Induktives Beweisen

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6. Induktives Beweisen - Themenübersicht
Ordnungsrelationen
Partielle Ordnungen
Quasiordnungen
Totale Ordnungen
Striktordnungen
Ordnungen und Teilstrukturen
Noethersche Induktion
Anwendung: Terminierungsbeweise
Verallgemeinerte Induktion
Anwendung: Fibonacci-Funktion
Strukturelle Induktion
Anwendung: Boolesche Terme
Vollständige Induktion
Anwendung: Gesetze natürlicher Zahlen
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6.1 Ordnungsrelationen
Partielle Ordnungen
Definition 6.1 (5.1)
Eine homogene Relation ⊆ A × A heisst partielle Ordnung oder auch
Halbordnung, gdw.
1
ist reflexiv: ∀ a ∈ A. a a
2
ist antisymmetrisch: ∀ a1 , a2 ∈ A. a1 a2 ∧ a2 a1 ⇒ a1 = a2
3
ist transitiv: ∀ a1 , a2 , a3 ∈ A. a1 a2 ∧ a2 a3 ⇒ a1 a3
Beispiele
⊆ auf P(M) für beliebige Grundmenge M.
Teilbarkeitsbeziehung | auf N.
Teilzeichenreihenbeziehung auf A∗ definiert durch:
w 0 v w ⇔df ∃ w1 , w2 ∈ A∗ . w1 w 0 w2 = w .
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6.1 Ordnungsrelationen
Partielle Ordnungen
Definition 6.2 (Ordnung auf N) (5.2)
Für n, m ∈ N definiere wir eine Relation ≤ durch
n ≤ m ⇔df ∃ k ∈ N. n + k = m.
Satz 6.3 (5.1)
≤ ist eine partielle Ordnung auf N.
→ Später: ≤ ist total.
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6.1 Ordnungsrelationen
Partielle Ordnungen
Satz 6.3 (5.1)
≤ ist eine partielle Ordnung auf N.
Beweis (Reflexivität): Sei n ∈ N. Für k = 0 gilt dann n + 0 = 0 + n = n,
also auch n ≤ n.
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6.1 Ordnungsrelationen
Partielle Ordnungen
Satz 6.3 (5.1)
≤ ist eine partielle Ordnung auf N.
Beweis (Antisymmetrie (1/3)): Seien m, n ∈ N mit n ≤ m und m ≤ n.
Dann existieren Zahlen k1 , k2 ∈ N mit :
n + k1 = m
m + k2 = n
Setzt man m aus der ersten Gleichung in die Zweite ein, erhält man
(n + k1 ) + k2 = n. Wegen der Assoziativität und Kommutativität der
Addition folgt (k1 + k2 ) + n = n.
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6.1 Ordnungsrelationen
Partielle Ordnungen
Satz 6.3 (5.1)
≤ ist eine partielle Ordnung auf N.
Beweis (Antisymmetrie (2/3)): Gemäß der Definition der Addition
natürlicher Zahlen (siehe Definition 4.2(a)) folgt daraus
(k1 + k2 ) + n = 0 + n
und weiter
k1 + k2 = 0
Es bleibt noch nachzuweisen, dass die bereits k1 = 0 impliziert.
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6.1 Ordnungsrelationen
Partielle Ordnungen
Satz 6.3 (5.1)
≤ ist eine partielle Ordnung auf N.
Beweis (Antisymmetrie (3/3)): Angenommen k1 wäre von 0 verschieden.
Dann gäbe es nach Lemma 4.1 eine natürliche Zahl k10 mit k10 = s(k1 ) und
damit wegen der Definition der Addition natürlicher Zahlen auch mit:
k1 + k2 = s(k10 ) + k2
Def.4.2.(a)
=
s(k10 + k2 ).
Also wäre k1 + k2 ein Nachfolger einer natürlichen Zahl und damit von 0
verschieden, im Widerspruch zu k1 + k2 = 0.
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6.1 Ordnungsrelationen
Partielle Ordnungen
Satz 6.3 (5.1)
≤ ist eine partielle Ordnung auf N.
Beweis (Transitivität: Seien n, m, p ∈ N mit n ≤ m und m ≤ p. Dann
existieren Zahlen k1 , k2 ∈ N mit:
n + k1 = m
m + k2 = p
Setzt man m aus der ersten Gleichung in die Zweite ein, so erhält man
(n + k1 ) + k2 = p. Mit der Assoziativität der Addition folgt
n + (k1 + k2 ) = p
und damit n ≤ p.
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6.1 Ordnungsrelationen
Quasiordnungen
Definition 6.1
Eine homogene Relation - ⊆ A × A heisst Quasiordnung oder auch
Präordnung, gdw.
1
- ist reflexiv: ∀ a ∈ A. a - a
2
- ist transitiv: ∀ a1 , a2 , a3 ∈ A. a1 - a2 ∧ a2 - a3 ⇒ a1 - a3
Beispiel
“Kleiner oder gleich groß”-Beziehung auf Menge von Personen.
Teilbarkeitsbeziehung | auf Z (Beachte −1|1 und 1| − 1).
Implikation “⇒” auf Booleschen Termen.
“Weniger mächtig”-Beziehung ≤ auf Mengensystemen.
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6.1 Ordnungsrelationen
Quasiordnungen
Beobachtung
Quasiordnung - ⊆ A × A induziert Äquivalenzrelation auf A durch:
a1 ∼ a2 ⇔df a1 - a2 ∧ a2 - a1 .
Man spricht hier auch vom Kern der Quasiordnung.
- bildet partielle Ordnung auf A/ ∼.
Beispiel
Implikation “⇒” auf Booleschen Termen ist Quasiordnung.
Kern von “⇒” ist die semantische Äquivalenz auf Booleschen Termen.
Implikation auf Klassen semantisch äquivalenter Boolescher Terme ist
partielle Ordnung.
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6.1 Ordnungsrelationen
Totale Ordnungsrelationen
Definition
Eine Quasiordnung - ⊆ A × A, in der alle Elemente vergleichbar sind,
heißt totale Quasiordnung oder auch Präferenzordnung, d.h.
∀ a1 , a2 ∈ A. a1 - a2 ∨ a2 - a1
Beispiel
“Weniger mächtig”-Beziehung ≤ auf Mengensystemen.
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6.1 Ordnungsrelationen
Totale Ordnungsrelationen
Definition
Eine partielle Ordnung ⊆ A × A, in der alle Elemente vergleichbar sind,
heißt totale Ordnung oder auch lineare Ordnung, d.h.
∀ a1 , a2 ∈ A. a1 a2 ∨ a2 a1
Beispiel
≤ auf N.
Lexikographische Ordnung auf A*.
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6.1 Ordnungsrelationen
Striktordnungen
Beobachtung
Zu einer gegebenen Quasiordnung - lässt sich die zughörige Striktordnung
≺ definieren durch:
a1 ≺ a2 ⇔df a1 - a2 ∧ a1 6∼ a2 .
Lemma 6.4 (5.1)
1
≺ ist asymmetrisch, d.h.: ∀ a1 , a2 ∈ A. a1 ≺ a2 ⇒ a2 6≺ a1
2
≺ ist transitiv, d.h.: ∀ a1 , a2 , a3 ∈ A. a1 ≺ a2 ∧ a2 ≺ a3 ⇒ a1 ≺ a3
Folgerung: ≺ ist irreflexiv, d.h.: ∀ a ∈ A. a 6≺ a
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6.1 Ordnungsrelationen
Striktordnungen
Beobachtung
Zu einer gegebenen Striktordnung ≺ lässt sich die zughörige partielle
Ordnung definieren durch:
a1 a2 ⇔df a1 ≺ a2 ∨ a1 = a2 .
Definition
Reduziert man eine Striktordnung auf die unmittelbar benachbarten
Abhängigkeiten erhält man die Nachbarschaftsordnung ≺N definiert durch:
a1 ≺N a2 ⇔df a1 ≺ a2 ∧ @ a3 ∈ A. a1 ≺ a3 ≺ a2 .
Graphische Darstellung von ≺N als Hasse-Diagramm bekannt.
Es gilt: ≺∗N =
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6.1 Ordnungsrelationen
Teilbarkeitsordnungen
Teilbarkeitsordnungen auf {1, 2, 3, 4, 6, 12} als (a) Partielle Ordnung (b)
Striktordnung (c) Nachbarschaftsordnung
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6.1 Ordnungsrelationen
Hasse-Diagramme
Hasse Diagramme zu (a) ≤ auf N, (b) ⊆ auf P({1, 2, 3}), (c) | auf
{1, . . . , 12}.
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6.1 Ordnungsrelationen
Extremalelemente
Definition 6.5 (Minimale, maximale Elemente) (5.3)
Sei ⊆ A × A partielle Ordnung und B ⊆ A. Ein Element b ∈ B heißt
1
minimales Element in B ⇔df @ b 0 ∈ B. b 0 ≺ b und
2
maximales Element in B ⇔df @ b 0 ∈ B. b ≺ b 0 .
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6.1 Ordnungsrelationen
Extremalelemente
Definition 6.7 (Kleinstes, größtes Element) (5.4)
Sei ⊆ A × A partielle Ordnung und B ⊆ A. Ein Element b ∈ B heißt
1
kleinstes Element in B ⇔df ∀ b 0 ∈ B. b b 0 und
2
größtes Element in B ⇔df ∀ b 0 ∈ B. b 0 b.
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6.2 Noethersche Induktion
Noethersche Ordnungen
Definition 6.9 (5.5)
Eine Quasiordnung - ⊆ A×A heißt Noethersch genau dann, wenn jede
nichtleere Teilmenge von M ein minimales Element besitzt.
Satz 5.2 (Absteigende Kettenbedingung)
Eine Quasiordnung (M, ) ist genau dann Noethersch, wenn es in M keine
unendliche, echt absteigende Kette x0 x1 x2 . . . gibt.
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6.2 Noethersche Induktion
Noethersche Ordnungen
Satz 5.2 (Absteigende Kettenbedingung)
Eine Quasiordnung (M, ) ist genau dann Noethersch, wenn es in M keine
unendliche, echt absteigende Kette x0 x1 x2 . . . gibt.
Beweis “⇒”: Sei x0 x1 x2 . . . eine unendliche, echt absteigende Kette
in M. Dann ist A =df {x0 , x1 , x2 . . . } nichleer. Angenommen nun es gäbe
ein minimales Element amin ∈ A. Dann existierte ein Index i mit xi = amin .
Wegen xi xi+1 wäre xi aber im Widerspruch zur Annahme nicht minimal.
Folglich gibt es kein minimales Element in A und M ist nicht Noethersch.
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6.2 Noethersche Induktion
Noethersche Ordnungen
Beispiel 6.10 (5.3)
1
≤ auf N ist Noethersch, denn jede nichtleere Teilmenge enthält sogar
ein kleinstes Element.
2
Die Teilzeichenreichenbeziehung v auf A∗ ist Noethersch.
3
⊆ ist Noethersch auf P(M) für jede endliche Grundmenge M.
Beispiel 6.11 (Nicht Noethersche Ordnungen) (5.4)
1
≤ auf Z ist nicht Noethersch, denn Z besitzt kein minimales Element.
2
≤ auf Q≥0 ist nicht Noethersch, denn { 12 , 13 , 41 , . . .} besitzt kein
minimales Element.
3
⊆ auf P(N) ist nicht Noethersch, denn
{N, N\{0}, N\{0, 1}, N\{0, 1, 2}, . . .} besitzt kein minimales
Element.
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6.2 Noethersche Induktion
Noethersche Induktion
Beweisprinzip 6.12 (Noethersche Induktion)(7)
Sei - ⊆ M ×M eine Noethersche Quasiordnung. Lässt sich eine Aussage
A über M für jedes m ∈ M aus der Gültigkeit der Aussage für alle echt
kleineren Elemente ableiten, dann ist sie für jedes m ∈ M wahr.
∀ m ∈ M. ∀ m0 ∈ M. m0 ≺ m ⇒ A(m0 ) ⇒ A(m) ⇒ ∀ m ∈ M. A(m).
Beweis: Per Kontraposition.
Falls ∀ m ∈ M. A(m) nicht gilt, existiert nichtleere Menge G ⊆ M von
Gegenbeispielen.
G =df {g ∈ M | ¬A(g )}.
Weil - Noethersch ist, existiert ein minimales Gegenbeipiel gmin ∈ G .
gmin verletzt dann den Induktionsschluss.
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6.2 Noethersche Induktion
Anwendung: Kommutativität der Addition
Satz 6.19(2)
∀ n, m ∈ N. n + m = m + n.
Beweis durch Noethersche Induktion über komponentenweise Ordnung auf
N × N.
(n, m) ≤ (n0 , m0 ) ⇔df n ≤ n0 ∧ m ≤ m0 .
Details: Skript.
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6.2 Noethersche Induktion
Anwendung: Terminierung
Euklidischer Algorithmus
ggt : N × N → N

falls n = 0 oder m = 0
 n+m
ggt(n − m, m) falls m < n
ggt(n, m) =

ggt(n, m − n) falls n < m
Terminierung: Noethersche Quasiordnung auf N × N:
(n, m) .sum (n0 , m0 ) ⇔df n + m ≤ n0 + m0 .
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6.2 Noethersche Induktion
Anwendung: Terminierung
Ackermann-Funktion
ack : N × N → N

falls n = 0
 m+1
ack(n − 1, 1)
falls n > 0, m = 0
ack(n, m) =

ack(n − 1, ack(n, m − 1)) falls n > 0, m > 0
Terminierung: Lexikographische Ordnung (Noethersch und total) auf
N × N:
(n, m) ≤lex (n0 , m0 ) ⇔df n < n0 ∨ (n = n0 ∧ m ≤ m0 ).
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6.2 Noethersche Induktion
Anwendung: Terminierung
Collatz-Funktion
col : N\{0} → {1}

falls n = 1
 1
col(n/2)
falls n gerade
col(n) =

col(3n + 1) falls n ungerade
Terminierung: Keine geeignete Noethersche Ordnung bekannt.
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Beweisprinzip Verallgemeinerte Induktion
Beweisprinzip 6.13 (Verallgemeinerte Induktion)(8)
Lässt sich eine Aussage über natürliche Zahlen für jede natürliche Zahl aus
der Gültigkeit der Aussage für alle kleineren natürlichen Zahlen ableiten,
dann ist sie für jede natürliche Zahl wahr.
∀ n ∈ N. (∀ m ∈ N. m < n ⇒ A(m)) ⇒ A(n) ⇒ ∀ n ∈ N. A(n).
Spezialfall der Noetherschen Induktion
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Anwendung Fibonacci-Zahlen
Definition 6.14 (5.6)
fib(0)
=df
fib(0)
=df
fib(n + 1) =df
0
1
fib(n) + fib(n − 1)
Es gilt: ∀ n ∈ N. fib(n) < 2n .
Beweis:
Def.
n = 0. Dann fib(0) = 0 < 1 = 20 .
Def.
n = 1. Dann fib(1) = 1 < 2 = 21 .
n ≥ 2. Dann gilt:
Def.
IA
fib(n) = fib(n − 2) + fib(n − 1) < 2n−2 + 2n−1
≤ 2n−1 + 2n−1 = 2 · 2n−1 = 2n .
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Strukturelle Induktion
Erinnerung: Induktiv strukturierte Mengen (Folie 119)
Definition 4.4
1
A eine Menge elementarer oder atomarer Bausteine und
2
O eine Menge von Operatoren (oder Konstruktoren) mit zugehörigen
Stelligkeiten k ≥ 1, die es erlauben, kleinere Bausteine zu grösseren
Einheiten zusammenzusetzen.
Die durch A und O induktiv beschriebene Menge M ist die kleinste
Menge, für die gilt:
1
A ⊆ M und
2
Ist o ein Operator der Stelligkeit k und sind m1 , . . . , mk ∈ M, so ist
auch o(m1 , . . . , mk ) ∈ M.
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Strukturelle Induktion
Gegeben:
Induktiv strukturierte Menge M mit Atomen A und Konstruktoren O
Eigenschaft A über M.
Ziel: Beweise, dass A(m) gilt für alle Elemente m ∈ M.
Vorgehen:
1 Man beweist, dass A für jedes Atom a ∈ A gilt.
2
Man beweist für jeden Konstruktor o ∈ O, dass unter der
Voraussetzung, dass A für beliebige m1 , . . . , mk ∈ M gilt, A auch
für o(m1 , . . . , mk ) gilt.
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Strukturelle Induktion
Beweisprinzip 6.15 (Strukturelle Induktion) (9)
Sei M induktiv strukturierte Menge (mit Atomen A, Konstruktoren O).
Lässt sich eine Aussage A über M für jedes Atom a ∈ A beweisen, und
lässt sich für jeden Konstruktor o ∈ O aus der Gültigkeit der Aussage für
m1 , . . . , mk ∈ M die Gültigkeit für o(m1 , . . . , mk ) ableiten, dann ist A für
jedes m ∈ M wahr.
∀ a ∈ A. A(a) ∧ ∀ o ∈ O, m1 , . . . , mk ∈ M.
A(m1 ) ∧ · · · ∧ A(mk ) ⇒ A o(m1 , . . . , mk )
⇒ ∀ m ∈ M. A(m)
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Strukturelle Induktion
.. als Spezialfall Noetherscher Induktion.
Nachbarschaftsordnung ≺N durch induktive “Bauanleitung” der
Strukturen:
m1 ≺N m2 ⇔df
∃ o ∈ O. m2 = o(m10 , . . . , mk0 ) ∧ m1 ∈ {m10 , . . . , mk0 }.
“Ist-Teilstruktur”-Relation als reflexiv-transitive Hülle von ≺N , d.h:
= ≺∗N .
Klar: ist Noethersch.
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Anwendung: Aussagenlogik
Satz 6.16 (Funktionale Vollständigkeit von ¬und∧) (5.3)
Wir betrachten aussagenlogische Formeln (Definition 2.5, Folie 37),
aufgefasst als induktiv beschriebene Menge aus den Atomen a, b, c, . . .
(elementare Aussagen) sowie dem einstelligen Konstruktor ¬ und den
zweistelligen Konstruktoren ∧, ∨, ⇒, ⇔.
Zu jeder aussagenlogischen Formel φ existiert eine semantisch äquivalente
Formel φ0 , so dass φ0 lediglich die Junktoren ¬ und ∧ enthält.
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Anwendung: Aussagenlogik
Beweis: (Strukturelle Induktion)
Über den induktiven Aufbau von φ:
Fall 1: φ = a. Trivial, denn φ enthält keine Junktoren.
Fall 2: φ = ¬ψ. Nach der Induktionsannahme (IA) existiert Formel
ψ 0 ≡ ψ, so dass ψ 0 nur ¬ und ∧ enthält. Dies gilt dann auch
für φ0 = ¬ψ 0 , und es gilt φ0 ≡ φ.
Fall 3: φ = ψ1 ∧ ψ2 . Dann existieren nach der IA ψ10 ≡ ψ1 , ψ20 ≡ ψ2
mit der gewünschten Eigenschaft, und φ0 = ψ10 ∧ ψ20 ≡ φ
enthält ebenfalls nur ¬ und ∧.
Fall 4: φ = ψ1 ∨ ψ2 . Dann existieren nach der IA ψ10 ≡ ψ1 , ψ20 ≡ ψ2
mit der gewünschten Eigenschaft, und
φ0 = ¬(¬ψ10 ∧ ¬ψ20 ) ≡ φ enthält ebenfalls nur ¬ und ∧.
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Anwendung: Aussagenlogik
Beweis: (Strukturelle Induktion)
Über den induktiven Aufbau von φ:
Fall 5: φ = ψ1 ⇒ ψ2 . Dann existieren nach der IA ψ10 ≡ ψ1 ,
ψ20 ≡ ψ2 mit der gewünschten Eigenschaft, und
φ0 = ¬(ψ10 ∧ ¬ψ20 ) ≡ φa enthält ebenfalls nur ¬ und ∧.
Fall 6: φ = ψ1 ⇔ ψ2 . Dann existieren nach der IA ψ10 ≡ ψ1 ,
ψ20 ≡ ψ2 mit der gewünschten Eigenschaft, und
φ0 = ¬(¬(ψ10 ∧ ψ20 ) ∧ ¬(¬ψ10 ∧ ¬ψ20 )) ≡ φb enthält ebenfalls
nur ¬ und ∧.
a
Aufgrund der Äquivalenz A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B und der deMorganschen Regeln.
Aufgrund der Äquivalenz A ⇔ B ≡ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) und der
deMorganschen Regeln.
b
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6.4 Verallgemeinerte Induktion
Anwendung: Boolesche Terme
Satz 6.13 (Kompositionalität von [[ · ]]B )(Kap. 5.7.2, 5.7.3)
Seien t, t 0 , t 00 ∈ BT mit t 0 ≡ t 00 . Dann gilt
t[t 0 /x] ≡ t[t 00 /x],
dass heißt man darf (simultan) Gleiches durch (semantisch) Gleiches
ersetzen.
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6.3 Vollständige Induktion
Beweisprinzip: Vollständige Induktion
Beweisprinzip 6.18 (Vollständige Induktion)(10)
Ist eine Aussage A über natürliche Zahlen für 0 wahr und lässt sich ihre
Gültigkeit für jede größere natürliche Zahl aus der Gültigkeit der Aussage
für ihren Vorgänger ableiten, dann ist sie für jede natürliche Zahl wahr.
A(0) ∧ ∀ n ∈ N. A(n) ⇒ A(n + 1)
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⇒ ∀ n ∈ N. A(n).
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6.3 Vollständige Induktion
Vollständige Induktion
Satz 6.15 (5.4)
Seien n, m, k ∈ N. Dann gilt:
Assoziativität:
1) (n + m) + k = n + (m + k)
2) (n · m) · k
= n · (m · k)
Kommutativität:
1) n + m = m + n
2) n · m = m · n
Neutrale Elemente:
1) n + 0 = n
2) n · 1 = n
Distributivität:
(n + m) · k = n · k + m · k
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6.3 Vollständige Induktion
Beispiele
Beispiel 6.16 (5.5)
Für alle n ∈ N gilt:
1
2
3
Es gibt 2n Teilmengen von n–elementigen Mengen.
n
P
i = n∗(n+1)
, Summe der ersten n natürlichen Zahlen.
2
i=1
n
P
(2i − 1) = n2 , Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
i=1
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