Kapitel 4

Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II
Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Elektrische Ladung und elektrische Felder
Kapazität
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Elektrodynamik
Schwingkreise und Wechselstrom
Teil 2: Optik
7. Elektromagnetische Wellen
8. Optik
157
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4 Magnetostatik
4.1 Magnetische Kraftwirkung
Von elektrisch ungeladenem Eisen
kann eine Kraft auf ein anderes Stück
Eisen ausgeübt werden.
Von dem Eisen geht ein Magnetfeld aus,
in dem sich die Kompassnadel ausrichtet. Je nach Ausrichtung des Magneten
wirkt die Kraft anziehend oder abstoßend.
Anziehung
r
F1
Versuch: Eisenmagnet und Kompassnadel
Kompassnadel
Eisenmagnet
r
F
r
F1
r
F2
Abstoßung
r
F2
Magnetpole (Nord- und Südpol) lassen
sich nicht trennen. Zerbricht man einen
Stabmagneten, dann ergeben sich zwei
kürzere Magnete mit beiden Polen.
158
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Teilung eines Stabmagneten:
Dipol
Feldlinien
eines magnetischen
Dipols
Im Gegensatz zu elektrischen Ladungen, die einzeln erzeugt werden
können, sind einzelne Magnetpole (so
genannte magnetische Monopole)
bisher nicht beobachtet worden. Daher
kann das Magnetfeld auch nicht über
die Kraftwirkung von magnetischen
Monopolen definiert werden.
Feldlinien
in der Nähe
eines Pols
159
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Feldlinien eines stromdurchflossenen Leiters
Hans Christian Ørsted entdeckt 1820 den
Zusammenhang zwischen Strom und
Magnetfeld:
Leiter
Eisenfeilspäne
Plexiglasscheibe
Nach Einschalten des Stromes
orientieren sich die Eisenfeilspäne
kreisförmig um den Leiter.
Hans Christian Ørsted
(1777-1851)
160
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Ein Ausmessen des Magnetfeldes mit
einer Kompassnadel ergibt, dass ein
stromdurchflossener Leiter von einem
kreisförmigen Magnetfeld umgeben ist.
Im Gegensatz zum elektrostatischen
Feld gibt es geschlossene Magnetfeldlinien. Die Feldlinien geben wieder
die Kraftwirkung (Richtung und Stärke)
des Magnetfeldes an.
r
j
Strom
I
r
B
Magnetfeld B
Leiter
161
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die Richtung der Magnetfeldlinien
kann einfach mit der rechten Hand
demonstriert werden.
r
j
Versuch: Magnetfeld und elektrisches
Feld
geladene
Kunststoffkugel
Magnet
r
B
Das Ein- und Ausschalten des
Magneten hat keinen Einfluss auf die
geladene Kunststoffkugel. Ersetzt man
diese durch eine Eisenkugel, dann ist
deutlich eine Kraftwirkung zusehen.
⇒ E-Feld ≠ B-Feld
162
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.2 Magnetfeld eines geraden Leiters
Wir wollen jetzt das Magnetfeld eines
geraden Leiters, durch den der Strom
I fließt, aus Symmetrieüberlegungen
herleiten.
I
r
| B |= const.
Es gilt also
r r
r
B ( r ) = B ( r ) eϕ
mit dem Einheitsvektor in Polarkoordinaten
r
eϕ .
Experimentell findet man für den Betrag
des Magnetfeldes B(r):
I
B (r ) ∝
r
r
r
r
B = B(r) eϕ
Das Feld kann nur vom Abstand r vom
Leiter abhängen. Die Feldlinien sind
konzentrische Kreise (dies ergibt sich
später aus der 2. Maxwell-Gleichung).
Die Proportionalitätskonstante wird mit
μ0 / 2π bezeichnet. Für das magnetische
Feld eines stromdurchflossenen Leiters
erhält man daher:
r r
μ0 I r
B (r ) =
eϕ
2π r
163
μ0
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Bemerkungen:
(1) μ 0 ist die magnetische Permeabilität des Vakuums.
Sie wird auch als magnetische Feldkonstante bezeichnet.
Vs
−7
Ihr Wert ist: μ 0 = 4π ⋅ 10
Am
r
Vs
B
=1 2 =1T (Tesla)
Die Einheit des Magnetfeldes ist damit:
m
(2) In Materie muss die Formel für das Magnetfeld eines Leiters abgeändert
werden. Mit der Permeabilität μ des Mediums gilt:
[]
r r μ0μ I r
e
B (r ) =
2π r
d.h. μ 0 muss durch das Produkt μ 0 μ ersetzt werden.
Beispielsweise ist für Eisen μ ≈ 5000
(3) Der Leiter ist hier als „unendlich ausgedehnt“ angenommen worden.
Deswegen fällt das Feld nur mit 1/r ab (wie beim Zylinderkondensator) und nicht
gemäß 1/r2 wie im Falle von elektrischen Punktladungen.
(4) Es ist zu beachten, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Das
Magnetfeld lässt sich daher nicht über die Kraftwirkung auf „magnetische
Ladungen“ definieren, sondern nur über Ströme.
164
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.3 Ampèresches Gesetz
Das Resultat für das Magnetfeld
eines geraden Leiters, durch den der
Strom I fließt, lässt sich in
allgemeiner Form darstellen.
r
r
r
B (r )2πr = μ 0 I eϕ | ⋅ eϕ
r
r
B (r ) ⋅ eϕ 2πr = μ 0 I
r
r
∫ B ( r ) ⋅ dr = μ 0 I
Kreis
I
r
| B |= const .
r
r
dr
r
r
B = B ( r ) eϕ
r
μ0 r
Das Resultat B ( r ) =
I eϕ
2πr
Hierbei handelt es sich auf der linken
Seite um ein
r r Wegintegral über das
Vektorfeld B ( r ) entlang eines Kreises
mit dem Radius r.
Das geschlossene
r r Wegintegral über das
Magnetfeld B ( r ) , welches den Strom I
umfasst, ergibt also μ0I.
Es stellt sich heraus, dass dieses Resultat stark verallgemeinert werden kann.
lässt sich „rückwärts“ umformen zu:
165
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Ein (vom Weg dr eingeschlossener) Strom I ruft ein Magnetfeld B
hervor, welches die folgende Gleichung erfüllt:
r r
∫ B ⋅ dr = μ 0 I
Bemerkungen:
•
•
•
•
•
André Marie Ampère
(1775-1836)
Dies ist das sog. Ampèresche Gesetz. Hierbei handelt es sich bereits um
den ersten Teil der 4. Maxwell-Gleichung (in integraler Form).
Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass (stationäre) Ströme
(statische) magnetische Felder hervorrufen.
Statische Magnetfelder werden generell durch das Fließen von Strömen
erklärt. Das bedeutet beispielsweise, dass in einem magnetischen Stück
Eisen mikroskopische Ströme fließen müssen.
Es ist zu beachten, dass das Wegintegral in der obigen Gleichung entlang
jeder beliebig geformten geschlossenen Kurve, die den Strom I umschließt,
berechnet werden darf.
Mit dem Ampèreschen Gesetz können Magnetfelder berechnet werden.
166
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.4 Magnetfeld einer langen Spule
Beispiel: Magnetisches Feldlinienbild einer langen Spule
167
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Feldlinienbild einer Spule
l
r
B
r
r
B= B0 ex
r
ex
N Windungen
r r
B ≈0
I
Das Magnetfeld im Inneren der Spule
der Länge l soll jetzt mit dem Ampèreschen Gesetz und einigen vereinfachenden Annahmen berechnet werden. Wir betrachten die folgende
Zeichnung:
Näherungsweise gilt:
innerhalb der Spule:
r r
B = B0 = const.
im Außenraum:
r r
B≈0
168
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Mit dem Ampèreschen Gesetz ergibt
sich nun:
r r
∫ B ⋅ dr =
∫
r r
B ⋅ dr +
innerhalb
∫
Feldlinien
Torus
eines
stromdurchflossenen
r r
B ⋅ dr
außerhalb
1424
3
r r
B ≈0
r r
= B0 ⋅ lex + 0 = μ0 N I
Das homogene Magnetfeld im Inneren
einer Spule der Länge l mit N
Windungen, durch die ein Strom der
Stärke I fließt, ist damit also:
NI
B = μ0
l
Diese Formel ist für dicht gewickelte
Spulen mit großer Windungszahldichte N/l sehr genau.
169
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Magnetfeldstärke in einer Spule
Wird die Hallsonde („Magnetfeldmesser“) im Innern der Spule parallel zur Achse
bewegt, dann wird ein nahezu konstantes Feld gemessen. Erst im Randbereich
nimmt es ab.
lange Spule
Hallsonde
170
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Spule mit Eisenkern
Nach dem Einschalten des Stromes wird der Eisenkern in die Spule hineingezogen.
Eisenkern
Federwaage
Eisenkern
Stromversorgung
Spule
Spule
171
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Magnetfeld einer Spule ohne und mit Eisenkern
mit Eisenkern
= starkes Feld
ohne Eisenkern
= schwaches Feld
Spule
Hallsonde
Eisenkern
172
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Eisenkern
Die Formel für das Magnetfeld im
Inneren einer langen Spule war:
Spule
NI
B = μ0
l
Dabei wurde angenommen, dass sich
keine Materie im Inneren befindet. Mit
Materie gilt (μ0 ⇒ μ0μ):
I
Hallsonde
B = μ0 μ
Das an einer Spule mit einer Hallsonde gemessene Magnetfeld ist erheblich größer, wenn ein Eisenkern in
die Spule geschoben wird. Kerne aus
z.B. Kupfer oder Aluminium zeigen
keinen größeren Effekt.
NI
l
Da für Eisen μ ≈ 5000 gilt, ergibt sich so
die sehr große Verstärkung mit dem
Eisenkern. Dies kann allerdings erst
später genauer verstanden werden ( ⇒
Kapitel 4.11).
173
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Hallsonde
Spule
Beispiel eines Experimentiermagneten
zur Erzeugung von Magnetfeldern bis
etwa Bmax ≈ 1 Tesla:
Luftspalt
Eisenjoch
Noch effektiver ist eine Anordnung mit
einem geschlossenen Eisenjoch, in
dessen Spalt Felder bis ca. 1 Tesla
erzeugt werden können. Hier werden
die Feldlinien geschlossen im Eisen
geführt (siehe auch Transformator in
Kapitel 6.9).
Spulen
Eisenjoch
174
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Magnetisches Feld der Erde
175
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.5 Lorentz-Kraft
Eine Ladung q bewegt sich mit der
Geschwindigkeit v in einem magnetischen Feld B. Experimentell ergibt
sich, dass die Ladung dann von einer
Kraft abgelenkt wird gemäß:
Vektorprodukt: Rechte-Hand-Regel:
r
F Kraft
r
B Feld
z
y
r
r r
F = qv × B
x
Diese spezielle Kraft
heißt Lorentz-Kraft. Es
ist zu beachten, dass
auf ein ruhendes Teilchen keine LorentzKraft wirkt.
r
v Bewegung
Antoon Lorentz
( 1853-1928 )
Das Besondere ist, dass diese Kraft
von der Geschwindigkeit der Ladung
abhängt. Hierauf beruhende Effekte
werden in den folgenden Abschnitten
diskutiert.
176
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
r
dv
r r r
= qv × B ⋅v
F =m
dt
r
r dv
r r r
⇒ mv ⋅
= q v⋅ v×B =0
dt
1424
3
Durch die Kraftwirkung kann die
Einheit des Magnetfeldes
definiert
r r
werden (für ν ⊥ B ):
r
F
r
r
N
B = r ⇒ [ B] = 1
= 1T=1Tesla
qv
Cm s
Das Magnetfeld beträgt B = 1 Tesla,
wenn auf eine Ladung von q = 1 C, die
sich mit der Geschwindigkeit v = 1 m/s
bewegt, die Kraft F = 1 N wirkt. 1 Tesla
ist ein relativ großes Magnetfeld.
Wir betrachten jetzt die Lorentz-Kraft
und das 2. Newtonsche Axiom, also:
r
r
dv
r r
F =m
= qv × B
dt
Multiplikation mit v ergibt:
(
)
=0
Es ist
r
r
r
d r r
dv r r dv
r dv
( v ⋅ v ) = ⋅ v + v ⋅ = 2v ⋅
dt
dt
dt
dt
r
1 d r r
r dv
⇒ m ( v ⋅ v ) = mv ⋅
=0
2 dt
dt
und damit:
d r2
r
v )=0 ⇒ v
(
dt
r
r dv
r
v⋅
=0 ⇒ v ⊥
dt
= const.
r
dv
dt
Im Magnetfeld bleibt der Betrag der
Geschwindigkeit von q (und damit die
kinetische Energie) also konstant.
177
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Bewegung einer Ladung im
homogenen Magnetfeld
Es ergeben sich die 3 Gleichungen:
(1) mx&& = qv y Bz
Die Lorentz-Kraft ist:
(2) m &&
y = −qvx Bz
(3) mz&& = 0
r
r r
r
F = qv × B = mr&&
Definition des
Koordinatensystems
z
r
B
x
r
v
y
⎛0⎞
r ⎜ ⎟
B=⎜ 0 ⎟
⎜B ⎟
⎝ z⎠
⎛ vx ⎞
r ⎜ ⎟
v = ⎜ vy ⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
Damit folgt:
⎛ vx ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ v y Bz ⎞
r
r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
v × B = ⎜ v y ⎟ × ⎜ 0 ⎟ = ⎜ −vx Bz ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜B ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ z⎠ ⎝
⎠
(3) Entspricht z& = v z = const. = 0 oder
z(t) = z0 = const.
(1) und (2) ergeben das Gleichungssystem:
v&x =
qBz
v y und
m
v& y = −
qBz
vx
m
Einheitenbetrachtung:
CN
1
kg m
⎡ qBz ⎤
=
=
=
da
N
⎢⎣ m ⎥⎦ Cm s kg s
s2
178
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es wird die „Zyklotron-Frequenz“ definiert:
ωz =
qBz
m
Als Lösung ergibt sich für eine gewählte
Anfangsbedingung vx(t = 0) = v0 :
vx (t ) = v0 cos ( ωz t )
Das Gleichungssystem kann dann geschrieben werden als:
v&x = + ωz v y
v0
⇒ x(t ) =
sin ( ωz t )
ωz
Entsprechend kann für die y-Komponente
gezeigt werden:
v& y = −ωz vx
v y (t ) = −v0 sin ( ωz t )
Ableiten der ersten Gleichung und
Einsetzen der zweiten ergibt eine
homogene DGL 2. Ordnung für vx:
v&&x = + ωz v& y = −ω v
2
z x
⇒ v&&x + ω2z vx = 0
Dies ist die DGL des harmonischen
Oszillators für vx.
⇒ y (t ) =
v0
cos ( ωz t )
ωz
2
⎛v ⎞
R 2 (t ) = x 2 (t ) + y 2 (t ) = ⎜ 0 ⎟ = const.
⎝ ωz ⎠
Die Ladung bewegt sich also auf einer
Kreisbahn mit der Zyklotron-Frequenz
ωz = qBz/m.
179
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Elektronenstrahl im homogenen Magnetfeld
Die Winkelablenkung eines Elektronenstrahls im Magnetfeld ist:
Durch zwei sog. „Helmholtz-Spulen“
wird ein nahezu homogenes Magnetfeld erzeugt. Ein Elektronenstrahl läuft
dann auf einer Kreisbahn:
Glühkathode
Strahl
α
v0
B
R
l
Elektronenstrahl
Magnetfeld
Wenn l die Bahnlänge im Magnetfeld
ist und R der Bahnradius, dann ist der
Ablenkwinkel (in Radian) gegeben
durch:
Vakuumröhre
l
α=
R
180
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der Bahnradius R kann aus dem
Gleichgewicht der Lorentz-Kraft und der
Zentrifugalkraft ermittelt werden:
v02
r r
q v0 × B = m
R
1 q B
⇒ =
R m v0
Beispiel: Fernsehbildröhre
Kathode
Anode
+Ua
Dann ist der Ablenkwinkel gegeben
durch
I
l
q Bl
α= =
R m v0
Magnetspule
I
Glaskolben
Leuchtschirm
wobei v0 durch eine feste Beschleunigungsspannung genau eingestellt
werden kann.
181
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Funktionsweise eines Zyklotrons
Da sich im magnetischen Feld der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert, können
Ladungen allein mit Magnetfeldern nicht beschleunigt werden. Im Zyklotron wird
dafür ein elektrisches Feld immer wieder durchlaufen.
Ernest Lawrence
(1901-1958)
182
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Das Isozyklotron der Uni Bonn
183
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Im Magnetfeld B werden sie auf einem
Halbkreis abgelenkt. Das Kräftegleichgewicht ist hier:
Beispiel: Massenspektrometer
2R
m v02
m v0
= q v0 B ⇒
=qB
R
R
Beschleunigungsstrecke
−
Ub =
+
v0
B
R
Quadriert man beide Ausdrücke dann
folgt:
q, m
Schirm
Teilchenquelle
Spektrallinie
Die geladenen Teilchen werden durch
Ub beschleunigt und erhalten die Geschwindigkeit:
2 qU b
v0 =
m
2
2
2
q
U
v
q
2
b
0
B
v02 =
und
=
m
R 2 m2
2U b q q 2 2
⇒
= 2B
2
R m m
Daraus ergibt sich schließlich:
2U b
q
B2 2
= 2 2 ⇒ m( R ) =
R
2qU b
m R B
184
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.6 Magnetische & elektrische Kräfte
Die Lorentz-Kraft auf eine bewegte
Ladung q im Magnetfeld ist:
r
r r
F = qv × B
Ist auch noch ein elektrisches Feld
vorhanden, dann wirkt die Gesamtkraft:
r
r r r
F = q E+v×B
(
)
Ein Magnetfeld von B = 1 Tesla ist leicht
zu erzeugen. Dem würde ein elektrisches
Feld entsprechen von
r
8 V
E = 3 ⋅10
m
Dies ist nahezu unmöglich zu erzeugen
(Problem: el. Überschläge). In Teilchenbeschleunigern werden daher Magnete
zur Ablenkung verwendet.
Beispiel: Vergleich der Kräfte auf ein
geladenes Teilchen, welches sich
(fast) mit Lichtgeschwindigkeit bewegt,
d.h. es ist v ≈ c.
Die elektrische und magnetische Kraft
sind gleich groß, wenn:
r
r
E =cB
185
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Hall-Effekt
d
UH
r
B
a
I
Durch einen Leiter der Breite a und
der Dicke d fließt ein Strom I. Wenn
senkrecht zum Leiter das Magnetfeld
B wirkt, dann werden die bewegten
Ladungen im Leiter senkrecht zum
Magnetfeld und senkrecht zur Richtung des Stroms abgelenkt.
Dadurch entsteht an den Seiten eine
Potentialdifferenz UH die solange ansteigt, bis die ablenkende Wirkung des
Magnetfeldes durch das entstehende
elektrische Feld EH an den Leiterseiten
kompensiert wird. In diesem Gleichgewichtszustand gilt:
r
r
r r
F = e EH + v × B = 0
r
r r
⇒ EH + v × B = 0
(
)
Wir hatten für die Geschwindigkeit der
Elektronen im Leiter bereits den folgenden Zusammenhang gefunden:
r
U
I
I
r
v =
=
und EH = H
ρ A ρ ad
a
186
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
rr r r
r
r
r
Da ν ⊥ B, E ⊥ ν und E ⊥ B kann mit
den Beträgen gerechnet werden:
UH
IB
=
a
ρad
Daraus ergibt sich die sog. HallSpannung:
IB
IB
= RH
UH =
ρd
d
Die Ladungsdichte ρ wird oft durch die
Volumendichte n der Ladungsträger
ausgedrückt:
ρ = ne
Die Größe
1
1
RH = =
ρ ne
ist die Hall-Konstante. Sie ist besonders
groß, wenn n klein ist. Dies ist speziell
für Halbleiter der Fall.
Da
B ∝ UH kann durch Messen der
Hall-Spannung das Magnetfeld B bestimmt werden. Vor allem aus kleinen
Halbleiterstreifen gefertigte Sonden werden häufig zur Magnetfeldmessung verwendet (⇒ „Hall-Sonden“).
Hall-Konstanten
können
prinzipiell
positiv oder auch negativ sein
(entsprechend „Elektronenleitung“ oder
„Löcherleitung“ in Halbleitern).
187
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Hall-Effekt
Hall-Sonde
Elektromagnet
Eine Erhöhung des Stromes (hier: durch ein dünnes Silberblech) durch den
Elektromagneten vergrößert proportional dazu auch die Hall-Spannung.
188
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Auf einen stromdurchflossenen Leiter
der Länge l wirkt im Magnetfeld eine
Kraft F. Dabei findet man experimentell:
4.7 Leiterschleife im Magnetfeld
I
Strom
r r
F⊥B
und
r r
F ⊥l
r
Hier ist l ein Vektor, der in die Richtung
r
r
B
r
F
r
l
des Stromflusses zeigt. Der Betrag l von
gibt die Länge des Leiterstücks an, das
vom homogenen Magnetfeld B durchsetzt wird.
Für die Kraft auf das Leiterstück ergibt
sich zunächst qualitativ:
r r
r
F ∝ Il ×B
189
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Leiterschaukel im Magnetfeld
Ampèremeter
Stromversorgung
Leiterschaukel
Leiter
Magnet
Der stromdurchflossene Leiter wird je
nach Richtung des Stromflusses in
den Magneten hineingezogen oder
herausgedrückt.
190
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es soll jetzt gezeigt werden, dass diese
Kraftwirkung zurückgeführt werden
kann auf die Lorentz-Kraft der im Leiter
fließenden Elektronen. Wir betrachten
die folgende Situation
r in einem
Leiterstück der Länge
r
dl
dl
:
r
A
Die Elektronenanzahl ist das Produkt aus
Ladungsdichte und Volumen:
N = ρAdl
Damit erhält man also:
r r
r
r r
dF = − ρeA dl v × B = − ρeA v dl × B
Die Richtung von dl entspricht der von v.
Für den Strom I im Leiter lässt sich
schreiben
ρ
r
v
q qv
= −eρAv
I= =
t dl
Die Lorentz-Kraft auf die Anzahl N der im Die Lorentz-Kraft auf die bewegte
Ladung dQ im Volumen Adl lautet dann
Volumen Adl enthaltenen Ladungen ist:
r
r r
dF = N ( − e ) v × B
r r
r
dF = I dl × B
191
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.8 Magnetisches Moment
Eine von einem Strom I durchflossene
rechteckige Leiterschleife mit den Kantenlängen a und l befindet sich um die
x-Achse drehbar in einem homogenen
Magnetfeld B.
r
B
r
A
z
r
F
a
r
F
l
r
r
r
⎛ r a
⎞r
M = 2 ⎜ F sin ϕ ⎟ ex = a F sin ϕ ex
2
⎝
⎠
Die Kraft auf die Leiterseiten ist
r r
r
r
F = I l × B = I l Bz ey
y
I
r
− Fa
Die parallel zur x-Achse wirkenden Kräfte
Fa heben sich gegenseitig auf. Dagegen
erzeugen die Kräfte F auf die Seiten l ein
Drehmoment um die x-Achse der Stärke
wobei:
ϕ
r
Fa
x
⎛0⎞
r ⎜ ⎟
B=⎜ 0 ⎟
⎜B ⎟
⎝ z⎠
Dann wird das Drehmoment:
r
r
M = I al
B
sin
ϕ
e
x
{ z
=A
192
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
Es wird wieder eine Flächennormale A
Damit ergibt sich für das auf eine Leiter-
definiert, deren Betrag
schleife wirkende Drehmoment:
r
A = al
beträgt. Dann kann das Drehmoment
auch in der folgenden Form geschrieben werden:
r r
r
M = I A× B
Diese Beziehung gilt ganz allgemein
für beliebig geformte Leiterschleifen.
Man ordnet einer Leiterschleife, durch
die der Strom I fließt und die die
Fläche A umschließt, das magnetische
Moment m zu, mit:
r
r
m=I A
r r r
M = m× B
Die Analogie zum wirkenden Drehmoment auf einen elektrischen Dipol ist
zu erkennen. Es war:
r
r r
M Dipol = p × E
Das magnetische Moment ist also die
zum elektrischen Dipolmoment äquivalente Größe.
Eine stromdurchflossene Leiterschleife
richtet sich im Magnetfeld immer so aus,
dass ihre Flächennormale parallel zum
Magnetfeld steht.
193
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wenn die Leiterschleife ausgerichtet
ist, dann verschwindet das Drehmoment, und es gibt auch keine resultierenden Kräfte auf die Gesamtschleife.
Dies gilt sofern das Magnetfeld
homogen ist, d.h.
Beispiel: Prinzip des Ampèremeters
Feder
r r
r
B (r ) = B0 = const.
In einem inhomogenen Magnetfeld
würde aber eine Kraft auf die stromdurchflossene Leiterschleife wirken.
Dies ist analog zum elektrischen Dipol
im inhomogenen elektrischen Feld
(siehe Abschnitt 1.5).
drehbare
Spule
Magnet
194
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Spule im homogenen Magnetfeld
I
Ampèremeter
Spule mit
Magneten
Stromquelle
I
Die stromdurchflossene Spule richtet
sich im Magnetfeld immer so aus, dass
ihr Flächenvektor parallel zu den
Feldlinien verläuft.
195
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Mechanische Messung
von Magnetfeldern
r
B
ϕ
r
m
Die Kompassnadel mit dem magner
tischen Moment m richtet sich im Magnetfeld in Richtung der Feldlinien aus.
Auf sie wirkt ein Drehmoment:
r r r
M = m× B
Im Magnetfeld führt die Kompassnadel
Schwingungen aus. Wenn sie um ihre
Drehachse das Trägheitsmoment J hat,
dann gilt:
r r
J ϕ&&(t ) = − m B sin (ϕ (t ) )
r r
m B
⇒ ϕ&&(t ) +
sin (ϕ (t ) ) = 0
J
Für kleine Ausschläge ϕ (t ) << 1 gilt:
r r
m B
2
⇒ ϕ&&(t ) + ω ϕ (t ) = 0 mit ω =
J
Dies ist die DGL eines harmonischen
Oszillators mit der Schwingungsfrequenz
ω. Dadurch kann das Magnetfeld gemessen werden.
196
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.9 Kräfte auf magnetische Momente
Die Kräfte auf die dx-Kanten sind:
dFy ,1 = − I dx Bz ( y )
Wir berechnen jetzt die Kraftwirkung
auf eine infinitesimale Leiterschleife in
einem inhomogenen Magnetfeld.
dFy ,2 = I dx Bz ( y + dy )
Mit dem Magnetfeld
z
Bz ( y + dy ) = Bz ( y ) +
dA z
I
dx
dFy,1
x
dy
dFy,2
y
Es wird angenommen, dass auf dem
Flächenelement dx dy das Magnetfeld
senkrecht steht, dessen Stärke sich
entlang der y-Achse verändert. Die
Kräfte auf die dy-Kanten kompensieren sich.
dBz
dy
dy
folgt
dFy = dFy ,1 + dFy ,2
⎛
⎞
dB
= − I dx Bz ( y ) + I dx ⎜ Bz ( y ) + z dy ⎟
dy
⎝
⎠
dB
dB
dB
= I dx dy z = I dAz z = dmz z
dy
dy
dy
wobei:
dmz = I dAz = I dx dy
197
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Man kann daher in einer Dimension
schreiben:
d
dFy = ( dmz Bz )
dy
Für eine endlich große Leiterschleife
r
mit dem magnetischen Moment m folgt
für die Kraft dann (verallgemeinert auf
drei Dimensionen):
r r r r
F = ∇ m⋅B
(
Beispiel: Stern-Gerlach-Versuch
Auch auf Atome mit einem magnetischen
Moment wirkt eine Kraft, wenn sie durch
ein stark inhomogenes Magnetfeld geschickt werden.
Magnet
Ofen
)
In einem homogenen Feld verschwindet der Gradient und damit
auch die Kraft auf einen magnetischen
Dipol.
Silberatome
inhomogener
Feldbereich
198
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.10 Magnetischer Fluss
Da es keine magnetischen Monopole
gibt, sind Magnetfeldlinien immer geschlossen. Es gibt keine „Quellen“ der
magnetischen Feldlinien:
Der
r magnetische Fluss ΦB eines Feldes
B ist ein Maß für die „Anzahl“ der
Feldlinien, die durch eine Fläche A treten
(„Feldliniendichte“).
r
B
A
r
B
Wenn die Feldlinien senkrecht auf der
Analog zum elektrischen Fluß wird der
magnetische Fluss ΦB definiert.
Fläche A stehen, dann ist der magnetische Fluss durch diese Fläche definiert
durch:
ΦB
r
= B A = BA
199
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
A
r
B
r
B⊥
α
Für eine beliebig geformte Fläche A gilt
im Fall eines inhomogenen Feldes:
A
r
dA r
r
B (r )
Der magnetische Fluss ΦB durch die
Fläche A ist nun:
A
r
r
Φ B = B ⊥ A = B A cos α
r r
⇒ ΦB = B ⋅ A
Alle bisherigen Betrachtungen gelten
nur, wenn das durch die Fläche A tretende Feld konstant ist. Ist dies nicht
der Fall, dann muss der Fluss durch
Summation bzw. Integration bestimmt
werden.
Der magnetische Fluss dΦB, der durch
die Fläche dA tritt, ist dann:
r r r
d Φ B = B (r ) ⋅ dA
200
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
dA r r
B(r )
Wie im Fall des elektrischen Feldes soll
nun wieder der Fluss durch geschlossene Flächen betrachtet werden.
1. Fall: Magnet außerhalb der geschlossenen Oberfläche
A
r
B
Der gesamte magnetische Fluss ΦB
durch die Fläche A ist dann durch
Integration über alle Einzelflüsse dΦB
durch die Flächen dA gegeben:
r
dA
O
r r r
Φ B = ∫ B (r ) ⋅ dA
A
201
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Befindet sich der Magnet außerhalb
der geschlossenen Oberfläche, dann
liegen dieselben Verhältnisse vor,
wie beim statischen elektrischen
Feld. Es gilt daher:
r r
Φ B = ∫ B ⋅ dA = 0
O
2. Fall: Magnet innerhalb der geschlossenen Oberfläche
r
B
r
dA
Da die Feldlinien immer geschlossen
sind, fließen aus einem Pol genauso
viele Feldlinien heraus, wie in den
anderen Pol hineinfließen. Daher gilt hier
und ganz allgemein für statische
magnetische Felder:
r r
∫ B ⋅ dA = 0
O
Dies ist die 2. Maxwell-Gleichung in
integraler Form. Dies bedeutet anschaulich, dass es keine Quellen des statischen magnetischen Feldes gibt. Die
Feldlinien sind immer geschlossen. Es
existieren also auch keine magnetischen
Monopole.
202
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.11 Magnetisches Feld in Materie
Das Ampèresche Gesetz gilt ganz
allgemein für alle Arten von Strömen
bzw. Stromdichten:
r r
r r
∫ B ⋅ dr = μ 0 I = μ 0 ∫ j ⋅ dA
Dabei gibt es zwei prinzipiell unterschiedliche Arten von Strömen, d.h.:
r r
r
j = jTrans. + jMag.
Transportstromdichte
(von außen aufgeprägt, Spule usw. )
Mikroskopische
Stromdichte in
Anwesenheit des
Magnetfeldes
Transportströme
Magnetisierungsströme
(Flächenströme)
Die mikroskopischen Ströme bestimmen das magnetische Verhalten eines
Stoffes. Man definiert das Feld der
Magnetisierung z.B. durch:
r
r r
r
∫ M ⋅ dr = ∫ jMag ⋅ dA
203
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Einsetzen in das Ampèresche Gesetz
ergibt:
r
r r
r
r
∫ B ⋅ dr = μ 0 ∫ ( jTrans + jMag ) ⋅ dA
r
r
v⎞ r
r
⎛ B
∫ ⎜⎜⎝ μ 0 − M ⎟⎟⎠ ⋅ dr = ∫ jTrans ⋅ dA
Nun wird durch
r
H=
r
B
μ0
r
−M
ein neues Feld definiert, dessen Ursache
allein die makroskopischen Transportströme sind.
Ohne mikroskopische Ströme gilt also:
r
r
B = μ0 H
Häufig findet man experimentell, dass
die Magnetisierung proportional zu dem
durch die Transportströme erzeugten
Feld ist, also:
r
r
M = χm H
Dabei ist χm die sog. „magnetische
Suszeptibilität“. Sie ist eine Materialkonstante und beschreibt das Bestreben
der magnetischen Dipole, sich im Feld
auszurichten. Damit folgt:
r
H=
r
B
μ0
r
− χmH
r
r
r
⇒ B = μ 0 (1 + χ m ) H = μμ 0 H
204
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
r
r
B = μ 0 (1 + χ m ) H = μμ 0 H
Die Permeabilität μ eines Materials
hängt also direkt mit der Suszeptibilität
χm über μ = 1 + χm zusammen.
H2O
Cu
χm⋅106
-9
-7.4
Experimentell findet man, dass es
Stoffe gibt mit:
Bi
Al
-153
21.2
0.999847
1.000021
Pt
O2 (flüssig)
264
3620
1.000264
1.003620
χm > 0 : paramagnetische Stoffe
χm < 0
(Al, Pt, O2)
: diamagnetische Stoffe
(H2O, Cu, Bi)
Die Permeabilität μ kann also größer
oder kleiner als Eins sein, im Gegensatz zur Dielektrizitätskonstante, für die
(bei statischen Feldern) ε > 1 gilt.
Material
µr
0.999991
0.999993
diamagnetisch
(Lenzsche Regel)
paramagnetisch
(Dipolmoment)
205
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(i) Diamagnetismus:
r
B
N
Das Dipolmoment wird
durch das äußere Feld
induziert
(Lenzsche
induzierter
Regel)
Strom
N
S
S
Diamagnetische Stoffe
werden im inhomogenen Feld in den Bereich kleinerer Feldstärke gedrängt
inhomogenes Feld
r
B
S
N
r
F
(ii) Paramagnetismus:
r
B
N
S
eigenes dominantes magn.
S Dipolfeld
Paramagnetische Stoffe werden in den BeN
reich höherer Feldstärke gezogen.
r
B
NS
r
F
206
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Dia- und Paramagnetismus
Al-Stab
Paramagnetische Stoffe richten sich im
inhomogenen Magnetfeld in Richtung
des Feldes aus, diamagnetische Stoffe
dagegen quer zu den Feldlinien. Die
Probe hängt leicht drehbar an einem
dünnen Faden.
Feld
aus
Probe
Al-Stab
Magnet
Feld
ein
207
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Dia- und Paramagnet im inhomogenen Feld
Magnetfeld aus: Die paramagnetische
Al-Kugel hängt frei am Faden
Magnetfeld ein: Die Kugel wird in den
Bereich dichterer Feldlinien gezogen.
Al-Kugel
Magnetpole
Bei einem diamagnetischen Stoff (z.B. Glaskugel) wirkt die Kraft in entgegengesetzter Richtung, die Kugel wird aus dem Bereich dichterer Feldlinien verdrängt.
208
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(i) Ferromagnetismus:
Bei ferromagnetischen Substanzen wie
Eisen, Cobalt oder Nickel ist χm , μ >> 1
(etwa 5000 bei Eisen). Außerdem ist
der Zusammenhang
r
r
B = μμ 0 H
nicht mehr linear, d.h. μ ist eine Funkr
tion des äußeren Feldes μ = μ (H )
und zeigt ein Hystereseverhalten:
µ
1
Sättigung ≈ 2T
Remanenz
B
H
Koerzitivfeldstärke
Hysteresekurve
Jedes ferromagnetische Material besteht aus Bereichen mit permanenten magnetischen Momenten, die
man als „Weißsche Bezirke“ bezeichnet. Sie sind durch „Blochsche
Wände“ getrennt.
1 dB
μ (H ) =
μ 0 dH
H
209
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Bloch-Wände und Weißsche Bezirke
H =0
BlochWände
WeißBezirke
Durch ein äußeres Magnetfeld können
die Weißschen Bezirke in eine Vorzugsrichtung gebracht werden. Das
geht solange, bis alle Bezirke in Richtung des erregenden Feldes zeigen.
Dann ist die magnetische Sättigung
des Materials erreicht.
⇒ B=0
H >0
⇒ B∝H
H →∞
⇒ B ≈ const.
210
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Barkhausen-Effekt
Die Ursache für das Hystereseverhalten ist das verzögerte Umklappen der
Weißschen Bezirke, die wie kleine Dipolmagnete wirken. Das Umklappen kann man
akustisch hörbar machen (Barkhausen-Effekt).
Lautsprecher
bewegter
Stabmagnet
Anordnung des
Experiments zum
Barkhauseneffekt:
Verstärker
U in d ∝
dB
dt
ferromagnetischer
Stab
Induktionsspule
Magnet
Induktionsspule
Verstärker
Lautsprecher
211
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.12 Biot-Savartsches Gesetz
Das elektrostatische Feld konnte mit dem
Superpositionsprinzip für jede beliebige
Ladungsverteilung berechnet werden. Da
es keine magnetischen Ladungen gibt, ist
es recht schwierig, das statische Magnetfeld für eine beliebige Stromverteilung zu
bestimmen.
Wir betrachten jetzt ein von einem
r Strom I
durchflossenes
Leiterelement dl , dass
r sich
r
am Ort r ' befindet
und am Ort r das
r
Magnetfeld dB erzeugt.
Das Biot-Savartsche Gesetz besagt, dass
ein vom Strom I durchflossenes
Leiterr
element dl einen Beitrag dB zum Magnetfeld leistet:
r
I dl
Leiter
r
dB
r r
r − r'
r
r'
r
r
I
0
r r r
r μ0 I dl × ( r − r ')
dB =
r r 3
4π
r −r '
212
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Das Feld eines stromdurchflossenen
Leiters ist dann gegeben durch:
I
r
r r μ 0 I ⌠ dl × (rr − rr ')
B(r ) =
r r3
4π ⎮
⌡ r − r'
R
r
r′
Leiter
Dabei ist das Integral entlang der Linie
des Verlaufes des Leiters zu berechnen.
Beispiel: Magnetisches Feld im Zentrum
einer kreisförmigen Leiterschleife
Aus der Abbildung liest man ab:
r r r r
r = 0, r − r ' = R
r r
dl ⊥ r '
Mit dem Biot-Savart-Gesetz
ergibt sich
r r
dann am Ort r = 0 :
B
dϕ
r r μ0 I
B(0) =
4π
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
r
dl
r r
dl × r '
r 3
r'
Leiter
Aus der Zeichnung ergibt sich weiter:
r
r
dl = Rdϕ r ′ = R
r r
r
⇒ dl × r ′ = Rdϕ R e⊥
213
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
e⊥
Der Vektor
steht hierbei senkrecht
auf der Leiterschleife. Einsetzen ergibt:
2π
r r μ0 I r ⌠ Rdϕ R
B (0) =
e⊥ ⎮⎮
R3
4π
⌡
Einsetzen ergibt
r
μI
B(r0 ) = 0
4π
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
r r
dl × r '
r 3
r'
Leiter
0
μ 0 I r 2π
μ0 I r
=
e⊥ ∫ dϕ =
e⊥
4π R 0
2R
=
μ0 I r
eϕ
4π
⌠
⎮
⎮
⌡
Leiter
dzr ′ sin α
r ′3
Beispiel: Magnetisches Feld im Abstand
r0 von einem unendlich langen stromdurchflossenen Draht
z
r
r′
Aus der Zeichnung ergibt sich jetzt:
r r
dl × r ′ = dz r ′ sin α
r
r ′ = r ′ = r02 + z 2
r
sin α = 0
r′
r r
r =0
r0
α
dz = dl
0
I
214
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
μIr
B (r0 ) = 0 eϕ
4π
⌠
⎮
⎮
⌡
Leiter
dzr ′ sin α μ0 I r
eϕ
=
3
r′
4π
⌠
⎮
⎮
⌡
Leiter
r0 dz
r ′3
∞
=
μ0 I
4π
⌠
r ⎮
eϕ r0 ⎮
⎮
⌡
−∞
dz
(r
2
0
+z
2
)
3
2
Es ist (Formelsammlung, z.B. Bronstein):
∞
⌠
dz
2
=
32
⎮ 2
r02
⌡ (r0 + z 2 )
−∞
Dann ergibt sich für das Magnetfeld im
Abstand r0 vom Leiter wieder:
r
μ0 I r
B(r0 ) =
eϕ
2π r0
4.13 Definition der Einheit Ampère
1 m ist die Strecke, die das Licht im
Vakuum zurücklegt in 1/299792458
Sekunde (exakt, da so definiert).
1 kg ist die Masse des internationalen
Kilogrammtyps (Fehler: Δm/m ≈ 10-9)
1 s ist das 9192631770-fache der Periodendauer beim Übergang zwischen
den Hyperfeinstrukturniveaus des
Grundzustandes von 133Cs (Fehler:
Δt/t ≈ 10-14)
1 A ist die Stärke eines konstanten
Stromes, der durch gerade, parallele
und unendlich lange Leiter im Abstand
von 1 m fließt und dabei pro Meter
Leiterlänge die Kraft F = 2⋅10-7 N
erzeugt (Fehler: ΔI/I ≈ 10-6)
215
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es soll jetzt die Kraft zwischen zwei
parallelen, unendlich langen Leitern
berechnet werden.
Herleitung mit Biot-Savartschem Gesetz:
Das vom Leiter 1 am Leiter 2 erzeugte
Magnetfeld ist:
r
r μ0 I1 dl1 × rr
dB =
4π rr 3
z
I1
dz
I2
r
r
z
Es ist:
r
dB
x
⎛d ⎞
r ⎜ ⎟
r =⎜0⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
Leiter 2
Leiter 1
d
y
⎛ 0 ⎞ ⎛d ⎞ ⎛ 0 ⎞
r r ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
dl1 × r = ⎜ 0 ⎟ × ⎜ 0 ⎟ = ⎜ − d ⋅ dz ⎟
⎜ −dz ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
r
r = d 2 + z2
Damit ergibt sich
mit:
⎛ 0 ⎞
r ⎜
⎟
dB = ⎜ dBy ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝
⎠
μ0 I1d
dz
dBy = −
4π d 2 + z 2 3 2
(
)
216
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der gesamte Leiter 1 erzeugt also am
Ort des Leiters 2 das Feld:
∞
μ 0 I1 d ⌠
μ 0 I1 d 2
dz
By = −
=
−
3
2
2
2 2
4π ⎮
4
d
π
⌡ (d + z )
−∞
Die Kraft auf dl2 des Leiters 2 ist:
⎛ 0 ⎞
r r
r ⎜
r
⎟
dF = I 2 dl2 × B mit dl2 = ⎜ 0 ⎟
⎜ −dz ⎟
⎝
⎠
Einsetzen des Magnetfeldes ergibt:
⎛ dz ⎞
r μ0 I1 I 2 ⎜ ⎟
dF =
0⎟
⎜
2π d ⎜ ⎟
⎝0⎠
Ohne Biot-Savartsches Gesetz: Feld
eines stromdurchflossenen Leiters 1:
μ0
B1 (r ) =
I1
2πr
Kraft auf Leiter 2 der Länge z = l im
Abstand r = d :
μ0
F21 (r = d ) =
I1 I 2 l
2πd
Zahlenwerte:
I1 = I 2 = 1A, d = 1m
Vs
Am
dF 4π ⋅10−7 ⋅1⋅1 Vs A2
−7 N
=
= 2 ⋅10
dz
2π ⋅1
Am m
m
μ0 = 4π ⋅10−7
217
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Damit ist die Definition der Stromstärke
gegeben:
Definition der Stromstärke 1 A:
Wenn zwei parallele Leiter im
Abstand von d = 1m von je 1A
durchflossen werden, wirkt eine
Kraft von 2·10−7 Newton
pro Meter Länge.
Ältere Definition
der Stromstärke 1 A:
Pro Sekunde wird 1.118 mg
Silber aus wässriger
Lösung ausgeschieden, wenn
ein Strom von 1A fließt.
Die Richtung der Kraft hängt von der
Stromrichtung ab:
r
F
I2
I1
r
F
–I2
+I1
218
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Kraft zwischen zwei Leitern
I
Leiter aus
Kupferlitze
r
F
I
r
F
Anziehung
I
r
F
I
r
F
Abstoßung
219
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Pinch-Effekt
ohne Strom
nach Einschalten des Stroms
Ein aus mehreren dünnen parallelen Metallfolien gebildeter Leiter schnürt sich nach
Einschalten des Stroms ein, bis er wegen Überhitzung schmilzt.
220
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
4.14 Maxwell-Gleichungen für statische Magnetfelder
Wir hatten bisher die folgenden zwei wichtigen Eigenschaften für statische
Magnetfelder kennen gelernt:
r r
(i ) ∫ B ⋅ dA = 0
A
r r
(ii ) ∫ B ⋅ dr = μ 0 I
S
Dies sind bereits die 2. und 4. Maxwell-Gleichung, wobei letztere noch in der
Elektrodynamik (d.h. für zeitlich veränderliche Felder) um einen Term erweitert wird.
Jetzt sollen diese Gleichungen wieder in die differentielle Schreibweise der MaxwellGleichungen überführt werden. Wie beim elektrischen Feld erfordert dies ein wenig
Mathematik.
221
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es werden wieder die Integralsätze verwendet, die in der Zusatzstunde
ausführr
licher erläutert werden. Es gilt für ein beliebiges Vektorfeld B sowie für eine geschlossene Oberfläche O, die ein Volumen V umschließt sowie eine Fläche A mit der
Randkurve ∂A :
Satz von Gauß (Oberflächenintegral ⇔ Volumenintegral):
∫∫
O
r r
B ⋅ dA =
r r
∫∫∫ ∇ ⋅ BdV
V (O )
Carl-Friedrich Gauß
(1777-1855)
Satz von Stokes (Wegintegral ⇔ Flächenintegral):
r r
r r r
∫ B ⋅ dr = ∫∫ ∇ × B ⋅dA
∂A
(
)
A
George Gabrial Stokes
(1819-1903)
222
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die 2. Maxwell-Gleichung lautet:
∫∫
r r
B ⋅ dA = 0
Dies kann nur gelten, falls der Integrand
verschwindet:
r r
∇⋅B = 0
O
Mit dem Gaußschen Satz folgt für die
linke Seite der 2. Maxwell-Gleichung:
∫∫
r r
B ⋅ dA =
r r
∫∫∫ ∇ ⋅ BdV
V (O )
O
Es folgt also
r r
∫∫∫ ∇ ⋅ BdV = 0
V (O )
für jede beliebige Oberfläche O.
Dies ist die 2. Maxwellsche Gleichung in
differentieller Form.
Die linke Seite des Ampèreschen Gesetzes lässt sich mit dem Satz von
Stokes umformen zu
r r
r r r
∫ B ⋅ dr = ∫∫ ∇ × B ⋅dA
∂A
(
)
A
wobei die Randkurve der Fläche A, den
Integrationsweg auf der linken Seite darstellt.
223
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Um die rechte Seite des Ampèreschen
Gesetzes umzuformen, benötigen wir
den Begriff
r der Stromdichte. Die Stromdichte j ist ein Vektor, der in Richtung
des Stromflusses zeigt.
Der Gesamtstrom Iges , der durch eine
Fläche A fließt, lässt sich mit der Stromdichte folgendermaßen ausdrücken:
I ges
r r
= ∫∫ j ⋅ dA
A
r r
j (r )
r
dA
Damit lässt sich das Ampèresche Gesetz
schreiben als:
A
∫∫ (
A
Ige
s
r r r
r r
∇ × B ⋅dA = μ0 ∫∫ j ⋅ dA
)
A
Da dies für jede Fläche A gelten soll,
müssen die Integranden auf beiden Seiten übereinstimmen, also:
r r
r
∇ × B = μ0 j
224
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Dies ist die 4. Maxwell-Gleichung in differentieller Form, die allerdings in der
Elektrodynamik noch erweitert wird. Das statische magnetische Feld rist also
r nicht
wirbelfrei. Es gibt daher kein (skalares) magnetisches Potential Um mit: B = −∇U m
Für das statische magnetische Feld gilt zusammengefasst:
(ii)
∫∫
O
(iv)
∫
r r
B ⋅ dA = 0
r r
⇔ ∇⋅B = 0
r r
r r
r
B ⋅ dr = μ 0 I ⇔ ∇ × B = μ 0 j
∂A
225