Wärmelehre/Thermodynamik Wintersemester 2007

Einführung in die Physik I
Wärmelehre/Thermodynamik
Wintersemester 2007
Vladimir Dyakonov
#9 am 23.01.2007
Folien im PDF Format unter:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/EP6/teaching.html
Raum E143, Tel. 888-5875, eMail: [email protected]
Frage des Tages
Halten Sie das Gummiband lose mit den beiden Händen
und fühlen Sie seine Temperatur mit den Lippen.
Nun ziehen Sie das Gummiband plötzlich auseinander und
spüren erneut mit den Lippen seine Temperatur.
Sie sollten einen Temperaturanstieg wahrnehmen.
Erklären Sie den Temperaturanstieg.
• Durch das plötzliche Anspannen des GB, hat die Wärme
keine Zeit, ins System hinein- oder aus dem System
herauszufließen.
• => ∆Q=0
• Wir leisten Arbeit am System, führen Energie zu (=>1. HS)
• Innere Energie U nimmt zu => U=3/2kT => T steigt
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10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
d) Adiabatischer Prozess (Q = constant)
∆U = ∆W
•
dQ ≡ 0 !
•
Hierbei findet kein Austausch von Wärmeenergie mit der
Umgebung statt !
bei schnellen Änderungen von V, p (Wärmeaustausch hängt nach)
bei thermischer Isolation
-
T
Thermische Isolation
Luftpumpe
10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
d) Adiabatischer Prozess (Q = constant)
•
dQ ≡ 0 !
∆U = ∆W
(Z. B. schnelle Änderungen von V, p bei Schallwellen)
•
dU = - p dV = CV dT
mit p V = R T folgt:
- R (1 / V) dV = CV (1/T) dT
Integration:
CV ln T = -R ln V + const.
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10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
d) Adiabatischer Prozess (dQ = 0)
10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
d) Adiabatischer Prozess (dQ = 0)
dU = dQ + dW = dW = − pdV
C p pdV + CV dpV = 0
mit dU = νCV dT
und pV = vRT → dpV + pdV = vRdT
nach dT lösen
dT
dpV + pdV
vR
1 1 1
, ,
CV V p
C p dV dp
+
=0
CV V
p
mit γ ≡
Cp
CV
und
∫
dT ersetzen
γ ln V + ln p = const
⎛ dpV + pdV ⎞
vCV ⎜
⎟ + pdV = 0
vR
⎝
⎠
ln pV γ = const
(CV + R ) pdV + CV dpV = 0
pV γ = const
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10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
d) Adiabatischer Prozess (dQ = 0)
Erinnerung:
CP - C V = R
Adiabatenindex
γ = CP / CV
T ⋅ V γ −1 = const.
p ⋅ V γ = const.
Adiabatengleichung/ Poissongleichung
10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
Einschub: „T-P“ Zusammenhang kann ebenfalls gezeigt werden
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10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
d) Adiabatischer Prozess (dQ = 0)
10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
d) Adiabatischer Prozess (Q = constant)
In einem p-V-Diagramm verlaufen die
Adiabatenkurven
p(V)~1/Vγ steiler als die Isothermen
p(V)~1/V, da
γ = CP / CV > 1 gilt.
Adiabatischer Prozess: Fahrradpumpe
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10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
Nebenbemerkung:
Die in der Realität vorkommenden Zustandänderungen verlaufen
meist weder isotherm noch adiabatisch.
Solche polytropen Zustandsänderungen verlaufen zwischen diesen
beiden Grenzfällen, d.h. bei polytropen Zustandsänderungen kann
Wärme teilweise mit der Umgebung ausgetauscht werden:
p Vn = konstant mit 1 < n < γ
isotherm
adiabatisch
10.7 Anwendungen des 1. Hauptsatz der Thermodynamik
Zustandsänderungen sind auf verschiedenen Wegen möglich.
Dabei werden unterschiedliche Wärmemengen ausgetauscht und
unterschiedlich viel Arbeit verrichtet
Zustandsänderung
von A nach B
p
A
dU A→B = δ Q1 + δ W1
T
B
dU B → A = δ Q 2 + δ W 2
V
Geht man den einen Weg von A nach B hin und den anderen Weg
zurück, kann Wärme in Arbeit umgewandelt werden:
→ Kreisprozeß:
Da δQ und δW keine Zustandsgrößen sind, kann Wärme δQ in Arbeit
δW verwandelt werden
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10.8 Entropie & 2. Hauptsatz der Thermodynamik
•
In welcher Richtung laufen Umwandlungsprozesse von
mechanischer Arbeit und Wärmeenergie ab ?
•
Welcher Bruchteil der Wärmeenergie eines Systems kann
in mechanische Energie umgewandelt werden ?
•
Kann mechanische Energie vollständig in Wärmeenergie
umgewandelt werden ?
•
Aus bisheriger Erfahrung wissen wir, dass gewisse
Umwandlungsprozesse nicht-umkehrbar (irreversibel)
ablaufen:
-Wärme fließt vom wärmeren zum kälteren Körper, nie umgekehrt
- Mechanische Arbeit kann vollständig über Reibung in Wärmeenergie
umgesetzt werden, nicht aber Wärmeenergie in mechanische Energie
10.8 Entropie & 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Prozesse, die nur in eine Richtung ablaufen, nennt man
„irreversibel“; d.h. die Prozesse können durch kleine
Änderungen in der Umgebung nicht rückgängig gemacht werden
können
Aber:
Keiner dieser Prozesse würde die Energieerhaltung verletzen !
Und:
In einem abgeschlossenen System lässt sich aus dem
Energieerhaltungssatz keine Richtung für irreversible
Prozesse ablesen
Gesucht:
(Thermodynamische) Größe, die ein Maß für die
(Ir)reversiblität darstellt
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10.8 Entropie (Verwandlungsgröße)
•
Richtung eines Prozesses ist durch eine Eigenschaft des Systems
bestimmt die man als Entropie S bezeichnet
Entropiepostulate (1. mögliche Formulierung des 2.
Hauptsatzes):
(1) Findet in einem abgeschlossenen System ein irreversibler
Prozess statt, so nimmt die Entropie S dieses Systems immer
zu
∆S > 0
(2) Findet in einem abgeschlossenen System ein reversibler
Prozess statt, so bleibt die Entropie S dieses Systems konstant
∆S = 0
(3) Die Entropie nimmt niemals ab !
10.8 Entropie (Verwandlungsgröße)
Wichtig:
-Die Entropie, im Gegensatz zur Energie, genügt keinem Erhaltungssatz
- Energie eines abgeschlossenen Systems ist eine Erhaltungsgröße
- Entropie eines abgeschlossen Systems nimmt bei irreversiblen
Prozessen immer zu
- Entropie ist eine Zustandsgröße und ihre Änderung ist nur von ihrem
Anfangs- und Endzustand abhängig
Wichtig: Entropieänderungen definieren den Zeitpfeil
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10.8 Entropie
• Es gibt 2 Ansätze die Entropieänderungen eines Systems zu
definieren:
(1)
durch die Temperatur und die aufgenommene bzw.
abgegebene Wärme eines Systems
(2)
statistische Interpretation
Definition der Entropieänderung:
e
∆S = S e − S a = ∫
a
dQ
T
- Q = vom System aufgenommene/abgegebene Wärmeenergie
- T = Temperatur des Systems in Kelvin (immer +)
→
Vorzeichen von ∆S und Q identisch
10.8 Entropieänderung
• Freie Expansion eines Gases
geschlossener
offener Hahn
p
Gas
Vakuum
Gas
a
Gas
e
Gleichgewichtszustand am Anfang
Gleichgewichtszustand am Ende
V
Wärmeisolierung
• Ua = Ue, d.h ∆U = 0
• Problem: System durchläuft keine definierten Gleichgewichtswerte
d.h. es können keine Zwischenzustände angegeben
werden.
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10.8 Entropieänderung
• Freie Expansion eines Gases:
Beschreibung durch reversiblen Ersatzprozess, bei dem die
Zwischenzustände (p, V) angegeben werden können
Gleichgewichtszustand
am Anfang
Wärmebad T
Q
Gleichgewichtszustand
am Ende
Wärmebad T
Stempel
Gas
Gas
reversible isotherme Ausdehnung
p
a
T
Isotherme
e
V
10.8 Entropieänderung
• Freie Expansion eines Gases:
Beschreibung durch reversiblen Ersatzprozess
e
∆S = S e − S a = ∫
a
e
dQ 1
Q
= ∫ dQ =
T
T a
T
Entropieänderung,
isotherme Ausdehnung
Fazit: Zur Bestimmung der Entropieänderung bei einem
irreversiblen Prozess in einem abgeschlossenen
System kann man diesen Prozess durch irgendeinen
anderen reversiblen Prozess mit demselben Anfangs- und
Endzustand ersetzen und somit berechnen, s.o. !
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10.8 Entropie: Statistische Deutung
• Entropie ∆S=∆Q/T ist eine aus makroskopischen Größen errechnete
Maßzahl, mit der man reversible von irreversiblen
Zustandsänderungen unterscheiden kann
• Ein Prozess in einem geschlossenen System ist nur dann ohne
Energiezufuhr von außen rückgängig zu machen, wenn die Bilanz
der Änderungen der Entropie zwischen Anfangs- und Endzustand
null ist
10.8 Entropie: statistische Interpretation
• Entropie ist ein Maß für die thermodynamische Wahrscheinlichkeit
eines Systems
• Atomistisch gedeutet hat diese Wahrscheinlichkeit etwas mit der
Anordnung der Teilchen im System zu tun
• Als sinnvolles Maß zur Beschreibung der Ordnung, und damit der
Wahrscheinlichkeit eines Zustands, definierte Ludwig Boltzmann die
Entropie:
S = k lnP
P = Wahrscheinlichkeit für einen Makrozustand des Systems
k = Boltzmann-Konstante
d.h.
die Entropie eines Zustands ist der Logarithmus der
Wahrscheinlichkeit diesen Makrozustand anzutreffen
Sie gibt ein Kriterium für sich selbst einstellende Gleichgewichte:
Das System stellt sich so ein, dass die Entropie maximal wird.
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10.8 Entropie: Statistische Deutung
Entropie ist eine additive Zustandsgröße:
Die Wahrscheinlichkeit für den
Zustand von 2 voneinander
unabhängigen Systemen ist das
Produkt der Wahrscheinlichkeit
der Zustände der einzelnen
Systeme.
P = P1⋅ P2
S = k ⋅ ln(P1⋅ P2) = k ⋅ lnP1+k ⋅ lnP2
S = S1+ S2
Die Entropie ist eine additive
Zustandsgröße, wie z. B. die
Energie eines Systems.
10.8 Entropie in Aktion:
Carnotscher Kreisprozeß (Gedankenexperiment, 1824):
• Carnot-Prozess stellt die Arbeitsläufe einer Wärmekraftmaschine dar
• Wichtiger (idealisierter) Prozess (ideales Gas, reversible
Zustandsänderungen) , da sich mit ihm die Grenzen der
Umwandelbarkeit von Wärme in Arbeit aufzeigen lassen
• Carnot-Prozess setzt eine obere Grenze für die Arbeitsfähigkeit realer
Maschinen
• System des idealen Gases durchläuft durch Expansion und
nachfolgender Kompression zwei isotherme und zwei adiabatische
Prozesse um dann wieder am Ausgangszustand zurückzukommen
p
∆ Q1
(4)
∆ Q3
(1)
(2)
(3)
V
1796-1832
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10.8 Entropie in Aktion:
Carnotscher Kreisprozeß
Frage: Was ist längs einer Adiabaten konstant ?
- Alle Prozesse reversibel
- Es geht keine Energie durch
Reibung, Turbulenzen oder
Ähnlichem verloren
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