λz
Ez (0, 0, z) =
4πε0
−∞
dx
(x2
3
+ z2) 2
Bronstein Nr. 206
2
Z
2
X =x +a ⇒
also
dx
x
√
= √
2
3
a X
X
+∞
λz
x
√
Ez (0, 0, z) =
2
2
2
4πε0 z x + z −∞
lim √
x→∞
1
1
x
= lim q
=1
= lim √
2
2z2
u→0
u→0
1
+z
1
+
u
2
u u2 + z
x2
also
Ez =
λz
1
λ
·
(1 − (−1)) =
4πε0 z 2
2πε0 z
2. Das elektrische Feld hat an der Stelle (0; 0; 0) aus Symmetriegründen nur eine x-Komponente. Die Ladungen
Q0 bei (4n + 1) x0 ergeben an der Stelle (0; 0; 0) das Feld
n=0
n=1
n = −1
E+ (x0 ) =
Q0
1
4πε0 |0−x0 |3
E+ (5x0 ) =
Q0
(0 − x0 ) = − 4πε
x2
0 0
Q0
1
4πε0 |0−5x0 |3
E+ (−3x0 ) =
Q0
1
(0 − 5x0 ) = − 4πε
x2 25
0 0
Q0
1
4πε0 |0−3x0 |3
(0 − (−3x0 )) =
Q0 1
4πε0 x20 9
Für die Ladungen −Q0 ergibt sich
n=0
n=1
n = −1
E− (−x0 ) =
−Q0
1
4πε0 |0−(−x0 )|3
E− (+3x0 ) =
−Q0
1
4πε0 |0−3x0 |2
E− (−5x0 ) =
Q0
(0 − (−x0 )) = − 4πε
x2
0 0
(0 − 3x0 ) =
−Q0
1
4πε0 |0−(−5x0 )|3
Q0 1
4πε0 x20 9
Q0
1
(0 − (−5x0 )) = − 4πε
x2 25
0 0
Wir fassen die Paare bei ±x0 , ± 3x0 , ± 5x0 usw. zusammen
±x0 :
2Q0
E (x0 ) = − 4πε
x2
0 0
±3x0 :
2Q0
E (3x0 ) = + 4πε
·
x2
1
9
±5x0 :
2Q0
E (5x0 ) = − 4πε
·
x2
1
25
0 0
0 0
2Q0
. Die Summe aller variablen Beiträge ist
Es gibt einen gemeinsamen Vorfaktor − 4πε
x2
0 0
1
1
1
1
1
1
+
−
+
−
+
∓
32 52 72 92 112 132
∞
X
(−1)n
=
=K
(2n + 1)2
S =1−
n=0
K = 0, 915965...
2
K heisst Catalansche Konstante (siehe z.B. Maple-Hilfetext). Man weiss nicht, ob K rational oder irrational
ist.
Also ist
Ex (0) = −
KQ0
2πε0 x20
3. Da Kraft = Gegenkraft ist, ist α1 = α2 . Die resultierende Kraft aus Gravitation und Coulombkraft muss
entlang der Fäden laufen.
Masse einer Kugel: m = π6 ρd3
Verhältnis Coulombkraft zu Gravitationskraft:
Abstand: r = D + 2l sin α
Kräftegleichgewicht:
Fg · tan α =
FC
Fg
= tan α
1
q1 q2
4πε0 (D + 2` sin α)2
π 3
q1 q2
1
q1 q2
1
=
ρ d g · tan α =
6
4πε0 (D + 2` sin α)2
4πε0 D2 1 + 2` sin α 2
D
2π 2 ε0 ρg d3 D2
1
tan α =
2`
3q1 q2
(1 + D sin α)2
Diese Gleichung muss grafisch gelöst werden. Wir setzen die Werte
ein und erhalten
0.99174103 tan α =
1
(1 + 8 sin α)2
1
auf.
Der
Wir zeichnen 0.99174103 tan α gegen (1+8 sin
α)2
Schnittpunkt der beiden Kurven ergibt das Resultat α = 0.174. Die
numerische Lösung wäre α = 0.1746779133.
4. (a)
Alle drei Ladungen sind äquivalent. Die Ladungen 1 und 2 erzeugen
eine Kraft auf die Ladung drei in Richtung der +z-Achse.
√ 2
1 q2
π
3q
Fz,3 = 2 ·
· sin =
2
4πε0 a
3
4πε0 a2
da der Abstand von 1 und 3 vektoriell geschrieben ~r
a (cos(π/3); sin(π/3)) ist.
=
den gegebenen Werten:
F = 1.14423N
Weg von der Mitte des Dreiecks.
(b) Die Mitte des gleichseitigen Dreiecks teilt die Winkelhalbierende im Verhältnis 1:2.
Länge der Winkelhalbierenden: `w = 23 ` = √a3 .
3
Mit
Kräftefrei heisst:
F + F0 = 0
F0
q0
`2
q0
q0
√ 2
3q
1
=−
4πε0 a2
1 q q0
=
4πε0 `2
√
3q
=− 2
a
√ `2
= − 3q 2
a
= −34, 64nC
q
=− √
3
5. Zuerst berechnen wir die Koordinaten der Ecken. Dazu legen wir ein gleichseitiges Dreieck in die xy-Ebene.
!
√
a
a
3a
P~1 =
; 0; 0
P~2 = − ; 0; 0
P~3 = 0;
;0
2
2
2
Die Spitze des Tetraeders liegt über der Mitte des Grund-Dreiecks.
1
1 ~
~
~
~
P1 + P2 + P3 = 0; √ a; 0
MB =
3
2 3
Die Spitze ist also bei
P~4 =
1
0; √ a; z
2 3
mit der Seitenlänge
P~4 − P~1
2
2
=a =
und damit
z 2 = a2 −
a 1
; √ a; z
2 2 3
=
a2
a2
+
+ z2
4
12
a2
a2
12 − 3 − 1
2
−
= a2
= a2
4
12
12
3
Wir haben also
P~4 =
1
0; √ a;
2 3
r
!
2
a
3
Die Mitte des Tetraeders liegt bei
~ = 1 P~1 + P~2 + P~3 + P~4 =
M
4
√ !
a
6
0; √ ;
a
2 3 12
Der Abstand einer Ecke zur Mitte ist
√
r a2
a2
6a2
6
~
~
` = P1 − M =
+
+
=
a
4
12 144
4
Die z-Komponente des Einheitsvektors P~4 − P~1 / P~4 − P~1 ist
q
z̃ =
2
3a
a
r
=
2
3
(a) Die z-Komponente der Kraft der Ladungen 1 bis 3auf die Ladung 4 ist (die x- und y-Komponenten
sind null)
r
√ 2
1 q2
2
6q
·
=
Fz,4 = 3 ·
2
4πε0 a
3
4πε0 a2
Mit den angegebenen Werten bekommen wir Fz,4 = 0.8603645847N .
4
(b) Kräftefrei heisst:
F + F0 = 0
F0
q0
`2
q0
q0
√
1 q q0
=
4πε0 `2
√
6q
=− 2
a
√ `2
= − 6q 2
a
= −33, 33nC
=−
=−
6q 2
4πε0 a2
√
6
6q
16
√
3 6
=−
q
8
6. Die Ladungen q und −q sind im Abstand a voneinander. Im homogenen Feld wirkt auf die Ladung q die
Kraft F und auf −q die Kraft −F . Wir haben ein Kräftepaar, dessen Verbindungslinie im Winkel α zur
Kraft steht.
T = a F sin α
oder mit der Definition des elektrischen Feldes F = qE und q = e
a=
T
T
=
F sin α
e E sin α
Die Werte eingesetzt erhalten wir
a=
5zN m
= 0.5528µm
0, 1602aC · 100 kN
C sin(0.6)
7.
ZZZ
Q=
ρel (~r) dV
Gebiet
dV = r2 sin θdθdϕdr
0≤θ≤π
0 ≤ ϕ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ r0
also
Zr0Z2πZπ
Q=
A 2
r sin θdθdϕdr
r
0 0 0
Zr0Z2π
A
=
2 r2 dϕdr
r
0 0
Zr0
r
= 4πArdr = 2πAr2 00 = 2πAr02
0
0
8. Wir drehen das Koordinatensystem so um die z-Achse, dass x durch P3 und 0 geht. Dann liegt
P1 bei (0, 5m; 0; 0, 2m) ,
P2 bei (0, 5m; 0; −0, 2m) und P3 bei (−0, 5m; 0; 0).
5
Die x0 -Komponente des Feldes von q1 und q2 ist
10−9 C
2
· (−0, 5m)
4πε0 (0, 52 + 0, 22 ) 32 m3
N
V
= −57, 577 = −57, 577
m
C
Ex0 (0) =
Wir brauchen also eine positive Ladung mit
1
q3
N
· (0, 5m) = 57, 577
3
4πε0 (0, 5m)
C
⇒ q3 = 1, 6nC
6