Skript

MATHECAMP 2016
SEHNENVIERECKE
MARTIN OLBERMANN
AUTOR: YUFEI ZHAO
Eine wichtige Fähigkeit eines Olympiaden-Geometers ist das Erkennen bekannter Konfigurationen. In der
Tat sind viele Geometrie-Aufgaben auf wenige gemeinsame Themen aufgebaut. In diesem Workshop werden
wir uns mit einer solchen Konfiguration befassen.
1. Was haben diese Aufgaben gemeinsam?
B
M
1. (IMO 1985) Ein Kreis mit Mittelpunkt O geht
durch die Eckpunkte A und C des Dreiecks ABC und
schneidet die Strecken AB und BC ein zweites Mal in
den verschiedenen Punkten K und N . Die Umkreise
der Dreiecke ABC und KBN schneiden sich in genau zwei verschiedenen Punkten B und M . Zeigen
Sie, dass ∠OM B ein rechter Winkel ist.
N
K
O
A
C
C
D
K
2. (Russland 1995; Rumänien 1996; Iran 1997) Betrachte einen Kreis mit dem Durchmesser AB und
Zentrum O, und seien C und D zwei Punkte auf diesem Kreis. Die Gerade CD schneidet die Gerade AB
in einem Punkt M mit M B < M A und M D < M C.
Es sei K der zweite Schnittpunkt der Umkreise der
Dreiecke AOC und DOB. Zeige, dass ∠M KO ein
rechter Winkel ist.
A
B
O
M
A
3. (USA 2007) Das Dreieck ABC werde dem Kreis
k einbeschrieben. Die Tangenten an k bei B und C
schneiden sich in T . S liege auf BC so dass AS ⊥ AT .
B1 und C1 liegen auf ST (mit C1 zwischen B1 und
S), so dass B1 T = BT = C1 T . Beweise, dass die
Dreiecke ABC und AB1 C1 einander ähnlich sind.
B
B1
S
C
T
C1
Obwohl diese geometrischen Konfigurationen auf den ersten Blick sehr unterschiedlich erscheinen mögen,
sind sie eigentlich eng verwandt. In der Tat sind sie alle nur Teile von einem großen Diagramm!
1
2. Das Diagramm
In diesem Workshop werden wir versuchen, die Eigenschaften dieses Diagramms zu verstehen. In diesem
Diagramm gibt es eine Menge zu entdecken, und es kann beängstigend sein, es zu betrachten. Keine Angst,
wir werden wir Schritt für Schritt vorgehen. Dabei werden wir einige geometrische Techniken lernen, die
auch anderweitig nützlich sind. (Kannst du sagen, wo jede der Aufgaben aus Abschnitt 1 in Abbildung 1 zu
finden ist? Wahrscheinlich jetzt noch nicht, aber hoffentlich bis zum Ende dieses Workshops.)
C
O
B
P
D
A
R
Q
M
3. Der Satz von Miquel und der Miquel-Punkt
C
Satz 1. (Der Satz von Miquel). Sei ABC ein
Dreieck, und seien X, Y, Z Punkte auf den Geraden BC, CA, AB. Angenommen, die sechs Punkte
A, B, C, X, Y, Z sind alle verschieden. Dann gehen
die Umkreise von AY Z, BZX, CXY durch einen
Punkt.
X
Y
A
Z
B
Satz 2. (Miquel-Punkt). Seien L1 , L2 , L3 , L4 vier Geraden in der Ebene, keine zwei von ihnen parallel. Seien
Cijk die Umkreise der Dreiecke, die durch Li , Lj , Lk gebildet werden (diese Kreise heißen Miquel-Kreise).
Dann gehen C123 , C124 , C134 , C234 durch einen gemeinsamen Punkt (den Miquel-Punkt).
Wir spezialisieren nun auf den Fall eines Sehnenvierecks.
Satz 3. Sei ABCD ein Viereck. Sei Q der Schnittpunkt von AB und CD, und R der Schnittpunkt
von DA und CB. Dann liegt der Miquel-Punkt von
ABCD (d.h. der zweite Schnittpunkt der Umkreise
ADQ und ABR) genau dann auf der Geraden QR,
wenn ABCD ein Sehnenviereck ist.
C
B
D
A
Q
R
4. Ein wichtiges Resultat über Drehstreckungen
Eine Drehstreckung um einen Punkt O (das Zentrum der Drehstreckung) ist eine Hintereinanderausführung einer Drehung und einer Streckung, beide mit Zentrum O.
O
In der komplexen Ebene werden Drehstreckungen um O = 0 durch Multiplikation mit einer von Null
verschiedenen komplexen Zahl beschrieben. Das heißt, Drehstreckungen haben die Form z 7→ αz, wobei
α ∈ C \ {0}. Hierbei ist |α| der Streckfaktor und arg(α) der Winkel der Drehung. Wenn das Zentrum der
Drehstreckung ein anderer Punkt z0 ist, dann ist die Drehstreckung durch z 7→ z0 + α(z − z0 ) gegeben
(warum?).
Satz 4. Es seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in der Ebene, so dass ABCD kein Parallelogramm
ist. Dann existiert eine eindeutige Drehstreckung, die A nach B und C nach D abbildet.
Beweis. Seien a, b, c, d die entsprechenden komplexen Zahlen für die Punkte A, B, C, D. Wir wissen, dass
eine Drehstreckung Form T (z) = z0 + α(z − z0 ) hat. Also möchten wir α und z0 finden, so dass T (a) = c und
T (b) = d. Wir müssen also das Gleichungssystem z0 + α(a − z0 ) = c, z0 + α(b − z0 ) = d lösen. Die einzige
ad−bc
c−d
, z0 = a−b−c+d
. Da ABCD kein Parallelogramm ist, sehen wir, dass a − b − c + d 6= 0.
Lösung ist α = a−b
Daher existiert eine eindeutige Drehstreckung, die A nach B und C nach D abbildet.
(Wie kann man schnell den Wert von α bestimmen ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen?)
Nun kommen wir zum wichtigsten Ergebnis dieses Abschnitts. Es gibt eine sehr einfache und nützliche Beschreibung des Zentrums einer Drehstreckung. Diese kann sehr nützlich sein bei der Suche, welche
Drehstreckungen in einem geometrischen Problem verborgen sind. Merke dir diesen Satz!
Satz 5. Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in der Ebene, so dass AC nicht parallel zu BD ist. Sei
X der Schnittpunkt von AC und BD. Sei O der zweite Schnittpunkt der Umkreise von ABX und CDX.
Dann ist O das Zentrum der eindeutigen Drehstreckung, die A nach C und B nach D abbildet.
C
B
X
D
A
O
Beweis. Wir führen den Beweis nur für die oben dargestellte Konfiguration. Weil ABXO und CDOX
Sehnenvierecke sind, haben wir Gleichheit der Winkel OBD und OAC sowie OCA und ODB. Daraus folgt,
dass die Dreiecke AOC und BOD ähnlich sind. Daher muss die Drehstreckung, die A nach C und B nach
D abbildet, Zentrum O haben.
Es ist erwähnenswert, dass Drehstreckungen in Paaren vorkommen: Anstatt AB auf CD abzubilden,
können wir auch AC auf BD abbilden.
Satz 6. Wenn O das Zentrum der Drehstreckung ist, die A auf C und B auf D sendet, dann ist O auch das
Zentrum der Drehstreckung, die A auf B und C auf D abbildet.
Beweis. Eine Drehstreckung erhält Winkel an O, wir haben also ∠AOB = ∠COD. Der Streckfaktor der
ersten Drehstreckung ist OC/OD = OA/OB. Also bildet die Drehstreckung mit Winkel ∠AOB = ∠COD
und Streckfaktor OB/OA = OD/OC den Punkt A auf B und C nach D, wie gewünscht. (Finde einen
weiteren Beweis mit Hilfe des vorherigen und des zweiten Satzes.)
Satz 7. Sei M der Miquel-Punkt des Vierecks ABCD. Dann ist M sowohl das Zentrum der Drehstreckung,
die AB auf DC abbildet, als auch das Zentrum der Drehstreckung, die AD auf BC abbildet.
Wir spezialisieren wieder auf ein Sehnenviereck:
Satz 8. Sei ABCD ein Sehnenviereck mit Umkreismittelpunkt O. Sei Q der Schnittpunkt von AB und CD
und R der Schnittpunkt von DA und CB. Sei M der Miquel-Punkt von ABCD (der auf QR liegt, s.o.).
Dann steht OM senkrecht auf QR.
C
M2
O
B
M1
D
Q
A
R
M
Beweis. Sei T die Drehstreckung mit Zentrum M , die A auf D und B auf C abbildet. Seien M1 und M2
die Mittelpunkte von AB bzw. DC. Dann muss T den Punkt M1 auf M2 abbilden. Also ist M auch das
Zentrum der Drehstreckung, die A auf M1 und D auf M2 abbildet, und daraus folgt, dass M, M1 , M2 , Q
ein Sehnenviereck bilden. Da M1 und M2 die Mittelpunkte der Strecken AB und CD sind, haben wir
∠OM2 Q = ∠OM1 Q, und somit bilden auch O, M1 , M2 , Q ein Sehnenviereck, und OQ ist der Durchmesser des
Umkreises. Daraus folgt, dass A, M, M1 , M2 , Q alle auf dem Kreis mit Durchmesser OQ liegen. Insbesondere
ist ∠OM Q = 90, wie gewünscht.
5. Ein Kriterium für rechte Winkel
In diesem Abschnitt geben wir einen weiteren Beweis für den vorigen Satz und präsentieren ein sehr
nützliches Kriterium für Orthogonalität.
Satz 9. Seien A, B, C, D Punkte in der Ebene mit A 6= B und C 6= D. Dann sind AB und CD senkrecht,
wenn AC 2 + BD2 = AD2 + BC 2 .
(Das kann man schnell mit Vektoren beweisen.)
Ein weiterer Beweis für Satz 8. Es sei r der Umkreisradius von ABCD. Mit dem Sehnen-Tangentenwinkelsatz
(Potenz eines Punktes) für die Umkreise von ABCD und ABRM , bekommen wir QO2 − r2 = QA · QB =
QM · QR = QM · M R + QM 2 (Strategie: alles wird auf QR übertragen). Ebenso haben wir RO2 − r2 =
RA · RD = RQ · RM = QM · M R + RM 2 . Subtraktion ergibt QO2 − RO2 = QM 2 − RM 2 , und es folgt
somit aus Satz 9, dass OM senkrecht auf QR steht.
6. Die Potenzgerade
Gegeben seien zwei Kreise in der Ebene. Ihre Potenzgerade ist der Ort aller Punkte gleicher Potenz
bezüglich beider Kreise. Es stellt sich heraus, dass dies immer eine Gerade ist. Wenn sich die beiden Kreise
schneiden, dann ist die Potenzgerade die Gerade, welche durch die beiden Schnittpunkte verläuft (d.h.
die gemeinsame Sehne). Wenn die beiden Kreise sich berühren, dann ist die Potenzgerade die gemeinsame
Tangente. (Übung: Verwende Satz 9, um zu zeigen, dass die Potenzgerade immer eine Gerade ist).
Es ist leicht zu zeigen, dass bei drei verschiedenen Kreisen die paarweisen Potenzgeraden entweder alle
parallel sind oder sich in einem Punkt schneiden. Wenn sich die drei Potenzgeraden in einem gemeinsamen
Punkt schneiden, sagen wir, dass der gemeinsame Schnittpunkt der Potenzpunkt der drei Kreise ist.
Zum Beispiel sehen wir, dass in Satz 8 BC die Potenzgerade der Kreise ABCD und BCQM ist, und AD
die Potenzgerade der Kreise ABCD und ADQM ist, und QM die Potenzgerade der Kreise ADQM und
BCQM ist. Also schneiden sich die Geraden AD, BC, QM in einem gemeinsamen Punkt R, dem Potenzpunkt
der drei Kreise.
C
O
B
P
D
A
Q
R
M
Satz 10. In Satz 8 sind ACM O und BDM O Sehnenvierecke.
Satz 11. In Satz 8 schneiden sich AC, BD, OM in einem Punkt.
Übung: Zeige, dass M O die Winkelhalbierende von ∠CM A und ∠BM D ist.
7. Inversion am Kreis, Pol und Polare
Hier eine kurze Zusammenfassung wichtiger Eigenschaften von Inversion, sowie Pol und Polare: Sei C ein
Kreis mit Zentrum O und Radius r. Die Inversion an C ist eine Abbildung, die einen Punkt P 6= O auf den
Punkt P 0 abbildet, so dass P 0 auf dem Strahl OP liegt und OP · OP 0 = r2 .
Inversionen „vertauschen Geraden und Kreise”. Insbesondere wird eine Gerade durch O auf sich selbst
abgebildet, eine Gerade, die nicht durch O verläuft, wird auf einen Kreis durch O abgebildet, ein Kreis durch
O auf eine Gerade, die nicht durch O verläuft, und ein Kreis nicht durch O wird auf einen (in der Regel
unterschiedlichen) Kreis nicht durch O abgebildet.
Sei P 6= O ein Punkt. Die Gerade L, die durch das Inverse von P und senkrecht zu OP verläuft, ist die
Polare von P , und P ist der Pol von L. P liegt genau dann auf der Polaren von Q, wenn Q auf der Polaren
von P liegt. L1 geht genau dann durch den Pol von L2 , wenn L2 durch den Pol von L1 geht. Drei Punkte
liegen genau dann auf einer Geraden, wenn die drei entsprechenden Polaren sich in einem Punkt schneiden.
Wir kehren zu unserem Diagramm zurück.
Satz 12. Sei ABCD ein Sehnenviereck mit Umkreismittelpunkt O. Sei P der Schnittpunkt von AC und
BD, sei Q der Schnittpunkt von AB und CD, und sei R der Schnittpunkt von DA und CB. Sei M der
Miquel-Punkt von ABCD. Dann ist P das Inverse von M bezüglich des Umkreises von ABCD.
Beweis. Da P der Schnittpunkt von AC und BD ist, wird er von der Inversion auf den zweiten Schnittpunkt
(neben O) der Kreise OAC und OBD, abgebildet, und dies ist M nach Satz 10.
Beachte, dass dies einen weiteren Beweis für Satz 11 gibt, der ja besagt, dass O, P, M kollinear sind.
Satz 13. Die Gerade QR ist die Polare des Punktes P.
Beweis. Dies folgt aus Satz 8 und Satz 12.
Gegeben sei ein Kreis C. Wir sagen, dass ein Dreieck selbst-polar ist, wenn jede Seite die Polare der
gegenüberliegenden Ecke ist.
Satz 14. Das Dreieck PQR ist selbst-polar bezüglich des Umkreises von ABCD.
C
O
B
P
D
A
Q
R
Beweis. In den vorherigen Beweisen ist nicht erforderlich, dass A, B, C, D in dieser Reihenfolge auf dem
Kreis liegen. Durch Vertauschen der Punkte A, B, C, D können wir aus Satz 13 ableiten, dass P R die Polare
von Q ist, und P Q die Polare von R. Das gibt das gewünschte Ergebnis.
Satz 15. O ist der Höhenschnittpunkt des Dreiecks P QR.
Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz 14, da OX ⊥ L für jedes Pol-Polare-Paar (X, L).
8. Zusammenfassung
Wir beenden unsere Analyse des Diagramms in Abschnitt 2 mit einer Zusammenfassung der wichtigsten
Resultate. (Siehe hierzu das Diagramm in Abschnitt 2).
Satz 16. Sei ABCD ein Sehnenviereck mit Umkreismittelpunkt O. Sei P der Schnittpunkt von AC und
BD, sei Q der Schnittpunkt von AB und CD, und sei R der Schnittpunkt von DA und CB. Sei M der
Schnittpunkt von OP mit QR. Dann gilt:
(1) Der Punkt M liegt auf den Umkreisen der folgenden Dreiecke: QAD, QBC, RAB, RDC, AOC,
BOD. (Insbesondere ist M der Miquel-Punkt des Vierecks ABCD.)
(2) M ist das Zentrum der Drehstreckung, die A auf B und D auf C abbildet, und das Zentrum der
Drehstreckung, die A auf D und B auf C abbildet.
(3) OM steht senkrecht auf QR. In der Tat ist M das Inverse von P bezüglich des Umkreises von ABCD.
(4) Das Dreieck P QR ist selbst-polar bezüglich des Umkreises von ABCD.
Autor: Yufei Zhao. Mehr Olympiade-Materialien von ihm unter
http://web.mit.edu/yufeiz/www/olympiad.html
9. Tipps zu den Aufgaben auf der nächsten Seite
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Finde die Konfiguration im großen Diagramm. Satz 8 ist der Schlüssel.
Dies ist die gleiche Aufgabe wie zuvor! (Warum?)
Wir haben das auch schon viele Male getan!
Verwende Fakten 8 und 10.
Siehe vorherige Aufgabe. (Brauchen wir, dass AB ein Durchmesser ist?)
Verwende OP ⊥ QR.
Schmetterlings-Metamorphose...
Um zu sehen, wie diese Konfiguration in das große Diagramm passt, versuche es mit BCC1 B1 als
Ausgangs-Sehnenviereck.
Immer wieder Satz 9 anwenden.
Siehst du eine Drehstreckung? Wo ist das Zentrum?
Verwende das selbst-polare Diagonaldreieck von EF GH.
Verwende das selbst-polare Diagonaldreieck von ABCD.
Mit der Potenz eines Punktes genügt es zu zeigen, dass F B · F C = F M · F K.
Verwende Satz 5, und zeige, dass ∆C2 BA ∼ ∆C1 A1 B1 ∼ ∆CA3 B3 , und in ähnlicher Weise mit den
anderen drei Ecken. Folgere, dass ∠B2 A2 C2 = ∠B3 A3 C3 .
10. Aufgaben
(1) Aufgabe 1 aus Abschnitt 1.
(2) Ein konvexes Viereck ABCD sei dem Kreis k mit Zentrum O einbeschrieben. Die Diagonalen AC
und BD schneiden sich in P . Die Umkreise der Dreiecke ABP und CDP schneiden sich in P und
Q. Angenommen, Punkte O, P und Q seien paarweise verschieden. Zeige, dass ∠OQP = 90.
(3) Ein Kreis durch Ecken A und B eines Dreiecks ABC schneide die Seite BC erneut in D. Ein zweiter
Kreis durch B und C schneide die Seite AB in E und den ersten Kreis wieder bei F . Zeige: wenn
die Punkte A, E, D, C auf einem Kreis mit Zentrum O liegen, dann ist ∠BF O = 90.
(4) Seien O und M die Schnittpunkte der beiden Kreise k1 und k2 . Ein Kreis k mit Mittelpunkt O
schneide k1 und k2 in vier verschiedenen Punkten A, B, C und D, so dass ABCD ein konvexes
Viereck ist. Sei N1 der Schnittpunkt von AB und CD und N2 der Schnittpunkt von AD und BC.
Zeige, dass N1 N2 ⊥ M O.
(5) Aufgabe 2 aus Abschnitt 1.
(6) (a) Seien A, B, C, D vier Punkte in der Ebene. Sei P der Schnittpunkt von AC und BD, sei Q der
Schnittpunkt von AB und CD, und sei R der Schnittpunkt von DA und CB. Die Gerade durch P
parallel zu QR schneide AB in X und CD in Z. Zeige, dass P der Mittelpunkt von XZ ist.
(b) Benutze Teil (a) und Satz 8, um den Schmetterlingssatz zu beweisen: Sei C ein Kreis und sei EF
eine Sehne. Sei P der Mittelpunkt von EF , und seien AC, BD zwei weitere Sehnen durch P . Die
Gerade EF schneide AB in X und CD in Z. Dann ist P X = P Z.
(7) Sei ABCD ein Sehnenviereck mit Umkreismittelpunkt O. Sei R der Schnittpunkt von AB und CD.
Sei L die Gerade durch R senkrecht zu OR. Beweise, dass die beiden Schnittpunkte von L mit den
Geraden BD und AC den gleichen Abstand von R haben.
(8) Aufgabe 3 aus Abschnitt 1.
(9) Es sei ABC ein Dreieck mit Inkreismittelpunkt I. Die Punkte M und N seien die Mittelpunkte der
Seiten AB und AC. Die Punkte D und E liegen auf AB und AC jeweils so, dass BD = CE = BC.
Die Gerade L1 sei die Senkrechte zu IM durch D, die Gerade L2 sei die Senkrechte zu IN durch E.
Sei P der Schnittpunkt von L1 und L2 . Beweise, dass AP ⊥ BC.
(10) Sei ABCD ein konvexes Viereck mit Seiten BC und AD gleich lang und nicht parallel. Seien E und
F innere Punkte der Seiten BC und AD derart, dass BE = DF . Sei P der Schnittpunkt von AC
und BD, sei Q der Schnittpunkt von BD und EF und sei R der Schnittpunkt von AC und EF .
Betrachte alle Dreiecke P QR, wenn E und F variieren. Zeige, dass die Umkreise all dieser Dreiecke
außer P einen weiteren gemeinsamen Punkt haben.
(11) Ein Kreis sei dem Viereck ABCD eingeschrieben, so dass er Seiten AB, BC, CD, DA bei E, F, G, H
berührt.
(a) Zeige, dass sich die Geraden AC, EF, GH in einem Punkt schneiden (nämlich am Pol von BD).
(b) Zeige, dass sich AC, BD, EG, F H in einem Punkt schneiden.
(12) Das Viereck ABCD sei in einen Kreis einbeschrieben. Sei P der Schnittpunkt von AB und CD, sei
Q der Schnittpunkt von AD und BC. Die Tangenten von Q an den Kreis, berühren ihn in E und
F . Zeige, dass die drei Punkte P, E, F auf einer Gerade liegen.
(13) Sei ABCD ein Sehnenviereck mit Umkreismittelpunkt O. Sei E der Schnittpunkt von AB und CD,
sei F der Schnittpunkt von AD und BC, und sei P der Schnittpunkt von AC und BD. Sei K der
Schnittpunkt von AD und EP , und die Senkrechte zu AD durch O schneide AD in M . Beweise,
dass BCM K ein Sehnenviereck ist.
(14) Punkte A1 , B1 und C1 werden auf den Seiten BC, CA, AB eines Dreiecks ABC gewählt. Die Umkreise der Dreiecke AB1 C1 , BC1 A1 und CA1 B1 schneiden den Umkreis des Dreiecks ABC wieder
in den Punkten A2 , B2 und C2 . Punkte A3 , B3 , C3 seien symmetrisch zu A1 , B1 , C1 bezüglich der
Mittelpunkte der Seiten BC, CA und AB. Beweise, dass die Dreiecke A2 B2 C2 und A3 B3 C3 ähnlich
sind.