Finite Elemente

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Finite Elemente
Zur Lösung des Randwertproblems −u′′ = f mit u(0) = u(1) = 0 multiplizieren
wir die Differenzialgleichung mit einer Testfunktion v ∈ V ⊂ H01(0, 1) und erhalten
mittels partieller Integration die Variationsformulierung
Z1
Z1
a(u, v) = f (v), v ∈ V mit a(u, v) = u′v ′dx, f (v) = f vdx.
0
0
span{ϕj }N
j=1 ,
Wählen wir einen diskreten Ansatzraum Vh ⊂ V mit Vh =
dann folgt
PN
daraus mit dem Ansatz uh = j=1 αj ϕj die diskrete Variationsformulierung


N
X
αj ϕj , ϕi = f (ϕi)
a
⇔
Ah α = f h
j=1
mit
Kapitel IV.2 (einleitung06)
Ah[i, j] = a(ϕj , ϕi)
und
fh[i] = f (ϕi).
1
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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Lineare Ansatzfunktionen
1
0.5
Referenzelement [0, 1]
1
2
Basisfunktionen auf [0, 1]
ϕ1(x) = x,
ϕ2(x) = 1 − x
0
Basisfunktionen sitzen an den Knoten
Elementmatrix des Laplace-Operators (Länge he): Ahe =
Zeile globaler Steifigkeitsmatrix (äquidistant):
Kapitel IV.2 (einleitung07)
1
h
1
he
1 −1
−1
1
. . . −1 2 −1 . . .
2
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Quadratische Ansatzfunktionen
1
Referenzelement [0, 1]
3
1
2
Basisfunktionen auf [0, 1]
0.5
ϕ1(x) = 2x2 − 3x + 1,
ϕ2(x) = 2x2 − x,
0
ϕ3(x) = −4x2 + 4x
Basisfunktionen sitzen an den Knoten
und Kantenmittelpunkten


7 −8
1
Elementmatrix des Laplace-Operators (Länge he):Ahe = 3h1 e  −8 16 −8 
1 −8
7
Kapitel IV.2 (einleitung08)
3
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Lineare Finite Elemente: Fehler
−u′′ (x) = 16π 2 cos(2πx) sin(2πx)
mit u(0) = u(1) = 0 und u(x) = sin(2πx) cos(2πx)
L2− und H1−Fehler
Lösung
0.6
0
10
−1
10
0.2
Fehler
Funktionswert u
0.4
0
−2
10
−3
−0.2
10
−0.4
10
−4
−0.6
0
0.2
Kapitel IV.2 (einleitung09)
0.4
0.6
Variable x
0.8
1
2
C*h
C*h
L2−Fehler
H1−Fehler
1
2
10
10
Anzahl der inneren Knoten
4
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Quadratische Finite Elemente: Fehler
−u′′ (x) = 16π 2 cos(2πx) sin(2πx)
mit u(0) = u(1) = 0 und u(x) = sin(2πx) cos(2πx)
L2− und H1−Fehler
Lösung
0.6
0
10
−1
10
0.2
−2
Fehler
Funktionswert u
0.4
0
10
−3
10
−4
10
−0.2
−5
10
−0.4
−0.6
0
−6
10
0.2
Kapitel IV.2 (einleitung10)
0.4
0.6
Variable x
0.8
1
C*h3
2
C*h
L2−Fehler
H1−Fehler
1
2
10
10
Anzahl der inneren Knoten
5
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Spline
FEM
Problemstellung
Interpolationsaufgabe:
Gegeben f ,
finde s ∈ Sk,∆ so, dass punktweise
s(xi) = f (xi),
i = 0, . . . , n.
Variationsgleichung: Gegeben f , finde
uh ∈ Vh so, dass integralweise
Z
a(uh, v) = f v, v ∈ Vh.
Ansatzraum
Sk+1,∆ = {v ∈ C k−1 ([a, b]) : v|[xi,xi+1] ∈ Pk }
{v : v|[xi,xi+1] ∈ Pk , v ∈ C 0([a, b])} = Vh
identisch für k = 1!
dim Sk+1,∆ = O(n+k).
Kapitel IV.2 (einleitung10a)
dim Vh = O(n·k).
6
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Spline
FEM
Basisfunktionen
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
k=2
k=1
k=2
Lösung (k = 1)
explizit: s(x) =
Kapitel IV.2 (einleitung10a)
P
fj ϕj (x).
implizit: uh(x) =
P
αj ϕj (x),
mit Ahα = fh.
7