5 Elektrizität und Magnetismus
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5 Elektrizität und Magnetismus
5.1 Elektrische Ladung q
Ursprung: Existenz von subatomaren Teilchen
Proton: positive Ladung
Elektron: negative Ladung
• besitzen jeweils eine Elementarladung e = 1.602 × 10−19 C (Coulomb)
Ladung ist gequantelt (nur in Vielfachen der Elementarladung auftretend)
• Ladungen sind an Materie gebunden
• Atome bestehen aus einer gleichen Anzahl von Elektronen und Protonen und sind somit
elektrisch neutral.
• Werden Atome (und somit Körper) negativ bzw. positiv aufgeladen, so geben sie Elektronen ab bzw. nehmen Elektronen auf und werden zu negativ bzw. positiv geladenen
Ionen.
Ladungserhaltungssatz
Ladungen eines Vorzeichen alleine können nie erzeugt werden. Die Summe aus positiven und
negativen Ladungen bleibt in einem abgeschlossenen System konstant.
~
5.2 Elektrisches Feld E
Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld in ihrer Umgebung. Positive Ladungen sind die Quellen, negative Ladungen sind die Senken des Feldes. Die Richtung der Feldlinien ist von der
positiven zur negativen Ladung festgelegt.
Analogie:
Ladung ↔ elektrisches Feld
Masse ↔ Gravitationsfeld
5
5 Elektrizität und Magnetismus
Beispiele für Feldverteilungen
a) Punktladung:
Äquipotentialflächen
+
-
(a)
(b)
Abbildung 5.1: (a) Positive und (b) negative Punktladung.
b) elektrischer Dipol: (zwei ungleichnamige Punktladungen)
-
+
Abbildung 5.2: Feldverteilung zwischen zwei ungleichnamigen Punktladungen.
c) 2 gleichnamige Punktladungen
+
+
Abbildung 5.3: Feldverteilung zwischen zwei gleichnamigen Punktladungen.
Je dichter die Feldlinien, desto stärker das Feld.
Kraftwirkung des elektrischen Feldes:
~
F~ = q E
⇔
~
~ =F
E
q
N
kg · m
=
C
A · s3
A: Ampère, SI-Basiseinheit
[E] = 1
6
(5.1)
(5.2)
5.3 Elektrisches Potential, Spannung
~ eine Kraft F~ aus.
Auf eine elektrische Probe-Ladung q übt das elektrische Feld E
Betrachtet man einen elektrischen Dipol (zwei ungleichnamige Ladungen +q und −q im Abstand l voneinander, so erhält man neben der Kraftwirkung:
~ 1 ) + (+q E
~ 2 ) = q(E
~ 2 − E1)
~ − q∆E
~
F~ = (−q E
ein resultierendes Drehmoment
~ = ~r1 × (−q E
~ 1 ) + ~r2 × (+q E
~ 2)
M
~ = q~l ×E
~ = p~ × E
~
= q(~r2 − ~r1 ) × E
|{z}
↑
(5.3)
(5.4)
(5.5)
=:~
p, elektrisches Dipolmoment
~
homogenes Feld E
5.3 Elektrisches Potential, Spannung
~ von Punkt P1 nach P2 verschoben, so muß
Wird eine Ladung q in einem elektrischen Feld E
die Arbeit W aufgewendet werden:
W =−
ZP2
ZP2
F~ d~r = −q
P1
~ d~r
E
(5.6)
P1
elektrisches Potential am Punkt P
(Referenzpunkt ∞)
ϕ=−
ZP
~ d~r
E
(5.7)
∞
~ ergibt sich aus dem elektrostatischen Potential ϕ durch GradientenbilDas elektrische Feld E
dung:
~ = −grad ϕ
E
(5.8)
Mit Hilfe des Potentials läßt sich die Arbeit schreiben als:
W = q (ϕ2 − ϕ1 ) = Ep (P2 ) − Ep (P1 )
| {z } |
{z
}
Spannung U ,
Differenz der
Potentiale
(5.9)
Differenz der
potentiellen Energien
Ep =qϕ(P )
7
5 Elektrizität und Magnetismus
allgemein Spannung U
U =−
ZP2
~ d~r = ϕ2 − ϕ1
E
(5.10)
k · m2
A · s3
(5.11)
P1
[U ] = 1 Volt = V =
5.3.1 Kurzer mathematischer Exkurs
~ : Nabla-Operator, Vektor partieller Ableitungen
∇
∂/∂x
~=
∇
b ∂/∂y
∂/∂z
(5.12)
Kartesische Koordinaten:
(Differential (Volumenelement): dV = d~r = dxdydz)
Gradient:
~ = ∂a eˆx + ∂a eˆy + ∂a eˆz
grad a = ∇a
∂x
∂y
∂z
(5.13)
~=∇
~A
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az
divA
∂x
∂y
∂z
(5.14)
Divergenz:
Rotation:
~=∇
~ ×A
~=
rotA
∂Az ∂Ay
−
∂y
∂z
êx +
∂Ax ∂Az
−
∂z
∂x
êy +
∂Ay ∂Ax
−
∂x
∂y
êz
(5.15)
2
2
2
~ ·∇
~ =∆= ∂ + ∂ + ∂
∇
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
8
(5.16)
5.3 Elektrisches Potential, Spannung
Zylinderkoordinaten:
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z=z
Bestimmung des Volumenelements in Zylinderkoordinaten:
∂(x, y, z)
dV = Det
drdϕdz
∂(r, ϕ, z)
∂x ∂x ∂x cos ϕ −r sin ϕ 0 ∂r ∂ϕ ∂z
∂y
∂y
sin ϕ r cos ϕ 0 drdϕdz
⇒ ∂y
drdϕdz
=
∂r
∂ϕ
∂z
∂z
∂z
∂z
0
0
1
∂r ∂ϕ
∂z
(5.17)
= (r cos2 ϕ + r sin2 ϕ) drdϕdz = r drdϕdz
(5.18)
(→ Differential: r drdϕdz)
Gradient:
~ = ∂a eˆr + 1 ∂a eˆy + ∂a eˆz
grad a = ∇a
∂r
r ∂ϕ
∂z
(5.19)
Divergenz:
~=
divA
1 ∂(rAr ) 1 ∂Aϕ ∂Az
+
+
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
(5.20)
Rotation:
~=
rotA
1 ∂Ar ∂Aϕ
−
r ∂ϕ
∂z
êr +
∂Aϕ ∂Az
−
∂z
∂r
êϕ +
1 ∂(rAr ) 1 ∂Aϕ
−
r ∂r
r ∂ϕ
êz
(5.21)
9
5 Elektrizität und Magnetismus
Kugelkoordinaten:
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
(Differential: r2 sin θdrdθdϕ)
Gradient:
grad a =
1 ∂a
1 ∂a
∂a
êr +
eˆθ +
eˆϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(5.22)
Divergenz:
~=
divA
1 ∂(r2 Ar )
1 ∂Aϕ
1 ∂(sin θAθ )
+
+
2
r
∂r
r sin θ ∂ϕ
r sin θ
∂θ
(5.23)
Rotation:
1
∂A
∂(rA
)
1
r
ϕ
~=
êθ
−
rotA
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
1 ∂(rAθ ) 1 ∂Ar
+
−
êϕ
r ∂r
r ∂θ
1 ∂(sin θAϕ ) ∂Aθ
êr
+
−
r sin θ
∂θ
∂ϕ
10
(5.24)
5.4 Elektrische Ladung auf Leitern, Influenz
5.4 Elektrische Ladung auf Leitern, Influenz
Ein Leiter ist ein Stoff, in dem sich elektrische Ladungen frei bewegen können (z. B. Metall).
Wird der Stoff aufgeladen, stoßejn sich die Einzelladungen ab, bis die resultierende Kraft
F~ = 0 ist.
~ folgt daraus E
~ = 0 und ϕ =konst.
Mit F~ = q E
⇒
Elektrische Feldlinien stehen immer senkrecht auf der Leiteroberfläche!
Influenz
ungeladene Metallplatte im elektrischen Feld
→ Ladungstrennung
→ der Leiter wird polarisiert
(b)
(a)
- - - - - E
+ + + + + +
E
(c)
- - - - - -
- - - - - -
+ + + + + +
+ + + + + +
~
Abbildung 5.4: (a) Influenz (Faraday-Käfig), (b) Trennung der Leiter im E-Feld,
(c) Abschalten des
~
E-Feldes und Messung der influenzierten Ladung.
~ = E und der Fläche A des Leiters.
Die influenzierte Ladung ist proportional der Feldstärke |E|
(ǫ0 : Proportionalitätskonstante):
Q = ǫ0 EA
|{z}
(5.25)
=D:Verschiebungsdichte
b
bzw. elektrische
Flußdichte
ǫ0 = 8.85 · 10−12
As
Vm
elektrische Feldkonstante
bzw. Influenzkonstante
11
