sollte man wissen Symbol Formel Erleuterung Bedeutung hj hj=fj/n fj: absolute Häufigkeit der Ausprägung xj n: Anzahl der Elemente SUMME(hj)=1 hj<=1 Relative Häufigkeit n n=SUMME(fj) fj absolute Häufigkeit der Ausprägung xj Gesamtanzahl der Elemente Yj Yj=xj*fj = SUMME k=1 - fj (xjk) oder bei kummulierter Häufigkeit Yj=SUMME 1j(Yj)=Y1+Y2+...+Yj fj absolute Häufigkeit der Ausprägung xj Gesamtanteil von xj lj lj=xj*hj=Yj/SUMME(Yj) hj: Relative Häufigkeit Yj=Gesamtausprägung von xj Relativer Anteil von xj Z Z=X(n+1/2) für ungerade n oder Z=1/2(Xn/2+X(n+1)/2) für gerade n bei Größenklassen: Z=XEU+d XEU: Unterer Wert der Einfallsklasse d=(0,5HEU)*be/he be:Breite von Xe he:Breite von He=xeo-xe-1 o Xquer Xquer=SUMME(xj*hj)=SUMME(xj*fj)/SUMME(fj hj: Relative Häufigkeit fj=absolute Häufigkeit ) ungewichtet: Xquer=Summe(Xj)/n Zentralwert: mittlerer Messwert (der nachd er Hälfte gemessene) Unenmpfindlich gegen Ausreißer Minimumseigenschaft: SUMME(XiZ)=min Xquer=arithmetisches Mittel (Durschschnitt aller X-Werte) Nulleigenschaft: SUMME(XjXquer)=0 SUMME(Xj)=n*Xquer bei Xi>0 gilt: H<=G<=Xquer<=Q Qat Qat=X0,75-X0,25 Oberes und unteres Quartil werden abgeschnitten totales Quartil Qam Qam=((Q3-Z)+(Z-Q1))/2 Durschnitt des oberen und des Unteren Quartilsabstandes zum Zentralwert mittlerer Quartilsabstand; Streuungsmaß zum Zentralwert 18.04.02 Sascha Tünker FB 02 Wirtschaftswissenschaften Seite 1 von 5 sollte man wissen Var Var=SUMME(Xi-Xquer)²/n= SUMME(XiXquer)²*fi/SUMME(fi)= SUMME(Xi²)/n-Xquer² Streuungsmaß zum arithmetischen Mittel Varianz: quadrat der Abweichungen von arithmetischen Mittel Ox Ox=WURZEL(Var)=WURZEL(SUMME(XiXquer)²/n) Streuungsmaß zum arithmetischen Mittel Standardabweichung; Betrag der Abweichungen von arithm. Mittel ox² ox²=SUMMEjm(oj²*fj)/SUMMEjm(fj) +SUMME(Xjquer-Xquer)²*fj/SUMMEjm(fj) oj²=Xjk-Xquer=(Xjk-Xjquer)+(Xjquer-Xquer) Varianz=Varianz innerhalb der Gruppe+Varianz Streuungszerlegung (Varianzzerlegung) zwischen den Gruppen sx sx=SUMME|X-Xquer|/n Summe der Einzelabweichungen mittlere absolute Abweichung Cov(X,Y)=(SUMME(Xi-Xquer)(Yi-Yquer))/n= SUMME(Xi*Yi)/n-Xquer*Yquer Erkärt die Varianz von abhängign Variablen (erklärende und erklärte Variable) Kovarianz von X und Y Cov(X,Y) b b=SUMME(Yi*ti*)/SUMME(ti*)²=(SUMME(Xi**Y i))/SUMME(Xi*)²=Cov(X,Y)/Var(X) bei zwei ti*=ti-tquer Xi*=Xi-Xiquer Bei zwei Fequenzreihen: Frequenzreihen: Yjquer=SUMMEk=1fj(Yjk)/fj b=(SUMME(xj**Yquerj*fj))/SUMME(xj*²*fj) Steigung der Trendgeraden a a=Yquer-b*tquer Yi' sind die Punkte auf der Trendgerade Funktion der Trendgerade W(A)=g/m=R/N g= günstige Fälle m=mögliche Fälle R=günstige Ereignisse N=Gesamte Ereignisse Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von A nach W(A)=1 bei sicheren Ereignissen; W(A)=0 bei Laplace unmöglichen Ereignissen W(A) 18.04.02 Sascha Tünker FB 02 Wirtschaftswissenschaften Seite 2 von 5 sollte man wissen W(Aquer) W(Aquer)=(m-g)/m=(N-R)/N=1-R/N=1-W(A) g= günstige Fälle m=mögliche Fälle R=günstige Ereignisse N=Gesamte Ereignisse Wahrscheinlichkeit des Nicht-Eintreffens von A W(Aquer)=0 bei sicheren Ereignissen; nach Laplace W(Aquer)=1 bei Unmöglichen W W(A1uA2)=W(A1)+W(A2)-W(A1nA2) (A1uA2) Addition von Wahrscheinlichkeiten: Bei einander gegenseitig paarweise ausschließenden Ereignissen W(A1uA2uA3)=W(A1)+W(A2)+W(A3)W (A1 [W(A1nA2)+W(A1nA3)+W(A2nA3)]+ uA2uA3) W(A1nA2nA3) Addition von Wahrscheinlichkeiten: Bei einander gegenseitig paarweise ausschließenden Ereignissen W(A1nA2 n...nAn) Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten: Bei stochastisch unverbundenen Ereignissen, wenn beide eintreten sollen W(A1nA2 n...nAn)=W(A1)*W(A2)*...*W(An) W W(A2|A1): durch A1 bedingte W(A1nA2 (A1nA2)=W(A1)*W(A2|A1)*...*W(AN|A1n...nAnWahrscheinlichkeit von A2 n...nAn) 1) Multiplikation bei stochastisch verbundenen Ereignissen W(A2|A1) W(A2|A1)=W(A1nA2)/W(A1) durch A1 bedingte Wahrscheinlichkeit A2 W(Ai|B) W(Ai|B)=(W(B|Ai)*W(Ai))/ Summe(W(B|Ai)*W(Ai) n über r 18.04.02 n über r=n!/(r!*(n-r)!) W(Ai|B)=W(BnAi)/W(B) n= Gesamtmenge der Elemente r= günstige Menge der Elemente Sascha Tünker FB 02 Wirtschaftswissenschaften Wahrscheinlichkeit von B in Abhängigkeit von disjunkten Wahrscheinlichkeiten Ai nach Bayes Permutation mit Wiederholung: Anzahl der vorhandenen Möglichkeiten bei statistisch unverbundenen Ziehungen Seite 3 von 5 sollte man wissen n= Gesamtmenge der Elemente r= günstige Menge der Elemente P=r/n Q=1-P W bei Binomialverteilung (bei Ziehung ohne WDH) und: wenn n/N <0,05 kann die HV durch die BV genähert werden n= Gesamtmenge der Elemente r= günstige Menge der Elemente P=r/n Erwartungswert von r bei Binomialverteilung und hypergemetrischer Verteilung Var(r|n,P) Var(r|n,P)=n*P*Q n= Gesamtmenge der Elemente r= günstige Menge der Elemente P=r/n Q=1-P Durchschnittliche Abweichung ² bei Binomialverteilung Var(p|n,P) n= Gesamtmenge der Elemente r= günstige Menge der Elemente P=r/n Q=1-P p=r/n Durchschnittliche Abweichung von p ² bei Binomialverteilung W (r) W (r)=(n über r)*P^r*Q^(n-r) E(r|n,P) E(r|n,P)=n*P Var(p|n,P)=P*Q/n or or=WURZEL(P*Q*n) n= Gesamtmenge der Elemente r= günstige Menge der Elemente P=r/n Q=1-P Durchschnittliche Abweichung op op=WURZEL(P*Q/n) n= Gesamtmenge der Elemente r= günstige Menge der Elemente P=r/n Q=1-P p=r/n Durchschnittliche Abweichung von p N= Gesamtmenge der Elemente R= günstige W bei hypergeometrischer Verteilung (ohne W(r|n,N,R) W(r|n,N,R)=(R über r)*(N-R über n-r)/N über n Menge der Elemente n= Anzahl der Ziehungen Zurücklegen) r= Anzahl des gewünschten Eintreffens Var (r|n,N,R) 18.04.02 Var (r|n,N,R)= n*P*Q*(N-n)/(N-1) N= Gesamtmenge der Elemente R= günstige Varianz von r bei hypergeometrischer Menge der Elemente n= Anzahl der Ziehungen Verteilung r= Anzahl des gewünschten Eintreffens Sascha Tünker FB 02 Wirtschaftswissenschaften Seite 4 von 5 sollte man wissen Var (p|n,N,R) W (r) u W(xxquer) Var (p|n,N,R)=P*Q/n*[(N-n)/(N-1)] W (r) =Fi(u) lt. Tabelle Fi(u+)=1-Fi(u-) und umgekehrt; Fi (u+-)=Fi(u+)-Fi(u-) 18.04.02 NV kann zur Näherung der BV und HV verwendet werden, wenn n*P*Q>9 u-=(Gu-X)/ox; u+=(Go-X)/ox; u+-=(Go-Gu)/2ox Wird für NV benötigt W(|X-xquer|<=c*ox)>=1-1/c² Lambda lambda=n*P W (r) N= Gesamtmenge der Elemente R= günstige Varianz von p bei hypergeometrischer Menge der Elemente n= Anzahl der Ziehungen Verteilung r= Anzahl des gewünschten Eintreffens W (r) =lamda^r*e^lambda/r! Wahrscheinlichkeit von r bei Normalverteilung normierte Zufallsvariable u Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert innerhlb Tschebytscheffsche Ungleichung des Intervalls c*ox liegt, ist >= 1-1/c² braucht man halt wird für Poissont-Verteilung benötigt Näherung für BV und HV, wenn n sehr groß Poissont-Verteilung Sascha Tünker FB 02 Wirtschaftswissenschaften Seite 5 von 5