3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen
Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten,
indem wir C = R2 als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
betrachten.
Addition und Subtraktion
komplexer Zahlen sind bereits vektoriell definiert.
Die kanonische Basis von C = R2
besteht aus den Basisvektoren
1 = (1,0) (reelle Einheit)
und
i = (0,1) (imaginäre Einheit).
Mit diesen beiden Vektoren lassen sich alle komplexen Zahlen, aufgefasst als Vektoren, eindeutig
als Linearkombination darstellen:
z = (x,y) = x1 + yi.
Wir schreiben einfach x statt x1 sowie i statt i, also
z = x + i y = x + y i.
Man nennt x den Realteil und y (nicht iy!) den Imaginärteil von z , in Zeichen
x = Re(z) , y = Im(z).
Die reellen Zahlen entsprechen den Punkten auf der waagerechten (reellen) Koordinatenachse,
während die Vielfachen von i die rein imaginären Zahlen sind, die den Punkten auf der
senkrechten
(imaginären) Koordinatenachse entsprechen.
(MAPLE benutzt das Symbol I für die imaginäre Einheit, ℜ( z ) für Re(z) und ℑ( z ) für Im(z)!)
Wir zeichnen komplexe Zahlen als Pfeile (Ortsvektoren) in der Ebene C :
Konjugation und Negation
Aus einer komplexen Zahl
z=x+iy
entsteht durch Spiegelung an der reellen Achse
die konjugierte Zahl
z=x−iy,
hingegen durch Spiegelung am Nullpunkt
die negative Zahl
−z = −x − i y .
Für beliebige komplexe Zahlen z gilt:
z + z = 2 Re(z) ,
z − z = 2 Im(z) i.
Multiplikation
Der besondere Nutzen komplexer Zahlen kommt allerdings erst zum Tragen, wenn man eine neue
Multiplikation einführt, bei der das Quadrat einer komplexen Zahl negativ werden kann.
Wir fordern
i2 = −1
und sehen, daß es genau eine Multiplikation gibt, für die diese Bedingung erfüllt ist und
zusammengesetzte Ausdrücke wie üblich ausmultipliziert werden:
( x + i y ) ( u + i v ) = x u − y v + i ( x v + y u ).
Diese Multiplikation ist dann nicht nur
distributiv:
z (w + c) = z w + z c ,
sondern automatisch auch
kommutativ:
wz=zw
und assoziativ:
z (wc) = (zw) c
für beliebige komplexe Zahlen w, z, c.
Beachten Sie, daß das neue Produkt für komplexe Zahlen nicht das Skalarprodukt und schon gar
nicht das Kreuzprodukt ist! Allerdings hängt das komplexe Produkt mit diesen beiden
folgendermaßen zusammen: Für
w = u + i v und z = x + i y
ist der Realteil des Produkts
w z = (u − i v) (x + i y)
gleich dem Skalarprodukt
(u,v)(x,y) = ux + vy = w z cos(w|z) ,
während der Imaginärteil gleich dem "zweidimensionalen Kreuzprodukt"
(u,v)x(x,y) = uy − vx = w z sin(w|z) ,
also gleich dem Flächeninhalt des von w und z aufgespannten Parallelogramms ist.
Insbesondere liefert
z z = x2 + y2
das Quadrat der Länge z der als Vektor aufgefaßten Zahl z. Man nennt diese Länge auch den
Betrag der komplexen Zahl z:
z =
x2 + y2 .
Für reelle Zahlen kommt hier der altbekannte Absolutbetrag heraus.
Division
Das Erfreuliche ist, daß wir nun auch eine beliebige komplexe Zahl z = x + i y durch jede von 0
verschiedene komplexe Zahl w = u + i v dividieren können: Der Trick besteht darin, den Bruch
x+iy
u+iv
mit der Konjugierten des Nenners zu erweitern:
(u − i v) (x + i y)
(u − i v) (u + i v)
=
ux + vy
u2 + v 2
+
i ( uy − vx )
u2 + v2
.
In Kurzschreibweise ist das die Gleichung
z
w
=
wz
w
2
.
Vertauschbarkeit der Konjugation mit den Grundoperationen
w w
( w + z ) = w + z , ( w − z ) = w − z , ( w z ) = w z ,   = .
z z
Polynome
entstehen durch iterierte Anwendung von Addition, Subtraktion und Multiplikation. Genauer
gesagt, hat ein Polynom in der
Variablen z die Form
n
p( z ) =
∑a
k
zk = a0 + a1 z + a2 z2 + ... + an zn.
k=0
Ist an ≠ 0, so heißt n der Grad des Polynoms p.
Rationale Funktionen
sind Quotienten von Polynomen, also z.B.
z−2i
q( z ) = 2
.
z +1
Sie sind nur da definiert, wo der Nenner keine Nullstellen, also die Funktion q keine Pole hat.
Einer der wichtigsten Vorteile der komplexen gegenüber den reellen Zahlen ist der folgende, von
dem berühmten Mathematiker Carl Friedrich Gauß stammende
Fundamentalsatz der Algebra
Jede Polynomgleichung
a0 + a1 z + ... + an zn = 0
n-ten Grades (n > 0) hat mindestens eine und höchstens n komplexe Lösungen. Dabei dürfen auch
die Koeffizienten a0, ..., an komplex sein. Sind alle Koeffizienten reell, so ist mit z auch z eine
Nullstelle.
Beispiel 1: Parabeln
Während die Gleichung
x2 − 1 = 0
offensichtlich die beiden reellen Lösungen 1 und -1 (und keine weiteren) besitzt, hat die
Gleichung
x2 + 1 = 0
natürlich keine reellen Lösungen, besitzt aber die zwei imaginären Lösungen i und -i .
Dagegen hat die quadratische Gleichung x2 = 0 nur die eine Lösung 0.
Wurzeln
Die (Quadrat-)Wurzel d aus einer nichtnegativen reellen Zahl d ist diejenige nichtnegative reelle
Zahl w, für die w2 = d gilt.
Für negatives d definiert man die Quadratwurzel aus d durch
d := i −d ,
denn diese Zahl ergibt quadriert tatsächlich
i2 ( −d ) = d .
Aber auch − d ergibt quadriert wieder d.
Vorsicht beim Multiplizieren von Wurzeln! Es gilt i.A. nicht
−1 =
−1
−1 ? = ?
( −1 )( −1 ) =
wz = w
1 =1?
Das mittlere Gleichheitszeichen ist falsch! (Die übrigen sind in Ordnung).
Die allgemeine quadratische Gleichung
a z2 + b z + c = 0
(wobei a nicht 0 ist) formt man mittels quadratischer Ergänzung um zu
2
2

b   b 
c
 z +
 = 
 − .

2a 2a
a
z!
Sind a,b,c allesamt reell, so gewinnt man hieraus die bekannte Formel für die Lösungen:
z=
−b +
d
und z =
2a
−b −
2a
d
mit d = b2 − 4 a c .
Die beiden Lösungen sind
reell und verschieden, falls d > 0,
reell und gleich, falls d = 0,
nicht reell und konjugiert komplex, falls d < 0.
Im Falle komplexer Koeffizienten bleibt die Aufgabe,
Quadratwurzeln aus einer komplexen Zahl
d=f+ig
zu ziehen (wobei allerdings f und g reell sind). Wir machen dazu den Ansatz
w = u + i v und w2 = d .
In Koordinaten bedeutet das
( u + i v ) 2 = u2 − v 2 + 2 i u v = f + i g ,
und der Vergleich von Real-und Imaginärteil liefert das quadratische Gleichungssystem
u 2 − v2 = f
2uv=g.
Da wir den reellen Fall schon erledigt haben, dürfen wir g = 0 ausschließen und die zweite
Gleichung
durch 2 u dividieren. Einsetzen von
g
v=
2u
in die erste Gleichung ergibt
u2 −
g2
4 u2
2
= f bzw. ( 2 u2 ) − 2 f 2 u2 − g2 = 0
mit der Lösung
u =
2
f+
f2 + g 2
2
.
Die zweite Lösung entfällt, da hier die Zahlen u, f und g reell sein sollen, also die rechte Seite nicht
negativ werden darf. Also ist
u =
f 2 + g2 + f
2
und entsprechend
v =
f 2 + g2 − f
2
.
Beachten Sie, daß die beiden Wurzelausdrücke nicht negativ werden können, da
f2 + g2 stets
mindestens so groß wie f ist.
Die richtige Wahl der Vorzeichen für u und v ergibt sich aus der Gleichung 2 u v = g :
Ist g positiv, so sind u und v beide positiv oder beide negativ zu wählen; ist g hingegen negativ, so
müssen u und v entgegengesetzte Vorzeichen erhalten.
Beispiel 2: Eine quadratische Gleichung im Komplexen
2 z2 − ( 3 + i ) z + 2 = 0
wird nach quadratischer Ergänzung zu
2
2

3+i 3+i
−8 + 6 i
 z −
 = 
 − 1 =
.

4   4 
16
Die Quadratwurzeln aus −8 + 6 i sind nach obiger Formel die komplexen Zahlen
u + i v und −u − i v mit
8 2 + 62 − 8
u=
82 + 6 2 + 8
= 1 und v =
2
2
Probe: ( 1 + 3 i )2 = −8 + 6 i.
Also sind die Lösungen der Ausgangsgleichung
3+i
4
+
1+3i
4
=1+i
und
3+i
4
−
1+3i
4
=
1
2
−
i
2
.
Probe: 2 ( 1 + i )2 − ( 3 + i ) ( 1 + i ) + 2 = 4 i − 2 − 4 i + 2 = 0,
2 ( 1 − i )2
4
−
(3 + i) (1 − i)
2
+ 2 = −i −
3
2
−
1
2
−
i
2
+
3i
2
+ 2 = 0.
=3.