Kapitel 2

Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II
Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Elektrische Ladung und elektrische Felder
Kapazität
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Elektrodynamik
Schwingkreise und Wechselstrom
Teil 2: Optik
7. Elektromagnetische Wellen
8. Optik
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
2 Kapazität
2.1 Plattenkondensator
Man denke sich eine Platte von einer
flachen, zylindrischen Dose umgeben:
⎛0⎞
r ⎜ ⎟
E =⎜ 0 ⎟
⎜E ⎟
⎝ z⎠
mit Ez = const.
Der Fluss durch die Dose ist dann:
Fläche der
Platte: A
Ladung auf
der Platte: Q
+ + ++ + ++
x
y
z
r r
∫∫ E ⋅ dA =
Dose
gedachte
r
r„Dose“
E = E z ez
r r
r r
E ⋅ dA + ∫∫ E ⋅ dA
∫∫
oben
1
424
3 unten
r r
= 0, da E = 0
r r
+ ∫∫ E ⋅ dA
Seite
1
424
3
- ----- r r
E ≈0
Auf der oberen Platte befindet sich die
Ladung +Q, auf der unteren –Q.
Außerhalb der Platten verschwindet
das Feld näherungsweise.
= 0 , Symmetrie!
r r
= ∫∫ E ⋅ dA =
unten
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⎟ dA
∫∫
unten ⎜
⎟ ⎜ 1⎟
E
⎝ z⎠ ⎝ ⎠
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r r
∫∫ E ⋅ dA =
Dose
= Ez
∫∫ E
z
Zwei parallele, entgegengesetzt geladene (unendliche große) Metallplatten,
die im Abstand d voneinander aufgestellt werden, bilden einen Kondensator. Aus Symmetriegründen ist:
dA
unten
∫∫ dA =E
z
A
unten
=
Q
(1. Maxwell-Gleichung)
ε0
(ii)
Q
⇒ Ez =
Aε 0
Die Potentialdifferenz bzw. Spannung
zwischen den beiden Platten ist:
Beispiel: Elektrisches Feld und Potential eines Plattenkondensators
z _
_
_
_
_
r
E
+
(i)
+
d
+
r r
E || ez
r r
r
E (r ) = E0 = const.
+
+
d
d
0
0
ΔU = ∫ E ( z ) dz = E0 ∫ dz = E0 d
Legt man umgekehrt zwischen den
Platten eine Spannung ΔU an, dann
herrscht im Inneren das Feld:
ΔU
E0 =
d
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Bei einem Kondensator ist die Kapazität
C definiert durch:
r r
E≈0
+
+
+
+
+
r
r
E = E z ez
z
-
r r
E≈0
2.2 Kapazität und Energiedichte
Wir hatten bereits das Feld als Funktion
der Spannung U zwischen den Platten
im Abstand d berechnet:
U
Ez =
d
U
Q
⇒
A=
d
ε0
Q
C=
U
Sie ist ein Maß dafür, wie viel Ladung
man in einem Kondensator bei konstanter Spannung speichern kann.
Für die Kapazität C eines Plattenkondensators mit den Flächen A, die sich in
einem Abstand d voneinander befinden,
ergibt sich also:
C = ε0
A
d
Die Einheit der Kapazität ist:
[C ] = 1F = 1 Farad = 1
As
V
66
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Plattenkondensator
A
+Q
Kondensator
U
U
d
−Q
Aus
Der Kondensator wird auf eine
Spannung von U = 5 kV aufgeladen
und keine weiteren Ladungen zugefügt.
Wenn man den Abstand d der Platten
vergrößert, dann steigt die Spannung U
an.
Q
A
C = = ε0
U
d
folgt
Qd
U=
ε0 A
Q =const.
⇒
U ∝d
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Energiedichte
Zur Herleitung der Energiespeicherdichte ρW wird die Arbeit dW berechnet,
um die Ladungsmenge dq von einer auf
die andere Platte zu transportieren:
dW = ∫
d
0
r r d
F ⋅ dr = ∫ F dr
0
d
= dq ∫ E dr = dq U
0
Die gesamte Arbeit W ist
W =∫
Qges
0
=∫
Qges
0
dW = ∫
Qges
0
U (q ) dq
2
q
1
dq =
= CU 2
C
2C 2
Qges
In einem Kondensator mit der
Plattengröße A und dem Volumen V=Ad
ist also die Energie W gespeichert.
Daraus ergibt sich die Energiedichte:
W 1 CU 2
ρW = =
V 2 V
1 A 2
= ε 0 U / ( Ad )
2 d
1
= ε0 U 2 / d 2
2
1
= ε0 E 2
2
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r r
φ = ∫ E ⋅ dA =
2.3 Zylinderkondensator
Betrachtet werden zwei (unendlich)
lange Zylinder mit den Radien ri und ra.
Die Ladung Q auf dem (inneren) Draht
kann als Linienladungsdichte λ (Ladung
pro Länge l) dargestellt werden:
λ=
Q
l
A
r r
∫ E ⋅ dA
Zylinder −
mantel
λl
= E 2π r l = =
ε0 ε0
λ 1
⇒ E (r ) =
2πε 0 r
Q
Für die Spannung U gilt dann
+ + ri
+ +
+
U =∫
ra
ri
ra
Das elektrische Feld E eines langen
geraden Drahtes folgt aus dem Gaußschen Satz:
r
r
1 Q ⎛ ra ⎞
E ( r ) ⋅ dr =
ln ⎜⎜ ⎟⎟
2πε 0 l ⎝ ri ⎠
Damit erhält man die Kapazität
2πε 0l
Q
C= =
U ln (ra / ri )
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiele von Kondensatoren in der technischen Anwendung:
70
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Anwendung von Kondensatoren für Computertastaturen
71
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
2.4 Parallel- und Reihenschaltung
(i) Parallelschaltung von Kondensatoren
Die Gesamtladung auf den Kondensatorplatten ist:
Qges = Q1 + Q2
= C1U + C2U = (C1 + C2 )U
= CgesU
I0
I1
U
Q1
I2
Daraus folgt sofort:
Q2
Cges
C1
C2
Cges = C1 + C2
Dies lässt sich einfach auf N parallel geschaltete Kondensatoren verallgemeinern. Es ergibt sich:
Für jeden einzelnen Kondensator gilt:
Q1 = C1U
Q2 = C2U
N
Cges = ∑ Ci
i =1
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(ii) Serienschaltung von Kondensatoren
I0
U = U1 + U 2 =
Q1
C1
U1
Cges
U
Q2
C2
Die Gesamtspannung setzt sich aus den
Einzelspannungen zusammen:
Q Q
+
C1 C2
⎛ 1
1 ⎞
1
= Q ⎜⎜ + ⎟⎟ = Q
Cges
⎝ C1 C2 ⎠
Daraus folgt sofort:
U2
Für jeden einzelnen Kondensator gilt
jetzt (mit Q1 = Q2 = Q):
Q = C1U1 Q = C2U 2
1
1
1
=
+
Cges C1 C2
Dies lässt sich wieder einfach auf N in
Serie geschaltete Kondensatoren verallgemeinern. Es ergibt sich:
N
1
1
=∑
Cges i =1 Ci
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
2.5 Elektrisches Feld in Materie
Versuch: Dielektrikum im Kondensator
Wir definieren die Dielektrizitätskonstante ε eines Mediums durch den
folgenden Zusammenhang:
ε=
+Q
U
ε >1
Dielektrikum
–Q
Durch Einbringen eines Materials
zwischen die Platten erhöht sich die
Kapazität des Kondensators.
Q
C=
U
C Dielektrikum
CVakuum
Dabei ist CDielek. die Kapazität eines
Plattenkondensators, der mit dem
Medium zwischen den Platten aufgefüllt wurde, und CVakuum die Kapazität
ohne Medium zwischen den Platten. Es
ist immer ε ≥ 1 .
Für die Kapazität C eines Kondensators mit der Fläche A und dem Plattenabstand d und einem Medium mit der
Dielektrizitätskonstanten ε zwischen
den Platten gilt daher:
C = εε 0
A
d
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die Kapazität des Kondensators vergrößert sich also um den Faktor ε , d.h.
es kann bei gleicher Spannung mehr
Ladung auf den Kondensatorplatten
gespeichert werden. Die Dielektrizitätskonstante (auch mit εr bezeichnet) eines
Mediums ist materialabhängig.
Trägt ein geladener Kondensator die
Ladung Q, so sinkt beim Einbringen
des Dielektrikums die Spannung U und
das elektrische Feld Ε nimmt ab. Entsprechend dem Gaußschen Satz muss
dann die effektive Gesamtladung Qges
um den Faktor ε reduziert werden:
Qges =
Q
ε
Die Differenz zwischen der aufgebrachten und effektiven Ladung ist
QP = Q − Qges = Q −
⎛ 1⎞
= Q ⎜1 − ⎟
ε
⎝ ε⎠
Q
Diese Ladung QP ist die so genannte
Polarisationsladung, die durch das
elektrische Feld im Dielektrikum
erzeugt wird.
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Das von "wahren" Ladungen Q
herrührende Feld wird definiert als
dielektrische Verschiebungsdichte:
r
r
D = εε 0 E
Mit dem Gaußschen Satz folgt dann:
r r
∫ D ⋅ dA = Q
Die „Quellen“ von D sind also die
"echten" Ladungen Q, während die
Polarisationsladungen QP in der Dielektrizitätskonstante berücksichtigt werden.
Durch die Polarisation des Dielektrikums
entsteht ein Feld P, welches dem
äußeren Feld E entgegenwirkt:
+
–
–
–
–
–
–
–
r
P
+
+
+
+
+
+
+
–
r
E
Ursache einer Polarisation können
verschiedene
Mechanismen
wie
Verschiebungspolarisation von Elektronen und Ionen oder Orientierungspolarisation von Molekülen mit
permanentem Dipolmoment sein.
r
r r
D =ε0E + P
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(i) Verschiebungspolarisation
(ii) Orientierungspolarisation
Verschiebungspolarisation tritt bei
allen Molekülen und auch bei
Atomen auf. Der negative Ladungsschwerpunkt verschiebt sich dabei in
einem äußeren Feld gegenüber dem
(viel schweren) positiven Kern.
Permanente Dipole in Materie richten
sich im elektrischen Feld aus.
r
p0
r
E =0
–
–
–
–
–
–
–
–
r
E ≠0
–
–
–
– –
–
Beispiel: Wasser als permanenter Dipol
–
–
r
E
unpolarisiertes
Molekül
polarisiertes Molekül:
elektrischer Dipol
– –
ϑ
r
r
r
p
+
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiele: Permanente Dipolmomente
CO2
SO2
H2O
Bei zeitabhängigen externen Feldern
hängt die Polarisierbarkeit auch von
der Frequenz des Feldwechsels ab.
C2H6
CH3Cl
HCl
NH3
CH4
C2H2
Ar
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
In Kap. 2.2 wurde die Energiedichte des
elektrischen Feldes im Plattenkondensator bestimmt. Dieses Ergebnis lässt
sich auf beliebig geformte Medien
übertragen. Für die Energiedichte wE in
einem beliebigen elektrischen Feld und
in Materie gilt dann:
ρW =
Versuch: Flüssigkeit im Kondensator
dW 1
= εε 0 E 2
dV 2
Mit der dielektrischen Verschiebung kann
dies auch geschrieben werden als:
E=0
dW 1
= DE
ρW =
dV 2
In einem Raumbereich mit Dielektrikum
ist wegen ε > 1 die Energiedichte höher
als außerhalb.
E≠0
80