Hochpaß und Tiefpaß mit Lernzielformulierung für BT und LMT

Anmerkungen:
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Die nachfolgenden Ausführungen sind ziemlich vollständig, für Ihre Klausurvorbereitungen
können Sie die Darstellungsformen des Bode-Diagramms ignorieren, da wir dazu in der VL
nicht mehr gekommen sind.
Wichtig ist aber das Verständnis der Herleitung der Übertragungsfunktion von Hochpaß und
Tiefpaß. Da steht immer ein (komplexer) Spannungsteiler dahinter.
Wenn Sie die Ausführungen hier begriffen haben, dann leiten Sie sich Hoch- und Tiefpaß
aus R und L her.
Beachten sie, dass bei der Grenzfrequenz immer gilt, dass der Betrag des Imaginärteils (Xc
oder XL) gleich dem Realteil ( R ) ist. Daraus kann man bei gegebenen Werten von R und C,
bzw. R und L ausrechnen bei welcher Frequenz die Grenzfrequenz liegt. Die Grenzfrequenz
ist (in der idealisierten Asymptotendarstellung) quasi der Übergang von Durchlaß- und
Sperrbereich.
Was Sie können sollten wäre bei vorgegebenen R, L, f oder R,C und f die
Ausgangsspannung eines beliebigen RC- oder RL- Hoch- oder Tiefpasses nach Betrag und
Phase bestimmen können. Dazu müssen Sie zwischen Exponentialform und karthesischer
Darstellung umrechnen können. Außerdem sollten Sie bei den genannten Schaltungen die
Grenzfrequenzen bestimmen können.
4.3 Frequenzabhängigkeit im Wechselstrom-Netzwerk
In diesem Abschnitt werden einfache Wechselstromnetzwerke untersucht unter den folgenden
Bedingungen: Gegeben sei eine sinusförmige Spannung Ue am Eingang des Netzwerks.
• Der Effektivwert Ue ist konstant.
• Die Frequenz ω = 2 π f ist variabel.
• Gesucht ist die Ausgangsspannung Ua als Funktion der Frequenz.
4.3.1
Definitionen
Abb. 4.1: Vierpol
Als Vierpol (Abb. 4.1) wird ein Netzwerk mit vier Anschlüssen bezeichnet, zwei für die Eingangsspannnung und zwei für die Ausgangsspannung. Das Schaltbild des Vierpols ist ein Rechteck.
Innerhalb dieses Rechtecks kann sich ein beliebiges Netzwerk befinden, welches für die externe
Beschreibung des Vierpols nicht eingezeichnet werden muss. In Abb. 4.1 ist jedoch als internes
Netzwerk ein komplexer Spannungsteiler angedeutet.
Als Übertragungsmaß eines Vierpols wird das Verhältnis v der Ausgangsspannung Ua zur
Eingangsspannung Ue bezeichnet:
v=ve
j ϕV
U a U a e jϕa U a j ( ϕa −ϕe )
=
=
=
e
U e U e e jϕe U e
Darin ist v der Betrag des Übertragungsmaßes und ϕv sein Phasenwinkel. Da stets eine Bezugsphase
frei wählbar ist, kann hier ϕe = 0 gesetzt werden, so daß ϕv = ϕa ist.
Im Beispiel der Abb. 4.1 läßt sich das Übertragungsmaß nach der Spannungsteiler-Regel berechnen
zu:
v=
Z2
Z1 + Z 2
Unter Anwendung der Rechenregeln der komplexen Rechnung kann von der karthesischen Form in
die Exponentialform umgerechnet werden. Andererseits kann auch die Exponentialform in eine
karthesische Form umgerechnet werden.
Als Betragsfrequenzgang wird die arithmetische oder graphische Darstellung des Betrags v des
Übertragungsmaßes als Funktion der Frequenz bezeichnet: v = f (ω
ω).
Als Phasenfrequenzgang wird die arithmetische oder graphische Darstellung des Phasenwinkels ϕv
des Übertragungsmaßes als Funktion der Frequenz bezeichnet: ϕv = f (ω
ω).
Im Leerlauffall ist an die Ausgangsklemmen des Vierpols kein Lastwiderstand angeschlossen: Ia =
0. Im folgenden werden die Amplituden- und Phasenfrequenzgänge stets für den Leerlauffall
berechnet ("Leerlauf-Frequenzgänge").
4.3.2
Logarithmisches Verhältnis, Dezibel
Wenn die Frequenz über mehrere Dekaden hinweg variert wird (z. B. von 0 bis 100 kHz oder 100
MHz), ändert sich die Ausgangspannung oft auch über mehrere Dekaden (z.B. von 1 µV bis 100 V).
In solchen Fällen ist es sinnvoll, den Betrag v des Übertragungsmaßes (also das Verhältnis der
Ausgangsspannung Ua zur Eingangsspannung Ue) im logarithmischen Maß auszudrücken. Dadurch
lassen sich Spannungsverhältnisse über mehrere Zehnerpotenzen hinweg in einfachen zwei- oder
dreistelligen Zahlen erfassen.
Hierfür wird häufig die folgende Definition verwendet, welche zunächst vom Leistungsverhältnis
ausgeht: Als Maßzahl für den gewöhnlichen Logarithmus des Verhältnisses der Ausgangsleistung
Pa zur Eingangsleistung Pe wird die Bel-Zahl definiert:
P
Bel − Zahl = lg a .
Pe
Für den praktischen Gebrauch hat sich die Dezibel-Zahl (dB) als nützlich erwiesen. 1 Bel ist gleich
10 Dezibel. Die db-Zahl ist somit gleich dem zehnfachen des gewöhnlichen Logarithmus des
Leistungsverhältnisses:
dB=10 lg
Pa
Pe
Da die Leistung dem Quadrat der Spannung proportional ist, wird definiert:
Die Dezibel-Zahl ist gleich dem zwanzigfachen des gewöhnlichen Logarithmus des
Spannungsverhältnisses oder des Betrags des Übertragungsmaßes:
dB − Zahl = 20 lg
Ua
= 20 lg v
Ue
Hinweis: Die Definitionen liefern nur dann die gleichen Zahlenwerte, wenn P1, P2 sowie U1, U2 am
gleichen Widerstand R auftreten. Das ist z.B. der Fall, wenn am Ausgang des o.g. Netzwerkes eine
Lastimpedanz Za angeschlossen wird, welche gleich der Eingangsimpedanz Ze des Netzwerks ist
(Anpassung im nachrichtentechnischen Sinn).
Die dB-Zahl ist negativ, wenn v < 1 ist, wenn also die Ausgangsspannung Ua kleiner ist als die
Eingangspannung Ue. Der Vierpol hat in diesem Fall eine Dämpfung. Für v > 1 , d.h. für Ua > Ue ist
die dB-Zahl positiv. Der Vierpol hat eine Verstärkung.
Zahlenwerte für positive dB-Zahlen:
dB
Ua
Ue
0
0,1
0,5
1
3
10
20
40
60
80
100
1
1,01
1,06
1,12
1,41
3,16
10
100
1000
104
105
Zahlenwerte für negative dB-Zahlen:
dB
Ua
Ue
0
-0,1
-0,5
-1
-3
-10
-20
-40
-60
-80
-100
1
0,99
0,94
0,89
0,71
0,32
0,1
0,01
10-3
10-4
10-5
Addition von dB-Zahlen: Da es sich um ein logarithmisches Verhältnis handelt, ist die Addition
von dB-Werten gleichwertig der Multiplikation der Spannungsverhältnisse.
Beispiel: 20 db + 10 db = 30 db entspricht dem Spannungsverhältnis 10 ⋅ 3,16 = 31,6.
4.3.3
Tiefpaß
Abb. 4.2: Tiefpaß
In der nebenstehenden Schaltung ist die Impedanz des Kondensators Zc = 1/ jωC. Für sehr hohe
Frequenzen ist Zc sehr klein. Die Ausgangsspannung Ua ist dann sehr niedrig. Für sehr tiefe
Frequenzen ist Zc sehr groß. Die Ausgangsspannung Ua ist dann näherungsweise gleich der
Eingangsspannung Ue. Die Schaltung läßt tiefe Frequenzen durch und sperrt hohe Frequenzen. Sie
wird daher Tiefpaß genannt.
Der gleiche Sachverhalt läßt sich genauer durch die Berechnung der Übertragungsfunktion
analysieren. Nach der Spannungsteiler-Regel ist
U
ZC
1
1
v= a =
=
mit Z C =
.
U e ZC + R 1 + j ω C R
jω C
Nun werden zwei Abkürzungen eingeführt:
1 1
= Grenzfrequenz .
τ = R C = Zeitkonsante , ωg = =
τ RC
Damit wird die Übertragungsfunktion des Tiefpasses
v=
1
1
=
1 + j ω τ 1 + j ωωg
Die Zeitkonstante τ (Einheit 1 V/A ⋅ 1 As/V = 1 s) hat vor allem Bedeutung für die später zu
erläuternden Ausgleichsvorgänge.
Die Bedeutung der Grenzfrequenz ωg (Einheit 1/s) wird weiter unten diskutiert.
Nach den Rechenregeln der kompülexen Rechnung ergibt sich der Betrag v der
Übertragungsfunktion zu
v=
1
1 + ( ω τ)
2
=
1
1 + ( ωωg ) 2
und der Phasenwinkel ϕv der Übertragungsfunktion zu
ϕ v = − arctan ωτ = − arctan ωωg
Abb. 4.3: Bode-Diagramm: Amplitudenfrequenzgang
Zur graphischen Darstellung des Amplituden-Frequenzgangs wird im sog. Bode-Diagramm in
Abb. 4.3 die Größe 20 lg v (in dB) über dem dekadischen Logarithmus des Frequenzverhältnisses
ω/ωg aufgetragen.
Trotzdem ergibt sich eine doppelt logarithmische Darstellung, weil beide Größen Logarithmen sind.
Dabei werden beide Achsen linear eingeteilt.
Auf der Abzisse können statt der Zahlen für lg (ω/ωg) wahlweise auch die Zahlen für ω/ωg
eingetragen werden (Abb. 4.3, unten). Dann ist aber die Abzisse nichtlinear eingeteilt.
Der Vorteil des Bode-Diagramms liegt darin, daß oft das gesamte Diagramm durch Einzeichnen von
Asymptoten in einfacher Weise konstruiert werden kann. Für Abb. 4.3 ergibt sich dies aus
folgenden Grenzwert-Betrachtungen:
ω
ω
>> 1 → v ≈ g .
a)
Für hohe Frequenzen gilt:
ωg
ω
Der Betrag der Übertragungsfunktion ist näherungsweise umgekehrt proportional zur
Frequenz. Steigt die Frequenz um den Faktor 10, d.h. um eine Dekade, so sinkt der Betrag v
auf ein Zehntel. In diesem Bereich ist die Asymptote eine Gerade mit der Steigung
- 20 dB / Dekade.
ω
<<1 → v ≈ 1 .
b)
Für tiefe Frequenzen gilt:
ωg
In diesem Bereich verläuft der Frequenzgang entlang der Abzisse (Asymptote 0 dB).
ω = ωg → v = 0,707 , d.h. 20 lg v = − 3 dB .
c)
Bei der Grenzfrequenz ist
Bei der Grenzfrequenz weicht der wirkliche Verlauf des Frequenzganges um - 3 dB von der
Asymptoten ab.
Der Bereich der tiefen Frequenzen wird beim Tiefpaß als Durchlaßbereich bezeichnet, der Bereich
der hohen Frequenzen als Sperrbereich. Die Grenzfrequenz ωg markiert die Grenze zwischen
diesen beiden Bereichen und wird definiert als diejenige Frequenz, bei der der Betrag der
Übertragungsfunktion um 3 db unterhalb des Betrags im Durchlaßbereich liegt.
Bei der Grenzfrequenz schneiden sich die Asymptoten, bilden also zusammen einen Knick. Die
Frequenz, bei der dieser Knick auftritt, wird als Knickfrequenz ωk bezeichnet. Im vorliegenden
Fall ist die Knickfrequenz ωk gleich der Grenzfrequenz ωg .
Abb. 4.4: Bode-Diagramm: Phasen-Frequenzgang
In der grafischen Darstellung des Phasen-Frequenzgangs wird der Phasenwinkel ϕv im linearen
Maßstab über dem ebenfalls im linearen Maßstab dargestellten Logarithmus des Frequenzverhältnisses aufgetragen.
Obwohl beide Achsen linear eingeteilt sind, ergibt sich eine halblogaritmische Darstellung.
Der Phasenfrequenzgang läßt sich ebenfalls mit Hilfe von Asymptoten skizzieren, welche aus der
Grenzwert-Betrachtung von Gl. abzuleiten sind:
ω
<< 1 → ϕ v ≈ 0 .
a)
Für tiefe Frequenzen gilt:
ωg
In diesem Bereich verläuft der Phasen-Frequenzgang entlang der Asymptote 0o .
ω
>> 1 → ϕ v ≈ − 90° .
b)
Für hohe Frequenzen gilt:
ωg
In diesem Bereich verläuft der Phasen-Frequenzgang entlang der Asymptote -90o .
ω = ωg → ϕ v = 45° .
c)
Bei der Grenzfrequenz ist
Um den Phasenfrequenzgang hinreichend genau zu skizzieren, müssen beiderseits der
Grenzfrequenz noch einige Zahlenwerte berechnet werden. Statt der senkrechten Asymptote bei
lg(ω/ωg) = 0 kann auch eine Asymptote - wie in Abb. 4.4 ebenfalls eingezeichnet - so definiert
werden, daß sie erst bei lg(ω/ωg) = ±1 die anderen Asymptote schneidet.
4.3.4
Hochpaß
Die Schaltung der Abb. 4.5 entsteht aus dem Tiefpaß der Abb. 4.2, wenn Widerstand und
Kondensator miteinander vertauscht werden.
Abb. 4.5: Hochpaß
Für sehr hohe Frequenzen ist die Impedanz Zc des Kondensators sehr klein. Die Ausgangsspannung
Ua ist dann näherungsweise gleich der Eingangsspannung Ue. Für sehr tiefe Frequenzen ist Zc sehr
groß. Die Ausgangsspannung Ua ist dann sehr niedrig. Die Schaltung läßt hohe Frequenzen durch
und sperrt tiefe Frequenzen. Sie wird daher Hochpaß genannt.
Der Übertragungsfunktion des Hochpasses ergibt sich nach der Spannungsteiler-Regel zu:
v=
Ua
jω C R
R
=
=
U e R + ZC jω C R +1
ZC =
mit
1
.
jωC
1 1
= Grenzfrequenz wird die
Mit den Abkürzungen τ = R C = Zeitkonsante und ωg = =
τ RC
Übertragungsfunktion des Hochpasses
v=
jω τ
1
1
=
=
ω
1 + j ω τ 1 + j ω1 τ
1 + j ωg
Der Vergleich der Übertragungsfunktion des Tiefpasses mit der des Hochjpasses zeigt, daß die
Übertragungsfunktion des Tiefpasses in die des Hochpasses umgesetzt wird, wenn die
Frequenzvariable jωτ durch ihren Kehrwert ersetzt wird.
Der Betrag v dieser Übertragungsfunktion ist
1
v=
1 + ( ω1τ )
2
=
1
1 + ( ωωg ) 2
.
Ihr Phasenwinkel ϕv ist
ϕ v = − arctan
1
−1
ω
= arctan
= arctan ωg .
ωτ
ωτ
( 4.0 )
Das Bode-Diagramm Abb. 4.6 läßt sich wieder durch Grenzwert-Betrachtungen konstruieren:
Hohe Frequenzen:
ω >> ωg
→
v ≈1
→
Asymptote: 0 dB
Tiefe Frequenzen:
ω << ωg
→
v ≈ ω / ωg
→
Asymptote: +20 dB/Dekade
Grenzfrequenz:
ω = ωg
→
v ≈1 / 2
→
20 lg v = -3 dB
Abb. 4.6: Amplitudenfrequenzgang des Hochpasses
Ein Vergleich der Abb. 4.6 mit Abb. 4.3 ergibt, daß der Frequenzgang des Tiefpasses in den des
Hochpasses transformiert wird durch Spiegelung an der Grenzfrequenz ωg.
Für den Phasenfrequenzgang läßt sich mit Gl. ( 4.0 ) folgendes feststellen:
ω >> ωg
ϕv ≈ 0 ,
→
Hohe Frequenzen:
Tiefe Frequenzen:
ω << ωg
→
ϕv ≈ + 90° ,
Grenzfrequenz:
ω = ωg
→
ϕ v = + 45° .
Abb. 4.7: Phasenfrequenzgang des Hochpasses
Ein Vergleich der Abb. 4.7 mit Abb. 4.4 ergibt, daß der Phasen-Frequenzgang des Tiefpasses in den
des Hochpasses transformiert wird durch Addition von 90o zu jedem Wert von ϕv.
Zusammenfassend gelten die folgenden Zusammenhänge zwischen Hochpaß und Tiefpaß, welche
als duale Beziehungen bezeichnet werden:
a)
Der Tiefpaß wird in einen Hochpaß umgewandelt, wenn Widerstand und Kondensator
miteinander vertauscht werden.
b)
Die Übertragungsfunktion des Tiefpasses wird in die des Hochpasses umgesetzt, wenn die
Frequenzvariable jωτ durch ihren Kehrwert ersetzt wird.
c)
Die grafische Darstellung des Betrags-Frequenzgang des Tiefpasses wird in die des
Hochpasses transformiert durch Spiegelung an der Grenzfrequenz ωg.
d)
Der Phasen-Frequenzgang des Tiefpasses wird in den des Hochpasses transformiert durch
Addition von 90o zu jedem Wert von ϕv.
In entsprechender Weise läßt sich auch die umgekehrte Transformation vom Hochpaß zum Tiefpaß
durchführen. Hochpaß und Tiefpaß bilden ein duales Netzwerkpaar.