Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie
In diesem Kapitel stehen nicht einzelne Experimente im
Vordergrund
Wir werden vielmehr oftmals einfach einen abstrakten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) gegeben haben
Wir wollen über einem solchen Wahrcheinlichkeitsraum under
möglichsten milden Annahmen allgemeine Aussagen treffen.
Diese werden zunächst Folgen (unbahängiger) Beobachtungen
betreffen.
Dies formalisieren wir zunächst.
Matthias Löwe
Stochastik
Zufallsvariablen
Definition
Eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P)
ist eine Funktion
X : Ω → R,
so dass für jedes Paar a, b ∈ R mit a < b gilt:
{ω ∈ Ω | a < X (ω) < b} ∈ A.
Für endliche oder abzählbare Mengen Ω, wenn wir also A = P(Ω)
wählen, ist diese Forderung übrigens immer erfüllt, denn A enthält
sowieso jede Teilmenge von Ω.
Matthias Löwe
Stochastik
Zufallsvariablen
Ebenso, wie die Menge Ω unter Anwendung von X zur
Bildmenge X (Ω) wird, so macht X aus der σ–Algebra A die
Bild–σ–Algebra X (A) und aus dem W–Maß P das Bildmaß
X (P).
Und zwar auf folgende Weise:
Ω
−→
X (Ω)
= {x ∈ R | x = X (ω) für ein ω ∈ Ω}
Bildmenge
A
−→
X (A)
Bild–σ–Algebra
P
−→
X (P)
= {M ⊆ X (Ω) | X −1 (M) ∈ A}
(
P : X (A) → [0, 1]
=
M 7→ P(X −1 (M))
Matthias Löwe
Stochastik
Bildmaß
Zufallsvariablen
Definition
Sei X eine Zufallsvariable auf einem W–Raum (Ω, A, P), dann heißt
das Bildmaß X (P) die (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung von X und
wird mit PX bezeichnet.
Konvention Ist die Bildmenge der Zufallsvariablen X : Ω → R
abzählbar, also
X (Ω) = {xj | j ∈ J} für eine Indexmenge J ⊆ N,
und die Bild–σ–Algebra X (A) gleich der Potenzmenge P(X (Ω)),
so nennen wir die Verteilung PX von X auch diskret und schreiben
p(xj ) j∈J := PX ({xj }) j∈J = P({X = xj }) j∈J .
Matthias Löwe
Stochastik
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Definition (Erwartungswert einer Zufallsvariablen)
Sei PX = p(xj ) j∈J die Verteilung einer Zufallsvariablen X mit
X
|xj | · p(xj ) < +∞,
j∈J
dann heißt
EX =
X
xj · p(xj )
j∈J
Erwartungswert von X .
Die Bedingung
X
|xj | · p(xj ) < +∞
j∈J
in der Definition des Erwartungswertes stellt sicher, dass einerseits
EX auch eine endliche Größe ist und wir andererseits die Summe
bei der Berechnung vonMatthias
EX Löwe
beliebigStochastik
umordnen dürfen.
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Konvention Falls eine abzählbare Menge {xj | j ∈ J} und ein
Wahrscheinlichkeitsmaß M über ihrer Potenzmenge gegeben ist und
P
j∈J |xj | · M({xj }) < +∞, so heißt
E[M] :=
X
xj · M({xj })
j∈J
Erwartungswert von M.
Matthias Löwe
Stochastik
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Satz
Sei (Ω, P(Ω), P) ein W–Raum über einer abzählbaren Menge Ω und
X eine Zufallsvariable auf Ω. Der Erwartungswert EX existiert
genau dann, wenn
X
|X (ω)| · P({ω}) < +∞
ω∈Ω
ist. In diesem Fall gilt
EX =
X
X (ω) · P({ω}).
ω∈Ω
Matthias Löwe
Stochastik
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Satz (Linearität des Erwartungswerts)
Auf einem W–Raum (Ω, A, P) seien zwei Zufallsvariablen X und Y
mit ihren Erwartungswerten EX und EY gegeben. Dann existiert
der Erwartungswert der Zufallsvariablen a · X + b · Y für alle
a, b ∈ R und es ist
E[a · X + b · Y ] = a · EX + b · EY .
Matthias Löwe
Stochastik
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Beispiele
1
Die Zufallsvariable X heißt Laplace–verteilt auf {1, . . . , n},
n ∈ N, wenn
P({X = k}) =
1
für alle k = 1, . . . , n
n
gilt. Es gilt EX = 12 (n + 1).
2
Die Zufallsvariable X heißt Bernoulli–verteilt zum Parameter
p ∈ [0, 1], falls
P({X = 1}) = p und P({X = 0}) = 1 − p
gilt. Es gilt
EX = 1 · P({X = 1}) + 0 · P({X = 0}) = p.
Matthias Löwe
Stochastik
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Beispiele
1
Seien r , s, n ∈ N mit n ≤ r und n ≤ s, dann heißt die
Zufallsvariable X hypergeometrisch verteilt zu den Parametern
r , s, n, falls
r
s
·
für k = 0, 1, . . . , n.
P({X = k}) = k r +sn−k
n
Es gilt:
EX =
n
X
k·P({X = k}) =
k=0
n
X
nr
nr
·P({Y = k−1}) =
.
r +s
r +s
k=1
Matthias Löwe
Stochastik
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Beispiele
1
Die Zufallsvariable X heißt binomialverteilt zu den Parametern
n ∈ N und p ∈ [0, 1] (kurz B(n, p)–verteilt), falls
n k
P({X = k}) =
p (1 − p)n−k für k = 0, 1, . . . , n.
k
Es gilt:
EX = np.
2
Die Zufallsvariable X heißt geometrisch verteilt zum Parameter
p ∈ [0, 1], falls
P({X = k}) = (1 − p)n−1 · p für alle n ∈ N.
Es gilt:
EX = 1/p.
Matthias Löwe
Stochastik
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Beispiele
1
Die Zufallsvariable X heißt negativ binomialverteilt zu den
Parametern r ∈ N und p ∈ [0, 1], falls für n ≥ r gilt:
n−1 r
P({X = n}) =
p (1 − p)n−r .
r −1
Es gilt:
EX =
2
r
.
p
Die Zufallsvariable X heißt Poisson-verteilt zum Parameter
λ ∈ R+ , falls
P({X = n}) = πλ (n) :=
λn −λ
e für n = 0, 1, 2, . . .
n!
Es gilt EX = λ.
Matthias Löwe
Stochastik