LB 7: Stochastik - Kombinatorik - Lösungen 1. Aus den Ziffern 0 bis 9

LB 7: Stochastik - Kombinatorik - Lösungen
n = 10 , k = 3
1. Aus den Ziffern 0 bis 9 sollen 3 Ziffern ausgewählt werden.
Berechnen Sie
a) die Anzahl der Variationen mit und ohne Wiederholung
V3W (10 ) = 10 3 = 1000
V3 (10) =
10! 720
=
7!
b) die Anzahl der Kombinationen mit und ohne Wiederholung
12
10
12!
10! 120
C 3W (10 ) =
=
= 220
C 3 (10 ) =
=
=
3
3!⋅9!
3
3!⋅7!
c) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 3 Ziffern verschieden sind
E = V3 (10 ) = 720
Ereignis E = { alle 3 Ziffern sind verschieden }
Ergebnismenge Ω ={ alle Zahlen mit 3 Ziffern }
Ω = V3W (10 ) = 1000
P(E) = 72%
d) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 3 Ziffern gleich sind!
P(G) = 1%
Ereignis G = { alle 3 Ziffern sind gleich }
G = 10
2. Aus den Großbuchstaben des Alphabetes soll jeweils eine Zeichenkette aus 8 Großbuchstaben gebildet
werden. Berechnen Sie
a) die Anzahl der Variationen mit und ohne Wiederholung
11
V8W ( 26) = 26 8 ≈ 2,1 ⋅ 10
V8 (26 ) =
26! 6,3 ⋅ 1010
≈
18!
b) die Anzahl der Kombinationen mit und ohne Wiederholung
33
26
33!
26!
6
7
C 8W (26 ) =
=
≈ 1,4 ⋅ 10
C 8 (26 ) =
=
≈ 1,6 ⋅ 10
8!⋅25!
8!⋅18!
8
8
c) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 8 Großbuchstaben verschieden sind
Ereignis E = { alle 8 Buchstaben sind verschieden }
E = V8 (26 ) ≈ 6,3 ⋅ 1010
Ergebnismenge Ω ={ alle Zeichenketten mit 8 Buchstaben }
V8W (26 ) ≈ 2,1 ⋅ 1011
P(E) ≈ 30,16%
d) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 8 Großbuchstaben gleich sind!
1
P(G) =
≈ 1,25 ⋅ 10 −10
G = 26
Ereignis G = { alle 8 Buchstaben sind gleich }
26 7
3. Ein Passwort soll aus 8 Zeichen bestehen. Als Zeichen können verwendet werden: Groß- und Kleinbuchstaben, Ziffern und 12 Sonderzeichen, z.B. + - * / \ = ( ) [ ] { }
n = 74 , k = 8
a) Wie viele verschiedene Passwörter kann man mit diesem Zeichensatz bilden?
14
Ω = 74 8 ≈ 9,0 ⋅ 10
b) Wie lange würde es dauern, alle Passwortmöglichkeiten zu testen, wenn wir annehmen,
dass ein 4-GHz-Rechner mittels eines Hackerprogramms pro Takt ein Passwort testen könnte.
9 ⋅ 1014
ges.: t mit 4GHz ≈ 4 ⋅ 10 9 1s
t=
≈ 2,25 ⋅ 10 5 = 225.000s = 62,5h
4 ⋅ 10 9
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Passwort nur aus Ziffern besteht?
Ereignis E ={ Zeichenkette nur aus 8 Ziffern }
E = V8W (10 ) = 10 8
P(E) =
10
74
8
−7
≈ 0,135 8 ≈ 1,1⋅ 10
© Meinelt 2008-02-07
LB 7: Stochastik - Kombinatorik - Lösungen
4. Aus einem Skatblatt (32Karten) sollen 6 Karten gezogen werden.
n = 32 , k = 6
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es?
ungeordnet, ohne Wdhg.
C 6 (32) =
32
6
=
32!
= 906 .192
6!⋅26!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 6 Karten von einer Farbe sind?
(Insgesamt 4 Farben zu je 8 Karten)
8
8!
=
= 28
Anzahl für eine der 4 Farben: C 6 (8 ) =
6
6!⋅2
P=
4 ⋅ 28
−4
≈ 1,2 ⋅ 10
906 .192
5. Ein Doppelkopfblatt erhält man, wenn man 2 Skatblätter ohne 7 und 8 zusammenlegt. Man erhält also 48
Karten, wobei jede doppelt auftritt. Jeder der 4 Spieler erhält somit 12 Karten.
a) Wie viele Möglichkeiten für einen Spieler ergeben sich?
48
48!
10
ungeordnet, ohne Wdhg.
C12 ( 48 ) =
=
≈ 6,97 ⋅ 10
12!⋅36!
12
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler Karten von nur einer Farbe hat?
Anzahl für eine der 4 Farben: C12 (12) = 1
P=
4
−11
≈ 5,7 ⋅ 10
6,97 ⋅ 1010
© Meinelt 2008-02-07