4Übungsblatt 2m1 Wahrsch_mit Lösungen

4. Übungsblatt aus der Mathematik im Grundkurs 2m1 (12/2) am 10.04.2008
1. Karl ist der Aufsichtsratsvorsitzende der Firma G. Neben ihm gehören noch vier Damen und vier Herren
dem Gremium an. Bei Sitzungen nehmen die neun Personen an einem runden Tisch Platz.
a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Sitzordnung gibt es, wenn
(1) keinerlei Einschränkungen gelten,
(2) die vier Damen immer nebeneinander sitzen,
(3) nur nach Damen und Herren unterschieden wird?
b) Karl sitzt heute separat, die anderen acht Mitglieder des Aufsichtsrats um den runden Tisch. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine bunte Reihe?
2. Ein Diplomatenkoffer hat ein Kombinationsschloss aus vier Ziffern, wobei nur die Ziffern 1, 3 und 5
Verwendung finden und eine der drei Ziffern zwei Mal vorkommt. Wie viele Ziffernkombinationen gibt
es?
3. Gabi, Rosi, Kurt, Franz und Emil gehen gemeinsam ins Freibad. Sie breiten an fünf verschiedenen Orten
die mitgebrachten fünf Matten zum Liegen aus. Nach dem Baden wählt jeder auf gut Glück eine der
Matten aus.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt auf keiner Matte mehr als eine Person?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen auf einer Matte ein Junge und ein Mädchen, während
ansonsten jede Matte von höchstens einer Person belegt ist?
4. Bei der Elferwette im Fußballtoto wird jedes der elf Spiele mit einer der Ziffern 0, 1 oder 2 versehen. Je
nach Spielausgang tritt eine der Ziffern als Ergebnis auf.
a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es?
b) Wie viele völlig falsche Elferreihen gibt es?
5. Aus vier Ehepaaren werden zufällig zwei Personen ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält
man ein Ehepaar?
6. In einem Zimmer befinden sich 7 Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle an verschiedenen
Wochentagen Geburtstag?
7. In einem Zimmer sind k Personen versammelt. Von welcher Zahl k ab lohnt es sich darauf zu wetten,
dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?
8. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt sich eine bunte Reihe, wenn sich n Jungen und n Mädchen
a) um einen runden Tisch,
b) auf eine lange Bank setzen?
9. Bei einem Preisausschreiben des Schreibwarengeschäfts sind 50 richtige Lösungen eingegangen, es gibt
aber nur drei Preise. Wie viele Möglichkeiten der Gewinnverteilung gibt es?
10. Unter 10 Losen befinden sich zwei Gewinnlose. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter
fünf willkürlich ausgewählten Losen
a) genau ein Gewinnlos befindet,
b) beide Gewinnlose befinden,
c) höchstens ein Gewinnlos befindet.
4. Übungsblatt aus der Mathematik im Grundkurs 2m1 (12/2) am 10.04.2008
1. An einem runden Tisch gibt es für n Personen
n!
= (n − 1)! Möglichkeiten, weil die n „Anfänge“ – im
n
Vergleich zu einer Bankreihe – wegfallen.
a) (1) Es gibt
9!
= 8!= 40320 Möglichkeiten.
9
(2) Es gibt 4! ⋅ 5! =2880 Möglichkeiten.
(3) Es gibt
8!
= 14 Möglichkeiten, weil von den 8! Möglichkeiten 4! Möglichkeiten der Anordnung
4! ⋅ 5!
der Damen und 5! Möglichkeiten der Herren gleich sind.
b) Insgesamt gibt es
8!
= 7!= 5040 Möglichkeiten der Anordnung, von denen 4! ⋅ 3! eine bunte Reihe
8
bilden. P(„bunte Reihe“) =
4! ⋅ 3!
= 0,0286 = 2,86%
7!
Vielleicht hilft auch der Ansatz mit einer Bank: Von insgesamt 8! Möglichkeiten gibt es 4!⋅ 4!
Möglichkeiten der bunten Reihe, von denen eine mit Herren und eine mit Damen beginnen kann:
P(„bunte Reihe“) =
2
= 0,0286 = 2,86%
8!
4!⋅ 4!
2. Es gibt drei Ziffern, die zweimal vorkommen können. Es gibt folglich 3 ⋅
4!
= 36 verschiedene
2!⋅ 1!⋅ 1!
Ziffernkombinationen.
3. a) Die Frage kann auch umformuliert werden: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Matten belegt?
5!
= 3,84 % , da 5 Personen auf 5! Arten auf fünf Matten verteilt werden können. Alle Möglichkeiten
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berechnet man, indem man ein Experiment Ziehen mit Zurücklegen zugrunde legt.
b) Aus den Mädchen muss also von zwei eins, bei den Jungen von drei einer ausgewählt werden (ohne
Berücksichtigung der Reihenfolge). Für diese beiden stehen 5 Matten zur Verfügung, für das nächste Mädchen
4, für den zweiten Jungen 3 und für den letzten Jungen 2, also ergibt sich:
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
⎝ 1 ⎠ ⎝1⎠
= 0,2304 = 23,04 %
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4. a) Es gibt 311 = 177147 Möglichkeiten, weil für jedes der elf Spiele drei Möglichkeiten zur Verfügung stehen.
b) Es gibt 211 = 2048 Möglichkeiten, da für jedes der elf Spiele zwei Ziffern falsch sein müssen.
5. Wählt man aus acht Personen beliebig zwei aus (ohne Rücksicht auf die Reihenfolge), sind für den
vorliegenden Fall vier günstig, weil es vier Ehepaare gibt:
4
= 14,29 % .
⎛8⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠
7
6. Für jede der 7 Personen kommt jeder Wochentag in Frage: Ω = 7 . Sieben Personen lassen sich auf 7! Arten
anordnen, was ja notwendig ist, wenn eine Reihe mit allen Wochentagen gebildet wird.
7!
= 0,00612 = 0,61 % .
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7. Falls alle Tage des Jahres mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Geburtstag einer beliebigen Person in Frage
kommen könne und wir die Schaltjahre außer Acht lassen, hilft folgende Überlegung:
k
Ein möglicher Ergebnisraum ist die Menge aller k-Tupel aus den 365 Tagen des Jahres. Also gilt: Ω = 365 .
das Ereignis A „mind. zwei Personen haben am gleichen Tag Geburtstag“ besteht aus allen k-Tupeln, in denen
mind. zwei gleiche Elemente enthalten sind, was nur äußerst schwierig abzuzählen ist. Einfacher lässt sich das
Gegenereignis A „alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag“ bestimmen: dies sind nämlich alle k-Tupel
mit k verschiedenen Elementen: A =
⇒ P ( A) = 1 −
365!
= 365 ⋅ 365 ⋅ ... ⋅ (365 − k + 1) .
(365 − k )!
365 ⋅ 364 ⋅ ... ⋅ (365 − k + 1)
> 0,5 .
365 k
Am besten lässt sich mit dem Taschenrechner (Zähler: 365 nPr k / Nenner 365 xy k)kontrollieren, wann
365 ⋅ 364 ⋅ ... ⋅ (365 − k + 1)
< 0,5 ; dies ist der Fall für k ≥ 23 .
365 k
Wenn mindestens 23 Personen in einem Zimmer sind, lohnt es sich darauf zu wetten, dass mindestens zwei
Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.
8. a) P ( A) =
b) P(B)=
9.
n!⋅ (n − 1)!
(2n − 1)!
2 ⋅ n! ⋅ n!
, weil mit Jungen oder Mädchen begonnen werden kann!
(2n )!
⎛ 50 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 19600 (50 nCr 3 beim Taschenrechner) unter der Voraussetzung, dass nicht nach erstem, zweitem
⎝3⎠
oder drittem Preis unterschieden wird, sonst wären es 50 ⋅ 49 ⋅ 48 = 117600 (50 nPr 3 beim Taschenrechner!)
⎛ 2⎞ ⎛8⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 4 ⎠ = 5 = 55,56 %
10. a) P ( genau ein Gewinnlos ) =
9
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝5⎠
⎛ 2 ⎞ ⎛8⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ = 2 = 22,22 % ;
b) P (beide Gewinnlose) =
9
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝5⎠
c) analog über das Gegenereignis zu lösen: 77,78 %