07_Modellierung

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Leistungsbewertung
Teil 2
Modellierung
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
1
© Werner Horn
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
1.1. Ziele und Methoden der Leistungsbewertung
1.2. Modellierung mit Warteschlangenmodellen
1.2.1. Konfigurationsbeschreibung realer Systeme
1.2.2. Lastbeschreibung realer Systeme
1.2.3. Modellbeschreibung
2. Mathematische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
in Kurzform
2.1. Wahrscheinlichkeit
2.2. Zufallsvariable
2.3. Wahrscheinlichkeitsverteilungs- und -dichtefunktionen
2.4. Statistische Momente
2.5. Wichtige diskrete und kontinuierliche Verteilungsfunktionen
2.6. Zufallsprozesse
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
2
© Werner Horn
Inhaltsverzeichnis
3. Grundlagen der Verkehrs- und Bedientheorie
3.1. Warte- und Verlustsysteme
3.2. Ankunftsprozesse
3.3. Bedienprozesse
3.4. Die negativ exponentielle Wahrscheinlichkeitsverteilung für
Ankunfts- und Bedienprozesse
3.4.1. Die Markoveigenschaft
3.4.2. Die Poissoneigenschaft
3.4.3. Poisson-Bedienprozesse
3.4.4. Die Zusammenfassung und Teilung von Poissonprozessen
3.5. Das Litt'lesche Gesetz
3.6. Leistungskenngrößen elementarer Wartesysteme
3.7. Die Kendall'sche Notation Elementarer Wartesysteme
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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Inhaltsverzeichnis
4. Markov-Prozesse/Elementare Wartesysteme
4.1. Markov-Ketten
4.2. Bedingungen für die Existenz des stationären Zustandes
4.3. Homogene Markov-Ketten
4.4. Die Kolmogorov-Gleichung für Homogene Markov-Ketten
4.5. Stationäre Homogene Markov-Ketten
4.6. Eindimensionale Geburts- und Sterbeprozesse
4.7. Stationäre Eindimensionale Geburts- und Sterbeprozesse
4.8. Das M/M/1/∞ -Wartesystem
4.9. Anwendung der Ergebnisse des M/M/1 Systems
4.10 Das M/M/m Verlustsystem
4.11 Das M/M/m/∞ Wartesystem
4.12 Das M/G/1 Wartesystem
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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© Werner Horn
Inhaltsverzeichnis
5. Warteschlangennetze (WSN)
5.1. Einführung
5.2. Formale Beschreibung von WSN
5.3. Leistungskenngrößen von WSN
5.4. Ausgewählte Lösungsmethoden für WSN
5.4.1. Die Ermittlung des Globalen Gleichgewichtes
5.4.1.1. Numerische Analyseverfahren
5.4.2. Globale und Lokale Gleichgewichtsbedingungen
5.4.3. Exakte Produktformlösungen für Geschlossene und
Offene Systeme
5.4.3.1. Existenzbedingungen für separable Netze
5.4.3.2. Das Jackson-Theorem für Offene Netze
5.4.3.3. Gordon/Newell-Theorem für Geschlossene Netze
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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Leistungsbewertung von Rechensystemen und verteilten
Kommunikationssystemen
‰ Untersuchungen des Leistungsverhaltens können in
verschiedenen Phasen des Lebenszyklus (Entwurf,
Konfigurierung, Betrieb, Upgrading) von Rechen- und
Kommunikationssystemen eine Rolle spielen.
‰ Ziel ist die Abwägung zwischen Ressourcenaufwand und
Güte des erbrachten Dienstes
Beispiele für den Einsatz der Leistungsbewertung:
‰
Vorhersage der Leistungsfähigkeit von Systemen
‰
geeignete Komponentenauswahl für Systeme
‰
Tuning bisher verwendeter Systeme
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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© Werner Horn
Leistungsbewertung von Rechensystemen und verteilten
Kommunikationssystemen
‰
Die Leistung eines Rechen- oder Kommunikationssystems kann nur
unter Berücksichtigung von Last (in Form von Aufträgen) und
System (in Form von Ressourcen) bewertet werden.
Leistung = F ( System, Last )
‰
Leistungsbewertung besteht in der Ermittlung charakteristischer
Gütemerkmale (Leistungskenngrößen) wie z.B. Durchsatz,
Antwortzeit oder Auslastung der einzelnen Komponenten bzw. des
Gesamtsystems.
Effektivitätsmaße beschreiben die (extern beobachtbare) "Wirksamkeit"
eines Systems. Dazu gehören z.B. Dienstabwicklungsdauern,
Antwortzeiten und Durchsätze (Externe Leistungsmaße).
Effizienzmaße beschreiben (die nur intern beobachtbare) "Ausnutzung" eines
Systems, hierzu gehören z.B. Prozessorauslastungen und
Speicherauslastung (Interne Leistungsmaße).
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Leistungsbewertung von Rechensystemen und verteilten
Kommunikationssystemen
‰
Klassifizierung von Methoden zur Leistungsbewertung
Methoden zur Leistungsbewertung
Messung
Modellgestützte Bewertung
Mathematische Verfahren
Analytische Verfahren
Numerische Verfahren
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Diskrete Simulation
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Leistungsbewertung von Rechensystemen und verteilten
DV-Systemen
‰ Die Leistungsfähigkeit bereits existierender Systeme kann
durch Messmonitore ermittelt werden.
-
Hardwaremonitore
-
Softwaremonitore
‰ Modellbildungstechniken haben für die Leistungsbewertung
von Rechensystemen besondere Bedeutung erlangt.
‰ Rechensysteme können gut durch Warteschlangenmodelle
modelliert werden.
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Leistungsbewertung von Rechensystemen und verteilten
DV-Systemen
Warteschlangenmodell eines Rechensystems
Platte
Strom
ankommender
Jobs
CPU
Drucker
Strom fertig
bedienter Jobs
Magnetband
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Leistungsbewertung von Rechensystemen und verteilten
DV-Systemen
‰
Warteschlangenmodelle können analytisch oder durch Simulation
untersucht werden.
‰
Die analytische Vorgehensweise versucht auf mathematischem
Wege Beziehungen zwischen fundamentalen Systemgrößen und
relevanten Leistungsgrößen herzuleiten.
‰
Die analytischen Modelle können stochastisch oder operationell sein.
‰
-
Bei der stochastischen Modellierung sind die Systemparameter
statistisch verteilt und man erhält ebenso auch statistisch
verteilte Leistungskenngrößen.
-
Bei der operationellen Modellierung werden gemessene
Systemparameter für ein festes Zeitintervall verwendet.
Die analytische Modellierung ist jedoch für komplexe Systeme oft
schwierig oder unmöglich.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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© Werner Horn
Leistungsbewertung von Rechensystemen und verteilten
DV-Systemen
‰ Ausweg bringt die Simulation, die für das Modell
realistischere Annahmen ( geringere Abstraktionen)
zulässt.
‰ Nachteile der Simulation
-
Zeit- und kostenaufwendige Vorbereitung und
Ausführung der Simulation
-
Schwer erkennbare Abhängigkeit der Parameter und
die daraus resultierende
-
umständliche Optimierung
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Modellierung mit Warteschlangenmodellen
‰
Grundkenntnisse aus der Wahrscheinlichkeitstheorie notwendig
‰
Wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung der Leistungskenngrößen
von Rechensystemen sind Markov-Prozesse
‰
Durch Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen
Systemzustände sind Leistungsgrößen berechenbar
‰
Betrachtet werden die Wahrscheinlichkeiten für den Zustand
statistischen Gleichgewichts
Reales
System
Analyse/
Simulation
Modellierung
Konsequenzen?
des
Vergleichende
Bewertung
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Probleme der Modellierung
Reales System
Eigenschaften so genau
wie möglich erfassen
‰
Modell
Modell muss mathematisch
handhabbar sein
Hohe Modellkomplexität (viele Systemzustände)
⇒ Nicht vertretbarer Rechenaufwand (Dauer, Speicherplatz)
‰
Geringe Modellkomplexität,
⇒ Ergebnisse zu ungenau
‰
Weglassen unwesentlicher Parameter
‰
Berücksichtigen wesentlicher Parameter
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Erkennen von Optimierungskonflikten
Verweilzeit =
Wartezeit +
Bedienzeit
Ankünfte
von Kunden
Wartesystem
„Supermarktkasse“
Mittlere Verweilzeit
Abgänge
von
bedienten
Kunden
‰ Kurze Verweilzeiten der Kunden im System
„Supermarktkasse“
100%
Systemauslastung
‰ Hohe Auslastung des Systems „Supermarktkasse“
‰ Sinnvolle Kriterien stehen aber im Konflikt !!!!
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Konfigurationsbeschreibung des realen Systems
‰ Funktionelle Beschreibung der Komponenten:
Speicherverwaltungsstrategien
Prozessverwaltungsstrategien
Zugriffsstrategien
‰ Quantitative Beschreibung der Komponenten:
Anzahl der Prozessoren
Rechengeschwindigkeit
Speicherkapazität
Übertragungskapazität von E/A-Komponenten
Laufzeiten von Informationen
u.v.a.
‰ Interaktionen zwischen Komponenten erfassen
‰ Welche Komponenten sind für Analyseziel notwendig ?
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Lastbeschreibung des realen Systems
‰ Typische Benutzerverhalten sind zu identifizieren und zu
beschreiben (Auftragsklassen)
z.B.:
Dateitransfer
Terminaleingabe
‰
Welche Anforderungen stellt ein typischer Auftrag an das System ?
Rechenzeitbedarf der CPU pro Auftrag
z.B.:
Speicherbedarf pro Auftrag
‰
Mit welcher Intensität werden diese Anforderungen gestellt ?
z.B.:
Ankunftsrate von Paketen
Eingabegeschwindigkeit
‰
Welche Lasten sind für Analyseziel notwendig ?
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Modellbeschreibung
Modellhafte Erfassung des realen Ablaufgeschehens mit
Warteschlangenmodellen
Lastbeschreibung
‰ Ankunftsprozess
Durch Zufallsvariablen charakterisierte Ankunftszeitpunkte
‰ Bedienprozess
Durch Zufallsvariablen charakterisierte Bedienzeitanforderungen
‰ Zusätzliche Merkmale
Dringlichkeiten (Prioritäten), Speicherbedarf der Auftragstypen
(Auftragsklassen)
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Modellbeschreibung
Modellhafte Erfassung des realen Ablaufgeschehens mit
Warteschlangenmodellen
Bediensysteme
‰ Systemkomponenten
Anzahl und Art der Bedieneinheiten
(mit Warteschlange, ohne Warteschlange, Warteschlangenlänge)
‰ Systemstruktur
Verbindungswege, Auftragsfluss, Topologie
‰ Bearbeitungsstrategie der Auftragsanforderungen
Warteschlangenverwaltung (FIFO...)
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Mathematische Grundlagen der Warscheinlichkeitsrechnung in
Kurzform
2.1. Wahrscheinlichkeit
2.2. Zufallsvariable
2.3. Wahrscheinlichkeitsverteilungs- und -dichtefunktionen
2.4. Statistische Momente
2.5. Wichtige diskrete und kontinuierliche Verteilungsfunktionen
2.6. Zufallsprozesse
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Zufallsabhängige Experimente
„
Die Menge aller zufälligen Elementarereignisse bezeichnet man als
Ereignisraum E. (z.B. Würfeln: E= {1,2,3,4,5,6})
„
Das Ergebnis eines zufallsabhängigen Experiments, das durch eine
Menge von Elementarereignissen realisierbar ist, nennt man
Zufallsereignis. (z.B. Würfeln gerader Zahlen: Ereignis A= {2,4,6})
„
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P
über einen Ereignisraum E ist eine normierte Maßfunktion und
ordnet den Zufallsereignissen A Wahrscheinlichkeiten P(A) zu. (z.B.
Würfeln gerader Zahlen: P(A))
„
Wahrscheinlichkeiten werden als Zahlen zwischen
0 und 1 angegeben
0
1
Unmöglichkeit
Sicherheit
(
0%
Wahrscheinlichkeit)
(100%
Wahrscheinlichkeit)
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Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
♦
Bei Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse läßt sich
die Wahrscheinlichkeit P(A) für ein Ereignis A definieren als:
P( A) =
Anzahlder für A günstigenFälle
Anzahlder insgesamtmöglichenFälle
♦
Diese klassische Definition ist nur anwendbar, wenn alle
Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind.
♦
Diese Definition ermöglicht in vielen Fällen eine einfache
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
Würfeln einer geraden Augenzahl:
E={1,2,3,4,5,6}
A={2,4,6}
3
P( A) = = 1 / 2
6
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Die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit
„
„
Ist begründet auf der Mengenlehre
Definition der Wahrscheinlichkeit durch drei Axiome (nach
Kolmogoroff)
(1) Nichtnegativität
0 ≤ P(A) ≤ 1 für alle A aus E
(2) Normierung
P(E) = 1
(3) Additivität
∞
∞
i =1
i =1
Addition bei
disjunkten Ereignissen
(keine gemeinsamen
Elementarereignisse)
P(U Ai ) = ∑ P(Ai), falls Ai I Aj = ∅
Bestimmung der Summenwahrscheinlichkeit
(oder)
Beispiel:
A={2,4,6}
B={3}
P(A)=3/6
P(B)=1/6
P(A∪B)=3/6+1/6=4/6
A
1
B
4
3
5
2
6
E
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Das Additionstheorem
Bestimmung der Summenwahrscheinlichkeit für nicht
disjunkte Ereignisse (mit gemeinsamen
Elementarereignissen)
„
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
„
P(A∩B) nennt man Verbundwahrscheinlichkeit
„
Das 3. Axiom ist als Sonderfall (für sich gegenseitig
ausschließende Ereignisse, P(A∩B)=0) enthalten.
Beispiel:
Würfeln von gerader Augenzahl oder durch 3 teilba:
1
3
4
2
A
6
B
5
E
E={1,2,3,4,5,6}
B={3,6}
P(B)=2/6
A={2,4,6}
P(A)=3/6
A∩B = {6}
P(A ∩ B)=1/6
3 2 1 4
P( A ∪ B) = + − =
6 6 6 6
Beweis: A∪B={2,3,4,6}
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
P(A∪B)=4/6
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A|B)
Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt,
wenn Ereignis B eingetreten ist,
oder
Die Wahrscheinlichkeit, dass A zutrifft,
wenn B wahr ist
P( A | B ) =
P ( A, B ) P ( A ∩ B )
=
P( B)
P( B)
mit
P( B) > 0
Beispiel:
4 Augen würfeln unter der Bedingung, daß
die Augenzahl gerade ist:
1
E={1,2,3,4,5,6}
A={4}
P(A)=1/6
B={2,4,6}
P(B)=3/6
B∩A = {4}
P(A ∩ B)=1/6
3
4
5
2
E
6
P( A | B) =
1/ 6
= 1/ 3
3/ 6
Beweis: B={2,4,6}
P(A|B)=1/3
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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Unabhängige Ereignisse
Ein Ereignis A ist dann von einem Ereignis B
unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für A gleich
der bedingten Wahrscheinlichkeit für A unter der
Bedingung B ist.
P( A) = P( A | B)
Für unabhängige Ereignisse
P( A, B) = P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
Verbundwahrscheinlichkeit
unabhängiger Ereignisse
Beispiel:
Würfeln 2er Sechsen mit zwei Würfeln:
1
3
4
2
E
5
6
Zwei unabhängige Experimente;
keine Einschränkung der möglichen
Elementarereignisse
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
E={1,2,3,4,5,6}
A={6}
P(A)=1/6
B={6}
P(B)=1/6
P ( A ∩ B ) = 16 ⋅ 16
Beweis: A∩B={ 1.{1,1};2.{1,2};3.{1,3};....
34.{6,4};35.{6,5};36.{6,6} }
P( A ∩ B ) =
1
36
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Zufallsvariablen
„
„
„
„
„
„
Bei zufallsabhängigen Experimenten ist es oft zweckmäßig, den Ereignissen
die Werte einer veränderlichen reellen Größe, einer sogenannten
Zufallsvariablen, zuzuordnen
Zufallsvariablen können eindimensional oder mehrdimensional
(Zufallsvektor) sein.
Zufallsvariable werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet
Die Werte, die solch eine Variable annehmen kann, bezeichnet man als
Realisierungen der Zufallsvariablen.
Realisierungen der Zufallsvariablen werden üblicherweise mit kleinen
Buchstaben bezeichnet
Zufallsvariablen können diskrete oder kontinuierliche Größen sein.
1
2
3
5
4
6
X
x
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion
„
Bei vielen Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird außer
den Wahrscheinlichkeiten und Zufallsvariablen noch eine
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (kurz Verteilungsfunktion)
benötigt.
Die Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen
„
Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X ist
definiert als die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable X
höchstens einen Wert x annimmt.
F ( x) = P( X ≤ x)
Höchstwertverteilung
der diskretenVariablen X
F(x)
P(x)
1
1/6
x
1
2
3
4
5
6
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
x
1
2
3
4
5
6
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© Werner Horn
Die Verteilungsfunktion kontinuierlicher Zufallsvariablen
„
Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen T ist
definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable T
höchstens einen Wert t annimmt.
F (t ) = P(T ≤ t )
„
Die Wahrscheinlichkeit, daß der Wert einer kontinuierlichen
Zufallsvariablen in einem bestimmten Bereich liegt, ermittelt sich
aus
P(t < T ≤ t ) = F (t ) − F (t )
1
2
2
1
1
„
Die Ableitung einer
kontinuierlichen
Verteilungsfunktion
bezeichnet man als
Verteilungsdichtefunktion
(VDF)
f (t ) =
F(t)
t1
t2
t
f(t)
dF(t )
dt
t
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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Momente: 1. Der Erwartungswert (Mittelwert)
„
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X wird mit E(X)
bezeichnet.
E( X ) = ∑ xi ⋅ P( xi )
i
„
Die Summe ist über alle möglichen Elementarereignisse bzw. über
die diesen Elementarereignissen zugeordneten Werten zu
erstrecken.
„
Der Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen T wird
mit E(T) bezeichnet.
∞
∞
0
0
E(T ) = ∫ t ⋅ dF(t ) = ∫ t ⋅ f (t ) dt
f(t) Verteilungsdichtefunktion
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
30
© Werner Horn
Momente: 2. Gewöhnliche Momente
„
Das gewöhnliche Moment n-ter Ordnung mn einer diskreten
Zufallsvariablen X ist definiert als:
mn = E( X n ) = ∑ xi ⋅ P( xi )
n
i
„
Das gewöhnliche Moment n-ter Ordnung mn einer kontinuierlichen
Zufallsvariablen T ist definiert als:
∞
mn = E(T n ) = ∫ t n ⋅ f (t ) dt
f(t) Verteilungsdichtefunktion
0
„
Das erste gewöhnliche Moment ist identisch mit dem
Erwartungswert (Mittelwert) einer Zufallsvariablen
E( X ) = m1
E(T ) = m1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
31
© Werner Horn
Momente: 3. Zentrale Momente
„
Das zentrale Moment n-ter Ordnung μn einer diskreten
Zufallsvariablen X ist definiert als:
μn = E( X − E( X ))n = ∑( xi − E( X ))n ⋅ P( xi )
i
„
Das zentrale Moment n-ter Ordnung μn einer kontinuierlichen
Zufallsvariablen T ist definiert als:
∞
μn = E(T − E(T )) = ∫ (t − E(T ))n ⋅ f (t ) dt
n
f(t) Verteilungsdichtefunktion
0
„
In der Praxis ist besonders das zweite zentrale Moment μ2 wichtig.
Es wird auch als Varianz V oder als Streuungsquadrat σ2
bezeichnet.
V = σ 2 = μ2 = E( X − E( X ))2 = E( X 2 ) − E( X )2
„
Die Wurzel aus der Varianz wird auch als Streuung oder
Standardabweichung der Zufallsvariablen bezeichnet.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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© Werner Horn
Der Variationskoeffizient
„
Der Variationskoeffizient ist der Quotient aus Streuung und
Mittelwert:
C( X ) =
σ
E( X )
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
33
© Werner Horn
Die Bernoulli-Verteilung
♦ Ein Experiment mit genau zwei Ausgangsmöglichkeiten A und
Komplement(A), wie z. B. bei einem Münzwurf (Wappen, Zahl), wird
nach einem Mathematiker aus dem 17. Jahrhundert als BernoulliExperiment bezeichnet.
P( X = 0) = q = 1 − p
P( X = 1) = p
p=Erfolgswahrscheinlichkeit
F(x)
P(X=x)
1
p
1
q
0
1
x
Erwartungswert
E( X ) = p
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
0
x
1
Varianz
V ( X ) = p ⋅ (1 − p)
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© Werner Horn
Die Binomialverteilung
♦ Ein Experiment mit genau zwei Ausgangsmöglichkeiten A und
Komplement(A) wird N-fach ausgeführt. Die Wahrscheinlichkeit für
das k-malige Auftreten des Erfolges:
p=Erfolgswahrscheinlichkeit
⎛N⎞
P( X = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ pk (1 − p)N −k
⎝k⎠
0.3
1
0.8
N=5
p=0,5
0.25
0.2
0.15
F( X ≤ k)
0.6
0.4
Höchstwertverteilung
0.1
0.2
0.05
1
2
3
4
5
1
Erwartungswert
2
3
4
5
6
Varianz
E( X ) = N ⋅ p
V ( X ) = N ⋅ p ⋅ (1 − p)
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
35
© Werner Horn
Die Poissonverteilung
Dient zur Beschreibung des Eintreffen voneinander unabhängiger,
gleichartiger Ereignisse in einem Zeitraum, die im Mittel mit der Rate λ
erfolgen.
(λt )k −λ t
P( X = k ) =
⋅e
k!
F( X ≤ k)
λt = 4,5
Höchstwertverteilung
1
0.175
0.8
0.15
0.6
0.125
0.1
0.4
0.075
0.05
0.2
0.025
2
4
6
8
10
Erwartungswert
E( X ) = λt
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
2
4
6
8
10
12
Varianz
V ( X ) = λt
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© Werner Horn
Die Exponentialverteilung
♦ Eine stetige Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt mit
dem Parameter λ, wenn sie die folgende Dichtefunktion f(t)
besitzt.
f (t ) = λ ⋅ e−λ t
♦ Die zugehörige Verteilungsfunktion ist:
F (T ≤ t ) = 1 − e−λ t
♦ Dient zur Modellierung von statistisch unabhängigen Zeitintervallen
wie:
♦ Ankunftsabständen
♦ Bediendauern
♦ Lebensdauern (z.B. von elektronischen Bauteilen)
Erwartungswert
E(T ) =
Varianz
1
V (T ) =
λ
1
λ2
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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© Werner Horn
Die Exponentialverteilung
Höchstwertverteilung
f (t ) = λ ⋅ e
1
−λ t
1
0.8
0.8
λ=1
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1
2
3
4
5
Erwartungswert
E(T ) =
F (T ≤ t ) = 1 − e−λ t
0.6
1
λ
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
1
2
3
4
5
Varianz
V (T ) =
1
λ2
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© Werner Horn
Die Normalverteilung
♦ Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt, wenn sie
die folgende Dichtefunktion f(t) besitzt.
−
1
f (t ) =
⋅e
σ 2π
( x − μ )2
2σ 2
♦ Verteilung zur Beschreibung von Meßfehlern (Gauss).
♦ Zahlreiche Zufallsvariable lassen sich als Summe einer
großen Anzahl von unabhängigen Zufallsvariablen auffassen.
Der zentrale Grenzwertsatz besagt, daß eine derartige
Zufallsvariable “ungefähr” normalverteilt ist.
Erwartungswert
Varianz
E(T ) = μ
V (T ) = σ 2
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
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© Werner Horn
Die Normalverteilung
−
1
f (t ) =
⋅e
σ 2π
( x − μ )2
2σ 2
F (T ≤ t )
μ =5
σ =2
0.2
1
0.8
0.15
0.6
0.1
0.4
0.05
0.2
2
4
6
8
10
2
4
Erwartungswert
Varianz
E(T ) = μ
V (T ) = σ 2
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
6
8
10
40
© Werner Horn
Der Begriff des Zufallsprozesses
‰
Viele zufallsabhängige Vorgänge lassen sich durch eine oder mehrere
zeitabhängige Zufallsvariable beschreiben ( z.B. Warteschlangenmodell).
‰
Ein solcher zufallsabhängiger Prozess wird als Zufallsprozess oder
stochastischer Prozess bezeichnet
‰
Ein stochastischer Prozess ist eine Menge von Zufallsvariablen, die einerseits
vom Ergebnis des Experimentes δ und von einem reellen Parameter t
abhängen.
‰
Man schreibt:
‰
Der Parameter t kann oft als Zeit interpretiert werden.
‰
Die Gesamtheit der möglichen Werte, die der Prozess annehmen kann, nennt man
Zustandsraum des stochastischen Prozesses.
‰
Es gibt zustandskontinuierliche, zustandsdiskrete, zeitkontinuierliche und
zeitdiskrete stochastische Prozesse.
X (δ , t )
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
41
© Werner Horn
Die Interpretation des Zufallsprozesses
1. Man kann ihn als eine Familie von Funktionen X (δ , t )
ansehen, wobei δ und t Variable sind .
2. Man kann ihn als eine einfache reelle Funktion der Zeit für einen
festen Ausgang δ des Experimentes ansehen.
‰ In diesem Fall ist t eine Variable und δ fest.
‰ Die einzelnen Zeitfunktionen nennt man Musterfunktionen
100
δ1
%
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
zustandskontinuierlich,
zeitkontinuierlich
δ2
Samstag
Sonntag
mittl.Werktag
δ3
0
6
12
18 Uhr 24
Beispiel: Verkehrsprofile im Fernsprechnetz.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
t
42
© Werner Horn
Die Interpretation des Zufallsprozesses
3. Man kann ihn als eine Zufallsvariable ansehen.
‰ In diesem Fall ist der Zeitpunkt t fest und δ eine
Variable, X somit eine Zufallsvariable.
4. Man kann ihn als eine einzige reelle Zahl ansehen, wenn
δ und t beide fest vorgegeben sind.
0.4
Beispiel: Normalverteilung
0.3
t = const
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
X
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
43
© Werner Horn
Verkehrs- und Bedientheorie
‰
Die Verkehrstheorie bietet ein hilfreiches Werkzeug, um
Fernsprechverkehr oder Datenverkehr in einem Kommunikationsnetz
zu modellieren und zu analysieren
‰
Das zeitliche Verhalten des Modells eines Rechensystems oder
Kommunikationssystems wird durch einen stochastischen Prozess
modelliert.
‰
Die Modellgrößen werden durch statistische Zufallsvariable beschrieben
(z.B. zeitlicher Abstand TA zwischen ankommenden Aufträgen, Anzahl
k der Aufträge im System oder in der Warteschlange,..)
‰
Die Ergebnisse der Modellierung sind folglich statistisch verteilte
Leistungsmaße (hieraus Ermittlung der Momente, wie Mittelwert,
Streuung,..)
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
44
© Werner Horn
Verkehrs- und Bedientheorie
Anforderungen an
das System
System
Erfüllte
Anforderungen
a.)
Abgewiesene
Anforderungen
Angenommene
Anforderungen
k
Ankunftsrate λ
System
Enderate
b.)
Verlustwahrscheinlichkeit P V
Erfolgswahrscheinlichkeit
PE
PV = 1 − PE
Ankunftsabstand TA
System
Endeabstand TE
c.)
Verweilzeit TV
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
45
© Werner Horn
Definitionen zum Verkehrsaufkommen
‰
Jede Inanspruchnahme einer Ressource ist eine Belegung
‰
Dabei ist es gleichgültig, wie lange eine solche Belegung dauert, welchem Zweck sie
dient und ob sie erfolgreich ist oder nicht.
Kanal1
Kanal2
Kanal3
Kanalbündel
ti
Beobachtungsdauer T
‰
Die Summe der Belegungsdauern nennt man auch Verkehrsmenge Y, die auf die
Anzahl der Belegungen c normierte Verkehrsmenge die mittlere Belegungsdauer tm
Y = ∑ ti (Erlh)
‰
Beispiel: Vermittlungseinrichtung
tm =
Y
c
Man hat der Einheit für die Verkehrsmenge den Zusatz „Erlang“ gegeben (A. K.
Erlang, Begründer der Verkehrstheorie) und misst also die Verkehrsmenge in
Erlangstunden (Erlh).
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
46
© Werner Horn
Definitionen zum Verkehrsaufkommen
‰
Bezieht man die Verkehrsmenge auf die Beobachtungsdauer T, erhält man
den relativen Verkehr y, gemessen in Erlang (Erl):
y=
‰
Die Einheit 1 Erl ist zu verstehen als die vollständige Belegung eines Kanals über
eine Zeiteinheit.
-
‰
Y
t
= c ⋅ m ( Erl)
T
T
Ein Kanal kann einen Verkehrswert von höchstens 1 Erl erbringen.
Ein PCM-30 System transportiert höchstens 30 Erl.
Ein Teilnehmeranschluss am öffentlichen Netz erzeugt etwa 0,1 Erl.
Das Angebot ist der Verkehrswert, der einer Anlage oder einem Anlagenteil
tatsächlich zur Verarbeitung zugeführt wird (unabhängig davon, ob er bearbeitet
wird oder nicht). Die in einem Zeitintervall auftretende Anzahl der
Belegungsversuche wird Ca genannt. Das Angebot an eine
Vermittlungseinrichtung ist dann
A = Ca ⋅ tm ( Erl )
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
47
© Werner Horn
Definitionen zum Verkehrsaufkommen
‰
Die Belastung y ist das Produkt aus der im betrachteten
Zeitintervall verarbeiteten Anzahl von Belegungen Cy und der
mittleren Belegdauer tm.
y = Cy ⋅ tm ( Erl)
‰
Der Teil des Angebots, der die Belastung übersteigt, wird
abgewiesen und ist der Restverkehr R (Angebot - Belastung):
R = A − y = (Ca − Cy ) ⋅ tm ( Erl)
‰
Der Restverkehr bezogen auf das Angebot ist die
Blockierungswahrscheinlichkeit B. Sie ergibt sich als:
B=
R Ca − Cy
=
A
Ca
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
48
© Werner Horn
Warte- und Verlustsysteme
‰
Systeme ohne Wartemöglichkeiten nennt man Verlustsysteme.
‰
Systeme mit Wartemöglichkeiten nennt man Wartesysteme.
‰
Je nach der Länge der Warteschlange können Wartesysteme
unterteilt werden in
1. reine Wartesysteme (unendlich große Warteschlange)
2. Warte- und Verlustsysteme (endliche
Warteschlangenlänge)
‰
Betriebsmittelzuteilung, Verwaltungsstrategien und
Prioritätszuteilungen spielen bei der Betriebsorganisation von
Systemen eine große Rolle.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
49
© Werner Horn
Ankunfts- und Bedienprozesse
‰
Je besser die statistischen Eigenschaften des Ankunftsprozesses und
des Bedienprozesses modelliert werden, desto besser werden die
damit erhaltenen Ergebnisse sein.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
50
© Werner Horn
Ankunftsprozesse
‰
Das Aufkommen von Anforderungen an ein System wird als
Verkehrsaufkommen bezeichnet.
‰
Die ankommenden, abgewiesenen und erfüllten Anforderungen können als
stochastische Prozesse aufgefasst werden.
‰
Der Prozess,der die ankommenden Anforderungen darstellt, wird als
Ankunftsprozess bezeichnet. Seine statistischen Eigenschaften müssen durch
Messungen ermittelt werden.
‰
Die Zeitspanne zwischen zwei Ankünften eines Ankunftsprozesses bezeichnet
man als Ankunftsabstand TA
‰
Der Erwartungswert der Anzahl der Ankünfte pro Zeiteinheit wird als die
Ankunftsrate bezeichnet.
1
⎧ Anzahl_ der _ Ankünfte⎫
⎬=
Zeiteinheit
⎩
⎭ E{TA}
λ = E⎨
‰
Der Ankunftsprozess kann durch die Verteilungsfunktion oder die
Verteilungsdichtefunktion der Anforderungsankünfte (Anzahl) oder der
Ankunftsabstände (Zeitabstand) modelliert werden.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
51
© Werner Horn
Bedienprozesse
‰
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Anforderung erfüllt wird, nennt man
Erfolgswahrscheinlichkeit PE
‰
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Anforderung nicht erfüllt wird, nennt man
Verlustwahrscheinlichkeit PV
‰
Das Bearbeiten von Anforderungen durch die Bedieneinheit oder die
Bedieneinheiten nennt man Bedienprozess.
‰
Der Bedienprozess kann durch die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion oder die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Bedienzeit TB modelliert werden.
‰
Den Erwartungswert der Anzahl der abgefertigten Anforderungen pro Zeiteinheit
nennt man Bedienrate μ .
1
⎧ Anzahl_ der _ Bedienungen ⎫
⎬=
Zeiteinheit
⎩
⎭ E{TB}
μ = E⎨
‰
Die Verweilzeit TV einer Anforderung im System besteht aus Wartezeit TW und
Bedienzeit TB.
TV = TW + TB
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
52
© Werner Horn
Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Bedien- und
Ankunftsprozessen
(wichtigste und einfachste
Verteilung)
Zur Modellierung realer Bedien- und Ankunftsprozesse
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
53
© Werner Horn
Die negativ-exponentielle Wahrscheinlichkeitsverteilung
‰
Beschreibt Verteilung von Ereignissen, die statistisch unabhängig voneinander
geschehen (z.B. Zeitlicher Abstand, Dauer von Telefongesprächen)
‰
Die Wkt.-Verteilungsfunktion FT(t) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert
der Zufallsvariablen T kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert t ist.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fT(t)
der kontinuierlichen
statistischen Variablen T
Höchstwertverteilung FT(t)
der kontinuierlichen
statistischen Variablen T
1
0.8
0.6
FT (t ) = p (T ≤ t ) = 1 − e − λt
0.4
t ≥0
fT (t ) =
dFT (t )
= λ e −λt
dt
0.2
t
t
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
54
© Werner Horn
Die negativ-exponentielle Wahrscheinlichkeitsverteilung
‰
Der Erwartungswert (Mittelwert, gewöhnliches Moment erster Ordnung)
∞
E{T } = ∫ t λ e −λt dt =
0
‰
1
λ
Varianz (Streuungsquadrat, zentrales Moment zweiter Ordnung)
σ T2 = E{T 2 } − ( E{T }) 2 =
‰
λ
2
Variationskoeffizient (normierte Standardabweichung)
cT =
‰
1
σT
E{T }
=1
Die Exponentialverteilung ist vollständig durch ihren Mittelwert bestimmt !!!
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
55
© Werner Horn
Die Markov-Eigenschaft der Exponentialverteilung
‰
Die wichtigste Eigenschaft der Exponentialverteilung ist die Markov-Eigenschaft,
die auch als Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung bezeichnet wird.
‰
Statistische Prozesse mit der Exponentialverteilung werden auch als MarkovProzesse bezeichnet
‰
Frage: Wie wirkt sich die Vergangenheit eines Prozesses auf seine Zukunft aus?
Wkt. für
Ankunft
nach t
Wkt. für
Ankunft
nach t+s
Beginn der
Beobachtung
t=0
P(T > t ) = e − λt
Zeit
t
P(T > t + s T > t ) = ???
t=0
Zeit
t
s
Kein Ereignis
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
56
© Werner Horn
Die Markov-Eigenschaft der Exponentialverteilung
‰
Beweis der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung :
P(T > t + s | T > t ) =
P(T > t + s, T > t ) 1 − P(T ≤ t + s) e−λ (t +s )
=
= −λt = e−λs = P(T > s)
P(T > t )
P(T > t )
e
Die Vorgeschichte (0..t) hat keine Bedeutung für die Zukunft (t..t+s) !!!
Hat man einen negativ-exponentiellen Prozeß bereits t lang beobachtet, und während
dieser Zeit erfolgte kein Ereignis, so ist die Wahrscheinlichkeit für die Dauer des
Wartens auf das Ereignis völlig unabhängig von der Zeit, die bisher gewartet wurde !!!
‰
‰
‰
Bei einem Markov-Prozess spielt die Vorgeschichte des Prozesses keine Rolle
Die Exponentialverteilung ist die einzige kontinuierliche Verteilung, die die
Markov-Eigenschaft besitzt.
Die Exponentialverteilung liegt immer genau dann vor, wenn die einzelnen
Ereignisse eines Prozesses voneinander unabhängig sind.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
57
© Werner Horn
Die Poisson-Eigenschaft der Exponentialverteilung
‰
Berechnung der Wahrscheinlichkeit p(k) dafür, daß k Anforderungen in einem
Zeitintervall t ankommen, wenn die Ankunftszeiten exponentialverteilt sind
1.
p1
Δt
2.
p0
Δt
p0
Δt
p0
Δt
p1
p1
. . . .
3.
k-1.
.....
p0
p1
k. Ankunft
p1
p0
Zeitintervall t = m ⋅ Δ t (unterteilt in m Zeitabschnitte)
Reihenentwicklung der Exponentialverteilung für kleine Intervalle Δt :
p (T ≤ Δt ) = 1 − e
− λΔt
(λΔt ) 2 (λΔt ) 3
= 1 − [1 − λΔt +
−
+ L]
2!
3!
Berechnung der Wahrscheinlichkeit p1
für eine Ankunft im Intervall Δt
p1 = p(T ≤ Δt ) ≈ λΔt
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
Berechnung der Wahrscheinlichkeit p0
für keine Ankunft im Intervall Δt
p0 = p(T > Δt ) ≈ 1 − λΔt
58
© Werner Horn
Die Poisson-Eigenschaft der Exponentialverteilung
⎛m⎞
m!
p (k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p1k p0m − k =
(λ Δt ) k (1 − λ Δt ) m − k
(m − k )!k!
⎝k⎠
Mit
Δt =
t
m
folgt:
(λt )k
m!
p(k ) =
(1 − λ Δt )m−k
k
k! m (m − k )!
Für m>>k folgt:
( λt ) k
λt
p(k ) ≈
⋅ 1 ⋅ (1 − ) m
k!
m
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
59
© Werner Horn
Die Poisson-Eigenschaft der Exponentialverteilung
Der Grenzwertübergang für m → 0 liefert (Anwendung der Definition der
Exponentialfunktion) die Poissonverteilung
(λt ) k −λt
p(k ) =
e
k!
Die Poissonverteilung gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit p(k) ist,
daß in einem Zeitintervall k Ereignisse erfolgen, wenn die Zwischenankunftszeiten dieser Ereignisse exponentialverteilt sind!
Sind die Zwischenankunfts- oder Bedienzeiten eines Prozesses exponentialverteilt,
dann ist die Zufallsvariable für die Anzahl der Ankünfte bzw. Bedienungen, die in
einem festen Zeitintervall stattfinden poissonverteilt.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
60
© Werner Horn
Zusammenfassen und Zerteilen von
Poissonprozessen
Die Zusammenfassung von n Poissonprozessen mit den Ankunftsraten λi
ergibt wiederum einen Poissonprozess
‰
P(T ≤ t ) = 1 − e − λt
λ1
λ2
λ
n
λ = ∑ λi
mit
λn
i =1
Wird ein Poissonprozess mit den Ankunftsrate λ in n Prozesse aufgeteilt und
die Ankünfte mit der Wahrscheinlichkeit pi jedem i-ten Teilprozess zugeführt, so
ist jeder der Teilprozesse wiederum ein Poissonprozess
‰
λ
p1
p2
λ1 = λ ⋅ p1
λ2 = λ ⋅ p2
pn
λn = λ ⋅ pn
Pi (T ≤ t ) = 1 − e− piλt
n
∑p
i =1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
i
=1
λi = λ ⋅ pi
61
© Werner Horn
Die Hyperexponentialverteilung
zur Aproximation nichtexponentieller Verteilung mit einem
Variationskoeffizienten c > 1
Alternativauswahl von Bedieneinheiten mit exponentieller Bedienzeitverteilung
‰
‰
p1
‰
p2
k
∑p
j =1
j
=1
‰
pk
k: Anzahl der parallelen Stufen
Nachbildung der gewünschten
Verteilung durch Parallelschalten von
exponentiell verteilten
Einzelprozessen (Phasen)
Ein Auftrag wird mit der
Wahrscheinlichkeit pk von der
Bedieneinheit (Phase) k bedient
Es ist jeweils nur eine Bedieneinheit zu
jeder Zeit aktiv
k
F (t ) = P(TB ≤ t ) = ∑ p j ⋅ (1 − e
−μ j ⋅t
)
j =1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
62
© Werner Horn
Die Erlang-k-Verteilung
Zur Approximation nichtexponentieller Verteilungen mit Variationskoeffizienten c<1
‰
‰
Serienschaltung von k identischen Stufen (Phasen) mit exponentieller
Verteilung der Bedienzeit
Ein Auftrag kann erst dann von der ersten Phase bedient werden, wenn
der vorhergehende Auftrag die letzte Phase verlassen hat.
F (t ) = P(TB ≤ t ) = 1 − e
− kμt
(kμt ) j
⋅∑
j!
j =0
k −1
t ≥ 0, k ∈{1,2,L}
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
63
© Werner Horn
Hypoexponentialverteilung
Durch Kombination der Hyperexponential- und der Erlang-k-Verteilung
können beliebig komplexe Verteilungen modelliert werden
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
64
© Werner Horn
Das Little‘sche Gesetz
‰
wichtigste und am häufigsten verwendete Beziehung der Warteschlangentheorie
‰
Little‘sches Gesetz stellt unter Annahme des „Gleichgewichtszustandes“ eine
direkte Beziehung zwischen der mittleren Anzahl der Aufträge k und deren
mittlerer Verweilzeit TV im System her.
WS-System
Ankunftsrateλ
k Aufträge
Verweilzeit TV
TV = TW + TB
TW = Wartezeit
TB = Bedienzeit
k = λ ⋅ TV
‰
Das Little‘sches Gesetz gilt auch für die Warteschlange
L = λ ⋅ TW
L = mittleren Anzahl der
wartenden Aufträge
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
65
© Werner Horn
Das Little‘sche Gesetz Heuristischer Beweis
‰
Das System befindet sich im statistischen Gleichgewicht
‰
Ein Auftrag betritt das System, in dem sich k Aufträge befinden.
‰
Die im System enthaltenen k Aufträge werden bearbeitet und nach
der Zeit TV verlässt der bearbeitete Auftrag das System.
‰
In dieser Zeit sind
angekommen.
‰
Da sich das System im Gleichgewicht befinden soll, müssen dort
λ ⋅ TV
neue Aufträge im System
zu diesem Zeitpunkt wieder k Aufträge vorhanden sein, d.h.
k = λ ⋅ TV
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
66
© Werner Horn
Das Little‘sche Gesetz
Ankünfte und Abgänge sollen sich im Mittel
die Waage halten (statistisches Gleichgewicht)
Anzahl
Aufträge
Mittlere VerweildauerTV (τ )
im System
A(τ )
7
6
5
4
3
2
1
Ankünfte A(t)
(Arrival)
A(τ )
FlächeF (τ )
∑T
Vi
TV (τ ) =
TV5
TV4
i =1
A(τ )
TV3
Abgänge D(t)
(Departures)
TV2
TV1
τ
⋅1
=
F (τ )
A(τ )
Zeit t
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
67
© Werner Horn
Das Little‘sche Gesetz
Anzahl Aufträge
A(τ )
7
6
5
4
3
2
1
Mittlere Anzahl
von Aufträgen im System
L(t) Anzahl der sich zum Zeitpunkt t
im System befindenden Aufträge
τ
FlächeF (τ )
k (τ ) =
L(t)
τ
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
∫ L(t ) dt
0
τ
=
F (τ )
τ
Zeit t
68
© Werner Horn
Das Little‘sche Gesetz
Durch Gleichsetzen der Flächen F(τ) ergibt sich
F (τ ) = k (τ ) ⋅ τ = TV (τ ) ⋅ A(τ )
oder
TV (τ ) ⋅
Der Grenzübergang
für τ → ∞
liefert
A(τ )
τ
= k (τ )
TV ⋅ λ = k
Annahmen für die Ableitung
‰ keine Annahmen für den Ankunftsprozess und Bedienprozess (stat. Verteilung)
‰ keine Annahmen für die Reihenfolge der Bedienung (Bedienstrategie)
‰ Es wurde nur das Erreichen eines stationären Zustandes gefordert
(statistisches Gleichgewicht)
Folgerung
Das Little‘sche Gesetz gilt allgemein für Warteschlangensysteme
im stationären Zustand
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
69
© Werner Horn
Elementare Bediensysteme
‰
Komplexe Systeme bestehen aus einer Zusammenschaltung von
mehreren elementaren Warteschlangensystemen.
‰
Elementare Warteschlangensysteme (Bediensysteme) bestehen aus:
Ì
1. Bedieneinheit(en) und/oder
Ì
2. Warteschlange(n)
Warteschlange
Bedieneinheit
Ankunftsrate
λ
Auftrag
μ
Bedienrate
Warteschlangenlänge L
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
70
© Werner Horn
Leistungsgrößen elementarer Wartesysteme (1)
‰
Ziel der Modellierung ist immer die Ermittlung der
Leistungskenngrößen
‰
Da es sich bei einem Warteschlangenmodell um ein
dynamisches Modell handelt, sind die Leistungsgrößen
zeitabhängig.
‰
In der Regel interessiert man sich für die Ergebnisse im
stationären Zustand d.h.:
‰
Einschwingvorgänge sind abgeklungen
‰
Leistungsgrößen sind zeitunabhängig (->Mittelwerte)
‰
Das System befindet sich im statistischen
Gleichgewicht
‰
Ankunftsrate ist gleich der Rate mit der die Aufträge
abgehen
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
71
© Werner Horn
Leistungsgrößen elementarer Wartesysteme (2)
1. Die Zustandswahrscheinlichkeit p(k )
P(k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich im Wartesystem k
Aufträge befinden
2. Die Auslastung ρ
Die Auslastung gibt den Bruchteil der Gesamtzeit an, den die
Bedieneinheit aktiv (belegt) ist.
ρ=
mittlere Bedienzeit
Ankunftsrate λ
=
=
mittlere Zwischenankunftszeit Bedienrate μ
Für ein stabiles System (d.h.stat.Gleichgewichtszustand existiert)
muß folgende Bedingung gelten:
ρ <1
Es dürfen im Mittel pro Zeiteinheit nicht mehr Aufträge ankommen
als bedient werden können.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
72
© Werner Horn
Leistungsgrößen elementarer Wartesysteme (3)
3. Der Durchsatz
Der Durchsatz gibt die mittlere Anzahl von Anfragen an, die pro
Zeiteinheit bedient werden (Abgangsrate). Da im statistischen
Gleichgewicht die Abgangsrate gleich der Ankunftsrate sein muß,
gilt
λ = ρ ⋅μ
4. Die Wartezeit TW
Die Wartezeit gibt an, wie lange ein Auftrag in der Warteschlange
warten muß, bis seine Bearbeitung beginnt.
5. Die Verweilzeit TV
Die Verweilzeit ist die Gesamtheit der Zeit, die ein Auftrag im
Wartesystem verbringt.
Nach Little
Es gilt:
TV = TW + TB =T W +
1
μ
=
k
λ
k = mittl. Anzahl der Aufträge
im System
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
73
© Werner Horn
Leistungsgrößen elementarer Wartesysteme (4)
6. Die mittlere Anzahl k der Aufträge im
Wartesystem
Die mittlere Anzahl der Aufträge im Wartesystem wird oft auch als
Füllung bezeichnet.
∞
k = ∑ k ⋅ p(k )
k =1
7. Die Warteschlangenlänge L
Die Anzahl der Aufträge in der Warteschlange wird als
Warteschlangenlänge L bezeichnet.
∞
L = ∑ (k −1) ⋅ p(k )
k =2
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
74
© Werner Horn
Die Kendall-Notation für elementare
Warteschlangensysteme
A/B/c/K/m/Z
A
B
c
K
m
Z
Verteilung der Zwischenankunftszeiten
Verteilung der Bedienzeiten
Anzahl der Bedieneinheiten
Anzahl der Warteplätze
Auftragszahl in der Quelle
Warteschlangenstrategie (queue discipline, Bedienstrategie)
Beispiele für Verteilungen
M
Negativ-Exponentielle Verteilung (Markov)
Ek
Erlang Verteilung mit k-Stufen
Hyper-Exponentielle Verteilung mit k-Stufen
Hk
D
Deterministische Verteilung (konstante Zeiten)
G
„Generelle“ Verteilung (allgemeine Bedienzeitverteilung)
Oft werden Kurzformen der Kendall-Notation verwendet, wie
A/B/c
z.B.: M/G/1
A/B/c/K
z.B.: M/M/1/10
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
75
© Werner Horn
Warteschlangendisziplinen
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
76
© Werner Horn
Markov-Prozesse
‰
‰
‰
Spezielle stochastische Prozesse
Leistungsfähige Hilfsmittel zur Modellierung und Leistungsbewertung
Warteschlangenmodelle können mit Hilfe spezieller Markov-Prozesse,
den Markov-Ketten, eindeutig beschrieben werden.
Die Analyse der Markov-Ketten erlaubt die Bestimmung der
Zustandswahrscheinlichkeiten und hierdurch auch die Bestimmung
der Leistungskenngrößen des Warteschlangenmodells (WS-Modells)
Ein stochastischer Prozess gehört genau dann zur Klasse der MarkovProzesse, wenn er die Markov-Eigenschaft (statistische
Unabhängigkeit der Ereignisse) besitzt
‰
‰
Der zukünftige Verlauf eines Prozesses ist nur vom Zustand X(t) zur Zeit t
abhängig und nicht von seiner Vorgeschichte
Exponentialverteilung der Ankunftsabstände bzw.
Bedienzeiten
Poissonverteilung der Ankünfts- und Bedienereignisse
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
77
© Werner Horn
Markov-Ketten
‰
Markov-Ketten sind Markov-Prozesse mit diskretem Zustandsraum
und kontinuierlichem Zeitraum
X(t)
1
P ( X ( t n +1 ) = x n +1 X ( t 0 ) = x 0 , X ( t1 ) = x1 , L X ( t n ) = x n )
= P ( X ( t n +1 ) = x n +1 X ( t n ) = x n )
0
9
Vorgeschichte
8
Zukunft ?
7
Formulierung
der Markov-Eigenschaft
für Markov-Ketten
6
5
4
Die Zukunft des Prozesses ist vollständig
im augenblicklichen Zustand enthalten
3
2
t
1
0
t0 t1
t2 t3
tn-1
tn tn+1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
78
© Werner Horn
Stationärer Zustand von Markov-Ketten
‰
‰
‰
Das Hauptinteresse bei Betrachtungen von Markov-Ketten betrifft die
Untersuchung des stationären Zustandes
‰ Prozess läuft hinreichend lang
‰ Einschwingvorgänge abgeschlossen
‰ Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Prozesszustand ist
unabhängig vom Anfangszustand.
‰ Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Prozesszustand wird
zeitunabhängig
Ein solcher stationärer Zustand existiert, wenn alle Zustände
‰ positiv rekurrent sind (jeder Zustand wird innerhalb endlicher Zeit
erreicht) und
‰ irreduzibel sind (von jedem Zustand aus kann jeder andere
Zustand erreicht werden)
Die Zustände der Markov-Kette und auch die Markov-Kette selbst
werden dann ergodisch genannt.
Die Grenzwahrscheinlichkeiten einer ergodischen Markov-Kette heißen
stationäre Zustandswahrscheinlichkeiten oder
Gleichgewichtszustandswahrscheinlichkeiten
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
79
© Werner Horn
Homogene Markov-Ketten (1)
‰
Homogene Markov-Ketten sind spezielle Markov-Ketten, deren
Übergangswahrscheinlichkeiten pik von einem bestehenden
Zustand i zu einem anderen Zustand k nicht von der absoluten Zeit t
sondern nur von der Länge des betrachteten Zeitintervalls Δt
abhängt (Exponentialverteilung der Zwischenzeiten TZ der
Prozessübergänge).
pik (TZ ≤ t + Δt | TZ ≥ t ) = pik (TZ ≤ Δt )
pik (TZ ≤ Δt ) = 1 − e
−qik Δt
!!!
(qik Δt )2 (qik Δt )3
= 1 − [1 − qik Δt +
−
+ L] = pik (Δt )
2!
3!
qik = Rate mit der im Mittel Übergänge vom Zustand i in den Zustand k erfolgen
‰
Für kleine Zeitintervalle Δt kann die
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der
Übergangswahrscheinlichkeiten approximiert werden.
pik ( Δt ) ≈ qik ⋅ Δt
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
80
© Werner Horn
Homogene Markov-Ketten (2)
‰
Die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit für das Verlassen des
Zustandes i
∑p
k ≠i
‰
ik
(Δt ) = 1 − pii (Δt ) ≈ ∑ qik ⋅ Δt
k ≠i
Die absolute Übergangswahrscheinlichkeit pik* von einem
bestehenden Zustand i zu einem anderen Zustand k
*
pik (Δt ) = pi (t ) ⋅ pik (Δt )
Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen des Zustandes i
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
81
© Werner Horn
Die Chapman-Kolmogorov-Gleichung (1)
‰
Die absolute Wahrscheinlichkeit pk für die Existenz des
Zustandes k zum Zeitpunkt t + Δt
pk (t + Δt ) = ∑ pik (Δt ) = ∑ pi (t ) ⋅ pik (Δt )
*
i
i
Alle möglichen Zustände i
‰
Berechnung der Zustandswahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt
aus der Zustandswahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t
‰
Gültig für Homogene Markov-Ketten
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
t + Δt
82
© Werner Horn
Die Chapman-Kolmogorov-Gleichung (2)
‰
Ausgliedern von Term i=k
pk (t + Δt ) = ∑ pi (t ) ⋅ pik (Δt ) + pk (t ) ⋅ pkk (Δt )
i ≠k
‰
Subtraktion von pK(t)
Δpk = pk (t + Δt ) − pk (t ) = ∑ pi (t ) ⋅ pik (Δt ) − pk (t )(1 − pkk (Δt ))
i ≠k
= ∑ pi (t ) ⋅ pik (Δt ) − pk (t )∑ pki (Δt )
i ≠k
i ≠k
≈ ∑ pi (t ) ⋅ qik ⋅ Δt − pk (t )∑ qki ⋅ Δt
i ≠k
i ≠k
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
83
© Werner Horn
Die Kolmogorov-Gleichung für Homogene Markov-Ketten
‰
Division durch
Δt
Δp k
p ( t + Δt ) − p k ( t )
= k
= ∑ pi (t ) ⋅ qik − pk (t )∑ qki
Δt
Δt
i ≠k
i ≠k
‰
Grenzübergang Δt → 0
d
pk (t ) = ∑ pi (t ) ⋅ qik − pk (t )∑ qki
dt
i ≠k
i ≠k
‰
Zusätzlich gilt die Summenbedingung für
alle Zustände k im Zustandsraum Z
∑ p (t) = 1
k∈Z
Lineares Differentialgleichungssystem
Zur Lösung sind die
Anfangsbedingungen
pk(t) zur Zeit t=0
notwendig
k
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
84
© Werner Horn
Stationäre Homogene Markov-Ketten
‰
‰
Nach Abklingen von Einschwingvorgängen ( Δt → 0 ) stellt sich bei
ergodischen Markov-Ketten ein eingeschwungener Zustand ein.
Die Zustandswahrscheinlichkeiten sind dann von der Zeit
unabhängig, d.h.
d
pk (t ) = 0
t → ∞ dt
lim pk (t ) = pk
lim
t →∞
Z
Z
i ≠k
i ≠k
pk ∑ qki = ∑ pi qik
qki , qik = Bedienbzw. Ankunftsraten
Nebenbedingung
Übergänge, die zum
Verlassen führen
Übergänge, die zum
Entstehen führen
Zustand
Zk
∑p
k∈Z
k
=1
Alle Zustände befinden sich im Statistisches Gleichgewicht
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
85
© Werner Horn
Beispiel: Geschlossenes
mit zwei Aufträgen (1)
‰
‰
‰
Warteschlangensystem
Gegeben ist ein geschlossenes Warteschlangennetz mit 2
Bedieneinheiten
Im Netz befinden sich 2 Aufträge.
Die Bedienzeiten der Bedieneinheiten sind exponentialverteilt mit den
Bedienraten: μ1 = 10 s-1, μ2 = 20 s-1
Bedieneinheit 1
Bedieneinheit 2
μ1
Warteschlange 1
μ2
Warteschlange 2
‰
Zur Darstellung der Systemzustände wird folgende Notation verwendet:
‰
Zustand = (k1, k2)
mit
k1= Anzahl der Aufträge in Knoten 1
k1= Anzahl der Aufträge in Knoten 1
Der Zustandsraum:
Z = {(2,0), (1,1), (0,2)}
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
86
© Werner Horn
Beispiel: Geschlossenes
mit zwei Aufträgen (2)
Warteschlangensystem
Bedieneinheit 1
Bedieneinheit 2
μ2
μ1
Warteschlange 2
Warteschlange 1
Das Zustandsübergangsdiagramm:
μ2
μ2
p(2,0)
p(1,1)
μ1
p(0,2)
μ1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
87
© Werner Horn
Beispiel: Geschlossenes
mit zwei Aufträgen (3)
Warteschlangensystem
Das Gleichungssystem für den stationären Gleichgewichtszustand nach
Kolmogorov:
Zustand (2,0):
Zustand (1,1):
p(1,1) ⋅ μ2 − p( 2,0) ⋅ μ1 = 0
p( 2,0) ⋅ μ1 + p( 0,2) ⋅ μ2 − p(1,1) ⋅ (μ1 + μ2 ) = 0
Zustand (0,2):
p(1,1) ⋅ μ1 − p(0,2) ⋅ μ2 = 0
Summenbedingung:
p( 2,0) + p(1,1) + p(0,2) = 1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
Linear
abhängiges
GLS
88
© Werner Horn
Beispiel: Geschlossenes
mit zwei Aufträgen (4)
⎛ 1
⎜
⎜ − μ1
⎜ μ
⎝ 1
Warteschlangensystem
1 ⎞⎛ p ( 2 , 0 ) ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜
μ2
0 ⎟⎜ p(1,1) ⎟ = ⎜ 0 ⎟
− ( μ1 + μ 2 ) μ 2 ⎟⎠⎜⎝ p( 0, 2 ) ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
1
‰ Zustandswahrscheinlichkeiten
1
1 ⎞⎛ p ( 2 , 0 ) ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛ 1
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜
0 ⎟⎜ p(1,1) ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ − 10 20
⎜ 10 − 30 20 ⎟⎜ p ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ ( 0 , 2 ) ⎠ ⎝ ⎠
1 ⎞⎛ p ( 2 , 0 ) ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛1 1
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜
⎜ 0 30 10 ⎟⎜ p(1,1) ⎟ = ⎜10 ⎟
⎜ 0 40 − 10 ⎟⎜ p ⎟ ⎜10 ⎟
⎝
⎠⎝ ( 0 , 2 ) ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 1 1 ⎞⎛ p ( 2 , 0 ) ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜
⎜ 0 30 10 ⎟⎜ p(1,1) ⎟ = ⎜10 ⎟
⎜ 0 0 70 ⎟⎜ p ⎟ ⎜10 ⎟
⎝
⎠⎝ ( 0 , 2 ) ⎠ ⎝ ⎠
p( 0, 2 ) =
1
7
p(1,1) =
2
7
p( 2 , 0 ) =
4
7
‰ Betrachtungen zur Auslastung der
Bedieneinheiten
Bedieneinheit1: Arbeitet, wenn Zustand
(2,0) oder (1,1)
p( 2,0) + p(1,1) =
6
⇒ 85,71%
7
Bedieneinheit 2: Arbeitet, wenn Zustand
(1,1) oder (0,2)
p(1,1) + p(0,2) =
3
⇒ 42,86%
7
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
89
© Werner Horn
Eindimensionale Geburts- und Sterbeprozesse (1)
‰
‰
‰
‰
‰
Spezielle Markov-Prozesse, bei denen nicht alle Übergänge zwischen beliebigen
Zuständen möglich sind, sondern nur jeweils Übergänge zu benachbarten
Zuständen
Sind beschreibbar durch eindimensionale Zufallsvariable
Die Rate, mit der der Übergang vom Zustand k zum benachbarten Zustand k+1
stattfindet, nennt man Geburtsrate λk ,k +1 = λk
.
Die Rate, mit der der Übergang vom Zustand k zum benachbarten Zustand k-1
stattfindet, nennt man Sterberate μk ,k −1 = μk
.
Alle Raten zu nicht benachbarten Systemzuständen sind gleich 0.
λk ,k +i = 0 für i ≥ 2
μk ,k −i = 0 für i ≥ 2
‰
Die Kolmogorov-Gleichung lautet hierfür
d
pk (t ) = pk +1 (t ) ⋅ μk +1 + pk −1 (t ) ⋅ λk −1 − pk (t ) ⋅ (λk + μk )
dt
Übergänge in den Zustand k
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
für k > 0
Übergänge aus den Zustand k
90
© Werner Horn
Eindimensionale Geburts- und Sterbeprozesse (2)
‰
Die Kolmogorov-Gleichung für den Zustand k=0
d
p0 (t ) = p1 (t ) ⋅ μ1 − p0 (t ) ⋅ λ0
dt
‰
k=0
und die Normierungsbedingung
∑p
k∈Z
k
(t ) = 1
Sind alle Sterberaten μ k = 0 , so spricht man von einem reinen
Geburtsprozess .
Sind alle Geburtsraten λk = 0 , so spricht man von einem reinen
Sterbeprozess
‰
‰
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
91
© Werner Horn
Stationäre eindimensionale Geburts- und Sterbeprozesse (1)
‰
Alle Zustände befinden sich im statistischen Gleichgewicht
‰
Globales Gleichgewicht liegt für den Zustand k vor, wenn er sich mit allen
anderen Zuständen des Systems (hier nur benachbarte) im statistischen
Gleichgewicht befindet.
Globale Gleichgewichtsbedingungen
0 = pk +1 ⋅ μk +1 + pk −1 ⋅ λk −1 − pk ⋅ (λk + μk )
für k > 0
0 = p1 ⋅ μ1 − p0 ⋅ λ0
∑p
μ1
p0
k∈Z
μ2
p1
λ0
k
=1
Normierungsbedingung
μk
μ3
p2
λ1
für k = 0
μ k +1
pk
λ2
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
λk −1
λk
92
© Werner Horn
Stationäre eindimensionale Geburts- und Sterbeprozesse (2)
‰
Aufsummierung der globalen Gleichgewichtsbedingungen
− p0λ0
+ p1μ1
= 0
Z0
+ p0λ0 − p1 (λ1 + μ1 )
Z1
+ p2 μ2
+ p1λ1
Z2
− p2 (λ2 + μ2 )
+ p3μ3
= 0
+ p2λ2
− p3 (λ3 + μ3 ) + p4 μ4 = 0
Z3
0
= 0
0
− p3λ3
0
+ p4 μ4 = 0
Lokales Gleichgewicht
μ1
p0
p1
λ0
μ5
μ4
μ3
μ2
p3
p2
λ1
μk
p4
pk
λ3
λ2
μ k +1
λ4
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
λk −1
λk
93
© Werner Horn
Stationäre eindimensionale Geburts- und Sterbeprozesse (3)
‰
Lokale Gleichgewichtsbedingungen (zwischen benachbarten Zuständen)
0 = pk ⋅ μk − pk −1 ⋅ λk −1
‰
Durch mehrfaches Einsetzen
aus
p1 = p0 ⋅
λ0
μ1
pk = pk −1 ⋅
und
pk = p0 ⋅
λk −1
μk
folgt
λ0 λ1 λk −1
⋅ L
μ1 μ2 μk
k −1
pk = p0 ⋅ ∏
i =0
λi
μi+1
Allgemeine Lösung für
die Gleichgewichtszustandswahrscheinlichkeit pk
für k > 0
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
94
© Werner Horn
Stationäre eindimensionale Geburts- und Sterbeprozesse (4)
‰
Wegen der Normalisierungsbedingung
∑p
k∈Z
k
n−1
n=1
i =0
1 = p0 + ∑ p0 ∏
1
k
n−1
1 + ∑∏
n=1 i =0
‰
= 1 folgt
λi
λ
λ λ
= p0 + p1 + p2 + L = p0 + p0 0 + p0 0 1 + L
μi+1
μ1
μ1 μ2
p0 =
und
k
λi
μi+1
1
=
1+
λ0 λ0 λ1
+
+L
μ1 μ1 μ2
Einsetzen von p0 in pk
k −1
pk =
λi
∏μ
Allgemeine Lösung für
die Gleichgewichtszustandswahrscheinlichkeit pk
i =0
i +1
k n −1
1 + ∑∏
n =1 i =0
λi
μ i +1
für k > 0
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
95
© Werner Horn
Das elementare WS-System M/M/1 (1)
‰
Die Warteschlange hat unendlich viele Warteplätze
Warteschlange
Bedieneinheit
Ankunftsrate
λ
μ
Bedienrate
Warteschlangenlänge L
Auftrag
‰
μ
p0
Alle Übergänge zu niederen Zuständen erfolgen mit
der gleichen Rate μ
(Bedienrate)
Lokales Gleichgewicht
μ
p1
λ
‰
μ
p2
pk-1
λ
μ
pk
λ
pk+1
λ
Alle Übergänge zu höheren Zuständen erfolgen mit
der gleichen Rate λ (Ankunftsrate )
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
96
© Werner Horn
Das elementare WS-System M/M/1 (2)
‰
Für p0 erhält man unter der Voraussetzung gleicher Übergangsraten und einer
unendlichen Anzahl von Warteplätzen (unendlich viele Zustände k möglich)
p0 = p0 (k ) =
1
k
n−1
1 + ∑∏
n=1 i =0
λi
μi+1
=
lim p0 (k ) = 1 −
k →∞
1
λ
λ
λ
1 + ( ) + ( )2 + L + ( )k
μ
μ
μ
λ
= p0
μ
für
λ / μ <1
TA
λ T
ρ= = B =Verkehrsangebot
μ TA
p0 = 1 −
λ
= 1− ρ
μ
TB
t
Wahrscheinlichkeit p0 dafür, daß kein Auftrag
im System ist ( ρ = λ / μ Auslastung der Bedieneinheit)
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
97
© Werner Horn
Das elementare WS-System M/M/1 (3)
‰
Für pk ergibt sich
λ
pk = p0 ⋅ ( )k = (1 − ρ ) ρ k
μ
für k > 0
Allgemeine Lösung für
die Gleichgewichtszustandswahrscheinlichkeit pk
Wahrscheinlichkeit pk dafür, daß k Aufträge im System sind.
p(k)
0.3
ρ=0.7
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
2
4
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
6
8
10
k
98
© Werner Horn
Das elementare WS-System M/M/1 (4)
‰
Die mittlere Anzahl k (Erwartungswert, 1. Moment) von Aufträgen im System
∞
∞
k = ∑ k ⋅ pk = ∑ k ⋅ ρ k (1 − ρ )
k =0∞
k =0
k = ∑ k ⋅ ρ (1 − ρ ) =
k=
‰
k
k =0
ρ
ρ
für ρ < 1
1− ρ
Mittlere Anzahl k von Aufträgen im System
( ρ = λ / μ Auslastung der Bedieneinheit)
1− ρ
Die mittlere Anzahl L (Erwartungswert, 1. Moment) von Aufträgen in der
Warteschlange
ρ2
L = ∑ (k −1) pk = ∑ (k −1)(1 − ρ )ρ =
1− ρ
k =2
k =2
∞
∞
ρ2
L=
1− ρ
k
für ρ < 1
Mittlere Anzahl L von Aufträgen in der
Warteschlange
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
99
© Werner Horn
Das elementare WS-System M/M/1 (5)
k=
ρ
1− ρ
Mittlere Anzahl k von Aufträgen im System
( ρ = λ/μ Auslastung der Bedieneinheit)
ρ2
L=
1−ρ
Mittlere Anzahl L von Aufträgen in der
Warteschlange
10
k(ρ(
8
6
4
k( ρ )
L(ρ )
2
0.2
0.4
0.6
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
0.8
1
ρ
100
© Werner Horn
Das elementare WS-System M/M/1 (6)
Ermittlung des Zeitbezuges
‰
Die mittlere Verweilzeit TV im System (nach Little‘s Gesetz)
TV =
‰
1 ρ
1
= ⋅
=
λ λ 1− ρ μ − λ
k
Die mittlere Wartezeit TW im System
TW = TV − TB = TV −
1
μ
=
ρ2
λ 1− ρ
1
⋅
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
101
© Werner Horn
Ergebnisse M/M/1-System im Überblick
λ
= 1− ρ
μ
p0 = 1 −
λ
μ
pk = p0 ⋅ ( )k = (1 − ρ ) ρ k
k=
ρ
1− ρ
= λ ⋅ TV
ρ2
L=
1− ρ
1 ρ
1
TV = ⋅
=
λ 1− ρ μ − λ
ρ2
TW = ⋅
λ 1− ρ
1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
Wahrscheinlichkeit p0
Wahrscheinlichkeit pk
Anzahl k von Aufträgen im System
Anzahl L von Aufträgen in der
Warteschlange
Verweilzeit TV
Wartezeit TW
102
© Werner Horn
Beispiel: M/M/1-System (1)
Zur Verarbeitung von Aufträgen, die statistisch unabhängig mit der Ankunftsrate
λ
=40 s-1 anfallen, besteht die Alternative, entweder zwei Prozessoren
mit der Bedienrate
μ
=30 s-1 oder einen Prozessor mit der Bedienrate
μ =50 s-1
vorzusehen. Welcher Variante ist der Vorzug zu geben, wenn die
Verarbeitungseinheiten als M/M/1-Systeme modelliert werden können?
In der ersten Variante soll der ankommende Auftragsstrom wegen der
Poisson-Eigenschaft in zwei Ströme mit halber Ankunftsrate unterteilt werden.
μ1
λ
=30
λ
μ1
=50
μ 2 =30
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
103
© Werner Horn
Beispiel: M/M/1-System (2)
ρ=
TV =
λ
1
⋅
λ 20
=
= 0.667
μ 30
ρ
λ 1− ρ
=
ρ=
1 0.667
⋅
= 0.1 s
20 1 − 0.667
μ1
=30
TV =
λ
40
= 0.8
50
1 0.8
⋅
= 0.1 s
40 1 − 0.8
μ1
=50
μ 2 =30
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
104
© Werner Horn
Das M/M/m-Verlustsystem (1)
‰
Das Bediensystem hat m parallele Bedieneinheiten mit der
gleichen Bedienrate μ und keine Warteschlange
BE 1
μ
λ
μ
unterschiedliche Übergangsraten
μ
2μ
p0
3μ
p1
mμ
( m − 1) μ
pm-1
p2
λ
λ
BE m
λ
pm
λ
λ
alle Bedieneinheiten
besetzt
Nicht alle Bedieneinheiten
besetzt
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
105
© Werner Horn
Das M/M/m-Verlustsystem (2)
‰
Berechnung der Zustandswahrscheinlichkeiten (Wkt. für k Aufträge im System)
λk = λ
für k = 1,..., m
k −1
pk = p0 ⋅ ∏
i =0
∑p
k∈Z
m
k =1
und
für k ≤ m
für k = 1,2,K, m
Wegen der Normalisierungsbedingung
1 = p0 + ∑
für k = 1,K, m
λi
λ λ λ
λ
λ
= p0 ⋅ ⋅
⋅ L⋅ ⋅
⋅
⋅
μi +1
μ 2 μ 3μ
( k − 1) μ kμ
λk
pk = p0 ⋅
k! μ k
‰
μk = k ⋅ μ
k
= 1 folgt
p0 λ k
p λ
p λ
p λ
( ) = p0 + p1 + p2 + L = p0 + 0 ( )1 + 0 ( )2 + L+ 0 ( )m
k! μ
1! μ
2! μ
m! μ
m
1 λ
p0 = [∑ ( )i ]−1
i = 0 i! μ
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
106
© Werner Horn
Das M/M/m-Verlustsystem (3)
‰
Die Zustandswahrscheinlichkeiten (Wkt. für k Aufträge im System)
1 λ k
( )
k! μ
pk = m
1 λ i
( )
∑
i =0 i! μ
‰
für k = 1,2,K, m
für die Verlustwahrscheinlichkeit (Blockierwahrscheinlichkeit) folgt
1 λ m
( )
m! μ
pm = m
1 λ i
( )
∑
i =0 i! μ
k=m
Erlangsche Verlustformel
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
107
© Werner Horn
Das M/M/m-Verlustsystem (4)
Verlustwahrscheinlichkeit
0.8
0.6
m=2
m=4
0.4
m=6
0.2
m=8
0
0
1 λ m
( )
m! μ
PV = pm = m
1 λ i
( )
∑
i =0 i! μ
2
4
6
8
10
Verkehrsangebot (Erl) = λ/μ
Erlangsche Verlustformel
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
108
© Werner Horn
Übersicht M/M/m Verlustsystem
1 λ k
( )
1 λ k
k! μ
pk = p0 ⋅ ( ) = m
1 λ i
k! μ
( )
∑
i =0 i! μ
m
1 λ
p0 = [∑ ( )i ]−1
i = 0 i! μ
1 λ m
( )
m! μ
pm = m
1 λ i
( )
∑
i =0 i! μ
für k = 1,2,K, m
Zustandswahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für ein leeres System
Blockierwahrscheinlichkeit
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
109
© Werner Horn
Beispiel: M/M/m-Verlustsystem (1)
In einer privaten Nebenstellenanlage mit 3 Abnehmerleitungen
werden Verbindungswünsche beim Auftreten von Blockierungen
abgewiesen. Ankunfts- und Bedienprozess werden durch Markovprozesse
modelliert.
Leitung 1
Ankunftsrate λ
Leitung 2
Bedienrate μ
Leitung 3
A.) Stellen Sie das Zustandsdiagramm des Markov-Prozesses
(d.h. die Markovkette) grafisch dar.
B.) Skizzieren Sie die Zustandswahrscheinlichkeit p3=p(k=3) als Funktion
des Angebotes im Bereich von 0 bis 8 Erlang. Wie kann diese
Wahrscheinlichkeit interpretiert werden?
C.) Skizzieren Sie die Zustandswahrscheinlichkeiten pi(A) für drei
Angebote (A1=0,5 Erlang; A2=2,5 Erlang; A3=10 Erlang). Bei welchen
Werten i ergeben sich Höchstwerte?
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
110
© Werner Horn
Beispiel: M/M/m-Verlustsystem (2)
μ
A.)
2μ
p0
3μ
p1
p2
λ
λ
p3
λ
Verlustwahrscheinlichkeit ( k=3 )
B.)
p3(A)
A
0.6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.5
1 3
A
3
!
p3 = 3
1 i
A
∑
i =0 i!
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.0625
0.210526
0.346154
0.450704
0.529661
0.590164
0.637546
0.675462
0
0
2
4
6
8
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
111
© Werner Horn
Beispiel: M/M/m-Verlustsystem (3)
C.) p0, p1, p2, p3
0.7
0.6
1 k
A
pk = 3k!
1 i
A
∑
i =0 i!
A=10
A=0,5
0.5
0.4
A=2,5
0.3
0.2
0.1
0
0
k=0
0.5
1
k=1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
1.5
2
2.5
3
k=2
k=3
112
© Werner Horn
Das M/M/m-∞ Wartesystem (1)
‰
Das Bediensystem hat m parallele Bedieneinheiten mit der
gleichen Bedienrate μ und eine gemeinsame Warteschlange
mit unendlich vielen Warteplätzen.
BE 1
μ
λ
μ
Unterschiedliche Übergangsraten
μ
2μ
p0
3μ
p1
( m − 1) μ
mμ
pm-1
p2
λ
λ
BE m
λ
λ
mμ
mμ
pm
pm+1
λ
λ
alle Bedieneinheiten
besetzt
Nicht alle Bedieneinheiten
besetzt
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
113
© Werner Horn
Das M/M/m-∞ Wartesystem (2)
‰
Berechnung der Zustandswahrscheinlichkeiten (Wkt. für k Aufträge im System)
λi = λ
k −1
p k = p0 ⋅ ∏
i =0
für i ≥ 0
⎧ i ⋅ μ für i = 1, K , m − 1
⎩m ⋅ μ für i ≥ m
μi = ⎨
λi
λ λ λ
λ
λ λ
= p0 ⋅ ⋅
⋅
L⋅ ⋅
⋅
⋅
L
μ i +1
μ 2 μ 3μ
( m − 1) μ mμ mμ
für k ≥ m
⎧
λk
⎪⎪ p0 ⋅ k! μ k für k = 1,2, K , m − 1
pk = ⎨
λk
⎪ p0 ⋅
für k ≥ m
⎪⎩
m! m k −m μ k
Wahrscheinlichkeit für ein System mit k Aufträgen
Setzt man die Auslastung
ρ=
λ
m⋅μ
folgt:
⎧
(m ⋅ ρ ) k
p
für k = 1,2, K , m − 1
⋅
⎪⎪ 0
k
!
pk = ⎨
m
⎪ p0 ⋅ ( m ⋅ ρ ) ⋅ ρ k −m für k ≥ m
⎪⎩
m!
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
114
© Werner Horn
Das M/M/m-∞ Wartesystem (3)
‰
Berechnung der Zustandswahrscheinlichkeit p0 aus der
Normierungsbedingung (Wkt. für kein Auftrag im System)
∞
∑p
k =0
k
=1
1
1− ρ
(m ⋅ ρ ) k
( m ⋅ ρ ) m ∞ k −m
+ p0 ⋅
⋅∑ρ
=1
p0 + p0 ⋅ ∑
m!
k!
k =1
k =m
m −1
⎡ m−1 (m ⋅ ρ )k (m ⋅ ρ )m ⎤
+
p0 = ⎢1 + ∑
m!(1 − ρ ) ⎥⎦
⎣ k =1 k!
−1
Wahrscheinlichkeit für ein leeres System
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
115
© Werner Horn
Das M/M/m-∞ Wartesystem (4)
‰
Berechnung der Wahrscheinlichkeit pW , dass ein ankommender
Auftrag nicht sofort bedient werden kann.
pW = P(k ≥ m) = pm + pm+1 + pm+2 + L
1
1− ρ
pW = p0 ⋅
( m ⋅ ρ ) m ∞ k −m
⋅∑ρ
m!
k =m
(m ⋅ ρ )m
m! (1 − ρ )
pW = m −1
Erlangsche Warteformel
( m ⋅ ρ )i ( m ⋅ ρ ) m
+
∑
i!
m! (1 − ρ )
i =0
Wahrscheinlichkeit für das Warten auf Bedienung
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
116
© Werner Horn
Das M/M/m-∞ Wartesystem (5)
Wartewahrscheinlichkeit
1
0.8
m=2
m=4
0.6
0.4
0.2
m=8
m=6
0
0
0.2
0.4
(m ⋅ ρ )m
m! (1 − ρ )
pW = m −1
( m ⋅ ρ )i ( m ⋅ ρ ) m
+
∑
i!
m! (1 − ρ )
i =0
0.6
0.8
1
Normiertes Verkehrsangebot (Erl) = λ/mμ
Erlangsche Warteformel
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
117
© Werner Horn
Das M/M/m-∞ Wartesystem (6)
‰
Berechnung der mittleren Warteschlangenlänge E{L}
(Anzahl der Kunden im Warteraum).
E{L} =
∞
∑ ( k − m ) ⋅ p k = p0 ⋅
k = m +1
E{L} = p0 ⋅
(m ⋅ ρ ) m ∞
⋅ ∑ ( k − m ) ⋅ ρ k −m
m!
k =m
(m ⋅ ρ ) m
ρ
ρ
⋅
= pW ⋅
2
m!
(1 − ρ )
1− ρ
Mittlere Anzahl von Aufträgen in der Warteschlange
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
118
© Werner Horn
Das M/M/m-∞ Wartesystem (7)
‰
Berechnung der mittleren Verweilzeit E{TV} im System
E{TV } = E{TW } + E{TB }
Nach Little
E{TW } =
E{L}
λ
pW
=
⋅
ρ
E{TB } =
λ 1− ρ
Mittlere Wartezeit im Bediensystem
E{TV } ==
pW
⋅
ρ
λ 1− ρ
E{k} = E{L} + E{B} = pW ⋅
+
1
1− ρ
μ
Mittlere Bedienzeit im System
Mittlere Verweilzeit im
Bediensystem
μ
ρ
1
Mittlere Anzahl von Aufträgen
im Bediensystem
+ m⋅ ρ
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
119
© Werner Horn
Übersicht: M/M/m-∞ Wartesystem
⎧
(m ⋅ ρ ) k
p
für k = 1,2, K , m − 1
⋅
⎪⎪ 0
k!
pk = ⎨
m
⎪ p0 ⋅ ( m ⋅ ρ ) ⋅ ρ k −m für k ≥ m
⎪⎩
m!
⎡ m −1 ( m ⋅ ρ ) k
(m ⋅ ρ ) m ⎤
+
p0 = ⎢1 + ∑
k!
m! (1 − ρ ) ⎥⎦
⎣ k =1
(m ⋅ ρ ) m
m! (1 − ρ )
pW = p0
E {L} = p0 ⋅
E{TW } =
E{TV } ==
λ
pW
=
⋅
pW
λ 1− ρ
m⋅μ
Wahrscheinlichkeit für ein leeres System
Wahrscheinlichkeit für das Warten auf Bedienung
⋅
ρ
+
1
Mittlere Verweilzeit im
Bediensystem
μ
E{k } = E{L}+ E{B} = pW ⋅
Mittlere Anzahl von Aufträgen in der
Warteschlange
Mittlere Wartezeit im Bediensystem
λ 1− ρ
ρ
λ
−1
(m ⋅ ρ ) m
ρ
ρ
⋅
= pW ⋅
m!
(1 − ρ ) 2
1− ρ
E{L}
Zustandswahrscheinlichkeit
ρ=
ρ
1− ρ
+ m ⋅ ρ = λ ⋅ TV
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
Mittlere Anzahl von Aufträgen
im Bediensystem
120
© Werner Horn
Beispiel: M/M/m-∞ Wartesystem (1)
Von zwei unabhängigen Informationsquellen treffen Nachrichten als Poissonströme
mit den gleichen Ankunftsraten λ1 =20 s-1 und λ2 =20 s-1 in einer Verarbeitungseinheit
ein. Dort stehen zur Verarbeitung zwei Prozessoren zur Verfügung. Beide Prozessoren
haben eine Bedienrate von μ =30 s-1.
Vergleichen Sie folgende Verarbeitungsstrategien, indem Sie die mittlere Verweildauer
der Nachrichten im System bestimmen.
1.Variante: Beide Prozessoren haben eigene Warteschlangen! Jede der
Warteschlangen nimmt die Nachrichten nur einer Nachrichtenquelle auf.
2.Variante: Beide Prozessoren haben eine gemeinsame Warteschlange! Die
Nachrichten beider Quellen werden in dieser Warteschlange aufgenommen.
Welche Strategie ist der anderen vorzuziehen?
BE 1
λ1
μ
μ
λ = λ1 + λ2
λ2
μ
μ
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
BE 2
121
© Werner Horn
Beispiel: M/M/m-∞ Wartesystem (2)
λ1
1.Variante:
E{TV 1} = E{TV 2 } =
1
μ − λ1
λ
=20 s-1, 2
=
1
= 0,1 s
30 − 20
2.Variante: M/M/2
m=2, WS=∞ ,λ
ρ=
λ
m⋅μ
=
ρ=
=20 s-1
= λ1 + λ2
E{TV } =
λ 20
=
= 0.667
μ 30
λ1 ⋅ E{TV 1} + λ2 ⋅ E{TV 2 }
= 0,1 s
λ1 + λ2
=40 s-1
40
2
= = 0.667
2 ⋅ 30 3
−1
⎤
⎡
⎢ 4 1 4 2
⎡
(m ⋅ ρ )
(m ⋅ ρ ) ⎤
1 ⎥
1
p0 = ⎢1 + ∑
1
(
)
=
+
=
+
+
⋅
⋅
⎢ 3 2 3
2 ⎥
m! (1 − ρ ) ⎥⎦
5
⎣ k =1 k!
(1 − ) ⎥
⎢
3 ⎦
⎣
m −1
pW = p0
k
m
−1
Variante 2 ist
effizienter
4
( )2
(m ⋅ ρ )m
8
3
= p0
=
= 0,5333
2
m! (1 − ρ )
15
2 ⋅ (1 − )
3
E{TV } ==
1 2 1
3
ρ
⋅
+ = + = = 0,06s
λ 1 − ρ μ 75 30 50
pW
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
122
© Werner Horn
Das M/G/1-System (1)
Warteschlange
Bedieneinheit
Ankunftsrate
λ
μ
Bedienrate
Warteschlangenlänge L
Auftrag
‰ Bekannte Verteilungsfunktion des
Bedienprozess charakterisiert durch:
E{TB } =
1
μ
σ
2
‰ Eine Bedieneinheit mit einer beliebigen
(general) aber bekannten Verteilung
der Bedienzeiten
‰ Bedienzeit nicht mehr unabhängig von
der Vorgeschichte
‰ Unendlich viele Warteplätze
‰ Ankunftsprozeß mit Markoveigenschaft
Mittelwert der Bedienzeit Aus der Definition der Streuung
{ }
{ }
σ 2 = E TB 2 − (E{TB })2 = E TB 2 −
Streuungsquadrat bzw.
Varianz
1
μ2
folgt mit den bekannten Größen
{ }
E TB = σ 2 +
2
1
μ2
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
123
© Werner Horn
Das M/G/1-System (2)
‰
‰
Betrachtung der Ankunft der i-ten Anforderung zum Zeitpunkt ti .
Die Restbedienzeit Ri ist die Zeit, die zur Fertigstellung des gerade
bearbeiteten Auftrages noch benötigt wird. Die Restbedienzeit ist von der
bisher aufgewendeten Bearbeitungszeit abhängig (keine
Exponentialverteilung der Bedienzeiten !!!). Es gilt:
Ri ≥ 0
‰
ti
Die Länge der Warteschlange Li zum Zeitpunkt
‰
Berechnung der Wartezeit (in der Warteschlange) der i-ten Anforderung
Li
TWi = Ri + ∑ TBj
j =1
‰
Werden diese Größen als Zufallsvariable aufgefaßt, so gilt für die
Erwartungswerte:
E{TW } = E{R} + E{L} ⋅ E{TB }
= E{R} + E{L} ⋅
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
1
μ
124
© Werner Horn
Das M/G/1-System (3)
‰
E{L} = λ ⋅ E{TW }
Nach Little gilt:
d.h.
E{TW } = E{R} + E{TW } ⋅
und damit
E{TW } =
‰
E{R}
1− ρ
ρ=
λ
μ
λ
μ
Da für die Verweilzeit gilt E{TV } = E{TB } + E{TW }
Die Verweilzeit ist
abhängig vom
Erwartungswert der
Restbedienzeit
1
E{R}
E{TV } = +
μ 1− ρ
Ergibt sich nun
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
125
© Werner Horn
Das M/G/1-System (4)
‰
Bestimmung des Erwartungswertes der Restbedienzeit
R(t)
F(ti) Fläche unter der Kurve R(t)
TB1
TB1 TB2
TB3
TB(i-1)ti
t
t
1 i
1
E{R} = lim ∫ R(t )dt = lim ⋅ F (ti )
ti →∞ t
ti →∞ t
i 0
i
1 i −1 2
∑ TBj
2 j =1
‰
Bestimmung des Flächeninhaltes F (ti ) =
‰
Einsetzen in die Formel für den Erwartungswert der Restbedienzeit
1 1 i −1 2
i
⋅
⋅ ∑ TBj
ti →∞ ,i →∞ t
2 i j =1
i
E{R} = lim
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
E{R} = λ ⋅
1
2
⋅ E{TB }
2
126
© Werner Horn
Das M/G/1-System (5)
Einsetzen von E{R} in die Gleichung für die Verweilzeit E{R} = λ ⋅ 1 ⋅ E{TB 2 }
‰
2
λ E{TB2 }
E{TV } = +
μ 2 (1 − ρ )
1
‰
Einsetzen von
{ } in die Gleichung für1die Verweilzeit E{T
E TB
2
E{TV } =
führt mit ρ =
‰
1
μ
+
λ
2
(σ 2 +
μ
(1 − ρ )
2
+
1
μ2
μ
1− ρ
nach Little
[1 −
ρ
2
(1 − μ 2σ 2 )]
E{k } = λ ⋅ E{TV } =
Spezielle Fälle:
σ2 =
1
μ2
σ2 =0
ρ
1− ρ
[1 −
ρ
2
(1 − μ 2σ 2 )]
Anzahl der Aufträge im System
Verweilzeit im System
‰
)
}= σ
λ
zu den Gleichungen von Pollaczek-Kinchin
μ
1
E{TV } =
2
2
B
Exponentialverteilung liefert Ergebnisse für M/M/1
Deterministische Verteilung liefert Ergebnisse für
M/D/1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
127
© Werner Horn
Warteschlangennetze
‰
‰
‰
‰
‰
‰
Warteschlangenmodelle, die aus mehreren elementaren
Wartesystemen (Bedienstationen) bestehen, nennt man
Warteschlangennetze.
Die einzelnen elementaren Wartesysteme werden als Netzknoten
(Knoten) bezeichnet.
Offene Warteschlangennetze
‰
Aufträge können von außerhalb des Netzes kommen und dieses
wieder verlassen
Geschlossene Warteschlangennetze
‰
Die Anzahl der Aufträge in geschlossenen Netzen ist konstant
Netze mit verschiedene Auftragsklassen
‰
Auftragsklassen unterscheiden sich durch unterschiedliche
Bedienzeit und unterschiedliche Beanspruchung der einzelnen
Knoten (unterschiedliche Übergangsraten)
Gemischte Warteschlangennetze
‰
Für einzelne Auftragsklassen geschlossen und für andere offen
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
128
© Werner Horn
Formale Beschreibung von WS-Netzen (1)
N
K
Gibt die Anzahl der Knoten des Netzes an
Gibt die konstante Anzahl von Aufträgen bei
geschlossenen Netzen an
ki
Anzahl der Aufträge im Knoten i.
Für geschlossene Netze gilt:
N
∑k
i =1
( k1 , k 2 , K , k N )
mi
μi
i
=K
Ist der Zustand des Warteschlangennetzes
Anzahl der parallelen Bedieneinheiten des i-ten Knotens
Mittlere Bedienrate von Aufträgen im i-ten Knoten
1
μi
Mittlere Bedienzeit eines Auftrages im i-ten Knoten
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
129
© Werner Horn
Formale Beschreibung von WS-Netzen (2)
pij
p0i
pi 0
Wahrscheinlichkeit, dass ein im Knoten i bedienter Auftrag zum
Knoten j überwechselt.
Wahrscheinlichkeit, dass ein Auftrag von außen zuerst Knoten i
betritt.
Wahrscheinlichkeit, dass ein Auftrag nach Abfertigung durch
Knoten i anschließend das Netz verläßt. Es gilt:
N
pi 0 = 1 − ∑ pij
λi
j =1
Ist die gesamte mittlere Ankunftsrate von Aufträgen bei Knoten i.
Beachte: Im statistischen Gleichgewicht ist die mittlere
Ankunftsrate an einem Knoten gleich der mittleren Abgangsrate
aus diesem Knoten.
N
λi = λ0i + ∑ λ j ⋅ p ji
j =1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
i = 1, K , N
130
© Werner Horn
Leistungsgrößen von WS-Netzen (1)
Die Zustandswahrscheinlichkeit
p(k1 , k2 ,K, k N )
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Netzzustände Z
muss Eins sein.
∑ p(k , k
1
Z
2
,K, k N ) = 1
Die Randwahrscheinlichkeit
pi (k )
Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Netzzustände Z
unter der Bedingung, dass im Knoten i die Anzahl der Aufträge k ist.
∑ p(k , k ,K, k ,K, k
pi (k ) =
Der Durchsatz
λi
1
2
i
N
)
Z &( ki =k )
im Knoten i
Der Durchsatz im Knoten i ist die Rate mit der die Aufträge den
Knoten verlassen (stat. Gleichgewicht, lastabhängige Bedienrate).
λi = ∑ pi (k ) ⋅ μi (k )
k
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
131
© Werner Horn
Leistungsgrößen von WS-Netzen (2)
Der Gesamtdurchsatz
λ
Ist die Rate mit der Aufträge das Netz verlassen. Im Gleichgewicht ist die
Abgangsrate gleich der Ankunftsrate, mit der Aufträge pro Zeiteinheit ins Netz
gelangen.
N
N
λ = ∑ λ 0i = ∑ λ i0
i =1
Die Auslastung
ρi
i =1
im Knoten i
Die Auslastung eines Knotens i ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er einen
zu bearbeitenden Auftrag enthält (aktiv ist).
∞
ρ i = ∑ p i ( k ) = 1 − p i ( 0)
k =1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
132
© Werner Horn
Leistungsgrößen von WS-Netzen (3)
ki
Die mittlere Anzahl von Aufträgen
im Knoten i
Die mittlere Anzahl von Aufträgen im Knoten i ist gleich dem
statistischen Erwartungswert der Anzahl der Aufträge. TVi = mittlere
Verweilzeit im Knoten i.
∞
k i = ∑ k ⋅ pi (k) = λ i ⋅ TVi
k =1
Li
Die mittlere Warteschlangenlänge
∞
im Knoten i
Li = ∑ (k − 1) ⋅ pi (k) = λ i ⋅ TWi
k =2
ei
Besucherhäufigkeit oder relative Ankunftsrate
Für offene Netze
N
λ
ei = i
λ
ei = e0i + ∑ e j ⋅ p ji
j=1
λ
ei = i
λ1
e1 = 1
Für geschlossene Netze
im Knoten i
N
ei = ∑ e j ⋅ p ji
j=1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
133
© Werner Horn
Globale Gleichgewichtsbedingungen
‰
Berechnung von Netzwerken prinzipiell möglich durch Aufstellen und
Lösen der Kolmogorov Gleichungen für alle Zustände k ∈ Z
Z
∑pq
i≠k
i ik
Z
− pk (∑ qki ) = 0
(Erreichen von k)
i≠k
(Verlassen von k)
∑p
k∈Z
k
=1
Normalisierungsbedingung
‰ Gleichung in Matrixform formuliert
r r r
p ⋅Q = 0
mit
Drückt Prinzip von
der Erhaltung des
statistischen Gleich- r
Q
gewichts aus !
Generatormatrix
r
p = ( p0 , p1, p2 ,K, pZ )
⎛ − ∑ q0 i
⎜ i ≠0
⎜ q
10
=⎜
⎜ q
20
⎜
⎜ M
⎝
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
q01
q02
− ∑ q1i
q12
q21
− ∑ q2 i
M
M
i ≠1
i≠2
K⎞
⎟
K⎟
⎟
K⎟⎟
O⎟⎠
134
© Werner Horn
Beispiel: Aufstellen der Generatormatrix
μ2
Bedieneinheit 1
Bedieneinheit 2
μ1
μ2
μ2
p(3,0)
μ2
p(2,1)
Warteschlange 2
Warteschlange 1
μ1
μ1
Geschlossenes Netzwerk mit 2 Knoten und 3 Aufträgen
N=2, K=3, 1 =0.2 und
2=0.4
μ
− μ1
⎛
⎜
r ⎜
Q=⎜
⎜
⎜
⎝
μ2
0
0
p(0,3)
p(1,2)
μ1
μ
r
p = ( p(3,0), p(2,1), p(1,2), p(0,3))
0
μ1
− (μ1 + μ2 )
μ1
− (μ1 + μ)2
μ2
0
μ2
0
0
μ1
− μ2
0
0 ⎞
⎞ ⎛ − 0,2 0,2
⎟ ⎜
⎟
0 ⎟
⎟ ⎜ 0,4 − 0,6 0,2
⎟=⎜ 0
0,4 − 0,6 0,2 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟
⎟ ⎜ 0
0
0
,
4
0
,
4
−
⎠
⎠ ⎝
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
135
© Werner Horn
Numerische Analyseverfahren
‰
‰
Das Gleichungssystem
r r r
p ⋅Q = 0
mit
∑p
k∈Z
k
=1
kann prinzipiell mittels numerischer Verfahren gelöst werden
‰ Ergebnis sind Zustandswahrscheinlichkeiten
‰ Leistungskenngrößen sind daraus berechenbar
Probleme
‰ endlicher Zustandsraum (d.h. für geschlossenen Netze
anwendbar)
‰ praktisch anwendbar nur für Warteschlangennetze mit geringer
Knoten- und Auftragszahl, da ansonsten hoher Rechenzeit- und
Speicherbedarf
1.Gauß‘scher Algorithmus
‰
Ersetzen einer der
Gleichungen durch die
Normierungsbedingung
r r*
p ⋅Q = (0,0,K,0,1)
⎛ − ∑ q0 i
⎜ i ≠0
r * ⎜ q10
Q =⎜
⎜ q
20
⎜
⎜ M
⎝
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
q01
− ∑ q1i
i ≠1
q21
M
K 1⎞
⎟
K 1⎟
⎟
K 1⎟
⎟
O 1⎟⎠
136
© Werner Horn
Gauß‘scher Algorithmus: Fortsetzung Beispiel (1)
0
⎛ − 0,2 0,2
⎜
r ⎜ 0,4 − 0,6 0,2
Q* = ⎜
0
0,4 − 0,6
⎜
⎜ 0
0
0,4
⎝
‰
1⎞
⎟
1⎟
1⎟
⎟
1⎟⎠
p(3,0)=0.5333
p(2,1)=0.2667 ‰ Lösungen für die
Zustandswahrp(1,2)=0.1333
scheinlichkeiten
p(0,3)=0.0667
Bestimmung der Randwahrscheinlichkeiten pi(k)
Gesamtwahrscheinlichkeit für k Aufträge im Knoten i)
p1(0)=p2(3)=0,0667
p1(1)=p2(2)=0,1333
p1(2)=p2(1)=0,2667
p1(3)=p2(0)=0,5333
‰
Bestimmung der Auslastung der Bedieneinheiten
ρ1=1-p1(0)=0.9333
ρ2=1-p2(0)=0.4667
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
137
© Werner Horn
Gauß‘scher Algorithmus: Fortsetzung Beispiel (2)
‰
Bestimmung des Durchsatzes in den Knoten i
λi = ρi μi
λ1 = λ2 = ρ1μ1 = ρ 2 μ2
‰
‰
Statistisches Gleichgewicht
= 0.1867
Mittlere Anzahl von Aufträgen im Knoten i
E{k1} = p1(1) + 2 ⋅ p1(2) + 3 ⋅ p1(3) =
2.2667
E{k2} = p2 (1) + 2 ⋅ p2 (2) + 3 ⋅ p2 (3) =
0.7333
Mittlere Verweilzeit der Aufträge in den Knoten i
Little‘s Gesetz
TVi = ki / λi
TV1 = k1 / λ1 = 12.1429
TV2 = k 2 / λ 2 = 3.9286
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
138
© Werner Horn
2. Iterative numerische Methode
‰
Näherungsverfahren
r r r
0 = p ⋅Q⋅s
r r r
r
p = p ⋅ Q⋅s + p
r
r
r r
pn+1 = pn ⋅ (Q ⋅ s + E)
s = Skalar
r
E
Einheitsmatrix
Iterationsvorschrift
‰
r
Der Skalar s wird so gewählt, dass das größte Element von Q ⋅ s kleiner als
Eins wird (Konvergenzbedingung)
s ≤ 1/ max q ii
‰
‰
r
r
Vorteil der iterativen Methode: Die Matrix (Q ⋅ s + E) wird durch den
Iterationsprozess nicht verändert !
Nachteil der iterativen Methode: Iterationen verbrauchen Rechenzeit !
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
139
© Werner Horn
Globale und lokale Gleichgewichtsbedingungen
‰
‰
Erfüllen sämtliche Knoten eines Warteschlangennetzes bestimmte Voraussetzungen
zur
‰ Verteilung der Zwischenankunfts- und Bedienzeiten
‰ zur Warteschlangendisziplin,
so lassen sich für das Systemverhalten auf eindeutige Weise lokale
Gleichgewichtsbedingungen für die Netzwerkzustände angeben.
Lokales Gleichgewicht bedeutet:
Die Rate, mit der ein Zustand Z(k) eines Warteschlangennetzes in den Zustand Z(k-1)
übergeht, (durch Abgang eines Auftrages aus einem Knoten) ist gleich der Rate, mit
der das Netzwerk vom Zustand Z(k-1) in den Zustand Z(k) übergeht (durch Zugang
eines Auftrages in diesen Knoten)
‰
Die globalen Gleichgewichtsbedingungen sind dann durch Addition der lokalen
Gleichgewichtsbedingungen darstellbar.
‰
Die Gleichungen der lokalen Gleichgewichtsbedingungen ermöglichen eine
wesentliche Vereinfachung der Berechnung gegenüber den globalen
Gleichgewichtsbedingungen, da getrennte Gleichungen für jeden Knoten des Netzes
existieren
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
140
© Werner Horn
Beispiel: Lokale Gleichgewichtsbedingungen (1)
Siehe oben
μ2
Bedieneinheit 1
Bedieneinheit 2
μ1
μ2
μ2
p(3,0)
μ2
p(2,1)
p(0,3)
p(1,2)
Warteschlange 2
Warteschlange 1
μ1
μ1
μ1
Geschlossenes Netzwerk mit 2 Knoten und 3 Aufträgen
N=2, K=3, μ1=0.2 und μ 2 =0.4
p(3,0)μ1 = p(2,1)μ2
1
p(2,1)μ1 = p(1,2)μ2
2
p(1,2)μ1 = p(0,3)μ2
3
(
μ1
) = p (2,1)
μ2
μ
p (3,0)( 1 ) 2 = p (1,2)
μ2
μ
p (3,0)( 1 ) 3 = p (0,3)
μ2
p (3,0)(
μ1 0.2 1
)=
=
μ2 0.4 2
1
1
2
1
2
3
Normierungsbedingung
p(3,0) + p(2,1) + p(1,2) + p(0,3) = 1 4
⎡
μ
μ
μ ⎤
⎡ 1 1 1⎤
p(3,0)⎢1 + ( 1 ) + ( 1 )2 + ( 1 )3 ⎥ = 1 = p(3,0)⎢1 + + + ⎥
μ2
μ2
μ2 ⎦
⎣ 2 4 8⎦
⎣
p (3,0) =
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
8
= 0.5333
15
141
© Werner Horn
Beispiel: Lokale Gleichgewichtsbedingungen (2)
μ2
μ2
p(3,0)
p(2,1)
μ1
p(3,0)μ1 = p(2,1)μ2
1
p(2,1)μ1 = p(1,2)μ2
2
p(1,2)μ1 = p(0,3)μ2
3
μ2
+
-
p(0,3)
p(1,2)
μ1
μ1
Die globalen Gleichgewichtsbedingungen der
Netzwerkzustände ergeben sich
durch geeignete Addition (bzw.Subtraktion) der
lokalen Gleichgewichtsbedingungen
p(3,0)μ1 − p(2,1)μ1 = p(2,1)μ2 − p(1,2)μ2
Existiert eine Lösung für die
lokalen Gleichgewichtsbedingungen, p(3,0)μ1 +
so ist dies auch die Lösung der
globalen Gleichgewichtsbedingungen!
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
p(1,2)μ2 = p(2,1)(μ1 + μ2 )
142
© Werner Horn
Local Balance: Existenzbedingung für separable Netze (1)
‰
Local Balance eines Netzwerkes liegt vor, wenn für alle Knoten i die
allgemeine Bedingung für das lokale Gleichgewicht erfüllt ist (vereinfachte
Darstellung der Lokalen Gleichgewichtsbedingungen)
μ i (k )
pi (k ) ⋅ μi (k ) = pi (k −1) ⋅ λi (k −1)
pi (k )
μ i (k )
pi(k-1)
Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Knoten i
k Aufträge sind.
Bedienrate im Knoten i, wenn dort k Aufträge sind.
pi (k)
λi ( k − 1)
pi (k − 1)
Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Knoten i k-1 Aufträge sind.
λi (k − 1)
Ankunftsrate im Knoten i, wenn dort k-1 Aufträge sind.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
143
© Werner Horn
Local Balance: Existenzbedingung für separable Netze (2)
‰
Wenn für alle Knoten i des Netzwerkes die allgemeine Bedingung für die
Local Balance gilt, dann existiert für das Netzwerk eine Produktformlösung
p(k1, k1,K, kN ) =
Zustand des Netzes
G (K )
1
⋅ [ p1 (k1 ) ⋅ p2 (k2 ) ⋅K⋅ pN (kN )]
G(K )
Zustände der einzelnen Netzknoten
(Randwahrscheinlichkeiten)
Normalisierungskonstante, wird so gewählt, dass sich alle
Wahrscheinlichkeiten der Netzwerkzustände zu Eins summieren.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
144
© Werner Horn
Local-Balance-Netzwerke
‰
Wenn für alle Knoten i des Netzwerkes die allgemeine Bedingung für die
Local Balance gilt,
‰ verhalten sich die einzelnen Knoten so, als wären es elementare
Wartesysteme,
‰ können die einzelnen Knoten isoliert vom Netz betrachtet werden
‰ Für die Zustandswahrscheinlichkeiten p(k) der Knoten gelten die Lösungen
der elementaren Wartesysteme.
‰ Diese Netze gehören dann zur Klasse der separablen Netze bzw. der
Produktformnetze
‰
Für Netzwerke mit folgende elementaren Wartesystemen existiert stets eine
Lösung der lokalen Gleichgewichtsbedingungen (sind Local-BalanceNetzwerke)
‰
M/M/m-FCFS
(E/A-Geräte)
‰
M/G/1-PS(RR)
(CPU)
‰
M/G/∞
(Infinite Server, Terminals)
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
145
© Werner Horn
Beispiel: Produktformlösung (1)
Siehe oben
Bedieneinheit 1
Bedieneinheit 2
μ1
Warteschlange 1
μ2
Warteschlange 2
ρi =
λ1 = λ2 = λ
Geschlossenes Netzwerk mit 2 Knoten
und 3 Aufträgen
N=2, K=3, μ1 = 0.2 und μ2 = 0.4
λi
μi
Laut den Ergebnissen für das M/M/1-System gilt im Knoten 1 bzw. Knoten 2
p1 (0) = (1 − ρ1 )
p2 (0) = (1 − ρ2 )
p1 (1) = (1 − ρ1 ) ρ1
p2 (1) = (1 − ρ2 ) ρ2
p1 (2) = (1 − ρ1 ) ρ1
2
p2 (2) = (1 − ρ2 ) ρ2
p1 (3) = (1 − ρ1 ) ρ1
3
p2 (3) = (1 − ρ2 ) ρ2
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
2
3
146
© Werner Horn
Beispiel: Produktformlösung (2)
Die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände, die das Netz einnehmen kann,
sind nach dem Produktansatz dann:
1
1
3
p(3,0) =
p1 (3) ⋅ p2 (0) =
(1 − ρ1 ) ρ1 (1 − ρ2 )
G(k )
G(k )
1
1
2
p(2,1) =
p1 (2) ⋅ p2 (1) =
(1 − ρ1 ) ρ1 (1 − ρ2 ) ρ2
G(k )
G(k )
1
1
2
p1 (1) ⋅ p2 (2) =
(1 − ρ1 ) ρ1 (1 − ρ2 ) ρ2
G(k )
G(k )
1
1
3
p(0,3) =
p1 (0) ⋅ p2 (3) =
(1 − ρ1 )(1 − ρ2 ) ρ2
G(k )
G(k )
p(1,2) =
Die Konstante G(k) soll so gewählt werden, dass sich alle
Systemwahrscheinlichkeiten zu Eins addieren:
p(3,0) + p(2,1) + p(1,2) + p(0,3) = 1
Daraus folgt:
[
G(k ) = (1 − ρ1 )(1 − ρ2 ) ⋅ ρ1 + ρ1 ρ2 + ρ1ρ2 + ρ2
3
2
2
3
]
und z.B. für p(3,0) das bekannte Ergebnis:
−1
−1
⎡
⎡
ρ
ρ
ρ ⎤
μ
μ
μ ⎤
p(3,0) = ⎢1 + ( 2 ) + ( 2 )2 + ( 2 )3 ⎥ = ⎢1 + ( 1 ) + ( 1 )2 + ( 1 )3 ⎥ = 0.5333
ρ1
ρ1
ρ1 ⎦
μ2
μ2
μ2 ⎦
⎣
⎣
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
147
© Werner Horn
Exakte Produktformlösungen für geschlossene und offene
Systeme
‰
Den Durchbruch bei der Analyse von Warteschlangennetzen brachten die Arbeiten
von Jackson für offene Netze, für die er Produktformlösungen gefunden hat.
‰
Die Ergebnisse von Jackson wurden von Gordon und Newell erweitert auf
geschlossene Warteschlangennetze.
Unterschied zu Jackson Netzen:
‰
keine Aufträge können von außen in das Netz gelangen
‰
keine Aufträge können das Netz verlassen
‰
Allgemeine Bedingungen für die Anwendbarkeit der Berechnungsverfahren für
Warteschlangennetze von Jackson und Gordon/Newell
‰ Im Netz befindet sich nur eine einzige Auftragsklasse
‰ Gesamtzahl der Aufträge
‰
ist im Netz nicht beschränkt (Jackson. Offene Netze)
‰
ist im Netz endlich und konstant (Gordon/Newell,
Geschlossene Netze)
‰ Jeder der N-Knoten des Netzes kann Ankünfte von außen mit
exponentiell verteilten Zwischenankunftszeiten haben (Offenes Netz)
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
148
© Werner Horn
Exakte Produktformlösungen für geschlossene und offene
Systeme
‰
Fortsetzung Allgemeine Bedingungen für die Anwendbarkeit der
Berechnungsverfahren für Warteschlangennetze von Jackson und
Gordon/Newell
‰
Abgänge von Aufträgen sind aus jedem Knoten möglich (Offenes
Netz)
‰
Alle Knoten bedienen die Aufträge mit exponentiell verteilter
Bedienzeit (Offenes und Geschlossenes Netz)
‰
Die Warteschlangendisziplin bei allen Knoten ist FCFS (Offenes und
Geschlossenes Netz)
‰
Es sind Knoten i mit mehreren identischen Bedieneinheiten erlaubt.
‰
Die Bedienrate im Knoten i darf von der Anzahl der Aufträge
Knoten abhängen ( lastabhängige Bedienraten μi (k ) )
‰
Die Ankunftsrate von außen zum Knoten i darf von der Anzahl
Aufträge im Knoten abhängen (lastabhängige Ankunftsraten
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
im
der
λ0i ( k ) )
149
© Werner Horn
Jackson Theorem für Offene Netze
‰ Wenn für alle Knoten i=1,...,N im offenen Netz die Stabilitätsbedingung (1)
erfüllt ist,
i
(mi = die Anzahl der parallelen identischen
i
i
Bedieneinheiten)
i
Mit (2)
(1) ρ = λ < m
μ
N
(2) λi = λ0i + ∑λ j ⋅ p ji
j =1
λi
λ0i
λj
i = 1,..., N
= gesamte mittlere Ankunftsrate
von Aufträgen im Knoten i
= mittlere Ankunftsrate von außen
im Knoten i
= mittlere Ankunftsrate von Aufträgen
im Knoten j (im Gleichgewicht
gleich Abgangsrate)
Dann gilt für jeden Netzwerkzustand die Produktformel (3)
(3) p(k1, k1,K, kN ) = p1 (k1 ) ⋅ p2 (k2 ) ⋅K⋅ pN (kN )
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
150
© Werner Horn
Beschreibung des Algorithmus der Jackson Methode
‰ Schritt 1: Berechne für alle Knoten i=1,...,N im offenen Netz die Ankunftsraten
nach Gleichung (2)
λi
‰ Schritt 2: Überprüfe für alle Knoten i=1,...,N im offenen Netz die
Stabilitätsbedingung nach Gleichung (1).
Bestimme mit den für die spezifischen Knoten i gültigen Formeln
für elementare Wartesysteme die Zustandswahrscheinlichkeiten
und die Leistungskenngrößen.
‰ Schritt 3: Berechne mit der Produktformel, Gleichung (3), die Zustandswahrscheinlichkeiten für das gesamte Netz.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
151
© Werner Horn
Beispiel zum Algorithmus der Jackson Methode (1)
λ04
μ4
λ4
E/A-Gerät
μ1
Ankunftsraten:
μ2
λ1
Drucker
CPU
Offenes Netzwerk mit 4 Knoten
(K=4), Bedienstrategie FCFS
Bedienzeiten:
und
p12
p13
λ2
μ3
Platte
1 / μ1 = 0.04 s, 1 / μ2 = 0.03 s, 1/ μ3 = 0.06 s,
λ3 p30
λ30
p31
1 / μ4 = 0.05 s
λ = λ04 = 4 Aufträge /s
Übergangswahrscheinlichkeiten: p12= p13=0.5; p41= p21=1; p31=0.6; p30=0.4
Gesucht: (1) Mittlere Anzahl der Aufträge in den Knoten
(2) Mittlere Verweilzeiten in den Knoten und im gesamten System
(3) Mittlere Warteschlangenlängen in den Knoten
(4) Die Netzzustandswahrscheinlichkeit p(3,2,4,1)
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
152
© Werner Horn
Beispiel zum Algorithmus der Jackson Methode (2)
p12
λ04
μ4
λ4
E/A-Gerät
μ1
λ1
λ2
μ2
Bedienzeiten:
1/µ1=0.04 s, 1/µ2=0.03 s, 1/µ3=0.06 s,
1/µ4=0.05 s
Drucker
CPU
p13
μ3
λ3
Platte
p30
p31
λ30
und Ankunftsraten: λ= λ 04=4 Aufträge /s
Übergangswahrscheinlichkeiten:
p12= p13=0.5; p41= p21=1; p31=0.6; p30=0.4
N
λi = λ0i + ∑ λ j ⋅ p ji
i = 1,..., N
j =1
Schritt 1: Ankunftsraten
λ4 = λ04
λ3 = λ1 ⋅ p13
λ2 = λ1 ⋅ p12
λ1 = λ2 + λ3 ⋅ p31 + λ4
λ4 = λ04 = 4s −1
λ3 = 10s −1
λ2 = 10s −1
λ1 = 20s −1
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
153
© Werner Horn
Beispiel zum Algorithmus der Jackson Methode (3)
Schritt 2: Prüfung der Stabilitätsbedingungen und mittlere Anzahl
von Aufträgen in den Knoten
ρi =
λi
< mi
μi
λ1
= 0.8
μ1
λ
ρ2 = 2 = 0.3
μ2
λ
ρ3 = 3 = 0.6
μ3
λ
ρ4 = 4 = 0.2
μ4
ρ1 =
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
ki =
ρi
1 − ρi
k1 = 4
k2 = 0.429
k3 = 1.5
k4 = 0.25
154
© Werner Horn
Beispiel zum Algorithmus der Jackson Methode (4)
Schritt 2: Mittlere Verweilzeiten Tvi in den Knoten und die Verweilzeit TV
im gesamten System
ki
1
1
TVi = = ⋅
λi μi 1 − ρi
TV =
k
1
4
1
4
= ⋅ ∑ki = ⋅ ∑λi ⋅TVi
λ λ
i =1
λ
i =1
TV1 = 0.2 s
TV 2 = 0.043 s
TV =1.545 s
TV 3 = 0.15 s
TV 4 = 0.0625 s
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
155
© Werner Horn
Beispiel zum Algorithmus der Jackson Methode (5)
Schritt 2: Die Berechnung der mittleren Wartezeiten und
Warteschlangenlängen in den Knoten
ρ
TWi = TVi − = ⋅ i
μi μi 1− ρi
1
1
ρi2
Li = TWi ⋅ λi =
1 − ρi
TW 1 = 0 .16 s
L1 = 3.2
TW 2 = 0.013 s
L2 = 0.129
TW 3 = 0 . 09 s
L3 = 0 . 9
TW 4 = 0 .0125 s
L4 = 0 .05
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
156
© Werner Horn
Beispiel zum Algorithmus der Jackson Methode (6)
Schritt 3: Die Berechnung der gesuchten Zustandswahrscheinlichkeit
p(3,2,4,1)
p(k1, k1,K, kN ) = p1 (k1 ) ⋅ p2 (k2 ) ⋅K⋅ pN (kN )
pi (k ) = (1 − ρi ) ρi
k
Ergebnis für M/M/1-System
p1 (3) = 0.1024
p2 (2) = 0.063
p3 (4) = 0.0518
p(3,2,4,1) = p1 (3) ⋅ p2 (2) ⋅ p3 (4) ⋅ p4 (1) = 0.0000534
p4 (1) = 0.16
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
157
© Werner Horn
Gordon/Newell-Theorem für geschlossene Netze (1)
‰
Geschlossene Netze mit N Knoten und K Aufträgen
‰
Es sind ⎜
‰
‰
Systemzustände sind nicht unabhängig von Knotenzuständen
Geschlossene Netze erfordern einen höheren Rechenaufwand als
offene Netze
Die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Netzwerkzustände des
geschlossenen Netzes kann in folgender Produktform angegeben
werden
‰
⎛ N + K − 1⎞
⎜ N − 1 ⎟⎟ Netzzustände möglich
⎠
⎝
1 N
p (k1 , k1 , K , k N ) =
∏ Fi (ki )
G ( K ) i =1
(1)
G (K ) = Normalisierungskonstante, so dass sich die
Wahrscheinlichkeiten aller Netzwerkzustände zu
Eins addieren.
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
158
© Werner Horn
Gordon/Newell-Theorem für geschlossene Netze (2)
‰
Die Berechnung der Normalisierungskonstante
G(K ) =
N
N
∑
∑
∏ Fi (ki )
ki = K
i =1
ki
⎛e ⎞
1
Fi (ki ) = ⎜⎜ i ⎟⎟ ⋅
⎝ μi ⎠ βi (ki )
(2)
i=1
N
ei = ∑ e j p ji
(4)
j =1
ej =
λj
λ1
(3)
(5)
Relative Ankunftsraten
oder Besucherhäufigkeit
für ki ≤ mi
⎧ki !
⎪
βi (ki ) = ⎨mi !miki −mi für ki ≥ mi
⎪ 1
für mi = 1
⎩
(6)
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
159
© Werner Horn
Gordon/Newell-Theorem für geschlossene Netze (3)
‰
Schritt 1: Berechne für alle Knoten i=1,...,N im geschlossenen Netz die
Besucherhäufigkeiten ei nach Gleichungen (4) und (5)
‰
Schritt 2: Berechne für i=1,...,N die Funktionen Fi(ki) mit Gleichungen (3)
und (6)
‰
Schritt 3: Berechne die Normalisierungskonstante G(K) mit Gleichung (2)
‰
Schritt 4: Berechne die Zustandswahrscheinlichkeiten des Netzes mit
Gleichung (1)
‰
Schritt 5: Berechne aus den Zustandswahrscheinlichkeiten des Netzes die
Randwahrscheinlichkeiten pi(k) der einzelnen Knoten mit
pi (k ) =
∑ p (k , k ,K, k ,K, k
z 1
( z∈Z )&( ki =k )
2
i
N
)
und bestimme daraus alle weiteren Leistungsgrößen.
(Hinweis: Das Ergebnis aus den Betrachtungen zu Elementaren Wartesystemen
für die mittlere Anzahl k von Jobs, kann nicht angewendet werden, da es unter der
Bedingung unendlich vieler Zustände abgeleitet worden ist !!!!)
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
160
© Werner Horn
Beispiel: Gordon/Newell-Theorem (1)
‰
‰
‰
Gegeben ist ein geschlossenes Warteschlangennetz mit 2 Bedieneinheiten
Im Netz befinden sich 2 Aufträge.
Die Bedienzeiten der Bedieneinheiten sind exponentialverteilt mit den
Bedienraten: μ 1= 10 s-1, μ 2= 20 s-1
Bedieneinheit 1
μ1
Warteschlange 1
‰
Bedieneinheit 2
μ2
Warteschlange 2
Zur Darstellung der Systemzustände wird folgende Notation verwendet:
Zustand = (k1, k2)
‰
mit
k1= Anzahl der Aufträge in Knoten 1
k1= Anzahl der Aufträge in Knoten 1
Der Zustandsraum:
Z = {(2,0), (1,1), (0,2)}
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
161
© Werner Horn
Beispiel: Gordon/Newell-Theorem (2)
‰
Schritt 1: Bestimmung der Besucherhäufigkeiten ei
e1 =
‰
λ1
=1
λ1
e2 =
Schritt 2: Bestimmung der Funktionen Fi(ki)
ki
⎛e ⎞
1
Fi (ki ) = ⎜⎜ i ⎟⎟ ⋅
⎝ μi ⎠ βi (ki )
β i ( ki ) = 1
1
μ1 10
1
1
F2 (1) = =
μ2 20
F1 (1) =
F1 (0) = 1
F2 (0) = 1
‰
λ2
=1
λ1
1
=
Eine Bedieneinheit !!
1
μ 100
1
1
F2 (2) = 2 =
μ2 400
F1 (2) =
1
2
1
=
Schritt 3: Bestimmung der Normalisierungskonstante G(K)
N
G(K ) =
∑ ∏ F (k )
i
N
∑ki =K
i=1
i =1
i
G ( K ) = F1 (2) ⋅ F2 (0) + F1 (1) ⋅ F2 (1) + F1 (0) ⋅ F2 (2)
7
1
1
G(K ) = 100
⋅1+ 101 ⋅ 201 +1⋅ 400
= 400
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
162
© Werner Horn
Beispiel: Gordon/Newell-Theorem (3)
‰
Schritt 4: Berechnung der Zustandswahrscheinlichkeiten des Netzes
1 N
p (k1 , k1 , K , k N ) =
∏ Fi (ki )
G ( K ) i =1
1
1
4
p(2,0) =
⋅ F1 (2) ⋅ F2 (0) = 400
7 ⋅ 100 ⋅1 = 7
G(K )
1
1 1
2
p(1,1) =
⋅ F1 (1) ⋅ F2 (1) = 400
7 ⋅ 10 ⋅ 20 = 7
G(K )
1
1
1
p(0,2) =
⋅ F1 (0) ⋅ F2 (2) = 400
7 ⋅1⋅ 400 = 7
G(K )
‰
Schritt 5: Berechnung der Randwahrscheinlichkeiten pi(k)
p1 (2) = p2 (0) = 74
p1 (1) = p2 (1) = 72
p1 (0) = p2 (2) = 17
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
163
© Werner Horn
Beispiel: Gordon/Newell-Theorem (4)
‰
Schritt 5: Berechnung der Leistungsgrößen
Auslastung der Bedieneinheiten
ρ1 = 1− p1 (0) = 1− 17 = 76
ρ2 = 1− p2 (0) = 1− 74 = 73
Mittlere Anzahl von Aufträgen in den Knoten
2
k1 = ∑ k ⋅ p1 (k ) =1⋅ + 2 ⋅ =
2
7
k =0
4
7
2
k2 = ∑ k ⋅ p2 (k ) =1⋅ 72 + 2 ⋅ 17 = 74
10
7
k =0
Durchsatzraten in den Knoten
λ1 = ρ1 ⋅ μ1 = 76 ⋅10 = 607
λ2 = ρ2 ⋅ μ2 = 73 ⋅ 20 = 607
Mittlere Verweilzeiten in den Knoten
TV 1 =
k1
λ1
= 107 ⋅ 607 = 16
TV 2 =
Leistungsbewertung Teil 2: Modellierung (WS 2010/11)
k2
λ2
= 74 ⋅ 607 = 151
164
© Werner Horn
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