Strom erzeugt ein Magnetfeld
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IV. Elektrizität und Magnetismus IV.3. Ströme und Magnetfelder Physik für Mediziner 1 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters Hans Christian Oersted 1777 - 1851 • Beobachtung Oersteds: in der Nähe eines stromdurchflossenen Leiters dreht sich eine Magnetnadel ( magnetischer Dipol) so, dass sie nahezu senkrecht zum Leiter steht. ⇒ Strom erzeugt ein Magnetfeld, das die Magnetnadel ausrichtet. Magnetnadel nahe Leiter Physik für Mediziner 2 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters • Stromfluss erzeugt Magnetfeld • magnetische Feldlinien sind konzentrische Kreise • Rechte-Hand-Regel: Daumen zeigt in Stromrichtung; gekrümmte Finger entlang der Feldlinien in Richtung des Magnetfelds • Stärke des Magnetfeldes r B = μ0 ⋅ I 2π ⋅ r μ0 = 1,2566 ⋅ 10− 6 V ⋅s A ⋅m μ0= Induktionskonstante Physik für Mediziner Magnetfeldlinien um Leiter 3 Magnetfeld einer Leiterschleife • ein Kreisstrom erzeugt einen magnetischen Dipol: magnetisches Moment μ=I·A Magnetfeldlinien einer Leiterschleife r • Das Magnetfeld B im Zentrum des Kreisstroms hat: ⇒ Richtung ⊥ Kreisfläche r I ⇒ Stärke (Betrag): B = μ0 ⋅ 2R −6 Induktionskonstante: μ0 = 1,2566 ⋅ 10 Vs Am R Kreisradius; I Stromstärke Physik für Mediziner 4 Magnetfeld einer langen Spule • das Magnetfeld im Innern einer langen Spule ist homogen • Betrag des Magnetfeldes im Innern: r n ⋅I B = μ0 ⋅ L Induktionskonstante Vs μ0 = 1,2566 ⋅ 10− 6 Am n Windungszahl L Länge der Spule I Stromstärke Magnetfeld einer langen Spule Physik für Mediziner 5 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld r r • ein Magnetfeld B bewirkt eine Kraft F r auf einen vom Strom I durchflossenen geraden Leiter der Länge L: r r r F = L ⋅ ( I x B) Vektorprodukt r r Betrag: F = L ⋅ B ⋅ I ⋅ sin α r r α = Winkel zwischen I und B Richtung: 3- Finger-Regel der rechten Hand: r Kraft F steht r senkrecht r auf der von I und B aufgespannten Ebene r Wichtig: die Richtung von I ist die technische Stromrichtung von + nach Physik für Mediziner 6 Schaukelversuch – Prinzip des Elektromotors r r r F = L ⋅ ( I x B) • je nach Stromrichtung wird der im Magnetfeld befindliche Teil der stromdurchflossenen Schaukel nach außen oder nach innen ausgelenkt • Prinzip des Elektromotors: Umwandlung von elektrischer in mechanische Energie stromdurchflossene Schaukel im Magnetfeld Physik für Mediziner 7 Stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld • Auf den Leiter wirken oben und unten Kräfte in entgegengesetzte Richtungen r r r F = L ⋅ ( I x B) Kräftepaar → Drehmoment S S r r r M = μ xB r r r Betrag: M = μ ⋅ B ⋅ sin θ r r θ = Winkel zwischen μund B I N N Seitenansicht von rechts Physik für Mediziner Drehmoment r dreht Schleife so, r dass μ und B parallel zueinander stehen wie im elektrischen Feld: r Parallelstellung des Dipols r p zum elektrischen r r Feld E r M = pxE 8 Anwendung: Drehspul-Galvanometer • Im Drehspulgalvanometer fließt der zu messenden Strom durch eine Spule, die sich in einem permanenten Magnetfeld befindet • durch die Kräfte des Magnetfeldes auf die stromführende Spule wird ein Drehmoment ausgeübt: je nach Stromflussrichtung wird die Spule im äußeren Magnetfeld gedreht • dieses mechanische Drehmoment wird auf eine Skala übertragen • der Skalenausschlag wird auf die Stromstärke geeicht Physik für Mediziner Drehspulgalvanometer 9 Elektromotor Kommutator • um Drehung in einer Drehrichtung aufrechtzuerhalten, muss nach einer halben Umdrehung die Stromrichtung gewechselt werden ⇒ Kommutator Physik für Mediziner Elektromotor 10 Kraft zwischen stromführenden Drähten • Strom I1 ruft ein Magnetfeld hervor, das auf Strom I2 wirkt; die Magnetfelder beider stromdurchflossenen Leiter überlagern sich: a.) gleiche Stromrichtung ⇒ Schwächung des B-Feldes zwischen den Leitern b.) entgegengesetzte Stromrichtung: ⇒ Verstärkung des B-Feldes zwischen den Leitern Magnetfeldlinien zweier Leiter • Kraft zwischen den Leitern im resultierenden B-Feld: a.) Anziehung b.) Abstoßung Physik für Mediziner r μ L ⋅I ⋅I F= o⋅ 1 2 2π d Kräfte zwischen zwei Leitern 11 Einheit der Stromstärke • Die Einheit der Stromstärke 1 Ampère wird definiert über die Kräfte zwischen zwei Leitern r μ L ⋅I ⋅I F= o⋅ 1 2 2π d • 1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderten Stroms, der durch 2 geradlinige unendlich lange Drähte im Abstand von 1m fließt und dabei zwischen diesen Leitern pro 1m Leiterlänge je die Kraft von 2×10-7 N ausübt I1=I2=1A ; r=L=1m ; Physik für Mediziner André Ampère 1775 - 1836 F21=2×10-7 N 12 Magnetische Induktion • Bisher gezeigt: ein elektrischer Strom (bewegte elektrische Ladungen) in einer Spule erzeugt ein Magnetfeld. • Umkehrung möglich ? Kann man durch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld einen elektrischen Strom induzieren? r B = const Gelenk Induktion bei zeitlich veränderlichem Magnetfeld Induktion bei zeitlich veränderlicher Fläche Experimentelle Beobachtung: es fließt ein Strom wenn 1.) das Magnetfeld zeitlich verändert wird 2.) wenn die Fläche der Leiterschleife zeitlich verändert wird Physik für Mediziner r r ⇒ magnetischer Fluss: Φ = B ⋅ A 13 Magnetischer Fluss r A = Flächennormalen-Vektor Betrag = Größe der Fläche; Richtung: ⊥ Fläche r B Skalarprodukt r r Magnetischer Fluss: Φ = B ⋅ A r B r A r A r r Φ = B ⋅ A ⋅ cos θ • Eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses induziert eine Spannung. In einem geschlossenen Stromkreis kann dann ein Induktionsstrom fließen Uinduziert = − dΦ dt Michael Faraday 1791-1867 • Faradaysches Induktionsgesetz: die in einer Leiterschleife induzierte Spannung ist proportional zur zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses Physik für Mediziner 14 Lenzsche Regel Bedeutung des Minuszeichens im Faradayschem Induktionsgesetz Uinduziert = − Lenzsche Regel: dΦ dt die Induktionsspannung und der Strom, den sie hervorruft, sind so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken Strom Heinrich F.E. Lenz 1804-1865 • bei n Leiterschleifen: Uinduziert = −n ⋅ Physik für Mediziner dΦ dt Lenzsche Regel 15 Induktion durch Bewegung: Umkehrung des Schaukelversuchs • Schaukelversuch: Legt man eine externe Spannungsquelle an und lässt einen Strom fließen, so erfährt der Stab eine Kraft im Magnetfeld Umkehrung: wird der Leiter im Magnetfeld bewegt, so wird eine Spannung zwischen den Leiterenden C und D induziert; ⇒ Ladungstrennung A =L⋅x v induzierte Spannung: Physik für Mediziner dΦ d 0 = B ⋅ dA = B ⋅ L ⋅ dx = B ⋅ L ⋅ v Uind = = (B ⋅ A ⋅ cos(0 )) dt dt dt dt Induktion: Schaukel im Magnetfeld 16 Anwendung: Wirbelstrombremse Durch Bewegung einer Metallplatte im Magnetfeld werden Ströme (Wirbelströme) induziert. Nach Lenzscher Regel versuchen diese Ströme die Bewegung zu behindern ⇒ Wirbelstrombremse Wirbelströme können ungehindert fließen geringe Bremswirkung, da Fluss der Wirbelströme behindert. Wirbelstrombremse Physik für Mediziner 17 Anwendung: Magnetschwebebahn Induktionsstrom in Al-Ring I Al • durch Induktionsstrom wird Al-Ring hochgeschleudert; induzierte Ströme = Wirbelströme bei geschlitztem Ring kein Effekt; Transrapid • Grundprinzip für Magnetschwebebahn: Triebwagen schwebt → keine Reibung!! Induktionsströme in Metallplatten machen entgegengesetztes Feld und heben Wagen an. N N S S Metallplatte elektromagnetisches Wanderfeld Physik für Mediziner 18 Anwendung: Wechselspannungsgenerator vom Magnetfeld durchsetzte Fläche: A( t) = A0 ⋅ sin (ω t) d dΦ dA d(B ⋅ A) = − B ⋅ A ⋅ (sin ω t ) = − B ⋅ A0 ⋅ ω ⋅ cos ω t Uind = − =− = −B ⋅ 0 dt dt dt dt • Durch Rotation einer Leiterschleife mit konstanter Kreisfrequenz ω im konstanten Magnetfeld eines Permanentmagneten kann man eine sinus (cosinus)-förmige Spannung der gleichen Kreisfrequenz induzieren: Physik für Mediziner Uind ∼ ω Wechselspannungsgenerator: U ∼ ω 19 Ablenkung freier Ladungen im Magnetfeld • Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld: r r r Lorentzkraft: F = q ⋅ ( v x B) r Betrag: F = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α r r α = Winkel zwischen v und B Richtung: rechte-Hand-Regel Hendrik Lorentz 1853 - 1928 Physik für Mediziner Ablenkung eines Elektronenstrahls im Magnetfeld 20 Kreisbewegung im Magnetfeld r • Ist das Magnetfeld B homogen, so bewegt sich ein Teilchen der Masse m und Ladung q auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Kreisbahn bestimmt durch Gleichgewicht zwischen Lorentzkraft und Zentrifugalkraft r B Kreisbahn im Magnetfeld Physik für Mediziner r r m ⋅ v2 FL = q ⋅ v ⋅ B = Fz = r m ⋅ v2 q⋅ v ⋅B = r m⋅v p Bahnradius: r = = q⋅B q⋅B q Geschwindigkeit: v = ⋅r ⋅B m 2π ⋅ r 2π ⋅ m Umlaufzeit: T = = v q⋅B Umlaufzeit T unabhängig vom Radius 21 Beispiel für Kreisbewegung im Magnetfeld • ein Proton bewegt sich senkrecht zu einem Magnetfeld der Stärke 0,4 T auf einer Kreisbahn mit Radius r = 0,21 m. 1.) Wie lange dauert ein Umlauf ? 2.) Wie schnell fliegt das Proton ? mp = 1,67·10-27kg; q = 1,6·10-19 C; B = 0,4 T; r = 0,21 m −27 6 , 28 ⋅ 1 , 67 ⋅ 10 kg 2 π ⋅ m −7 1.) T = = = 1 , 64 ⋅ 10 s − 19 q⋅B 1,6 ⋅ 10 C ⋅ 0,4 T 1,6 ⋅ 10−19 C q m 6 = ⋅ 0 , 21 m ⋅ 0 , 4 T 2.) v = ⋅r ⋅B = 8,05 ⋅ 10 − 27 s m 1,67 ⋅ 10 kg = 2,7% der Lichtgeschwindigkeit c (c = 3 ⋅ 108 Physik für Mediziner m ) s 22 Anwendung : Massenspektrometer • Ionen mit gleicher Geschwindigkeit v aber unterschiedlichen Massen m, m1 gelangen in ein Magnetfeld m⋅v Bahnradius: r = q⋅B r∼m da m1 > m ⇒ r1 > r ⇒Trennung von Ionen unterschiedlicher Masse; Isotopentrennung Physik für Mediziner 23 Zusammenfassung • Elektrizität und Magnetismus sind stark miteinander verknüpft - Stromfluss erzeugt Magnetfeld - Magnetische Induktion: Magnetische Flussänderung induziert Spannung dΦ Uind = − n ⋅ ; dt r r Φ = B⋅ A Anwendung: Spannungsgenerator Lenzsche Regel: Die induzierte Spannung wirkt ihrer Ursache entgegen r r r • Magnetfelder üben Kräfte aus auf stromführende Leiter: F = L ⋅ ( I x B) Anwendung: Elektromotor • stromführende Leiter üben untereinander Kräfte aus: gleiche Stromrichtung ⇒ Anziehung entgegengesetzte Stromrichtung ⇒ Abstoßung • Magnetfelder üben auf freie Ladungsträger die Lorentzkraft aus: r r r FL = q ⋅ ( v x B) Physik für Mediziner 24
