Kapitel 5

Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II
Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Elektrische Ladung und elektrische Felder
Kapazität
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Elektrodynamik
Schwingkreise und Wechselstrom
Teil 2: Optik
7. Elektromagnetische Wellen
8. Optik
250
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
5 Elektrodynamik
5.1 Maxwell-Gleichungen im statischen Fall (Wdh.)
⇔
Integralform
(1)
∫∫
r r 1
E ⋅ dA =
∫∫
r r
B ⋅ dA = 0
A
(2)
A
(3)
(4)
⇔
r r r
∇× E = 0
⇔
r r
r
∇ × B = μ0 j
Hier fehlt
noch etwas
∫
r r
r r
B ⋅ dr = μ 0 ∫∫ j ⋅ dA
∂A
⇔
r r
∇⋅B = 0
ε 0 V ( A)
∫
∂A
⇔
r r ρ
∇⋅E =
∫∫∫ ρ dV
r r
E ⋅ dr = 0
Differentialform
ε0
A
251
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es sollen noch einmal einige Begriffe
wiederholt werden:
r
r2
Elektrische Spannung:
r r
U = − ∫ E ⋅ dr
Im statischen Fall gelten folgende Abhängigkeiten:
q,U
r
E , Φ el.
r
r1
r r
Elektrischer Fluß: Φ el. = ∫∫ E ⋅ dA
A
11 r r rr
Elektrischer Strom: I =I = ∫ B
B
⋅ d⋅rdr
∫
μ
μ0 0
Magnetischer Fluß: Φ mag.
r r
= ∫∫ B ⋅ dA
I
Bei zeitabhängigen Feldern kommen weitere Abhängigkeiten hinzu:
A
Weiterhin sind Ladungen q die Quellen
des elektrischen Feldes. Das magnetische Feld hat keine Quellen. Es wird
durch Ströme erzeugt.
r
B , Φ mag.
q,U
I
r
E , Φ el.
r
B , Φ mag.
252
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
5.2 Induktionsgesetz
Versuch: Spule im Erdmagnetfeld
Versuch: Magnet in Leiterschleife
Leiterschleife
Stabmagnet
Wenn der magnetische Fluss durch
eine Leiterschleife zeitlich veränderlich
ist, dann wird eine Spannung und somit
ein elektrisches Feld erzeugt.
Wieder ist der magnetische Fluss
durch die Leiterschleife (Spule) zeitlich veränderlich. Es wird ebenfalls
eine Spannung und somit ein
elektrisches Feld erzeugt. Rotiert die
Spule (mit ω = const.), so wird eine
sinusförmige Spannung erzeugt.
253
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Faraday entdeckte 1831, dass eine
elektrische Spannung durch einen
zeitlich veränderlichen magnetischen
Fluss erzeugt werden kann. Dieses wird
Induktion genannt.
U(t)
gilt
r
r d r
E (t ) ⋅ dr ∝ B(t )
∫
dt
Schleife
Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld
erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld.
Magnet
Versuch: Änderung des magnetischen
Flusses durch Änderung der Fläche
r
B
Leiterschleife
Permanentmagnet
Spannungsmesser
Im statischen Fall wird keine Spannung
induziert; es ist U = 0. Experimentell findet man U ~ dB/dt, d.h. die induzierte
Spannung ist proportional zur zeitlichen
Änderung des Magnetfeldes. Mit
r
r
U (t ) = ∫ E (t ) ⋅ dr
Schleife
bewegter
Leiter
254
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Durch Verschieben des Leiters wird
die Fläche einer in einem Magnetfeld
angeordneten Leiterschleife verändert.
Die Fläche der Leiterschleife ist:
A = xb
Daher kann man schreiben:
r
B
U(t)
U (t ) ∝
A
x
v
b
Anstatt
einer
Änderung
der
Magnetfeldstärke wird also auch durch
Veränderung
der
Fläche
der
Leiterschleife, die vom Magnetfeld
durchsetzt wird, eine Spannung
erzeugt. Das Experiment liefert den
Zusammenhang:
dx
U (t ) ∝ v =
dt
dA
dt
Der magnetische Fluss für ein Feld B(t),
welches senkrecht durch eine Fläche A(t)
tritt, ist gegeben durch:
Φ mag. (t ) = A(t ) B (t )
Dann ergibt sich das Induktionsgesetz:
d Φ mag.
d
U (t ) = − ( B(t ) A(t ) ) = −
dt
dt
Das negative Vorzeichen wird im nächsten Abschnitt erklärt.
255
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die induzierte Spannung ist proportional zur Änderung des elektrischen Flusses
durch die Leiterschleife.
256
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
5.3 Lenzsche Regel
Wenn durch Induktion in einer Leiterschleife eine Spannung
entsteht, dann fließt wegen dieser Potentialdifferenz ein
Strom. Dieser Strom ist wieder von einem Magnetfeld, dem
induzierten Feld, umgeben. Es soll nun die Richtung des
Stromflusses und des induzierten Feldes genauer betrachtet
werden.
r
B
Heinrich Friedrich Emil
Lenz
(1804-1865)
r
v
r
B induziert
257
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Wirbelstrombremse
Ein Pendel, an dem ein Leiter schwingt,
wird in einem Magnetfeld stark abgebremst. Der Grund dafür ist das durch
Wirbelströme verursachte Magnetfeld im
Leiter ("Wirbelstrombremse").
Adalbert von
Waltenhofen
(1828 - 1914)
258
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Thomsonscher Ring
Nach Einschalten des Stromes und damit
des Magnetfeldes wird der Aluminiumring
nach oben geschleudert. Wenn der Ring
unterbrochen ist passiert nichts.
259
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Experimentell findet man Folgendes:
r
v
(i) Wenn ein Magnet auf eine
Leiterschleife zu bewegt wird, dann
wird die Leiterschleife durch das induzierte Magnetfeld abgestoßen.
r
v
(ii) Wenn hingegen die Leiterschleife
vom Magneten weg bewegt wird, dann
entsteht ein anziehendes induziertes
Magnetfeld.
Dies lässt sich allgemein zusammenfassen zur Lenzschen Regel (1834):
„Der Induktionsstrom wirkt immer seiner Ursache entgegen.“
260
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Anwendung: Diebstahlsicherung im Kaufhaus (älteres System)
Wegen der Lenzschen Regel schwächt das Feld des
in der Diebstahlsicherung induzierten Stromes das
Magnetfeld des Senderkreises.
261
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
5.4 Faradaysches Induktionsgesetz
Wir hatten das Induktionsgesetz
d Φ mag.
d
U (t ) = − ( B (t ) A(t ) ) = −
dt
dt
U(t)
r
B (t )
r
dA
experimentell begründet, wobei das
negative Vorzeichen der Lenzschen
Regel entspricht. Bisher waren wir von
einem Magnetfeld ausgegangen, dass
eine rechteckige Fläche senkrecht
durchsetzt. Dies soll jetzt stark verallgemeinert werden.
Wir betrachten eine beliebige Leiterschleife, die von einem Magnetfeld
durchsetzt wird. Dann ist der magnetische Fluss durch die Leiterschleife:
Φ mag.
r r
= ∫∫ B ⋅ dA
r
E (t )
r
dr
Die elektrische Spannung an den Enden
der Leiterschleife ergibt sich durch Integration über das elektrische Feld:
r
r
U (t ) = ∫ E (t ) ⋅ dr
Schleife
A
262
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Das Induktionsgesetz lässt sich also folgendermaßen
verallgemeinern (∂A ist hier der Rand der Fläche A):
r r
∂ r r
∫∂A E ⋅ dr = − ∂t ∫A B ⋅ dA
Michael Faraday
(1791-1867)
Bemerkungen:
•
Dies ist das sog. Faradaysche Induktionsgesetz. Hierbei handelt es um die
3. Maxwell-Gleichung in integraler Form.
•
Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass zeitlich veränderliche
magnetische Felder elektrische Wirbelfelder hervorrufen.
•
Neben Ladungen können elektrische Felder also von veränderlichen
Magnetfeldern (genauer: magnetischen Flüssen) erzeugt werden.
•
Das Wegintegral auf der linken Seite ist entlang der Randkurve ∂A der
Fläche A, durch die das Magnetfeld tritt, zu berechnen.
•
Auf dem Induktionsgesetz basiert die Stromerzeugung mittels Turbinen.
263
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Jetzt soll die 3. Maxwell-Gleichung
wieder in die differentielle Form überführt werden. Mit dem Stokesschen
Integralsatz lässt sich die linke Seite
umformen zu
r r
r r r
∫ E ⋅ dr = ∫∫ ∇ × E ⋅dA
(
∂A
)
A
wobei die Randkurve der Fläche A
den Integrationsweg auf der linken
Seite darstellt.
Einsetzen ergibt:
∫∫ (
A
r r r
r r
∂
∇ × E ⋅dA = − ∫∫ B ⋅dA
∂t A
)
Umformen liefert schließlich:
∫∫ (
A
r
r r r
⎛ ∂B ⎞ r
∇ × E ⋅dA = ∫∫ ⎜ −
⎟ ⋅dA
∂t ⎠
A ⎝
)
Diese Gleichung soll für jede beliebige
Fläche A gelten. Dies ist nur möglich,
wenn beide Integranden übereinstimmen,
also:
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
Dies ist die 3. Maxwell-Gleichung, also
das Induktionsgesetz, in differentieller
Form.
264
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
5.5 Selbstinduktion
Das Feld im Inneren der Spule ist:
Wir betrachten das Feld einer Spule
der Länge l mit N Windungen, die von
einem zeitabhängigen Strom I(t) durchflossen wird.
l
A
B (t ) = μ0
N
I (t )
l
Differenzieren der Gleichung ergibt:
dB μ0 N dI (t )
=
dt
l
dt
Da das Feld zeitlich veränderlich ist, entsteht eine Induktionsspannung
r
B(t )
U (t ) = −
I(t)
U(t)
d Φ mag.
dt
dB (t )
= − NA
dt
wobei A die Querschnittsfläche der Spule
ist.
265
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Einsetzen in das Induktionsgesetz ergibt:
U (t ) = −
μ 0 AN dI (t )
2
l
wobei
L=
dt
= − LI&(t )
μ0 AN 2
Beispiel:
Eine Spule habe die Länge l = 10 cm
und den Durchmesser D = 5 cm. Sie hat
N = 50 Windungen. Wie groß ist die
Induktivität L ?
Die Querschnittsfläche A ist:
2
⎛D⎞
A = π ⎜ ⎟ = 1.963 ⋅10−3 m3
⎝2⎠
l
die Selbstinduktion oder Induktivität der
Spule ist. Sie hängt nur von geometrischen Eigenschaften wie der Querschnittsfläche, der Länge und der Windungszahl ab.
Die Einheit der Selbstinduktion ist:
Vs m 2
Vs
[ L] = 1
=1
= 1H (Henry)
Am m
A
Mit µ0 = 4π⋅10−7 Vs/Am ergibt sich dann:
L=
μ0 AN 2
l
= 6.17 ⋅10−5 H = 61.7μH
1 Henry ist also eine
recht große Einheit.
Joseph Henry
(1766-1844)
266
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
I(t)
U(t)
Ein zeitlich variabler Strom I(t) durch
die Spule bewirkt zwischen den
Spulenanschlüssen eine Spannung:
dI
U (t ) = − L
dt
t
t
267
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der Begriff der Selbstinduktion lässt
sich auch auf eine beliebige Leiterschleife verallgemeinern.
U(t)
r
B(t)
Φ mag.
r
dA
I(t)
Durch jeden Stromkreis greift ein Magnetfluss, welcher von seinem eigenen
Stromfluss herrührt. Da das Magnetfeld
proportional zum Strom I(t) ist gilt:
r
r
= ∫∫ B (t ) ⋅ dA
= L I (t )
Hierbei ist L die Selbstinduktion der
Leiterschleife, die nur von ihrer geometrischen Beschaffenheit abhängt.
Es ergibt sich also wieder:
dI (t )
U (t ) = −L
dt
268
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
5.6 RL-Kreise
Wir betrachten einen Stromkreis bestehend aus einer Gleichspannungsquelle U0, einem Widerstand R und
einer Induktivität L.
(i) Einschaltverhalten:
Die „Maschenregel“ liefert:
UR = U0 + UL
dI
UR = R I UL = −L
dt
dI
⇒ R I = U0 − L
dt
U0
dI (t ) R
⇒
+ I (t ) =
dt
L
L
R
UR
I
U0
L
UL
Dies ist eine lineare, inhomogene DGL
1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Als Anfangsbedingung soll speziell
I (t = 0) = 0 gewählt werden.
269
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die Lösung der homogenen Gleichung
lautet:
⎛ R ⎞
I h (t ) = A exp ⎜ − t ⎟
⎝ L ⎠
Eine partikuläre Lösung Ip(t) ergibt sich
leicht aus der Bedingung:
lim I P (t ) =
t →∞
U0
= const.
R
Damit gilt für die Gesamtlösung:
I (t ) = I p (t ) + I h (t )
U0
⎛ R ⎞
I (t ) =
+ A exp ⎜ − t ⎟
R
⎝ L ⎠
Die Konstante A ist mit der Anfangsbedingung I(t) = 0 für t = 0 festgelegt:
U0
+ A=0
R
U
⇒ A=− 0
R
I (0) =
Damit ergibt sich das gesuchte Einschaltverhalten des Stromes in einem
Stromkreis mit einer Induktivität:
U0
I (t ) =
R
⎡
⎛ R ⎞⎤
⎢1 − exp ⎜ − L t ⎟ ⎥
⎝
⎠⎦
⎣
Der Strom baut sich erst nach einer Zeit
τ = L/R auf.
Beispiel: L = 1 mH und R = 1 kΩ
10−3 H
Vs
τ=
= 10−6
= 1μs
1000 Ω
A V/A
270
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Einschaltkurve des Stromes bei einer Induktivität
I(t)
U0
R
U0
I (t ) =
R
⎡
⎛ R ⎞⎤
⎢1 − exp ⎜ − L t ⎟ ⎥
⎝
⎠⎦
⎣
t
271
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(ii) Ausschaltverhalten:
Jetzt ergibt die „Maschenregel“:
I
UR = 0 +UL
dI
UR = R I UL = −L
dt
dI
⇒ R I = −L
dt
dI (t ) R
⇒
+ I (t ) = 0
dt
L
Dies ist eine lineare, homogene DGL 1.
Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Als Anfangsbedingung soll jetzt speziell I(0) = I0 gewählt werden.
U0
L
UL
R
UR
Als Lösung ergibt sich sofort:
⎛ R ⎞
I (t ) = I 0 exp ⎜ − t ⎟
⎝ L ⎠
Der Strom klingt mit der Zeitkonstanten
τ = L/R ab.
272
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Ausschaltkurve des Stromes bei einer Induktivität
I(t)
I0
⎛ R ⎞
I ( t ) = I 0 exp ⎜ − t ⎟
⎝ L ⎠
I0
e
L
τ =
R
t
273
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
5.7 Energie des Magnetfeldes
Wir betrachten die folgende Spule:
l
A
I
N Windungen
U
Magnetfeld im Innern der Spule:
B = μμ 0
NI
l
Wenn sich der Strom zeitlich ändert,
dann wird eine Spannung U induziert:
dB
N 2 A dI
dI
U = − NA = − μμ0
=− L
dt
l 3 dt
dt
1424
= L: Induktivität
Die Leistung P ist:
dW
dI
=U I = L I
dt
dt
⇒ dW = L I dI
P=
Hieraus folgt durch Integration die in
der Spule gespeicherte Energie:
W=
1 2
LI
2
Drückt man die Energie durch das
Magnetfeld B aus, so ist:
W=
Al
2 μμ 0
B2
Mit V = Al und Β = μμ0Η folgt für die
Energiedichte ρw= W/V
1
ρ w = BH
2
274
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
5.8 Maxwellsches Induktionsgesetz
In 5.4 wurde mit dem Faradayschen Induktionsgesetz gezeigt, dass zeitlich
veränderliche B-Felder ein E-Feld
erzeugen. Symmetrieüberlegungen führen nun zur Induktion eines B-Feldes
durch zeitlich veränderliche E-Felder:
r r
d r r
&
∫dA B ⋅ dr = μ0ε 0 Φ el. = μ0ε 0 dt ∫A E ⋅ dA
Betrachtet wird hierzu das Aufladen
eines Plattenkondensators: Der konstante Strom I bewirkt eine Zunahme der
Ladung und damit dE/dt > 0:
I
I
E
dE/dt>0
Die Richtung des induzierten Magnetfeldes wird deutlich beim Blick auf die
rechte Platte (von innen):
r
B
r
B
r
dE / dt > 0
r
E
r
B
r
B
Wichtig sind die unterschiedlichen
Vorzeichen in beiden Induktionsgesetzen. Sie ermöglichen u.a. die Existenz
von elektromagnetischen Wellen.
275
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Bereits bekannt ist das Ampèresche
Gesetz mit dem vom Weg ds eingeschlossenen Strom I
r r
∫ B ⋅ dr = μ0 I
r r
& el . ) + μ 0 I
B
⋅
d
r
=
μ
(
ε
Φ
0
0
∫
mit dem (fiktiven) Verschiebungsstrom
(2) Ampère-Maxwellsches Induktionsgesetz
r r
d
∫ B ⋅ dr = μ0ε 0 dt Φ el. + μ0 I
(3) Gaußscher Satz für elektrische
Felder
r r qin
∫ E ⋅ dA =
& el .
IV = ε 0 Φ
IV
(1) Faradaysches Induktionsgesetz
r r
d
∫ E ⋅ dr = − dt Φ mag .
Die Kombination beider Gesetze liefert
das Ampère-Maxwellsche Gesetz
I
5.9 Zeitabhängige Maxwell-Gleichungen: Überblick
ε0
I
(4) Gaußscher Satz für magnetische
Felder
r r
∫ B ⋅ dA = 0
276