¨Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Statistik

SS 2005
Blatt 5
Prof.W. Strauss, F. Schmid
Übungen zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Aufgabe 28. (Laplacescher W-Raum.) Ein Zufallsgenerator erzeugt Ziffernblöcke der Länge 4
mit Ziffern aus {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit fr̈ folgende fünf Klassen an:
Klassenzeichen
1. abcd
2. aabd
3. aabb
4. aaab
5. aaaa
Beschreibung der Klasse
alle Ziffern verschieden
genau ein Paar gleicher Ziffern
zwei Paare gleicher Ziffern
drei gleiche Ziffern
vier gleiche Ziffern
Zur Kontrolle berechnen Sie die Summe aller Wahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 29. In einem Parlament sind 3 Parteien vertreten: 40 Konservative , 30 Sozialisten und
20 Liberale. Wie viele 9-köpfige Kommissionen mit dem Verteilungsschlüssel 4 Konservative, 3
Sozialisten und 2 Liberale lassen sich bilden?
Aufgabe 30. (Bernoulli-Versuche.) Durch einen Nachrichtenkanal werden die Zeichen 0 und
1 übertragen. Wegen der Anwesenheit von “Geräuschen” wird manchmal eine gesendete 0
als 1 empfangen und umgekehrt. Die nacheinander gesendeten Zeichen, werden unabhängig
voneinander mit Wahrscheinlichkeit p = 0, 8 richtig übermittelt.
Es soll eine wichtige Nachricht übermittelt werden, die aus dem einen Zeichen 1 besteht. Um
die Nachricht vor Geräuschen zu schützen, sendet man 11111 statt 1. Für den Empfänger sind
somit 32 verschiedene Kombinationen möglich. Bei der Deutung der Nachricht trifft er die
Entscheidung 1, falls er mehr Einsen als Nullen empfangen hat, sonst die Entscheidung 0. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit wird die Nachricht richtig entschlüsselt?
Aufgabe 31. (Grenzwertsatz der Poissonverteilung.) Weil 5 Prozent aller Gäste von Konzerten
nicht kommen, verkauft ein Veranstalter 200 Karten für nur 190 verfügbare Plätze. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Gäste einen Platz bekommen?
(Berechnen Sie das Ergebnis einmal exakt und einmal unter Benutzung einer geeignete Approximation und vergleichen Sie Ihre Ergebnise.)
Aufgabe 32. An der Uni Stuttgart studieren gut 20.000 Studenten. Gehen wir mal davon aus,
dass es hier in Vaihingen, dann noch so 10.000 sind. Wir nehmen an, dass die Mensa 21/2
Stunden geöffnet hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in einem Zeitraum der Länge T
(in Minuten) sich ein Essen holt sei γT mit (0 < γ < 150). Geben Sie nun unter Verwendung der
üblichen Näherung die Wahrscheinlichkeit an, dass mindestens ein Student in einem Zeitraum
T=15 Minuten sich während der Öffnungszeit ein Essen holt. (Es reicht die Formel, schonen
Sie Ihren Taschenrechner.)
Die Übungen nächste Woche fallen aus :o) Und jetzt bitte wenden ...
Aufgabe 33. Schriftlich Sie sind bei einer Online Dating Agentur angemeldet auf der Suche
nach dem/der Traumpartner/in. Es sind insgesamt 200.000 Personen bei der selben Agentur
angemeldet. Nehmen Sie an, dass 50 Prozent der Teilnehmer/innen sich für Ihr Geschlecht interessieren.
Ihre eigene Attraktivität modellieren Sie durch α/(Anzahl möglicher Interessenten), wobei
α = 1 bedeutet, dass sie durchschnittlich attraktiv sind. Und bitte, keine falsche Bescheidenheit: Wir nehmen hier an α > 0 und bleiben Sie aber auch auf dem Teppich: α < ∞ (bzw.
Anzahl der möglichen Interessenten).
1. Wenn jetzt jeder Teilnehmer einen Traumpartner/in aussucht, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person sich für Sie interessiert?
2. Geben Sie in Abhängigkeit ihrer eigenen Attraktivität α die Personenzahl an, die als Anzahl an ihnen Interessierten Menschen am wahrscheinlichsten ist. Tipp: differenzieren Sie keine
Ausdrücke, sondern vergleichen Sie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
3. Approximieren Sie nun das Modell in geeigneter Weise und rechnen Sie die ersten beiden
Teile nocheinmal.
Aufgabe 34. Schriftlich Bearbeiten Sie nocheinmal die Skat-Aufgabe von Blatt 4 und zwar
nur die Teilaufgabe 2.
Wer den 1.Teil damals gar nicht gemacht hat, sollte ihn nachholen und einen Blick auf die
Parlaments-Aufgabe auf diesem Blatt werfen.
Verwenden Sie (das ist jetzt ein Muss!!) die Formel von Poincare-Sylvestre, die Ihnen bei der
Schriftlichen auf dem letzten Blatt schon geholfen haben sollte.
Dazu ein kleiner Tipp: Die Menge Aj seien die Möglichkeiten die Karten auszuteilen, so dass
der j-te Spieler genau 2 Buben hat.
Aufgabe 35. Schriftlich (Bedingte Wahrscheinlichkeit.) Nach dem Picknick vermisst die Familie ihren Hund. Es gibt drei Möglichkeiten:
A: Er ist heimgelaufen und erwartet die Familie vor der Haustür.
B: Er bearbeitet noch den großen Knochen auf dem Picknick-Platz.
C: Er streunt im Wald.
Aufgrund der Gewohnheiten des Hundes kennt man die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten
der Ereignisse A,B und C:
P )A) =
1
4
P (B) =
1
2
1
P (C) = .
4
Je ein Kind wird zurück zum Picknich-Platz bzw. in den Wald geschickt. Wenn der Hund an
der ersten Stelle ist, findet man ihm mit 90% Wahrscheinlichkeit, streunt er aber im Wald, so
beträgt die Wahrscheinlichkeit nur noch 50%.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eines der Kinder den Hund finden?
2. Wie großist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür, ihn bei der Rückkehr vor der Haustür
anzutreffen, falls die Kinder den Hund nicht finden?
Die Abgabe der schriftlichen Aufgaben ist am Montag den 23. Mai.
Schöne Pfingsten!
Florian
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