1. und 2. Teil - Universitäts

Ludwig-Maximilians-Universität München
Fakultät für Physik
Einführung in die Kosmologie
Übungsblatt 8 (SS14)
Besprechung am 4. Juli, 2014.
1. Rekombination
(a) Laufen chemische Prozess zwischen p, e und H im chemischen und thermischen Gleichgewicht ab, und ist mc2 kB T dann gilt
np =gp
ne =ge
mp kB T
2π~2
3/2
me kB T
2π~2
3/2
nH =gH
mH kB T
2π~2
mp c2
exp −
kB T
!
me c2
exp −
kB T
!
3/2
mH c2
exp −
kB T
.
(1)
.
(2)
!
.
(3)
Die Zahl der internen Freiheitsgrade ist 2 für e und p, da es sich um Spin
1/2 Teilchen handel. Für H (im Grundzustand) gibt es deswegen dann
gH = ge gp Kombinationsmöglichkeiten und deswegen gH = 4 Freiheitsgrade. Um np ne /nH zu berechnen machen wir noch die Näherung, dass
mp /mH ' 1. Diese Näherung dürfen wir natürlich nicht im Exponenten
machen! Wir erhalten dann
np ne
=
nH
kB T me
2π~2
3/2
BH
exp −
kB T
,
mit der Bindungsenergie BH = c2 (mp + me − mH ). Die Bindungsenergie
BH ist gleich der Ionisierungsenergie des H-Atoms. Also BH = 13.6 eV.
(b) Wir definieren den Bruchteil des ionisierten Wasserstoffs als
X≡
np
.
np + nH
Unter der Annahme dass es kein Helium gibt ist die Anzahldichte an
Baryonen nb = np + nH , und die Anzahldichte der Elektronen ne = np
aus. Wir drücken X durch nb und ne aus
X=
1
ne
.
nb
(c) Das Verhältnis der Anzahldichte von Baryonen zu Photonen wird mit
η10 ≡ 1010 nb /nγ parametrisiert. Wir drücken die Saha-Gleichung durch
X und nγ = 2.4/π 2 (kB T /(~c))3 aus:
X2
π2
= 1010
1−X
2.4η10
me c2
2πkB T
!3/2
exp −
BH
kB T
(d) Wir finden den Wert Trek bei dem X = 0.5 für η10 = 5.5. Dazu bemerken
wir dass X 2 /(1 − X)|X=0.5 = 0.5. Wenn wir in die rechte Seite der SahaGleichung die Zahlenwerte für me c2 = 0.511 MeV und BH = 13.6 eV
einsetzen, finden wir dass die Gleichung erfüllt ist für kB T = 0.323 eV
oder T = 3750 K.
Um die Hauptfrage der Aufgabe zu beantworten benutzen wir Tγ,0 /Trek =
1/(1 + zrek ) und finden mit Tγ,0 = 2.73 K, dass zrek = 1370.
4 Punkte
2. Schallwellen (ohne Expansion)
(a) Schallwellen sind Dichte- und Druckschwankungen. Wenn die Kompression und Expansion Gases langsam genug abläuft mit, sodass sich Temperatur in den über- und unterdichten Regionen ausgleichen kann sind
die Dichteschwankungen isotherm. Ist dagegen die Schwingungsperiode
wesentlich kürzer als die Dauer des Temperaturausgleichs, dann ist die
Kompression und Expansion adiabtisch.
(b) Wir linearisieren Kontinuitäts- und Euler-Gleichung
∂δρ
+ ρ0 ∇ · (δv) =0
∂t
∂δv ∇δp
+
=0
∂t
ρ0
Da die Fluktuationen adiabatisch sind gilt δp/δρ = p0 /ρ0 = w und wir
ersetzen δp = wδρ. Nehmen den Gradienten der zweiten Gleichung und
die Zeitableitung der ersten und setzen in die erste Gleichung ein:
∂ 2 δρ
+ w∆δρ = 0
∂t2
Also ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle oder die Schallge√
schwindigkeit: cs = w.
3. CMB: Erster akustischer Peak
Das heiße Plasma vor der Rekombination enthielt Schallwellen, weil die Anfangsbedingungen kleine Inhomogenitäten enthielten.
2
3 Punkte
(a) Wir wissen dass Licht in einem strahlungs- oder materiedominierten Universum nicht weiter reisen kann als der Teilchenhorizont zu diesem Zeitpunkt ' c/(H(zrek )), was aus der Bedingung folgt dass sich Licht auf
dem Lichtkegel bewegt:ds2 = 0 oder −cdt = a(t)dr. Wenn wir nun
kein Licht betrachten, sondern eine Schallwelle gilt auch für diese in etwa −cs dt = a(t)dr.
√ Ist cs zeitlich konstant und im Fall von Strahlung
√
cs = c w = c/ 3 erhalten wir das Ergebnis, dass der Schallhorizont
etwa so groß ist wie er Teilchenhorizont. Dieser wiederum ist ca. so groß
ist wie der Hubble-Radius c/H(zrek ).
(b) Ein Objekt der physikalischen Länge l, das mit Rotverschiebung z beobachtet wird erscheint unter dem Winkel θ = l/dA mit dA = a(z)Sk (r(z)).
In einem flachen Universum ist k = 0 und Sk=0 (r) = r und deswegen
dA = a(z)dp (z), wobei dp (z) = 2cH0−1 (1 − (1 + z)−1/2 ). Für zrek = 1100
können wir schreiben dp (zrek ) ' 2cH0−1 . Wir haben also
θ = (1 + zrek )
−1
Hrek
.
2H0−1
2 = H 2 (1 + z
3
Mit der Friedmann-Gleichung Hrek
rek ) und der Näherung
0
1 + zrek ' zrek bekommen wir
−1/2
θ = zrek /2 = 0.015 ' 1◦ .
Die CMB Temperatur-Korrelationsfunktion hat deswegen einen Peak bei
θ ' 1◦ . Im CMB Temperatur-Leistungsspektrum führt das zu einer Reihe
von Peaks mit dem ersten bei l = 200, was einem Winkel von θ ' 1/l =
0.02 oder eben ca. 1◦ entspricht.
(c) Für ein allgemeines materiedominiertes Universum mit Ωm Q 1 ist dA =
a(z)Sk (r(z)) und man erhält
−1/2
1/2
θ ' Ωm
zrek /2
Somit kann man mit Hilfe der Position des erstes Peaks im CMB TemperaturLeistungsspektrum bestimmen ob das Universum flach oder gekrümmt
ist.
3 Punkte
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