Abzählbarkeit und Hilberts Hotel

Abzählbarkeit
Definition: Mächtigkeit von Mengen
Sei eine Menge. Dann heißt
(i)
endlich, falls
- ≠∅
- und für ein ∈ ℕ eine bijektive Abbildung : ℕ = {1, … , } → existiert
(bijektiv heißt: „jedes Element in hat eine Nummer“ und „unterschiedliche Elemente in
haben unterschiedliche Nummern).
Die Mächtigkeit von ist in diesem Fall | | ≔ .
(ii)
unendlich, falls nicht endlich ist. Dann setze | | ≔ ∞.
(iii)
abzählbar, falls ein surjektive Abbildung : ℕ → existiert („d.h. man kann
auflisten“ – die Liste kann dabei unendlich lang sein).
(iv)
überabzählbar, wenn nicht abzählbar ist.
Lemma:
Die Mächtigkeit | | einer Menge
ist wohldefiniert, d.h. eindeutig bestimmt.
Beweis:
Angenommen es seien , ∈ ℕ und bzw. seien Bijektionen mit : ℕ →
Zu zeigen: = .
Betrachte die bijektive Abbildung ≔
∘ :ℕ → ℕ .
ist injektiv ⇒ |{ (1), (2), … , ( )}| =
ist surjektiv ⇒ |{ (1), (2), … , ( )}| =
Also: = .
und : ℕ → .
Bem.:
Zwei Mengen heißen gleichmächtig, falls es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.
Satz:
Die Mengen ℕ, ℤ, ℚ sind abzählbar unendlich.
Beweis:
ℕ ist trivial.
Zu ℤ: Betrachte : ℤ → ℕ mit ( ) =
−(2 + 1),
2 ,
< 0 ergibt gerade natürliche Zahlen
≥ 0 ergibt ungerade natürliche Zahlen
∎
Zu ℚ: Es ist ℚ =
|
∈ ℤ, ∈ ℕ . Beweis mit Cantors erstem Diagonalargument:
0
1
-1
2
-2
1
0[1]
1[3]
−1[6]
2[10]
−2[15]
2
0[2]
1
3
0[4]
1
4
0[7]
1
5
0[11]
b
a
[5]
− 1 2[9]
[8]
− 1 3[13]
2
[12]
−1 4
2
−1 5
2
2
3
4
1
5
2
2
[14]
−2 2
3
−2 3
4
−2 4
5
−2 5
∎
Galileisches Paradoxon:
Analog gilt z.B.
ℕ und ≔ { ∈ ℕ | ist gerade} sind gleichmächtig
denn jedem ∈ ℕ kann bijektiv ein ∈ zugeordet werden (betrachte die Abbildung Υ: ℕ →
mit ↦ 2 ).
Dennoch gilt ⊂ ℕ.
Hilberts Hotel:
 Hat für jede natürliche Zahl ein Zimmer
1
2
3
4
…
Doch alle Zimmer sind belegt!

Neuer Gast kommt. Dieser kann wie folgt untergebracht werden:
(i)
Jeder alte Gast zieht von Zimmer nach Zimmer + 1
(ii)
Neuer Gast geht in Zimmer 1.
Durch Wiederholung dieses Vorgangs gibt es Platz für endlich viele Gäste.


Abzählbar unendlich viele Gäste:
1 ↷ 2,
2 ↷ 4,
3 ↷ 6,
Alle Zimmer mit ungerader Nummer sind frei.
allg.: ↷ 2
Abzählbar unendlich viele Busse mit je abzählbar unendlich vielen Gästen:
Bus 1 ↷ Zimmer 3,9,27, … (Potenzen von 3)
Bus 2 ↷ Zimmer 5,25,125, … (Potenzen von 5)
allg.: Bus ↷ Zimmer , ², ³, … mit p als i+1-te Primzahl (vgl. „Satz von Euklid“)
Es sind sogar noch unendlich viele Zimmer frei, z.B. #15.
Korollar: Dedekind-Unendlichkeit
Die Menge ist unendlich ⇔
besitzt eine gleichmächtige Teilmenge
Definition: Kardinalzahl
ℵ ist die kleinste unendliche Mächtigkeit. |ℕ| ≔ ℵ („Aleph-0“).
Bem.:
Aus Cantors Erstem Diagonalargument und der Bemerkung zur Gleichmächtigkeit von Mengen folgt
|ℚ| = |ℕ| = ℵ .
Satz:
Die Menge der reellen Zahlen ℝ ist überabzählbar (d.h. nicht abzählbar).
Beweis:
Es genügt zu zeigen, dass [0,1) nicht abzählbar ist.
Annahme: [0,1) sei abzählbar.
⇒ ∃ ( ) ∈ℕ mit [0,1) = { | ∈ ℕ}.
Sei
10
∈ℕ
die eigentliche Dezimalbruchentwicklung von
für ∈ ℕ, d.h.
= 0,
….
Betrachte das Schema
= 0,
= 0,
= 0,
…
…
…
⋮
Konstruiere nun ein
∈ [0,1) durch die eigentliche Dezimalbruchentwicklung
≔ lim
10
→
= 0,
…
mit
≔
0,
1,
falls
falls
für ∈ ℕ.
Somit ist
≠
∀ ∈ ℕ, denn unterscheidet sich an
der 1. Nachkommastelle von ,
der 2. Nachkommastelle von ,
⋮
also ≠
∀ ∈ ℕ.
Steht im Wiederspruch zu [0,1) = {
⇒ [0,1) überabzählbar ⇒ ℝ ⊃ [0,1) überabzählbar
≠0
=0
|
∈ ℕ}
∎
Bem.:
ℝ besitzt die Kardinalität der „überabzählbaren Mengen erster Stufe“, man sagt auch ℝ hat die
Mächtigkeit des Kontinuums.
Definition:
Die nach ℵ höhere Mächtigkeit ist ℵ .
Kontinuumshypothese:
„Die Mächtigkeit der reellen Zahlen ist ℵ .“
Bem.: Hilbers erstes Problem
Nach den Axiomen der Zermelo-Fraenkelschen-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) ist die
Kontinuumshypothese weder beweisbar (Paul Cohen, 1963) noch widerlegbar (Gödel, 1938).