Verallgemeinerte Observablen.nb

Misst Du noch - oder rechnest Du schon?
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Verallgemeinerte Observablen.nb
Zur Erweiterung des Observablenbegriffs in der
Quantenmechanik
Heinz-Jürgen Schmidt
Fachbereich Physik, Universität Osnabrück
Verallgemeinerte Observablen.nb
Günther Ludwig 1918-2007
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Verallgemeinerte Observablen.nb
Inhalt:
1. Was sind verallgemeinerte Observablen ?
1.1 Forderungen an den Observablenbegriff
1.2 Verzicht auf liebgewordene Relationen
1.3 Exkurs: Koexistente qubit-Effekte
2. Warum braucht man verallgemeinerte Observablen ?
2.1 Klassisches Rauschen
2.2 Messumwandlungen, Analyse von Messungen
2.3 "Verbotene" Observablen:
2.3.1 Zeitobservable
2.3.2 Schirmobservable
2.3.3 Phasenraumobservable
2.3.4 Ortsobservable für Photonen
2.4 Quanten-Entscheidungstheorie
3. Einige Resultate (Zusammen mit Paul Busch, University of York)
4. Literatur
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1.1 Forderungen an den Observablenbegriff
P H E L : Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis E eintritt, E Ì W
Kolmogorov-Axiome:
0b P(E) b 1
P(W)=1
Ei Ý E j =Æ Þ P(Üi Ei )=Úi PHEi L
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1.1 Forderungen an den Observablenbegriff
System im Zustand Ρ (Dichteoperator)
Quantenmechanik:
P H Ρ, E L : Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis E eintritt, E Ì W
Kolmogorov-Axiome:
0b P( Ρ, E) b 1
P( Ρ, W)=1
Ei Ý E j =Æ Þ P( Ρ, Üi Ei )=Úi P HΡ , Ei L
Zusätzliche Forderung:
P(Λ Ρ1 + H1 - ΛL Ρ2 , E) =Λ P( Ρ1, E)+(1 - Λ) P( Ρ2 , E)
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1.1 Forderungen an den Observablenbegriff
Satz: 1. Zu jedem E gibt es einen eindeutigen Operator F(E) mit
(i) 0 £ F(E) £ 1
(ii) P( Ρ, E) = Tr ( Ρ F(E) )
2. Ei Ý E j =Æ Þ F( Üi Ei )=Úi F HEi L
3. F(W)=1
E # F(E)
POVM: positives operatorwertiges Maß
® "Verallgemeinerte Observable"
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1.1 Forderungen an den Observablenbegriff
Beispiel: Ort eines Teilchens im reinen Zustand
E=[a,b]ÌR
P(Ρ,E) = Ùa
b
ΦHxL
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Ρ=|Φ\XΦ|,
âx
= XΦ|F[a,b]Φ\
=Tr ( Ρ F[a,b] )
mit
F[a,b] : Projektor auf den Unterraum L2([a,b],dx)
F[-¥,x] : Spektralmaß des Ortsoperators Q
Q=ÙR x â F @-¥, xD : Spektraldarstellung von Q
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1.1 Forderungen an den Observablenbegriff
Übliches Schema:
Observable š selbstadjungierte Operatoren
š Spektralmaße über R
š Projektionswertige Maße (PVM) mit W = R
Verallgemeinerung:
š POVM E #F(E)
Verallgemeinerte Observable
Falls
W =R ™ A=ÙR x â FA
- ¥, xE : symmetrischer Operator
"1. Moment von F"
Aber:
A bestimmt nicht mehr eindeutig F
Endliche Observable: A=(A1, ..., AN ) mit 0b A i b 1 und ÚN
i=1 A i = 1
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1.2 Verzicht auf liebgewordene Relationen
1.: Kein Funktionalkalkül mit verallgemeinerten Observablen:
i . A.
f(AL ¹ ÙRf HxL dF@- ¥, xD
2.: Verzicht auf (fragwürdige) Axiome über das System nach der
Messung
3. : Koexistenz von F1 und F2
i.A.nicht
[F1(EL ,F2(E ')] = 0
Sei F1: S1 ™B+(H), F2 : S2 ™B+(H), S1ÌS2 und F1(E)=F2 (E)
für alle EÎS1.
Dann schreiben wir : F1 Ì F2
F1 und F2 heißen koexistent, wenn es ein POVM F gibt mit F1, F2 Ì
F.
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1.3 Exkurs: Koexistente qubit-Effekte
Einfachster Fall: Kriterien für die Koexistenz von 2-wertigen verallg.
Observablen ("Effekten") im 2-dimensionalen Hilbertraum
Bis 2008 ungelöst!
2008 - Vier Lösungen:
P. Busch, H.-J. S.: Coexistence of qubit effects, arXiv:0802.4167,
to appear in: Quantum Inf. Process., published online 13 March
2009.
P.Stano, D. Reizner, T. Heinosaari: Coexistence of qubit effects,
arXiv:0802.4248,
Phys. Rev. A, 78:012315, 2008
S.Yu, N.-L.Liu, L.Li, C.H.Oh: Joint measurement of two unsharp
observables of a qubit, arXiv:0805.1538
S.Gudder: Coexistence of quantum effects, Rep. math. phys. 63,
289-303, 2009
(Received November 18, 2008)
Siehe auch:
http://scienceblogs.com/pontiff/2008/03/the_same_title.php
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2.1 Klassisches Rauschen
Ó
Zustandsparametern Λ
Generell: Wahrscheinlichkeiten Tr(Ρ F(E)) können von klassischen
des Messapparats abhängen: Tr(Ρ F(E,Λ))
Ó
Ó
Auch wenn E # F(E,Λ) PVM für alle Λ, dann ist i.A. E #
Ó
Ó
F
E
Λ
â ΜHΛ) PVOM !
à
,
Möglicher Einwand: "Gute" Messungen sollen Eigenschaften des
Systems messen und nicht Eigenschaften des Messapparats. Daher
sind PVM als "gute" Observable vorzuziehen.
Entgegnung: Observable, die man nicht in der Form E #
Ó
Ó
à F E Λ â ΜHΛL schreiben kann, sind sog. "extremale
,
Observable". PVM sind extremal, aber nicht jede extremale
Observable ist PVM ! Siehe ™3. Einige Resultate...
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2.2 Messumwandlungen, Analyse von Messungen
Die Menge der POVM ist abgeschlossen unter
"Messumwandlungen", die Menge der PVM nicht:
1
2 HHilfssystemL
WW
POVM
PVM
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2.3 "Verbotene" Observablen
Definition:
E # F(E) "kovariant" (bzgl. der Darstellung g # Ug der Gruppe G):
Ug* F(E) Ug =F(g-1 E)
Beispiele:
t
y
W=
x
G=Euklidische Gruppe ™ F Ortsobservable
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2.3 "Verbotene" Observablen
W= Zeitachse, G= {Zeittranslationen} ™ F Zeitobservable
W=
t
y
x
G= {Translationen,Drehungen, boosts, die W invariant lassen } ™ F
Schirmobservable
W= Phasenraum, G= {Phasenraumtranslationen} ™ F
Phasenraumobservable
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2.3 "Verbotene" Observablen
"No go" Theoreme (es gibt keine kovarianten PVM):
Phasenraumobservable: Heisenbergs Vertauschungsrelation
[p,q]= Ñ 1
i
Zeitobservable: Pauli 1958
Ortsobservable für Photonen: Newton und Wigner 1949, Wightman
1962
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2.3 "Verbotene" Observablen
Unter gewissen technischen Voraussetzungen gilt folgender Satz
(Kovariante Naimark-Dilatation):
Sei F kovariantes POVM bzgl. g # Ug im Hilbertraum H . Dann gibt
Ž
Ž
es eine partielle Isometrie V: H ™H und ein kovariantes PVM F
Ž
Ž
bzgl. g # Ug im Hilbertraum H mit:
Ž
Ž
Ug =V * Ug V und F(E)=V * F HEL V
™ Rezept zur Konstruktion von kovarianten verallgemeinerten
Observablen, falls kovariante PVM nicht existieren
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2.4 Quanten-Entscheidungstheorie
Gegeben seien 3 nicht-orthogonale Zustände, die Bob und Alice
bekannt sind. Einer davon werde von Alice präpariert. Bob darf 1
Messung machen und muss dann entscheiden, welcher Zustand
vorlag. Welche Messung minimiert die Irrtumswahrscheinlichkeit?
Wenn man "Messung" als verallgemeinerte Observable interpretiert
und das Optimierungskriterium eine konvexe Funktion ist, sind die
Lösungen derartiger Probleme immer "extremale POVM".
Beispiel:
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2.4 Quanten-Entscheidungstheorie
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2.4 Quanten-Entscheidungstheorie
Minimale Irrtumswahrscheinlichkeit für POVM:
F=(F1,F2 ,F3 ) mit Fi =
2
|Ψi \XΨi |
3
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3. Einige Resultate
A, B POVM, 0bΛb1
”
Λ A + (1-Λ) B
POVM,
d.h. {POVM} konvexe Menge.
Extremalpunkte von {POVM}: "extremale Observable"
PVM sind extremal, aber nicht alle extremalen Observablen sind
PVM:
Holevos Beispiel liefert eine 3-wertige extremale Observable, die
kein PVM ist.
Ziel: Übersicht über extremale Observable in endlich-dimensionalen
Hilberträumen
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3. Einige Resultate
Størmer-Kriterium (1974)
™ lineare Unabhängigkeit gewisser endlicher Mengen von
Operatoren
Alle extremalen qubit-Observablen (d'Ariano et al 2005):
Rang-1 Observablen
1
2
1
N=2: Punkte mit Antipoden in der Blochsphäre (PVM)
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3. Einige Resultate
1
2
1
N=3: Dreiecke in der Blochsphäre mit
1
2
1 im Inneren
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3. Einige Resultate
1
2
1
N=4: Tetraeder in der Blochsphäre mit
1
2
1 im Inneren
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3. Einige Resultate
AÅ B : direkte (orthogonale) Summe von Observablen
Ai 0
Blockmatrizen :
, i=1, ..., N
0 Bi
"irreduzible" Observable
Vermutung: A, B extremal ” A Å B extremal
Konsequenz für "Übersicht": Nur noch irreduzible extremale
Observablen betrachten
Numerische Evidenz: Für zufällige Observablen gilt die Vermutung
immer
Teilergebnisse:
A extremal ” A Å A extremal
A extremal, B PVM ” A Å B extremal
A, B extremal, Rang 1, N=DimH +1 ” A Å B extremal
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3. Einige Resultate
Gegenbeispiel:
A, B extremale 4-wertige qubit-Observable, aber AÅ B nicht extremal
Ai =|ei \Xei | , Bi =|fi \Xfi |, i=1,...,4
e1 =
1
2
-i
3
, e2 =
1
2
3+ 6 +iJ3
4
3N
,
e3 =
2
1
0
,
f2 =
6
1
3
-i+2
4
12
1
f1 =
2 +2
1
2
,
f3 =
2
, e4 =
-3+ 6 +iJ-3
3
12
3 +3 i
6 2
1
3
1
2
- 3 +3 i
,
f4 =
6
2
1
3
2 +2
3N
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4. Literatur
Allgemein:
G. Ludwig: Einführung in die Grundlagen der Theoretischen Physik,
Band 3, Vieweg, 1976
E. B. Davies: Quantum Theory of Open Systems, London:
Academic, 1976
K. Kraus: States, Effects, and Operations, LNP 190, Springer, 1983
P. Busch,P. J. Lahti, P. Mittelstaedt: The quantum theory of
measurement, Springer, 1991
P. Busch, M. Grabovski, P. J. Lahti, Operational quantum physics,
LNP m31, Springer, 1997
M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum computation and quantum
information, Cambridge, 2000
A. S. Holevo, Statistical Structure of Quantum Theory, LNP m67,
Springer, 2001
Zeitobservablen:
W. Pauli: Handbuch der Physik, Band V, Teil 1, "Prinzipien der
Quantentheorie", Springer, 1958
R. Werner: Arrival time observables in quantum mechanics, Ann.
Inst. H. Poincaré, A 47, 429-449, 1987
Schirmobservablen:
R. Werner: Screen observables in relativistic and nonrelativistic
quantum mechanics, J. Math. Phys. 27, 793-803, 1986
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4. Literatur
Phasenraumobservablen:
R. Werner: Quantum harmonic analysis on phase space, J. Math.
Phys. 25, 1404-1411, 1984
S.T. Ali, E. Prugovecki: Mathematical problems of stochastic
quantum mechanics: harmonic analysis on phase space and
quantum geometry, Acta Appl. Math., 6, 1-62, 1986
Ortsobservablen für Photonen:
T. D. Newton, E. P. Wigner: Localized states for elementary
systems, Revs. Mod. Phys., 21, 400-406
A. S. Wightman: On the localizability of quantum mechanical
systems, Revs. Mod. Phys., 34, 845-872
K. Kraus: Position Observables of the Photon, in: W. C. Price, S. S.
Chissick (eds.) The Uncertainty Principles and Foundations of
Quantum Mechanics, Wiley, 1977, 293-320
A. S. Holevo: Covariant measurements and uncertainty relations,
Rep. Math. Phys. 16, N3, 289-304, 1980
D. P. L. Castrigiano: On euclidean systems of covariance for
massless particles, Lett. Math. Phys. 5, 303-309, 1981
Verallgemeinerte Observablen.nb
4. Literatur
Extremale Observablen:
E. Størmer: Positive linear maps of C* - algebras, in: A. Hartkämper,
H. Neumann (eds.), Foundations of Quantum Mechanics and
Ordered Linear Spaces, Springer, 1974, 85-106
G. M. D'Ariano, P. L. Presti, P. Perinotti: Classical randomness in
quantum measurements,
J. Phys. A: Math. Gen. 38, 5979-5991, 2005
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Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit!