Achsen- und punktsymmetrische Figuren - Luitpold

Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Achsensymmetrie
Der Punkt P und sein Bildpunkt P´ sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre
Verbindungsstrecke [PP´] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird.
Zueinander symmetrische...
• ...Strecken sind gleich lang.
• ...Winkel sind gleich groß.
• ...Geraden sind parallel oder schneiden sich auf der Achse.
Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen, sind zu symmetrischen Punkten gleich weit
entfernt.
Ist ein beliebiger Punkt also gleich weit von zwei achsensymmetrischen Punkten
entfernt, so muss dieser Punkt auf der Symmetrieachse liegen.
Die Strecken [AC] und [A'C'] sind parallel zueinander und gleich lang.
Die Strecken [BC] und [B'C'] schneiden sich an der Achse s und sind gleich lang.
Die Verbindungsstrecke [CC'] wird an der Achse s halbiert und steht senkrecht auf der
Achse s.
Die Winkel α und α' sind gleich groß.
Punkt B liegt auf der Symmetrieachse s und ist somit sein eigener Spiegelpunkt B'.
Aus diesem Grund nennt man B einen Fixpunkt.
Punkt B bzw. B' ist zu A und A' gleich weit entfernt, da er auf der Symmetrieachse liegt.
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Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Konstruktion des Bildpunktes
Ist Punkt P und die Symmetrieachse a gegeben, wählt man zwei beliebige Punkte auf
der Symmetrieachse a und nennt diese Punkte M 1 und M2.
Anschließend zeichnet man eine Kreislinie um M 1, die durch P verläuft, und eine
Kreislinie um M2, die ebenfalls durch P verläuft.
Der Punkt, an dem sich die beiden Kreislinien schneiden, ist der Bildpunkt P'.
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Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Konstruktion der Symmetrieachse
Sind die beiden Punkte P und P' gegeben, ist es möglich, die Symmetrieachse der
beiden Punkte zu konstruieren. Dazu zeichnet man eine Kreislinie um P und eine
Kreislinie um P'. Wichtig ist dabei, dass beide Kreislinien den selben Radius haben und
der Radius so groß ist, dass sich die beiden Kreislinien schneiden.
Durch die beiden Schnittpunkte der Kreislinien zieht man nun eine Gerade. Diese
Gerade ist die Symmetrieachse a der beiden Punkte P und P'.
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Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Punktsymmetrie
Die beiden Punkte P und P' sind punktsymmetrisch bzgl. des Punktes Z, wenn dieser
Punkt Z die Verbindungsstrecke [PP'] halbiert.
Den Punkt Z nennt man dann Symmetriezentrum Z.
In zwei Figuren, die bezüglich des Punktes Z zueinander symmetrisch gelegen sind,
sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß.
Die Strecken [AC] und [A'C'] sind gleich lang.
Die Strecken [BC] und [B'C'] sind gleich lang.
Die Strecken [AB] und [A'B'] sind gleich lang.
Die Verbindungsstrecken [AA'], [BB'] und[CC'] werden vom Punkt Z halbiert.
Die Winkel γ und γ' sind gleich groß.
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Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Konstruktion des Bildpunktes
Sind Punkt P und das Symmetriezentrum Z gegeben, zeichnet man zunächst eine
Gerade a durch die beiden Punkte Z und P.
Anschließend zeichnet man eine Kreislinie k um Z, die durch den Punkt P verläuft.
Der Schnittpunkt von a und k ist P'.
Konstruktion des Symmetriezentrums
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Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Sind die beiden Punkte P und P' gegeben, ist es möglich das Symmetriezentrum der
beiden Punkte zu konstruieren. Dazu zeichnet man eine Kreislinie um P und eine
Kreislinie um P'. Wichtig ist dabei, dass beide Kreislinien den selben Radius haben und
der Radius so groß ist, dass sich die beiden Kreislinien schneiden.
Nun zieht man eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreislinien und eine
Gerade durch die beiden Punkte P und P'.
An der Stelle, an der sich die beiden Geraden schneiden, liegt das Symmetriezentrum
Z.
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Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Symmetrische Vierecke
Viereck
Definition
Quadrat
- vier gleich lange Seiten
- vier rechte Winkel
Rechteck
- vier rechte Winkel
- zwei gegenüberliegenden
Seiten sind gleich lang und
parallel
Raute
- vier gleich lange Seiten, von
denen jeweils zwei
zueinander parallel sind
- gegenüberliegende Winkel
sind gleich groß
- benachbarte Winkel
ergänzen sich zu 180°
Parallelogramm
- gegenüberliegende Seiten
sind gleich lang und
zueinander parallel
- gegenüberliegende Winkel
sind gleich groß
- benachbarte Winkel
ergänzen sich zu 180°
Drachenviereck
- zwei Paare gleich langer,
benachbarter Seiten
- ein Paar gleich großer
Winkel
Gleichschenkliges Trapez
- zwei Paare gleich großer
- eine Symmetrieachse:
Winkel
die Mittelsenkrechte
- die an Schenkeln (Seiten)
der zwei parallelen
anliegenden Winkel ergänzen Seiten
sich zu 180°
- zwei Schenkel sind gleich
lang
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Symmetrie
- punktsymmetrisch zum
Mittelpunkt
- vier Symmetrieachsen:
Diagonalen und
Mittelsenkrechten
- punktsymmetrisch zum
Mittelpunkt
- zwei Symmetrieachsen:
die Mittelsenkrechten der
Seiten
- punktsymmetrisch zum
Mittelpunkt
- zwei Symmetrieachsen:
die beiden Diagonalen
- punktsymmetrisch
zum Mittelpunkt
- keine Achsensymmetrie
- eine Symmetrieachse:
eine der beiden Diagonalen
- keine Punktsymmetrie
Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Grundkonstruktionen
1) Mittelsenkrechte:
Die Mittelsenkrechte m ist die Gerade, die die Verbindungslinie der zwei Punkte A und B
halbiert.
Sie ist also die Symmetrieachse der beiden Punkte.
Die Konstruktion der Mittelsenkrechten erfolgt demzufolge genauso wie die
Konstruktion einer Symmetrieachse (siehe Seite 3).
Den Punkt, an dem sich [AB] und m schneiden, nennt man Mittelpunkt M.
M halbiert die Strecke [AB].
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Achsen- und punktsymmetrische Figuren
2) Lot fällen:
Will man die Senkrechte (=Lot) zu einer Geraden g durch einen vorgegebenen Punkt P
konstruieren und P liegt dabei nicht auf der Geraden g, konstruiert man zunächst den
zu P bezüglich g symmetrischen Punkt P' (siehe Seite 2).
Die Gerade (PP') ist das Lot zu g durch P.
3) Lot errichten:
Will man das Lot zu einer Geraden g durch einen vorgegebenen Punkt P konstruieren
und P liegt dabei auf der Geraden g, konstruiert man zunächst zwei Punkte A und B, die
gleich weit von P entfernt sind.
Dazu zeichnet man einen Kreislinie k mit beliebigen Radius um P.
An den beiden Stellen, an denen sich k und g schneiden, liegen A und B.
Anschließend konstruiert man die Symmetrieachse zu A und B (siehe Seite 3).
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Achsen- und punktsymmetrische Figuren
4) Tangente an einem Kreis:
Eine Gerade, die einen Kreis an einer einzigen Stelle berührt, nennt man Tangente.
Ist ein Kreis k und ein darauf liegender Punkt P gegeben, kann man diese konstruieren.
Dazu muss man das Lot auf [MP] (M = Mittelpunkt des Kreises k) durch P errichten
(siehe Seite 9 Lot errichten).
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5) Winkelhalbierende:
Eine Winkelhalbierende ist die Symmetrieachse eines Winkels.
Um diese zu konstruieren, zeichnet man zuerst eine Kreislinie mit beliebigen Radius
und mit Mittelpunkt S. Die beiden Punkte an denen die Kreislinie die beiden Schenkel
des Winkels schneidet, sind P und P'.
Anschließend errichtet man die Symmetrieachse g zu P und P' (siehe Seite 3), welche
durch S verläuft.
g ist die Winkelhalbierende.
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