gesamtes Skript - Hochfrequenztechnik-Photonik

Vorlesungsskript
Einführung in die optische
Nachrichtentechnik
2015
Prof. Dr.-Ing. Klaus Petermann
Technische Universität Berlin
Die Vorlesung beinhaltet die folgenden Abschnitte:
GRU :
Grundlagen
STR :
Ausbreitung von Strahlwellen
EB
Ebene Wellen an dielektrischen Grenzflächen
:
STU :
Stufenfasern
GRA :
Gradientenfasern
TECH :
Herstellung von Lichtwellenleitern
KOP :
Koppelprobleme
L
:
Laser und LED, Grundlagen
LED
:
Lichtemittierende Dioden
HL
:
Halbleiterlaser
HL-STRUK: Halbleiterlaserstrukturen
MOD :
Modulationsverhalten von Halbleiterlasern
SPEK :
Spektrale Eigenschaften von Halbleiterlasern
ANST :
Elektrische Ansteuerung von LEDs und Laserdioden
PH
:
Photodioden
OE
:
Optische Empfänger
EDFA :
Einwellige optische Übertragungssysteme mit Faserverstärkern
ÜB
Beschreibung des optischen Übertragungskanals
:
Literaturhinweise:
In wesentlichen Teilen beruht die Vorlesung auf:
Unger, H.G.:
Optische Nachrichtentechnik I, II
Hüthig Verlag, Heidelberg, 2. Aufl., 1993, 1992
Wichtiges Nachschlagewerk:
Voges, E., Petermann, K. (Hrsg.): Optische Kommunikationstechnik, Springer
Verlag,
Berlin, Heidelberg, 2002, Nachdruck 2014
sonstige Ergänzende deutschsprachige Literatur:
Bludau, W.:
Halbleiter-Optoelektronik, Hansen Verlag, München, 1995
Daum, W., Krauser, J., Zamzow, P.E., Ziemann, O.: Optische Polymerfasern für
die
Datenkommunikation, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg,
2001
Eberlein, D., Glaser, W., Kutza, C., Labs, J.: Lichtwellenleiter-Technik, Expert
Verlag, Renningen, 8. Auflage 2009
Geckeler, S.:
Lichtwellenleiter für die optische Nachrichtenübertragung,
Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 3. Aufl. 1990
Glaser, W.:
Photonik für Ingenieure, Verlag Technik, Berlin 1997
Grau, G., Freude, W.: Optische Nachrichtentechnik,
Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 3. Aufl. 1991
Harth, W., Grothe, H.: Sende- und Empfangsdioden für die optische
Nachrichtentechnik,
Teubner Studienskripten, Stuttgart, 2. Aufl. 1998
Herter, E., Graf, M.: Optische Nachrichtentechnik, Hanser Verlag, München 1994
Hultzsch, H.:
Optische Telekommunikationssysteme,
Damm Verlag, Gelsenkirchen 1996
empfehlenswerte Lehrbücher in englischer Sprache:
Agrawal, G.P.:
Fiber-optic communication systems,
John Wiley & Sons, New York, 4th ed. 2010
Agrawal, G.P.:
Nonlinear Fiber Optics,
Academic Press, 5th ed. 2012
Gowar, J.:
Optical Communication Systems,
Prentice-Hall, London, 2nd Ed. 1993
bezüglich Halbleiterlaser auch:
Petermann, K.:
Laser Diode Modulation and Noise,
Springer Netherlands (Kluwer), Dordrecht, 1991
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/1
Grundlagen (GRU)
Dieses Kapitel stellt einige wichtige Grundlagen der optischen Nachrichtenübertragung vor. Behandelt
werden ebene Wellen, Näherungsformeln für die Bestimmung der Brechzahl (Sellmeier-Verfahren) von
SiO2 und die Dämpfung von optischen Wellen in Glasfasern.
P h o to d io d e
L a s e rd io d e
iP
U
iL
0
L ic h tw e lle n le ite r
Abbildung 1: Prinzip einer faseroptischen Übertragungsstrecke. iL ist der Ansteuerstrom für den Halbleiterlaser und ip ist der zu messende Photodiodenstrom im Empfänger.
Abb. 1 zeigt eine sehr einfache optische Übertragungstrecke, deren Elemente in späteren Kapiteln
im Detail erläutert werden. Sie besteht aus einem Sender (Laserdiode), dem Übertragungsmedium
(Lichtwellenleiter) und dem Empfänger (Photodiode).
Eine Variation von iL führt zu einer Variation der optischen Leistung des Halbleiterlasers und damit zu
einer Variation des Photodiodenstroms ip .
1 Motivation für die faseroptische Nachrichtentechnik
Die folgenden Punkte machen die optische Übertragungstechnik besonders interessant:
1. Die Lichtleitfaser weist eine sehr geringe Dämpfung auf.
2. Da die Frequenzen im optischen Spektralbereich sehr hoch sind, ist prinzipiell eine hohe Bandbreite erreichbar.
3. Die Lichtleitfaser ist unempndlich gegenüber elektromagnetischen Störungen.
4. Lichtleitfasern sind nur schwer abhörbar.
5. Lichtleitfasern weisen einen geringen Querschnitt auf, d.h. eine hohe Packungsdichte ist realisierbar.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/2
2 Genutzter Frequenz- und Wellenlängen- Bereich
Der Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichts ist = 0; 4:::0; 8 µm. Mit den Bezeichnungen
Wellenlänge im freien Raum
c Lichtgeschwindigkeit im freien Raum
Frequenz
ergibt sich
=
c
(1)
Der sichtbare Spektralbereich entspricht dabei Frequenzen im Bereich = 750:::375 THz
(1THz = 1000GHz = 1012 Hz).
Faseroptische Übertragungsstrecken werden im allgemeinen im nahen Infrarot betrieben mit =
0; 8:::1; 6 µm und = 375:::188 THz. Wellen derartig hoher Frequenzen werden in dielektrischen
Wellenleitern (Gläsern) geführt.
3 Ebene Wellen
Im folgenden wird ein homogenes Dielektrikum mit der Dielektrizitätskonstanten " = "0 "r ( "r =
n2 , wobei n die Brechzahl bezeichnet) vorausgesetzt. Für das elektrische und magnetische Feld gilt
folgender Zusammenhang zwischen der Darstellung im Zeitbereich und der Zeigerdarstellung:
~ (t ) = RefE
~ exp(j!t )g und H
~ (t ) = RefH
~ exp(j!t )g
E
(2)
mit ! = 2 .
Es wird also von harmonischen Zeitabhängigkeiten ausgegangen, was damit einer monochromatischen
Welle entspricht.
Im optischen Spektralbereich gibt es keine eingeprägten Stromquellen, so dass sich für die Maxwell'schen Gleichungen ergibt:
r E~ = j!0H~
r H~ = j!"E~ = j!"0n2E~
(3)
(4)
Dielektrische Materialien haben im allgemeinen eine relative Permeabilität r = 1 , so dass in Gl. (3)
= 0 gesetzt wurde.
Bildet man nun die Rotation von Gl. (3) und setzt Gl. (4) in die entstehende Gleichung ein, erhält
man:
r (r E~ ) k02n2E~ = 0
(5)
p
wobei k0 = ! 0 "0 gilt und k0 als Wellenzahl des freien Raums bezeichnet wird. Mit
r (r E~ ) = r (|r{zE~ }) 4E~ = 4E~
=0
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(6)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
folgt:
Analog gilt auch:
GRU/3
4E~ + k02n2E~ = 0
(7)
4H~ + k02n2H~ = 0
(8)
4 bezeichnet den Laplace-Operator. Der Laplace Operator verlangt die Anwendung von
@2
@2
@2
@x 2 + @y 2 + @z 2
~ bzw H
~.
für jede kartesische Komponente von E
rE~ = 0 in Gl. (6) folgt aus der Bildung der Divergenz von Gl. (4).
Gl. (7) und Gl. (8) gelten nur in homogenen Bereichen, d.h. nur dort, wo die Brechzahl n unabhängig
vom Ort ist.
Eine mögliche Lösung der Dierentialgleichung (7) ist die ebene Welle mit:
~ 0 exp( j ~k ~r) = E
~ 0 exp( j (kx x + ky y + kz z ))
~ =E
E
 
Dabei ist ~r =
x 
 
y  der Ortsvektor und
 
z

(9)

 kx 

~k = 
ky  der sogenannte Wellenvektor, mit
 
kz
~k ~k = (~k )2 = kx2 + ky2 + kz2 = k02 n2
(10)
~ 0 ist ein konstanter, komplexer Amplitudenvektor.
E
Gl. (9) beschreibt eine ebene Welle, da Flächen mit konstanter Phase = ~k ~r Ebenen darstellen. Diese
Phasenächen stehen senkrecht auf dem Wellenvektor ~k , der die Ausbreitungsrichtung beschreibt.
Aus den Gl. (3) und Gl. (9) folgt:
~ ~
~ = k E =H
~ 0 exp( j ~k ~r)
H
!0
(11)
~ ~
~ 0 = k E0 :
H
!0
(12)
mit
Analog zu Gl. (11) folgt aus Gl. (4):
~=
E
~k H
~
!"0 n2
(13)
~, H
~ , und ~k jeweils senkrecht aufeinander stehen.
Aus Gl. (11) und Gl. (13) folgt, dass E
~ , dessen Richtung mit der des
Die Welle transportiert Energie in Richtung des Poynting-Vektors S
Wellenvektors ~k identisch ist (dies gilt zumindest für isotrope Materialien mit skalarem n).
1 ~ ~
S~ = (E
H )
2
~ bezeichnet dabei die Wirkleistungsdichte.
Der Realteil von S
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(14)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/4
Im folgenden wird eine sich in z-Richtung ausbreitende Welle behandelt. Der Wellenvektor dieser
Welle zeigt dann in z-Richtung, so dass gilt ~k = ~ez k0 n ( ~ez Einheitsvektor in z-Richtung). Für das
elektrische Feld folgt dann :
~ =E
~ 0 exp( jk0 nz )
(15)
E




~ 0 = a x  E 0 .
mit E
ay
a
Dabei ist  x  der so genannte Jones-Vektor (mit jax j2 + jay j2 = 1 ), welcher den Polarisationszuay
stand der Welle beschreibt. Einige mögliche Polarisationszustände sind z.B.:
ax = 1
ay = 0
-in x-Richtung linear polarisierte Welle
ax = 0
ay = 1
-in y-Richtung linear polarisierte Welle
ax =
p1
2
ay =
pj
2
-zirkular polarisierte Welle
(d.h. 90 -Phasenverschiebung zwischen x- und y-Komponente)
Im folgenden wird eine in x-Richtung linear polarisierte Welle angenommen. Daraus folgt für das Eund das H-Feld:
(16)
E x = E 0 exp( jk0 nz ); E y = E z = 0
H y = H 0 exp( jk0 nz ); H x = H z = 0
(17)
~ x und H
~ y über den Feldwellenwiderstand ZF verknüpft sind gemäÿ:
wobei E
E
E
1
ZF = x = 0 =
Hy
H0 n
r
0 120 =
"0
n
(18)
Die Ausbreitungseigenschaften der Welle werden im Zeitbereich mit Gl. (2) und Gl. (16) beschrieben
durch
Ex (t ) = Re fE 0 exp(j [!t z ])g
(19)
= k0 n wird als Ausbreitungskonstante bezeichnet. Ist E0 reell, dann folgt daraus:
Ex (t ) = E0 cos(')
(20)
Dabei ist ' = !t z die Phase der Welle. Die Phasengeschwindigkeit beschreibt die Geschwindigkeit
mit der sich die Ebenen konstanter Phase in z-Richtung fortbewegen. Es gilt:
vph =
dz
!
=
dt
, für !t
z = const:
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(21)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/5
v
g r
(t= c o n s t)
E in h ü lle n d e
E
x
z
v
p h
Abbildung 2: Ex zur festen Zeit t für einen kurzen optischen Puls
Die Einhüllende (auf den Träger mit der Frequenz ! aufmoduliertes Signal wie z.B. ein Puls in Abb. 2)
und damit auch die Energie eines Signals breitet sich allerdings mit der Gruppengeschwindigkeit vgr
aus. Sie ist gegeben als:
d!
(22)
vgr =
d
p
Mit den Beziehungen = k0 n und ko = !c ( c = 1= 0 "0 ) folgt daraus für die beiden Geschwindigkeiten:
k0 c c
=
k0 n n
!
d(k0 n(! ))
=
d!
vph =
vgr
c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (
ergibt sich zu:
(23)
1
=
c
d(!n(! ))
d!
300 106 ms
=
c
N
(24)
). N wird der Gruppenindex genannt und
d(! n(! ))
dn(! )
dn()
= n(!) + !
= n() (25)
d!
d!
d
Im allgemeinen gilt n 6= N und damit auch vph 6= vgr . Dies führt zu einer Dispersion. Für die Übertragung optischer Pulse ist nur die Gruppengeschwindigkeit vgr maÿgebend, welche sich aber mit der
Wellenlänge ändert. Durch diese Änderung der Gruppengeschwindigkeit ändert sich auch die Gruppenlaufzeit tgr . Diese Gruppenlaufzeit ist deniert als:
N=
tgr =
L
=L
vgr
L bezeichnet die Länge des Übertragungsweges und =
1
vgr
(26)
=
N
c
die Gruppenlaufzeit pro Länge. Die
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/6
Materialdispersion ist deniert als die Ableitung von nach der Wellenlänge .
d
1 dN
=
=
d c d
d2 n()
= DM
c d2
(27)
DM wird als Materialdispersionskoezient bezeichnet. Mit seiner Hilfe kann z.B. der zeitliche Versatz
t zweier spektraler Komponenten im Abstand nach Durchlaufen einer Übertragungsstrecke der
Länge L bei gleichzeitiger Einstrahlung abgeschätzt werden:
t
L DM
(28)
Abbildung 3: Brechzahl n, Gruppenindex N und Materialdispersion DM des reinen Quarzglases (SiO2 )
(aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
4 Beschreibung der Brechzahl durch das Sellmeier-Verfahren
Die Brechzahl von Quarzglas (SiO2 ) ist recht genau vermessen worden. Diese Werte sind in Abb.
4 für einen weiten Wellenlängenbereich dargestellt. Im allgemeinen wird die Brechzahl als komplex
angenommen mit n = n0 jn00 . Im Abschnitt 5 wird auf die physikalische Interpretation von n0 und n00
eingegangen.
Der Imaginärteil n00 ist im interessierenden Wellenlängenbereich von 0,8 µm bis 1,6 µm sehr klein und
man berücksichtigt häug nur den Realteil n = Re(n) = n0 .
Das Sellmeier-Verfahren beschreibt den Realteil der Brechzahl als Überlagerung von resonanten Funktionen. Die Brechzahl n aufgrund schwingender Elektronen mit der Resonanzfrequenz !1 (siehe Vorlesung Werkstoe der Elektrotechnik) ergibt sich bei Vernachlässigung des Dämpfungsterms zu:
"r
1 = n2
1=
!12
B1
!2
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(29)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/7
Abbildung 4: Der Verlauf des Realteils n0 (durchgezogene Linie) und Imaginärteils n00 (gestrichelte
Linie) der Brechzahl über (aus: Palik, Handbook of Optical Constants of Solids).
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/8
Gl. (29) gilt nur, solange ! von !1 (im Bereich von 1 = 2c0 =!1 0; 1 µm) weit genug entfernt
ist (für faseroptische Übertragungssysteme ist dies der Fall). Für eine genauere Beschreibung müssen
mehrere Resonanzen berücksichtigt werden was zu einer Summation über mehrere gleichartige Terme
führt:
X
Bi
(30)
n2 1 =
2
2
i
!i
!
Typischerweise werden 3 bis 5 Summationsterme verwendet. Um die Brechzahl in dem für die optische
Nachrichtentechnik wichtigen Wellenlängenbereich bei 0; 8 µm < < 1; 6 µm zu beschreiben, ergibt
bereits eine Betrachtung von 2 Resonanzfrequenzen eine gute Näherung. Bei 0; 1 µm bendet
sich die Elektronenresonanz und bei
10 µm die Molekülresonanz (siehe Abb. 4). Eine Summation über diese 2 Terme ergibt:
n2
Da !2
1=
!12
B1
!2
+
!22
B2
(31)
!2
!, wenn 2 10 µm kann man Gl. (31) vereinfachen zu:
n2
1=
!12
B1
!2
B2
!2
(32)
Durch Einführung der Parameter !e = !1 , !d und !L sowie der Beziehungen B1 = !e !d und
B2 = !L2 folgt für n2 :
n2 = 1 +
!e !d
!e2 !2
!L2
!2
(33)
Die in der Formel auftretenden Gröÿen können für Gläser verschiedener Zusammensetzung der Tabelle
1 entnommen werden (! = 2 ). Abb. 3 wurde mit Gl. (33) und den Daten aus Tabelle 1 für
Quarzglas (SiO2 ) berechnet. Insbesondere ist beachtenswert, dass die Materialdispersion für 1; 3 µm verschwindet.
Molare Zusammensetzung in %
SiO2 B2 O3 GeO2 P2 O5 Na2 O
100
86,7
86,5
90
58
18
13,3
13,5
10
19
58
23
24
e
d
L
14
in 10 Hz
32,12
31,27
30,21
32,05
30,53
30,98
35,31
34,20
34,99
36,61
39,34
39,27
0,31
0,33
0,29
0,29
0,31
0,36
Tabelle 1: Dispersionsparameter der Sellmeier-Formel (33) für verschiedene Silikatgläser.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/9
5 Dämpfung optischer Wellen in Gläsern
Allgemein wird eine gedämpfte Welle beschrieben, indem ein verlustbehaftetes Dielektrikum angenommen wird, d.h. eine komplexe Brechzahl:
n = n0
jn00
(34)
Für das elektrische Feld (in x-Richtung linear polarisierte ebene Welle) gilt dann:
E x = E x 0 exp( jz
= k0 n0
z )
(35)
= k0 n00 :
(36)
bezeichnet die Felddämpfungskonstante und hat die Einheit [1/km]. Es ist im Allgemeinen üblich,
die Dämpfung in dB pro Längeneinheit anzugeben und die Umrechnung erfolgt dann gemäÿ:
[dB=km] =
10 log
P0
P0 exp( 2L)
L
= 8; 69 dB:
(37)
Auf der rechten Seite von Gl. (37) hat die Einheit [1/km]. P0 bezeichnet die Leistung der optischen
Welle an der Stelle z = 0 und P0 exp( 2L) ist die Leistung an der Stelle z=L.
Licht wird in Glasfasern im Wesentlichen durch zwei Prozesse gedämpft:
1. Streuung des Lichtes an der regellosen Molekularstruktur des Glases (Rayleigh-Streuung)
2. Absorption
Diese Prozesse sollen im folgenden näher untersucht werden.
5.1 Die Rayleigh-Streuung
Glas besitzt eine regellose Molekularstruktur, was dazu führt, dass auch die Brechzahl n regellose
Schwankungen aufweist. Diese Schwankungen können in die Maxwell'sche Gl. (4) eingebracht werden,
indem das gemittelte Brechzahlquadrat n2 eingeführt wird.
r H~ = j!"0n2E~ = j!"0n2E~ + j!"
(n2
| 0 {z
~
n 2 )E
~J ef f
}
(38)
Der letzte Term in Gl. (38) kann dabei als eine eektive eingeprägte Stromdichte J~ef f aufgefasst
werden. Nimmt man nun an, dass die Schwankungen (n2 n2 ) nur über eine Länge dc korreliert
sind, so kann man die eektive Stromquelle in einem Volumenelement der Kantenlänge dc wie einen
strahlenden Hertz'schen Dipol auassen, dessen Dipolmoment durch
!
I l = ~J ef f dc3
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(39)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/10
Abbildung 5: Strahlungscharakteristik der Rayleigh-Streuung bei linearer Polarisation
~ . Die vom
gegeben ist. Die Orientierung des Dipols entspricht derjenigen des elektrischen Feldes E
Dipol abgestrahlte Leistungsdichte S ist abhängig vom Winkel # ( vergl. Abstrahlung des Hertz'schen
Dipols und Abb. 5).
S (#) Smax sin2 (#)
(40)
Die gesamte von dem Dipol abgestrahlte Leistung ist:
!
jI l j2
P =
Z
3 2 F
Die optische Welle führt eine Leistung P
2
!2 jE~ j2 14 jE~ j2
(41)
jZE~Fj2 . Daraus ergibt sich das Verhältnis:
P
P
14
(42)
Damit gilt auch für die Dämpfung aufgrund der Rayleigh-Streuung = S 14 . Für Quarzglasfasern ergibt sich eine
von
Dämpfung
dB µm 4
0; 8 1; 2 km . Der genaue Wert ist im Wesentlichen von der Dotierung der Faser abhängig.
5.2 Absorption
Soll ein Medium optisch transparent sein, so darf die Photonenenergie W = h nicht ausreichen,
um gebundene Elektronen in ein höheres Energieband zu heben, d.h. die elektronische Absorption
muss klein sein. Neben der elektronischen Absorption ( UV-Absorption) gibt es noch die molekulare
Absorption, deren Resonanzwellenlängen sich bis herab zu = 3 µm ( bei SiO2 ) erstrecken. Die
Flanken dieser Absorption reichen auch noch in den nahen Infrarot (Infrarot-Absorption).
Wie Abb. 6 zeigt, bendet sich bei SiO2 das Minimum der Dämpfung aufgrund der Rayleigh-Streuung
dB
. Bei speziellen Gläsern (z.B. Fluorund der Infrarot-Absorption bei 1; 55 µm und beträgt ca. 0; 2 km
Gläser), die eine grosse Resonanzwellenlänge für die Infrarot-Absorption haben, könnte grundsätzlich
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/11
Abbildung 6: Typischer Dämpfungsverlauf einer Quarzglasfaser ( S Rayleigh-Streuung, IR Infrarot-Absorption, UV Ultraviolett-Absorption, OH Absorption durch OH-Verunreinigungen)
(aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
bei höheren Wellenlängen eine noch niedrigere Dämpfung erzielt werden, experimentell konnte dies
aber bisher nicht veriziert werden.
Neben der Dämpfung durch Elektronen- und Infrarot-Absorption tragen auch Verunreinigungen der
Faser zur Dämpfung bei. Besonders störend sind Verunreinigungen mit OH-Gruppen. Bezogen auf OHVerunreinigungen von 1ppm ergeben sich folgende Dämpfungswerte bei den OH-Oberschwingungen:
dB
= 1; 39m ) = 48 km
dB
= 1; 25m ) = 2; 5 km
dB
= 0; 95m ) = 1; 2 km
Weitere Verunreinigungen werden durch Metall-Ionen (Vanadium, Chrom, Mangan, Eisen, Kobalt,
Nickel) hervorgerufen, die auch zu einer Dämpfungserhöhung führen.
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EB/1
Ebene Wellen an dielektrischen Grenzächen (EB)
In diesem Kapitel wird das Verhalten ebener Wellen an dielektrischen Grenzächen, sowie die Reexion
ebener Wellen an Vielfachschichten behandelt.
1 Ebene Wellen an dielektrischen Grenzächen
Ein Lichtwellenleiter ist in Abb. 1 skizziert. Er besteht aus einem Faserkern der Brechzahl n1 und einem
Fasermantel der Brechzahl n2 < n1 . In einem solchen Lichtwellenleiter wird die Wellenführung durch
ständige Totalreexion der Welle gewährleistet. Bei typischen Dimensionen des Lichtwellenleiters ( z.B.
Faserdurchmesser 125 µm) erfolgt eine Reexion gemäÿ Abb. 1 z.B. jeden Millimeter, so dass sich pro
Kilometer 106 Reexionen ergeben. Bei angenommenen Zusatzverlusten von weniger als 0; 1 dB/km
muss dann das Reexionsvermögen pro Reexion gröÿer als 99; 999998% sein, so dass wirklich eine
'totale' Reexion gefordert wird. Wie muss der Wellenleiter beschaen sein, um diese Totalreexion
zu gewährleisten?
T o ta lre fle x io n
n
2
n
L ic h ts tra h l
1
A u s b re itu n g s ric h tu n g (z )
Abbildung 1: Prinzip eines Lichtwellenleiters mit n2 < n1
Zur Untersuchung der Totalreexion soll die Reexion einer ebenen Welle an einer dielektrischen
Grenzäche gemäÿ Abb. 2 genauer betrachtet werden. Die Vektoren ~k1 , ~k10 und ~k2 in Abb. 2 bezeichnen
jeweils die Wellenvektoren der einfallenden, reektierten und transmittierten Welle. In diesem Beispiel
~ senkrecht zur Einfallsebene angenommen. Für die Wellenvektoren gilt
wird E
2
2
~k1
~k2
= ~k10
2
= k02 n12
= k02 n22
(1)
(2)
Beispiel: Der Vektor ~k1 besitzt eine x- und eine z-Komponente. Daraus folgt


kx 1 

~k1 = 
 0 
 
kz
(3)
k
k
cos(1 ) = z = z
k
~
0 n1
k 1 (4)
2
mit ~k1 = kx21 + kz2 = k02 n12 . Es gilt auch
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
k
EB/2
H
1 '
k
E
E
q
H
j
k
H
2
j
2
2
1
q
1
1
E
n
n
1
2
z
x
y
Abbildung 2: Einfall einer ebenen Welle auf eine Grenzäche
Die Komponenten der einfallenden Welle ergeben sich zu
E y = E y 1 exp ( j kx 1 x
sin (1 )
Hz = E y
ZF 1
cos(1 )
Hx = E y
ZF 1
j kz z )
(5)
(6)
(7)
Die Feldwellenwiderstände auf beiden Seiten der Grenzäche sind
1
ZF 1 =
n1
r
0
;
"0
1
ZF 2 =
n2
r
0
"0
(8)
An der Grenzäche ( x = 0 ) müssen die tangentialen Feldkomponenten stetig sein.
) Die z-Abhängigkeit der einfallenden, reektierten und transmittierten Welle muss gleich sein.
) Daher sind die z-Komponenten von ~k1, ~k10 und ~k2 gleich (kz ).
Für die transmittierte Welle gilt ~kz = cos(2 ) = kk0 nz 2 und damit
k2
kz = k0 n1 cos(1 ) = k0 n2 cos(2 )
(9)
Dies ist das Snellius'sche Brechungsgesetz:
n1 cos(2 ) sin('2 )
=
=
n2 cos(1 ) sin('1 )
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(10)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EB/3
Wird nun cos(1 ) > nn21 oder sin('1 ) > nn21 , gibt es in Gl. (9) keine Lösung für ein reelles 2 und die
Welle dringt nicht mehr in das Medium 2 ein. Es liegt also Totalreexion vor. Der Grenzwinkel für die
Totalreexion ist
n
sin('1g ) = cos(1g ) = 2
(11)
n1
Solange 1 < 1g und damit auch '1 > '1g ist, ndet Totalreexion statt.
1.1 Bestimmung des Reexionsfaktors für ebene Wellen an dielektrischen
Grenzächen
E 0
Der Reexionsfaktor r E ist deniert als r E = Ey 1 . Der Index E des Reexionsfaktors r E gibt hierbei
y1
an, dass das E-Feld senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Forderung nach der Stetigkeit der
tangentialen Feldkomponenten an der Grenzäche ergibt folgende Randbedingungen
E y 1 + E y 10 = E y 2
(12)
H z 1 + H z 10 = H z 2
(13)
Die Indizierung mit 1, 1' und 2 bezeichnet jeweils die einfallende, die reektierte und die transmittierte
Welle. In beiden Medien werden nun Wellenwiderstände eingeführt:
r
Ey 1
E y 10
0
1
k
=
=
= 0
Hz 1
H z 10 n1 sin(1 ) "0
kx 1
r
r
Ey 2
0
1
k0 0
=
=
=
H z 2 n2 sin(2 ) "0
kx 2 "0
r
Z1E =
Z2E
0
"0
(14)
(15)
Nun kann man die Komponenten des H -Feldes in Gl. (13) durch die Komponenten des E-Feldes
ausdrücken, indem man Gl. (14) und Gl. (15) in Gl. (13) einsetzt:
Ey 1
Z2E
Z1E
E y 10
Z2E
= Ey 2
Z1E
(16)
Nach Gleichsetzen mit Gl. (12) und Umformung ergibt sich der Reexionsfaktor r E zu
rE =
Z2E Z1E n1 sin(1 ) n2 sin(2 ) n1 cos('1 ) n2 cos('2 )
=
=
Z2E + Z1E n1 sin(1 ) + n2 sin(2 ) n1 cos('1 ) + n2 cos('2 )
(17)
Wenn man nun vom Snellius'schen Brechungsgesetz Gl. (10) mit n1 = n2 sin('2 )= sin('1 ) Gebrauch
macht, lässt sich Gl. (17) umschreiben zu
rE =
sin('2 ) cos('1 ) cos('2 ) sin('1 ) sin('2 '1 )
=
sin('2 ) cos('1 ) + cos('2 ) sin('1 ) sin('2 + '1 )
(18)
Eine analoge Betrachtung führt auf den Reexionsfaktor r H für Wellen mit H senkrecht zur Einfallsebene. Hier ergeben sich zunächst folgende Feldkomponenten der einfallenden Welle:
H y = H y 1 exp ( j kx 1 x
E z = H y sin (1 ) ZF 1
j kz z )
E x = H y cos(1 ) ZF 1
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(19)
(20)
(21)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
mit den Wellenwiderständen
r
Z1H =
Z2H =
E
Es ergibt sich für r H = Ez 10 =
z1
rH =
EB/4
E z 1 E z 10
sin(1 ) 0
k
=
=
= 2 x1
H y 1 H y 10
n1
"0
n 1 k0
r
r
k
0
E z 2 sin(2 ) 0
=
= 2 x2
Hy 2
n2
"0
n2 k0 "0
r
0
"0
(22)
(23)
H y 10
Hy 1
Z2H Z1H n1 sin(2 ) n2 sin(1 ) n1 cos('2 ) n2 cos('1 )
=
=
Z2H + Z1H n1 sin(2 ) + n2 sin(1 ) n1 cos('2 ) + n2 cos('1 )
(24)
Mit dem Snellius'schen Brechungsgesetz (10) lässt sich Gl. (24) umschreiben zu
rH =
cos('2 + '1 ) sin('2 '1 )
cos('2 '1 ) sin('2 + '1 )
(25)
Für vorgegebene Brechzahlen n1 und n2 können nun in Abhängigkeit von Einfallswinkel die Reexionsfaktoren bestimmt werden. Abb. 3 zeigt hierfür zwei Beispiele.
Abbildung 3: Betrag des Amplituden-Reexionskoezienten an einer Grenzäche Glas/Luft, dargestellt als Funktion des Einfallswinkels '. Bei (a) verläuft die einfallende Welle in Luft, bei (b) im
Glas.
In Abb. 3 ist auch der sogenannte Brewster-Winkel '1B dargestellt, wobei sich für '1 = '1B ein
Reexionsfaktor r H = 0 ergibt. Entsprechend Gl. (25) ergibt sich '1B für '1 + '2 = =2 , d.h. dass
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EB/5
dann der reektierte und der transmittierte Strahl senkrecht aufeinander stehen. Es gilt damit
tan('1B ) =
n2
n1
(26)
Der Brewster-Winkel wird z.B. beim reexionsfreien Laserresonator (Abb. 4) ausgenutzt.
S p ie g e l
G a s e n tla d u n g s ra u m
j
1 B
Abbildung 4: Schematische Darstellung des Laserresonators
Für n1 = 1 (Luft) gilt einfach tan('1B ) = n2 .
Beispiel: Für n2 = 1; 5 ergibt sich ein Brewster-Winkel von '1B = 56; 3 .
~ senkrecht zur EinDer sich ergebende Laserstrahl ist linear polarisiert, da nur die Polarisation mit H
fallsebene verlustfrei in den Gasentladungsraum
eindringt.
q
2
2
Für '1 > '1g wird sowohl kx 2 = k0 n2 n1 sin2 ('1 ) , als auch Z2H imaginär.
) jr E j = jr H j = 1
(27)
In diesem Fall der Totalreexion klingt das Feld im Bereich 2 ( Brechzahl n2 ) exponentiell ab mit der
Eindringtiefe
dx =
Für
q
n12
1
= q
j kx 2 2 n2 sin2 ('1 )
1
n22
(28)
n22 = 0; 2 und '1 = 90 ergibt sich beispielsweise dx = 0; 8 .
2 Reexion an Vielfachschichten
Es wird die Reexion einer ebenen Welle an mehreren Schichten hintereinander in x-Richtung, mit
jeweils unterschiedlicher Brechzahl untersucht.
Es werden m Schichten mit den Brechzahlen ni ( i = 1:::m ) angenommen (Abb. 5). Ist der Einfallswinkel '1 vorgegeben, so ergibt sich aufgrund der in z -Richtung konstanten Wellenzahlkomponente
kz = k0 n1 sin('1 ) die x -Komponente der Wellenzahl in der i -ten Schicht kxi zu
q
kxi = k0 ni2
n12 sin2 ('1 )
(29)
und die Wellenwiderstände ZiE und ZiH wie in Gl. (14), Gl. (15), Gl. (22) und Gl. (23) zu
r
ZiE
ZiH
k
0
= 0
kxi "0
r
kxi 0
= 2
:
ni k0 "0
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(30)
(31)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EB/6
z
j
x
1
n
1
n
2
n
n
3
n
i
d
m
i
Abbildung 5: m-Schichten mit den Brechzahlen ni und den Dicken di
Da man die Wellenwiderstände der Schichten direkt berechnen kann, ist es möglich, ein äquivalentes
Leitungsersatzschaltbild aufzustellen (Abb. 6).
Z
Z
1 E
Z
k
2 E
x 2
Z
Z
iE
k
a
x i
d
k
(m -1 )E
Z
m E
x (m -1 )
i
B e re c h n u n g d e s R e fle x io n s fa k to rs
in d ie s e r E b e n e
~ senkrecht zur Einfallsebene
Abbildung 6: Äquivalentes Leitungsersatzschaltbild für E
Zur Berechnung des Reexionsfaktors an der ersten Schicht muss der Abschlusswiderstand ZmE an
den Eingang transformiert werden (z.B. mit Smith-Diagramm, siehe Hochfrequenztechnik I). Damit
ist das Problem allgemein gelöst. Einen besonders einfachen Spezialfall stellen dabei 4 -Schichten dar.
d i= p / ( 2 k x i)
Z
a i
Abbildung 7: Ersatzwiderstand bei =4-Schichten
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EB/7
Es gilt für 4 -Schichten: kxi di = 2 . Hier ist es möglich, mit der einfachen Beziehung
2
ZiE
Zai =
(32)
Za(i +1)
den Widerstand Za(i +1) um jeweils eine Schicht nach vorn zu Zai zu transformieren (Abb. 7). Bei =4 Vielfachschichten kann dann diese Transformation rekursiv angewandt werden, bis man schlieÿlich Za
erhält. Der Reektionsfaktor kann dann gemäÿ
rE =
Za Z1E
Za + Z1E
(33)
bestimmt werden.
Als Beispiel soll eine dielektrische Schicht so dimensioniert werden, dass der Übergang von Medium
1 zu Medium 3 vollständig entspiegelt ist, d.h. die Welle reexionsfrei in das Dielektrikum mit n3
einkoppelt (Abb. 8).
s e n k re c h t e in fa lle n d e
e b e n e W e lle
n
n
1
n
2
3
d 2= l /(4 n 2)
Z
Z a= Z
F 2
Z
F 1
/Z
2
Z
F 2
F 3
F 3
B e re c h n u n g d e s R e fle x io n s fa k to rs
in d ie s e r E b e n e
Abbildung 8: Beispiel: =4-Schicht zur Entspiegelung
Zur Vereinfachung wird dabei ein senkrechter Einfall der Welle angenommen ('1 = 0), so dass für die
Wellenwiderstände gilt
r
Es werden zunächst ZF 2 und ZF 3
1
ni
0
"0
zu einem Ersatzwiderstand Za zusammengefasst.
ZiE = ZiH = ZF i =
Z2
n
Za = F 2 = 32
ZF 3 n2
r
0
"0
Für r E = r H = 0 muss nun gelten: Za = ZF 1 . Daraus folgt
ZF 2 =
p
ZF 1 ZF 3 ) n2 =
pn n
1 3
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(34)
(35)
(36)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EB/8
Auch die Dicke der Schicht kann bestimmt werden, da gelten muss
d2 kx 2 = d2 k0 n2 = d2 n2
Daraus folgt für die Dicke der Schicht
d2 =
2 ! =
2
4 n2
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(37)
(38)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STR/1
Ausbreitung von Strahlwellen (STR)
In diesem Abschnitt wird auf die Ausbreitung von Strahlwellen eingegangen, insbesondere der Gauÿ'sche
Strahl wird behandelt.
Im ersten Kapitel wurden ebene Wellen behandelt. Da sie senkrecht zur Ausbreitungsrichtung unendlich
ausgedehnt sind, ist dies nur eine erste Näherung. Wellen nehmen häug die Form einer Strahlwelle
an, d.h. senkrecht zur Ausbreitungsrichtung besteht nur eine begrenzte Feldausdehnung.
1 Der Gauÿ'sche Strahl
Es wird wiederum ein homogenes Dielektrikum angenommen. Betrachtet man dann z.B. die Feldkomponente E x , gilt die Wellengleichung
4E x + k02n2E x = 0
(1)
Diesmal wählt man einen Ansatz, bei dem E x von x,y und z abhängt.
E x = (x; y ; z ) exp( jk0 nz )
(2)
Die in Gl. (2) herausgezogene z-Abhängigkeit mit exp( jk0 nz ) entspricht derjenigen einer ebenen
Welle, so dass eine mit z nur langsam variierende Feldamplitude darstellt. Setzt man nun Gl. (2) in
Gl. (1) ein, so erhält man die partielle Dierentialgleichung
@2
@2
@2
+
+
@x 2 @y 2 @z 2
2jk0 n
@
=0
@z
(3)
2
bezüglich z wird der Term @@z 2 vernachlässigt, da
Aufgrund der nur langsamen Variation von
2
j @@z 2 j jk0n @@z j
(4)
Daraus folgt die vereinfachte Dierentialgleichung
@2
@2
+
@x 2 @y 2
2jk0 n
@
=0
@z
(5)
Eine oensichtliche, triviale Lösung wäre = const . Diese Lösung entspräche einer ebenen Welle.
Zur allgemeinen Lösung der DGL wird sie zunächst in Zylinderkoordinaten transformiert gemäÿ
x = r cos(')
und
4
@
1@
r
=
r @r
@r
y = r sin(')
!
+
(6)
1 @2
@2
+
:
r 2 @'2 @z 2
(7)
@
=0
@z
(8)
Daraus folgt die DGL in Zylinderkoordinaten:
1@
@
r
r @r
@r
!
+
1 @2
r 2 @'2
2jk0 n
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STR/2
Hier wird ein Ansatz gewählt, der nicht von ' abhängt, da das Feld sich nur in radialer Richtung
ändern soll. (x; y ; z ) ) (r; '; z ) ) (r; z )
Für die transversale Variation von wird ein Gauÿ-förmiger Ansatz gemacht:

#
"
k n
(r; z ) = 0 exp  j P (z ) + 0 r 2 
2q (z )
(9)
Der Gauÿ-förmige Ansatz ist dadurch motiviert, dass bei einer Gauÿ'schen Feldverteilung sowohl das
Nah- wie auch das Fernfeld durch eine Gauÿ-Verteilung beschrieben werden können. Dies liegt wiederum daran ( vergl. Hochfrequenztechnik I), dass das Fernfeld als Fouriertransformierte des Nahfeldes
formuliert werden kann, wobei die Fouriertransformierte einer Gauÿ-förmigen Feldverteilung wieder
durch eine Gauÿ-Funktion beschrieben werden kann.
P (z ) und q (z ) sind so zu wählen, dass Gl. (8) erfüllt wird. Setzt man den Ansatz Gl. (9) in Gl. (8)
ein, so erhält man eine Bestimmungsgleichung für P (z ) und q (z ).
k0 n r
q (z )
!2
dq (z )
dz
1
!
j
dP (z )
+ 2k0 n
+
q (z )
dz
!
=0
(10)
Um Gl. (10) für beliebige Radien r zu erfüllen, müssen jeweils beide Terme in Gl. (10) zu Null werden,
woraus sich ergibt:
dq (z )
=1
dz
dP (z )
j
=
dz
q (z )
(11)
(12)
Aus Gl. (11) folgt als Lösung
q ( z ) = q0 + z
(13)
mit q0 = const . Der Parameter q (z ) ist im allgemeinen komplex. Durch Einführung der physikalisch
relevanten Grössen w (z ) (Fleckradius) und R(z ) (Krümmungsradius der Phasenächen) ergibt sich
q (z ) zu
1
1
=
q (z ) R(z )
2j
1
j
=
(14)
2
k0 nw (z ) R(z ) nw 2 (z )
Nun wird die Annahme getroen, an der Stelle z = 0 sei eine Feldverteilung mit ebener Phasenfront
vorgegeben (d.h. R(z ) = 1), die einen Fleckradius w0 aufweist.
)
(r; z )jz =0 =
0 exp
r2
w02
!
(15)
Der Fleckradius w (z ) ist als Radius des 1/e Abfalls deniert (siehe Abb. 1). Das bedeutet, dass für
q (z )jz =0 gelten muss
q (z )jz =0 = q0 = j
n w02
k0 n w02
=j
2
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(16)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STR/3
1 ,0
y (r,z = 0 )/y
0
0 ,8
0 ,6
1 /e
0 ,4
0 ,2
0 ,0
-w
0
0
w
r
0
(r; z )jz =0
Abbildung 1: Gauÿverteiltes Feld
und mit Gl. (13) folgt daraus für q (z )
n w02
+z
Für den Fleckradius w (z ) und den Krümmungsradius R(z ) folgt aus Gl. (14) und Gl. (17)
q (z ) = j
w (z ) = w0
v
u
u
t1 +
z
n w02

n w02
R(z ) = z 1 +
z
!2
(18)
!2 

(19)
Setzt man nun Gl. (17) in Gl. (12) ein, so erhält man
w (z )
jP (z ) = ln
w0
Für E x gilt dann
Ex =
w0
w (z )

0 exp 
jk0 n z +
!
r2
z
j arctan
nw02
2R ( z )
(17)
!
+ j arctan
!
(20)
z
nw02
!
r2
w 2 (z )


(21)
Wird eine lineare Polarisation angenommen, so ergeben sich die anderen Komponenten zu
Ey = 0
Hz =
Ez
(22)
1
dE x
sin(');
j!0 dr
1 dE x
cos(');
jk0 n dr
Hy
Z1
Hx
0
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F
Ex
(23)
(24)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STR/4
Die sich daraus ergebenden Feldlinien zeigt Abb. 2.
Abbildung 2: Feldliniendarstellung einer Strahlwelle
In Abb. 3 werden die Gröÿen w (z ) und R(z ) anschaulich dargestellt. Die Kontur C2 ist durch w (z )
bzw. w (z ) gegeben. Die gestrichelten Kreisbögen weisen einen Radius von R(z ) auf, wobei z am
Schnittpunkt des Kreises mit der z-Achse abzulesen ist. Diese Kreise beschreiben in erster Näherung
gebogene Flächen konstanter Phase (nur nahe der optischen Achse). An der Stelle z = z0 = w02 n=0
wird der Krümmungsradius minimal und der Mittelpunkt des zugehörigen Kreises liegt bei z = z0 .
2 Beziehung zwischen Nah- und Fernfeld
! 1, also im Fernfeld folgt aus Gl. (18) und Gl. (19)
z
(25)
w (z ) n w0
R(z ) z
(26)
Diese beiden Beziehungen gelten nur, wenn w0 n da sonst die Näherung Gl. (4) nicht mehr gelten
würde. Für w0 n erfolgt die Abstrahlung im wesentlichen gemäÿ Abb. 3 in axialer Richtung, so
Für z
dass sich nur eine geringe Strahldivergenz und damit ein kleiner Abstrahlwinkel ergeben. Im Fernfeld
gilt für kleine : zr . Daraus folgt für die Fernfeldintensität IF ()
IF () exp
!
2r 2
= exp
w 2 (z )
2 2
02
!
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(27)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STR/5
Abbildung 3: Längsschnitt durch einen Gauÿstrahl. Die Kontur C2 markiert den Rand des Strahls dort,
wo die Leistungsdichte radial auf 1/e2 abgefallen ist. Es gilt z0 = w02 n= (aus: Voges/Petermann,
Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
Dabei ist 0 = nw0 .
Die Nahfeldintensität ergibt sich zu
j j2 exp
2r 2
w02
!
(28)
w0 beschreibt die Nahfeldausdehnung, während die Fernfeldausdehnung durch 0 beschrieben wird. Als
Produkt zwischen Nah- und Fernfeldausdehnung ergibt sich
0 w0 =
n
(29)
Dies ist eine Art Unschärferelation. Entweder der Strahl verfügt über eine kleine Nahfeldausdehnung,
breitet sich dann jedoch unter einem groÿen Winkel aus, oder er strahlt mit kleinem Önungswinkel,
besitzt dafür aber eine groÿe Nahfeldausdehnung.
3 Vergleich zur Strahlenoptik und ebenen Wellen
Ein Strahl in geometrischer Optik besitzt sowohl eine transversale Ausdehnung w0 = 0, als auch
eine Divergenz 0 = 0. Dies steht im Widerspruch zu Gl. (29). Die geometrische Optik kann daher
näherungsweise nur für Wellenlängen ! 0 angewendet werden.
Ein Spezialfall des Gauÿ'schen Strahls stellt die ebene Welle dar, die sich für 0 ! 0 , bzw. w0 ! 1
ergibt.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/1
Stufenfasern (STU)
In diesem Kapitel wird die Wellenausbreitung in Stufenfasern behandelt. Es wird die Feldberechnung
in der Stufenfaser und die chromatische Dispersion erläutert.
Die einfachste Form eines Lichtwellenleiters besteht aus einem lichtführenden Faserkern mit der Brechzahl n1 und einem Fasermantel mit der Brechzahl n2 < n1 , wobei der Unterschied im Prozentbereich oder sogar darunter liegt. Der Faserkerndurchmesser liegt typischerweise in der Gröÿenordnung
2a 10 100 µm und der Durchmesser von Kern und Mantel bei D 125 µm.
n 0= 1
Abbildung 1: Schematische Darstellung einer Stufenfaser
Die Stufenfaser weist folgendes Brechzahlprol auf
n(r ) =



 n1
für r


 n2
für a < r
a
(1)
D2
1 sei nun der Winkel der eingekoppelten Welle zur Faserachse und 1 der Winkel, unter dem die Welle
aus dem freien Raum (n0 = 1) in die Faser eingekoppelt wird. Die Welle wird dann im Kern geführt,
wenn 1 < 1g ist. Es gilt
sin(1g ) =
q
1
cos2 (1g ) =
1q 2
n
n1 1
n22
(2)
Mit dem Brechungsgesetz von Snellius folgt
sin(1g ) = n1 sin(1g ) =
q
n12
n22 = AN
(3)
AN wird als numerische Apertur bezeichnet und gibt den maximalen Winkel 1 an, für den die Welle
nur im Kern geführt wird. Ein typischer Wert ist AN = 0; 2 , was auf einen maximalen Einfallswinkel
1g = 11; 5 führt.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/2
1 Feldberechnung in der Stufenfaser
Da die Strahlenbetrachtung die Wellenausbreitung nur für ! 0 ausreichend beschreibt, stellt sich die
Frage nach der Berechnung des Feldes in der Stufenfaser. Dazu werden die sogenannten Eigenwellen
~ (x; y )
bestimmt, die dadurch gegeben sind, dass sich eine bestimmte transversale Feldverteilung E
unverändert in z -Richtung mit der Ausbreitungskonstanten ausbreitet. Die Brechzahl sei unabhängig
von z . Der Feldansatz ist dann
~ (x; y ; z ) = E
~ (x; y ) exp( j z )
E
(4)
Zunächst soll die Gröÿenordnung von abgeschätzt werden. Aus der Strahlenbetrachtung in Abb. 1
folgt
= k0 n1 cos(1 )
(5)
Für die geführte Welle ist 0 < 1 < 1g , daher ist
k0 n2 < < k0 n1
(6)
Für die kartesischen Feldkomponenten E x und E y gilt die Wellengleichung sowohl im Kern als auch
im Mantel.
4E x;y + k02ni2E x;y = 0
(7)
mit i = 1; 2 . Es folgt aus Gl. (4)
@ 2 E x;y
= 2 E x;y
@z 2
(8)
und damit erhält man aus Gl. (7) die Wellengleichung
4t E x;y +
k02 ni2
2 E x;y = 0
(9)
@ + @ .
mit dem transversalen Laplace-Operator 4t = @x
2
@y 2
Im folgenden setzen wir einen schwach führenden Wellenleiter mit
2
n1
n1
n2
2
1
(10)
voraus, so dass gilt:
jk02ni2
und damit
Daraus folgt
2j 2
mit
= k0 nef f
und
j4t j 2
@ @ ; @x @y n2 < nef f < n1
(11)
(12)
(13)
Die Felder der ausbreitungsfähigen Wellen ergeben sich aus Gl. (7) unter Beachtung der Randbedingungen. Die Feldkomponenten E z , H z und E ' , H ' sind stetig für r = a , wobei a der Kernradius
ist (Abb. 2).
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/3
1.1 Feldkomponenten der Eigenwellen einer schwach führenden Stufenfaser
F a se rm a n te l
y
+ a
E j, H
F a se rk e rn
r
z
-a
j
E z, H
j
z
+ a x
-a
Abbildung 2: Randbedingungen der Stufenfaser
Nehmen wir an, Gl. (9) sei für E x und E y gelöst. Es stellt sich dann die Frage nach der Gröÿe der
~ = j!H
~ folgt
anderen Feldkomponenten. Aus der Maxwell'schen Gleichung r E
Hz =
Aus der Maxwell'schen Gleichung
1
j!0
@E y
@x
r H~ = j!"0ni2E~
1
Ex =
j!"0 ni2
@E x
@y
!
ergibt sich für E x und E y :
@H z
+ jH y
@y
1
Ey =
j!"0 ni2
(14)
!
(15)
!
@H z
@x
jH x
(16)
Damit lassen sich ganz allgemein aus bekanntem E x , E y und H z aus Gl. (14) H x und H y bestimmen. Wird nun eine schwach führende Faser angenommen (siehe Gl. (13)), lassen sich @H z =@y und
@H z =@x in Gl. (15) und Gl. (16) vernachlässigen und man kann H x und H y ausdrücken als
Hx
Hy
Für E z ergibt sich
1
Ez =
j!"0 ni2
@H y
@x
!"0 ni2
Ey
(17)
2
!"0ni E x
@H x
@y
!
1
j
(18)
@E x @E y
+
@x
@y
!
(19)
Damit ist gezeigt, dass sich alle sechs Feldkomponenten aus der Kenntnis von E x und E y ableiten
lassen. Bei schwach führender Faser lässt sich dabei ni näherungsweise durch n1 ersetzen.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/4
1.2 Stetigkeit der tangentialen Feldkomponenten
Die tangentialen Feldkomponenten der Faser E ' , H ' , E z und H z müssen bei r = a stetig ineinander
übergehen. Für E ' und H ' gilt
E ' = E y cos(')
E x sin(')
(20)
H ' = H y cos(')
H x sin(')
(21)
Aus den Gl. (17), Gl. (18), Gl. (20) und Gl. (21) folgt mit ni n1 , dass E x und E y stetig sein
müssen (bei r = a), wenn E ' und H ' stetig sein sollen. Da diese Stetigkeit für alle ' gelten soll,
@E
@E
müssen auch @'x und @'y für r = a stetig sein.
Wie schon oben in Gl. (14) und Gl. (19) gezeigt, lassen sich E z und H z aus E x und E y bestim@ und @ lauten in
men, wobei dort E x und E y nach x bzw. y abgeleitet werden. Die Ableitungen @x
@y
Zylinderkoordinaten
@
@
1
@
= cos(')
sin(')
@x
@r r
@'
@
@
1
@
= sin(') + cos(')
@y
@r r
@'
(22)
(23)
Eingesetzt in Gl. (14) und Gl. (19) folgt
1
@E
Ez =
cos(') x
j
@r
Hz =
@E
@E
@E
1
@E
1
sin(') x + sin(') y + cos(') y
r
@'
@r
r
@'
@E
1
cos(') y
j!0
@r
@E
1
sin(') y
r
@'
@E
sin(') x
@r
!
1
@E
cos(') x
r
@'
(24)
!
(25)
@E
Da @'x und @'y für r = a aufgrund der Stetigkeit von E ' und H ' stetig sein müssen, folgt aus Gl.
@E
@E
(24) und Gl. (25), dass zusätzlich @rx und @ry für r = a stetig sein müssen.
Die Bedingung der Stetigkeit von E ' , H ' , E z und H z lässt sich damit durch die Forderung nach
@E
@E
Stetigkeit von E x , E y , @rx und @ry ersetzen.
1.3 Linear polarisierte LP-Wellen
Da E x und E y bei schwach führenden Fasern durch die Wellengleichung (9) und durch die Randbedingungen für r = a nicht miteinander verkoppelt sind, lassen sich Eigenwellen nden, bei denen
beispielsweise E y = 0 gesetzt ist. Diese Eigenwellen werden als linear polarisierte LP-Wellen bezeichnet mit z.B.
E x = (r; ') exp( jz )
(26)
und
(r; ') =

 1 (r;
 (r;
2
') für r
a
') für r > a :
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(27)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/5
Aus der Wellengleichung (9) wird damit die skalare Wellengleichung
4t
2 2
i + k0 ni
2
=0
i
(28)
mit i = 1; 2 und den Randbedingungen
j
j
=
1 r =a
(29)
2 r =a
@ 1
j = @@r2 jr =a :
@r r =a
(30)
Zunächst werden folgende Normierungen eingeführt:
q
n22 = k0 a AN
V = k0 a n12
Faserparameter:
2
k02
n22
=
k0
Normierte Ausbreitungskonstante:
B=
Kernparameter:
u=V 1
Mantelparameter:
v = V B = a 2
n12
p
p
n22
(n1
q
n2 k0 + n2
n2 ) (n1 + n2 )
B = a k02 n12
q
(31)
nk0
2
1
n2
n2
(32)
(33)
k02 n22
(34)
Setzt man diese Normierungen in Gl. (28) ein, so erhält man
a2 4t
a2 4t
1
+ u2
1
=0
2
v2
2
=0
Lösungen dieser Dierentialgleichungen sind
1 (r; ')
= A1 Jl
u
r
a
2 (r; ')
= A2 Kl
v
r
a
a
für r a
für r
(
(35)
(36)
)
cos(l ')
sin(l ')
(
(37)
)
cos(l ')
sin(l ')
(38)
Dabei ist Jl eine Besselfunktion und Kl eine modizierte Hankelfunktion ganzzahliger Ordnung. Für
niedrige Ordnungen sind sie in Abb. 3 und 4 dargestellt. Ihre Ableitungen nach dem Argument lauten
l
dJl (x )
= Jl0 (x ) = Jl +1 (x ) + Jl (x ) = Jl
dx
x
l
J (x )
x l
1 (x )
dKl (x )
l
= Kl0 (x ) = Kl +1 (x ) + Kl (x ) = Kl
dx
x
1 (x )
l
K (x )
x l
(39)
(40)
Damit folgt aus Gl. (29) und Gl. (30)
A1 Jl (u ) = A2 Kl (v )
(41)
u
v
A1 Jl0 (u ) = A2 Kl0 (v )
a
a
(42)
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
Abbildung 3: Besselfunktionen ganzzahliger Ordnung
Abbildung 4: Modizierte Bessel- und Hankelfunktionen 0. und 1. Ordnung
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STU/6
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/7
Dividiert man nun beide Gleichungen durcheinander, so erhält man die charakteristische Gleichung zur
Bestimmung der Ausbreitungskonstanten (u und v enthalten nur als Unbekannte).
u Jl0 (u ) v Kl0 (v )
=
Jl (u )
Kl ( v )
(43)
Mit Gl. (39) und Gl. (40) folgt
u Jl +1 (u ) v Kl +1 (v )
+
=0
Jl (u )
Kl (v )
(44)
mit V 2 = u 2 + v 2 .
Für vorgegebenes V und vorgegebene Umfangsordnung l kann die Ausbreitungskonstante aus Gl.
(44) numerisch bestimmt werden. Die Gleichung hat im allgemeinen mehrere Lösungen, die mit p =
1; 2; 3::: nummeriert werden. p bezeichnet dabei die Anzahl der Feldextrema in radialer Richtung. Daher
wird die Bezeichnung LPlp -Welle mit der Umfangsordnung l und der radialen Ordnung p gewählt.
(Feldverteilungen einiger LPl p -Wellen sind in Abb. 5 dargestellt.)
Mit vorgegebener Dimensionierung (a; ; n1 ; n2 ) folgt V , damit kann aus Gl. (44) u und v bestimmt
werden. Daraus ergibt sich mit Gl. (33) und Gl. (34) und mit Gl. (37) und Gl. (38) auch die
Feldverteilung (r; '). Die Lösung von Gl. (44) ist in Abb. 6 dargestellt. Sie zeigt die normierte
Phasenkonstante B ( vergl. Gl. (32)) als Funktion von V .
1.4 Einwelligkeitsbereich
In Abb. 6 kann man sehen, dass nur die LP01 -Welle für beliebig kleine V ( V Frequenz) ausbreitungsfähig ist. Diese Welle wird auch als Grundwelle (fundamental mode) bezeichnet.
Die charakteristische Gleichung der LP01 -Welle lautet gemäÿ Gl. (44):
u J1 (u )
J0 (u )
v K1 (v )
=0
K0 (v )
(45)
Diese Gleichung führt zu Lösungen auch für beliebig kleine V . Dabei breitet sich die Welle dann
allerdings im wesentlichen im Fasermantel aus, da B 0 , woraus folgt, dass k0 n2 . Sie ist damit
schlecht geführt. Für eine bessere Führung sollte V schon etwas gröÿer sein, z.B. V > 1; 5 .
Für einen Faserparameter 1; 5 < V < 2; 5 wird Gl. (45) näherungsweise gelöst durch:
v = 1; 1428 V
0; 996
(46)
Im Einwelligkeitsbereich darf die LP11 -Welle (vergl. Abb. 6) nicht ausbreitungsfähig sein. Die charakteristische Gleichung der LP11 -Welle folgt aus Gl. (43) mit l = 1 zu:
u J0 (u ) v K0 (v )
+
=0
J1 (u )
K1 (v )
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(47)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/8
Abbildung 5: Feldverteilungen einiger LP-Moden. Von oben: LP01 , LP11 , LP25 und LP73 (aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/9
Abbildung 6: Normierte Phasenkonstante B von LPlp -Wellen in schwach führenden Stufenfasern (aus:
Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
Die Grenze der Ausbreitungsfähigkeit der LP11 -Welle ist erreicht, wenn für den Mantelparameter gilt:
v = 0 Mit dieser Bedingung kann aus Gl. (47) der Kernparameter uc bestimmt werden.
uc J0 (uc )
=0
J1 (uc )
)
J0 (uc ) = 0
(48)
Der Kernparameter uc entspricht also der ersten Nullstelle der Besselfunktion J0 (x ). Daraus ergibt
p
sich ein Kernparameter von uc (LP11 ) = 2; 405 . Mit V = u 2 + v 2 folgt daraus Vc = 2; 405 . Das
bedeutet, dass für einen Faserparameter V < 2; 405 eine einmodige Faser vorliegt ( allerdings ist die
dann verbleibende LP01 -Welle noch in 2 Polarisationen ( E x und E y ) ausbreitungsfähig). Normalerweise wird ein Faserparameter V > 1; 5 gewählt, da die Welle sonst zu schwach auf den Faserkern
konzentriert ist.
Als Beispiel sei eine Faser folgendermaÿen dimensioniert:
Faserdurchmesser:
Relative Brechzahldierenz:
Numerische Apertur:
2a = 8 µm
n
n2
= 3 10
= 1
n1
AN = 0; 116
V = 2; 9
Faserparameter:
3
µm
Mit dieser Faser wäre ein einwelliger Betrieb also für Wellenlängen 1; 2 µm < < 1; 9 µm möglich.
(r ) des Grundmodes wird häug durch eine Gauÿverteilung angenähert:
!
(r ) = A0 exp
r2
:
w2
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(49)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
w entspricht hierbei dem Fleckradius.
Bei einer Stufenfaser mit V > 1; 2 ist
w
a
STU/10
2;879
0; 65 + 1V;619
3=2 + V 6 . Mit steigendem V
nimmt also der
Fleckradius ab. Dies entspricht einer zunehmenden Konzentration des Feldes auf den Faserkern.
2 Chromatische Dispersion
Auch bei einer einwelligen Faser ist zu berücksichtigen, dass die Gruppenlaufzeit der LP01 -Welle wellenlängenabhängig ist (chromatische Dispersion), was die Übertragungseigenschaften beeinusst. Die
Gruppenlaufzeit der Grundwelle pro Länge ist:
=
d
d!
(50)
Die Ausbreitungskonstante kann mit Gl. (32) ausgedrückt werden als
= k0 (B (n1 n2 ) + n2 )
d(k0 (B (n1 n2 ) + n2 ))
=
d!
)
(51)
(52)
Zur Vereinfachung wird die Annahme getroen, dass die Abhängigkeit der Brechzahlen n1 und n2 von
! gleich ist:
dn1
dn
= 2
d!
d!
d(n1 n2 )
=0
d! )
dAN
=
d!
)
d
q
n12
(53)
n22
d!
(54)
0
(55)
Dadurch vereinfacht sich die Gleichung der Laufzeit Gl. (52) zu:
= (n1
n2 )
d(k0 B ) d(k0 n2 ) n1 n2 d(V B ) 1
+
=
dV + c N2
d!
d!
c
(56)
Die chromatische Dispersion ist die Ableitung der Laufzeit nach der Wellenlänge:
d
n
n2 V d2 (V B )
= 1
d | c {z dV 2 }
^
d2 n2
2
| c {zd }
^
DW =Wellenleiterdispersion DM =Materialdispersion
Die chromatische Dispersion besteht damit im wesentlichen aus zwei Anteilen (Abb. 7)
1. der Wellenleiterdispersion DW und
2. der Materialdispersion DM .
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(57)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/11
Abbildung 7: Wellenleiterdispersion DW und Materialdispersion DM einer Standard-Einmodenfaser
(aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
Während die Materialdispersion bereits im Kapitel GRU ausführlich behandelt wurde, ergibt sich die
Wellenleiterdispersion im wesentlichen aus der Krümmung der B (V )-Charakteristik. Zur Veranschaulichung sind in Abb. 8 die normierte Phasenkonstante B , der Term d(V B )=dV , sowie der Term
V d2 (V B )=dV 2 als Funktion von V für die LP01 -Welle einer Stufenfaser dargestellt.
Für einwellige Fasern mit Faserparameter V < 2; 4 ist V d2 (V B )=dV 2 positiv und damit die Wellenleiterdispersion negativ. Bei Wellenlängen von > 1; 3 µm wird die Materialdispersion DM positiv.
Dies kann dafür genutzt werden, die Faser so zu dimensionieren, dass die Nullstelle der Gesamtdispersion zu Wellenlängen > 1; 3 µm verschoben wird. Insbesondere kann die Nullstelle der gesamten
chromatischen Dispersion zu 1; 55 µm verschoben werden, wo die minimale Dämpfung erzielt
wird.
Beispiele:
1. Standard-Einmodenfaser
Eine Standard-Einmodenfaser hat beispielsweise die folgenden Dimensionierungen: a = 4 µm ,
= n1n1n2 = 3 10 3 , bzw. n1 n2 = 4; 5 10 3 . Damit ergibt sich bei einer Wellenlänge
= 1; 55 µm ein V = 1; 88 und damit gemäÿ Abb. 8 ein V d2 (V B )=dV 2 = 0; 58 , woraus sich
aus Gl. (57) eine Wellenleiterdispersion DW = 5; 6 kmpsnm ergibt, was nur zu einer teilweisen
Kompensation der Materialdispersion führt. Zur Illustration zeigt Abb. 7 für eine solche Faser
die einzelnen Anteile der chromatischen Dispersion.
2. Dispersionsverschobene Einmodenfaser
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/12
Abbildung 8: Dispersionsgröÿen der LP01 -Grundwelle bei schwach führenden Stufenfasern (aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
Durch Variation der Faserparameter lassen sich auch höhere Wellenleiterdispersionswerte erzielen, um z.B. die Materialdispersion DM = 20 kmpsnm bei = 1; 55 µm vollständig zu kompensieren oder sogar zu überkompensieren (z.B. für eine sogenannte dispersionskompensierende Faser).
Gemäÿ Gl. (57) lassen sich höhere Werte der Wellenleiterdispersion für gröÿere Brechzahlunterschiede sowie kleinere V -Werte erreichen. So erhält man beispielsweise für eine Faserdimensionierung mit a = 2; 4 µm , = n1n1n2 = 5 10 3 , bzw. n1 n2 = 7; 5 10 3 bei = 1; 55 µm ein
V = 1; 46 und V d2 (V B )=dV 2 = 1; 13 , so dass sich dann eine betragsmäÿig deutlich gröÿere
Wellenleiterdispersion von DW = 18; 2 kmpsnm ergibt, mit der sich die Materialdispersion bei
= 1; 55 µm im wesentlichen kompensieren lässt. Um bei den erforderlichen kleinen V -Werten
noch eine verbesserte Wellenführung zu erreichen, wird dabei häug der eigentlich lichtführende
Faserkern noch von einem Brechzahl-Ring umgeben, wie schematisch in Abb. 9 dargestellt ist.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
STU/13
n
a
r
Abbildung 9: Schematische Darstellung des Brechzahlprols für eine dispersionsverschobene Faser
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/1
Gradientenfasern (GRA)
In diesem Kapitel wird die Wellenausbreitung in Gradientenfasern behandelt. Insbesondere wird auf die
Anzahl der ausbreitungsfähigen Wellen und die optimale Form des Brechzahlprols eingegangen.
Die einwellige Stufenfaser hat zwar eine hohe Bandbreite (im wesentlichen nur begrenzt durch die
Wellenleiter- und Materialdispersion),weist aber aufgrund des im allgemeinen kleinen Faserparameters
V entweder einen geringen Kerndurchmesser oder eine geringe Numerische Apertur auf. Dies führt
zu Problemen beim Verkoppeln derartiger Fasern. Bei vielwelligen Stufenfasern (hohes V ) haben die
Eigenwellen jedoch im allgemeinen unterschiedliche Laufzeiten, woraus eine Impulsverbreiterung
t
2 Nc1Ln2 A2N
(1)
1
folgt. N1 bezeichnet dabei den Gruppenindex im Faserkern und L die Faserlänge. Dies begrenzt die
Übertragungsrate auf ca. 20 bis 100 Mbit/s bezogen auf 1 km Faserlänge.
Aus diesen Gründen sucht man nach einem Brechzahlprol, bei dem alle Eigenwellen nahezu die gleiche
Laufzeit haben. Man gelangt so zur sogenannten Gradientenfaser.
n
q
1
1
1
n
2
n
q
n
2
1
n (r)
n (r)
n
1
n
n
G r a d ie n te n fa s e r
2
2
S tu fe n fa s e r
Abbildung 1: Motivation für die Gradientenfaser mit strahlenoptischer Darstellung
Für Wellen mit gröÿerem 1 wird der vom Strahl zurückzulegende Weg gröÿer. Damit wird in der
Stufenfaser auch die Laufzeit gröÿer. In der Gradientenfaser gelangen die Strahlen mit höherem 1
jedoch in Bereiche mit kleinerer Brechzahl und werden damit schneller. Durch geeignete Wahl eines
Brechzahlprols n(r ) können sich diese beiden Eekte gerade aufheben.
1 Feldberechnung
Für linear polarisierte Wellen ist auch in Gradientenfasern die skalare Wellengleichung
4E x;y + k02n2(r )E x;y = 0
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(2)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/2
gültig. Es soll zunächst eine in x -Richtung linear polarisierte Welle der Form
E x = (r; ') exp( jz )
(3)
angenommen werden, so dass sich damit als skalare Wellengleichung für
4t
und damit
+ k02 n2 (r )
!
@
1@
r
r @r
@r
2
=0
1 @2
+
k02 n2 (r )
r 2 @'2
+
(r; ') ergibt:
(4)
2
=0
(5)
Die Brechzahl n(r ) ist jetzt im Gegensatz zur Stufenfaser von der radialen Koordinate r abhängig.
Für eine LPlp -Welle mit Umfangsordnung l gilt für (r; '):


(r; ') =

cos(l ')
r (r ) 
(6)
sin(l ') 
Setzt man diesen Ansatz in die Wellengleichung (5) ein, so erhält man für die radiale Feldvariable
r (r ):
!
!
1d
d r (r )
l2
2
2
2
(7)
r
+ k0 n (r ) r (r ) = 0:
r dr
dr
r2
{z
|
Dabei lässt sich
}
kr2
s
k02 n2 (r )
kr =
l2
r2
2
(8)
als Wellenzahl in radialer Richtung interpretieren (Abb. 2). Die Nullstellen von kr2 sind r1 und r2 , die
auch innerer und äuÿerer Umkehrradius genannt werden.
(k
k
0
n
2
2
1
-b
2
0
n (r)-b ), l /r
2
2
2
2
2
k
l /r
2
0
n (r)-b
2
2
2
2
k
k
0
2
n
2
2
-b
2
r
1
r
r
2
r
2
Abbildung 2: Anschauliche Darstellung der Wellenzahl in radialer Richtung kr und der Umkehrradien
r1 und r2
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
kr
-ist reell für r1 < r < r2
kr
-ist imaginär für r < r1
GRA/3
)
)
oder r > r2
oszilliert
klingt exponentiell ab
Das Feld konzentriert sich also auf den Bereich zwischen r1 und r2 .
Um in der Dierentialgleichung (7) die Singularitäten für r = 0 zu vermeiden, substituiert man
r = a exp(w ) Für die Wellengleichung gilt dann
d2 r
+ Q2w
dw 2
=0
r
(9)
mit Q2w = r 2 kr2 .
Es ist Q2w = 0 für w1 und w2 . Also ist r1 = a exp(w1 ) und r2 = a exp(w2 ) ,
Solange jQw j genügend groÿ ist und sich nur schwach in Abhängigkeit von w (bzw. r ) ändert, wird
Gl. (9) näherungsweise gelöst durch die WKB-Lösung (Wentzel, Kramers, Brillouin):
r
pAQ exp
w
j
Z
Qw dw
(10)
Solange Qw =
6 0 gilt, werden drei Fälle unterschieden:
1. w < w1
)
Q2w ; kr2 < 0

pjAQ j exp 

w
r
2. w1 < w < w2
)
r
)
w

jQw j dw 

(11)
Q2w ; kr2 > 0

3. w > w2
Zw1
pBQ
w
cos 

Zw

Qw dw + 

(12)
w1
Q2w ; kr2 < 0

r
pjCQ j exp 

w
Zw
w2

jQw j dw 
,
(13)
wobei A, B und C in Gl. (11), Gl. (12) und Gl. (13) Konstanten bezeichnen.
Damit Gl. (11) und Gl. (12), bzw. Gl. (12) und Gl. (13) für w w1 , bzw. w w2 stetig dierenzierbar ineinander übergehen, folgt anschaulich aus Abb. 3, dass für w ! w1 das Argument des Cosinus
in Gl. (12) den Wert 4 und für w ! w2 den Wert m + 4 (m - ganzzahlig) annehmen muss.
Diese anschaulichen Überlegungen werden durch genauere Rechnungen bestätigt, wobei auÿerdem gilt
A = C = B2 (siehe Flügge, Rechenmethoden der Quantentheorie, Springer, Berlin-Heidelberg 1965,
S.159)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/4
Abbildung 3: WKB-Lösung bei Problem mit (a) einem Umkehrpunkt, (b) mit zwei Umkehrpunkten
(Bild aus: Timmermann, Lichtwellenleiter)
Daraus folgt
=
Zw2
4
und
w1
1
2
1
= p
Qw dw = m +
2
mit der radialen Ordnungszahl p = 1; 2; 3::: der LPlp -Welle. Mit den Beziehungen dr = r
entspricht Gl. (14)
Zr2
kr dr = p
r1
(14)
dw
1
2
(15)
Die Gleichungen (14) und (15) gelten wegen der Näherung in Gl. (10) nur für p 1 .
Für eine bestimmte LPlp -Welle kann mit Gl. (15) die Ausbreitungskonstante bestimmt werden. Sind
l und p vorgegeben, muss so gewählt werden, dass die Gl. (15) erfüllt ist (im allgemeinen allerdings
nur numerisch durchführbar).
r
r
L P
0 1
L P
2 1
L P
2
1
3 2
Abbildung 4: Felddarstellung von LPlp -Wellen
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/5
r
r
r
r
2
2
1
1
a )
b )
Abbildung 5: (a) Wendelförmiger Strahlweg in einer Gradientenfaser mit parabolischem Brechzahlprol, (b) Querschnittsprojektion eines Strahlwegs (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik
I)
2 Anzahl der ausbreitungsfähigen Wellen
Für jede Ordnungszahlenkombination (l ,p ) gibt es:
2 Wellen für l = 0 (2 Polarisationen)
4 Wellen für l 6= 0 (2 Polarisationen und 2 Orientierungen, sin(l ') und cos(l '))
Es sei ein Brechzahlprol n(r ) vorgegeben, das für ansteigendes r ( r < a ) monoton abfällt und für r a konstant n(r ) = n2 ist. Um die Frage nach der Anzahl der ausbreitungsfähigen Wellen und damit
der Anzahl der Ordnungszahlkombinationen (l , p ) zu beantworten, wird auf Gl. (15) zurückgegrien.
Gl. (8) und Gl. (15) ergeben
1
=
m+
2
Zr2
r1
s
k02 n2 (r )
2
l2
dr
r2
(16)
mit der radialen Ordnungszahl m = (p 1) ( m = 0; 1; 2; ::: ).
Betrachtet man Wellenleiter mit sehr vielen Wellen, kann man (16) nähern zu:
m Zr2
r1
s
k02 n2 (r )
l2
dr
r2
2
(17)
Die maximale radiale Ordnungszahl m = mmax wird bei vorgegebenem l für = k0 n2 erreicht.
Daraus folgt:
r2 s
mmax Z
r1
k02 n2 (r )
n22
l2
dr
r2
(18)
In dieser Gleichung sind r1 und r2 die Umkehrradien für = k0 n2 . Die Gesamtanzahl der Wellen M
ist dann gegeben durch:
M
4
lX
max
l =0
mmax (l ) 4 lmax
Z
mmax (l )dl
0
(19)
Der Faktor 4 folgt aus den vier möglichen Wellen für eine bestimmte Ordnungszahlkombination (l; p ),
wenn l 6= 0 .
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/6
Setzt man mmax aus Gl. (18) ein, so ergibt sich:
M
lmax Zr2
Z
4
s
k02 n2 (r )
0 r1
n22
l2
dr dl
r2
(20)
r
a
r
2
r
0
0
1
lm
lm ( r )
l
a x
Abbildung 6: Darstellung der Integrationsgrenzen in der r , l -Ebene
In Gl. (20) wird erst über r und dann über l integriert (Integrationsgrenzen in Abb. 6). Zur Vereinfachung wird die Integrationsreihenfolge vertauscht:
M
4
s
Za lm
Z (r )
0
k02 n2 (r )
0
n22
l2
dl dr
r2
(21)
Die Umfangsordnung lm (r ) ist dadurch gegeben, dass für l = lm (r ) die radiale Wellenzahl
kr2 = k02 (n2 (r ) n22 ) l 2 =r 2 = 0 wird.
q
)
lm (r ) = r k0 n2 (r )
M=
k02
n22
(22)
Nach der Integration über l folgt:
Za n 2 (r )
0
n22 r dr
(23)
Die Anzahl der ausbreitungsfähigen Wellen ist also proportional dem Rotationsvolumen, das durch das
Brechzahlprol gebildet wird.
1. Beispiel: parabolisches Brechzahlprol
n2 (r ) =




 n12



 n12
1
(1
r2
2 2
a
2) =
!
n22
für r
a
für r > a
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(24)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/7
n2 n2
Dabei ist die relative Brechzahldierenz: = 12n2 2
1
Hier ergibt sich eine Wellenanzahl von:
M=
mit V = a k0 q
n12
p
n1n1n2
V2
4
(25)
n22 = a k0 n1 2
2. Beispiel: Stufenprol
n2 (r ) =

 n2
1
 n2
2
Hier ergibt sich eine Wellenanzahl von
M=
für r
a
für r > a
V2
2
(26)
(27)
Für eine typische vielwellige Faser mit 2a = 50m , n1 = 1; 45 , = 0; 01 , AN = 0; 205 und
= 1; 3m sind für ein parabolisches Prol ungefähr 152 Wellen und für ein Stufenprol ungefähr
306 Wellen ausbreitungsfähig.
Die genaue Auswertung in Abschnitt STU, Abb. 6, liefert beispielsweise für V = 6 bzw. V = 8 20
bzw. 34 ausbreitungsfähige Wellen, während die Näherung Gl. (27) zu 18 bzw. 32 ausbreitungsfähigen
Wellen führt, was im Rahmen der verwendeten Näherungen eine gute Übereinstimmung bedeutet.
3 Laufzeitunterschiede zwischen den Eigenwellen
3.1 Proldispersion
Das Ziel der folgenden Berechnungen ist die Bestimmung eines Brechzahlprols, bei dem alle Wellen
nahezu die gleiche Laufzeit haben. Gemäÿ der strahlenoptischen Vorstellung wird der Weg des zu
einer Welle gehörenden Strahls durch das Brechzahlprol n(r ) und die Laufzeit der Welle entlang des
Strahlweges durch den Gruppenindex N (r ) beschrieben. Die Laufzeit hängt also oenbar sowohl vom
Brechzahlprol n(r ) als auch vom Gruppenindex N (r ) ab.
Im folgenden wird ein linearer Zusammenhang zwischen n(r ) und N (r ) vorausgesetzt (Abb. 7).
Dieser Zusammenhang lässt sich beispielsweise schreiben als:
N (r ) =
N1 (1
n1
P ) n(r ) + n1 P
(28)
Der Parameter P wird als Proldispersionsparameter bezeichnet. Im Fall der Gültigkeit von (28) spricht
man von linearer Proldispersion. P hängt dann nur von der Wellenlänge und nicht vom Radius r
ab.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/8
N
N
1
D N
N
1
D n
~~
N
2
×P
n
~~
n
2
1
n
Abbildung 7: Gruppenindex N (r ) in Abhängigkeit der Brechzahl n(r )
Um den Begri der Proldispersion genauer zu erklären, soll der Zusammenhang zwischen n und N
in Abb. 7 genauer untersucht werden. Die Brechzahldierenz n lässt sich schreiben als
n =
n1
n1
n2
n1 = n1
mit =
n1
n1
n2
;
(29)
wobei die relative Brechzahldierenz zwischen Faserkern und Fasermantel bezeichnet. Für die Differenz im Gruppenindex N gilt analog zum Zusammenhang N = n ddn :
N = n
und damit
d (n)
d
(30)
d ( n1 )
d
d
dn
1 n1
d
d
d
n1
d
N = n1
= n1
= N1
(31)
(32)
(33)
Andererseits folgt aus Gl. (28)
N =
N1
(1
n1
P ) n = N1 (1
P)
(34)
womit sich nach Vergleich mit Gl. (31) die Proldispersion P ergibt zu:
P=
n1 d
N1 d
(35)
Damit kann die Proldispersion durch Messung der wellenlängenabhängigen numerischen Apertur (und
damit ()) bestimmt werden.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/9
3.2 Bestimmung der Gruppenlaufzeiten der einzelnen Eigenwellen
Die Gruppenlaufzeit einer bestimmten Eigenwelle (l; p ) pro Faserlänge = d= d! ergibt sich aus
Gl. (15), wenn Gl. (15) zunächst nach ! abgeleitet wird.


Zr2
d 

 kr dr 
d!
Zr2
=0=
r1
r1
"
d ! n(r )
1
k0 n(r )
kr
c d!
#
dr
(36)
Bei der Ableitung in Gl. (36) von kr nach ! wurde Gl. (8) verwendet, wobei auch von k0 = !=c
Gebrauch gemacht wurde. Gl. (36) lässt sich nach der gesuchten Laufzeit auösen:
Rr2 1
n (r )
k r
= 0 1
c
kr
N (r ) dr
(37)
Rr2 1
kr dr
r1
mit dem Gruppenindex N (r ) = d ! n(r ) = d! gemäÿ Kapitel GRU Gl. 25.
Für jede beliebige Eigenwelle (l; p ) lässt sich so zunächst mit Gl. (8) und Gl. (15) die Phasenkonstante
und schlieÿlich mit Gl. (37) die Gruppenlaufzeit bestimmen.
Das Brechzahlprol n(r ) (und damit N (r ) gemäÿ Gl. (28)) soll nun so optimiert werden, dass alle
Eigenwellen möglichst die selbe Gruppenlaufzeit aufweisen. In dieser allgemeinen Form ist das ein
aufwändiger numerischer Optimierungsprozess.
Wir wollen uns hier auf die Prolklasse der sogenannten Potenzprole ("power-law-proles") beschränken (siehe Abb. 8), bei denen das Brechzahlprol beschrieben wird durch
n 2 (r )
=




 n12 1



 n12 (1
2
g !
r
a
für r
n22
für r > a
2) =
a
(38)
mit dem Prolexponenten g . Beispielsweise wird mit g = 2 das parabolische Brechzahlprol und mit
g = 1 das Stufenprol beschrieben.
Für die Brechzahlprole gemäÿ Gl. (38) gilt (ohne Beweis), dass die Laufzeit in Gl. (37) explizit
nur von , aber nicht von der (im Prinzip in kr enthaltenen) Umfangsordnung l abhängt. Unter dieser
Voraussetzung lässt sich in Analogie zu Gl. (20) und Gl. (21) sowohl der Zähler als auch der Nenner
von Gl. (37) ohne Verfälschung des Ergebnisses für über l integrieren. Nach Vertauschung der
Integrationsreihenfolge (wie in Gl. (21)) lässt sich die Integration über l analytisch durchführen und
es ergibt sich schlieÿlich:
d 1 k0
= =
d! c r02
2
=
1
1
c n(r0 ) r02
2
Zr0
Zr0
n(r )N (r )r dr
0
n(r )N (r )r dr =
^
0
< n(r )N (r ) >
c n(r0 )
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(39)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/10
n (r)
2
n
2
1
g = 1
n
2
4
2
¥
8
2
r
a
Abbildung 8: Potenzprol für verschiedene Prolexponenten g
wobei r0 durch = n(r0 )=k0 (vergl. Abb. 9) gegeben ist. Die Notation < ::: > bedeutet dabei die
Mittelung über den Faserquerschnitt mit r < r0 .
n (r)
n
1
b /k
n
0
2
r
0
a
r
Abbildung 9: Parabolisches Brechzahlprol n(r ) und der Radius r0
Um die Laufzeitunterschiede zwischen den Eigenwellen möglichst gering zu halten, muss durch eine
Proloptimierung ein Brechzahlprol n(r ) bestimmt werden, bei dem das Verhältnis zwischen Zähler
und Nenner in Gl. (39) möglichst unabhängig von r0 bzw. wird.
Für ein Potenzprol wie in Gl. (38) und lineare Proldispersion (siehe (28)) gilt
N n(r )N (r ) = 1 (1
n1
P ) n2 (r ) + n(r ) n1 P

n1N1 1
2 1
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P
2
! 
r g
a
(40)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
Mit der Näherung n(r0 ) n1 1
g r
0
a
GRA/11
folgt aus Gl. (39)
1
P
g r0
2
1 n1 N1 1 4 g +2 a
g c
n1 1 ra0
(41)
3.3 Optimierung des Brechzahlprols
Die Laufzeit wird in der Näherung Gl. (41) unabhängig von r0 und damit von für den optimalen
Prolexponenten g = gopt , mit
gopt = 2 2P
(42)
Ohne die obigen Näherungen für n(r ) ergibt sich ein genauerer Ausdruck für den optimalen Prolexponenten:
gopt = 2
2P
(4
2P ) (3
5 4P
2P )
(43)
der sich nur unwesentlich von Gl. (42) unterscheidet. Da der Proldispersionsparameter P von der
Materialzusammensetzung und der Wellenlänge abhängig ist, ist auch der optimale Prolexponent
gopt von diesen Gröÿen abhängig (siehe Abb. 10). Aus technologischen Gründen wird für die Brechzahlvariation n(r ) überwiegend eine GeO2 -Dotierung verwendet, so dass sich erhebliche Unterschiede
für die einzustellenden Prolexponenten ergeben, je nachdem ob die Faser z.B. bei = 0; 8m oder
bei = 1; 55m eingesetzt werden soll.
Abbildung 10: Optimaler Prolexponent gopt für Germanium und Phosphor dotiertes Quarzglas in
Abhängigkeit der Wellenlänge TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/12
Durch die unterschiedlichen Laufzeiten der einzelnen Wellen tritt eine Pulsverbreiterung auf, die die
Bandbreite begrenzt. Für die Bandbreite gilt
B
(max
1
(44)
min )L
Dabei sind max und min die maximale und die minimale Laufzeit nach Gl. (41). Für g = gopt ergibt
sich mit Abb. 11 eine maximale Bandbreite von ca. 10 GHz km. Falls der Prolexponent g vom
optimalen Exponenten gopt abweicht, ergibt sich entsprechend Abb. 11 eine geringere Bandbreite. In
der Praxis sind bei der Lichtwellenleiterherstellung Abweichungen jg gopt j < 0; 1 noch beherrschbar,
so dass damit Bandbreiten von bis zu 1 GHz km noch realisierbar sind.
Abbildung 11: 6 dB-Bandbreite des übertragenen elektrischen Signals einer vielwelligen Gradientenfaser mit Numerischer Apertur AN = 0; 24
In obiger Betrachtung ist die Bandbreite umgekehrt proportional zur Faserlänge. Tatsächlich nimmt
aber die Bandbreite mit zunehmender Faserlänge schwächer ab, etwa in der Form
B = B0
L0
L
!
mit = 0; 5:::0; 8
(45)
L0 ist die Faserlänge, auf die die Bandbreite B0 bezogen ist. Dies kann folgende Gründe haben:
1. Das Brechzahlprol unterliegt Schwankungen, so dass sich Faserstücke mit g
g gopt < 0 abwechseln.
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gopt > 0 und
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRA/13
2. Zwischen den Wellen nden aufgrund von Mikrokrümmungen des Faserkabels Verkopplungen
statt, so dass schnelle und langsame Wellen ihre Energie gegenseitig austauschen.
Eine typische Dimensionierung für eine vielwellige Gradientenfaser wäre beispielsweise ein Kerndurchmesser 2a = 50m , ein Auÿendurchmesser D = 125m , eine Numerische Apertur AN = 0; 2 und
eine Bandbreite für 1 km Faserlänge von ca. 1 GHz.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
TECH/1
Herstellung von Lichtwellenleitern (TECH)
Dieses Kapitel behandelt drei verschiedenen Verfahren zur Herstellung von Vorformen für Glasfasern:
das OVD-Verfahren (outside vapour deposition), das VAD-Verfahren (vapour axial deposition) und
das MCVD-Verfahren (modied chemical vapour deposition). Auÿerdem wird auf die Verkabelung von
Fasern eingegangen.
1 Vorformherstellung
Dämpfungsarme Lichtwellenleiter werden am häugsten auf Quarzglas-Basis (SiO2 ) realisiert. Die
Brechzahl wird über eine geeignete Dotierung eingestellt (siehe Abb. 1).
Abbildung 1: Brechzahl dotierter Quarzgläser bei = 0; 6 µm. (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
Die am häugsten zur Brechzahlerhöhung verwendeten Dotierungen sind Germaniumdioxid (GeO2 )
und P2 O5 .
Die am häugsten zur Brechzahlsenkung verwendete Dotierung ist Fluor (F).
Für dämpfungsarme Lichtwellenleiter ist ein hochreiner Herstellungsprozess notwendig, insbesondere
für den Faserkern. Daher werden Glasfasern mit Hilfe chemischer Abscheidung aus der Dampfphase
(CVD chemical vapour deposition) hergestellt. Ausgangspunkt sind dabei Halogenide, dabei insbesondere Chloride, beispielsweise SiCl4 , woraus durch Oxidation das Quarzglas (SiO2 ) gewonnen wird.
SiCl4 + O2
! SiO2 + 2Cl2
(1)
Die Reaktion kann in beiden Richtungen verlaufen, wobei die komplette Umsetzung zu SiO2 für Temperaturen T > 1800 K erfolgt. Für den Dotiersto GeO2 ist die Reaktion ähnlich:
GeCl4 + O2
! GeO2 + 2Cl2
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(2)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
TECH/2
Die maximale Umsetzung zu GeO2 erfolgt bei T 1800 K . Der Umsetzungswirkungsgrad ist jedoch
relativ gering und liegt in der Gröÿenordnung von maximal 25 %.
1. OVD-Verfahren (outside vapour deposition; Abb. 2)
Abbildung 2: OVD-Verfahren für Faservorformen (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
SiCl4 und GeCl4 liegen bei Raumtemperatur als Flüssigkeiten vor. Sauersto perlt durch diese
Flüssigkeiten und nimmt als Trägergas Dämpfe dieser Verbindungen auf. Als Brenner wird normalerweise ein H2 O2 -(Knallgas)-Brenner verwendet. Das Glas wird schichtweise abgeschieden.
Die Steuerung des relativen Anteils von SiO2 und GeO2 und damit des Brechzahlprols erfolgt
durch Steuerung des Trägergases (O2 ), das durch die Behälter mit SiCl4 und GeCl4 strömt. Es
entsteht eine poröse Abscheidung (Glasruÿ). Die poröse Glasvorform lässt sich jedoch reinigen.
Durch Spülen mit Chlorgas (Dehydrierung) kann z.B. der OH-Gehalt reduziert werden.
H2 O + Cl2
!2
HCl
|{z}
Salzsäure
1
+ O2
2
(3)
Die Reaktion ndet bei Temperaturen oberhalb von 1200 C statt. Gleichzeitig ergibt sich dann
eine Verglasung der porösen Vorform. Derartige Vorformen wurden mit einer Masse von bis zu
beispielsweise 1800 g (11 cm Durchmesser und 80 cm Länge) hergestellt, was eine Faserlänge
von bis zu ca. 50 km erlaubt.
2. VAD-Verfahren (vapour axial deposition)
Beim VAD-Verfahren erfolgt die Abscheidung im Gegensatz zum OVD-Verfahren nicht radial,
sondern axial (Abb. 3).
Wie beim OVD-Verfahren werden auch hier H2 O2 -Brenner eingesetzt. Die Vorform dreht sich
und die beiden Brenner passieren unterschiedliche Anteile von SiCl4 und GeCl4 , so dass durch
eine geeignete Anordnung der Brenner das Brechzahlprol bestimmt wird. Die Dehydrierung
und Verglasung erfolgt beim VAD-Verfahren ähnlich wie beim OVD-Verfahren, jedoch in einem
Arbeitsgang.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
TECH/3
Abbildung 3: VAD-Verfahren zur Herstellung von Faservorformen (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
Da es sich um einen geschlossenen Prozess handelt, ist ein sehr geringer OH-Gehalt bis unterhalb 1 ppb (parts per billion =
^ 1 Teil OH auf 109 Teile SiO2 ) erzielbar. Dies entspricht
einer Dämpfungserhöhung bei = 1; 39 µm aufgrund der OH-Verunreinigungen von weniger als
0; 04dB=km.
3. MCVD-Verfahren (modied chemical vapour deposition)
Ausgangspunkt ist ein Quarzrohr (es bildet später den Fasermantel), in das die Reaktionsgase
eingeleitet werden (Abb. 4).
Abbildung 4: MCVD-Verfahren zur Herstellung von Faservorformen (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
Die Bildung von SiO2 und die Verglasung erfolgt hier in einem Schritt. Es werden ca. 30 bis 100
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
TECH/4
Schichten aufgewachsen. Eine Änderung der Brechzahl ist von Schicht zu Schicht durch eine
Änderung der Gasüsse möglich. Da die Reaktion nur innerhalb des Quarzrohres stattndet,
besteht nur eine geringe Gefahr von Verunreinigungen. Ein Nachteil des MCVD-Verfahrens besteht darin, dass keine Dehydrierung möglich ist, da keine poröse Vorform entsteht. Man erhält
zunächst ein Quarzrohr mit abgeschiedenen dotierten Schichten (siehe Abb. 5a). Die Vorform
ergibt sich nach Kollabieren des Vorformrohres. Bei Temperaturen von 2000 C zieht sich das
Rohr durch Oberächenspannung zu einem Stab zusammen (siehe Abb. 5b). Der OH-Gehalt
liegt bei MCVD-Fasern typischerweise in der Gröÿenordnung von weniger als 1 ppm.
Abbildung 5: (a) Quarzrohr mit abgeschiedenen Schichten, (b) kollabiertes Vorformrohr, (c) Herstellung der Faser durch Ziehen aus der Vorform
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
TECH/5
2 Faserherstellung
Abb. 5 zeigt eine schematische Darstellung eines Ziehofens. Der Ziehofen ist Teil der Faserziehmaschine (Abb. 6).
Abbildung 6: Schematische Darstellung einer Faserziehmaschine (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
Die Ziehgeschwindigkeit beträgt typischerweise mehr als 10 m/s . Beim Ziehprozess werden die Fasern
zum Schutz mit einer Kunststoumhüllung (Dicke in der Gröÿenordnung von ca. 50 µm) versehen.
Es gibt auch die Möglichkeit, einen Quarzfaden mit einem verlustarmen Kunststo geringerer Brechzahl (z.B. Silikonharz) zu beschichten. Dabei entspricht der Quarzfaden dem Faserkern und die Kunststobeschichtung dem Fasermantel. Solche Fasern werden auch PCS-Fasern (plastic-clad-silica) genannt. Die Dämpfungscharakteristik einer solchen Faser ist in Abb. 7 dargestellt. Solche Fasern sind
Vielmoden-Stufenfasern und können für kurze Übertragungsstrecken (z.B. in Fahrzeugen) eingesetzt
werden.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
TECH/6
Abbildung 7: Dämpfungscharakteristik einer Faser mit Quarzglaskern und Silikonharz-Mantel (Bild aus:
Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
3 Festigkeit von Fasern
Der fertige Lichtwellenleiter besteht aus der eigentlichen Quarzglas-Faser sowie der während des Ziehprozesses (siehe Abb. 6) aufgebrachten Kunststoumhüllung. Die erzielbare Festigkeit ist dabei ausschlieÿlich durch die Festigkeit des Quarzglases gegeben. Tatsächlich kann Quarzglas sehr stark belastet werden (Bruchdehnung ca. 5 %), solange die Oberäche nicht durch Kratzer oder ähnliches
gestört ist. Die Kunststoumhüllung hat deshalb ausschlieÿlich die Aufgabe, die Quarzglas-Oberäche
der Faser vor Kratzern oder sonstigen Beschädigungen zu schützen. Es ergibt sich dann eine sehr
hohe Festigkeit, wobei die Festigkeit von Fasern als Prozentsatz der bei einer gegebenen Zugspannung gebrochenen Fasern angegeben werden kann. Dieser Zusammenhang wird im sogenannten
Weibull-Diagramm aufgetragen. Ein Beispiel für Fasern hoher Festigkeit ist in Abb. 8 dargestellt.
Aus Abb. 8 ergibt sich eine Festigkeit von ungefähr 4 GPa = 4 109 N/m2 , d.h. für eine Faser mit
einem Durchmesser von 125 µm eine Festigkeit von ca. 50 N.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
TECH/7
Abbildung 8: Weibull-Diagramm: Fehlerraten in Abhängigkeit von der Zugspannung für 20 m und 1
km Probenlänge einer hochfesten Faser (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
4 Verkabelung von Fasern
Die Verkabelung sollte so realisiert werden, dass möglichst keine mechanische Beanspruchung der Faser
und keine Mikrokrümmungen auftreten. Ein häug angewandtes Verfahren ist die Hohlader-Technik.
Bis zu ca. 20 Fasern werden in eine Hohlader lose eingelegt. Im allgemeinen wird die Hohlader dann noch
mit einer gel-artigen Füllmasse gefüllt. Kabel lassen sich aus Vielfachen dieser Hohlader aufbauen. Die
Abbildungen 9, 10 und 11 zeigen Beispiele dafür, wobei die Verkabelungskräfte durch ein Stützelement
(häug aus Stahl oder hochwertigen Kunststoen, z.B. Kevlar) aufgenommen werden (siehe auch:
R. Engel, "Lichtwellenleiterkabel", in E. Voges, K. Petermann, "Optische Kommunikationstechnik",
Springer, 2002).
Abbildung 9: Beispiel für ein Faserkabel mit einer Hohlader, hier bezeichnet als Bündelader (Bild aus:
Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
TECH/8
Abbildung 10: Beispiel für 70-faseriges Kabel (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
Abbildung 11: Beispiel für 2000-faseriges Kabel (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik I)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/1
Koppelprobleme (KOP)
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Fragestellungen bezüglich der Verkopplung von Wellenleitern sowie
Stecker oder Spleiÿe.
1 Grundlagen: Abbildung mit Linsen
Zunächst werden die Linsenabbildungen mit geometrischer Optik beschrieben. Einige Grundbegrie
sind (siehe auch Abb. 1):
Brennweite der Linse: f
Gegenstandsweite: a
Bildweite: b
Gegenstandsgröÿe: r1
Bildgröÿe: r2
g1
r
d
1
r
a
f
f
2
g 2
b
Abbildung 1: Linsenabbildung in geometrischer Optik
Es gilt die Abbildungsgleichung
1 1 1
+ =
a b f
(1)
r2 b
=
r1 a
(2)
Wenn sowohl die Gegenstandsweite, als auch die Bildweite gröÿer sind als die Brennweite ( a > f ,
b > f ), spricht man von gegenständlicher Abbildung und es gilt für den Abbildungsmaÿstab
Beispiel: Der Gegenstand soll 1:1 auf das Bild abgebildet werden.
)
r2 b
= =1
r1 a
) a = b = 2f
Auf der Linse soll nun der Bereich d ausgeleuchtet werden. Wenn die Winkel 1 ; 2
gilt
1 d
a
;
2 d
b
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(3)
1
sind, dann
(4)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/2
und damit
1 r1 = 2 r2
(5)
Für gröÿere 1 ,2 wird daraus die sogenannte Abbe'sche Sinusbedingung (ohne Beweis)
r1 sin(1 ) = r2 sin(2 )
(6)
oder mit den numerischen Aperturen AN 1 = sin(1 ) und AN 2 = sin(2 )
r1 AN 1 = r2 AN 2
(7)
Nun soll eine kreisförmige Lichtquelle der Fläche F1 = r12 und der numerischen Apertur AN 1 betrachtet werden. Aus Gl. (7) folgt, dass diese Fläche F1 auf eine Fläche F2 = r22 mit der numerischen
Apertur AN 2 abgebildet wird gemäÿ
F1 A2N 1 = F2 A2N 2
(8)
Da die numerische Empfangsapertur AN 2 nicht beliebig gesteigert werden kann, gibt Gl. (8) auch die
maximal mögliche Verkleinerung an, d.h. auf welche minimale Fläche F2 eine verlustfreie Abbildung
möglich ist. Für die numerische Apertur der abgebildeten Fläche gilt AN 2 < 1 , da auf jeden Fall
2 < 90 gilt. Sind F1 und AN 1 vorgegeben gilt also:
A2N 2 =
F1 A2N 1
<1
F2
)
F2 F1 A2N 1
(9)
Das bedeutet, dass die Fläche F2 , auf die verlustfrei abgebildet werden kann, mindestens die Gröÿe
des Produktes aus strahlender Fläche und dem Quadrat der numerischen Apertur haben muss.
Beispiel: Die Lichtquelle wird durch eine voll ausgeleuchtete Stufenfaser mit dem Kerndurchmesser
2a = 50 µm und der numerischen Apertur AN 1 = 0; 2 dargestellt. Die minimale Fläche, auf die
verlustfrei abgebildet werden kann ist dann F2 (5 µm)2 . F2 entspricht also einer Fläche mit
mindestens 10 µm Durchmesser.
Gl. (8) soll nun in bezug auf Stufenfasern näher betrachtet werden. Es ist
F1 = a2 und AN 1 =
q
n12
n22
(10)
Daraus folgt
F1 A2N 1
2 2
=
a
=
4 2
2
(k0 aAN 1 )2 = V 2
=
4
4
2
= M
2
a2
n12
n22
2 n12
n22
(11)
M = V 2 =2 ist die Anzahl der ausbreitungsfähigen Wellen in der Stufenfaser (vergl. Kapitel GRA,
Gl. (27)). Allgemein kann M auch als Anzahl der Freiheitsgrade der Lichtquelle interpretiert werden.
Damit lässt sich Gl. (8) auch so interpretieren, dass die Anzahl der Eigenwellen (bzw. Freiheitsgrade)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/3
beim Durchgang durch optische Systeme erhalten bleibt. Insbesondere ist es nicht möglich, von einer
Faser mit M1 Eigenwellen verlustfrei in eine Faser mit M2 Eigenwellen einzukoppeln, wenn M2 < M1 .
Dies ist ähnlich zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik. (Ein System in Unordnung lässt sich nicht in
ein geordnetes System überführen.)
1.1 Absolute Grenze des Auösungsvermögens
Für die einwellige Faser ( M = 2 , wegen 2 Polarisationen) wird das Produkt F1 A2N 1 in Gl. (11)
minimal. Für M = 2 wird aus Gl. (11):
F1 A2N 1 jmin =
2
(12)
Gl. (12) steht in engem Zusammenhang zur Beziehung zwischen Wirkäche und Gewinn bei Antennen
(siehe Hochfrequenztechnik I).
F
g1
1
Abbildung 2: Der Strahlkegel mit halbem Önungswinkel 1 beschreibt für 1
eine Fläche 12
Wenn für den halben Önungswinkel des Strahlkegels (Abb. 2) 1
für x 1 ). Der Raumwinkel ist dann:
1 in der Einheitskugel
1 gilt, so ist AN 1 1 ( sin x x
1 = 12 A2N 1
(13)
Bei Antennen ist der Gewinn Giso deniert als das Verhältnis des Raumwinkels des gesamten Raums
( 4 =
^ Oberäche der Einheitskugel) zum bestrahlten Raumwinkel:
4
1
(14)
F1
A2
2
= F1 N 1 =
Giso
4
4
(15)
Giso =
)
wobei sich F1 als Antennenwirkäche interpretieren lässt. Dieses Verhältnis zwischen Wirkäche F1
und Gewinn Giso entspricht genau der in "Hochfrequenztechnik I" abgeleiteten Beziehung.
Innerhalb der minimalen Fläche F1min in Gl. (12) lassen sich Details nicht mehr auösen. Unter An2 =4 die Auösungsgrenze:
nahme einer Kreisäche erhält man mit F1min = dmin
dmin =
2
AN 1
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(16)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/4
Die gleiche Beziehung erhält man aus der Gleichung
0 w0 =
aus dem Kapitel STR mit AN
n 0
n
(17)
und dmin = 2w0 .
dmin =
2
AN
(18)
Die Auösungsgrenze dmin gibt sowohl an, inwieweit Details aufgelöst werden können, als auch bis zu
welcher minimalen Gröÿe ein Strahl fokussiert werden kann.
Beispiel: Bei einer typischen numerischen Apertur AN = 0; 3 und einer Wellenlänge = 0; 6 µm ist
die minimale Auösungsgrenze durch dmin 1 µm gegeben.
2 Verkopplung von vielmodigen Stufenfasern
Abb. 3 zeigt die Verkopplung von zwei Stufenfasern mit einem Versatz von x zwischen den Fasern.
Es soll hier zunächst angenommen werden, dass die Fasern 1 und 2 sehr viele Eigenwellen führen, so
dass die geometrische Optik anwendbar ist.
a
1
g1g
a
g 2 g
2
F a s e r 2
F a s e r 1
Abbildung 3: Verkopplung von Stufenfasern
Entsprechend Gl. (8) gilt bei Abbildungen, dass das Produkt aus strahlender Fläche und dem Quadrat
der numerischen Apertur
F1 A2N 1 = a12 sin2 (1g )
(19)
auch bei Abbildung erhalten bleibt. Die verlustfreie Abbildung von Faser 1 in Faser 2 ist nur für
a12 sin2 (1g ) a22 sin2 (2g )
(20)
möglich. Andernfalls beträgt bei gleichmäÿiger Ausleuchtung von Faser 1 der maximale Koppelwirkungsgrad
!2
!2
a2 sin(2g )
a2 AN 2
max =
=
(21)
a1 sin(1g )
a1 AN 1
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/5
bzw. mit der Anzahl der geführten Wellen in Faser 1 und 2 (M1 , M2 )




M2
max = M1


1
für M2 < M1
(22)
sonst
Auch für Gradientenfasern ist dies der maximal erreichbare Koppelwirkungsgrad.
2.1 Stoÿkopplung von Stufenfasern
F
a
F a s e r 1
1
a
D x
(a )
a
1
F
2
F
F a s e r 2
1
D x
1 2
a
2
x
y
2
(b )
Abbildung 4: Stoÿkopplung von Stufenfasern mit Versatz x von der Seite (a) und im Querschnitt
(b)
Es soll der Wirkungsgrad der Stoÿkopplung zwischen zwei Stufenfasern bestimmt werden, die einen
Versatz von x zwischen ihren Mittelpunkten aufweisen (Abb. 4). Die beiden Fasern seien durch ihre
Kernradien (a1 , a2 ) und numerischen Aperturen (AN 1 , AN 2 ) charakterisiert. Der Koppelwirkungsgrad
von Faser 1 nach Faser 2 ist dann gegeben durch
12 = F (23)
Dabei ist
F =
=
F12
F
1


1






AN 2
AN 1
!2
für AN 2
AN 1
für AN 2 < AN 1
^ Flächenüberlappung
=
(24)
^ Raumwinkelüberlappung
=
(25)
Beispiel: Bei der Verbindung gleicher Stufenfasern (a1 = a2 = a, AN 1 = AN 2 ) gilt für einen Versatz,
der sehr viel kleiner ist als der Kernradius der Stufenfasern (x a)
=1
x
2
a
Eventuelle Verluste durch Reexionen sind dabei vernachlässigt.
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(26)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/6
3 Stoÿkopplung zwischen vielmodigen Gradientenfasern
Zunächst wird angenommen, dass die Gradientenfaser nicht am Fasermittelpunkt, sondern an der
Stelle r mit einem Strahlkegel mit dem Önungswinkel (r ) beleuchtet wird (Abb. 5).
g (r )
q (r )
r
2 a
Abbildung 5: Die Gradientenfaser wird an der Stelle r mit einem Strahlkegel (Önungswinkel (r ))
beleuchtet.
Bei der Einkopplung wird der Strahl unter dem Winkel (r ) in einen eingekoppelten Strahl mit dem
Winkel (r ) gebrochen (nach Maÿgabe des Snellius'schen Brechungsgesetzes, sin( (r )) = n(r ) sin((r )) ). Jedem Winkel (r ) lässt sich nun eine Eigenwelle mit der Phasenkonstante
= n(r )k0 cos((r ))
(27)
zuordnen. Da bei geführten Wellen > n2 k0 ist, folgt
cos((r )) >
n2
n (r )
(28)
und damit
sin( (r )) = n(r ) sin((r )) = n(r ) q
cos2 ((r )) <
1
q
n2 (r )
!
n22 = ANl (r ) = sin(m (r )) (29)
Dabei ist ANl (r ) die lokale numerische Apertur und m (r ) der maximale Akzeptanzwinkel, beides in
Abhängigkeit von der radialen Position r des Strahlkegels. Es ist:
ANl (0) = AN =
q
n12
n22
mit n1 = n(r )jr =0
(30)
Entsprechend Abb. 6 lässt sich die lokale numerische Apertur als Funktion von r darstellen, wobei diese
Darstellung auch als Phasenraumdiagramm bezeichnet wird. Der Flächeninhalt unter dem Graphen in
Abb. 6 ist bestimmt durch
Za2
F=
0
A2Nl (r ) d(r 2 )
=2
Za 0
n(r )2
n22 r dr =
2
2
M
=
M
22
k02
und ist damit proportional zur Anzahl der von der Faser geführten Wellen.
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(31)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/7
s in 2 (g ( r ) )
n
1
2
- n
2
s in
2
2
(g m (r ))
= A
2
N l
(r )
= n
(r )
2
a
- n
2
2
2
r
2
Abbildung 6: Die lokale numerische Apertur A2Nl in Abhängigkeit vom radialen Ort r in einem Phasenraumdiagramm. Der schraerte Bereich stellt dabei die für eine Einkopplung erlaubten Winkel (r )
dar.
3.1 Bestimmung des Koppelwirkungsgrades
Die Berechnung des Koppelwirkungsgrades ist ähnlich wie bei der Stufenfaser. Die numerische Apertur
ist nun jedoch ortsabhängig. Für die Kopplung von Faser 1 nach Faser 2 (vergl. Abb. 4) ergibt sich
der Koppelwirkungsgrad zu
RR
S (x; y )(x; y ) dx dy
RR
(32)
S (x; y ) dx dy
S (x; y ) ist die Leistungsdichte in Faser 1 an der Stelle (x,y) und (x; y ) ist der lokale Koppelwirkungs=
grad, für den gilt
(x; y ) =



1

für ANl 2 (x; y ) ANl 1 (x; y )




für ANl 2 (x; y ) < ANl 1 (x; y )
A2Nl 2
A2Nl 1
(33)
ANl 1 und ANl 2 bezeichnen dabei jeweils die lokalen numerischen Aperturen der Fasern 1 und 2. Im allgemeinen nimmt man an, dass die Faser gleichmäÿig ausgeleuchtet wird (entspricht einer gleichmäÿigen
Anregung aller Eigenwellen), so dass dann gilt (ohne Beweis):
S (r ) A2Nl (r ) = n2 (r )
n22 :
(34)
Ein Beispiel ist die Kopplung von zwei gleichen Fasern mit einem Potenzprol und einem Versatz
x a. Der Koppelwirkungsgrad ist in diesem Fall
=1
Für den Grenzfall g
!1
x
2 g+2
a g + 1
(35)
(Stufenprol) geht Gl. (35) in Gl. (26) über.
Ein Sonderfall ist die Verkopplung von zwei verschiedenen Fasern ohne Versatz (x = 0). Hier gilt:
r1 = r2 = r , so dass der Koppelwirkungsgrad mit Hilfe des Phasenraumdiagramms in Abb. 7 bestimmt
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/8
werden kann. Die Fasern seien folgendermaÿen dimensioniert:
Faser 1: a1 , AN 1
Faser 2: a2 < a1 , AN 2 > AnN 1
s in
A
A
2
N 2
2
N 1
2
(g (r ))
F a s e r 2 , F lä c h e F
F lä c h e F
1 2
a
2
F a s e r 1 , F lä c h e F
a
2
2
1
2
r
1
2
Abbildung 7: Bestimmung des Koppelwirkungsgrades mit Hilfe des Phasenraumdiagramms
Der Koppelwirkungsgrad lässt sich dann beschreiben als
1. Faser 1
2. Faser 2
! Faser 2:
! Faser 1:
=
F12
F1
(36)
=
F12
F2
(37)
Durch Abbildungen z.B. mit Hilfe von Linsen lässt sich der Koppelwirkungsgrad bis zu max nach Gl.
(22) erhöhen (z.B. mit Linsensteckern).
4 Abbildung von Gauÿ'schen Strahlen
Zunächst soll untersucht werden, wie eine sphärische Linse mit der Brennweite f ein einfallendes Feld
verändert.
Die Funktion einer Linse besteht bezüglich eines einfallenden elektromagnetischen Feldes ausschlieÿlich
darin, eine ortsabhängige Phasenänderung herbeizuführen. Eine sphärische Linse führt dabei zu einer
Phasenänderung proportional zu r 2 , wobei r den lateralen Abstand zur Linsenmitte beschreibt.
Wenn mit E x 1 das Feld unmittelbar links neben der Linse bezeichnet wird, dann gilt für E x 2 unmittelbar
rechts neben der Linse:
!
E x 2 (r; ') = E x 1 (r; ') exp
jP0 + j
k0 r 2
2f
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(38)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
e in fa lle n d e s
F e ld
KOP/9
E x 2 (r,j )
E x1 (r,j )
Abbildung 8: Durchgang eines Feldes durch eine Linse
Dabei ist P0 die Phasenverschiebung für r = 0. Die Phasenänderung mit r 2 wird durch den Vorfaktor
k0
2f bestimmt, wobei f die Brennweite der Linse charakterisiert, was im folgenden noch genauer deutlich wird. Reexionen an der Linse werden vernachlässigt.
R
2 w
1
(a )
-R
(-b )
2
2 w
1 0
z
2 0
z
1
a
2
b
Abbildung 9: Transformation eines Gauÿ'schen Strahls mit einer Sammellinse
Im folgenden soll nun die Abbildung eines Gauÿ'schen Strahls behandelt werden. Eine solche Abbildung
ist schematisch in Abb. 9 skizziert, wobei mit der axialen Koordinate z1 der Gauÿ'sche Strahl links
von der Linse und mit z2 der Gauÿ'sche Strahl rechts von der Linse beschrieben werden soll. Der
Fleckradius der einfallenden Welle (Medium Luft: n = 1 ) am Ort z1 wird beschrieben durch (siehe
auch Abb. 9)
v
w1 (z1 ) = w10
u
u
t1 +
z1
2
w10
!2
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(39)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/10
Der Krümmungsradius der Phasenfront ist

2
w10
R1 (z1 ) = z1 1 +
z1
!2 

(40)
Mit der Felddarstellung aus dem Kapitel STR folgt daraus
E x 1 (z1 = a) = E 10 exp
jP1
r2
jk0
2R1 (a)
r2
w12 (a)
!
(41)
und mit Gl. (38) folgt nach dem Durchgang durch die Linse
E x 2 (z2 = b) = E 10 exp
jP2
r2
jk0
2R2 ( b)
r2
w22 ( b)
!
(42)
mit P2 = P0 + P1 und w1 (a) = w2 ( b) , d.h. das Feld hat die gleiche radiale Ausdehnung unmittelbar
vor und nach der Linse. Auÿerdem folgt für die Krümmungsradien:
1
1
=
R2 ( b) R1 (a)
1
f
(43)
Für Abbildungen wie in Abb. 9 hat R1 (a) positives und R2 ( b) negatives Vorzeichen, d.h. für eine
solche Abbildung muss gelten R1 (a) > f .
Als Beispiel seien 2 Fasern mit den Fleckradien w10 und w20 , sowie eine Linse der Brennweite f
vorgegeben. Gesucht sind nun die Abstände a und b für eine optimale Abbildung.
Gemäÿ Kapitel STR lässt sich sowohl dem Strahl links der Linse ein q1 (z1 ) und dem Strahl rechts der
Linse ein q2 (z2 ) zuordnen. In Verallgemeinerung von Gl. (43) gilt
1
1
=
q2 ( b) q1 (a)
1
f
(44)
und es folgt
2
w10
2
w20
mit q20 = j
q1 (a) = q10 + a
q2 ( b) = q20
mit q10 = j
b
(45)
(46)
Nach Einsetzen in Gl. (44) folgt:
(q10 + a)f = (q20
b)f
(q10 + a)(q20
b)
(47)
Die Betrachtung des Realteiles von Gl. (47) führt auf die Gleichung
a f = b f + a b + f02
mit
f0 =
p
q10 q20 =
w10 w20
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(48)
(49)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/11
Mit den Fernfeldwinkeln 10 = w10 und 20 = w20 lässt sich f0 auch schreiben als
f0 =
(50)
10 20
Nach Division durch a, b und f folgt aus Gl. (48) die Abbildungsgleichung für Gauÿ'sche Strahlwellen
1 1 1
f2
+ = + 0
a b f abf
(51)
Für f0 ! 0 (d.h. ! 0 in Gl. (50)) geht Gl. (51) in die geometrisch optische Abbildungsgleichung
(1) über. Damit ist geklärt, dass f in Gl. (38) wirklich die Brennweite der Linse darstellt.
Die Betrachtung des Imaginärteiles von Gl. (47) führt auf
q10 f = q20 f + q10 b
Daraus folgt
2 (f
w10
q20 a
2 (f
b) = w20
(52)
a)
(53)
Aus Gl. (51) und Gl. (53) folgt schlieÿlich
w10 q 2
a=f f
w20
q
w
b = f 20 f 2
w10
f02
(54)
f02
(55)
In Gl. (54) und Gl. (55) muss jeweils das gleiche Vorzeichen gewählt werden. Für eine möglichst
kompakte Abbildung sollte f = f0 gewählt werden, was zu a = b = f führt.
Beispiel: Das Licht eines HeNe-Lasers mit w10 = 0; 5 mm und = 0; 63 µm soll in eine einwellige
Faser mit w20 = 5 µm gekoppelt werden. Es ergibt sich ein f0 = 12; 5 mm , so dass dann für eine
möglichst kompakte Abbildung auch f f0 gewählt werden sollte mit a = b = f0 = 12; 5 mm .
4.1 Stoÿkopplung von einwelligen Fasern
r
y
1
e (r , j )
F a s e r 1
D x
r
2
F a s e r 2
Abbildung 10: Stoÿkopplung zwischen einwelligen Fasern mit Versatz x
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/12
Die sich in Faser 1 ausbreitende Welle fällt auf die Stirnäche von Faser 2. Reexionsverluste werden
vernachlässigt. Die Feldverteilung e (r; ') der einfallenden Welle sei an der Stirnäche von Faser 2
vorgegeben. Zunächst gilt in Faser 2 allgemein für Eigenwellen der Ordnung mit der Feldverteilung
und der Ausbreitungskonstanten die Dierentialgleichung
4t
2
2
+ n (r )k0
2
=0
(56)
Für Eigenwellen mit unterschiedlicher Ausbreitungskonstante und reellem n(r ) gilt die Beziehung (Orthogonalität der Wellen)
ZZ
für 6= ,
(57)
dA = 0
A
wobei A die Querschnittsäche der Faser ist (Beweis siehe Anhang). Es soll sich zwar hier um einwellige
Fasern handeln, aber die Feldverteilungen sollen auch Wellen beschreiben, die sich im Fasermantel
ausbreiten (sogenannte Mantelwellen).
Da die Feldverteilung des einfallenden Feldes e im allgemeinen nicht mit der Feldverteilung 0 der
Grundwelle in der Faser 2 übereinstimmt, wird die Feldverteilung des einfallenden Feldes in der Faser
2 entwickelt nach den Eigenwellen der Faser 2 gemäÿ
e (r; ')
X
=
(r; ')
C
(58)
Dabei ist C der Anregungskoezient für die Eigenwelle der Ordnungszahl . Wenn C = 0 ist, wird
die entsprechende Eigenwelle in Faser 2 nicht angeregt. Gl. (58) wird nun mit (r; ') multipliziert
und über den Querschnitt A integriert.
ZZ
e
dA = X C
ZZ
A
dA
(59)
A
wobei auf der rechten Seite von Gl. (59) wegen Gl. (57) alle Terme bis auf den Term mit = zu
Null werden, so dass sich aus Gl. (59) für den Anregungskoezienten C ergibt:
RR
C =
A
RR
A
dA
dA
e (60)
Mit Gl. (60) sind die Anregungskoezienten für alle Wellen in Faser 2 berechenbar. Für die einwellige
Faser interessiert die Grundwelle mit = 0 und C ! C0 . Die Leistung des einfallenden Feldes ist
1
Pe =
2
ZZ
E x H y dA A
1
2ZF 1
ZZ
j e j2
dA
(61)
A
q
mit dem Feldwellenwiderstand in Faser 1 ZF 1 = n11 "00 . Die Brechzahl n1 ist die repräsentative
Brechzahl für Faser 1. Die geführte Leistung in der Grundwelle in Faser 2 ist analog
P0 =
1
2ZF 2
ZZ
jC0 0j2
dA
A
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(62)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/13
Bei gleichen Fasern ( n1 n2 ) und Vernachlässigung der Reexionsverluste gilt ZF 1
ergibt sich der Koppelwirkungsgrad zu
RR
j 0j
j e j2
2
P
A
= 0 = jC0 j2 RR
Pe
A
dA
dA
= RR
A
RR
A
2
j ej
ZF 2 . Damit
2
0 dA
e
dA RR
A
j 0j2
dA
(63)
Beispiel: Es soll der Koppelwirkungsgrad zwischen zwei einwelligen Fasern ohne Versatz ( x = 0 )
bestimmt werden. Die Feldverteilungen seien
e
0
r2
w12
= exp
r2
w22
= exp
!
(64)
!
(65)
Dann ist der Koppelwirkungsgrad
= R1
0
1
R
exp
0
exp
Mit
Z1
r2
2r 2
w12
exp
+ w12
1
w12
r dr
!
r
2
R1
0
2r 2
w22
exp
2
dr r dr
1
2a
ar 2 r dr =
0
(66)
(67)
(siehe Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik) lassen sich die Integrale in Gl. (66)
lösen und es ergibt sich:
!
= 2
2
w1 w2
w12 + w22
(68)
Bei einem zusätzlichen Versatz x gilt
w w
= 2 21 22
w1 + w2
!2
exp
x 2
2 2
w1 + w22
!
(69)
5 Anhang
Um die Gl. (57) zu beweisen, wird zunächst Gl. (56) mit multipliziert und es ergibt sich
4t
+ n2 (r )k02
2
=0
(70)
=0
(71)
Gl. (56), geschrieben für und multipliziert mit , ergibt
4t
2
2
+ n (r )k0
2
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
KOP/14
Die Dierenz zwischen Gl. (70) und Gl. (71) ist
4t
4t
2
+ 2
=0
(72)
Entsprechend den Rechenregeln der Vektoranalysis (vergl. VL "Theoretische Elektrotechnik") gilt
r(' r
Daraus folgt
4t
) = ' 4 + r' r
4t
= rt
rt
(73)
rt
(74)
Der Index "t" bedeutet, dass nur transversale Komponenten berücksichtigt werden. In Anlehnung an
den Gauÿ'schen Satz gilt:
ZZ
I
~
rt V dA = V~ d~s
(75)
A
A
A stellt die Querschnittsäche der Faser dar und das Längenelement d~s erstreckt sich entlang der
Begrenzungskontur von A. Da ; ! 0 für r ! 1 führt die Integration über A von Gl. (72) mit
Gl. (74) zu
2
2
ZZ
dA = 0
A
Damit ist Gl. (57) bewiesen.
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(76)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/1
Grundlagen von Laser und LED (L)
In diesem Kapitel werden die physikalischen Grundlagen von Emissions- und Absorptionsprozessen in
Halbleitern behandelt.
1 Beschreibung von Photonen und Elektronen
Für die optische Übertragungstechnik werden bevorzugt Halbleiterlichtquellen verwendet, da diese eine
hohe Leistungsdichte sowie eine gute Modulierbarkeit aufweisen. Sie basieren auf der Wechselwirkung
zwischen optischer Strahlung (Photonen) und den Elektronen im Halbleiter. Die Elektronen werden
im allgemeinen mit deren Energie und Impuls charakterisiert. Für Photonen gelten ähnliche Zusammenhänge.
Wphot = h
h
h 2
pphot =
=
c
c
2 | {z
}
|{z}
Energie eines Photons:
Impuls eines Photons:
~
(1)
(2)
k0
(h-Planck'sches Wirkungsquantum, h = 6; 626 10 34 Ws2 ) oder vektoriell:
p~phot = ~ ~k:
(3)
Damit ist der Impuls unmittelbar mit dem Wellenvektor ~k verknüpft. Diese Verknüpfung entsprechend
Gl. (3) gilt dabei auch für Elektronen.
Anschauliche Begründung für Gl. (2) (Vorsicht!):
Spezielle Relativitätstheorie:
Impuls eine Photons:

W = m c 2
p =mc

)
p=
W
c
(4)
In einem Festkörper lässt sich auch den Elektronen eine Energie und ein Impuls, bzw. eine Wellenzahl
zuordnen. Die Wellenzahl beschreibt dann den Schwingungszustand der Elektronen im Kristall.
In einem Kristallgitter mit der Gitterkonstante a0 gibt es verschiedene Schwingungszustände der Elektronen:
~ k ~ k ~ k =0
=
a0
<
a0
)
)
Gleichphasige Schwingung aller Elektronen
)
1. Brillouin-Zone
Gegenphasige Schwingung von Elektronen benachbarter Gitterpunkte
Der Impuls eines Elektrons ist wie beim Photon: p~Elektron = ~~k . Die Elektronenenergie W ist von
der Wellenzahl ~k abhängig. Dies gilt sowohl für gebundene Elektronen (Valenzband) als auch für freie
Elektronen (Leitungsband). Beispiele für W (k )-Verläufe verschiedener Halbleiter zeigt Abb. 1.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/2
Abbildung 1: Bänderstruktur von Ge, Si und GaAs (Bild aus: Sze, Physics of Semiconductor Devices)
Die sogenannten Miller-Indizes [111] und [100] bezeichnen die Kristallrichtungen, in die der Wellenvektor ~k zeigt. Die Stelle W = 0 in Abb. 1 entspricht der Oberkante des Valenzbandes.
Bei Übergängen zwischen Leitungs- und Valenzband müssen Energie und Impuls erhalten bleiben. Ein
Vergleich des Impulses (bzw. der Wellenzahl) von Photon und Elektron ergibt:
1. Ein Photon mit der Wellenlänge = 1 µm hat die Wellenzahl ~k = 2 n = 6; 28 106 mn .
2. Bei einem Elektron ist 0 < ~k < a0 mit einer Gitterkonstante im Bereich a0
Dies führt zu einer Wellenzahl in der Gröÿenordnung ~k 5 109 m 1 .
0; 5:::0; 7 nm.
Der Impuls eines Photons ist also sehr viel kleiner als der eines Elektrons.
Ein Elektron soll nun bei Emission eines Photons von einem Zustand 2 im Leitungsband auf einen
Zustand 1 im Valenzband übergehen. Aus der Energie- und Impulserhaltung folgt
Wegen ~kphot ~ ~ k1 ; k2 gilt:
W2 = Wphot + W1
~k2 = ~kphot + ~k1
(5)
k~1 k~2
(7)
(6)
Bei Gültigkeit von Gl. (7) spricht man auch von einem direkten Übergang. Bei alleiniger Wechselwirkung von Elektron und Photon sind nur direkte Übergänge möglich. Halbleiter, bei denen das Energieminimum des Leitungsbandes und das Energiemaximum des Valenzbandes gleiche Wellenvektoren
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L e itu n g s b a n d
L/3
P h o n o n
-
P h o to n
W
G
+
V a le n z b a n d
k
Abbildung 2: Strahlende Rekombination in einem indirekten Halbleiter mit Erzeugung eines Phonons
aufweisen, werden als direkte Halbleiter bezeichnet. So ist z.B. in Abb. 1 GaAs ein direkter Halbleiter,
während Si und Ge indirekte Halbleiter sind.
Wird beim Übergang eines Elektrons vom Leitungs- ins Valenzband ein Photon emittiert, so spricht
man von strahlender Rekombination. In indirekten Halbleitern ist dies nur möglich, wenn gleichzeitig
ein Phonon (Gitterschwingung) mit geeigneter Wellenzahl k erzeugt wird (siehe Abb. 2). Dies macht
die strahlende Rekombination im indirekten Halbleiter sehr viel unwahrscheinlicher als im direkten
Halbleiter.
Eine strahlungslose Rekombination ist z.B. durch sogenannte Auger-Prozesse möglich (siehe Abb.
3). Dabei führt die Rekombination eines Elektrons zu einem energetischen Anheben eines weiteren
Elektrons, welches seine Energie allmählich durch Stöÿe mit dem Gitter wieder abgibt. Dies führt zu
einer Erwärmung des Gitters.
Abbildung 3: Auger-Prozesse in einem direkten Halbleiter mit parabolischen Bändern. (Bild aus: Winstel, Weyrich, Optoelektronik I)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/4
2 Halbleitermaterialien
In direkten Halbleitern überwiegt die strahlende Rekombination, während bei indirekten Halbleitern im
wesentlichen strahlungslose Rekombination vorliegt. Für Halbleiterlichtquellen in der optischen Nachrichtentechnik werden daher nur direkte Halbleiter verwendet. Für einen Halbleiter wird eigentlich ein
Element aus der Gruppe IV des Periodensystems, z.B. C, Si oder Ge, benötigt. Bei diesen Halbleitern
handelt es sich allerdings um indirekte Halbleiter, so dass sie für eine eziente Lichtemission nicht
verwendet werden können.
Um Elemente der Gruppe IV anderweitig nachbilden zu können, werden stattdessen auch Mischkristalle verwendet, z.B. durch Kombination der Gruppe III und der Gruppe V des Periodensystems. Diese
Halbleiter werden als III/V-Halbleiter bezeichnet (Es gibt aber auch z.B. II/VI-Halbleiter). Unter Verwendung der Elemente Al, Ga und In aus der Gruppe III und P, As und Sb aus der Gruppe V gibt es
beispielsweise die folgenden neun Kombinationsmöglichkeiten für binäre III/V-Halbleiter (binär =
^ mit
2 Elementen):
AlP, AlAs, AlSb, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, InSb.
Diese neun binären III/V-Halbleiter sind in Abb. 4 durch Punkte dargestellt.
Auch bei diesen binären Halbleitern ist jeweils die Bandlückenenergie WG und die Gitterkonstante a0
festgelegt. Um eine gröÿere Flexibilität zu erreichen, ist der Übergang zu ternären (3 Elemente) oder
sogar quaternären (4 Elemente) III/V-Halbleitern möglich.
Die Verbindungslinien zwischen den binären III/V-Halbleitern in Abb. 4 geben ternäre Halbleiter an,
wobei durchgezogene Linien direkten Halbleitern und gestrichelte Linien indirekten Halbleitern entsprechen.
Von besonderer Bedeutung ist der ternäre Mischkristall Ga1 x Alx As (x bezeichnet den Anteil, zu
dem Ga durch Al ersetzt wird). Wie Abb. 4 zeigt, ist das besondere an diesem Mischkristall, dass
die Gitterkonstante sich mit variabler Substitution von Ga durch Al nur geringfügig ändert. Damit
ist Ga1 x Alx As mit seiner Gitterkonstanten für alle x von vornherein gut an GaAs angepasst und
kann deshalb gut auf GaAs-Substrate aufgewachsen werden (Epitaxie). Für x < 0; 36 ergibt sich ein
direkter Halbleiter, während sich für x > 0; 36 ein indirekter Halbleiter ergibt.
GaAs hat einen Bandabstand WG = 1; 43 eV . Dies entspricht einem Photon mit der Wellenlänge
= 0; 868 µm . Ga0;64 Al0;36 As hat einen Bandabstand WG = 1; 92 eV , was einem Photon der Wellenlänge = 0; 646 µm entspricht. Mit dem ternären Mischkristall GaAlAs lassen sich deshalb Halbleiterlichtquellen mit
0; 646 µm < < 0; 868 µm
realisieren.
Für die Realisierung von Lichtquellen im Bereich von 1; 3 µm oder 1; 55 µm (Minimum der
chromatischen Dispersion bzw. der Dämpfung von Quarzglasfasern) ist die Verwendung eines ternären
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/5
Abbildung 4: Darstellung der Gitterkonstante als Funktion des Bandabstandes WG (Bild aus: Gowar,
Optical Communication Systems)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/6
Mischkristalls mit binärem Substrat nicht ohne weiteres möglich, da beim Wachstum der epitaktischen
Schichten die Gitterkonstante beibehalten werden sollte, um Gitterfehler zu vermeiden.
Es gibt zwar Versuche des Wachstums von Ga1 x Alx Sb auf GaSb, aber erfolgreicher sind hier quaternäre Mischkristalle. Von besonderer Bedeutung ist dabei der quaternäre Mischkristall InGaAsP
(schraerter Bereich in Abb. 4). Bei Verwendung von InP als Substrat wird beim quaternären Mischkristall In1 x Gax Asy P1 y der Anteil y (y gibt den Anteil an, zu dem P durch As ersetzt wird) und
Anteil x (x bezeichnet den Anteil, zu dem In durch Ga ersetzt wird) so einander zugeordnet, dass die
Gitterkonstante an die Gitterkonstante von InP angepasst ist. Eine empirische Beziehung ist:
x = 0; 4 y + 0; 067 y 2
(8)
Unter der Voraussetzung der Gitteranpassung entsprechend Gl. (8) gilt als Zusammenhang zwischen
Band- abstand WG und y
WG = (1; 35
0; 738 y + 0; 138 y 2 ) eV
(9)
Abbildung 5: Atomverhältnisse von In1 x Gax Asy P1 y bei Gitteranpassung an InP mit der Gitterkonstanten a = 0; 58685 nm in der [100]-Orientierung (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik
II)
Bei Gitteranpassung an InP ist In1 x Gax Asy P1 y für alle y ein direkter Halbleiter.
Mit dem quaternären Mischkristall InGaAsP mit Gitteranpassung an InP lassen sich Halbleiterlichtquellen mit
0; 92 µm < < 1; 65 µm
realisieren.
Beispiel: = 1; 3 µm
) In0;74Ga0;26As0;6P0;4
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/7
Abbildung 6: Bandabstand und Wellenlänge der Rekombinationsstrahlung von In1 x Gax Asy P1 y bei
Gitteranpassung an InP (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik II)
3 Photonenzustandsdichte
Abbildung 7: Quaderförmiges Halbleitervolumen V = ax ay az
Vor der Diskussion der Wechselwirkung zwischen Photonen und Elektronen soll zunächst in Analogie
zur Elektronenzustandsdichte in Halbleitern eine Photonenzustandsdichte abgeleitet werden.Wir betrachten dazu gemäÿ Abb. 7 ein quaderförmiges Halbleitervolumen mit den Kantenlängen ax , ay und
az . In einem solchen Halbleitervolumen sind elektromagnetische Schwingungszustände möglich, die
beispielsweise durch eine Feldfunktion mit
sin(kx x ) sin(ky y ) sin(kz z )
(10)
beschrieben werden. Dabei sind kx ,ky und kz die Wellenzahlen in x , y , bzw. z -Richtung (ähnlich Kapitel
EB, Gl. (3)), für die gilt:
kx2 + ky2 + kz2 = k02 n2 =
2
c
2
n2
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(11)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/8
mit der Brechzahl n im Halbleitervolumen in Abb. 7.
Der mit Gl. (10) beschriebene Schwingungszustand ist gekennzeichnet durch Randbedingungen (ähnlich dem Halbleiter oder Hohlraumresonator), z.B.
= 0 am Rand des Quaders in Abb. 7, so dass
gilt
ky = my ;
kz = mz
(12)
kx = mx ;
ax
ay
az
mit ganzzahligen mx , my und mz . Mit Gl. (11) und Gl. (12) ergibt sich dann ein Zusammenhang
zwischen der Schwingfrequenz und den Ordnungszahlen mx , my und mz :
ax
2
mx2
+
ay
!2
my2 +
az
2
mz2 =
2
c
2
n2
(13)
Man kann nun die Anzahl der möglichen Ordnungszahltripel (mx , my , mz ) und damit der Anzahl der
möglichen Schwingungszustände dZ angeben, die zu einer Schwingfrequenz zwischen und + d
führen, wobei sich zunächst für eine Brechzahl n = 1 ergibt (vergl. auch H.G. Wagemann, A. Schmidt,
"Grundlagen der optoelektronischen Halbleiterbauelemente", Teubner, 1998):
V
dZ = 8 3 2 d
c
(14)
mit dem Volumen V = ax ay az . In Gl. (14) ist dabei berücksichtigt, dass zu jedem Ordnungszahltripel
(mx , my , mz ) zwei Schwingungszustände orthogonaler Polarisation gehören.
Im Halbleiter mit der Brechzahl n und dem Gruppenindex N ist Gl. (14) zu modizieren zu
dZ = 8 n2 N V 2
d
c3
(15)
Für die Anzahl der Photonen in einem bestimmten Energieintervall ( h; h + d(h ) ) gilt
dZ
V
= 8 n2 N
(h )2 d(h )
(h c )3
(16)
bzw. mit W = h , dW = d(h ) :
dZ
V
mit
= z (W ) dW
z (W ) = 8 n2 N W 2
(h c )3
(17)
(18)
wobei z (W ) als Photonenzustandsdichte bezeichnet wird. Gl. (18) gibt die Anzahl der elektromagnetischen Schwingungen (=
^ Anzahl der möglichen Schwingungszustände von Photonen) pro Energieintervall dW , bezogen auf das Volumen V an.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/9
4 Emissions- und Absorptionsprozesse im direkten Halbleiter
Es soll nun die Wechselwirkung zwischen einem Zustand 2 (Energie W2 ) im Leitungsband und einem
Zustand 1 (Energie W1 ) im Valenzband mit jeweils gleicher Wellenzahl ~k (bzw. Impuls) entsprechend
Abb. 8 betrachtet werden. Ein Übergang vom Zustand 2 zum Zustand 1 kann entweder spontan
(spontane Emission) oder stimuliert (stimulierte Emission) erfolgen. Ebenso ist das Anheben eines
Elektrons vom Zustand 1 in den Zustand 2 unter Absorption eines Photons möglich.
4.1 Spontane Emission
W
W = W
2
-W
1
W
L
,W
v
W
2
W
W
W
(k )
2 0
W
G
W
1
L
F n
W
1 0
W
V
F p
(k )
k
Abbildung 8: Rekombination eines Elektrons
Erfolgt der Übergang des Elektrons von Zustand 2 im Leitungsband zu Zustand 1 im Valenzband
spontan und ohne Einwirkung eines externen elektromagnetischen Feldes, so spricht man von spontaner
Emission.
Rsp (W ) heiÿt spontane Emissionsrate. Sie bezeichnet die Anzahl der pro Zeiteinheit emittierten Photonen der Energie W in einer bestimmten Eigenschwingung.
Rsp ist proportional dem Produkt der Anzahl der besetzten Zustände in Zustand 2 und der Anzahl der
unbesetzten Zustände in Zustand 1. Die spontane Emissionsrate ergibt sich so zu
Rsp (W ) = A21 DL (W2 )DV (W1 )fL (W2 )(1
fV (W1 ))
(19)
DL (W2 ) und DV (W1 ) sind die Zustandsdichten der Elektronen im Leitungs- bzw. Valenzband und A21
ist eine Proportionalitätskonstante.
fL (W2 ) ist die Besetzungswahrscheinlichkeit des Energieniveaus W2 im Leitungsband. Diese entspricht
der Fermiverteilung


fL (W2 ) = exp
W2
WF n
kB T
1
!
+ 1
(20)
mit der Boltzmann-Konstante kB = 1; 38 10 23 Ws
K und dem Quasiferminiveau WF n . In Abb. 8
handelt es sich nicht um ein thermodynamisches Gleichgewicht, daher ist das Quasiferminiveau für das
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/10
Leitungsband unterschiedlich vom Quasiferminiveau des Valenzbandes ( WF n 6= WF p ). Dies wird z.B.
durch die Injektion von Ladungsträgern erreicht. Die Besetzungswahrscheinlichkeit des Energieniveaus
W1 im Valenzband ist


W1
fV (W1 ) = exp
1
!
WF p
kB T
+ 1
(21)
Es soll nun die spektrale Abhängigkeit von Rsp (W ) und damit die spektrale Breite der spontanen
Emission genauer abgeschätzt werden.
D
fL(1 -fV)
L
D
V
~ e x p (-W /k B T )
W
W
W
W
G
G
Abbildung 9: Die einzelnen Anteile der spontanen Emissionsrate Rsp (W )
Wir nehmen zunächst an, dass sich die Quasi-Ferminiveaus innerhalb der Bandlücke benden, so dass
W2
und
WF p
kB T
(22)
W1 kB T
(23)
WF n
gilt. Für fL (W2 ) gilt dann näherungsweise
fL (W2 ) exp
und für 1
W2
WF n
kB T
!
(24)
fV (W1 ) gilt näherungsweise
1
und damit für das Produkt fL (1
fL (W2 ) 1
fV (W1 ) exp
WF p W1
kB T
!
(25)
fV ) in Gl. (19):
WF n WF p
fV (W1 ) exp
kB T
!
exp
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W
kB T
!
(26)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/11
wie auch in Abb. 9 schematisch dargestellt. Für die Zustandsdichten der Elektronen im Leitungs- bzw.
p
p
Valenzband gilt bei parabolischen Bändern DL W2 W20 und DV W10 W1 , so dass sich
das Produkt

 W WG für W > WG
(27)
DL DV 0
sonst
ergibt (vergl. Abb. 9). Für die spektrale Form der spontanen Emission folgt dann aus Gl. (19)
Rsp (W ) (W
WG ) exp
W
kB T
!
für W
WG
(28)
entsprechend Abb. 10.
R
s p
(W )
H a lb w e r ts b r e ite
c a . 2 -3 k B T
W
W = h n = W
G
2
-W
1
Abbildung 10: Spektrale Abhängigkeit der spontanen Emissionsrate Rsp (W )
Eine direkte Auswertung von Gl. (28) führt zu einer spektralen Halbwertsbreite von W = 2; 45 kB T ,
was mit W = h und T = 290 K einer Spektralbreite von 15 THz entspricht. Experimentell
werden bei lichtemittierenden Dioden Spektralbreiten von 2 kB T bis 3 kB T beobachtet.
Rsp bezeichnet die spontane Emission in einem Schwingungszustand. Die gesamte spontane Emissionsrate Rsp , also die Anzahl der insgesamt pro Zeiteinheit emittierten Photonen erhält man nach
Integration über alle Schwingungszustände mit der Photonenzustandsdichte z (W ) als:
Rsp = V
Z1
Rsp (W )z (W ) dW
(29)
WG
4.2 Stimulierte Emission und Absorption
Wenn in einem Schwingungszustand Photonen vorhanden sind, können sie über die spontane Emission
hinaus durch Wechselwirkung mit den Elektronenzuständen des Halbleiters dazu beitragen, dass weitere
Photonen in dem gleichen Schwingungszustand generiert werden (stimulierte Emission) oder dass
Photonen dieses Schwingungszustands vernichtet werden (Absorption).
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
L/12
1. Stimulierte Emission
Wenn ein in einem bestimmten Schwingungszustand im Halbleitervolumen V vorhandenes Photon durch die Wechselwirkung mit dem Halbleiter den Übergang eines Elektrons vom Zustand 2
in den Zustand 1 bei Emission eines Photons des gleichen Schwingungszustands auslöst, spricht
man von stimulierter Emission.
Die stimulierte Emissionsrate Rstim (W ) ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der erzeugten
Photonen pro Zeiteinheit mit der Energie W eines bestimmten Schwingungszustands zu der
Anzahl der vorhandenen Photonen mit der Energie W des gleichen Schwingungszustands.
Die stimulierte Emission ist umso wahrscheinlicher, je stärker der Zustand 2 mit Elektronen
besetzt und Zustand 1 unbesetzt ist. Ähnlich wie für die spontane Emissionsrate Rsp in Gl. (19)
gilt
Rstim (W ) = B21 DL (W2 )DV (W1 )fL (W2 )(1 fV (W1 ))
(30)
mit der Konstanten B21 .
2. Absorption
Ein im Halbleitervolumen V vorhandenes Photon wird absorbiert, indem ein Elektron von Zustand
1 auf Zustand 2 angehoben wird.
Die Absorptionsrate Rabs (W ) entspricht dem Verhältnis von pro Zeiteinheit absorbierten Photonen der Energie W zur vorhandenen Anzahl von Photonen der Energie W .
Die Absorption ist umso wahrscheinlicher, je stärker der Zustand 1 mit Elektronen besetzt und
der Zustand 2 unbesetzt ist. Für die Absorptionsrate gilt
Rabs (W ) = B12 DL (W2 )DV (W1 )fV (W1 )(1
fL (W2 ))
(31)
Da die stimulierte Emission und die Absorption gleichwertige Prozesse darstellen, muss gelten: B12 =
B21 . Darüber hinaus folgt aus Betrachtungen im thermodynamischen Gleichgewicht, dass der Koezient B21 der stimulierten Emission gleich ist dem Koezienten A21 der spontanen Emission: B21 = A21
und damit
Rstim (W ) = Rsp (W ):
(32)
Insgesamt gilt damit
A21 = B12 = B21 :
(33)
Gl. (33) beschreibt die sogenannten Einstein-Beziehungen. Die Photonen innerhalb eines bestimmten
Schwingungszustands führen gemäÿ Rstim (W ) zur Erzeugung weiterer Photonen, und gemäÿ Rabs (W )
zum Verlust von Photonen. Die Nettorate der stimulierten Emission Rst (W ) ist damit gegeben als
Rst (W ) = Rstim (W )
Rabs (W ) = B21 DL (W2 )DV (W1 )(fL (W2 )
fV (W1 ))
(34)
Interessant ist der Fall Rst > 0 ; dann werden durch vorhandene Photonen weitere Photonen erzeugt
und somit eine einfallende optische Welle verstärkt. Dies wird beim LASER (light amplication by
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L/13
(W ), R
s t
(W )
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
s p
R
s p
R
R
s t
(W
W
W
G
F n
-W
F p
)
W
m
Abbildung 11: Spektrale Abhängigkeit der spontanen Emissionsrate Rsp (W ) und der Nettorate der
stimulierten Emission Rst (W )
stimulated emission of radiation) ausgenutzt.
Als Voraussetzung für eine Verstärkung gilt
)
Rst > 0
fL (W2 )
fV (W1 ) > 0
(35)
Dies ist die Inversionsbedingung, d.h. dass die Besetzungswahrscheinlichkeit im Leitungsband für das
Energieniveau W2 gröÿer sein muss, als die Besetzungswahrscheinlichkeit im Valenzband für das Energieniveau W1 . Es ist:
fL (W2 )
1
fV (W1 ) = fL (W2 ) fV (W1 )
fV (W1 )
1
fL (W2 )
!
(36)
und da fL (W2 ) > 0 und fV (W1 ) > 0 sind, folgt die Bedingung:
1
fV (W1 )
1
>0
fL (W2 )
(37)
Mit Gl. (20) und Gl. (21) folgt:
1
fV (W1 )
1
W1 WF p
= exp
fL (W2 )
kB T
!
exp
W2
WF n
kB T
!
>0
(38)
und damit:
W1
WF p > W2
WF n
(39)
oder:
WG < W = W2
W1 < WF n
WF p
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(40)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
W
L
,W
v
L e itu n g s b a n d
W
W
2 0
2
1
L/14
W
W
F n
G
1 0
V a le n z b a n d
W
F p
k
Abbildung 12: Bei diesem Übergang von 2 nach 1 ist die Inversionsbedingung
WG < W = W2 W1 < WF n WF p erfüllt und es ist Rst (W = W2 W1 ) > 0 .
Gl. (40) stellt die Bedingung für Rst > 0 , also für Verstärkung dar (siehe Abb. 11); d.h der Abstand
zwischen den Quasiferminiveaus muss gröÿer sein als der Bandabstand WG des Halbleiters (siehe Abb.
12).
Die Lage der Quasiferminiveaus hängt von der injizierten Ladungsträgerdichte ab, z.B. der Elektronendichte n. (Die Bezeichnung der Elektronendichte ist hier n und nicht wie üblich n, um sie von der
Brechzahl unterscheiden zu können.) Die Elektronendichte ist
2
n=
V
Z1
DL (W2 )fL (W2 ) dW2
(41)
W20
wobei der Faktor 2 in Gl. (41) die beiden möglichen Spin-Orientierungen berücksichtigt.
Je gröÿer WF n , desto gröÿer ist fL (W2 ) und damit die Elektronendichte n. Die Inversion wird typischerweise bei Ladungsträgerdichten von n > 1018 cm 3 erreicht.
Die obigen Überlegungen gelten für strenge ~k -Erhaltung und Band-Band-Übergänge. Tatsächlich sind
diese Annahmen nur bedingt erfüllt. Die prinzipiellen Zusammenhänge bleiben jedoch auch bei genauerer Betrachtung erhalten.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
LED/1
Lichtemittierende Dioden (LED)
Lumineszenzdioden und Halbleiterlaser werden in der optischen Nachrichtentechnik überwiegend als
Doppel-Heterostrukturdioden aufgebaut. Dabei ist die aktive Zone (hier rekombinieren die Ladungsträger) von zwei Schichten mit einem gröÿerem Bandabstand WG umgeben. Der Name DoppelHeterostruktur kommt daher, dass auf beiden Seiten der aktiven Zone ein Wechsel des Halbleitermaterials erfolgt (z.B. InGaAs-InP in Abb. 1).
p -In P
E le k tr o d e n
n - o d e r p In G a A s P
( a k tiv e Z o n e )
n -In P
U
0
Abbildung 1: Beispiel einer Doppel-Heterostrukturdiode
In Abb. 1 ist eine derartige Diode dargestellt. Es handelt sich um eine pn-Diode, die in Flussrichtung
betrieben wird. Die Ladungsträger rekombinieren strahlend in der aktiven Zone. Bei Betrieb dieser
Diode in Flussrichtung ergibt sich das Bändermodell einer solchen Doppel-Heterostrukturdiode gemäÿ
der Darstellung in Abb. 2. Eine Doppel-Heterostruktur zeichnet sich dadurch aus, dass die Bandabstände der Heteroschichten WG 1 und WG 3 sehr viel gröÿer sind als der Bandabstand WG 2 der aktiven
Zone.
W
-
G 1
W
-
-
- - - - - - - - - - - W
F p
n -In P
+ + +
+ + +
W
G 2
In G a A s
+
+
+
W
F n
+
p -In P
+
G 3
+
d
Abbildung 2: Bändermodell in Fluÿrichtung
Bei einem reinen pn-Übergang ist die Inversionsbedingung WF n
WF p > WG nur bei sehr hohen
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
LED/2
Strömen erreichbar. Der Trick der Doppel-Heterostruktur besteht darin, dass sowohl die Elektronen
im Leitungsband als auch die Löcher im Valenzband Barrieren vornden, so dass nur in der sehr dünnen
aktiven Zone der Dicke d gleichzeitig genügend Elektronen im Leitungsband und freie Plätze (Löcher)
im Valenzband vorhanden sind, um eine hohe spontane und stimulierte Emission zu ermöglichen. Die
Dicke der aktiven Schicht beträgt bei LEDs typischerweise d 1 µm. Bei Halbleiterlasern kann diese
Dicke sogar bis auf wenige Nanometer (d.h. wenige Atomlagen) reduziert werden (siehe auch quantumwell-laser in Kapitel HL-STRUK). Dadurch kann auch bei geringen injizierten Stromdichten eine hohe
Ladungsträgerkonzentration in der aktiven Zone erzielt werden.
1 Lumineszenzdioden
Bei Lumineszenzdioden wird die Rekombination im wesentlichen durch die spontane Emission bestimmt. Sie ist proportional zum Produkt aus Elektronendichte n im Leitungsband und der Löcherdichte p im Valenzband.
Rsp fL (1 fV ) n p
(1)
Genauer:
Rsp = V B n p
(2)
3
mit dem Rekombinationskoezienten B in der Gröÿenordnung von einigen 10 10 cms .
Unter der Annahme, dass n und p sehr viel gröÿer sind als im thermodynamischen Gleichgewicht, kann
man die spontane Emissionsrate pro Volumen schreiben als (ohne Strominjektion):
Rsp
=
V
dn
=
dt
dp
=Bnp
dt
(3)
Man kann nun eine Bilanzgleichung für die Ladungsträger aufstellen gemäÿ
dp
dn
=
=
dt
dt
Rsp
I
+
V
eV
(4)
mit dem Injektionsstrom I . Das dynamische Modulationsverhalten einer LED lässt sich beschreiben
durch die Lebensdauer der spontanen Emission sp . Wenn sich z.B. die spontane Emission durch
Rsp =V = n=sp beschreiben lässt, klingt beispielsweise die Ladungsträgerdichte n nach Abschalten
des Injektionsstroms I ( I = 0 ) gemäÿ
t
sp
n = n0 exp
!
(5)
ab, so dass damit die maximale Modulationsfrequenz ungefähr durch
fg
2 1 sp
gegeben ist.
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(6)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
LED/3
1. Undotierte aktive Zone
Für eine undotierte aktive Zone gilt die Ladungsneutralität n = p und damit:
dn
=
dt
Rsp
= B n2 =!
V
mit
sp =
n
sp
1
Bn
(7)
(8)
Das heiÿt, dass die Lebensdauer bei zunehmender Ladungsträgerinjektion sinkt. Für eine schnelle
Modulierbarkeit ist also eine hohe Ladungsträgerinjektion (bzw. hohes n) erforderlich.
3
Beispiel: Es sei n = 3 1018 cm 3 und B = 2 10 10 cms . Dann ergibt sich eine Lebensdauer der
spontanen Emission von sp = 1; 7 ns.
Eine derartige LED ist also bis ca. 100 MHz modulierbar.
2. Dotierte aktive Zone
In einer dotierten aktiven Zone müssen n und p nicht unbedingt sehr viel gröÿer als im thermodynamischen Gleichgewicht sein. Aus diesem Grund muss dann Gl. (7) modiziert werden.
a) p-Dotierung mit der Akzeptor-Konzentration NA
p n + NA
dn
= B n p = B n (n + NA )
dt
) sp = B (n1+ N )
A
(9)
(10)
(11)
b) n-Dotierung mit der Donator-Konzentration ND
n p + ND
dp
= B p (p + ND )
dt
) sp = B (p 1+ N )
D
(12)
(13)
(14)
Für ND p bzw. NA n wird die Lebensdauer bei einer dotierten aktiven Zone weitgehend
unabhängig von der Ladungsträgerkonzentration. Mit zunehmender Dotierung kann die LED
also schneller moduliert werden. Dabei steigt allerdings auch die nichtstrahlende Rekombination
mit der Lebensdauer ns . Bei hoher nichtstrahlender Rekombination ist es sinnvoll, eine eektive
Lebensdauer e einzuführen:
1
1
1
=
+
(15)
e
sp
ns
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
LED/4
wobei bei hoher Dotierung e relativ klein werden kann und damit eine hohe Modulationsfrequenz
fg = 21e erreicht wird (allerdings auf Kosten des Wirkungsgrades).
Abbildung 3: LED als Flächenemitter (Burrus-Diode)
Um eine gute Wärmeableitung zu gewährleisten, ist es wichtig, dass sich die aktive Zone nahe der
Wärmesenke bendet. Der Stromuss muss auf einen Leuchteck mit dem Durchmesser dL begrenzt
werden. In Abb. 3 besteht die aktive Zone beispielsweise aus GaAs mit Heteroschichten aus GaAlAs auf
einem Substrat aus GaAs. Da für dieses Ausführungsbeispiel das Substrat für die Emissionswellenlänge
nicht transparent ist, wird in das Substrat ein Loch geätzt, in das die Faser eingeführt wird (BurrusDiode). Die Lichtemission der LED in Abb. 3 erfolgt senkrecht zur Schichtenfolge. Eine solche LED
wird auch als Flächenemitter (surface-emitter) bezeichnet.
Beispiel: Für eine typische Dimensionierung mit den Daten
dL = 30 µm
Durchmesser des Leuchtecks
d = 0; 5 µm
Dicke der aktiven Zone
I = 100 mA
Injektionsstrom
sollen n und e ( = sp , mit der Annahme ns = 1 ) bestimmt werden.
Das aktive Volumen ist V = 4 dL2 d = 3; 5 10 10 cm3 . Nach Gl. (4) und Gl. (7) gilt mit e = sp
im stationären Zustand ( ddt = 0):
e I
eV
(16)
I
eV B
(17)
n=
Für eine undotierte Zone und e = sp gemäÿ Gl. (8) folgt aus Gl. (16)
n2 =
Mit B = 2 10 10 cms , e = 1; 6 10 19 As und den oben angenommenen Daten folgt daraus eine
Ladungsträgerdichte n = 3 1018 cm 3 und damit eine eektive Lebensdauer e = 1; 7 ns , was einer
Grenzfrequenz fg 100 MHz entspricht.
3
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
LED/5
2 Abgegebene optische Leistung
Der Wirkungsgrad einer LED - also das Verhältnis von abgegebener optischer Leistung zu aufgenommener elektrischer Leistung - ist normalerweise relativ klein (Gröÿenordnung von einigen Prozent).
Aufgrund der hohen Brechzahl der aktiven Zone ( n 3; 5 ) wird der gröÿte Teil der spontanen
Emission total reektiert und gelangt nicht aus dem Halbleiter heraus. Auch die nichtstrahlende Rekombination senkt den Wirkungsgrad. Da die Gröÿe der nichtstrahlenden Rekombination von der
Dotierung abhängt, hängt auch die abgegebene Leistung der Diode von der Dotierung und damit von
der Grenzfrequenz fg der Diode ab (Abb. 4).
Abbildung 4: Abgegebene Leistung für Dioden unterschiedlicher Grenzfrequenz fg (Leuchteckdurchmesser dL = 50 µm , I = 300 mA)
Statt der abgegebenen Leistung P wird häug die Strahldichte SR angegeben. Sie ist deniert als
^ Eindie emittierte Leistung pro Flächen- und Raumwinkeleinheit und hat die Dimension cmW2 sr ( sr=
heit des Raumwinkels, eigentlich dimensionslos). Die LED als Flächenemitter weist eine Lambertsche
Strahlungscharakteristik auf (kreisförmiges Strahlungsdiagramm in Abb. 3):
S ( ) = SR cos( )
(18)
Die gesamte emittierte Leistung beträgt damit
P0 = dL2
4
Z
S ( ) d
wobei die Integration in Gl. (19) über einen Halbraum erfolgt.
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(19)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
LED/6
Daraus folgt (siehe auch Abb. 5)
P0 = dL2 SR
4
Z2
2 sin( ) cos( ) d =
0
2 2
d S
4 L R
(20)
d g
d W
g
= 2 p × s in g × d g
1
Abbildung 5: Das Raumwinkelelement d
Beispiel: Mit den Werten SR = 100 cmW2 sr und dL = 50 µm ergibt sich eine gesamte emittierte Leistung
von P0 = 6; 2 mW.
3 Kopplung von einer LED an eine Stufenfaser
Es wird zunächst angenommen, dass der Durchmesser des Leuchtecks der LED gröÿer als der Durchmesser der Faser ( dL > 2a ) ist. Die LED und die Faser sollen dabei wie in Abb. 3 angeordnet sein.
Die numerische Apertur der Faser soll genügend klein sein, so dass für alle Akzeptanzwinkel von einer
konstanten Leistungsdichte S ( ) ausgegangen werden kann. Mit
a2
Fläche der Faser
A2N
akzeptierter Raumwinkel
folgt für die in die Stufenfaser gekoppelte Leistung P1 :
P1 = SR 2 a2 A2N
(21)
Beispiel: SR = 100 cmW2 sr , a = 25 µm , AN = 0; 2
)
P1 = 0; 25 mW
(22)
Der Koppelwirkungsgrad ist bestimmt durch das Verhältnis von eingekoppelter Leistung P1 zur insgesamt emittierten Leistung P0 .
P
= 1 =
P0
2a
dL
!2
A2N
für 2a dL
(23)
Ist der Durchmesser der Faser gröÿer als der Durchmesser des Leuchtecks ( 2a dL ), so gilt für die
eingekoppelte Leistung
!
P1 = SR
dL
2
2
A2N
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(24)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
LED/7
und mit Gl. (20) für den Koppelwirkungsgrad
=
P1
= A2N
P0
(25)
Der Koppelwirkungsgrad von der LED in die Faser ist damit relativ klein. So ergibt sich beispielsweise
für AN = 0; 2 gemäÿ Gl. (25) ein Koppelwirkungsgrad von nur 4%.
Inwieweit ist die eingekoppelte Leistung in die Faser durch geeignete Abbildung über Gl. (21) und (24)
hinaus erhöhbar? Wir betrachten dazu ein allgemeines System gemäÿ Abb. 6.
F 1, A
L e is tu n g P
N 1
1 0
L e is tu n g P
2 0
F 2, A
N 2
A b b ild e n d e s S y s te m
Abbildung 6: Kopplung von einer LED mit der Fläche F1 in eine Faser der Fläche F2 mit Hilfe eines
abbildenden Systems
In Abb. 6 sei in einem verlustlosen System P10 die Leistung vor und P20 die Leistung nach dem
abbildenden System. Es gelte
P10 = P20
(26)
Wie bei der Kopplung von Fasern (Kapitel KOP) gilt die Abbildungsgleichung
F1 A2N 1 = F2 A2N 2
(27)
Daraus folgt für die Strahldichten:
SR1 =
P20
P10
=
= SR2
F1 A2N 1 F2 A2N 2
(28)
Die Strahldichte bleibt also beim Durchgang durch verlustfreie optische Systeme erhalten. Insbesondere
ist damit die Strahldichte z.B. einer LED nicht erhöhbar. Daraus folgt:
1. Bei vorgegebener Strahldichte einer LED ist die maximal einkoppelbare Leistung durch Gl. (21)
gegeben.
2. Ist der Durchmesser der Faser kleiner als der Durchmesser des Leuchtecks ( 2a < dL ), so bringt
eine Abbildungsoptik zwischen LED und Faser keine Verbesserung.
3. Ist der Durchmesser der Faser gröÿer als der Durchmesser des Leuchtecks ( 2a > dL ), so kann
2
durch eine vergröÿernde Abbildung die eingekoppelte Leistung maximal um den Faktor d2La
erhöht werden.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
Gl. (21) kann mit
F1 A2N 1 =
LED/8
2
M
2
(29)
2
M
2
(30)
verallgemeinert werden zu (M - Anzahl der Eigenwellen bzw. der Freiheitsgrade)
P1 = SR Beispiel: Die einkoppelbare Leistung in eine einwellige Faser mit = 0; 85 µm , SR = 100 cmW2 sr und
M = 2 ist P1 = SR 2 = 0; 72 µW .
Wegen dieser geringen Leistung ist die Verwendung von Flächenemitter-LEDs in der optischen Nachrichtentechnik nur in Verbindung mit vielwelligen Fasern sinnvoll.
Wird die LED als Kantenemitter ausgeführt, können Strahldichten SR > 1000 cmW2 sr erzielt werden.
Der Aufbau eines Kantenemitters ist dem Aufbau eines Halbleiterlasers bereits sehr ähnlich (siehe Abb.
7).
Abbildung 7: Beispiel eines Kantenemitters
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
HL-STRUK/1
Halbleiterlaserstrukturen (HL-STRUK)
1 Quantum-well Laser
Im Abschnitt HL hatten wir im wesentlichen Halbleiterlaserstrukturen betrachtet mit Dicken d der
aktiven Zone bis herab zu ca. 0:1m = 100nm. Um bei einer gegebenen Injektionsrate möglichst hohe
Ladungsträgerdichten zu erzielen, ist es zweckmäÿig, das Volumen der aktiven Zone möglichst klein
zu halten. Deshalb kann es sinnvoll sein, die Dicke der aktiven Zone nochmals deutlich auf Werte von
ca.
d = 5:::10 nm
zu reduzieren. Dies entspricht dann Dicken von nur noch ca. 10-20 Atomlagen. Weiterhin kommen
derartig geringe Dicken der aktiven Zone bereits in die Gröÿenordnung der Elektronenwellenlänge, so
daÿ sich ähnlich wie bei einem dünnen dielektrischen Wellenleiter quantisierte Zustände (entspricht
beim dielektrischen Wellenleiter den jeweiligen Eigenwellen) ergeben. Man spricht bei derartig dünnen
Schichten auch von sogenannten Quantenlmen (engl. Quantum-wells). Schichten mit Dicken d 100nm werden im Gegensatz dazu auch als bulk-Schichten bezeichnet. Aufgrund der Quantisierung
der Zustände ergeben sich in Quantenlmen auch andere Verstärkungscharakteristiken.
Abb. 1: Berechnete Verstärkungscharakteristik eines Quantenlms (d = 7nm), durchgezogene Kurve,
im Vergleich zum bulk-Material. Halbleiter: InGaAsP/InGaAs/InP [H.Burkhard, Optische Sender,
Grundlagen, in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer,
2002]
Die Verstärkung in Abb. 1 bezeichnet die Verstärkung innerhalb des Halbleiters. Zur Bestimmung
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
HL-STRUK/2
d
G R IN - S Q W
d
d <~ 1 0 n m
S tru k tu r
d >~ 1 0 0 n m
E n e r g ie b a n d lü c k e
E n e r g ie b a n d lü c k e
" b u lk " a k tiv e
S c h ic h t
E n e r g ie b a n d lü c k e
der Verstärkung im Wellenleiter ist die Verstärkung noch mit dem Füll-Faktor (vgl. S. HL/6) zu
gewichten. Bei sehr dünnen Schichten ist jedoch die optische Wellenführung sehr schlecht, so daÿ in
der Regel Maÿnahmen zur Verbesserung der optischen Wellenführung erforderlich sind. In Abb. 2 ist
dazu oben der konventionelle Aufbau einer bulk-aktiven Schicht (Doppel-Heterostruktur) dargestellt.
Um auch bei kleineren d eine eektive optische Wellenführung zu erreichen, kann z.B. eine GRIN
(graded index) - SQW (single quantum well) Struktur realisiert werden, bei der durch schichtweise
Veränderung der Halbleiterzusammensetzung eine Doppelheterostruktur mit gradueller Veränderung
der Bandlücke entsteht. So lassen sich auch für d 10nm Füllfaktoren von einige % realisieren.
Aufgrund der begrenzten Anzahl der Zustände in einem Quantenlm ist auch die Verstärkung in einem
einzelnen Quantenlm (engl. single quantum well - SQW) begrenzt, so daÿ es zweckmäÿig sein kann,
die aktive Zone aus mehreren Quantenlmen zusammenzusetzen (MQW - multiple quantum well).
Eine mögliche MQW-SCH (SCH - separate connement heterostructure)-Struktur ist auch in Abb. 2
dargestellt.
M Q W
d
- S C H S tru k tu r
Abb. 2: Bandstruktur von bulk- und Quantenlm-Lasern
Im Gegensatz zu bulk aktiven Sichichten können Quantenlme aufgrund ihrer geringen Dicke durchaus auch verspannt sein (wobei Verspannungen durch die unterschiedlichen Gitterkonstanten hervorgerufen werden). So ist beispielsweise auf der Basis von GaAs-Substraten mit GaAs/GaAlAsHeteroschichten die Realisierung von verspannten InGaAs - Quantenlmen möglich, womit z.B. Halbleiterlaser bei = 980nm (wie sie als Pumpquelle für Er-dotierte Faserverstärker eingesetzt werden)
realisiert werden.
Durch gezielte Einstellung der Verspannung in Quantenlmen kann auch die Schwellstromdichte erheblich reduziert werden. Als ein Beispiel für = 1; 5m -Laser mit ternären InGaAs- bzw. quaternären
InGaAsP-Quantenlmen zeigt Abb. 3 die Schwellstromdichte pro Quantenlm, wobei Werte unterhalb
von 100 A=cm2 erreicht werden können.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
HL-STRUK/3
Abb. 3: Erreichbare Schwellstromdichten in verspannten Quantenlmen mit Druck-(compression) bzw.
Zug- (tension) Verspannung [P.J.A. Thijs et. al., OFC/IOOC'93]
Mit Quantenlm-Lasern lassen sich sehr kleine Schwellstromdichten realisieren. Als Beispiel zeigt Abb.
4 die Laserstruktur und Licht-Strom-Kennlinien eines Lasers mit 2 Quantenlmen in InGaAs und einer
GRIN-SCH-Struktur.
2 Laterale Strukturierung von Halbleiterlasern
Im Kapitel HL wurde die optische Wellenführung senkrecht zur aktiven Zone diskutiert. Durch entsprechende laterale Strukturierung des Halbleiterlasers muÿ aber auch sichergestellt sein, daÿ parallel
zur aktiven Zone eine optische Wellenführung gewährleistet ist.
In der einfachsten Form (Abb. 5, oben links) besteht die laterale Strukturierung nur in der Anordnung
eines schmalen Kontaktstreifens w 5m, was dann zu einer ortsabhängigen Ladungsträgerinjektion
in die aktive Schicht und so zu einer lateralen Variation der optischen Verstärkung g führt. Man kann
allein damit einen lateralen Wellenleiter denieren, da sich die optische Welle bevorzugt in Bereichen
hoher optischer Verstärkung aufhält. Man spricht bei einem derartigen Laser von Gewinnführung
(engl. gain-guiding).
Derartige Laser tendieren zu Instabilitäten der Licht-Strom-Kennlinie (sogenannte kinks) und zeigen
gekrümmte Phasenfronten. Sie haben deshalb relativ breite laterale Fernfeldverteilungen und lassen
sich deshalb auch relativ schlecht in z.B. einwellige Fasern einkoppeln. Sie zeigen auch typischerweise
eine Emission in mehreren longitudinalen Moden (Multimode-Spektrum).
Bessere Laseremissionseigenschaften erhält man, wenn auch die laterale optische Wellenführung eine Brechzahlvariation aufweist, indem wie in optischen Wellenleitern der zentrale Bereich lateral von
Bereichen kleinerer Brechzahl umgeben ist. Man spricht dann (Abb. 5 oben rechts) von einer Indexführung (engl. index-guiding). Derartige index-geführte Halbleiterlaser sind zwar aufwendiger zu
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
a
HL-STRUK/4
b
Abb. 4: Laserstruktur (4a) und Licht-Strom-Kennlinien (4b) eines Lasers mit 2 InGaAs-Quantenlmen
[T.R. Chen et. al., Appl. Phys. Lett., 60(1992), p. 1782]
realisieren, sie zeigen aber deutlich stabilere Emissionseigenschaften. Realisierungsbeispiele für gewinngeführte Halbleiterlaser zeigt Abb. 6, während Abb. 7 Beispiele für index-geführte halbleiterlaser
mit vergrabener aktiver Schicht zeigt (buried-heterostructure, BH-Laser). Die Laser auf der Basis
von InP-Substraten sind dabei im allgemeinen dimensioniert für = 1; 3:::1; 65m, während die Laser
auf der Basis von GaAs-Substraten typischerweise für = 750:::850nm ausgelegt sind (u.U. auch
= 980nm mit InGaAs-Quantenlmen).
Bei den Lasern mit vergrabener aktiver Schicht in Abb. 7 ist sichergestellt, daÿ die aktive Zone rundherum von Materialen kleinerer Brechzahl umgeben ist. Diese Laser können sehr kleine Schwellströme
aufweisen (siehe z.B. Abb. 4), sie sind aber aufgrund der Notwendigkeit mehrerer Epitaxieschritte
aufwendig zu realisieren.
Etwas einfacher zu realisieren sind quasi-index-geführte Halbleiterlaser in Abb. 8, bei denen die aktive
Schicht nicht unterbrochen ist. Im Vergleich zu Abb. 7 weisen diese Laser höhere Schwellströme auf,
sie sind aber auch bis zu hohen optischen Leistungen betreibbar.
3 Vertikal emittierende Halbleiterlaser
Bisher haben wir ausschlieÿlich kantenemittierende Halbleiterlaser kennengelernt, bei denen das Licht
aus einer gespaltenen Halbleiterkristall-Endäche austritt. Leider sind derartige Laser nicht so einfach
an einen Lichtwellenleiter koppelbar (zur ezienten Lichteinkopplung ist in der Regel eine Linse erforderlich) und sie sind aufgrund der Notwendigkeit einer gespaltenen Kristallendäche nicht on-wafer
testbar.
Eine Alternative dazu stellen vertikal emittierende Halbleiterlaser dar, die auch als VCSEL (engl. vertical
cavity surface emitting laser) bezeichnet werden. Das Grundprinzip eines derartigen Lasers besteht darin, daÿ sich die Laserschwingung nicht entlang der aktiven Schicht ausbildet, sondern senkrecht dazu,
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
HL-STRUK/5
Gewinnführung
Indexführung
Laserstruktur: Oxidstreifenlaser
Vergrabene aktive Schicht
w
w
Isolator
Isolator
p-Kontakt
p
p-Kontakt
p
d
aktive Schicht
x
n<nakt
n
n
n-Kontakt
y
n-Kontakt
PI-Kennlinie:
lateraler Wellenführung
5
- starke Verrundung an
an der Schwelle wegen
P / mW →
P / mW →
- "kinks" wegen instabiler
10
stabiler, lateral
10
einmodiger Betrieb
mit kleiner Schwelle
5
hoher spontaner
Emission
0
100
50
0
0
50
0
100
I / mA →
I / mA →
vielmodig wegen
1.0
starker spontaner
Emission (K≈10)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1.520
1.525
1.530
1.535
1.540
Intensität / bel. Einh. →
Intensität / bel. Einh. →
Spektrum:
wenige Moden wegen
1.0
geringer spontaner
Emission (K≈1)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1.520
Wellenlänge / µm →
1.525
1.530
1.535
1.540
Wellenlänge / µ m →
Intensität / bel. Einh. →
Intensität / bel. Einh. →
Fernfeld:
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-40
-20
0
20
40
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-40
Winkel θ / Grad →
Phasenfronten:
-20
0
20
40
Winkel θ / Grad →
zylindrisch gewölbt,
Astigmatismus
ebene Phasenfronten
w
w
y
y
z
z
Abb. 5: Eigenschaften von Gewinn- und Index-geführten Halbleiterlasern [S. Hansmann, Laserdioden,
in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer, 2002]
wie in Abb. 9 schematisch skizziert ist. Es werden dabei dielektrische Spiegel mit 4 -Mehrfachschichten
und Reektivitäten R1 ; R2 nahe 1 benötigt, um ein Anschwingen zu ermöglichen.
Die Anschwingbedingung (ohne Streuverluste s ) ist dann ähnlich wie in Gl. 15 (HL/10) gegeben
durch
exp(2gst d ) = 1=(R1 R2 )
(1)
bzw. für gst d << 1 durch
2gst d = 1
R1 R2
(2)
Auch für VCSELs werden gern Quantenlm-Schichten verwendet, wobei sich zum Beispiel für R1 =
99%, R2 = 99; 8%, d = 10nm eine notwendige Verstärkung gst = 6000=cm ergibt. Eine solche
Verstärkung ist noch realisierbar, so daÿ sich damit VCSELs realisieren lassen.
Ein konkretes Ausführungsbeispiel zeigt Abb. 10, wobei die Spiegel durch 4 -GaAs/ 4 -(Ga)AlAs-Schichtfolgen
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
HL-STRUK/6
Abb. 6: Gewinn-geführte Halbleiterlaser [S. Hansmann, Laserdioden, in: Voges, Petermann; Handbuch
der Optischen Kommunikationstechnik, Springer, 2002]
4 m m
2 m m
+
A u Z n
S iO
2
n - A lG a A s
p - A lG a A s
p - A lG a A s
n - A lG a A s
+
n -In P
G a A s ( a k t iv )
p -In P
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In G a A s P ( a k tiv )
n -In P
n -G a A s S u b s tra t
n -In P S u b s tra t
n -K o n ta k t
A u G e
B u r ie d h e te r o s tr u c tu r e ( B H ) L a s e r
E tc h e d - m e s a b u r ie d h e te r o s tr u c tu r e ( E M B H )
6 m m
+
S iO
p + -In G a A s P
p -In P
p -In P
p -In P
S iO
2
p -In P
n -In P
p -In P
2
s .i.- In P
A u G e /A u
n -In P
p -In P
In G a A s P ( a k tiv )
In G a A s P ( a k tiv )
n -In P S u b s tra t
p -In p S u b s tra t
A u G e
A u Z n -K o n ta k t
D o u b le - c h a n n e l p la n a r b u r ie d h e te r o s tr u c tu r e
(D C P B H ) L a s e r
-
3 m m
3 m m
A u Z n
p -In P
p -K o n ta k t
p -In G a A s P
p +-G a A s
P ilz s tr u k tu r L a s e r
Abb. 7: Index-geführte Halbleiterlaser mit vergrabener aktiver Schicht [S. Hansmann, Laserdioden,
in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer, 2002]
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
HL-STRUK/7
4 m m
2 m m
p -In G a A s P
p +-G a A s
2
n -G a A s
p - A lG a A s
p -In G a A s P
n - A lG a A s
n -In P
n -G a A s -S u b s tra t
n -In P -S u b s tra t
A u G e N i- E le k t r o d e
n -K o n ta k t
In G a A s P
( a k tiv )
m e ta l- c la d - r id g e w a v e g u id e ( M C R W ) - L a s e r
p + - Z n - D iffu s io n
+
A u Z n - E le k tr o d e
p - A l0 .6 G a
( a k t iv )
0 .4
A s
p - A l0 .1 5 G a 0 .8 5 A s ( a k t iv )
n - A l0 .6 G a 0 .4 A s
0 .0 5 m m
0 .3 m m
S iO
G a A s
+
p -K o n ta k t
1 .5 m m
C r - A u - E le k tr o d e
4 m m
+
n -G a A s -S u b s tra t
A u G e - E le k tr o d e
r id g e w a v e g u id e L a s e r
c h a n n e le d - s u b s t r a t e p la n a r ( C S P ) - L a s e r
Abb. 8: Quasi-index-geführte Halbleiterlaser mit nicht unterbrochener aktiver Zone [S. Hansmann,
Laserdioden, in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer,
2002]
R
1
d
R
2
Abb. 9: Schematische Darstellung eines vertikal emittierenden Halbleiterlasers mit der aktiven Schicht
der Dicke d und den Spiegel-Reektivitäten R1 ; R2
realisiert werden, die an das GaAs-Substrat gitterangepaÿt sind.
Ein Durchbruch ist bisher aber nur erreicht worden bei VCSELn auf der Basis von GaAs-Substraten und
Spiegeln mit Mehrschicht-Paaren aus Ga(Al)As/(Ga)AlAs, so daÿ mit aktiven Zonen aus Ga(Al)As
der Wellenlänge 850nm und mit verspannten aktiven InGaAs-Quantenlm-Schichten noch Wellenlängen bis herauf zu 1m erreicht werden können. Es lassen sich sehr eziente Laser mit
sehr kleinen Schwellströmen realisieren. So zeigt Abb. 11 einen VCSEL für 970nm mit einem
Fleckdurchmesser von 7m, der nur einen Schwellstrom Is = 0:35mA aufweist. Gleichzeitig lassen
sich bei einem Strom von nur 2 mA Gesamtwirkungsgrade > 50% (=
[optische Leistung]/[elektrische
Leistung]) realisieren, so daÿ sich hier eine äuÿerst eektive Lichtquelle ergibt.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
HL-STRUK/8
n
Abb. 10: Prinzipieller Aufbau eines VCSEL (links) und Realisierung eines zweidimensionalen VCSELarrays (rechts) [K.J. Ebeling, Laserdioden mit Vertikalresonator (VCSELs) für optische Verbindungssysteme, in: Voges, Petermann; Handbuch der Optischen Kommunikationstechnik, Springer,
2002]
Abb. 11: Licht/Strom und Spannung/Strom-Kennlinien für einen VCSEL mit 7m Durchmesser für
= 970 nm [K.L. Lear et. al., Electron. Lett., (31)1995, p. 208]
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
MOD/1
Modulationsverhalten von Halbleiterlasern (MOD)
(siehe auch: K. Petermann, Laser diode modulation and noise, Kluwer Academic, 1991)
1 Bilanzgleichungen
Das Modulationsverhalten von Halbleiterlasern läÿt sich am einfachsten beschreiben mit den sogenannten Bilanz- (oder Raten-) Gleichungen.
1.1 Bilanzgleichung für die Photonen
Wir betrachten einen spektral einwelligen Laser, in dessen Lasermodus sich S Photonen benden. Es
gilt dann für die zeitliche Veränderung der Photonenanzahl im Laserresonator:
dS
= rst S
dt
S=ph + rsp
(1)
Dabei bezeichnet rst die eektive stimulierte Emissionsrate im Lasermodus
rst =
Rst
(2)
die nach Maÿgabe des Füllfaktors (vgl. S. HL/6) gegenüber der Volumenrate der stimulierten Emission Rst reduziert ist. Entsprechend reduziert sich auch die spontane Emissionsrate
rsp =
Rsp ;
(3)
wobei wir mit dem Verhältnis
nsp = rsp =rst = Rsp =Rst
(4)
den sogenannten Inversionsfaktor bezeichnen. Entsprechend Seite L/11, L/12 gilt
Rst = Rstim
so daÿ
nsp =
Rsp
Rabs = Rsp
Rsp
=
Rabs 1
Rabs ;
(5)
1
:
Rabs =Rsp
(6)
Damit ist stets nsp > 1. Nur für vollständige Inversion (Besetzungswahrscheinlichkeit im Valenzband
fV = 0 bzw. Besetzungswahrscheinlichkeit im Leitungsband fL = 1) wird Rabs = 0 und damit nsp = 1
(Dies entspricht übrigens auch dem Fall minimalen Rauschens für Laserverstärker, vergleiche Kapitel
EDFA). Typischerweise ist bei Halbleiterlasern nsp 1; 5:::2; 5.
ph in Gl. (1) bezeichnet die sogenannte Photonenlebensdauer und beinhaltet sowohl die Streuverluste
s als auch die Spiegelverluste m (m = 21L ln( R11R2 ) für den Fabry-Perot-Laser auf Seite HL/10)
gemäÿ
1
= (s + m )c=N
ph
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(7)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
MOD/2
mit der Lichtgeschwindigkeit c und dem Gruppenindex N im Laserresonator. Damit läÿt sich die
Bilanzgleichung (1) auch schreiben:
dS
= rst (S + nsp )
dt
S=ph :
(8)
Um einen Eindruck vom Einuÿ der spontanen Emission (nsp ) zu erhalten, ist es zweckmäÿig, eine
typische Photonenanzahl S im Laserresonator abzuschätzen.
1.1.1 Zusammenhang zwischen Photonenanzahl S und optischer Leistung P
Die gesamte (von beiden Spiegelfacetten) emittierte optische Leistung P des Lasers läÿt sich abschätzen gemäÿ:
P = (h ) ext (Anzahl stimuliert erzeugter Photonen/Zeit):
(9)
i
Mit (vergl. Seite HL/15)
ergibt sich dann aus Gl. (9):
ext =i = m =(s + m );
(10)
m
r S:
s + m st
(11)
P = (h )
d = 0 in Gl.
Wenn man weiterhin berücksichtigt, daÿ für S >> nsp im stationären Gleichgewicht ( dt
(8)) rst ' 1ph gilt, erhält man mit Gl. (7) schlieÿlich folgenden Zusammenhang:
P = (h )m (c=N )S
(12)
Mit typischen Parametern sowohl für kantenemittierende als auch ächenemittierende (VCSEL) Halbleiterlaser (m ' 28=cm, c=N = 7 107 m=s , = 1; 55m) gilt beispielsweise
S = 40:000 [P=mW ],
so daÿ sich dann für eine emittierte Leistung von 5 mW immerhin 200.000 Photonen im Laserresonator
benden und damit nsp in der Bilanzgleichung (8) im allgemeinen vernachlässigt werden kann (nsp
bestimmt allerdings ganz wesentlich das Rauschverhalten von Laserdioden und Laserverstärkern).
1.2 Bilanzgleichung für die Ladungsträger
Für die Bilanz der Ladungsträgerdichte n gilt:
dn
I
=
dt
eV
R(n)
rst S=V
(13)
Dabei bezeichnet der erste Term auf der rechten Seite (I - Injektionsstrom, e - Elementarladung, V Volumen der aktiven Zone) die Anzahl der in die aktive Zone injizierten Ladungsträger pro Volumen
und Zeit. Der zweite Term R(n) beschreibt die spontane und die nichtstrahlende Ladungsträgerrekombination. Der dritte Term beschreibt schlieÿlich den Ladungsträgerverbrauch aufgrund der stimulierten
Emission.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
MOD/3
R(n) kann entwickelt werden um die Ladungsträgerdichte n = ns (ns - Ladungsträgerdichte oberhalb
der Laserschwelle) entsprechend:
R(n) = R(ns ) +
dR
(n
dn
ns ) = R(ns ) +
1
(n
e
ns )
(14)
mit der Elektronenlebensdauer e = (dR=dn) 1 .1
Mit dem Schwellstrom Is = e V R(ns )läÿt sich (13) umschreiben:
dn I Is
=
dt
eV
1
(n
e
ns )
G S=(V ph );
(15)
wobei noch zusätzlich die normierte Verstärkung
G = rst ph = g=gs
(16)
eingeführt wurde.
2 Einschaltverhalten von Halbleiterlasern
Idealerweise würde sich die emittierte Leistung bei moduliertem Strom durch Spiegelung an der
Licht/Strom-Kennlinie ergeben, wie dies in Abb. 1 schematisch dargestellt ist.
Das dynamische Modulationsverhalten ist aber komplizierter, und zunächst soll die Reaktion des Lasers
auf einen Stromsprung von I0 (I0 < IS ) auf I1 (I1 > IS ) analysiert werden. Entsprechend Abb. 2 führt
der Unterlegstrom I0 zunächst zu einer Ladungsträgerdichte n0 < nS . Wird nun der Strom sprunghaft
auf I1 erhöht, steigt die Ladungsträgerdichte allmählich (bestimmt durch die Elektronenlebensdauer
e in Gl. (15)) bis auf n = nS an, wo die Laserschwelle erreicht wird und die Laseremission einsetzt.
Das Einsetzen der Laseremission ist dann begleitet von Relaxationsoszillationen der Frequenz fr . Diese
Relaxationsoszillationen entstehen aufgrund des Wechselspiels zwischen der Dynamik der Photonen
(ausgedrückt durch die Photonenlebensdauer ph von einigen ps) und die Ladungsträgerdynamik (ausgedrückt durch die Ladungsträgerlebensdauer e in der Gröÿenordnung von ns).
Das dynamische Verhalten wird damit bestimmt durch die Einschaltverzögerung tS und die Relaxationsoszillationen der Frequenz fr .
2.1 Einschaltverzögerung
Die Einschaltverzögerung tS bezeichnet die Zeit, die vergeht, bis die Ladungsträgerdichte nS erreicht
wird. Während dieser Zeit ist die Photonenanzahl im Laserresonator noch sehr gering (S 0).Zur
Zeit t=0 werde der Strom von I0 < IS auf I1 > IS geschaltet, und als Lösung von Gl. (15) (für S=0)
ergibt sich für t tS :
n(t )
1
nS =
e
[(I
eV 1
IS )
(I1
I0 )exp( t=e )]
Im Kapitel HL war vereinfachend R(n) = n=e gesetzt worden
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(17)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
MOD/4
Abb. 1: Ideales Modulationsverhalten eines Halbleiterlasers
Für t = tS gilt n(tS ) = nS woraus sich die Einschaltverzögerung tS aus Gl. (17) für t = tS ergibt:
tS = e ln
I1
I1
I0
; (I < IS , I1 > IS )
IS 0
(18)
Die Einschaltverzögerung verschwindet für I0 = IS .Deshalb ist eine Regelung für den Unterlegstrom
I0 erforderlich, um Schwankungen des Schwellstroms IS z.B. aufgrund von Temperaturschwankungen
auszugleichen. Sie verschwindet auch für Unterlegströme I0 > IS , allerdings ist man im allgemeinen
an einem möglichst hohen Extinktionsverhältnis P1 =P0 interessiert, weshalb I0 möglichst nahe am
Schwellstrom IS liegen sollte. Um auf jegliche Regelung des Vorstroms I0 zu verzichten, ist man
gelegentlich auch an einem vorstromfreien Betrieb (I0 = 0) des Lasers interessiert. Für I1 =IS >> 1
können sich u.U. genügend kleine Einschaltverzögerungen ergeben. Aus Gl. (18) folgt für I0 = 0 und
I1 =IS >> 1:
tS = I1 e
(19)
IS
1
Der vorstromfreie Betrieb ist im allgemeinen auf Bitraten B
B tS << 1 zu gewährleisten.
1Gbit=s beschränkt, um
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
MOD/5
I
I1
I0
t
(a )
P
P
1
P
tS
1 /fr
0
n
n
S
n
0
t
(b )
(c )
t
Abb. 2: Einschaltverhalten eines Halbleiterlasers (Injektionsstrom (a), Emittierte optische Leistung
(b), Ladungsträgerdichte (c))
3 Kleinsignalmodulationsverhalten
Das Modulationsverhalten wird mit den Gl. (8), (15) durch 2 gekoppelte nichtlineare Dierentialgleichungen beschrieben. Für einen einfachen Überblick ist es zweckmäÿig, die Bilanzgleichungen um einen
festen Arbeitspunkt herum zu linearisieren:
I = I0 + Re (Iexp(j!m t ))
(20)
S = S0 + Re (Sexp(j!m t ))
(21)
n = n0 + Re (nexp(j!m t ))
(22)
mit j n j<< n0 ; j S j<< S0 ; j I j<< I0 . Hier soll der Strom im Arbeitspunkt I0 > IS
gewählt sein und S0 , n0 bezeichnen die Photonenanzahl bzw. die Ladungsträgerdichte für I = I0 .
Wie schon in Gl. (15) wird auch in Gl. (8) die normierte Verstärkung G = rst ph eingeführt, wobei
zusätzlich noch berücksichtigt werden soll, daÿ aufgrund optisch nichtlinearer Eekte bei extrem hohen
Photonenanzahlen die Verstärkung abnimmt, so daÿ für G in Erweiterung von Gl. (16) geschrieben
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
werden kann
MOD/6
G = rst ph (1
s S )
(23)
Man kann typischerweise davon ausgehen, daÿ bei einer Photonendichte S 0 = S=V = 1016 cm 3
die Verstärkung um ca. 10 Prozent zurück geht, also s S = 0:1 für S=V = 1016 cm 3 und damit
s ( =V )10 17 cm3 . Wenn man nsp in Gl. (8) noch vernachlässigt, gilt
ph
dS
= (G (n; S )
dt
1)S
(24)
Die Linearisierung von Gl. (24) mit (21), (22) ergibt:
j!m ph S = S0 (
@G
n
@n
s S )
(25)
wobei bereits von s @G=@S und G (n0 ; S0 ) = 1 Gebrauch gemacht wurde.
Entsprechend ergibt sich aus Gl. (15) für die Ladungsträgerbilanz:
j!m n =
I
eV
n
e
S
V ph
S0 @G
( n
V ph @n
s S ) :
(26)
Wenn die rechte Seite von Gl. (25) in Gl. (26) eingesetzt wird, führt dies auf:
(j!m + 1=e )n =
I
eV
S
(j!m + 1=ph )
V
(27)
Wir sind an der Übertragung vom modulierten Strom I zur modulierten Lichtleistung bzw. Photonenanzahl S interessiert, wozu Gl. (25) nach n aufgelöst und in Gl. (27) für n eingesetzt wird,
so daÿ von den Kleinsignalgröÿen nur I und S verbleiben und eine Übertragungsfunktion H (j!m )
formuliert werden kann:
(Annahme bei der Berechnung: s =e << (@G=@n)=(ph V ))
S ph
=
H (j!m )
I
e
mit
H (j!m ) =
Dabei ergeben sich
1
:
1 + j!m =!d + (j!m =!r )2
1
K
1
=
+
2
!d
(2)
e !r2
(28)
(29)
(30)
K ist eine arbeitspunktunabhängige Konstante (auch bezeichnet als 'modulation K-factor'), die gegeben ist als
K
s V ph
(31)
2 = ph +
(2)
@G=@n
Mit G = g=gs , g = gst , gs = s + m sowie ph gemäÿ Gl. (7) läÿt sich (31) umschreiben:
K
(s V = )
= ph +
2
(2)
(@gst =@n)(c=N )
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(32)
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MOD/7
Der Faktor K ist damit durch relativ universelle Gröÿen festgelegt. So ergibt sich mit (s V = ) =
10 17 cm3 (vgl. unterhalb Gl. 23), @gst =@n = 350 10 18 cm2 (siehe Seite HL/3) und c=N = 7 107 m=s
K
= ph + 4ps
(2)2
(33)
ph ist typischerweise in der Gröÿenordnung von ca. 1ps, so daÿ sich daraus insgesamt ein
K
0; 2ns
(34)
ergibt. Wie weiter unten gezeigt, sollte K für schnell modulierbare Laser so klein wie möglich sein,
wobei aber einer Verringerung von K enge physikalische Grenzen gesetzt sind. Die verbleibende Gröÿe
!r in Gl. (29), (30) ist gegeben durch
1
!r =
ph
s
@G=@n S0
V
(35)
und bezeichnet die Relaxationsresonanzfrequenz (fr = !r =2 ).
Wenn man wie bei Gl. (31) für
@G
@gst
@gst
=
=
= ph @n
gs @n
s + m @n
(c=N ) @g@nst
(36)
einführt, läÿt sich für die Relaxationsresonanzfrequenz fr = !r =2 aus Gl. (35) auch schreiben
1
fr =
2
s
@gst (S =V )(c=N )
@n
ph
(37)
Die Relaxationsresonanzfrequenz hängt damit unmittelbar mit der Photonendichte S 0 = (S =V ) im
Laserresonator zusammen. Wie schon bei Gl. (23) erwähnt, liegt die maximale Photonendichte im
Laserresonator bei ca. 1016 cm 3 , so daÿ sich mit ph = 1ps , c=N = 7 107 m=s , @gst =@n = 350 10 18 cm2 eine maximale Relaxationsresonanzfrequenz von ca.
fr
jmax 25GHz
(38)
ergibt.
4 Diskussion des Modulationsverhaltens
Die Übertragungsfunktion H (j!m ) gemäÿ Gl. (29) ist in Abb. 3 dargestellt. Klar zu erkennen ist
die Resonanz bei !r (vergl. auch Abb. 2), die allerdings mit zunehmendem !r weniger ausgesprägt
ist. !r ist gemäÿ Gl. (37) arbeitspunktabhängig und nimmt mit zunehmender Photonenanzahl (bzw.
emittierter optischer Leistung) zu. Für !r ! 1 ist die Grenzfrequenz durch fg = !d =2 bzw. gemäÿ
Gl. (30) durch
fg;max = 2=K
(39)
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Ü b e r tr a g u n g s fu n k tio n |H ( j w
m
)| [d B ]
2 2
2 0
MOD/8
w r/ w d = 0 . 1
1 8
1 6
1 4
1 2
1 0
w r/ w d = 0 . 5
8
6
4
2
-2
w r/ w d =
0
-4
w r/ w d = 5
-6
-8
-1 0
2
0 .0 1
0 .1
1
N o r m ie r te M o d u la tio n s fr e q u e n z w
m
/w
1 0
d
Abb. 3: Kleinsignalmodulationsverhalten von Halbleiterlasern
gegeben, wofür sich mit Gl.(34)
fg;max
30GHz
(40)
ergibt, was ca. die maximal mögliche Modulationsbandbreite eines Halbleiterlasers angibt.
Mit digitalen binären Signalen und dem geforderten hohen Ein/Aus-Verhältnis ist eine direkte LaserModulation bis zu Bitraten von ca. 10 Gbit/s möglich. Es muÿ jedoch berücksichtigt werden, daÿ bei
der Lasermodulation nicht nur die optische Leistung, sondern auch die optische Emissionsfrequenz
moduliert wird (chirp), worunter die Übertragung bei einer Langstreckenübertragung leidet, vergleiche
auch die Diskussion in Kapitel ÜB, Abschnitt 3.2. Typische Halbleiterlaser weisen dabei einen chirpParameter ch 2:::6 auf. Wegen dieser chirp-Probleme werden bei Langstreckensystemen und
Kanalraten > 10Gbit=s überwiegend externe Modulatoren (entweder interferometrisch oder durch
Elektroabsorption) eingesetzt, die bis ca. 40 Gbit/s verfügbar sind.
Neben der inneren Dynamik des Lasers, ausgedrückt durch die Bilanzgleichungen, ist die Modulationsbandbreite auch durch parasitäre elektrische Bauelemente begrenzt. In der einfachsten Form ist das
C
S
R
S
in n e r e
L a s e r d io d e
Abb. 4: Prinzipielles Ersatzschaltbild eines Halbleiterlasers
elektrische Ersatzschaltbild eines Lasers in Abb. 4 dargestellt (ohne Berücksichtigung der Zuleitungs-
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MOD/9
induktivitäten), wobei sich mit Cs ; Rs ein Tiefpaÿverhalten mit einer Grenzfrequenz
fg;el =
1
2Cs Rs
(41)
ergibt.
Bei Lasern mit einer geringen parasitären Kapazität von z.B. Cs = 0:5pF ergibt sich z.B. mit Rs = 10
ein fg;el 30GHz , so daÿ dann die erreichbare Modulationsgrenzfrequenz eher durch die innere
Laserdynamik mit !d ; !r bestimmt wird.
Hochfrequent modulierbare Laser erfordern auch eine entsprechende Aufbautechnik, wobei das Modulationssignal mit einer Leitung möglichst dicht an den Laser herangeführt wird. Ein Beispiel dazu mit
der entsprechenden Modulationscharakteristik zeigt Abb. 5.
Abb. 5: Hochfrequent modulierbarer 1.55m-Halbleiterlaser (Quelle: P.A. Morton et. al., Electron.
Lett. (30)1994, pp. 2044-2046)
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SPEK/1
Spektrale Eigenschaften von Halbleiterlasern (SPEK)
In diesem Kapitel werden die spektralen Eigenschaften von Halbleiterlasern behandelt.
Die Spektren von index- und gewinngeführten Lasern (vergl. Kapitel HL-STRUK) sind unter Umständen stark unterschiedlich, wie in Abb. 1 beispielhaft dargestellt.
Abbildung 1: (a) indexgeführter Laser, (b) gewinngeführter Laser
Bei Vernachlässigung der spontanen Emission muss gemäÿ Kapitel HL für die Verstärkung g des Lasers
gelten:
g = s
1
ln(R1 R2)
2L
g
(1)
( 1 ) h o m o g e n e S ä ttig u n g
( 2 ) in h o m o g e n e S ä ttig u n g
g
s
g (l )
l m + 3 l m + 2 l m + 1
l m
l m - 1 l m - 2 l m - 3
l
Abbildung 2: Die Verstärkung g in Abhängigkeit von der Wellenlänge , mi - Resonanzwellenlängen
des Laserresonators, Kurve 1: homogene Sättigung, Kurve 2: inhomogene Sättigung
Im allgemeinen ist die Verstärkung g abhängig von der Wellenlänge (siehe Abb. 2). Unterhalb der
Schwelle steigt g bei einer Erhöhung der Ladungsträgerdichte an, bis bei einer Wellenlänge = m
die Anschwingbedingung erreicht wird. Bei Vernachlässigung der spontanen Emission schwingt an
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
SPEK/2
der Laserschwelle nur ein Lasermodus (m ) an. Oberhalb der Schwelle bleibt bei der Wellenlänge
m die Verstärkung g = gs erhalten, d.h. die Verstärkung sättigt bei g = gs . Dabei gibt es zwei
Möglichkeiten:
1. homogene Sättigung der Verstärkung, d.h. die Verstärkung g () bleibt auch oberhalb der Schwelle erhalten, so dass nur bei einer Wellenlänge m die Verstärkung g = gs erreicht wird (Kurve
1 in Abb. 2).
2. inhomogene Sättigung, d.h. die Verstärkung g () steigt mit zunehmender Injektion an und wird
nur bei den Emissionswellenlängen auf g = gs gezwungen. Dies wird auch als spectral holeburning bezeichnet (Kurve 2 in Abb. 2).
Beim Halbleiterlaser liegt im wesentlichen homogene Sättigung vor, da der Ladungsträgerausgleich
innerhalb des Leitungs- und Valenzbandes sehr schnell erfolgt (Zeitkonstante 10 13 s). Aus diesem
Grund wird die Betrachtung des Spektrums unter Annahme einer homogenen Linienverbreiterung mit
Berücksichtigung der spontanen Emission durchgeführt. Ausgangspunkt ist die Gleichung
dS
= rst S
dt
S
+ rsp K
ph
(2)
aus dem Kapitel MOD. K (mit K 1 ) ist ein zusätzlicher Korrekturfaktor für die spontane Emission
bei gewinngeführten Lasern. Für die Photonenanzahl S ( ) einer Laserschwingung mit der Emissionswellenlänge folgt dann im stationären Zustand ( ddt = 0 ):
rst S ( )
Mit der normierten Verstärkung
S ( )
+ rsp K = 0
ph
G () = rst ph =
(3)
g
gs
(4)
1
G ( )
(5)
folgt daraus mit nsp = rsp =rst :
S ( ) = nsp K 1
Die Verstärkung G ( ) kann durch einen parabolischen Verlauf angenähert werden (siehe Abbildung
3):


G ( ) =
mit G0 = G (m ) . Da 1
G0 1
2
m
!2

(6)
G0 1 ist, folgt:
G ( ) G0
2
m
!2
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(7)
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SPEK/3
G (l )
1
1 -G
l
l
m + 1
D L
l
m
0
l
m -1
Abbildung 3: Die parabolische Näherung der normierten Verstärkung G ()
Damit folgt für die Photonenanzahl S ( )
S ( ) nsp K
1
G0 + 2 m
(8)
2
bzw. für die emittierte Leistung (vergl. Kapitel MOD)
P ( ) =
K nsp h Nc
1
G0 + 2 1
2L ln(R1 R2 )
m 2
(9)
Die Halbwertsbreite des Spektrums folgt aus Gl. (9):
p
= 1
G0
(10)
Die Halbwertsbreite kann als Funktion der gesamten emittierten Leistung P ausgedrückt werden.
Mit
X
P ( )
(11)
P=
und dem Modenabstand (vergl. Kapitel HL)
=
folgt für aus Gl. (9):
2
2N L
c h
1
=
ln
nsp K
2P
R1 R2
(12)
!2
(13)
Beispiel: R1 = R2 = 0; 32 , nsp = 2; 5 , = 30 nm , = 850 nm und die Leistung pro Spiegel P2 =
5 mW . Mit diesen Werten ergibt sich eine Halbwertsbreite des Spektrums von = K 0; 08 nm.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
SPEK/4
P (l
d l
l
m + 3
m
)
l
D l
m + 2
l
m + 1
l
l
m
m -1
l
m -2
l
m -3
l
Abbildung 4: Lorentzförmiges Spektrum
Bei einem gewinn-geführten Laser mit K = 20 würde sich eine Halbwertsbreite von = 1; 6 nm
ergeben.
Bei einem index-geführten Laser ( K = 1 ) ist die Halbwertsbreite kleiner als der Abstand zwischen den
Resonanzwellenlängen ( < ), d.h. es handelt sich um eine einwellige Emission. Damit ist auch
das unterschiedliche Verhalten in Abb. 1 erklärt.
Zwar ist für einen index-geführten Laser ( K = 1 ) gemäÿ Abb. 1 auch bei Fabry-Perot-Lasern ein im
wesentlichen einwelliger Betrieb möglich, allerdings ist diese einwellige Emission nicht sehr stabil und
kann z.B. durch externe Reexionen oder auch durch die Modulation des Lasers stark beeinträchtigt
werden (z.B. Modensprünge oder dynamische Multi-Mode-Emission).
a k tiv e S c h ic h t
B r a g g - R e fle k to r
d
a k t
B r a g g - R e fle k to r
0
L
z
Abbildung 5: Schematische Darstellung eines DBR-Lasers (Bild aus: S. Hansmann, Laserdioden, in:
E. Voges, K. Petermann, Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002)
Eine stabile einwellige Emission wird erreicht, wenn die Reektoren R1 und R2 wellenlängenselektiv
(R1 (), R2 ()) gestaltet werden, so dass dann nur die Wellenlänge anschwingt, bei der die Reexion
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
SPEK/5
maximal wird. Wellenlängenselektive Reektoren können am einfachsten mit Gitterstrukturen (BraggReektoren) realisiert werden. Abb. 5 zeigt schematisch einen "distributed-Bragg-reector" (DBR)Laser, bei dem die Wellenlängenselektion durch Bragg-Reektor-Spiegel erreicht wird. Gebräuchlicher
sind noch "distributed feedback" (DFB)-Laser (Abb. 6), bei denen sich eine Gitterstruktur über die
gesamte Länge der laseraktiven Zone erstreckt.
I(x )
n
2
n
L
1
G
w
d
G
a k t
x
0
g
L
a k t
z
Abbildung 6: Schematische Darstellung eines DFB-Lasers (Bild aus: S. Hansmann, Laserdioden, in:
E. Voges, K. Petermann, Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002)
Bei einem einwelligen Laser interessiert noch die Breite einer einzelnen Spektrallinie. Aufgrund des
Schrotrauschcharakters der spontanen Emission ist eine einzelne Spektrallinie nicht monochromatisch,
sondern weist eine endliche spektrale Halbwertsbreite auf (Abb. 7).
Um zumindest intuitiv die Linienbreite abschätzen zu können, betrachten wir Gl. (3) für K = 1
(index-geführt), woraus im stationären Gleichgewicht ( ddt = 0 ) mit rsp nsp =ph folgt
!
S rst
|
{z
1
n
dS !
+ sp =
=0
ph
ph
dt
1
ef f
(14)
}
sp
Der Quotient nph
bezeichnet dabei die (mit Schrotrauschen behaftete) spontane Emission, auf die
die Photonenanzahl S im Laserresonator mit der Zeitkonstanten ef f reagiert. Ein erster intuitiver
Ansatz für die Linienbreite führt auf
=
1
1
:
2 2 ef f
(15)
S ph
;
nsp
(16)
Da die spontane Emission sowohl zu Amplituden- als auch zu Phasenschwankungen führt und die Amplitudenschwankungen aufgrund der Wechselwirkung der Photonen (mit ihrer Bilanzgleichung, Gl. (1)
in Kapitel MOD) und den Elektronen (mit der Bilanzgleichung, Gl. (13) in Kapitel MOD) unterdrückt
werden, wurde in Gl. (15) noch ein Faktor ( 1=2 ) eingeführt. Für die eektive Lebensdauer ef f folgt
aus Gl. (14):
ef f =
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SPEK/6
D u
u = c
l
Abbildung 7: Schematische Darstellung der Linienbreite eines einwelligen Lasers
so dass aus Gl. (15)
=
nsp
4 ph S
(17)
wird. Gl. (17) stellt bereits die Schawlow-Townes-Beziehung für die Linienbreite dar. Tatsächlich ist
die Fluktuation der Photonenanzahl S mit einer Fluktuation der Ladungsträgerdichte n und damit
0
auch über ch = ddnn00==ddnn mit Fluktuationen des Realteils n0 und des Imaginärteils n00 der Brechzahl
verknüpft. Dies führt zu Fluktuationen der Laserresonanzwellenlänge und damit zu einer erhöhten
Linienbreite
nsp
=
1 + 2ch
(18)
4 ph S
Beispiel: Mit den Werten S = 2 105 (vergl. Beispiel auf Seite MOD/2), ph = 2 ps , nsp = 2 und
ch = 5 ergibt sich beispielsweise eine Linienbreite von = 10 MHz , was ein typischer Wert für
Halbleiterlaser ist.
Häug wird auch die Kohärenzzeit eines Lasers angegeben:
c =
oder die Kohärenzlänge
1
2 Lc = c c
Mit obigen Daten würde sich eine Kohärenzlänge von ca. Lc = 5 m ergeben.
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(19)
(20)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ANST/1
Elektrische Ansteuerung von LEDs und Laserdioden (ANST)
Halbleiterlaser und Lumineszenzdioden verhalten sich elektrisch im wesentlichen wie gewöhnliche pnDioden. Die emittierte Lichtleistung wird durch den Injektionsstrom gesteuert. Die elektrische Ansteuerung soll den Injektionsstrom einprägen.
Der Ansteuerverstärker sollte daher über einen hohen Ausgangswiderstand verfügen. Der dierentielle
Widerstand rD = @U=@I z.B. einer Laserdiode oberhalb der Schwelle liegt zum Beispiel in der Gröÿenordnung von kleiner als 10 . Aus diesem Grund sollte der Ausgangswiderstand des Verstärkers sehr
viel gröÿer als 10 sein.
Desweiteren soll eine schnelle Modulation des Injektionsstroms möglich sein. Daher sollten die Transistoren des Ansteuerverstärkers nicht in Sättigung betrieben werden. Vorteilhaft ist die Verwendung
von Dierenzverstärkern. Ein Beispiel für einen Dierenzverstärker ist in Abb. 1 dargestellt.
Abb. 1: Schaltbild eines Dierenzverstärkers
Die Modulationsamplitude ( I1 I0 ) wird durch eine Konstantstromquelle (Transistor T3 in Abb.1)
eingestellt. Dieser Strom wird zwischen den Transistoren T1 und T2 hin- und hergeschaltet.
Der Unterlegstrom I0 wird zusätzlich direkt an der Laserdiode eingeprägt. In praktisch realisierten
Systemen wird die emittierte Lichtleistung z.B. von einer am hinteren Laserspiegel angeordneten Photodiode gemessen. Dieses gemessene Signal wird zur Regelung von I0 und ( I1 I0 ) verwendet, um
z.B. Temperaturschwankungen des Lasers auszugleichen.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ANST/2
Mit derartigen Schaltungen ist eine direkte Modulation des Halbleiterlasers bis oberhalb von 1 Gbit/s
(z.B. 2,5 Gbit/s) möglich.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
PH/1
Photodioden (PH)
Zur Detektion des optischen Signals werden in der optischen Nachrichtentechnik vorwiegend Halbleiterphotodioden eingesetzt und zwar insbesondere pin-Dioden sowie Lawinenphotodioden.
1 pin-Photodiode
p
w
p
+
+
n
-
(a )
i
u
w
+
p +-In G a A s (P )
u -In G a A s (P )
-
n +-In P
+
+
(b )
+
Abbildung 1: (a) Photodiode basierend auf einem Halbleitermaterial, z.B. Si. Si-Dioden werden bei
1 µm verwendet. (b) Heterostrukturdiode mit rückwärtiger Einstrahlung durch das für >
0; 92 µm transparente InP-Substrat. InGaAs/InP-Dioden werden bei 1 µm < < 1; 6 µm verwendet.
Die Photodiode wird wie in Abb. 1 gezeigt in Sperrrichtung betrieben. Bei einer pin-Diode entspricht
dabei die Weite der Sperrschicht gerade der Weite w der i-Zone (bzw. -Zone bei schwacher nDotierung oder -Zone bei schwacher p-Dotierung). Photonen mit der Energie h > WG (WG =
^
Bandabstand der i-Zone) können in der i-Zone Elektron-Loch-Paare erzeugen, die dann aufgrund des
elektrischen Feldes in der Raumladungszone jeweils zu den n+ - bzw. den p+ -Bereichen driften. Die
Driftgeschwindigkeit sättigt bei genügend groÿer Feldstärke E = wU (U ist die Sperrspannung an der
Diode) in der i-Zone.
V
Beispiel: Das Halbleitermaterial sei Silizium. Für E 2 µm
tritt Driftsättigung ein und es ergibt
µm
sich eine Sättigungsdriftgeschwindigkeit von vn 100 ns für Elektronen und eine Sättigungsdriftgeschwindigkeit von vp 50 µm
ns für Löcher.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
PH/2
1.1 Quantenwirkungsgrad der pin-Diode
Es werden nur dann alle ankommenden Photonen in Elektron-Loch-Paare umgesetzt, wenn die iZone genügend dick ist, so dass dort ein genügend groÿer Anteil der einfallenden optischen Leistung
absorbiert wird. Bei Ausbreitung in z -Richtung ist der Verlauf der optischen Leistung P gegeben durch
P (z ) = P0 exp( 2 z )
(1)
2 ist die Absorptionskonstante des Halbleitermaterials und P0 die einfallende Leistung. Die Absorptionskonstante steigt für h > WG (bzw. = c= < G = h c=WG ) steil an, wobei der Anstieg
bei direkten Halbleitern steiler ist als bei indirekten (siehe Abb. 2).
Abbildung 2: Absorptionskonstante 2 und Absorptionslänge 1=2 von Halbleitern für Photodioden
als Funktion der Wellenlänge (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik II)
Wenn man z.B. die Si-Photodiode von Abb. 1a zugrundelegt, so wird die einfallende optische Welle mit
der Leistung P0 zunächst an der Halbleiteroberäche reektiert (Reexionsvermögen R) und dringt
dann zunächst in das p+ -dotierte Bahngebiet ein (Dicke d ). Erst die in die i-Zone eindringenden
Photonen tragen zum Photostrom bei. Für die optische Leistung an den Stellen z = d und z = d + w
gilt (siehe auch Abb. 3):
P (d ) = P0 (1
P (d + w ) = P0 (1
R) exp( 21 d )
R) exp( 21 d ) exp( 22 w )
(2)
(3)
Der Quantenwirkungsgrad ist somit:
=
P (d
+ w)
P0
P (d ) = (1
R) exp( 21 d ) (1
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exp( 22 w ))
(4)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
PH/3
e in fa lle n d e o p tis c h e W e lle
z
R
B a h n g e b ie t, 2 a
i- Z o n e , 2 a
2
d
1
w
Abbildung 3: Schematische Darstellung des Einfalls einer optischen Welle auf eine Photodiode
Abbildung 4: Beispiele für die Empndlichkeit Ep von pin-Photodioden
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
PH/4
Beispiel: Bei einer entspiegelten ( R = 0 ) InGaAs/InP-Photodiode mit 1 0 und 22 104 cm 1 ,
w = 2 µm und einer Wellenlänge der einfallenden Welle von = 1; 3 µm ergibt sich ein Quantenwirkungsgrad von = 0; 86 .
In Datenblättern wird häug die Empndlichkeit Ep einer Photodiode angegeben. Sie ist deniert als:
Ep =
Iph e =
=
P0
h
1; 24 µm
A
W
(5)
mit dem Photostrom Iph . Beispiele für die Empndlichkeit von pin-Photodioden sind in Abb. 4 dargestellt.
1.2 Grenzfrequenzen der pin-Diode
Abb. 5 zeigt schematisch eine einfache Empfängerschaltung. Der Eingangswiderstand des Verstärkers
wird mit RE bezeichnet.
+ U
h × u
C ¥
R E
R 1
A u s g a n g
V e rs tä rk e r
Abbildung 5: Empfängerschaltung
Zur Diskussion der Grenzfrequenzen betrachten wir noch das Ersatzschaltbild einer in Sperrrichtung
vorgespannten pin-Photodiode gemäÿ Abb. 6. Der Diodenleitwert GD in der Diodenersatzschaltung
(Abb. 6) kann normalerweise vernachlässigt werden, d.h. GD 0 . Der Bahnwiderstand RD beträgt
typischerweise einige Ohm. Die elektrische Grenzfrequenz ist:
fg =
1
2 CD (RD + R)
mit R = R1 jjRE =
R1 RE
R1 + RE
(6)
wobei CD die Kapazität der i-Zone ist.
Beispiel: Die Kapazität der i-Zone sei CD = 1 pF . Die Widerstände sollen so dimensioniert werden,
dass eine Grenzfrequenz fg = 100 MHz erreicht wird. Aus dieser Forderung folgt RD + R R < 1; 6 k
.
Dabei ist die Wahl eines hohen Verstärkereingangswiderstands RE (mit RE R1 ) von Vorteil, da
sich dann eine hohe Verstärkereingangsleistung ergibt, allerdings auf Kosten der Grenzfrequenz.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
PH/5
R D
Ip h
1
G D
C D
R 1
R E
P h o to d io d e
Abbildung 6: Diodenersatzschaltung
1.3 Grenzfrequenz aufgrund der Ladungsträgerdriftgeschwindigkeit in der pin-Diode
Trit man die Annahme (in Abb. 1), dass die Ladungsträgerpaare in der Sperrschicht (i-Zone) unmittelbar am p+ -Kontakt erzeugt werden, so kann die Driftzeit der Löcher vernachlässigt werden, da
diese sofort in das p+ -Bahngebiet gelangen. Die Elektronen driften dann mit der Driftgeschwindigkeit
vn durch die i-Zone zum n+ -Gebiet. Daraus folgt für die Driftzeit:
tn =
w
vn
(7)
Der Stromverlauf aufgrund eines driftenden Elektrons ist in Abb. 7 dargestellt.
i( t)
e /tn
tn
0
t
Abbildung 7: Der Stromverlauf aufgrund eines driftenden Elektrons
Im Frequenzbereich wird der Strom durch seine Fouriertransformierte beschrieben.
I (j! ) =
Z1
1
i (t ) exp( j!t ) dt
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(8)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
Daraus folgt:
I (j! ) I (0) =
PH/6
sin ! t =2 n
! tn =2 =
! tn si
2 (9)
Für die Grenzfrequenz fg = !g =2 mit
I (j! ) g I (0) folgt daraus:
fg =
=
p1
2
0; 44
v
= 0; 44 n
tn
w
(10)
(11)
Beispiel: Eine Si-Photodiode mit w = 20 µm weise eine genügend hohe Feldstärke in der Sperrschicht
auf, so dass die Sättigungsdriftgeschwindigkeit vn = 100 µm
ns erreicht wird. Mit diesen Werten ergibt
sich eine Driftzeit tn = 0; 2 ns und damit eine Grenzfrequenz von fg = 2; 2 GHz .
Bei InGaAsP-Dioden spielen Drifterscheinungen eine geringere Rolle, da die Lichtabsorption höher ist
und somit geringere Sperrschichtweiten w realisiert werden können. Diese geringeren Sperrschichtweiten führen allerdings zu höheren Sperrschichtkapazitäten, was gemäÿ Gl. (6) zu einer reduzierten
Grenzfrequenz führt. Die Wahl der Sperrschichtweite w ist damit durch einen Kompromiss zwischen
Quantenwirkungsgrad, RC -Grenzfrequenz und Ladungsträgerlaufzeit gegeben.
Bei Si-Dioden müssen zusätzlich noch Diusionseekte berücksichtigt werden. Diese werden durch
Ladungsträger, die in feldfreien Gebieten erzeugt werden und zum Photostrom beitragen, hervorgerufen. Dies kann zu Impulsausläufern (auch diusion-tails genannt) von mehreren Nanosekunden Länge
führen.
2 Lawinenphotodiode
Abbildung 8: (a) Si-Diode (reach through avalanche photodiode), (b) InGaAsP-Diode (separate absorption multiplication diode)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
PH/7
Bei Lawinenphotodioden (auch avalanche-photodiode, APD) wie in Abb. 8 bildet sich am Übergang
vom n+ -Gebiet zum p-Gebiet (Si-Diode in Abb. 8) bei genügend hoher Spannung eine sehr hohe
Feldstärke aus (siehe Abb. 9). Dadurch können driftende Ladungsträger neue Ladungsträgerpaare
E (z )
n
+
p
p -Z o n e
p
+
z
Abbildung 9: Das elektrische Feld in der Lawinenphotodiode in Sperrrichtung
erzeugen (ähnlich Lawinendurchbruch). Die Anzahl der dabei pro Weglänge von einem Ladungsträger
erzeugten Ladungsträgerpaare wird als Ionisierungsrate n;p bezeichnet.
n
-Ionisierungsrate für Elektronen
p
-Ionisierungsrate für Löcher
Bei Si ist n > p , während bei InP n < p ist.
Wird in der -Zone durch ein Photon ein Ladungsträgerpaar erzeugt, so driften die Elektronen in die
Hochfeldzone und erzeugen dort gemäÿ n weitere Ladungsträgerpaare. Dies führt zu einer Vervielfachung des Photostroms. Der gesamte Photodiodenstrom ist:
ID = M (Iph + IDV ) + ID0
M
Iph
ID 0
IDV
(12)
-Multiplikationsfaktor (abhängig von der angelegten Spannung, siehe Abb. 10)
-Photostrom
-Dunkelstrom, der nicht vervielfacht wird (Oberächenleckstrom)
-Raumladungsdunkelstrom, der wie der Photostrom vervielfacht wird
Prinzipiell sind Verstärkungen bis M = 104 möglich, praktisch sinnvoll ist im allgemeinen aber nur
der Bereich M 100 . Beispielhaft ist in Abb. 10 für eine Si-Lawinenphotodiode der Zusammenhang
zwischen dem Multiplikationsfaktor M und der anliegenden Sperrspannung dargestellt.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
PH/8
Abbildung 10: Abhängigkeit des Multiplikationsfaktors M von der angelegten Spannung für eine beispielhafte Si-Lawinenphotodiode
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
PH/9
2.1 Grenzfrequenz der Lawinenphotodiode
Neben den bei der pin-Diode diskutierten Eekten treten hier noch die Laufzeiten der Ladungsträger
zur Ladungsträgervervielfachung in Erscheinung. Sehr hohe Multiplikationsfaktoren lassen sich daher
nur bei kleinen Frequenzen realisieren.
M0
M (f ) = r
1+
2
f
fg
mit fg =
1
2 M0 (13)
ist die eektive Laufzeit durch die Multiplikationszone. Das Produkt aus Bandbreite und Verstärkung
ist konstant.
1
= const.
2 Bestwerte liegen bei M0 fg 300 GHz für Si-Dioden und M0 fg
M0 fg =
mit speziellen Schichtstrukturen.
(14)
100 GHz für InGaAs/InP-Dioden
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/1
Optische Empfänger (OE)
Die optische Nachrichtentechnik hat die gröÿte Bedeutung für die Übertragung von pulsmodulierten
Signalen, insbesondere binären pulse-code-modulated (PCM)-Signalen, da die elektrooptische Wandlung am Halbleiterlaser und die Übertragung über den Lichtwellenleiter nur eingeschränkt linear ist.
1 Idealer Empfänger
Es soll zunächst ein idealer rauschfreier Empfänger betrachtet werden, der in der Lage ist, jedes
einfallende Photon eindeutig zu detektieren.
Wieviele Photonen sind dann zur eindeutigen Detektion eines Pulses notwendig?
Die minimale Zahl der Photonen wird durch das Quantenrauschen beschränkt. Zur quantitativen
Beschreibung des Quantenrauschens kann man davon ausgehen, dass sich die von der Lichtquelle
ausgesandten Photonen unabhängig voneinander ausbreiten. Die Dämpfung der Lichtwellenleiterübertragungsstrecke ist dann einfach ein Maÿ dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Photon
den Empfänger erreicht.
Wir nehmen als Beispiel an, dass eine Laserquelle N0 Photonen pro Puls emittiert. Die Dämpfung der
Übertragungsstrecke soll 20 dB betragen. Pro Puls erreichen dann im Mittel
N=
N0
100
Photonen den Empfänger. Da dies ein Mittelwert ist, kann für jedes Photon eine Wahrscheinlichkeit
angegeben werden, mit der es den Empfänger erreicht. Mit 1% Wahrscheinlichkeit erreicht ein bestimmtes Photon den Empfänger. Mit 99% Wahrscheinlichkeit erreicht ein bestimmtes Photon den
Empfänger nicht.
Geht man von einem idealen Empfänger aus, so wird ein Impuls detektiert, wenn von den N0 emittierten
Photonen mindestens ein Photon den Empfänger erreicht. Die Fehlerwahrscheinlichkeit P ist also die
Wahrscheinlichkeit, dass kein Photon den Empfänger erreicht.
P = p(0)
(1)
p(0) = 0; 99N0 = exp(N0 ln(0; 99)) exp( N )
(2)
Mit obigen Daten folgt:
Für die Wahrscheinlichkeit, dass genau n Photonen den Empfänger erreichen, gilt allgemein die
Poisson-Verteilung:
p(n) = N n exp( N )
n!
(3)
Eine typische Forderung ist, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als 10 9 sein soll (oder P <
2 10 9 , weil bei einer Gleichverteilung von Nullen und Einsen die Nullen fehlerfrei übertragen werden
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/2
und somit die Einsen eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 2 10 9 aufweisen dürfen). Daraus folgt für
die Anzahl der Photonen die pro Puls empfangen werden müssen:
P = exp( N ) < 2 10
9
N>
oder
ln(2 10 9 ) = 20
(4)
Für eine Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als 10 9 müssen also pro übertragenem Puls im Mittel
mindestens 20 Photonen den Empfänger erreichen.
Beispiel: Wie groÿ ist die benötigte Empfangsleistung bei einem idealen Empfänger, wenn PCM mit
10 Gbit/s verwendet wird?
Man kann annehmen, dass Nullen und Einsen gleich verteilt sind. Dann werden 5 109 Pulse pro
Sekunde gesendet. Die benötigte Empfangsleistung PE bei einem idealen Empfänger für eine Fehlerwahrscheinlichkeit P < 10 9 ist dann
PE
1011 1s h (5)
Bei einer Wellenlänge von = 1; 3 µm ergibt sich eine benötigte Empfangsleistung von PE
15 nW=^
2 Realer Empfänger
Beim realen Empfänger treten im wesentlichen zwei Rauschquellen auf, zum einen das thermische
Rauschen und zum anderen das Schrotrauschen.
1. Thermisches Rauschen
iR
R
Abbildung 1: Rauschersatzschaltbild eines Widerstands
An einem Widerstand tritt thermisches Rauschen auf (Abb. 1). Die spektrale Rauschleistungsdichte ist
di 2
4k T
(6)
Wi (f ) = R = B
df
R
Das mittlere Rauschstromquadrat über eine spektrale Breite f berechnet sich zu
iR2 f1 <f <f2
Zf2
=
Zf2
Wi (f ) df =
f1
f1
diR2
f
df = 4kB T df
R
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(7)
48 dBm .
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
mit f = f2
OE/3
f1 .
Der mittlere Rauschstrom ist also
s
q
iR2 =
4kB T
Rf
(8)
2. Schrotrauschen
I0
is
Abbildung 2: Rauschersatzschaltbild einer Stromquelle
Da der Stromuss durch diskrete Ladungsträger erfolgt, ist der Stromuss voneinander unabhängiger Elektronen auch mit einem Rauschen, dem sogenannten Schrotrauschen (ähnlich dem
Quantenrauschen), behaftet (Abb. 2). Die spektrale Rauschleistungsdichte des Schrotrauschens
ist
Wi (f ) =
dis2
= 2e I0
df
Daraus folgt für das mittlere Rauschstromquadrat über einer spektralen Breite f = f2
is2 f1 <f <f2
Zf2
=
f1
dis2
df = 2e I0 f
df
(9)
f1
(10)
und für den mittleren Rauschstrom
q
is2 =
p
2e I0 f
(11)
3 Typische Empfangsschaltungen
Im folgenden werden zwei Empfangsschaltungen mit FET-Eingangsstufen behandelt. FETs weisen im
allgemeinen ein geringeres Rauschen als Bipolar-Eingangsstufen auf.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/4
U
h × u
C ¥
R
Abbildung 3: Einfache Schaltung eines Empfängers mit hohem Eingangswiderstand
R
M × Ip h
C
P h o to d io d e
D
R
U 1
F
C
S ×U 1
g
F E T
Abbildung 4: Wechselstromersatzschaltbild (ohne Rauschquellen)
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- v ×U 1
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/5
3.1 Hochohmiger Empfänger (high-impedance amplier)
In Abb. 3 ist eine einfache Empfangsschaltung skizziert. Mit dem Ersatzschaltbild der Photodiode aus
dem Kapitel PH folgt das Ersatzschaltbild Abb. 4. Die Zeitkonstante des Eingangskreises in Abb. 4
(ohne den Rückkoppelwiderstand RF ) ist:
= R (Cg + CD )
(12)
Dabei ist Cg die Gate-Kapazität des FET-Transistors. Die Grenzfrequenz ist:
fg =
1
1
=
2 2 R (Cg + CD )
(13)
Für eine möglichst hohe Eingangsspannung U 1 sollte auch R möglichst groÿ sein. So ergibt sich zum
Beispiel für Cg + CD = 1 pF und R = 10 M
eine Grenzfrequenz von fg = 16 kHz . Damit weist eine
derartige Schaltung für Frequenzen f fg ein integrierendes Verhalten auf. Daher wird ein nachfolgendes Filter für die Frequenzgangkorrektur notwendig. Ein weiterer Nachteil des hochohmigen Empfängers ist die geringe Dynamik bezüglich variierendem Eingangspegel, da die niederen Frequenzanteile
zu einer hohen Aussteuerung des FETs führen, während die hohen Frequenzen nur zu einer geringen
Aussteuerung des FETs führen.
3.2 Transimpedanzverstärker
Eine Erhöhung der Grenzfrequenz ist in der einfachsten Form dadurch möglich, dass in Abb. 3 ein
kleiner Widerstand R verwendet wird. So führt z.B. ein Widerstand von R = 50 und eine Kapazität
von Cg + CD = 1 pF zu einer Grenzfrequenz von f = 3 GHz . Allerdings führt ein derartig kleiner
Widerstand zu einem gemäÿ Gl. (8) erhöhten Rauschen.
Eine andere Alternative bietet der sogenannte Transimpedanzverstärker, bei dem gemäÿ Abb. 4 noch
ein Rückkoppelwiderstand RF eingefügt wird. Die Wirkung von RF entspricht dabei mit dem Miller'schen Theorem einem Eingangswiderstand RE (parallel zu R).
RE =
RF
1+v
wobei v gemäÿ Abb. 4 die innere Spannungsverstärkung bezeichnet. Mit RE
Grenzfrequenz des Eingangskreises:
fg =
1
2 RE (Cg + CD )
(14)
R
erhält man als
(15)
Beispiel: Es sei Cg + CD = 1 pF , RF = 10 k
und v = 9 . Damit ergibt sich eine Grenzfrequenz von
fg = 160 MHz .
Man kann damit auch mit einem relativ groÿen Widerstand RF (und damit kleinem Rauschstrom) ein
relativ kleines RE und damit eine hohe Grenzfrequenz fg realisieren. Ein praktisches Ausführungsbeispiel
eines Transimpedanzverstärkers für Datenraten bis ca. 600 Mbit/s zeigt Abb. 5.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/6
Abbildung 5: Beispiel für die praktische Realisierung eines Transimpedanzverstärkers (Bild aus:
S.A.Siegel, D.J.Channin, RCA Rev. 45, March 1984, S. 3-22)
3.3 Rauschanalyse
u
M × Ip h
i1
C
D
R
R
i2
F
v ×U
i3
C
1
g
i4
U 1
1
F E T
P h o to d io d e
Abbildung 6: Wechselstromersatzschaltbild (mit Rauschquellen)
Zunächst gilt für die Rauschleistungsdichte des Photodiodenrauschens i1 :
di12
= 2e ((Iph + IDV ) M 2 F + ID0 )
df
(16)
Für M = 1 und F = 1 entspricht Gl. (16) dem Schrotrauschen in Gl. (9). F ist ein Zusatzrauschfaktor, der durch den Multiplikationsprozess in Lawinenphotodioden bedingt ist.
Er hängt vom Verhältnis der Ionisierungsraten n und p ab, gemäÿ
p
n
k= n
p
k=
und
,wenn der Ionisierungsprozess durch Elektronen eingeleitet wird (Si-Diode)
,wenn der Ionisierungsprozess durch Löcher eingeleitet wird (InGaAs/InP-Diode)
F = k M + (1
k ) (2
Bei der pin-Diode ist M = 1 und damit auch F = 1 .
1
)
M
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(17)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/7
Gl. (16) lässt sich nun derart interpretieren, dass für eine ideale Lawinenphotodiode (ohne Zusatzrauschen, F = 1 ) der Photostrom und damit auch der Rauschstrom durch Quantenrauschen mit M
multipliziert wird, was für das Rauschstromquadrat den Faktor M 2 in Gl. (16) zur Folge hat.
Um einen möglichst geringen Zusatzrauschfaktor F zu erzielen, sollte bei der Lawinenphotodiode
die Schichtfolge so gewählt werden, dass der Multiplikationsprozess durch die stärker ionisierenden
Ladungsträger eingeleitet wird und damit k < 1 wird. Für die numerische Auswertung wird häug die
Näherung
F = Mx
(18)
verwendet. Abb. 7 zeigt den Zusatzrauschfaktor F für verschiedene Photodioden mit Gl. (17) und Gl.
(18).
Abbildung 7: Beispiele für den Zusatzrauschfaktor F von unterschiedlichen Photodioden
Die Rauschleistungsdichte des thermischen Rauschens i2 am Widerstand R ist gemäÿ Gl. (6):
di22
4k T
= B :
(19)
df
R
Der Rauschstrom i3 beschreibt das thermische Rauschen des Rückkoppelwiderstandes RF . Die Rauschleistungsdichte ist
di32
4k T
= B :
(20)
df
RF
Der Rauschstrom i3 liegt eigentlich parallel zu RF , was gemäÿ Abb. 4 zu einer Rauscheinströmung
sowohl im Eingangs- als auch im Ausgangskreis führt. Die Rauscheinströmung im Ausgangskreis kann
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/8
wegen der dort höheren Signalpegel vernachlässigt werden, so dass in Abb. 6 nur die Rauscheinströmung von i3 im Eingangskreis berücksichtigt wird.
So kann ein Transimpedanzverstärker mit einem geringen
Eingangswiderstand RE gemäÿ Gl. (14) und trotzdem geringem Rauschen i3 realisiert werden. Bei
einem hochohmigen Empfänger entfällt der Rauschstrom i3 allerdings.
u1 und i4 sind transformierte Rauschquellen, die das Rauschen des nachfolgenden Verstärkers beschreiben. Sie sind unkorreliert, und für FETs gilt näherungsweise (siehe Vorlesung Hochfrequenztechnik I):
du12
k T
=4 B
- Kanalrauschen des FET, mit - Faktor der Gröÿenordnung 1
(21)
df
S
di42
= 2e IG
- Rauschen des Gate-Leckstroms IG
(22)
df
Das Rauschen der Empfangsschaltung (ohne die Photodiode) wird durch die Rauschquellen i2 :::i4 und
u1 beschrieben. Da der Widerstand R im allgemeinen sehr groÿ ist ( R ! 1 ), kann i2 vernachlässigt
werden. Das äquivalente Rauschen der Empfangsschaltung wird dann beschrieben durch
dia2
di 2 di 2 du 2
= 3 + 4 + 1
df
df
df
df
= 4kB T
|
1
+
RF
1
+ (2 f )2 C 2
RF2
S 1R2
F
{z
!
!
+2e IG + 4 kB T
}
(2 Sf ) C
2 2
(23)
entfällt beim hochohmigen Verstärker
mit C = Cg + CD .
M × Ip h
C = C
g
+ C
D
R
E
i1
iä
U 1
Abbildung 8: Vereinfachtes Wechselstromersatzschaltbild mit dem äquivalenten Rauschstrom ia
Der Transimpedanzverstärker zeigt also ein schlechteres Rauschverhalten als der hochohmige Verstär2
ker. Wichtig für geringes Rauschen sind ein kleiner Gate-Leckstrom IG und kleines CS .
Beispiel: Die äquivalenten Rauschleistungsdichten eines hochohmigen und eines Transimpedanzverstärkers sollen verglichen werden. Mit f = 100 MHz , C = 1 pF , S = 10 mS , = 32 , kB T = 410 21 Ws ,
IG = 1 nA und beim Transimpedanzverstärker zusätzlich RF = 10 k
und v = 9 (also RE = 1 k
)
ergibt sich
dia2
A2
= (0; 65 10 12 )2
df
Hz
2
dia2
A
= (1; 4 10 12 )2
df
Hz
für den hochohmigen Verstärker
für den Transimpedanzverstärker
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/9
Zum Vergleich soll nun das Rauschen der Photodiode bestimmt werden. Wenn man den Raumladungsdunkelstrom IDV und den Oberächenleckstrom ID0 vernachlässigen kann, folgt aus Gl. (16) und Gl.
(18) für die Rauschleistungsdichte mit F = M x :
di12
= 2e Iph M 2+x
df
(24)
Beispiel: Die optische Empfangsleistung sei P0 = 100 nW =
^ 40 dBm , und die Empndlichkeit der
A
Photodiode sei Ep = 0; 5 W . Daraus resultiert ein Photostrom Iph = 50 nA . Bei einer pin-Photodiode
( M = 1 ) ergibt sich dann eine Rauschleistungsdichte von
di12
df
= (1; 3 10
13 )2 A 2 .
Hz
Ein gängiges Beurteilungskriterium für das Rauschen ist das relative Intensitätsrauschen (RIN - relative
intensity noise). Es entspricht dem Verhältnis zwischen dem Rauschstromquadrat und dem Quadrat
des Photogleichstroms.


2
2
d
i
i
d
f
RIN =  1 + a  (25)
df
df
(M Iph )2
Mit dem Transimpedanzverstärker und dem obigen Beispiel für eine pin-Photodiode ergibt sich ein RIN
^ 91 dB/Hz .
von RIN = 7; 9 10 10 Hzf =
Wird eine Lawinenphotodiode verwendet, ist ein noch geringeres RIN erzielbar. In diesem Fall folgt
aus Gl. (24) und Gl. (25):


di 2
2e
1
 f
RIN =  M x + a Iph
df (M Iph )2
(26)
Bei einer Lawinenphotodiode hat das RIN ein Minimum für den optimalen Multiplikationsfaktor M opt .

M opt

di 2
1

=  a df x e Iph
1
x +2
(27)
Mit den Werten aus dem obigen Beispiel (Transimpedanzverstärker) und x = 0; 3 (Si-Diode) ergibt
sich ein optimaler Multiplikationsfaktor von M opt = 18 und ein minimales RIN von
RIN min = 1; 8 10 11 Hzf =
^ 108 dB/Hz .
Die Gl. (25) und Gl. (26) erwecken den Eindruck, dass durch die Wahl eines nur genügend hohen
Photostroms Iph ein beliebig kleines RIN erzielbar ist.
Tatsächlich weist aber eine Lichtquelle, z.B. ein Halbleiterlaser auch zusätzliche eigene stochastische
Schwankungen auf, denen ebenfalls ein RIN zugeordnet wird, welches natürlich auch am Empfänger
nicht unterschritten werden kann. Dieses senderbedingte RIN ist für einen typischen index- und gewinngeführten Halbleiterlaser in Abb. 9 dargestellt. Dieses RIN hat ein Maximum beim Schwellstrom des
Halbleiterlasers, während genügend weit oberhalb der Schwelle RIN Werte kleiner als 10 15 f/Hz
entsprechend 150 dB/Hz erreichbar sind.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/10
Abbildung 9: Gemessenes RIN für (a) index-geführten Laser und (b) gewinn-geführten Laser
Diese geringen RIN-Werte sind allerdings nur unter idealen Bedingungen erreichbar, insbesondere darf
von der optischen Übertragungsstrecke kein Licht in den Laser zurück reektiert werden. Eine Reexion
von nur 10 4 (bezüglich der Leistung) kann bereits zu einem Anstieg des senderbedingten RIN auf
mehr als 100 dB/Hz führen, weshalb hochwertige optische Sendermodule Richtungsleitungen (engl.
isolators) beinhalten, die das Licht nur in einer Richtung passieren lassen.
4 Anforderungen an die analoge Übertragung
Beispiel: Ein analoges Fernsehsignal mit der Bandbreite f = 5 MHz und der Trägerfrequenz
f = 100 MHz soll optisch übertragen werden. Für das Signal-Rausch-Verhältnis SNR (signalto-noise-ratio) soll SNR > 50 dB =10
^ 5 gelten.
Es wird in Abb. 10 eine Modulation des Photostroms Iph (t ) mit dem Modulationsindex m betrachtet,
so dass sich als Signalleistung des Photostroms ergibt:
Signalleistung 2
1
2 = m M 2 < I >2
M 2 I^ph
ph
2
2
(28)
Daraus folgt für das SNR:
m2 M 2 < I >2
m2
Signalleistung
ph
=
SNR =
= 2
Rauschleistung
2 RIN
i12 + ia2
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(29)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/11
Iph(t)
Iˆ
= m ×< I
p h
p h
>
< Iph>
t
Abbildung 10: Sinusförmiger Photostrom mit I^ph = m < Iph >
Es sei nun m = 0; 5 . Daraus folgt die Bedingung RIN < 1; 25 10 6 bezogen auf die Bandbreite f = 5 MHz . Bezogen auf 1 Hz Bandbreite entspricht dies einem RIN = 2; 5 10 13 Hzf =
^
126 dB/Hz . Für M = 1 und den Werten wie im obigen Beispiel (Transimpedanzverstärker) ergibt sich
A
ein notwendiger Photostrom von Iph > 3; 5 µA . Mit einer Diodenempndlichkeit von Ep = 0; 5 W
ergibt sich eine notwendige optische Empfangsleistung von P > 7 µW =
^ 21; 5 dBm . Das bedeutet,
dass für eine am Sender eingekoppelte Leistung von 0 dBm nur eine Dämpfung von gröÿenordnungsmäÿig 20 dB überbrückbar ist.
Das obige Beispiel macht deutlich, dass bereits die faseroptische Übertragung von nur einem analogen
Fernsehkanal nicht unproblematisch ist. Um aber z.B. konkurrenzfähig mit einem koaxialen Fernsehverteilnetz zu sein, ist die Übertragung von einer groÿen Anzahl von Fernsehkanälen erforderlich. Wenn
wir z.B. die Übertragung von 40 Fernsehkanälen voraussetzen (sogenanntes Subträger-Multiplex, SCM
- subcarrier multiplex) mit einem Modulationsindex mi = 5 % pro Kanal, so ergibt sich bei statistischer
Unabhängigkeit der Kanäle ein mittlerer Gesamt-Modulationsindex me :
me =
sX
i
mi2
(30)
In diesem Beispiel mit 40 Fernsehkanälen ergibt sich der mittlere Gesamt-Modulationsindex zu
p
me = 40 (0; 05)2 = 0; 31 , was bezüglich möglicher Verzerrungen noch akzeptabel ist.
Mit einer etwas reduzierten Anforderung an das SNR von SNR > 47 dB folgt aus Gl. (29) ein
RIN < 143 dB/Hz . Dies stellt eine sehr hohe Anforderung dar und ist bereits nah am senderbedingten RIN in Abb. 9. Wenn man weiterhin voraussetzt, dass das RINjgesamt mit
1
RINjgesamt
=
1
RINjSender
+
1
RINjEmpfänger
(31)
gleichermaÿen vom Sender und vom Empfänger hervorgerufen wird, so ist dann
!
RINjSender = RINjEmpfänger < 146 dB/Hz zu fordern, was selbst für einen idealen Empfänger
( d ia2 = d f = 0 ) mit Gl. (26) zu einem sehr hohen benötigten Photostrom Iph > 130 µA führt. Damit
ist eine hochwertige optische Analogübertragung nur begrenzt möglich.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/12
Trotzdem werden derartige Lösungen für zukünftige Faser-Koax-Hybridsysteme intensiv diskutiert,
wobei auch Subträger-Multiplex-Systeme mit digital modulierten Subträgern (z.B. QAM - QuadraturAmplituden-Modulation) in die Überlegungen einbezogen werden.
5 Digitaler Empfänger
Die digitale Übertragung ist für faseroptische Übertragungssysteme vorteilhaft, da im Vergleich zur
analogen Übertragung ein geringeres SNR ausreichend ist. Allerdings ist eine höhere Bandbreite erforderlich, die im allgemeinen aber vorhanden ist. Abb. 11 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines digitalen
Empfängers. Im folgenden sollen nur binäre PCM-Signale untersucht werden.
Abbildung 11: Schematische Darstellung eines digitalen Empfängers. Auf die Photodiode folgt der
Vorverstärker, der Entzerrer und ein Filter, das für gegebenen Eingangspuls h(t ) den Ausgangspuls
ha (t ) liefert.
Die Rate der ankommenden Pulse ist
Pulsrate = Bitrate = B =
1
TB
.
(32)
TB ist die Länge des Zeitschlitzes eines Bitintervalls. Für Eingangs- und Ausgangspulse soll die Normierung
Z1
1
h(t ) dt = 1 und
Z1
1
ha (t ) dt = 1
(33)
gelten. Ein binäres PCM-Signal kann dargestellt werden als
P (t ) =
X
n
dn W0 h(t
n TB )
(34)
mit der optischen Energie eines Pulses W0 , dn = 0 für eine logische Null und dn = 1 für eine logische
Eins.
Zu den Zeitpunkten t = n TB wird vom Entscheider bewertet, ob eine logische 0 oder eine logische
1 vorliegt. Um dabei Fehler durch Nachbarpulse zu vermeiden, sollte der Puls h(t ) in einen Puls ha (t )
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/13
übergehen, für den ha (n TB ) = 0 bei n 6= 0 gilt. Diese Forderung wird z.B. durch folgendes ha (t )
(siehe auch Abb. 11) erfüllt (raised cosine family):
ha (t ) = h0 sin
TB t
TB t
cos
1
TB t
2 t 2
TB
(35)
Die Konstante h0 ist eine Normierungsgröÿe. Der Puls wird dann durch ( 0 < < 1 ) charakterisiert, wobei = 0 beispielsweise die sin(x )=x Funktion darstellt. Durch die Auswertung des
Augendiagramms (Übereinanderschreiben von statistisch verteilten 0 und 1; siehe Abb. 12) kann
das optimale ermittelt werden. Sowohl die Pulsform als auch das Augendiagramm ist in Abb. 13
dargestellt. Dabei ist die vertikale Augenhöhe unabhängig von , aber die maximale horizontale Augenönung ergibt sich für = 1 .
Abbildung 12: Gemessenes Augendiagramm für 160 Mb/s - Signal
Damit ist die optimale Pulsform durch = 1 in Gl. (35) gegeben mit h0 = T1B wegen Gl. (33). Das
Spektrum des Ausgangspulses ist
H a (j! ) =
Z1
1
ha (t ) exp(j!t ) dt
(36)
und ist in Abb. 14 dargestellt. Für = 0 ergibt sich ein rechteckförmiges Spektrum, während sich
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/14
Abbildung 13: Pulsform und Augendiagramm für Pulse nach Gl. (35)
für > 0 ein cosinus-förmiger Übergangsbereich ergibt und schlieÿlich für = 1 gilt:
H a (j! ) =
H
a





cos2



0
!
TB
!
4
! für 2
<
1
=B
TB
(37)
sonst
(jw )
1
b = 0
b = 1
0
1 /(2 T
B
)
1 /T
w /2 p
B
Abbildung 14: Einseitiges Spektrum H a (j! ) des Ausgangspulses ha (t )
Um diesen gewünschten Ausgangspuls mit = 1 zu erhalten, ist die Übertragungsfunktion des
Empfängers G (j! ) zu wählen als:
G (j!) =
H a (j! )
H 1 (j! )
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(38)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/15
H 1 (j! ) ist die Fouriertransformierte des Eingangspulses h(t ). Zunächst sollen nur sehr kurze Eingangspulse ( TB ) am Empfänger betrachtet werden. Dann gilt
H 1 (j! ) 1
und
(39)
G (j! ) = H a (j! ) .
(40)
5.1 Rauschbetrachtung des digitalen Empfängers
Ausgangspunkt der Rauschbetrachtung ist das Wechselstromersatzschaltbild in Abb. 15 ähnlich Abb.
8 mit ia und i1 nach Gl. (23) und Gl. (24). Die Stromkomponenten ia, i1 , sowie der Photostrom
M iph (t ) werden alle in gleicher Weise durch Maÿgabe der Übertragungsfunktion G (j!) = Ha (j! )
zum Ausgang übertragen.
M × ip h ( t )
C = C
g
+ C
R
D
u 1(t)
iä
i1
E
H
a
( jw )
M × ip
h e
(t)
i1
e
ie
ff
Abbildung 15: Wechselstromersatzschaltbild mit Rauschquellen
Der äquivalente Rauschstrom des Empfängereingangs ia wird mit der Übertragungsfunktion Ha (j! )
zum Rauschstrom ief f mit
Z1 2
dia 2
(41)
ief f =
H a (2jf )2 df
df
0
woraus mit Gl. (23) und Gl. (37) folgt:

2
ief
f
= 0; 375 B 4kB T

!
1
(2 C )2
+ 2
+ 2eIG  + 0; 03 B 3 4 kB T RF RF S
S
!
(42)
Zusätzlich zum transformierten Empfängerrauschstrom ief f beinhaltet Abb. 15 noch den transformierten Photorauschstrom i1e . Gemäÿ Gl. (24) ist der Rauschterm i1 der Photodiode signalabhängig. Das
Signal wird beschrieben durch
iph (t ) = Ep P (t ) = Ep X
n
dn W0 h(t
n TB )
(43)
Zur Vereinfachung soll nur ein Puls betrachtet werden ( n = 0 ). Daraus folgt für den Photostrom
iph (t ) = Ep W0 d0 h(t )
(44)
Für eine logische 0 gilt:
d0 = 0
)
iph = 0
)
i12 = 0
)
i12e = 0
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(45)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/16
Für eine logische 1 ist d0 = 1 . Dann gilt näherungsweise:
i12e = 2e < iph (t ) > M x +2 f
mit der Bandbreite
f =
Z1
H
a (2jf )
2
df
0
=
(46)
B
2
(47)
und dem mittleren Photostrom innerhalb des Bitintervalls
< iph (t ) >= Ep W0
= Ep W0 B:
TB
(48)
Daraus folgt für das mittlere Rauschstromquadrat am Ausgang für eine logische 1
i12e = e Ep W0 M x +2 B 2 :
(49)
5.2 Fehlerwahrscheinlichkeit
M ×i
W
)
iphe = M ×
0
T
×E
p h e
(t)
p
i e2 f f + i 1 2 e
B
ie
i e2 f f
- T
B
0
T
t
B
Abbildung 16: Verlauf des mit H a (j! ) an den Ausgang transformierten Photostroms iphe (t ) (ie Entscheiderschwelle)
Dem mit H a (j! ) an den Ausgang transformierten Photostrom iphe (t ) (siehe Abb. 16) ist ein Rauschen
mit dem Rauschstromquadrat
2 +i
iR2 = ief
(50)
1e
f
2 . Für eine logische 1 gilt i 2 = i 2 + i 2 mit i 2 gemäÿ
überlagert. Für eine logische 0 gilt iR2 = ief
1e
1e
f
R
ef f
Gl. (49). Zum Zeitpunkt t = 0 wird entschieden, ob eine 0 oder 1 vorliegt. Bei M iphe (t = 0) > ie
wird auf 1 und bei M iphe (t = 0) < ie wird auf 0 entschieden. ie ist die Entscheiderschwelle. Zur
Illustration dient Abb. 16.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/17
Die Fehlerwahrscheinlichkeit beim Auslesen einer 0 ist also die Wahrscheinlichkeit, dass M iphe > ie
ist. Mit der Annahme einer Gauÿschen Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung des Rauschens ergibt sich
für die Fehlerwahrscheinlichkeit für ein fehlerbehaftetes Auslesen einer 0 mit i = M iphe (t ) :
P (0) = p(i > ie ) =
Z1
1
q
ie

2 ief2 f
mit
exp 

1 i2 
di
2 ief2 f
exp
Q20
2
p2 Q
0
(51)
i
Q0 = q e :
2
ief
f
(52)
Die Fehlerwahrscheinlichkeit beim Auslesen einer 1 P (1) ist:
Zie
P (1) = p(i < ie ) =
q
1
1


1 (I^phe i )2 
di
2
iR2
exp 
2
2 iR
exp
Q21
2
p2 Q
1
(53)
2 + i 2 für eine logische 1 und
mit iR2 = ief
1e
f
Q1 =
I^phe
ie
q
iR2
:
(54)
Die optimale Entscheiderschwelle ist erreicht, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeiten für 0 und 1
gleich groÿ sind ( P = P (0) = P (1) ). Dies ist oensichtlich dann der Fall, wenn
!
Q0 = Q1 = Q
(55)
Diese Bedingung führt mit Gl. (52) und Gl. (54) auf
Q=
und damit auf
I^phe
q
2
Q ief
f
(56)
q
iR2
I^
Q = q pheq
2
iR2 + ief
f
.
(57)
Für vorgegebenes Rauschen und vorgegebene Pulsenergie W0 lässt sich Q und damit die zu erwartende
Fehlerwahrscheinlichkeit bestimmen. In der Praxis wird zunächst eine zulässige Fehlerrate vorgegeben
und damit die notwendige Pulsenergie W0 bestimmt. Mit iR2 für eine logische 1 und I^phe = M W0 TEBp
lässt sich Gl. (57) nach W0 auösen und man erhält

Q
W0 =
Ep





2 TB q 2
ief f +
| M {z
}
Verstärkerrauschen
e Q Mx
| {z }




Quanten- und Lawinenrauschen
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(58)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/18
Für die minimal erforderliche Pulsenergie W0 kann auch eine optimale Lawinenverstärkung M opt gefunden werden:

 1
q
M opt =
2

TB ief2 f 

ex Q
x +1
(59)
Beispiel: Ein Transimpedanzverstärker mit den Werten aus den vorangegangenen Beispielen und eine
A
und x = 0; 3 sollen für den Empfang eines Signals mit
Si-Lawinenphotodiode mit Ep = 0; 5 W
einer Bitrate B = 140 Mbit/s und einer Fehlerrate von 10 9 (entspricht Q = 6 ) eingesetzt werden.
2 nach Gl. (41) bestimmt. Es ergibt
Zunächst
wird das eektive Rauschstromquadrat am Ausgang ief
f
q
2 = 9; 4 nA . Daraus folgt die optimale Lawinenverstärkung M
sich ief
opt = 113 und die benötigte
f
17
Pulsenergie W0 = 6; 18 10
Ws .
Für eine Wellenlänge = 0; 85 µm entspricht dies 265 Photonen, die pro Puls den Empfänger erreichen müssen. Für gleichverteilte Nullen und Einsen ergibt sich die notwendige Empfangsleistung dann
zu PE = W20 B = 4; 3 nW (=
^ 53; 6 dBm ).
Abbildung 17: Einfache Pulsformen und ihre eektive Dauer ; (a) Rechteckimpuls, (b) Gauÿimpuls,
(c) Sprungimpuls mit exponentieller Rückanke (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik II)
Bisher wurde von extrem kurzen Pulsen ( TB ) ausgegangen. Als Maÿ für die Pulsdauer eines realen
Pulses wird z.B. die Varianz verwendet. Sie ist deniert als:
=
v
u
u Z1
u
u
h(t )
t
1

t 2 dt


Z1
1
2
h(t ) t dt 

(60)
Beispiele für bei verschiedenen Pulsformen sind in Abb. 17 angegeben.
Bei realen Pulsen ergeben sich Empndlichkeitseinbuÿen, die von der eektiven Dauer abhängen
(Abb. 18). Dies ist darin begründet, dass bei breiten Pulsen h(t ) die Spektralanteile H1 (j! ) bei höheren Frequenzen heruntergehen, die dann durch eine entsprechende Übertragungsfunktion G (j! )
entsprechend Gl. (38) wieder angehoben werden müssen. Dadurch werden auch die Rauschanteile angehoben und die Empfängerempndlichkeit verschlechtert sich. Für alle hier betrachteten Pulsformen
bleibt bleibt aber der Empndlichkeitsverlust unter 1 dB, solange für die Pulsbreite
< 0; 25
TB
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(61)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
OE/19
gilt.
Abschlieÿend zeigt Abb. 19 praktisch erreichte Empfängerempndlichkeiten im Vergleich zur Quantenrauschgrenze.
Abbildung 18: Empndlichkeitsverlust verschiedener Pulsformen
Abbildung 19: Beispiele für experimentell erreichte minimale Empfangsleistung in Abhängigkeit von
der Bitrate. Mit eingetragen ist die durch das Quantenrauschen bedingte untere Grenze < P0 >.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/1
Optische Faserverstärker (EDFA)
1 Einwellige optische Übertragungssysteme mit Faserverstärkern
1.1 Einführende Systembetrachtungen
Entsprechend Abschnitt RS sind optische Übertragungssysteme entweder dispersions- oder dämpfungsbegrenzt. Zumindest die Dämpfungsbegrenzung läÿt sich teilweise aufheben durch die Einführung von
optischen Verstärkern.
Optische Verstärker nutzen wie Laser die stimulierte Emission. So können beispielsweise Halbleiterlaserverstärker aufgebaut werden, indem einfach die Kristallendächen entspiegelt werden.
Eine gröÿere Bedeutung haben jedoch Faserverstärker erlangt. Ein mögliches Übertragungssystem mit
Faserverstärkern ist in Abb. 1 skizziert. So ist es möglich, die einzelnen Datenkanäle auf verschiedenen
Data
In
XMTR
In
XMTR
In
XMTR
l1
l2
lN
O
O
M
U
X
OA
OA
OA
D
M
U
X
l A ~90-150km
l1
l2
lN
RCVR
Data
Out
RCVR
Out
RCVR
Out
Er-Doped Fiber
l 1,l 2 ...lN
S Pi ~ N m W
S P ~ N mW
0
Pump laser (0.98 m m)
35 nm
Gain
l 1,l 2... lN
Saturated
1550nm
l
Abbildung 1: Übertragungssystem mit Faserverstärkern
Wellenlängen 1 : : : N zu transportieren (auch bezeichnet als Wellenlängen-Multiplex), sie dann in einem Multiplexer (MUX) zusammenzufassen und sie schlieÿlich gemeinsam in Faserverstärkern (optical
amplier = OA) zu verstärken und so die Dämpfung der Faser auszugleichen. Im Empfänger werden
schlieÿlich die einzelnen optischen Kanäle in einem Demultiplexer (DMUX) wieder getrennt.
Auf diese Weise sind Streckenlängen von mehr als 10000 km (Trans-Pazik) ohne elektrische Regeneration der optischen Signale übertragbar.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/2
1.2 Prinzipielle Wirkungsweise eines Faserverstärkers
Ein Faserverstärker besteht im wesentlichen aus einer mit einer seltenen Erde (z.B. Er) dotierten Faser
(im allgemeinen Quarzglasfaser). Diese Er-dotierte Faser wird mit einem Laser geeigneter Wellenlänge
gepumpt (d.h. das Licht des Lasers wird in die Er-dotierte Faser eingestrahlt), um so eine Besetzungsinversion und damit eine optische Verstärkung in der Er-dotierten Faser zu erreichen.
Abb. 2 zeigt das Energieniveauschema von Er. So werden beispielsweise mit einem Pumplaser mit
Energy Level Diagram
4 I 11/2
t ~1 m s
4I
980nm 1480nm
13/2
1520-1570nm
t ~10ms
4I
15/2
Abbildung 2: Energieniveauschema von Er
= 980 nm Elektronen des Grundniveaus 4 I1 5=2 in das Niveau 4 I1 1=2 angehoben, wobei sich die
dortigen Elektronen schnell (mit einer Zeitkonstante von 1 s) in das Niveau 4 I1 3=2 entleeren. Die
Zeitkonstante im Niveau 4 I1 3=2 ist mit 10 ms relativ hoch, so dass sich dort auch schon bei mäÿiger
Pumpleistung hohe Elektronenkonzentrationen und damit eine Besetzungsinversion gegenüber dem
Grundniveau und damit eine stimulierte Verstärkung ergibt.
Um eine optische Verstärkung zu erzielen, genügen im allgemeinen Pumpleistungen von wenigen 10
mW, wobei bei typischen Er-dotierten Faserlängen in der Gröÿenordnung von 10 m Verstärkungen
> 20 : : : 30 dB erzielt werden. Die maximal erreichbare optische Ausgangsleistung des Faserverstärkers ist durch die verfügbare Pumpleistung begrenzt, wobei typische Er-dotierte Faserverstärker Sättigungsausgangsleistungen von 20 : : : 50 mW (13 : : : 17 dBm) zulassen.
Das ungefähre Verstärkungsprol eines Er-dotierten Faserverstärkers ist in Abb. 1 mit skizziert, wobei
eine Bandbreite von ca. 35 nm (dies entspricht mehr als 4 THz= 4000 GHz) erreicht wird. Im Vergleich zu elektrischen Verstärkern steht damit mit dem Faserverstärker eine extrem hohe Bandbreite
zur Verfügung.
Er-dotierte Verstärker sind von besonderer Bedeutung, da sie einerseits hohe stimulierte Verstärkungen bereits bei relativ kleinen Pumpleistungen ermöglichen und andererseits ihre maximale Verstärkung
gerade bei 1550 nm im Bereich des Dämpfungsminimums der Quarzglasfaser aufweisen.
Bei Dotierung mit anderen seltenen Erden sind aber auch Faserverstärker bei anderen Wellenlängen
(z.B. Pr-Dotierung für = 1:3 µm) möglich.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/3
1.3 Rauschen von Übertragungsstrecken mit Faserverstärkern
Leider führen die Faserverstärker nicht nur zu einer Verstärkung des optischen Eingangssignals, sondern
sie erhöhen aufgrund der spontanen Emission (die immer mit stimulierter Emission verbunden ist) auch
den Rauschpegel und verschlechtern damit das Signal/Rauschverhältnis. Zur Analyse des Rauschens
des Faserverstärkers sei zunächst noch einmal das Quantenrauschen näher betrachtet.
1.4 Quantenrauschen
Das Quantenrauschen entspricht in seinem Erscheinungsbild genau dem Schrotrauschen (vergleiche
Hochfrequenztechnik II, Kapitel RAU). Wenn die gesamte optische Leitung P (t ) dargestellt wird durch
P (t ) = P0 + P (t )
(1)
mit der mittleren optischen Leistung P0 und der Fluktuation P (t ) aufgrund des Quantenrauchens,
läÿt sich die spektrale Rauschleistungsdichte von P (t ) genau wie beim Schrotrauschen angeben,
wenn der mittlere Strom durch P0 und die Elementarladung durch (h ) ersetzt wird gemäÿ:
d < (P )2 >
= 2 (h )P0
df
(2)
bzw. mit der Autokorrelationsfunktion
P ( ) =< P (t )P (t
) >= (h )P0 ( )
(3)
Die (zweiseitige) spektrale Leistungsdichte ergibt sich als Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion
1
Z
SP =
1
< P (t )P (t
) > exp( j! )d = (h )P0 ;
(4)
wobei für die (einseitige) spektrale Leistungsdichte von Gl. (2) gilt
d < (P )2 >
= 2 SP
df
(5)
1.5 Beschreibung des Quantenrauschens mit der Nullpunktenergie
Die Beschreibung des Quantenrauschens ist auch direkt mit dem komplexen optischen Feld E (t ) mit
E (t ) = (E0 + E0 ) exp(j 20 t )
(6)
möglich, wobei E0 ein monochromatisches optisches Feld mit der Frequenz 0 bezeichnet, derart
normiert, dass jE0 j2 = P0 die optische Leistung darstellt. E0 (t ) bezeichnet die überlagerten Fluktuationen entsprechend dem Quantenrauschen. Die Fluktuation E0 kann beschrieben werden mit der
Autokorrelationsfunktion
h
< E0 (t )E0? (t ) >=
( ) ;
(7)
2
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/4
wobei h =2 die sogenannte Nullpunktsenergie darstellt, so dass sich für die spektrale Rauschleistungsdichte
SE0 =
Z1
1
< E0 (t )E0? (t
) > exp( j! )d =
h
2
(8)
gerade die Nullpunktsenergie ergibt.
E0 ist komplex mit
E0 = Re (E0 ) + jIm(E0 ) ;
(9)
so dass sich die gesamte spektrale Rauschleistungsdichte von Gl. (8) zu gleichen Teilen auf den Realund Imaginärteil aufteilt:
SRe (E0 ) = SIm(E0 ) =
Die optische Leistung P (t ) ergibt sich mit Gl. (6) dann zu
h
:
4
(10)
P (t ) = E (t )2 = jE0 j2 + 2Re (E0 E0? ) + jE0 j2
= P0 + P (t ) ;
(11)
wobei für jE0 j jE0 j der Term jE0 j2 in Gl. (11) vernachlässigt werden kann und sich
P (t ) = 2Re (E0 E0? )
(12)
ergibt. Wenn man der Einfachheit halber E0 als reell annimmt, gilt P (t ) = 2E0 Re (E0 ) und damit
für die spektrale Rauschleistungsdichte
SP = 4E02 SRe (E0 ) = 4P0
h
= (h )P0
4
(13)
in Übereinstimmung mit Gl. (4). Damit ist gezeigt, dass das Quantenrauschen auch mit Hilfe der
Nullpunktuktuation E0 dargestellt werden kann.
1.6 Rauschzahl von Faserverstärkern
Die grundsätzliche Beschreibung des Rauschens von Halbleiterlaser - oder Faserverstärkern erfolgt
mit Abb. 3: Das Eingangssignal E0 wird mit der Leistungsverstärkung G (bzw. Amplitudenverstärkung
p
G ) verstärkt. Darüber hinaus erscheinen am Ausgang wieder die Nullpunktuktuationen E0 mit der
(E 0 +D E 0 ) exp(j2pn0t)
Faserverstärker
( G E 0 +DE 0+ D E ASE ) exp ( j2 pn0 t )
Rauschen durch
spontane Emission
Abbildung 3: Schematische Darstellung des Rauschens in Faserverstärkern
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/5
Autokorrelationsfunktion nach Gl. (7), welche vom Verstärkungsprozess unbeeinusst sind. Weiterhin
ist mit der Verstärkung (stimulierte Emission) auch immer eine spontane Emission verbunden, die
sich als Zusatzrauschen bemerkbar macht und in Abb. 3 durch EASE (ASE = amplied spontaneous
emission) berücksichtigt ist. EASE läÿt sich beschreiben durch die Autokorrelationsfunktion
? (t
< EASE (t )EASE
) >= nsp (G
1)(h ) ( )
(14)
bzw. die (zweiseitige) spektrale Leistungsdichte
SEASE = nsp (G
1)(h )
(15)
Gl. (14) , (15) sind hier nicht bewiesen, aber sie lassen sich plausibel machen, wenn man bedenkt, dass
die spontane Emissionsrate proportional ist zur stimulierten Emissionsrate (und damit zur Verstärkung
(G 1)) und zum Inversionskoezienten nsp (vergleiche z.B. S. MOD/1).
Ähnlich zu elektrischen Verstärkern läÿt sich nun eine Rauschzahl F einführen gemäÿ
F=
jE0j2= < jE0j2 >
(SNR)jEingang
=
;
2
(SNR)jAusgang G jE0 j =(< jE0 j2 > + < jEASE j2 >)
(16)
wobei SNR das Verhältnis zwischen Signal- und Rauschleistung beschreibt. Aus Gl. (16) folgt:
!
1
< jEASE j2 >
1
F=
1 + 2nsp (G
1+
=
2
G
< jE0 j >
G
1) ;
(17)
wenn man < jEASE j2 > SEASE mit Gl. (15) und < jE0 j2 > SE0 mit Gl. (8) berücksichtigt.
Für hohe Verstärkungen G 1 vereinfacht sich Gl. (17) zu:
F
2 nsp :
(18)
Im Minimum kann somit die Rauschzahl eines Faserverstärkers (nsp =1) gerade den Wert 2 ( 3 dB)
annehmen.
Die Rauschzahl F ist in Gl. (16) bezogen auf die optischen Signal/Rausch-Verhältnisse. Man kann zeigen, dass die Rauschzahl F unverändert bleibt, wenn die Signal/Rausch-Verhältnisse auf die elektrische
Leistung nach der opto-elektronischen Wandlung bezogen werden.
1.7 Beispiele für Rauschzahlen
1.7.1 Passive Komponenten
Bei passiven Komponenten, z.B. verlustbehafteten Fasern, Fasersteckern oder sonstigen Koppelstellen
ist die Verstärkung GF < 1. Andererseits giltEASE = 0, so dass sich die Rauschzahl F nach Gl. (17)
einfach zu
1
F=
(19)
GF
ergibt (vergleiche auch die Rauschzahl passiver elektrischer Netzwerke, siehe z.B. Hochfrequenztechnik
I, Abschnitt RAU)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/6
F1 ,G1
F2 ,G 2
Fges
Abbildung 4: Hintereinanderschaltung zweier optischer Netzwerke
1.7.2 Hintereinanderschaltung zweier optischer Netzwerke
In analoger Weise zu elektrischen Netzwerken (vgl. Hochfrequenztechnik I, Abschnitt RAU) läÿt sich
zeigen, dass die Hintereinanderschaltung zweier optischer Netzwerke mit den Rauschzahlen F1 , F2 und
den Verstärkungen G1 , G2 entsprechend Abb. 4 zu einer Gesamtrauschzahl
Fges = F1 +
F2 1
G1
(20)
führt.
Als Beispiel sei ein Faserverstärker mit der Rauschzahl Fv und einer verlustbehafteten Koppelstelle am
Eingang mit dem Koppelwirkungsgrad und damit einer Rauschzahl 1= betrachtet, woraus sich eine
gesamte Rauschzahl
Fges =
1 Fv 1 Fv
+
=
(21)
ergibt.
Bei Faserverstärkern ist aufgrund der im allgemeinen gegebenen Kompatibilität von der dotierten Faser
des Faserverstärkers und der Faser der Faserstrecke ein hoher Koppelwirkungsgrad nahe 1 realisierbar,
so dass Faserverstärker mit Rauschzahlen 4 : : : 5 dB realisiert werden können. Bei Halbleiterlaserverstärkern sind für den inneren Verstärker mit nsp 1:5 (vgl. Gl. (12)) zwar ähnliche Rauschzahlen
erzielbar. Unter Berücksichtigung des Koppelwirkungsgrades zwischen Faser und der aktiven Zone im
Halbleiterlaserverstärker steigt die Rauschzahl dort auf typischerweise 8 : : : 9 dB an.
1.8 Betrachtung des Rauschverhaltens kompletter Übertragungsstrecken
Zur Analyse der Rauschzahl kompletter Übertragungsstrecken wie in Abb. 1 ist zunächst die Rauschzahl
eines Segments, bestehend aus einem Faserelement und dem nachfolgenden optischen Verstärker,
gemäÿ Abb. 5 zu betrachten. Die Gesamtverstärkung des Segments ist 1, da der Verstärker gerade die
Verluste der Faser ausgleicht. Als Rauschzahl für dieses Segment ergibt sich aus Gl. (21) mit = 1=G :
Fseg = G + G (Fv
1) = G Fv
(22)
und mit der Rauschzahl Fv des Faserverstärkers gemäÿ Gl. (17) folgt:
Fseg = 1 + 2nsp (G
1) :
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(23)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/7
Verstärkung
G
Verlust
1/G
Abbildung 5: Segment einer optischen Übertragungsstrecke, bestehend aus der Faser und nachfolgendem optischen Verstärker
N - mal
(E0+DE0+DEASE)
(E0+DE0)
Abbildung 6: Prinzipielle Darstellung der gesamten Übertragungsstrecke
Die komplette optische Übertragungsstrecke besteht nun aus vielen hintereinandergeschalteten Segmenten wie in Abb. 6.
Da jedes Segment die Verstärkung 1 aufweist (Verstärkung und Faserverluste heben sich gerade auf),
ergibt sich für die gesamte Rauschzahl Fges der hintereinandergeschalteten N Segmente:
Fges = 1 + N (Fseg
1) = 1 + 2Nnsp (G
1) :
(24)
Wenn die Faserlänge pro Segment mit Loa bezeichnet wird, ist der Leistungsabfall entlang der Faser
gerade mit exp( 2Loa ) (Denition von wie auf S. GRU/8) gegeben, so dass der Faserverstärker
gerade eine Verstärkung von
G = exp(2Loa )
(25)
aufweisen muÿ, um die Verluste auszugleichen. Bei einer gesamten Streckenlänge L sind N = L=Loa
Segmente erforderlich, so dass sich für die gesamte Übertragungsstrecke mit einem Verstärkerabstand
Loa folgende Rauschzahl ergibt:
Fges = 1 + 2nsp
L
exp(2Loa )
Loa
1 :
(26)
In Abb. 7 ist diese Gesamtrauschzahl für Streckenlängen von L=1000 km und L=10000 km in Abhängigkeit des Verstärkerabstandes Loa dargestellt (Annahme: Faserdämpfung = 0:2 dB/km bzw. 0.023
Np/km (GRU/8); nsp = 2 entsprechend einer Rauschzahl von 6 dB pro Faserverstärker). Wie man
Abb. (7) entnimmt, kann die Rauschzahl bei langen Übertragungsstrecken und groÿen Verstärkerabständen durchaus hohe Werte annehmen, wobei aber ein Fges > 10000 nur in Sonderfällen akzeptabel
ist, wie später gezeigt wird.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/8
10000 km
Rauschzahl Fges
10000
1000 km
1000
100
25
50
75
100
125
150
Verstärkerabstand Loa [km]
Abbildung 7: Rauschzahl einer optischen Verstärkerstrecke in Abhängigkeit vom Verstärkerabstand
1.8.1 Verstärkte spontane Emission am Ende der Übertragungsstrecke
Die gesamte Übertragungsstrecke von Abb. 6 läÿt sich beschreiben mit der Verstärkung 1 und der
Rauschzahl Fges . Damit läÿt sich auch die spektrale Rauschleistungsdichte der verstärkten spontanen
Emission EASE am Ausgang ausdrücken. Mit Gl. (17) gilt:
< jEASE j2 >= (G F
1) < jE0 j2 >
(27)
1)SE0 ;
(28)
bzw. für die spektralen Leistungsdichten
SEASE = (G F
so dass sich für die Übertragungsstrecke mit G = 1 und F = Fges ergibt:
SEASE = (Fges
1)SE0 :
(29)
Das Schwankungsquadrat < jEASE j2 > ist mit
< jEASE j2 >= SEASE (30)
proportional zur optischen Bandbreite 1 , wobei < jEASE j2 > genau der optischen Leistung der
verstärkten spontanen Emission entspricht. Mit SE0 = h =2 aus Gl. (8) folgt für die optische
Leistung der verstärkten spontanen Emission am Ausgang
< jEASE j2 >= (Fges
1
1)
h
:
2
(31)
Hier muÿ im Gegensatz zur Betrachtung in elektrischen Netzwerken die zweiseitige spektrale Leistungsdichte verwendet
werden, da entsprechend der Denition von EASE positive und negative Frequenzen von EASE separat betrachtet
werden müssen.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/9
Als Zahlenwert ergibt sich für = 1:55 m ( = c=)
< jEASE j2 >= 0:064nW
(F
GHz ges
1) :
(32)
Um die Leistung der verstärkten spontanen Emission (ASE) zu begrenzen, wird am Ende der Übertragungsstrecke ein optisches Filter möglichst kleiner Bandbreite verwendet (unter Umständen sind
auch innerhalb der Übertragungsstrecke optische Filter erforderlich, um eine Sättigung der Verstärker
durch zu hohe ASE zu vermeiden). Für = 100 GHz und Fges = 1000 ergibt sich beispielsweise eine
ASE-Leistung von < jEASE j2 >= 6:4 W. Für die folgende Systemanalyse wird dabei vorausgesetzt,
dass die Signalleistung sehr viel gröÿer als die ASE-Leistung ist und damit
jE0j2 < jEASE j2 >
(33)
gilt.
Anmerkung: Die obigen Gleichungen (27)-(32) gelten für jeweils eine Polarisation. Bei Detektion
beider Polarisationen ergibt sich insgesamt die doppelte ASE-Leistung.
1.8.2 OSNR
Die Signalqualität wird häug mit dem optischen Signal/Rauschverhältnis OSNR (optical signal-tonoise-ratio) charakterisiert, wobei von der Detektion beider Polarisationen ausgegangen wird.
OSNR =
G jE0 j2
2 < jEASE j2 >
1 vereinfacht sich Gl. (34) mit Gl. (27) zu
jE0j2
jE0j2
OSNR =
=
2F < jE0 j2 > F h Gleichung (35) lässt sich mit jE0 j2 = P0 auch schreiben
(34)
Für F G
OSNR =
P0
F h :
:
(35)
(36)
Das OSNR wird im allgemeinen für = 12:5 GHz angegeben, woraus sich für das OSNR in dB
(=10
^ lg(OSNR)dB) bei = 1:55m ergibt:
OSNRjdB = 58dB + P0 jdBm
F jdB :
(37)
Für eine Übertragungsstrecke wie in Abb. 6 läÿt sich F durch Fges ersetzen. Gleichung (24) läÿt sich
für Fges 1 vereinfachen:
Fges
' N Fseg
Unter Verwendung von Gleichungen (22), (25) gilt:
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(38)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/10
Fseg = exp(2Loa ) Fv
und für Fges ergibt sich:
Fges
(39)
' N exp(2Loa ) Fv
(40)
Man erhält dann für das OSNR am Ende der Übertragungsstrecke:
OSNRjdB = 58dB + P0 jdBm
Fv jdB
Loa jdB
10 lg(N )jdB
(41)
Gleichung (41) erlaubt eine einfache Abschätzung, ob am Ende der Übertragungsstrecke ein genügend
hohes OSNR zur Verfügung steht.
Beispiel: Für eine Eingangsleistung P0 = 1mW( 0dBm), eine Verstärkerrauschzahl von Fv = 6dB,
eine Faserdämpfung zwischen den Verstärkern Loa von 20dB und N = 10 Segmenten ergibt sich ein
OSNR von 22dB.
1.8.3 Systemanalyse der kompletten Übertragungsstrecke
Die komplette Übertragungsstrecke gemäÿ Abb. 6 kann wie in Abb. 3 behandelt werden, wobei G = 1
gilt und EASE entsprechend Gl. (27)-(30) verwendet wird. Entsprechend Abb. 3 gilt dann für die
Ausgangsleistung
P = jE0 + E0 + EASE j2 ;
(42)
woraus sich bei reell angenommenen Signal E0 ergibt
P = E02 + 2E0 Re (E0 ) + Re (EASE ) + jE0 + EASE j2
(43)
mit der mittleren Leistung P0 = E02 und der Leistungsuktuation
P = 2E0 Re (E0 ) + Re (EASE ) + jE0 + EASE j2
|
{z
Signal ASE Rauschen
}
|
{z
}
(44)
ASE ASE Rauschen
Die Fluktuationen aufgrund der verstärkten spontanen Emission EASE sind in der Regel sehr viel
gröÿer als die Nullpunktuktuationen E0 , so dass die Fluktuationen der optischen Leistung P in
Gl. (44) in zwei Anteile zerfallen:
1. Signal-ASE-Rauschen
2. ASE-ASE-Rauschen
Im allgemeinen müssen beide Beiträge berücksichtigt werden, aber bei Verwendung schmaler optischer
Filter (kleines in Gl. (32)) ist < jEASE j2 > noch relativ klein und Gl. (33) erfüllt, so dass dann
das ASE-ASE-Rauschen gegenüber dem Signal-ASE-Rauschen vernachlässigt werden kann und P
näherungsweise durch
P = 2E0 Re (E0 ) + Re (EASE )
(45)
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/11
gegeben ist.
Für die zweiseitige spektrale Rauschleistungsdichte von P ergibt sich dann in Analogie zu Gl. (13):
SP = 2P0 (SE0 + SEASE ) ;
(46)
SP = 2P0 SE0 Fges = P0 (h )Fges ;
(47)
woraus mit Gl. (29) folgt:
woraus sich für eine Rauschzahl Fges = 1 gerade wieder das Quantenrauschen nach Gl. (13) bzw.
Gl. (4) ergibt. Man erhält dann für die einseitige spektrale Rauschleistungsdichte
d < (P )2 >
= 2SP = 2P0 (h )Fges :
df
(48)
Die optische Leistung P wird in einem optischen Empfänger mit der Diodenempndlichkeit
Ep = e=(h )
(49)
( - Quantenwirkungsgrad, e-Elementarladung) in einen entsprechenden Photostrom
Iph = Ep P
(50)
umgesetzt, so dass sich für die spektrale Rauschleistungsdichte des Photostroms (unter Vernachlässigung eines unter Umständen noch entstehenden Schrotrauschens) ergibt
d < iR2 >
d (P )2
= Ep2
= 2eIph Fges :
df
df
(51)
Dieser Rauschstrom ist im allgemeinen sehr hoch, z.B. ergibt sich für Iph = 1 mA, Fges = 1000
bereits ein
s
p
d < iR2 >
= 566 pA= Hz
df
was den Rauschstrom des nachfolgenden Verstärkers (siehe Kapitel OE) normalerweise bei weitem
übersteigt. Man kann deshalb davon ausgehen, dass das Signal/Rauschverhältnis bzw. die Bitfehlerrate
allein durch die Schwankung der optischen Leistung entsprechend Gl. (48) bestimmt wird. Wenn
man eine binäre Pulscodemodulation mit einer Modulation zwischen den Leistungen P0 = 0 und P1
betrachtet, wird die Bitfehlerrate bei optimalem Entscheider durch einen Parameter Q
P1
Q= q
< P02 > +
q
< P12 >
(52)
wie in Gl. (OE 57) beschrieben, wobei für eine Bitfehlerrate von 10 9 ein Q > 6 benötigt wird. Da das
Schwankungsquadrat der optischen Leistung proportional ist zur mittleren optischen Leistung (ähnlich
wie beim Schrotrauschen), gilt in dieser idealisierten Darstellung < P02 >= 0 und mit Gl. (48):
< P12 >= 2P1 (h )Fges
B
;
2
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(53)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/12
wobei als elektrische Empfängerbandbreite B=2 (B -Bitrate) gewählt wurde. Damit folgt unter diesen
idealisierten Bedingungen aus Gl. (52):
s
Q=
P1
;
(h )B Fges
(54)
wobei sich bei einer Wellenlänge = 1:55 m folgender Zahlenwert ergibt:
s
P1
Q 2800
mW
s
Gbit=s 1
p
:
B
Fges
(55)
So erhält man beispielsweise bei einer Bitrate B = 10 Gbit/s, Fges = 4000 und P1 = 1 mW ein
Q = 14, was noch eine hochwertige Übertragung ermöglicht.
Gl. (52) gilt für die optimale Lage der Entscheiderschwelle, die wegen < P02 >= 0 bei P0 = 0 liegen
würde. Typische Empfänger besitzen aber eher eine Entscheiderschwelle in der Mitte zwischen P0 und
P1 , wodurch sich der Parameter Q halbieren würde.
Die erreichbare Übertragungsgüte hängt nach Gl.(54),(55) auch erheblich von der optischen Leistung
P1 jeweils am Verstärkerausgang innerhalb der Übertragungsstrecke ab. Diese Leistung ist nach oben
begrenzt durch die erreichbare Verstärkerausgangsleistung sowie nichtlineare Eekte in der Übertragungsfaser, z.B. Brillouin-Streuung, Raman-Streuung sowie Selbst- und Kreuzphasenmodulation und
Vierwellenmischung aufgrund des Kerr-Eekts.
Aber auch bei moderaten optischen Leistungen sind groÿe Übertragungsstrecken möglich. So entspricht
die oben als Beispiel genannte Rauschzahl von Fges = 4000 gemäÿ Abb. (7) bei einem Verstärkerabstand von Loa = 30 km immerhin einer Gesamtübertragungsstrecke von 10.000 km (Trans-Pazik).
Man kann nun auch das geforderte OSNR angeben, um eine vorgegebne Bitfehlerrate nicht zu überbzw. ein vorgegebenes Q nicht zu unterschreiten.
1.8.4 Erforderliches OSNR
Um einen Bezug zum OSNR herzustellen, kann zunächst Gl. (54) mit erweitert werden:
s
Q=
P1
:
(h ) Fges B
(56)
Bei binärer OOK-Modulation (OOK: on-o-keying, d.h. jeweils Ein- und Ausschalten der optischen
Leistung) mit der mittleren Leistung P0 = P1 =2 folgt aus Gl. (56)
s
Q=
2P0
=
(h ) Fges B
s
2 OSNR
;
B
(57)
wobei von Gl. (36) Gebrauch gemacht wurde. Aus (57) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der
Fehlerrate (ausgedrückt durch Q) und dem benötigten OSNR.
Beispiel: Für eine binäre OOK mit B = 42:7Gbit=s und eine Bitfehlerrate BER = 10 3 (Q =
3:1) ergibt sich aus Gl. (57) ein erforderliches OSNR (mit = 12:5GHz ) von 16.4 ( 12:2dB ).
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
EDFA/13
Tatsächlich ist dieser abgeschätzte OSNR-Wert doch etwas zu optimistisch, da oben doch erhebliche
Näherungen enthalten sind, z.B. die Vernachlässigung des ASE-ASE Rauschens.
Wenn man genauere numerische Berechnungen zugrundelegt, ergeben sich bei 42.7 Gb/s und BER =
10 3 die in der folgenden Tabelle genannten OSNR-Werte:
Modulationsformat
NRZ-OOK
50% RZ-OOK
50% RZ-DPSK
50% RZ-DQPSK
OSNR (42.7Gb/s,BER=10 3 )
15.9
14.4
11.1
12.2
dB
dB
dB
dB
Tabelle 1: Erforderliches "Optical Signal/Noise Ratio" (bezogen auf = 12:5 GHz) bei einer Datenrate von 42.7 Gb/s. (N)RZ: (Non) return-to-zero; OOK: On/o-keying; DPSK: dierential phase
shift keying; DQPSK: dierential quadrature PSK. (P.J. Winzer, R.J. Essiambre: "Advanced Optical
Modulation Formats", Proceedings IEEE, vol. 94, May 2006, pp. 952 - 985).
Bei OOK und DPSK handelt es sich dabei um binäre Modulationsformate, während es sich bei DQPSK
um ein quaternäres Modulationsformat handelt (vgl. HFT II / MOD).
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/1
Beschreibung des optischen Übertragungskanals (ÜB)
1 Begrenzende Faktoren
Die maximal mögliche Übertragungsrate in faseroptischen Übertragungssystemen wird neben dem
Rauschen (siehe Abschnitt EDFA) im wesentlichen durch folgende Eekte begrenzt:
1. Chromatische Dispersion, womit die wellenlängenabhängige Gruppenlaufzeit in der Faser bezeichnet wird. Sie wird bestimmt durch die Materialdispersion (vgl. Abschnitt GRU) sowie durch
die Wellenleiterdispersion (vgl. STU 11/12).
2. Unterschiedliche Laufzeiten der einzelnen Eigenwellen in Multimode-Fasern, auch bezeichnet als
Laufzeitstreuung oder (Inter-) Modendispersion (vgl. Abschnitt GRA).
3. Nichtlineare Eekte im Lichtwellenleiter bei höheren optischen Leistungen.
2 Vorüberlegungen
2.1 Impulsverbreitung
Sowohl die chromatische Dispersion als auch die unterschiedlichen Laufzeiten in Multimode-Fasern
führen zu einer Impulsverbreiterung, die sich in erster Nährung quadratisch überlagern lassen:
(t )2 = (tc )2 + (ts )2
(1)
wobei tc die Impulsverbreiterung aufgrund der chromatischen Dispersion und ts die Impulsverbreiterung aufgrund der Laufzeitstreuung in Multimode-Fasern bezeichnen (ts = 0 für einwellige Fasern).
Für einen ersten Eindruck des Übertragungsverhaltens ist es zweckmäÿig, eine Impulsantwort h(t )
bezüglich der optischen Leistung am Ende einer Faserstrecke für einen sehr schmalen Eingangspuls zu
denieren. Wenn man eine Gauÿ'sche Impulsantwort mit
h(t ) =
+R1
1
h(t )dt = 1 annimmt, läÿt sich schreiben.
exp( (t=t )2 )
pt
(2)
Die Fouriertransformierte von h(t ) entspricht der Übertragungsfunktion
H (j! ) mit
h(t )
H (j! ) = exp( ln2(f =fg )2 )
(3)
(4)
mit ! = 2f . Die Übertragungsfunktion hat damit ein Tiefpaÿverhalten mit der Grenzfrequenz fg mit
j H(j! = j 2fg ) j= 12 . Abb. 1 zeigt schematisch h(t ), wobei häug auch die Puls-Halbwertsbreite
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/2
p D t h (t)
D t
F W H M
1
1 /2
1 /e
D t
Abb. 1: Gauÿ'sche Impulsantwort h(t)
tF W HM (FWHM - full width half maximum) verwendet wird, die sich für einen Gauÿ'schen Puls nach
Abb. 1 ergibt zu
p
tF W HM = 2 ln2 t
(5)
Die Grenzfrequenz fg ergibt sich dann zu
fg =
p
1
0:44
ln2 1
2ln2
=
=
t
tF W HM tF W HM
(6)
Die weitere Betrachtung beschränkt sich auf einwellige Fasern, bei denen eine Impulsverbreitung nur
aufgrund der chromatischen Dispersion zu berücksichtigen ist. Bei einer spektralen Breite der Lichtquelle (full width half maximum) ergibt sich dann
tF W HM = L j d=d j
(7)
mit der Faserlänge L und der chromatischen Dispersion d=d.
Beispiel: LED mit = 80nm; = 1:55m und einer chromatischen Dispersion d=d = 17ps=(km nm). Dann ergibt sich ein tF W HM = 1:36ns=km bzw. eine Grenzfrequenz fg = 320 MHz (km/L).
Nach (6) hätte es den Anschein, daÿ sich für ! 0 ein t ! 0 und damit eine unendlich hohe
Bandbreite realisieren lieÿe. Tatsächlich bewirkt eine schnelle Modulation aber auch eine spektrale
Verbreitung, wodurch die erreichbare Übertragungsrate begrenzt wird.
2.2 Intuitive Abschätzung der maximalen Übertragungsrate
Wir gehen von einer binären Puls-Code-Modulation (PCM) mit der Bitrate B aus, wobei dann die
spektrale Breite der modulierten Lichtquelle auch ungefähr durch B und damit
= 2 =c = B 2 =c
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(8)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/3
gegeben ist. Die Grenzfrequenz fg ergibt sich dann mit (6), (7) zu
fg = 0:44 c=(B 2 L j d=d j)
(9)
Zur Übertragung der binären Bitfolge muÿ die Grenzfrequenz
fg > B=2
sein, woraus mit (9) folgt:
p
B L<
s
2
(10)
0:88 c
j d=d j
p
(11)
Man erhält also als Begrenzung durch die chromatische Dispersion ein maximales Bitr aten Lange -P r odukt .
Wenn man eine Standardfaser mit j d=d j= 17ps=(km nm) und = 1:55m zugrunde legt, ergibt
sich als Zahlenwert
p
p
(12)
B L < 80Gbit=s km
was beispielsweise bei einer Bitrate von B = 10 Gbit/s noch eine Übertragungslänge von L = 64 km
ermöglicht.
3 Signalübertragung unter Berücksichtigung der chromatischen
Dispersion
3.1 Grundlagen
Bei der obigen Beschreibung handelt es sich noch um eine recht grobe Betrachtung, so daÿ hier
genauer die Ausbreitung des modulierten elektrischen Feldes entlang einer dispersiven Faser analysiert
werden soll. Wir verwenden dazu das komplexe orts- und zeitabhängige elektrische Feld
E (z; t ) = A(z; t )exp( j0 z + j!0 t )
(13)
A(z; t ) bezeichnet dabei eine im Vergleich zur optischen Frequenz langsam variierende komplexe Amplitudenfunktion für ein monochromatisches optisches Feld mit der optischen Frequenz !0 und der
dazugehörigen Phasenkonstanten 0 . Das reale elektrische Feld in der Faser (z.B. Ex für die LP01 Welle) entspricht dabei dem Realteil von (13). Die Signalausbreitung entlang der Faser läÿt sich sehr
einfach im Frequenzbereich mit der Fouriertransformierten von E (z; t ) beschreiben:
E (z; t ) E (z; j!)
(14)
gemäÿ
E (z; j!) = E (z = 0; j! ) exp( j (!)z )
(15)
Die Phasenkonstante (! ) wird um ! = !0 in eine Taylor-Reihe entwickelt:
(!) = 0 + (!
1
!0 ) + 2 (!
2
1
!0 )2 + 3 (!
6
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!0 )3 + :::
(16)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/4
mit 0 = (!0 ) wie bereits in (13), der Gruppenlaufzeit pro Länge
= d=d! ;
der chromatischen Dispersion
2 =
d 2
d
=
=
2
d!
d!
(17)
d 2
(
)
d 2c
(18)
und der Änderung der chromatischen Dispersion (englisch: dispersion slope)
3 =
d 3
d d
=
( )
3
d!
d! d!
(19)
Gl. (15) führt mit (16) auf:
E (z; j!) = E (z = 0; j! ) exp( j0 z )exp( jz (!
1
exp( j 3 z (!
6
1
!0 ))exp( j 2 z (!
2
!0 )3 )
!0 )2 ) (20)
Mit Gl. (20) ist die Signalausbreitung prinzipiell vollständig beschrieben. Uns interessiert jedoch die
Signalausbreitung bezüglich der Amplitudenfunktion A(z; t ), wobei es zweckmäÿig ist, eine retardierte
Zeitachse (t 0 = t z ) einzuführen, da die Gruppenlaufzeit des Signals im wesentlichen durch
z gegeben ist. Für die Amplitudenfunktion wird nun eine Fouriertransformierte mit t = t 0 + z
eingeführt:
A(z; j )
(21)
A(z; t 0 + z ) wobei die Frequenz der Dierenz zwischen ! des Feldes in Gl.(14)-(16) und !0 , d.h. = ! !0 ,
entspricht. Es ist nun das Ziel, die Signalübertragung bezüglich A(z; t ) bzw. A(z; j ) zu beschreiben.
Die Fouriertransformation in (21) bedeutet
A(z; j ) =
und damit mit t 0 = t
+
Z1
1
A(z; t 0 + z )exp( j t 0 )dt 0
(22)
z und dt 0 = dt :
A(z; j ) = exp(j z )
+
Z1
1
A(z; t )exp( j t )dt
(23)
Wenn man Gl. (13) nach A(z; t ) auöst:
A(z; t ) = E (z; t )exp(j0 z )exp( j!0 t )
(24)
und in Gl. (23) einsetzt, ergibt sich
A(z; j ) = exp(j z )exp(j0 z )
+
Z1
1
E (z; t )exp( j (
+ !0 )t )dt
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(25)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/5
und damit
A(z; j ) = exp(j z )exp(j0 z )E (z; j! )
(26)
Mit E (z; j! ) aus Gl(20) ergibt sich schlieÿlich
1
A(z; j ) = E (z = 0; j! )exp( j 2 z (!
2
und damit
1
!0 )2 )exp( j 3 z (!
6
1
1
A(z; j ) = A(z = 0; j )exp( j 2 z 2 )exp( j 3 z 3 )
2
6
!0 )3 )
(27)
(28)
Gl.(28) läÿt sich als Dierentialgleichung schreiben,
@A(z; j )
1
= A(z; j )( j 2 2
@z
2
Mit der retardierten Zeitachse t
mieren:
t
1
j 3 3 )
6
(29)
z und @=@t = j läÿt sich (29) in den Zeitbereich transfor-
@A(z; t )
@ 2 A(z; t ) 3 @ 3 A(z; t )
=j 2
+
(30)
@z
2
@t 2
6
@t 3
Die Kenntnis der Signalform A(z; t ) an der Stelle z ermöglicht damit die Berechnung der Signalform
an der Stelle (z + z ).
3.2 Übertragung eines Gauÿ'schen Pulses
Gl.(30) entspricht bei Vernachlässigung von 3 genau der Ausbreitungsgleichung für Strahlwellen
(STR, Gl. (3)) mit den Entsprechungen t x; y und 2 k10 n . Insofern ist es naheliegend, ähnlich wie
bei der Gauÿ'schen Strahlwelle die Ausbreitung eines Gauÿförmigen Pulses entlang einer dispersiven
Faser zu analysieren. Die komplexe Amplitude A(z; t ) sei so normiert, daÿ für die optische Leistung
P in der Faser
P (z; t ) =j A(z; t ) j2
(31)
gilt. Für z=0 sei
P (z = 0; t ) = P0 exp( [t=t0 ]2 )
(32)
und damit für die komplexe Amplitude
A(z = 0; t ) =
p
P0 exp(
1
(t=t0 )2 )exp(j(t ))
2
(33)
mit einer eventuellen zusätzlichen Phasenmodulation (t ). Beispielsweise führt die Modulation eines
Halbleiterlasers (aber auch von sonstigen externen Modulatoren) nicht nur zu einer Leistungsmodulation, sondern auch zu einer Modulation der optischen Frequenz (chirp). Dies liegt daran, daÿ sich
bei einer Modulation der optischen Verstärkung auch die Brechzahl innerhalb des Halbleiterlasers und
damit die optische Emissionsfrequenz ändert. Dies läÿt sich durch einen Parameter
ch =
n 0
n00
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(34)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/6
beschreiben, der die Kopplung zwischen einer Variation des Imaginärteils und des Realteils der Brechzahl beschreibt. Für eine Lasermodulation gilt (siehe z.B. K. Petermann, 'Laser diode modulation and
noise', Kluwer Academic 1991):
d
= 2( (t )
dt
0 ) =
ch 1 dP
(
)
2 P dt
(35)
woraus für den Gauÿförmigen Puls von Gl.(32) folgt:
d
= (ch =t02 )t
dt
bzw.
(t ) =
ch
(t=t0 )2
2
(36)
(37)
so daÿ sich die komplexe Amplitude gemäÿ Gl.(33) ergibt zu
A(z = 0; t ) =
p
P0 exp(
1
(t=t0 )2 (1 + jch ))
2
(38)
A(z; t ) ergibt sich dann gemäÿ Gl.(29),(30).
Für 3 = 0 bleibt die Gauÿ'sche Pulsform bei Ausbreitung entlang der Faser erhalten, wie beim
Gauÿ'schen Strahl
P (z; t ) exp( (t=t1 (z ))2 )
mit
s
t1 (z ) = t0 (1
ch
2 z 2
z
) + ( 22 )2
t02
t0
(39)
(40)
Abb. 2 zeigt den Verlauf der Pulsbreite für 2 < 0 (wie bei einer Standardfaser mit = 1; 55m, dort
ist 2 20ps 2 =km). LD bezeichnet dabei die sogenannte Dispersionslänge
LD = t02 = j 2 j
(41)
Ohne 'chirp' (ch = 0) ergibt sich eine monotone Pulsverbreiterung, während sich für ch 2 > 0
auch eine Pulsverschmälerung ergeben kann. Aufgrund der Pulsverbreiterung eines Gauÿ-Pulses läÿt
sich die maximal mögliche Übertragungsrate abschätzen.
3.3 Maximale Übertragungsrate ohne chirp (ch = 0)
Ohne chirp (ch = 0) ergibt sich die minimale Impulsbreite am Ausgang (z = L) für t02 =j 2 L j zu
t12 = 2 j 2 L j
(42)
was ungefähr eine maximale Bitrate B < 1=(2t1 ) ermöglicht und damit
p
q
B L < 1= 8 j 2 j =
s
(2=8) c
j d=d j 2
in guter Übereinstimmung mit Gl.(11).
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(43)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/7
4.0
b2<0
3.5
3.0
ach=2
ach=-2
t 1/t 0
2.5
2.0
1.5
ach=0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
z/LD
1.5
2.0
Abb. 2: Pulsbreite als Funktion der Faserlänge
3.4 Maximale Übertragungsrate mit Vorchirp
Mit einem geeignet gewählten 'chirp'-Parameter ch < 0 (für 2 < 0) läÿt sich gemäÿ Abb. 2
eine Pulsverschmälerung und damit eine Erhöhung der Übertragungsrate erreichen. Leider ist bei der
direkten Modulation von Halbleiterlasern normalerweise ch > 0 (typisch ch 3::::6), aber mit
speziellen Modulatoren ist auch ch < 0 möglich.
Mit genügend groÿem negativen ch lassen sich prinzipiell beliebig kleine Pulsbreiten erreichen. Für
die Abschätzung der maximalen Übertragungsrate ist jedoch bestenfalls eine Anfangsimpulsbreite
t1 (z = L) = t0
(44)
sinnvoll.
Die Forderung (44) für minimales t0 = t1 (z = L) führt mit (40) auf ch =
t12 (z = L) = t02 =j 2 L j
In Analogie zu (42), (43) ergibt sich ein maximales Bitr aten p
q
pLange -P r odukt von
B L < 1= 4 j 2 j
d.h. daÿ sich mit Vorchirp (ch =
verdoppeln läÿt.
1( fur 2 < 0) und
(45)
(46)
1) die Übertragungslänge bei gleicher Bitrate gegenüber (43)
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/8
4 Übertragungsverhalten von Lichtwellenleitern unter
Berücksichtigung der Nichtlinearitäten
4.1 Grundsätzliche Eekte
Bezüglich des nichtlinearen Verhaltens von Lichtwellenleitern unterscheiden wir einmal nichtlineare
Streuprozesse sowie die Veränderung der Brechzahl bei hohen Leistungen (Kerr-Eekt).
4.1.1 Nichtlineare Streuprozesse
Bei den nichtlinearen Streuprozessen ndet eine Wechselwirkung statt mit Phononen, wodurch die optische Signalwelle in Wellen kleinerer Photonenenergie umgesetzt wird, was auch zu einer nichtlinearen
Dämpfung der Signalwelle führt. Man unterscheidet im wesentlichen zwischen der Brillouin- und der
Raman-Streuung.
Bei der Brillouin-Streuung wird die Signalwelle an einer akustischen Welle längs des Lichtwellenleiters
reektiert, wobei sich aufgrund des Doppler-Eekts eine reektierte Welle ergibt, die eine um ca. 10
GHz reduzierte optische Frequenz aufweist. Die für die Brillouin-Streuung relevante Bandbreite ist
mit 100 MHz relativ gering. Die Brillouin-Streuung führt zu erheblichen Störungen der Signalübertragung, sobald die optische Leistung innerhalb eines Bandbreitenintervalls von 100 MHz einige mW
überschreitet. Um trotzdem möglichst hohe Signalleistungen in der Faser zulassen zu können, ist es
zweckmäÿig, Modulationsverfahren zu verwenden, die die optische Signalleistung möglichst gleichmäÿig auf eine groÿe Spektralbreite verteilen.
Bei der Raman-Streuung handelt es sich um die Wechselwirkung mit optischen Phononen, die auch zu
einer Dämpfung der Signalwelle führen kann. Die Raman-Streuung ist sehr viel breitbandiger, wobei
aber eine nennenswerte Dämpfung der Signalwelle erst bei Leistungen 500 mW auftritt.
4.1.2 Intensitätsabhängige Brechzahl
Aufgrund des Kerr-Eekts ergibt sich eine intensitätsabhängige Brechzahl, die sich am besten be~ ergibt
schreiben läÿt mit der elektrischen Polarisation P~ , aus der sich die dielektrische Verschiebung D
mit
wobei
~ = 0 E
~ + P~
D
(47)
P~ = P~L + P~NL
(48)
~
P~L = 0 1 E
(49)
den linearen Anteil der elektrischen Polarisation beschreibt. Wenn man zunächst nur den linearen Anteil
~ = 0 (1 + 1 )E
~ , so daÿ sich 1 mit
der Polarisation P~ in (47) berücksichtigt, ergäbe sich D
r = 1 + 1
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(50)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/9
der relativen Dielektrizitätskonstante zuordnen läÿt. Die nichtlineare Polarisation P~NL aufgrund des
Kerr-Eekts ist im wesentlichen ein Eekt 3. Ordnung gemäÿ
~ E
~ )E
~
P~NL = 0 3 (E
(51)
Um den Einuÿ der nichtlinearen Polarisation besser zu verstehen, betrachten wir ein (skalar angenommenes) elektrisches Feld, das sich aus 2 harmonischen Komponenten zusammensetzt:
E = Re E 1 exp(j!1 t ) + Re E 2 exp(j!2 t ) =
1
E 1 exp(j!1 t ) + E 2 exp(j!2 t ) + c:c:
2
(52)
Wenn man (52) in (51) einsetzt, ergeben sich für die nichtlineare Polarisation Frequenzkomponenten
insbesondere bei !1 ; !2 ; (2!1 +!2 ); (2!2 +!1 ). Für die Frequenzkomponente !1 ergibt sich beispielsweise
3
PNL (!1 ) = 0 3 (jE 1 j2 +2 j E 2 j2 )Re (E 1 exp(j!1 t )
(53)
4
wodurch sich dann bei der Frequenz !1 in Erweiterung zu 50 ein eektives r einführen läÿt gemäÿ
3 r (!1 ) = 1 + 1 + 3 j E 1 j2 +2 j E 2 j2
4
woraus sich dann auch für die Brechzahl n =
p
r
(54)
ein linearer und nichtlinearer Anteil ergibt
n j!1 = n1 + n2 (I1 + 2I2 )
(55)
mit I1;2 der Intensität (= Leistungsdichte) bei der Frequenz !1 bzw. !2 . Da die Phasenkonstante
proportional zur Brechzahl ist, führt gemäÿ Gl. (55) die Variation der Intensität zu einer Phasenmodulation des Signals, wobei die eigene Intensität (!1 ) die Phase halb so stark beeinuÿt - man
spricht von Selbstphasenmodulation - wie die Intensität I2 des Signals bei der anderen Frequenz (bzw.
Wellenlänge) - man spricht dann von Kreuzphasenmodulation.
4.2 Nichtlineare Schrödingergleichung
Solange die Brillouin- und die Raman-Streuung noch keine Rolle spielt, genügt es, nur die nichtlineare
Phasenverschiebung entsprechend 4.1.2 für die Signalausbreitung in der Faser mit zu berücksichtigen.
Gl. (30) wird dazu erweitert einmal um einen Term, der die Dämpfung in der Faser beschreibt
sowie die nichtlineare Phasenverschiebung in Anlehnung an Gl. 55. Es ergibt sich dann die sogenannte
nichtlineare Schrödingergleichung:
@ 2 A(z; t ) 3 @ 3 A(z; t )
@A(z; t )
=j 2
+
@z
2
@t 2
6
@t 3
A(z; t )
j j A j2 A(z; t )
(56)
wobei die nichtlineare Phasenverschiebung durch den Parameter beschrieben wird, der bei einer
Quarzglasfaser den Wert
=
1:31 80 m2
W km Aef f
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(57)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/10
annimmt. Aef f bezeichnet die eektive wirksame Fläche der LP01 -Grundwelle, die bei einer Standardfaser typischerweise den Wert Aef f = 80m2 aufweist. Die nichtlineare Phasenverschiebung kann
für
Z
P (z )dz << 1
(58)
vernachlässigt werden, wobei das Integral in Gl. (58) über die gesamte Faserstrecke (einschlieÿlich der
optischen Verstärker) zu erstrecken ist. So spielt die nichtlineare Phasenverschiebung für P (z ) 1mW
und eine Streckenlänge L =100 km beispielsweise noch keine Rolle, für L =1000 km jedoch muÿ sie
mit berücksichtigt werden. Die nichtlineare Phasenverschiebung in Gl. (56) führt insbesondere zu
folgenden Eekten:
1. Selbstphasenmodulation
Aufgrund der intensitätsabhängigen Phasenverschiebung wird die Phase des Signals selbst moduliert (siehe Gl. 55), was unter Umständen zu einer erheblichen spektralen Verbreiterung führen
kann.
2. Kreuzphasenmodulation
Bei einem Wellenlängenmultiplexsystem wird die Phase eines Kanals auch durch die Intensitätsschwankungen der Nachbarkanäle moduliert (siehe Gl. 55). Dies führt zu einem Übersprechen
zwischen den verschiedenen Kanälen.
3. Vierwellenmischung
Bei 3 vorhandenen Signalen der optischen Frequenzen !i , !j , !k ergibt sich z.B. ein viertes Signal
bei der Frequenz !i (!j !k ). Auch dies führt zu einem Übersprechen zwischen verschiedenen
Kanälen.
Eine Analyse der Signalausbreitung mit den obigen Eekten ist im allgemeinen nur durch numerische
Auswertung von Gl. (56) möglich. Wichtig ist dabei auch die Gröÿe der chromatischen Dispersion. Im
allgemeinen ist es vorteilhaft, wenn die lokale Dispersion j 2 (z ) j möglichst groÿ ist.
4.3 Solitonen
Die nichtlineare Phasenverschiebung läÿt sich positiv ausnutzen, wenn die nichtlineare Phasenverschiebung j A j2 A gerade die Dispersion (2 =2) d 2 A=dt 2 kompensiert (Annahme: 3 = 0 und
dämpfungsfreies System mit = 0). Bei geeignet gewählten Leistungspegeln ergeben sich kurze
Pulse (sogenannte Solitonen), die entweder unabhängig von z sind oder zumindest eine Periodizität
entlang z mit der Solitonenperiode Lper aufweisen.
Solitonen existieren nur für 2 < 0. Sie werden charakterisiert durch ihre Solitonenordnung Nsol .
2 =
Nsol
Pp Tp2
j 2 j
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(59)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/11
und die Solitonenperiode
Tp2
(60)
2 j 2 j
mit der Pulsspitzenleistung Pp und der halben Pulsbreite Tp . Abb. 3 zeigt Beispiele für Solitonen mit
Nsol =1...3.
Lper =
Z e itb e r e ic h
N
s o l
F r e q u e n z b e r e ic h
= 1
z
w
t
N
s o l
z
= 2
N
t
z
w
t
s o l
= 3
z
z
w
z
Abb. 3: Solitonen der Ordnung Nsol = 1; 2; 3 im Zeit- und Frequenzbereich
Beispiel:
Es wird ein 10 Gbit/s-System betrachtet. Damit sich die Solitonenpulse nicht beeinussen, muÿ die
Pulsbreite deutlich kleiner als die Bitperiode sein, also z.B. Tp = 10ps. Für eine Standardfaser bei
1; 55m mit 2 = 20ps2 =km ergibt sich dann eine Solitonenperiode Lper = 8km.
Hier ist zu beachten, daÿ Solitonen streng genommen nur für ein verlustfreies System mit = 0 existieren können. Diese Bedingung kann so verallgemeinert werden, daÿ innerhalb einer Solitonenperiode
die Verluste ausgeglichen werden müssen, d.h. Loa < Lper (Loa - Verstärkerabstand). Da Verstärkerabstände Loa > 50km angestrebt werden, ist die im obigen Beispiel abgeschätzte Solitonenperiode
viel zu kurz für ein praktisches System. Dies bedeutet, daÿ ein 10 Gbit/s-Solitonen-System nur mit
Fasern erheblich geringerer Dispersion realisierbar ist.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
ÜB/12
Weiterführende Literatur: G.P. Agrawal, 'Fiber-optic Communication Systems', John Wiley, 4th Ed.,
2010
5 Ausblick
Zur Beurteilung konkreter Übertragungssysteme ist im allgemeinen eine numerische Systemanalyse
erforderlich. Weiterhin unterscheidet man zwischen RZ- und NRZ-Systemen (RZ- return to zero, NRZnon return to zero). Verbreiteter sind NRZ-Systeme, bei denen die Pulsbreite gerade der Bitperiode
entspricht und somit die optische Leistung bei aufeinanderfolgenden '1'-Signalen nicht auf 0 zurückgeht
(siehe Abb. 4). Bei kürzeren Pulsen erhält man dann ein RZ-Signal, wobei das Verhältnis zwischen
Pulsbreite und Bitintervall als Tastverhältnis bezeichnet wird.
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
Power
1
NRZ
t=Dt/TB=1
RZ
t=Dt/TB=0.5
Power
t/TB
Dt
TB
t/TB
Abb. 4: Vergleich zwischen RZ- und NRZ-Modulation
Bei Solitonensystemen handelt es sich beispielsweise um ein RZ-System, wobei zur Vermeidung der
Wechselwirkung zwischen den einzelnen Solitonen 0:25 gelten muÿ. Ein Beispiel für die Analyse
eines NRZ-Systems (reine Intensitätsmodulation ohne 'chirp') im Rahmen der linearen Näherung (Gl.
30) zeigt Abb. 5. Die dargestellte 'power penalty' gibt die Reduktion der Önung im Augendiagramm
an. Für eine 'penalty' von 1 dB und 10 Gbit/s ergibt sich eine Streckenlänge von 63 km (bei 40 Gbit/s
jedoch nur 4 km) in guter Übereinstimmung mit Gl. (11)(12),(43).
Um gröÿere Streckenlängen zu erreichen, besteht die naheliegendste Möglichkeit darin, in die Faserstrecke dispersionskompensierende Fasern einzufügen. Prinzipiell ist eine perfekte Kompensation der
chromatischen Dispersion möglich, es verbleiben jedoch die Begrenzungen aufgrund der Nichtlinaritäten.
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ÜB/13
power penalty (dB)
3.5
3.0
back-to-back
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
length (km)
0
0
20
40
60
80
100
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
10 Gbit/s
40 Gbit/s
Abb. 5: Reduzierung der Augenönung (in dB) bei einem 10- bzw. 40 Gbit/s-System im Rahmen der
linearen Näherung (Standardfaser)
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