WB - JavaPsi
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WB – Wechselstrombrücke Blockpraktikum Frühjahr 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull (Gruppe 2) 25. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Wechselstromwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Wechselstromwiderstand von Schaltungen . . . . . . . 2.3 Wheatstone-Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 3 Versuchsdurchführung 6 4 Messergebnisse und Auswertung 4.1 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 8 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 1 WB 2 Einführung In diesem Versuch sollen Kapazitäten und Induktivitäten durch eine Wechselstrombrücke gemessen werden. 2 2.1 Theoretische Grundlagen Wechselstromwiderstand Bei Gleichstrom definiert man den Widerstand eines Bauteils durch R = U/I. Legt man an ein Bauteil Wechselspannung U (t) = U0 cos ωt = Ũ an, so hängt der Widerstand von der Art des Bauteils ab. Für einen ohmschen Widerstand gilt nach wie vor R = U (t)/I(t), d.h. der Strom ist U0 Ũ = cos ωt = I˜Ω . IΩ (t) = R R Eine Kapazität C verschiebt jedoch die Phase des Stroms um π/2 gegenüber der Phase der Spannung, da bei einer Kapazität der Strom I direkt proportional zur zeitlichen Ableitung der Spannung U̇ ist: Q̃˙ = C Ũ˙ = −CωU0 sin ωt = I0 cos(ωt + π/2) 1 U0 = (1) := I0 ωC I˜ = ⇒ RC Eine Kapazität C hat also einen Widerstand RC und verschiebt die Stromphase um π/2. Dies lässt sich durch Einführung eines komplexen Wechselstromwiderstands ZC = − i ωC zusammenfassen, wenn man Strom I˜ und Spannung Ũ ebenfalls komplex durch Ũ (t) = U0 eiωt ˜ = I0 ei(ωt+π/2) und I(t) beschreibt, denn dann ist ZC = Version: 25. April 2007 i Ũ 1 −iπ/2 e =− . = ωC ωC I˜ (2) Moritz Stoll, Marcel Schmittfull 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN WB 3 Eine Induktivität L verschiebt die Stromphase um π/2 in die andere Richtung, da die Spannung U direkt proportional zur zeitlichen Ableitung des Stroms I˙ ist: I˜˙ = I˜ = ⇒ U0 iωt Ũ = e L Z L U0 i(ωt−π/2) U0 iωt U0 ie = e = I0 ei(ωt−π/2) eiωt dt = − L ωL ωL Für den komplexen Wechselstromwiderstand erhält man somit ZL = Ũ = ωL eiπ/2 = iωL. I˜ (3) Allgemein ist der Imaginärteil des komplexen Wechselstromwiderstands der Blindwiderstand, während der Realanteil der Verlustwiderstand ist. 2.2 Wechselstromwiderstand von Schaltungen Schaltet man ohmsche Widerstände R, Induktivitäten L und Kapazitäten C hintereinander, so addieren sich die komplexen Wechselstromwiderstand zu einem gesamten Wechselstromwiderstand Z. Beispiele: 1. Induktivität L und ohmscher Widerstand R: ⇒ Z = ZL + ZR = iωL + R p ωL ImZ = |Z| = (ωL)2 + R2 , tan ϕ = ReZ R (4) 2. Kapazität C und ohmscher Widerstand R: ⇒ −i Z = ZC + ZR = +R ωC s 1 1 2 + R2 , tan ϕ = |Z| = ωC ωCR (5) 3. Induktivität L, Kapazität C und ohmscher Widerstand R: ⇒ i +R Z = ZL + ZC + ZR = iωL − ωC s ωL − 1/ωC 1 2 |Z| = + R2 , tan ϕ = (6) ωL − ωC R Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.3 WB 4 Wheatstone-Brücke Gleichstrom Eine Gleichstrom-Wheatstone-Brücke ermöglicht die Messung des ohmschen Widerstands eines unbekannten Bauteils. Eine GleichstromWheatstone-Brücke ist eine Parallelschaltung von vier Widerständen in zwei Zweigen, wobei die Spannung U , die zwischen den beiden Zweigen abfällt, durch einen Spannungsmesser gemessen wird (siehe Abb. 1). Im abgeglichenen Zustand ist die Spannung bei R1 , R3 und Abbildung 1: Wheatstone-Brücke für Gleichstrom. bei R2 , R4 jeweils gleich groß, da kein Strom durch die Brücke fließt. Also folgt I1 R1 = I3 R3 ⇒ und I1 R2 = I3 R4 R3 R1 = R2 R4 so dass man den unbekannten Widerstand R1 aus den bekannten Widerständen R2 , R3 und R4 berechnen kann (R2 und R4 sind gewöhnlich durch ein Potentiometer realisiert). Wechselstrom Eine Wheatstone-Brücke für Wechselstrom ist prinzipiell gleich aufgebaut, enthält aber in beiden Zweigen ein Potentiometer (siehe Abb. 2). Mit diesem Aufbau lassen sich die Kapazität C von Kondensatoren und die Induktivität L von Spulen sowie deren Blind- und Verlustwiderstände ermitteln. Hierzu betrachten wir den abgeglichenen Zustand in Abb. 2, in dem kein Strom durch die Brücke fließt. Nehmen wir an, dass sich an Stelle von Rx und Lx eine Kapazität Cx im linken Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN WB 5 Abbildung 2: Wheatstone-Brücke für Wechselstrom. Zweig befindet und statt Rn und Ln eine Kapazität Cn im rechten Zweig ist. Dann sind der Strom Ix , der von A nach C durch Lx , Rx und Ra′ fließt, und der Strom In , der von C nach E durch Rb′ , Rn und Ln fließt gleich Ix = In . Somit gilt analog zur Gleichstrombrücke Zx Ra = = Rb Zn 1 iωCx 1 iωCn + Ra′ + Rb′ ⇒ Zx = Ra Zn . Rb Da zwei komplexe Zahlen gleich sind, wenn ihre Real- und Imaginärteile jeweils gleich sind, folgt1 Ra Ra′ = ′ Rb Rb Realteil: Imaginärteil: 1 iωCx 1 iωCn = Cn Rb Ra ⇒ Cx = = Cn . Cx Rb Ra (7) Da ein Bruch komplexer Zahlen nur dann reell ist, wenn Zähler und Nenner die gleiche Phasen haben (Division entspricht Subtraktion der Phasen), haben die Wechselstromwiderstände Zx und Zn die gleichen Phasen ϕZx = ϕZn . Wegen Z = U/I erhält man aus der Polardarstellung Z = |Z| eiϕZ = |U | i(ϕU −ϕI ) e |I| ⇒ ϕZ = ϕU − ϕI , d.h. die Phase des Wechselstromwiderstands ϕZ gibt die Phasendifferenz von U und I an. Da ϕZ im x- und n-Abschnitt gleich sind, ist 1 An der Bedingung für den Realteil erkennt man die Notwendigkeit des Ra′ , Rb′ Potentiometers in der Schaltung. Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG WB 6 die Phasendifferenz von U und I in diesen beiden Abschnitten gleich groß. Da die x- und n-Abschnitte direkt miteinander verbunden sind und somit keine weitere Phasenverschiebung zwischen U und I stattfinden kann, sind U und I in x- und n-Abschnitt jeweils in Phase, d.h. ϕUx = ϕUn und ϕIx = ϕIn . Man erhält für die Phase ϕZ von Zn und Zx −1 tan ϕZ = . ωCn Rb′ Ersetzt man die Kapazitäten Cx und Cn durch zwei Induktivitäten Lx und Ln und zwei Widerstände Rx und Rn , so dass man die Schaltung aus Abb. 2 erhält, dann ergibt sich analog zu oben Zx iωLx + Rx + Ra′ Ra = = Rb Zn iωLn + Rn + Rb′ und somit für Real- und Imaginärteil Rx + Ra′ Ra = ′ Rn + R b Rb Lx Ra ωLx = = . (8) Imaginärteil: ωLn Ln Rb Durch Auflösen erhält man Formeln für die Induktivität Lx und den Verlustwiderstand Rx der unbekannten Spule. Während Ra , Rb Ra′ und Rb′ also reine Verlustwiderstände sind, sind die Kondensatoren reine Blindwiderstände (mit positiver Phasenverschiebung von +π/2). Lediglich die Spulen bestehen sowohl aus einem Verlustwiderstand und einem Blindwiderstand (mit negativer Phasenverschiebung von −π/2). Realteil: 3 Versuchsdurchführung In dem Versuch wird mit einer Wheatstone-Brücke für Wechselstrom die Induktivität einer Spule und die Kapazität und der Verlustwiderstand eines Kondensator gemessen. Hierzu werden die im Theorieteil hergeleiteten Formeln auf die gemessenen Potentiometereinstellungen angewandt, bei denen kein Strom durch die Brücke fließt. Der Nullpunkt des Stromflusses wird durch Anschließen eines Kopfhörers an die Brücke bestimmt. Da die Frequenz der Wechselspannung im hörbaren Bereich liegt, fließt kein Strom, wenn kein Ton zu hören ist. 4 Messergebnisse und Auswertung In den folgenden Tabellen sind die Potentiometer-Einstellungen eingetragen, bei denen kein Ton mehr auf der Brücke zu hören war. Bei Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG WB 7 den Kondensatoren ist jeweils Ra′ = Ra /100 und Rb′ = Rb /100. Alle Widerstände sind in Ω angegeben. 4.1 Kondensatoren C2X1 Rb Ra Cvgl Cerrechnet 140 860 0, 922µF 0, 151µF 407 593 0, 220µF 0, 150µF C2X2 Rb Ra Cvgl Cerrechnet 630 370 0, 922µF 1, 57µF 877 123 0, 220µF 1, 57µF C2X1 und C2X2 in Parallelschaltung Rb Ra Cvgl Cerrechnet 651 549 0, 922µF 1, 72µF 887 113 0, 220µF 1, 73µF Der berechnete Wert beträgt 1, 72µF und stimmt gut mit den gemessenen Werten überein. C2X1 und C2X2 in Reihenschaltung Rb Ra Cvgl Cerrechnet 130 870 0, 922µF 0, 134µF 385 615 0, 220µF 0, 138µF Der berechnete Wert beträgt 0, 137µF und stimmt gut mit den gemessenen Werten überein. Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG 4.2 WB 8 Spulen Spulenwerte Spule Ra Rb Rb′ Ra′ L2X1 530 470 256 235 Lvgl Rvgl Lerrechnet Rerechnet 68, 46mH 17, 55Ω 60, 71mH 15, 56Ω L2X2 418 582 207, 5 292, 5 68, 46mH 17, 55Ω 94, 54mH 20, 85Ω Gegeninduktivität Spulenrichtung Ra Rb Lvgl Lerrechnet Gegeninduktivität gleichsinnig 180 830 68, 46mH 311, 9mH 78, 33mH gegensinnig 910 90 68, 46mH 6, 771mH 74, 23mH Die Werte für die Gegeninduktivität sind etwas voneinander verschieden, was durch die ungenauen Lautstärkeminima erklärt werden kann. Im Rahmen der Messunsicherheiten ist das Ergebnis allerdings vertretbar. Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull
