Gradient, Divergenz und Rotation

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Zusatzvorlesungen:
Z-1
Z-2
Z-3
Z-4
Z-5
Z-6
Z-7
Ein- und mehrdimensionale Integration
Gradient, Divergenz und Rotation
Gaußscher und Stokesscher Integralsatz
Kontinuitätsgleichung
Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Berechnung von Magnetfeldern
Wellen und Wellengleichung
140
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-2 Gradient, Divergenz und Rotation
Z-2.1 Einführung
Die 4 Maxwell-Gleichungen sind die Grundgesetze der Elektrodynamik.
Sie können in differentieller Form folgendermaßen geschrieben werden:
ρ
(1) ∇ ⋅ E =
ε0
∂B
(3) ∇ × E = −
∂t
(2) ∇ ⋅ B = 0
∂E
(4) ∇ × B = µ0 j + ε 0
∂t
Es tauchen also die „Differentialoperatoren“ Divergenz und Rotation auf.
Daher soll die Bedeutung dieser Operatoren nochmals wiederholt werden.
141
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
In der Elektrodynamik betrachten wir die zwei (Vektor-) Felder E und B sowie das
Potential U (Skalarfeld). Ihre Bedeutung ist:
Sei
x
r= y
z
der Ortsvektor zum Punkt
E x ( x, y , z , t )
E ( r , t ) = E y ( x, y , z , t )
E z ( x, y , z , t )
Bx ( x, y , z , t )
B ( r , t ) = B y ( x, y , z , t )
Bz ( x, y , z , t )
( x, y, z ).
gibt die Größe der drei Komponenten des
elektrischen Feldes am Ort ( x , y , z ) zur
Zeit t an.
gibt die Größe der drei Komponente n des
magnetischen Feldes am Ort ( x , y , z ) zur
Zeit t an.
142
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Wenn speziell das elektrische oder das magnetische Feld nicht explizit von der Zeit
abhängen, dann liegt der Fall der Elektrostatik bzw. Magnetostatik vor.
E x ( x, y , z )
E ( r ) = E y ( x, y , z )
E z ( x, y , z )
gibt die Größe der drei Komponente n des
statischen elektrischen Feldes am Ort
(x,y,z) an.
U (r ) = U ( x, y, z ) ist das Potential des statischen elektrischen Feldes.
Bx ( x, y , z )
B ( r ) = B y ( x, y , z )
Bz ( x, y , z )
gibt die Größe der drei Komponenten des
statischen magnetischen Feldes am Ort
(x,y,z) an.
143
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Weiterhin sind die Quellen des elektrischen Feldes die Ladungen. Für das
elektrische Feld einer Punktladung q gilt etwa:
1
1
q
q
e =
E (r ) =
2 r
4π ε 0 r
4π ε 0 x2 + y2 + z 2
(
)
3/ 2
x
y
z
Die Ladungsdichte ρ(x,y,z) ist im Raum definiert als der Quotient aus Ladung
und Volumen, also:
ρ ( x, y , z ) =
∆Q
∆V
mit der Ladung Q im Volumen V .
Wir werden später sehen, dass elektrische Ströme von magnetischen Feldern
umgeben sind. Der Vektor j (Vektorfeld) in den Maxwell-Gleichungen ist die
Stromdichte.
144
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-2.2 Gradient eines Skalarfeldes
Sei U (r ) ein skalares Feld (z.B.
ein Potential), das von r = ( x, y, z)
abhängt. Dann kann man schreiben:
U (r )
dr
U (r + dr )
r
r + dr
dU kann durch eine Veränderung der
drei Variablen verursacht werden, also
gilt („totales Differential“):
dU =
∂U
∂U
∂U
dz
dx +
dy +
∂x
∂y
∂z
∂U
∂x
dx
∂U
⋅ dy = ∇U ⋅ dr
=
∂y
dz
∂U
∂z
U ( r + dr ) = U ( r ) + dU
145
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Der Gradient gibt die Richtung des
steilsten Anstieges (Abstieges) der
Funktion U(x,y,z) an. Er wandelt ein
skalares Feld in ein Vektorfeld um.
Die Komponenten berechnen sich zu:
∂U
= 2 x exp − x 2 − y 2
∂x
∂U
Ey = −
= 2 y exp − x 2 − y 2
∂y
Ex = −
Beispiel: Es sei das folgende (zweidimensionale) Potential gegeben:
U ( x, y ) = U 0 exp (− x 2 − y 2 )
U
(
)
(
)
Das Vektorfeld E(x,y) hat dann die Form
y
y
0
x
Das Feld ist dann E = −∇U ( x, y )
0
x
146
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Beispiel:
Das Feld ist dann:
− 2x
E = −∇ U ( x, y ) = 2 y
0
Wir betrachten das Potential
U ( x, y ) = x 2 − y 2
Vektorfeld E(x, y)
x
y
U
y
x
147
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-2.3 Divergenz eines Vektorfeldes
Die Divergenz eines Vektorfeldes E (r ) ist als das (formale) Skalarprodukt des
Nabla-Operators mit dem Vektorfeld definiert, also:
∂
∂x Ex ( x, y, z)
∂Ex ∂Ey ∂Ez
∂
+
+
∇ ⋅ E (r ) =
⋅ Ey ( x, y, z) =
∂z
∂x
∂y
∂y
Ez ( x, y, z)
∂
∂z
Das Resultat ist
ein Skalarfeld
Beispiel:
Ex ( x, y, z)
x
E(r ) = E y ( x, y, z) = y = r
Ez ( x, y, z)
z
∇ ⋅ E = ∇ ⋅ r = 1+1+1 = 3
148
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Darstellung des Vektorfeldes
Beispiel
Gegeben sei das Vektorfeld:
E
y
y
E(r ) =
x2 + y 2
−x
x2 + y 2
0
Die Divergenz dieses Vektorfeldes ist
dann:
∂E x ∂E y ∂E z
+
+
∇⋅E =
∂x
∂z
∂y
xy
−xy
=
+
32
x2 + y2
x2 + y 2
(
)
(
)
32
+0 =0
x
149
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Beispiel
Darstellung des Vektorfeldes
Gegeben sei das Vektorfeld:
E
y
−x− y
E(r ) = x − y
0
Die Divergenz dieses Vektorfeldes ist
dann:
∂Ex ∂Ey ∂Ez
+
∇⋅E =
+
∂x
∂z
∂y
= (−1) + (−1) + 0 = −2
x
150
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Darstellung des Vektorfeldes
Beispiel
Gegeben sei das Vektorfeld:
E
y
xy
E(r ) = 2 y 2
0
Die Divergenz dieses Vektorfeldes ist
dann:
∂Ex ∂Ey ∂Ez
+
∇⋅E =
+
∂y
∂z
∂x
= y + 4y + 0 = 5y
x
151
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-2.4 Rotation eines Vektorfeldes
Die Rotation eines Vektorfeldes E (r ) ist als das (formale) Vektorprodukt des NablaOperators mit dem Vektorfeld definiert, also:
∂Ez ∂E y
∂
−
∂y
∂z
∂x
Ex ( x, y, z)
∂Ex ∂Ez
∂
−
× E y ( x, y, z) =
∇ × E (r ) =
∂x
∂z
∂y
Ez ( x, y, z)
∂Ey ∂Ex
∂
−
∂y
∂x
∂z
Das Resultat ist
wieder ein Vektorfeld
Beispiel:
Ex ( x, y, z)
x
E(r ) = Ey ( x, y, z) = y = r
Ez ( x, y, z)
z
0
∇× E = ∇× r = 0 = 0
0
152
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Beispiel
Darstellung des Vektorfeldes
E
Gegeben sei das Vektorfeld:
y
E(r ) =
y
x2 + y 2
−x
x2 + y 2
0
Die Rotation dieses Vektorfeldes ist
dann:
∂Ez ∂Ey
−
∂z
∂y
∂Ex ∂Ez
−
∇× E =
∂z
∂x
∂E y ∂Ex
−
∂x
∂y
x
153
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Wegen Ez = 0, und da die Komponenten nicht von z abhängen, müssen nur
zwei partielle Ableitungen berechnet
werden
∂E y
∂x
=−
1
x +y
2
2
+
(x
x2
2
+y
2
∂Ex
1
y2
=+
−
2
2
∂y
x +y
x2 + y 2
(
)
)
Vektorfeld
∇× E
32
z
32
Dann erhält man für die Rotation des
Vektorfeldes:
∇× E =
0
0
−1
x2 + y2
y
x
154
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-2.5 Schreibweisen und Operatoren
Häufig wird insbesondere in der älteren Literatur die folgende Notation ohne den
Nabla-Operator verwendet:
Gradient von U (r ) :
Divergenz von E (r ) :
∇U (r ) = gradU (r )
∇ ⋅ E (r ) = div E (r )
Rotation von E (r ) : ∇ × E (r ) = rot E (r )
Der Nabla-Operator kann auch geschachtelt werden, beispielsweise ist die Divergenz des Gradienten von einem Skalarfeld folgendermaßen definiert:
∂
∂U
∂x
∂x
∂
∂U
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
∇ ⋅ ∇U ( r ) =
⋅
= 2 + 2 + 2 = ∆U
∂y
∂y
∂x
∂y
∂z
∂
∂U
∂z
∂z
(
)
Mit dem Laplace-Operator
∂ 2
∂ 2
∂ 2
= ∇ ⋅∇
+
+
∆ =
∂z 2
∂y 2
∂x 2
155
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-2.6 Zusammenhang zwischen Potential und Feld
E ( r ) sei ein Vektorfeld, etwa das elektrische Feld. Dann sind die folgenden
Aussagen äquivalent:
E (r ) ⋅ dr
(1)
ist vom Weg C unabhängig
C
E (r ) ⋅ dr = 0
(2)
für jeden geschlossenen Weg C.
C
(3)
E (r ) ist als Gradient eines Potentials U (r ) darstellbar, d.h.
r
E (r ) = −∇U (r ) mit U (r ) = − E (r ) ⋅ dr
r0
(4)
E (r ) ist wirbelfrei, d.h. ∇ × E (r ) = 0
156