Numerische Feldberechnung
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Skript zur Vorlesung „Numerische Feldberechnung“ SS 2011 Dr.-Ing. Hartmut Brauer Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Informationstechnik FG Theoretische Elektrotechnik 1 Inhaltsübersicht 0 Einführung 0.1 0.2 0.3 Historische Entwicklung Moderne numerische Feldberechnung Entwicklung der Diskretisierungsmethoden 1 Mathematisch-physikalische Feldmodellierungen 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Klassifizierung und Randbedingungen Randwertaufgaben und Anfangswertaufgaben Potentialfelder Feldanalogien Lösungsansätze Theorie – Simulation – Experiment 2 Finite - Differenzen - Methode (FDM) 2.1 Herleitung von Differenzengleichungen 2.1.1 Taylorreihenansatz - Symmetrien, Ränder, Grenzen 2.1.2 Umlaufintegralmethode - Rand- und Grenzbedingungen, Zeitabhängigkeiten - Ansatzverfahren 2.2 Aufstellung und Lösung der Gleichungssysteme 3 Finite-Difference Time-Domain Method (FDTD) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Entstehung der Methode 1D skalare Wellengleichung 2D-Lösung der Maxwell-Gleichungen 3D-Lösung der Maxwell-Gleichungen Finite Integrationstechnik (FIT) 4 Finite - Elemente - Methode (FEM) 4.1 4.2 Einführung Euler-Differentialgleichung und Variationsansatz 4.3 Aufstellung von Variationsfunktionalen 4.3.1 Extremalprinzip für stationäre Feldprobleme 4.3.2 Variationsfunktionale für lineare Felder 4.3.3 Variationsfunktionale für nichtlineare Magnetfelder 4.3.4 Variationsansätze für zeitabhängige Magnetfelder 4.4 Lösung von Variationsansätzen 4.4.1 RITZ - Verfahren 4.4.2 Methode der gewichteten Residuen (GALERKIN) 4.5 Der Finite - Elemente - Algorithmus 4.5.1 Elementetypen und Formfunktionen 4.5.2 Elementematrizen 4.5.3 Aufstellung / Lösung der Gleichungssysteme 2 5 Integralgleichungsmethode (IGM) 5.1 Direkte IGM (Green´sche Methode) 5.1.1 Integralgleichung im homogenen Medium 5.1.2 Integralgleichung in inhomogenen Medien 5.2 Indirekte IGM (Sekundärquellenmethode) 5.2.1 Feldgleichungen für inhomogene Medien 5.2.2 Sekundärquellen in bereichsweise homogenen Feldgebieten 5.2.3 Integralgleichung für die Sekundärquellendichte 5.3 Boundary - Elemente - Methode (BEM) 5.3.1 Green´sche Funktion und Randintegrale 5.3.2 Randintegralgleichungen 5.4 Volumenintegralmethode (VIM) 5.4.1 Integralgleichungen für Magnetfelder 5.4.2 Numerische Lösung 6 Ersatzladungsverfahren 6.1 6.2 6.3 6.4 Überlagerungsprinzip Ladungstypen Ladungsermittlung Kontrolle der numerischen Approximation 7 Mehrfach-MultiPol-Methode (MMP) 7.1 7.2 7.3 Mathematisches Modell Auswahl der MMP-Ansätze Numerische Realisierung 8 Bewertung der numerischen Methoden 8.1 8.2 Entscheidungskriterien für die Methodenwahl Typische elektromagnetische Feldprobleme 9 Elektromagnetisches CAD 9.1 9.2 9.3 9.4 Programmorganisation Datenverwaltung Preprocessing Hauptprogramm 9.5 Postprocessing 9.5.1 Berechnung von sekundären Größen 9.5.2 Integralparameter 9.5.3 Kräfte 9.5.4 Momente Literaturübersicht 3 Literatur zur numerischen Feldberechnung (Auswahl): Binns, K.J.; P.J. Lawrenson; C.W. Trowbridge: The analytical and numerical solution of electric and magnetic fields. John Wiley & Sons, Chichester, 1992 Booton, R.C.: Computational methods for electromagnetics and microwaves. John Wiley & Sons, New York, 1992 Brebbia, C.A.; J.C.F. Telles; L.C. Wrobel: Boundary Element Techniques. Springer, Berlin, 1984 Chari, M.V.K.; S.J. Salon: Numerical methods in electromagnetics. Academic Press, San Diego, 2000 Davidson, D.B.: Computational electromagnetics for RF and microwave engineering. Cambridge University Press, Cambridge, 2005 Fetzer, J., M. Haas, St. Kurz: Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder: Methode der finiten Elemente – Randelementmethode – Kopplung beider Verfahren – Anwendung in der elektrotechnischen Praxis. expert-Verlag, Renningen-Malmsheim, 2001 Golberg, M.: Boundary integral methods: numerical and mathematical aspects. WIT Press, Boston, 1999 Hafner, Ch.: Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder. Springer, Berlin, 1987 Hafner, Ch.: MAX-1. A visual electromagnetics platform. John Wiley, Chichester, 1998 Hafner, Ch.: Post-modern electromagnetics: using intelligent Maxwell solvers. John Wiley, Chichester, 1999 Hameyer, K.; R. Belmans: Numerical modelling and design of electrical machines and devices. WIT Press, Southampton-Boston, 1999 Harrington, R.F.: Field computation by moment methods. IEEE Press, Piscataway, 1993 Hoole, S.R.H.: Computer-aided analysis and design of electromagnetic devices. Elsevier, New York, 1989 Hoole, S.R.H., P.R.P. Hoole: A modern short course in engineering electromagnetics. Oxford University Press, New York, 1996 Huebner, K.H.: The finite element method for engineers. Wiley, New York, 2001 Humphries, St.: Field solutions on computers. CRC Press, Boca Raton, 1998 Ida,N.; J.P.A. Bastos: Electromagnetics and calculation of fields. Springer, New York, 1992 Jin, J.: The finite element method in electromagnetics. John Wiley & Sons, New York, 2002 Kost, A.: Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetischer Felder. Springer, Berlin, 1994 4 Kunz, K.S.; R.J. Luebbers: The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics. CRC Press, Boca Raton, 1993 Lowther,D.A.; P.P. Silvester: Computer-aided design in magnetics. Springer, Berlin, 1986 Marinescu, M.: Elektrische und magnetische Felder: eine praxisorientierte Einführung. Springer, Berlin, 1996 Marsal, D.: Finite Differenzen und Elemente. Springer-Verlag, Berlin, 1989 Mayr, M., U. Thalhofer: Numerische Lösungsverfahren in der Praxis: FEM-BEM-FDM. Hanser, München, 1993 Philippow, E.: Grundlagen der Elektrotechnik (8.Aufl.). Verlag Technik, Berlin, 1988 Poljak, D., C.A. Brebbia: Boundary element methods for electrical engineers (Advances in electrical engineering and electromagnetics). WIT Press, Southampton-Boston, 2005 Reece, A.B.J., T.W. Preston: Finite element methods in electrical power engineering. Oxford University Press, 2000 Sabonnadiere, J.-C.; J.-L. Coulomb: Finite Element Methods in CAD. North Oxford Academic, London, 1987 Sadiku, M.N.O.: Numerical Techniques in Electromagnetics. CRC Press, Boca Raton, 2001 Schwarz, H.R.: Methode der finiten Elemente. B.G. Teubner, Stuttgart, 1992 (2.Aufl.) Shen, J.: Computational electromagnetics using Boundary Elements. Advances in modelling eddy currents. Computational Mechanics Publications, Southhampton, 1995 Silvester, P.P.; R.L. Ferrari: Finite Elements for Electrical Engineers. Cambridge University Press, 1983 Smith, G.D.: Numerical solution of partial differential partial differential equations: finite difference methods. Clarendon Press, Oxford, 1993 Strassacker, G., P. Strassacker: Analytische Feldberechnung. B.G. Teubner, Stuttgart, 1993 und numerische Methoden der Sykulski, J.: Computational Magnetics. Chapman & Hall, London, 1995 Taflove, A.: Advances in Computational Electrodynamics. The Finite-Difference TimeDomain Method. Artech House, Boston-London, 1998 Taflove, A., S.C. Hagness: Computational electrodynamics: the finite-difference timedomain method. Artech House, Boston, 2000 Zhou, P.: Numerical analysis of electromagnetic fields. Springer, Berlin-Heidelberg, 1993 Zienkiewicz, O.C., R.L. Taylor: The finite element method. Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000 5 0 Einführung 0.1 Historische Entwicklung der Feldberechnung Klassische Analyse - Approximationstheorie - spezielle analytische Lösung - Transformationen Graphische Methoden Netzwerkmodelle - Widerstandsnetzwerke (Michlin, 1967) (Binns, 1963) (Schwarz, 1869) (Christoffel, 1870) (Johnson, 1927) (Stevenson, 1927) (Bewley, 1948) (Liebman, 1949/52) (Duffin, 1959) Kontinuierliche Modelle - leitendes Papier - elektrolytischer Trog Finite – Differenzen - Methode Variationsrechnung - Rayleigh – Ritz - Verfahren (Karplus, 1958) (Binns, 1963) (Ritz, 1909) (Gould, 1957) (van Bladel, 1964) (Kornhauser, 1952) (McDonald, 1974) Statistische Verfahren - Monte – Carlo - Methode (Ehrlich, 1959) 0.2 Moderne numerische Feldberechnung Anfang der siebziger Jahre - 2D, statisch FDM FEM - 3D FDM IGM Mitte der siebziger bis Mitte der achtziger Jahre - zeitabhängige Probleme, 2D + 3D - interaktive Grafiktechniken - vorkond. konjugierte Gradientenverfahren - automatische Netzgenerierung (2D) - a posteriori – Fehleranalysen - PC’s und CAD - Verfahren Seit Mitte der achtziger Jahre - Übertragung auf PC – Technik - Nutzung von Supercomputern und Parallelrechnern - Kopplung verschiedener Methoden - CAD – Systeme - Berechnung verkoppelter Felder 6 (Trowbridge, 1972) (Silvester, 1970) (Müller, 1972/83) (Tozoni, 1975) (Csendes, 1981) (Kershaw, 1978) (Csendes, 1985) (Biddlecombe, 86) (Simkin, 1983) (Lowther, 1986) 0.3 Entwicklung der Diskretisierungsmethoden Finite – Differenzen – Methode (FDM) - erste elektrotechnische Anwendung - große 3D – Probleme - Zeitdiskretisierung (Erdelyi, 1970) (Müller, 1983) Finite – Elementen – Methode (FEM) - Mechanik Elektrotechnik, Magnetostatik elektrische Maschinen elektrostatische Potentialprobleme Wellenleiteranordnung - 3D – Mikrowelleneinrichtungen - Wirbelstromprobleme - Modellierung von Permanentmagneten (Zienkiewicz, 1965) (Winslow, 1967) (Silvester, 1970) (Silvester, 1969) (Silvester, 1969) (Ng, 1974) (Hara, 1983) (Konrad, 1985) (Chari, 1980) (Nakata, 1988) - 3D – Feldprobleme Integralverfahren (IGM) - Strukturmechanik BEM - Elektrotechnik (Brebbia, 1980) (Simkin, 1976) (Wexler, 1969) (Tortschanoff, 1984) (Reichert, 1967) (Koch, 1985) (Steinbigler, 1968) (Harrington, 1968) - BEM – Softwarepakete - Umlaufintegralmethode - Ersatzladungsverfahren - Momenten-Methode COMPUMAG-Konferenzen: 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 - Graz / Austria Tokyo / Japan Sorrento / Italy Miami / USA Berlin / Germany Rio de Janeiro / Brasil Sapporo / Japan Evian / France Saratoga Springs / USA Shenyang / China Aachen / Germany Florianopolis / Brazil Sydney / Australia Budapest / Hungary 7 1 Mathematisch – physikalische Feldmodellierung 1.1 Klassifizierung und Randbedingungen Approximationen physikalischer Erscheinungen: partielle Differentialgleichungen + Rand-/Anfangsbedingungen Beispiele: Felder von: - Drücken - Temperaturen - Massekonzentrationen - Verschiebungen - Elektromagnetischen oder akustischen Potentialen RWA - Ortskoordinate = unabhängige Variable AWA - Zeit = unabhängige Variable pDGL 2. Ordnung: L() - f = 0 2( ) n ( ) L ( ) Ai Bi C ( ) D 2 x i x i i 1 i 1 n allgemeine pDGL mit 2 unabhängigen Variablen: 2 2 2 x, y , , , A 2 B C D x 2 x y y 2 x y Klassifizierung der Differentialgleichungen Nach Form der Funktion D: B2 - A C < 0 elliptische DGL B2 - A C = 0 parabolische DGL B2 - A C > 0 hyperbolische DGL 8 Randbedingungen n Allgemeine Form: 1. Art ( Dirichlet-RB): gegeben; =0 2. Art (Neumann-RB): /n gegeben; =0 homogene Neumann-RB: /n=0 , 3. Art (gemischte RB): = 0 Sturmscher Typ: auch: Cauchy-RB 1.2 0 Randwertprobleme / Anfangswertprobleme Feldeinteilung und Randbedingungen Typ hyperbolisch parabolisch elliptisch D >0 =0 <0 Normalform uxy = F uxx – uyy =F uxx = F uxx + uyy =F Randbedingungen 3. Art Dirichlet Neumann 3. Art Dirichlet Neumann (3. Art) Beispiel Wellengleichung Wärmeleitung Potentialgleichung utt = 2uxx ut = 2uxx uxx + uyy =0 9 Randwertaufgaben a ( , ) = f ( ) z.B. Lösung eines Variationsfunktionals: Z Y X mit den Anfangs- und Randbedingungen - Startzeit - Dirichlet ( x) g ( x) konst. - Neumann ( x) g ( x) konst. n - mixed ( Konvektion ) a ( x ) b - binär ( m = 0; k = k I ( x ) i ( x) m 1) oder periodisch - ( x) g ( x) n Fernfeld 10 Dirichlet – Randbedingung Bedingung 1. Art Problem: Potential vorgegeben - Wo muss man den Rand definieren? a) b) c) Streufluss vernachlässigt d) e) Kelvin–Transformation 11 f) Neumann – Randbedingung Normalen – Ableitung ist konstant 12 Periodische Randbedingung Feldsymmetrien - Diskretisierung muss auf den Rändern (i , I) identisch sein: k I ( x) i ( x) m m = 0, k = 1 binäre Randbedingung Fernfeld – Bedingung Kelvin Transformation Transformation des freien Raumes in einen endlichen Raum (d.h. im oberen kleinen Kreis FEM-Lösung) Potentiale auf dem Rand des (kleinen) FEM–Gebietes sind identisch mit denen auf dem Kreis in der weiteren Umgebung der Hochspannungsleitung 13 1.3 Potentialfelder Analoge Größen skalarer Potentialfelder Größe Elektrostatik Elektrisches Strömungsfeld Magnetostatik Temperaturfeld Flüssigkeitsströmung Gravitationsfeld Potential Potential Potential Potential Temperatur T Geschwindigkeitspotential NewtonPotential Intensität elektrische Feldstärke E elektrische Feldstärke E magnetische Feldstärke H Temperaturgradient Geschwindigkeit v Gravitationskraft Materialkonstante Permittivität Leitfähigkeit Permeabilität Wärmeleitfähigkeit Dichte Kehrwert der Gravitationskonstante Magnetische Flussdichte B Wärmestromdichte q Flussrate magnetische Ladungsdichte m Wärmequellendichte q Ausflussrate Induktivität L Wärmekapazität C Flussdichte Verschiebung- Stromdichte stromdichte D J Quellenstärke elektrische Ladungsdichte e Integralparameter Kapazität C Stromdichte J Leitwert G 14 Massendichte 1.4 Feldanalogien Magnetfeld: 1 2 A J oder : 2 0 Elektrostatik: 2 p q oder 2 f 0 – skalares elektrisches Potential – Permittivität – Raumladungsdichte E – elektrische Feldstärke ( = - ) p – Geschwindigkeitspotential – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = - ) f – Strömungsfunktion – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = x f ) Temperaturfeld: k T q 2 – skalares magnetisches Potential µ – Permeabilität J – Stromdichte ( = 0 ) H – magnetische Feldstärke ( = - ) Flüssigkeitsströmung: 2 A – magnetisches Vektorpotential – Permeabilität J – Stromdichte B – Magnetflussdichte ( = x A ) Grundwasserströmung: k 2 q Torsion (2D): 1 2 2 G Elastische Membran: T 2 u F T – Temperatur k – Leitfähigkeit q – Wärmequellendichte v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k T ) – piezometrischer Knopf k – Leitfähigkeit q – Entladung / Pumpung v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k ) – Spannungsfunktion G – Young-Modul – Verdrehungswinkel / Länge – Scherspannung ( = x ) u – Querauslenkung T – Membranspannung F – horizontal verteilte Last 15 Analogien in den Feldgleichungen Elektrostatik rot E 0, div D , D E Magnetostatik rot H J, div B 0, B H M a) weichmagnetisch B B(H), ( H ), M 0 b) hartmagnetisch 0 , M M(H) stationäres elektrisches rot E 0, div J 0, J E Strömungsfeld harmonische Wirbelstromfelder rot H J 0 E, B H, rot E j B stationäre Temperaturfelder div grad T q 0 transiente Wirbelstromfelder B rot H J 0 E, B H, rot E t transiente Temperaturfelder div grad T q c T t Feldformulierungen Das skalare elektrische Potential V Die Vektoridentität (V) 0 führt zur elektrischen Feldstärke E - V und zu einer Poisson – Gleichung für das elektrische Feld V 2 V 16 Niederfrequente Magnetfelder Statisch langsam veränderlich, transient zeitharmonische Wirbelstromprobleme - linear - sinusförmig - Einzelfrequenzen Das skalare magnetische Potential Analog findet man eine Formulierung für das skalare magnetische Potential in stromfreien Gebieten H ( ) 0 2 0 weniger Unbekannte verglichen mit dem Vektorpotential Probleme in Regionen mit eingeprägten Strömen werden überwunden durch die Definition eines elektrischen Vektorpotentials () 2 (T ) A – Formulierung Potentialformulierung A – Formulierung - Formulierung Vektorpotential Skalarpotential 2 (T ) 2 A J H J Implizit erfüllte Gleichung B 0 Explizit erfüllte Gleichung H J B 0 B H B H Feldquellen J T ist zu bestimmen Zusatzbedingungen Eichung Schnitte / Symmetrien Elementetyp Kanten (edge) Knoten (node) 17 Quasistationäre elektromagnetische Felder PDE vom Poisson – Typ (d/dt = 0) Diffusionsgleichung (stationär) (A) J physikalische Effekte - ferromagnetische Sättigung - Hysteresis - zusätzliche Terme (quasistationär) Bewegung v Wirbelstrom 2 A j A J A 2 A J t transienter Term Praktische Anwendung - Frequenz < 10kHz - elektrische Energiewandler Motoren Aktuatoren Hochspannungsleitungen Ausnahme: Mikrowellenheizung (Verschiebungsströme) Felderzeugung durch stromdurchflossene Spulen - Motoren - Transformatoren - Induktoren Leitungsstrom kein Verschiebungsstrom ! H J l Ta ; l Felder sind quasistationär: v große Anstiegszeit Ta verglichen mit der Signallaufzeit Durchflutungsgesetz Ta 5...10 l ; 5...10 l ; 50 Hz 6000km ; 10Ghz 30 mm v 18 Wirbelstromformulierungen - Faraday´sches Gesetz E - Ohmsches Gesetz liefert J e B A t t A t 1 A A J 0 t und mit den gleichen Annahmen wie im stationären Fall ist die transiente Formulierung gegeben durch: 2 A und mit A J 0 t A jA t sowie sinusförmiger und Einzelfrequenz- Erregung erhalten wir die zeitharmonische Formulierung 2 A j A J 0 mit komplexem Vektorpotential A(t ) Â cos(t ) ausgedrückt durch A(t ) Âe j(t ) 19 Lösung von Feldaufgaben Feldprobleme werden definiert durch Differentialgleichungen Problem: Finden der korrekten Lösung durch Anwendung der geeigneten Methode (FEM, BEM, FDM, ... ) Partielle Differentialgleichung Problem: partielle Differentialgleichungen sind schwer zu lösen Lösung: - Finde die komplizierte Lösung eines Problems indem sie durch eine einfachere ersetzt wird - Aufstellung eines leicht zu lösenden linearen Gleichungssystems Analysemethoden analytische Methoden semi- analytisch/numerisch exakte Methoden: Separation der Variablen LAPLACE – Transformation ... 1.5 Approximationen: RAYLEIGH – RITZ GALERKINMethoden ... Analytische Methoden zur Feldberechnung - numerische Lösung numerische Integration Lösungsansätze Superposition Gaußscher Satz der Elektrotechnik Direkte Integration Spiegelungsmethode Konforme Abbildung Schwarz – Christoffelscher Abbildungssatz Produktansatz (Separation der Variablen) Reihenentwicklungen (Fourier-, Multipol-,...) Durchflutungsgesetz Gesetz von Biot – Savart Vektorpotential Skalarpotential (totales oder reduziertes) Monte – Carlo – Methode 20 numerische Methoden finite oder diskrete Elemente Methode finite Differenzen Semi – analytische Verfahren Lösungsansätze erfüllen die Feldgleichungen, aber nicht die Randbedingungen! - Ersatzladungsverfahren Sonderfälle der Momentenmethode Fourier – Transformation Spectral Domain Analysis (3D Fourier – Transformation) Reihensätze, die auf komplizierte Integrale führen Point – Matching – Methode (Kollokation) MMP – Methode (Multiple – Multipol –Methode) Semi – numerische Verfahren Lösungsansätze erfüllen die Randbedingungen, aber nicht die Feldgleichungen! - Momentenmethode Numerische Verfahren Lösungsansätze erfüllen weder die Feldgleichungen, noch die Randbedingungen exakt! - Direkte Lösung der Maxwell – Gleichungen Integralform Differentialform - Lösung abgeleiteter Gleichungen Wellengleichung Potentialgleichung - Unabhängige Variable direkte Feldgrößen: abgeleitete Größen: E, D, H, B, J Skalarpotentiale , Vektorpotentiale A, T Hertzscher Vektor Π 21 o Parasitäre Effekte, die für die Anwendung numerischer Methoden sprechen Ferromagnetische Sättigung Zunahme von Leckströmen Hohe Betriebstemperaturen irreversible Verluste bei Verwendung von Permanentmagneten Kopplung verschiedener Effekte thermische/magnetische/strukturdynamische/Strömungsfelder durch Bewegung induzierte Strömungsfelder o Eigenschaften numerischer Methoden Zuverlässigkeit Robustheit Genereller Anwendungsbereich Genauigkeit Leistungsfähigkeit 22 1.6 Theorie – Simulation – Experiment Computersimulation - numerische Approximation - reflektiert und beeinflusst die klassische Theorie Reale Anordnung Mathematisches Modell des Gerätes Modellierung Messung Experimentelle Daten Computersimulation Theorie Berechnete Daten Theoretische Erwartungen Vergleich Vergleich Modellverifikation durch Simulation Modelverifikation über die Theorie Lösungsprozess Annahmen - System von partiellen DGLn Randbedingungen Materialeigenschaften Annahmen Lösungskriterien - Gleichungstyp Lösungsalgorithmus Potentiale, Eichung, Schnitte, Symmetrie Formulierung Wahl des Lösungskriteriums Wahl der Diskretisierungselemente 23 Ablauf einer Feldberechnung Grundelemente Preprocessing - Problemdefinition Geometrie Material Problemtyp: - statisch, - transient, - zeitharmonisch, - gekoppelt,... - 50% Definition Geometrie, Material Netzgenerierung Processing 20% Modifizierte Newton – Methode Lösung SSOR-CG - Auswertung Fehlerabschätzung Potentialverteilung Netzadaption Postprocessing 30% Auswertung Teilschritte einer Feldanalyse Eingaben: - Geometrie - Material - Randbedingungen Preprocessing - Diskretisierung - Approximation - Parametrisierung - Kopplung: Felder Geometrie Netzwerk Bewegung Methoden - Fehlergrenzen - max. Iterationszahl Processing - Netzadaption - numerische Methoden - Gleichungslöser - Auswertung als Diagramm, Farbplots,... Postprocessing - Optimierung - weitere Modellierungen konzentrierte Parameter - Approximation lokaler Feldgrößen - Feldkopplung 24 Numerische Verfahren Magnetic Equivalent Circuit (MEC) Feldersatzverfahren (Elementarstrom-, Mengentheorie des Magnetismus) numerische Lösungsmethoden - FDM - FEM - BEM Materialmodellierung numerische Implementierung Netzverfeinerung Postprocessing Äquivalente magnetische Netzwerke / Magnetic Equivalent Circuit (MEC) Äquivalenz zwischen elektrischem Strömungsfeld und Magnetfeld Vorteile - schnell - leicht zu implementieren - nichtlinear möglich Nachteile - nur einfache Geometrie - Flusswege müssen für die Aufstellung des Modells bekannt sein - Kraftberechnung ist schwierig 25 Äquivalente Netzwerke Elemente mit konstanten Eigenschaften Rm - 1 1 dx m 0 ( x) S ( x) linear nichtlinear parametrisch nichtlinear Feldlösung - in diskreten Netzwerkknoten gute Approximationsmethode Feldersatzmethoden Äquivalenz zwischen elektrischem und magnetischem Feld Vorteile - relativ schnell - 3D – Felder Nachteile - Nichtlinearitäten werden nicht erfasst - nur für spezielle Geometrien - spezifische Randbedingungen (manchmal nicht sehr realistisch) 26 Elementarstrommodell der Magnetisierung Verteilte (Elementar-) Ströme - homogen verteilte Dipolmomente führen zu einem Oberflächenstrom IS, - Volumenstrom IV verschwindet Magnetisches Ladungsmodell der Magnetisierung Maxwell – Gleichungen B 0 H J keine felderregenden Ströme im Volumen H 0 führt zu einem Gradientenfeld m H Verwendung der Entmagnetisierungkennlinie des Permanentmagnetmaterials B 0 (H M ) führt zu der Poisson – Gleichung B 0 ( H M ) 0 M H m m m M Äquivalenz des PM – Feldes mit dem elektrischen Feld Die einfachen Regeln der Elektrostatik sind anwendbar für die Bestimmung von Skalarpotential und magnetischer Feldstärke durch Integration über die Oberfläche des Permanentmagnetes m ( P) 0 4 AN M0 r pq dA 0 4 M0 AN M0 H ( P ) 0 dA 0 4 A N 4 r pq dA, r pq M 0 dA A N r pq 27 Übersicht über die Feldberechnungsmethoden Methode GeometrieApproximation Nichtlinearität RechenAufwand FEM extrem flexibel gut möglich hoch FDM unflexibel möglich hoch BEM bedingt flexibel ungünstig hoch MEC spezielle Geometrie möglich gering einfache Geometrie ungünstig niedrig Ersatzquellen Prinzip der Diskretisierung Magnetisches Moment / Dipolmoment 28
