Auf einen Blick

Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken
Das Wichtigste auf einen Blick
GRUNDBEGRIFFE
et e
Ka
th
90°
b
K
at
he
a te
c
Hypotenuse
A
B
A
Ge nka
ge the
nk te
at vo
he n
te
vo
n
b
A
c
Hypotenuse
cos =
GK  a
=
AK  b
tan =
Kosinus
cos =
Hypotenuse nennen wir die Seite, die dem
rechten Winkel gegenüberliegt.
Tangens
tan =
Es gibt immer zwei Katheten und eine
Hypotenuse.
Als Ankathete eines Winkels bezeichnen
wir die Kathete, die an diesem Winkel
anliegt.
B
AK  b
=
Hy
c
Katheten nennen wir die beiden Seiten,
die den rechten Winkel bilden.
Ankathete und Gegenkathete
A
G nka
eg th
90° enk ete
at vo
he n
a te v
on
sin =
sin =
Katheten und Hypotenuse gibt es nur in rechtwinkligen Dreiecken!
C
GK  a
=
Hy
c
Sinus
Katheten und Hypotenuse
C
Seite 1 v. 2
Als Gegenkathete eines Winkels bezeich­
nen wir die Kathete, die diesem Winkel
gegenüber liegt.
Welche Seite wir als An- oder Gegenkathete bezeichnen, hängt davon ab,
von welchem Winkel wir das Dreieck betrachten.
GK  b
=
Hy
c
AK  a
=
Hy
c
GK  b
=
AK  a
Achtung:
Die Buchstaben a, b, c gelten nur dann, wenn es sich bei a und b um die
Katheten und bei c um die Hypotenuse handelt. Das muss nicht immer so
sein!
Besser ist es daher statt a, b, c, die Begriffe Ankathete, Gegenkathete und
Hypotenuse zu verwenden.
WANN SOLL ICH WELCHE WINKELFUNKTION VERWENDEN?
Das hängt davon ab, welche Größen an der Rechnung beteiligt (gesucht
oder gegeben) sind.
Wenn ich keine Hypotenuse habe und nach der Hypotenuse auch nicht
gefragt ist, scheiden Sinus und Kosinus aus.
Die Ankathete von  ist also die Gegenkathete von  und umgekehrt.
DEFINITIONEN DER WINKELFUNKTIONEN
Abkürzungen:
AK  : Ankathete von  ,
GK  : Gegenkathete von  ,
AK  : Ankathete von  ,
Gegeben, bzw. gesucht
geeignete Winkelfunktion
GK, Hy, Winkel
Sinus
AK, Hy, Winkel
Kosinus
GK, AK, Winkel
Tangens
GK, AK, Hy, Winkel
Sinus, Kosinus oder Tangens
GK  : Gegenkathete von  ,
Hy – Hypotenuse
© Jakob Fechtig
Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken
Das Wichtigste auf einen Blick
RECHENBEISPIEL: GEGENKATHETE GESUCHT, HYPOTENUSE UND WINKEL GEGEBEN
90°
x
Rechenweg:
Die Zeichnungen in
den Rechenbeispielen
sind nicht maßstäblich.
cm
Seite 2 v. 2
cos 40°
=
x⋅cos 40°
=
25°
20 cm
x
=
x
≈
15
x
15
∣ ⋅x
∣ : cos 40 °
15
cos 40 °
19,6
„Die Hypotenuse hat eine Länge von rund 19,6 cm.“
Rechenweg:
Taschenrechner:
sin 25°
=
20⋅sin 25°
8,5
=
≈
x
20
x
x
15Pk40p
∣ ⋅20
RECHENBEISPIEL: WINKEL GESUCHT, AN- UND GEGENKATHETE GEGEBEN
C
„Die Gegenkathete hat eine Länge von rund 8,5 cm.“
90°
cm
15
cm
21
Taschenrechner:1
B
A
20Oj25p
RECHENBEISPIEL: HYPOTENUSE GESUCHT, ANKATHETE UND WINKEL GEGEBEN
40°
x cm
21
15
tan 
=

=
tan

≈
54,5 °
15
cm
90°
Rechenweg:
−1
∣ tan
−1
 
21
15
„Alpha beträgt rund 54,5°“
Taschenrechner:
qL(21P15)p
1
Bezieht sich auf den von mir empfohlenen Taschenrechner
© Jakob Fechtig